不等式的性质及一元二次不等式
第3节 不等式的性质、一元二次不等式
第3节 不等式的性质、一元二次不等式1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.1.两个实数大小比较的基本事实{a -b >0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b =0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b <0⇔a b (a ,b ∈R ). 2.不等式的基本性质3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示1.涉及实数的倒数有关的结论 (1)a>b,ab>0⇒1a <1b .(2)a<0<b ⇒1a <1b.(3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >bd.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b <1x<1a.2.两个重要不等式(1)若a>b>0,m>0,则ba <b+ma+m.(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则a s+t+b s+t≥a s b t+a t b s.1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.下列四个命题中为真命题的是( )A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>|b|,则a2>b2D.若a>b,则1a <1 b3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<13},则ab的值为( )A.-5B.5C.-6D.64.已知f(x)=x2+4x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[√5-12,+∞} B.[2,+∞) C.[-1,+∞) D.[3,+∞)5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.不等式的性质及其应用1.已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2>b2B.ab>b2C.ln|ab|>0 D.2a-b>12.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是( )A.y>x≥zB.z≥x>yC.y>z≥xD.z≥y>x3.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是,3x+4y的取值范围是.4.已知-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,则3x-2y 的取值范围是 .1.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.2.当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.3.已知x,y 的范围,求由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.4.已知由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx ±dy(cd ≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx ±dy 用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y 的范围后求cx ±dy 的范围,由于a>b,c>d ⇒a+c>b+d 不是可逆的,因此容易出现错解.一元二次不等式的解法及其应用角度一 不含参数的一元二次不等式不等式-3<4x-4x 2≤0的解集为( ) A.{x|-12<x<32} B.{x|-12<x ≤0或1≤x ≤32}C.{x|1≤x<32} D.{x|-12<x ≤0或1≤x<32}a ≤f(x)≤b 等价于{f (x )≥a ,f (x )≤b .角度二 一元二次不等式与一元二次方程的关系(多选题)已知关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是 A.a>0 B.bx-c>0的解集是{x|x>32}C.cx 2+ax-b>0的解集是{x|x<-23或x>1} D.a+b<c1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定 系数.角度三 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式:ax 2+(2-4a)x-8>0.1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x 1>x 2,x 1=x 2,x 1<x2.2.若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数,主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论. [针对训练](1)不等式组{x 2-1<0,x 2-3x ≥0的解集是( )A.{x|-1<x<1}B.{x|1<x ≤3}C.{x|-1<x ≤0}D.{x|x ≥3或x<1} (2)设函数f(x)={x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) (3)(多选题)对于给定实数a,关于x 的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为 A.R B.(-1,a ) C.(a,-1) D.(-∞,-1)∪(a,+∞)一元二次不等式恒成立问题角度一 一元二次不等式在R 上的恒成立问题若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0]一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是{a>0,b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.角度二一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是( ) A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.角度三一元二次不等式的有解问题若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:a>f(x)在区间[m,n]上有解,则a>f(x)min,a<f(x)在区间[m,n]上有解,a<f(x)max.(对于a≥f(x),a≤f(x)可类似处理)[针对训练](1)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为( )A.(13,+∞)B.(5,+∞)C.(4,+∞)D.(-∞,13)(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是.(3)若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是.。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
不等式的性质与应用
不等式的性质与应用不等式在数学中起到了重要的作用，它不仅仅只是一个数学概念，更是数学知识在实际生活中的应用。
本文将从不等式的基本性质出发，介绍不等式的常见类型及其应用。
一、不等式的基本性质不等式是数学中用于表示大小关系的一种关系式。
在不等式中，一般常用的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
不等式的性质主要包括以下几点：1. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
2. 反对称性：如果a > b，且a < b，则a = b。
3. 加减性：当a > b时，对两边同时加上（或者减去）同一个数c，不等号的方向不发生改变。
例如：若a > b，则a + c > b + c；若a > b，则a - c > b - c。
4. 乘除性：当a > b时，对两边同时乘以（或者除以）同一个正数c，不等号的方向不发生改变；当c为负数时，会改变不等号的方向。
例如：若a > b，则ac > bc；若a > b，则a/c > b/c。
5. 幂对数性：如果a > b，且c > 0，则a^c > b^c；如果a > b，且c< 0，则a^c < b^c。
二、常见的不等式类型及应用1. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式构成的不等式。
常见的一元一次不等式类型有：（1）线性不等式，形如 ax + b > c 或 ax + b < c。
其解集通常表示为一个区间。
（2）带有绝对值的一元不等式，形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c。
首先需要求得绝对值式子的值域，然后根据不等号的方向确定解集。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次式构成的不等式。
常见的一元二次不等式类型有：（1）二次函数的不等式，形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
不等式不等式的性质及一元二次不等式课件理
•不等式的性质•一元二次不等式•不等式的应用目录•解题方法与技巧•一元二次不等式的扩展•练习题与答案解析总结词详细描述不等式的性质1：对称性总结词不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
详细描述如果a>b，c>0，那么ac>bc。
如果a>b，c<0，那么ac<bc。
不等式的性质2：传递性总结词在加法中，随着加数的增大，和也增大。
详细描述如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
总结词详细描述总结词详细描述不等式的性质5：同向正值不等式可乘性总结词如果a>b>0，c>d>0，那么a/c>b/d。
要点一要点二详细描述如果a>b>0，c>d>0，那么a/c>b/d。
当c>d>0时也可以得到类似的结论。
不等式的性质6：正值不等式可除性定义形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的式子，其中$a \neq 0$，称为一元二次不等式。
组成要素一元二次不等式一般是由一元二次方程经过变形或添加符号得到的，如$x^{2} - 6x + 9 > 0$变形为$(x - 3)^{2} > 0$。
一元二次不等式的定义0102033. 画出草图根据化简后的不等式，结合草图找出解集。
4. 解出解集注意事项2. 考虑对称性3. 注意空集问题1. 关注符号一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，如购物优惠、投资决策、工程设计等。
在数学学科中的应用一元二次不等式是数学学科中基础而重要的一部分，它贯穿于中学和大学的数学课程中。
在实际生活中的应用一元二次不等式的应用VS不等式的性质01传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
02加法单调性即如果a>b，c为任意实数或整式，则a+c>b+c。
03乘法单调性即如果a>b>0，c为任意实数或整式，那么ac>bc。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是代数学中的重要内容，它与一元二次方程相似，但存在着一定差异。
在本文中，我们将深入探讨一元二次不等式的性质、解法以及其在实际问题中的应用。
1. 一元二次不等式的性质一元二次不等式的一般形式为 ax^2 + bx + c < 0（或 > 0）。
其中，a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与二次方程类似，一元二次不等式也可以表示为图像形状不同的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法主要有两种：图像法和代数法。
2.1 图像法通过绘制一元二次不等式对应的二次函数图像，可以直观地获取不等式的解集。
首先，根据a的正负确定抛物线的开口方向。
然后，通过求解抛物线与x轴的交点，即解出方程 ax^2 + bx + c = 0 。
最后，根据抛物线的位置与x轴的交点确定不等式的解集。
2.2 代数法通过代数方法解一元二次不等式，可以利用求解二次方程的方法，或者根据不等式性质进行变形和分类讨论。
对于形如 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次不等式，可以首先求解对应的二次方程 ax^2 + bx + c = 0 。
根据一元二次方程求解公式，可以得到方程的两个根 x1 和 x2 。
然后，根据二次函数的凹凸性，结合不等式的符号要求，可以将解集分为3种情况，即 x < x1，x1 < x < x2，x >x2。
3. 一元二次不等式的应用一元二次不等式在现实生活中有着广泛的应用。
以某企业的生产问题为例，假设x表示产品的销量，其成本函数为 C(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
为了使企业利润最大化，我们可以通过解一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0 来确定销量x的取值范围。
此外，一元二次不等式还可以应用于优化问题、几何问题等各个领域。
§7.1 不等式的概念及性质、一元二次不等式
b m
b <⑦ a m ; b > b m (b-m>0);
a
a am
a m
a > a m ; a <⑧ b m (b-m>0).
b bm b
4
考向突破
考向 利用不等式性质比较大小
例1 (2017山东烟台模拟,9)若a,b为非零实数,且a<b,则下列判断正确的
是 ( )
解析 原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,x≤-1.
②当a≠0时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
当a>0时,x≥ 2 或x≤-1.
a
当a<0时,由于 2 -(-1)= a 2 ,
a
a
于是,当-2<a<0时, 2 ≤x≤-1;
a
当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤ 2 .
ab2 a2b
ab
答案 C
5
考点二 一元二次不等式
考向基础 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
6
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不 等式的性质,将二次项系数转化为正数,再对照上表求解. 2.含参一元二次不等式的解法 (1)若二次项含有参数,则应先讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后 整理不等式. (2)当二次项系数不为0时,讨论判别式Δ与0的关系,判断相应一元二次 方程的根的个数. (3)确定无根时直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两根的大 小关系,从而确定解集的形式.
a
9
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为
不等式的性质+一元二次不等式
不等式的性质与解法【知识回顾】一、不等关系1、不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分， 基本性质有:（1）a b b a >⇔<（对称性） （2）,a b b c a c >>⇒>（传递性） （3）a b a c b c >⇔+>+（加法单调性）（4）0,;0,c a b a c b c c a b a c b c >>⇔><>⇔<时时（乘法单调性） 运算性质有:（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+（相加法则） （2）,a b c d a c b d ><⇒->- （3）0,0a b c d a c b d >>>>⇒>（相乘法则） （4）0,0a b a b c d cd>><<⇒>（5）0(,1)()n na b a b n z n >>⇒>∈>且乘方法则（6）0,)a b n z >>⇒>∈且n >1（开方法则）2、比较两个实数的大小:常用作差比较法,基本步骤是:作差、变形、判断符号、下结论，其中变形的方向应有利于判断差式的符号，而变形的常用手段有通分、因式分解、配方等.二、一元二次不等式的解法：常用数形结合法，注意先将二次项系数化为正数.三、分式不等式的解法：解分式不等式的基本方法是转化为整式不等式来解，具体步骤是：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化成右边为0的形式，然后通过符号法则把分式不等式转化为整式不等式来解.常见的等价转化有如下几种形式:（1）()0()()0()f xf xg xg x>⇔>；（2）()0()()0()f xf xg xg x<⇔<；（3）()()0()()0()f xg xf xg xg x≥⎧>⇔⎨≠⎩；（4）()()0()()0()f xg xf xg xg x≤⎧<⇔⎨≠⎩.四、含绝对值不等式的解法：解含绝对值不等式既可以利用绝对值的性质剔去绝对值，也可以利用以下恒等变换剔去绝对值.（1）22|()||()|[()][()]f xg x f x g x>⇔>；（2）22|()||()|[()][()]f xg x f x g x<⇔<；（3）|()|()()()()()f xg x f x g x f x g x>⇔><-或；（4）()() |()|()()()()()()f xg xf xg x g x f x g xf xg x>-⎧<⇔-<<⇔⎨<⎩.目标一：不等关系与不等式例1：比较(3)(5)a a ++与(2)(4)a a +-的大小例2：1、已知,,a b c R ∈，则下列推理： ①22a b a b cc>→>②3311,0ab a b ab>>→<③2211,0a b a b ab>>→<其中正确的个数为________________ 2、若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |3、下列四个命题中，为真命题的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dC ．若a >|b |，则a 2>b 2D ．若a >b ，则1a <1b4、设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ＞B例3：已知,a b a b≥【目标训练】1、若1x ≥2、已知,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A 、22a b > B 、1ba < C 、lg ()0ab -> D 、11()()33a b< 3、已知1x ≤，试比较33x 和231x x -+的大小4、设0,0,a b >>求证：1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭目标二：不等式的解法例1：解下列不等式（1）22430x x ++< （2）23280x x --+≤ （3）28116x x -≥【目标训练】1、不等式0)2)(1(>+-x x 的解集是（ ）A 、{}21|<<x xB 、{}12|<<-x xC 、{}12|<->x x x 或D 、{}12|>-<x x x 或2、不等式0)2)(1(≥--x x 的解集是（ ）A 、{}21|≤≤x xB 、{}21|≤≥x x x 或C 、{}21|<<x xD 、{}21|<>x x x 或3、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<06422x x x 的解集是（ ）A 、{}22|<<-x xB 、{}60|<<x xC 、{}40|<<x xD 、{}20|<<x x4、不等式250a x x c ++>的解集为11{|}32x x <<，那么a 、c 为（ ）A 、6a =，1c =B 、6a =-，1c =-C 、1a =，6c =D 、1a =-，6c =- 5、不等式3611()24x x ++≤的解集为 .例2：不等式1201x x ->+的解集【目标训练】1、不等式12x x-≥的解集为（ ）A 、[1,0)-B 、[1,)-+∞C 、(,1]-∞-D 、(,1](0,)-∞-+∞2、不等式21x x<+的解集为 .例3：不等式11x -＜的解集是 .【目标训练】1、不等式1|12|<--x x 的解集是_______________.2、不等式112x x +≥+的实数解为_______________.3、不等式130x x +--≥的解集是_______________.目标三：含参不等式的解法1、解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax )(R a ∈．2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫1α，1β B ．⎝⎛⎭⎫－1α，－1β C.⎝⎛⎭⎫1β，1α D ．⎝⎛⎭⎫－1β，－1α3、关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式0)2)((>-+x b ax 的解集为（ ）A 、)2,1(-B 、),1()2,(+∞--∞C 、)2,1(D 、),2()1,(+∞--∞目标四：不等式的恒成立问题例1：1已知不等式2220m x x m -+-<.若对于所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围2、若不等式－x 2＋2ax <3x ＋a 2恒成立，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，34 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，343、若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)4．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5] 上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－235【目标训练】1、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对于一切x R ∈恒成立，则a 的范围是（ ） A 、(,2)-∞ B 、(,2]-∞ C 、(2,2]- D 、(2,2)-2、不等式2240820m x m x x x --<-+的解集为R ，则实数m 的取值范围是 .3．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .则a 的取值范围是4、已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．5．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．补充：根的分布问题数列综合训练：1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S （2）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和2、已知f (x )＝2x x ＋2，在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝f (a n －1)，n ≥2，n ∈N *.(1)证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列； (2)求a n ．3.数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T4、已知正数数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足111(2),221n n n S S n a S --=≥=+。
不等关系及一元二次不等式
不等关系及一元二次不等式自主梳理1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存有的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连结两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝b a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝b a b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0).3.不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ， a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ， a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2).2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a>0)的根有两相异实根x 1,2＝－b±b 2－4ac 2a(x 1<x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝________没有实根一元二 次不等 式ax 2 ＋bx ＋ c>0 的解集a>0(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)(－∞，－b2a)∪(－b2a，＋∞)a<0 (x 1，x 2)例题讲解例1 比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小.例2 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小.归纳：作差比较法的步骤是：1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3、判断符号；4、作出结论． 练一练1.设a >b >1，c <0，给出以下三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c ).其中所有准确结论的序号是________.2. 已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a ＋3b 的取值范围．3.若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，则a －|b | 的取值范围是________________．(一) 一元二次不等式的解法例3 解以下不等式：.022)4(;012)3(;032)2(;0127)1(2222>+-<+-≥+-->+-x x x x x x x x归纳：可利用求根公式得到方程a x 2＋b x +c ＝0的解，再求不等式的解集 练一练1.解以下不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0.2. 解以下不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.（二）解绝对值不等式例4 （1）235x -<. （2）415x -≥.（3）2325x ≤-<练一练1.解以下不等式: （1）11x xx x>++. （2）234x x ->.（3）2560x x -+>. （4）2312x x ->+.（5）|4x -3|>2x +1. （6）125x x ++->（三）解分式不等式 例5 解关于x 的不等式3)1(--x x a ＞1(a ＞0)练一练1.解以下不等式: （1）2335x≥-. (2) (3)(2)(1)(4)0x x x x ++--< (3) 12315222>+---x x x x （4）(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-()()()()1000000x a.x a x b x bx a x b x a x b x b ->⇔-->---≥⎧-⎪≥⇔⎨--≠⎪⎩<≤基本原理或时类似可解2.不等号右边是非零常数时，移项通分转化成右边是零，一般不能乘以分母(四)解指数不等式：（五）解对数不等式)1,0)(33(log )32(log .4;)33(log )32(log .3)33(log )32(log .2;1)12(log .122122122222≠>-<---<---<--<-+a a x x x x x x x x x x x a a()()()()22322313123481251231112222230144528052222x x (x )(x )x x x x x x x xx x x .;..a a a a ..a a ---------+-⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>>≠-⋅+≥-<-且为大于零的常数01f (x )g (x )f (x )g (x )a a a a a a ≥≤>≠一般地，指数不等式先变形为或（其中，）然后利用指数函数的单调性转化为代数不等式(六）解无理不等式的解法（1）⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型（2）⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 （3）⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 （4）例6 ：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x()12211824321201a a a .log x .log (x x )log (x )log ,(a ,a )+<+--->>≠解下列不等式：01001010a a log f (x )log g(x )(a a )f (x )f (x )a g(x )a g(x )f (x )g(x f (x )g(x >>≠>>⎧⎧⎪⎪>><>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩对数不等式且当时，同解于 当0<时，同解于））解对数不等式，实质是利用对数函数的单调性将其转化为同解的代数不等式，但要注意底数和真数的制约因素.例7 ：解不等式 125->-x x练习：解不等式x x x 211322+>+-例8 ：解不等式x x x 211322+<+-练习：1. 不等式35x x ->-的解集为_________2.231x x -<+（七） 含参数的一元二次不等式的解法例9 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.归纳：解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步 骤实行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．练一练(1)ax2－(a＋1)x＋1<0. (2) 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(3)不等式x－12x＋1≤0的解集为________.（八）一元二次不等式恒成立问题例10已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．例11设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.练一练(1).当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__________.(2)关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．例12 (1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．(2)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围________.练一练(1)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________.(2)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．归纳：不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.。
高中数学第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式
第一节 不等式的性质及一元二次不等式[考纲要求]1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．4．会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．突破点一 不等式的性质[基本知识]1．比较两个实数大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则：①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1) 若1a <1b <0，则1a+b <1ab . ( )(2)若a c >bc ，则a >b .( )(3)若a >b ，c >d ，则ac >bd .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．若a <b <0，则1a －b 与1a大小关系是__________． 答案：1a －b <1a2．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)[典例感悟]1．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：选A 因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A.2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a >b ⇒ac >bc ；②a >b ⇒1a <1b ；③a >b >0，c >d >0⇒a d >bc ；④a >b >1，c <0⇒a c <b c .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 当c ＝0时，①不正确． 当a >0>b 时，②不正确． 由于c >d >0，所以1d >1c >0，又a >b >0，所以a d >bc >0，③正确．由于a >b >1，当x <0时，a x <b x ， 故a c <b c ，④正确．故选B. 3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜4．已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤12，则9x ＋y 的取值范围是________．解析：设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )，则9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是比较两边系数得⎩⎨⎧2a ＋3b ＝9，a ＋b ＝1，得a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72，所以－132≤9x ＋y ≤132.答案：[]－132，132[方法技巧]1．比较两个数(式)大小的两种方法2．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．突破点二 一元二次不等式[基本知识]1．三个“二次”之间的关系有两个相等实根x ＝x ＝－(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为空集．( ) (3)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，则其判别式Δ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．不等式1x －1≥－1的解集是________________． 解析：原不等式可化为xx －1≥0，即x (x －1)≥0，且x －1≠0，解得x >1或x ≤0. 答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )()x －1a <0的解集是________________．答案：(－∞，a )∪()1a ，＋∞3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是()－12，13，则a ＋b 的值是________． 答案：－144．若不等式ax 2－ax ＋1<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________． 答案：[0,4][全析考法]考法一 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x ＋3－x 2>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |x >3或x <－1} C ．{x |－3<x <1}D ．{x |x >1或x <－3}(2)(2019·深圳月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－1,2)[解析] (1)原不等式变形为x 2－2x －3<0， 即(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.故选A.(2)∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，∴函数f (x )是奇函数，且在R 上单调递增， ∴f (2－a 2)>f (a )等价于2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0， 解得－2<a <1，∴实数a 的取值范围是(－2,1)，故选C. [答案] (1)A (2)C[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2. [解] ∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为{ x |x <a 3，或x >－a4}. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为{}x |x <a 3，或x >－a4. [方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围考向一 在实数集R 上恒成立[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2]D ．(－2,2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0时，则有⎩⎨⎧a －2<0，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2，故选C. [答案] C考向二 在某区间上恒成立[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0D ．m ≥－4[解析] 令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时f (x )取得最小值，为－3，∴m ≤－3，故选A.[答案] A [方法技巧]解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．[集训冲关]1.[考法一]如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析：选B 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81.故选B. 2.[考法二·考向一]已知关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．[－1,3]D ．[－3,1]解析：选D 关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则Δ＝(k －1)2＋4(k －1)≤0，解得－3≤k ≤1，故选D.3.[考法二·考向二]若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎨⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.答案：()－22，0 [课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c <b ＋cD ．若a <b ，则a <b解析：选D 选项A 中，当c ＝0时不满足ac 2>bc 2，所以A 错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，满足a 2>b 2，不满足a >b ，所以B 错；选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 错；选项D 中，因为0≤a <b ，所以a <b ，所以D 正确．故选D.2．(2019·郑州模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件，故选A.3．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 4．(2019·江淮十校联考)|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪()0，12 B ．()－∞，12C.()12，＋∞D ．()0，12解析：选A 原不等式等价于⎩⎨⎧1－2x >0，x ≠0，解不等式组可得实数x 的取值范围是(－∞，0)∪()0，12.5．(2019·遂宁诊断)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab解析：选A 不妨取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )不一定成立，因此a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州模拟)已知p ：1a >14，q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a >14得0<a <4.∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有⎩⎨⎧ a ＝0，1>0或⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.()13，12D ．()－∞，13∪()12，＋∞解析：选A ∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，∴a <0，方程ax 2－bx －1＝0的两个根为－12，－13，∴－－b a ＝－12－13，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5，又x 2－bx －a <0，∴x 2－5x ＋6<0，∴(x －2)(x －3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．3．(2019·深圳中学模拟)已知a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c >b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D ．a a －c >bb －c解析：选D 因为c <0，a >b ，所以ac <bc ，故A 错；当c <0时，幂函数y ＝x c 在(0， ＋∞)上是减函数，所以a c <b c ，故B 错；若a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48<2< log b (b －c )＝log 26，故C 错；a a －c －bb －c＝ab －ac －ab ＋bc (a －c )(b －c )＝(b －a )c (a －c )(b －c )>0，所以a a －c >bb －c成立，故D 正确．选D.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5．(2019·包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎨⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2.则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，由二次函数的图象可知选C.6．(2019·绵阳诊断)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动．一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( ) A ．300元 B ．400元 C ．500元D ．600元解析：选B 设购买的商品的标价为x 元，则(x －200)×20%>x ·10%，且(x －200)×20%>30，解得x >400，选B. 7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)解析：选A 记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，依题意有⎩⎨⎧f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎨⎧1－(m －1)＋m 2－2<0，1＋(m －1)＋m 2－2<0，解得0<m <1.选A.8．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.9．(2019·西北工业大学附属中学模拟)已知a >b >1，c <0，在不等式①c a >cb ；②ln(a ＋c )>ln(b ＋c )；③(a －c )c <(b －c )c ；④b e a >a e b 中，所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④解析：选B ∵a >b >1，∴0<1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，∴①正确；∵a >b >1，c <0，∴不妨取a ＝3，b ＝2，c ＝－4，此时ln(a ＋c )>ln(b ＋c )不成立，∴②错误；易知函数y ＝x α(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a －c >b －c >0，c <0，∴(a －c )c <(b －c )c，∴③正确；令y ＝e x x (x ≠0)，则y ′＝(x －1)e x x 2，令y ′＝0，得x ＝1，令y ′>0，得x >1，故函数y ＝e xx在(1，＋∞)上单调递增，∵a >b >1，∴e a a >e bb，即b e a >a e b ，∴④正确，故选B.10．(2019·启东中学调研)已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，∴ca的取值范围为(0,2)．答案：(0,2)11．(2019·青岛模拟)设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，由条件可得a >1，b >0，则a ＋b >1，又a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，所以a －b <1，故①正确．对于②，令a ＝2，b ＝23，则1b －1a ＝1，但a －b ＝43>1，故②错．对于③，令a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3>1，故③错．对于④，|a 3－b 3|＝|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)|＝1，由条件可得，a ，b 中至少有一个大于等于1，则a 2＋ab ＋b 2>1，则|a －b |<1，故④正确．综上，真命题有①④.答案：①④12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0，所以令f (x )＝0，有Δ<0或⎩⎨⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f (1)≥0，f (5)≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.答案：(1,5]13．(2019·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________． 解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为k ()x －k 2＋4k (x －4)<0，等价于()x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有3≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.答案：[1,4]14．(2019·南昌模拟)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ∈[－1，0)，－()12|x －1|，x ∈[0，2)，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范围是___________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝()x ＋122－14∈[]－14，0；当x ∈[0,2)时，f (x )＝－()12|x －1|∈[]－1，－12.所以当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，所以f (x ＋3)min ＝－1，此时f (x )min ＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×()－12，解得t ≤1或t ≥2.答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)15．(2019·南昌摸底)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.解：(1)由题意知a <0，且－1,3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两个根，则⎩⎨⎧ b ＝2，8a ＋3b ＋2＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，∵a >0，∴f (x )>0可化为()x －a －2a(x ＋1)>0， ①当a －2a ≥－1，即a ≥1时，不等式的解集为{}x |x <－1或x >a －2a； ②当a －2a <－1，即0<a <1时，不等式的解集为{}x |x <a －2a或x >－1.16．(2018·正定中学二模)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R.(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若a <0，解不等式f (x )>1.解：(1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1(x ∈[－1,1])，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，得a >－12，所以a ∈∅；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)()x ＋a ＋1a<0， 因为1－()－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为{}x |1<x <－a ＋1a； 当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为{}x |－a ＋1a<x <1.。
高中数学知识点不等式的性质及解法
高中数学知识点不等式的性质及解法高中数学中，不等式的性质及解法是一个重要的知识点。
它涉及到不等式的基本性质、不等式的加减乘除、不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式等不等式类型的解法。
下面将详细介绍不等式的性质及解法。
一、不等式的性质1.两边加减同一个数不等号方向不变。
2.两边乘除同一个正数不等号方向不变，同一个负数不等号方向改变。
3.如果两个不等式成立，则它们的和、差、乘积、商仍然成立。
4.如果两个不等式的符号方向相反，求和时不等式方向不确定，求差时等式方向不确定，求积时反而求商时等式方向相反。
5.无论何时，两边加上相等的数，不等式的大小不变。
二、一元一次不等式对于一元一次不等式，常规的解法是将其转化为等价的不等式进行求解。
具体步骤如下：1. 化简：将不等式中的所有项移到一边，化简为标准形式ax+b<0或ax+b>0。
2.等价变形：根据不等式的性质，进行乘除法或加减法，将不等式变形为更简单的形式。
3.解不等式：根据等价变形后的不等式，确定x的取值范围。
三、一元二次不等式对于一元二次不等式，可以利用抛物线的性质进行求解。
具体分为以下几种情况：1.一元二次不等式的根在抛物线的两侧，此时，可以通过求解抛物线与x轴的交点来确定不等式的解集。
2.一元二次不等式的根在抛物线上，此时，可以通过根的位置确定抛物线在不等式中的符号。
3.一元二次不等式的根在抛物线的一侧，此时，可以根据抛物线的开口方向来确定不等式的解集。
四、综合应用在实际问题中，不等式的应用非常广泛，比如在经济学、物理学、生物学等领域中的一些实际问题往往可以转化为不等式进行求解。
这时候，除了要掌握不等式的基本性质和解法外，还需要注意问题的本质，合理进行变量的定义和范围的确定。
综上所述，不等式的性质及解法在高中数学中占据很重要的地位。
掌握不等式的基本性质，熟悉不等式的加减乘除运算，能够灵活运用不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法，对于提高解题能力和培养数学思维都非常有帮助。
不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
我们知道，二次函数322--=x x y 的图像是一条开口向上的抛物线，它与x 轴有两个交点，由方程0322=--x x 的解可得交点的横坐标分别是1-=x ，3=x ，容易看出，当31>-<x x 或时上述函数的图像在x 轴上方，0322>--x x ；当31<<-x 时，上述函数的图像在x 轴下方，即0322<--x x ，于是可得不等式解集为}31|{<<-x x 。
[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。
解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。
例1．利用二次函数图像解下列不等式。
（1）0322<--x x（2）0442>+-x x练习:解下列不等式：（1）2x 2-3x-2≥0 （2）-3x 2+x+1>0 (3)9x 2+6x+1>0 (4)4x-x 2<5 (5)2x 2+x+1≤0（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程02=++c bx ax 与二次函数c bx ax y ++=2的有关性质求解，具体见下表：0>a ，ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 02=++c bx ax的根有两实根21x x x x ==或 有两个相等的实根ab x x x 221-===无实根一元二次不等不等式02>++c bx ax的解集}|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠Ryx0 -1 32|a a -<（a R ∈）20aa -<-。
高中数学不等式的性质及一元二次不等式知识要点及例题讲解
不等式的性质及一元二次不等式考纲解读 1.利用不等式的性质判断不等式成立或比较大小；2.根据二次函数求解给定的一元二次不等式；3.利用三个“二次”间的关系求参数或不等式恒成立问题．[基础梳理]1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .3．两个实数比较大小的依据 (1)a －b >0⇔a >b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b <0⇔a <b .4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系有两个相等实根[三基自测]1．下列四个结论，正确的是( )①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ；②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③ 答案：D2．不等式x (9－x )<0的解集为( ) A ．(0,9) B ．(9，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(9，＋∞)答案：D3．(必修5·习题3.2B 组改编)若函数y ＝mx 2－(1－m )x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．答案：[13，＋∞)4．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤0x 2 x >0，则f (x )≥1的解集为__________．答案：{0}∪[1，＋∞)考点一 一元二次不等式的解法|方法突破[例1] (1)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (2)解不等式x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． [解析] (1)－x 2－3x ＋4>0⇒(x ＋4)(x －1)<0. 如图，作函数y ＝(x ＋4)(x －1)的图象， ∴当－4<x <1时，y <0. (2)由x 2－4ax －5a 2>0， 知(x －5a )(x ＋a )>0.由于a ≠0，故分a >0与a <0讨论． 当a <0时，x <5a 或x >－a ； 当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }； a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． [答案] (1)(－4,1) [方法提升][母题变式]1．将例(1)的不等式改为“－x 2－3x ＋4≤0”，其解集为________． 解析：由－x 2－3x ＋4≤0得x 2＋3x －4≥0， 即(x ＋4)(x －1)≥0，∴x ≥1或x ≤－4. 答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)2．将例(1)的不等式变为“x 2－3x ＋4>0”，其解集为________． 解析：令y ＝x 2－3x ＋4，∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y >0恒成立．∴x ∈R . 答案：R3．将例(2)变为“x 2－4ax －5a 2>0”，如何求解． 解析：由例(2)知，(1)若a ＝0，不等式为x 2>0解集为{x |x ≠0}， (2)当a >0,5a >－a ，解集为{x |x >5a 或x <－a }， (3)当a <0,5a <－a ，解集为{x |x <5a 或x >－a }．考点二 不等式恒成立问题|方法突破[例2] (1)(2018·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0](2)(2018·郑州调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12都成立，则a 的最小值是________．(3)对于任意a ∈[－1,1]，f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，那么x 的取值范围是________．[解析] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－8k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A. (2)法一：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，⎝⎛⎭⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52. 法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a 2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a2<0，即a >0时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上，a 的最小值为－52.(3)令g (a )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，由题意知g (－1)>0且g (1)>0，解得x <1或x >3.[答案] (1)A (2)－52 (3)(－∞，1)∪(3，＋∞)[方法提升]一元二次不等式恒成立问题的破解方法[母题变式]在本例(1)中，改为“对于x ∈[1,2]上，2kx 2＋kx －38<0恒成立”，求k 的取值范围．解析：k (2x 2＋x )<38，当x ∈[1,2]时，3≤2x 2＋x ≤10，∵k <38(2x 2＋x )恒成立，380≤38(2x 2＋x )≤18，∴k <380.考点三 比较大小问题|模型突破角度1 作差(商)法比较代数式的大小 [例3] 已知a >0，b >0，且a ≠b ，则( ) A ．ab ＋1>a ＋b B ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2 C ．2a 3b >3a 2bD ．a a b b <a b b a[解析] 选项A(作差法)，ab ＋1－(a ＋b )＝ab －a ＋(1－b )＝a (b －1)＋(1－b )＝(a －1)(b －1)，显然当a ，b 中有一个等于1时，(a －1)(b －1)＝0，即ab ＋1＝a ＋b ；故选项A 不正确． 选项B(作差法)，a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a 2－b 2)(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．因为a >0，b >0，a ≠b ，所以a ＋b >0，(a －b )2>0，故(a －b )2(a ＋b )>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，故选项B 正确．[答案] B [模型解法]角度2 巧用不等式性质比较大小[例4] 若a >b ，则下列各式正确的是( ) A ．a ·lg x >b ·lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x[解析] 已知a >b ，选项A ，由已知不等式两边同乘lg x 得到，由不等式的性质可知，当lg x >0时，a ·lg x >b ·lg x ；当lg x ＝0时，a ·lg x ＝b ·lg x ；当lg x <0时，a ·lg x <b ·lg x ．故该选项不正确．选项B ，由已知不等式两边同乘x 2得到，由不等式的性质可知，当x 2>0时，ax 2>bx 2；当x 2＝0时，ax 2＝bx 2.故该选项不正确．选项C ，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a >b >0时，a 2>b 2；当a >0>b 且|a |<|b |时，a 2<b 2.故该选项不正确．选项D ，由已知不等式两边同乘2x 得到，且2x >0，所以a ·2x >b ·2x .故该选项正确． [答案] D [模型解法]角度3 构造函数法比较代数式的大小[例5] 已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln ⎝⎛⎭⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝⎛⎭⎫32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1x ×x －1×ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f ⎝⎛⎭⎫54<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即b <a <c .故选B. [模型解法][高考类题]1．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：依题意a ＝g (－log 25.1)＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)． 因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2， 则f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数． 又log 25.1>0,20.8>0,3>0， 且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3， 而20.8<21＝log 24<log 25.1，所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .故选C. 答案：C2．(2017·高考山东卷)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a解析：法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1.∵b 2a ＝1a 2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.故选B. 法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b .故选B. 答案：B1.[考点一](2014·高考大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：由x (x ＋2)>0得x >0或x <－2；由|x |<1得－1<x <1，所以不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C.答案：C2.[考点三](2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0D ．ln x ＋ln y >0解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；当x >0且y >0时，ln x ＋ln y >0⇔ln xy >0⇔xy >1，而x >y >0⇒/ xy >1，故D 错误．答案：C3.[考点二](2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3解析：∵a x <a y,0<a <1， ∴x >y ，∴x 3>y 3. 答案：D4.[考点二、三](2014·高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A 、B 、C 均错，只有D 正确． 答案：D。
专题：不等式的性质与一元二次不等式
专题：不等式的性质与一元二次不等式一、知识要点1.不等式的基本性质 (1) a>b,b>c =>a>c (2) a>b => a+c>b+c (3) a>b,c>0 => ac>bc (4) a>b,c<0 => ac<bc (5) a>b,c>d => a+c>b+d (6)a>b>0,c>d>0 => ac>bd2.解一元二次不等式的一般步骤：(1)先化成一般形式（即ax 2+bx+c>0或ax 2+bx+c<0，且a>0)， (2)再判断△,(i)若△>0,再解方程ax 2+bx+c=0得两个根，则 ax 2+bx+c>0的解集为两根之外，即x>大根或x<小根 ax 2+bx+c<0的解集为两根之内，即小根<x<大根 (ii)若△<0则直接下结论： ax 2+bx+c>0的解集R ax 2+bx+c<0的解集为空集 (iii)若△=0也直接下结论： ax 2+bx+c>0的解集为 {x|x≠-b/2a} ax 2+bx+c<0的解集为空集二、典型例题【例1】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【详解】分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果． 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<< 又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．【例2】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]【答案】C 【详解】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则22404040ADE ABC x S y S ∆∆-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以40y x =-，又300xy，所以(40)300x x -，即2403000x x -+，解得1030x .【例3】（2017·山东高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A ．21log ()2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+ C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2a ba b a b +<+< 【详解】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.【例4】（2016·全国高考真题（理））若1a b >>，01c <<，则 A ．c c a b < B ．c c ab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c <【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b a b a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.【例5】（2016·北京高考真题（理））已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y ->B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y-< D ．ln ln 0x y +>【详解】试题分析：A ：由，得，即，A 不正确；B ：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；C ：由，，得，故，C 正确；D ：由，得，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C.【考点】函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.三、提高训练1、（2021·河北唐山市·高三三模）已知函数()1111x x e f x e ---=+，则不等式()()20＞+f x f x 的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),21,-∞-⋃+∞【分析】将()()20＞+f x f x 代入解析式翻译出来化简即可转化为常规的一元二次不等式问题.【详解】由()()20＞+f x f x 得()()()()()()2222211111111111111110111?1x xxx x x x x x x e e e e e e e e e e-----------++-+--+=>++++即()()()()22111111110x xxx ee e e -----++-+>整理得：22220220,1xx x x e e e +-+-->>=即.所以，220x x +->，解得21x x -或 故选D. 【点睛】方法点睛：在处理函数与不等式相关问题时，根据题设条件对不等式进行转化，转化为我们熟悉的问题，如二次不等式，指对数不等式等，或者运用数形结合思想，结合函数单调性做出函数图像根据图像，通过图像去解决问题.2、（2021·江西抚州市·高三三模（理））已知函数222,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩若关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12e -⎡⎢⎣B ．122,e ⎤⎥⎦C ．12e -⎡⎢⎣D ．12e ⎡⎢⎣【分析】不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立的两个临界状态是12y ax a =+-与ln(1)(0)=+>y x x 相切和与222(0)y x x x =---≤相切时，故求两种状态下的a 值，即可得a 的取值范围．【详解】画出函数()f x 的图像如图所示.1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立即函数()y f x =的图像恒在直线12y ax a =+-的图像的下方， 且直线12y ax a =+-过定点11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当直线与ln(1)(0)=+>y x x 相切时，设切点()()00,ln 1P x x +，11y x '=+， 可得()0001ln 11211x x x ++=++，解得120e 1x =-，则直线斜率为12e -，即12e a -=；当直线与222(0)y x x x =---≤相切时，此时由21222ax a x x +-=---， 得23(2)02x a x a ++++=，令2(2)460a a ∆=+--=，得a =a =，所以由图像可知12e a -≤≤故选：A 【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．3、（2021·甘谷县第四中学高三其他模拟（理））对任意实数x ，有32cos sin 22x x a a+≥+成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,1--B ．(][),21,0-∞-⋃- C．2⎡-⎢⎣⎦ D．(,2⎡⎫-∞⋃-⎪⎢⎪⎣⎭ 【分析】设()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的周期为2π，对函数求导，利用导数的正负求得一个周期内的单调性，利用单调性求得函数的最小值为32a a +≤，解不等式即可求解. 【详解】记()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的周期为2π，()()()222sin 2cos 22sin 212sin 22sin sin 1x x x x x f x x =-+=-+-=-+-'()()2sin 12sin 1x x =-+-，由()0f x '≥得1sin 2x ≤，由此知()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上都是增函数，在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，()02f =，56f π⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 最小值为，∴32a a +≤，∴0a <，2230a ++≥，∴0a ≤<或a ≤故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数求三角函数的最值，利用三角函数为周期函数，故可以求其一个周期内的最值.四、课后作业1、已知一元二次不等式的解集为，则的解集为A ．B ．C ．{x|lg 2x >-}D ．{x| lg 2x <-}【详解】由一元二次不等式的解集为，可以设函数解析式为：，将代入得，由指数函数的值域可得，，则D 正确.【考点定位】一元二次不等式与指数不等式的考察.2、函数f (x )=的定义域为A ．(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］B ．(-4,0) ∪(0,1)C ．［-4,0］∪（0，1）］D ．［－4，0∪（0，1）【解析】要使函数有意义，则有22320{3400x x x x x ≠-+≥--+≥≠3、已知,a b ∈R ，且0a b <<，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b< B ．sin sin a b <C ．22a b >D ．22ln ln b a <【分析】根据不等式的性质，正弦函数、指数函数、对数函数的性质判断各选项． 【详解】0a b <<时，a b ab ab <，即11b a<，A 错； 2π,a b π=-=-时，sin sin a b =，B 错；a b <，2x y =是增函数，∴22a b <，C 错；0a b <<，则220a b >>，∴22ln ln a b >，D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查判断命题的真假．解题关键是掌握不等式的性质，正弦函数、指数函数、对数函数的性质，利用这些性质可判断证明．实际上对于这些错误的不等式还可以通过反例判断它是错误的． 4、（2021·全国高三月考（理））已知函数()1112xf x a =-+（0a >，且1a ≠），则()f x 是（ ） A ．偶函数，值域为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．非奇非偶函数，值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．奇函数，值域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．奇函数，值域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用指数函数的性质及不等式的性质求函数的值域即可得解.由题可知()1121x x a f x a ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，且函数的定义域为R ，关于原点对称()()11112121x x x x a a f x f x a a --⎛⎫⎛⎫---===- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是奇函数.由指数函数的性质知0x a >，11x a ∴+>，1011xa ∴<<+， 11112122xa ∴-<-<+，即函数的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的奇偶性，指数函数的性质，不等式的性质，判断函数的奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()f x 与()f x -的关系，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 5、（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高三其他模拟（理））下列对不等关系的判断，正确的是（ ）A ．若11a b<，则33a b > B ．若22||||a b a b>，则22a b < C ．若22ln ln a b >，则||||22a b > D ．若tan tan a b >，则a b >【分析】根据不等式的性质，对数函数、指数函数、正切函数的性质判断，错误的可举反例． 【详解】A ．1,1a b =-=满足11a b<，但33a b <，A 错； B ．1a =，2b =-，满足22||||a b a b>，但22a b >，B 错； C ．2222ln ln 22aba b a b a b >⇒>⇒>⇒>，C 正确；D ．2tantan33ππ>，但233ππ<，D 错． 故选：C ．本题考查不等式的性质，考查函数的单调性．解题关键是掌握不等式的性质，掌握指数函数、对数函数、正切函数的性质．特别是函数的单调性问题，一般只有两个在同一单调区间的自变量的值，才能比较它们函数的大小，否则需要转化为同一单调上来，否则会出错，因此可举反例说明不等式是错误的．6、（2021·江西高三其他模拟（理））已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得222ln 3ln8(ln 3ln8)ln 54ln 5b c ⋅+=<可知b 、c 的大小，再结合指对数的性质可知a 、c 的大小. 【详解】2252228log 3ln 3ln8(ln 3ln8)ln 1log 5ln 54ln 5ln 5b c ⋅+==<=<，即b c <， ∵0.410.8c a -<<=， ∴综上，b c a <<. 故选：B。
《等式性质与不等式性质》一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质
等式的基本性质
一元二次等式有两个解，一个是实数解，一个是虚数解。
一元二次等式的判别式大于0时，有两个不相等的实数解；判别式等于0时，有两个相等的实数解；判别式小于0时，没有实数解。
一元二次等式的性质
一元二次不等式大于0时，解集为两个开区间；等于0时，解集为空集；小于0时，解集为两个闭区间。
一元二次不等式的解法：先将不等式化为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的形式，再根据系数a、b、c的符号确定用大于或小于号，最后根据口诀“大于取两边，小于取中间”求得不等式的解集。
描述客观事物的变化规律
一元二次不等式可以用来进行数据分析，例如在统计学中，可以使用一元二次不等式来计算回归方程，从而得到变量之间的相关关系。
进行数据分析
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一元二次不等式的性质
不等式的性质
02
用“<”、“>”、“≥”、“≤”等符号表示两个数或代数式之间大小关系的式子叫做不等式。
不等式的定义
不等式的分类
根据不等式的左右两边特点，可分为严格不等式和等式；根据不等式的解法，可分为一元一次不等式、一元二次不等式等。
不等式的概念与分类
一元二次不等式的定义
一元二次不等式的解法
确定变量的取值范围
一元二次不等式可以用来解决一些最优化问题，例如在生产计划中如何确定某种产品的生产量使得总成本最低，这时候可以用一元二次不等式来求解。
解决最优化问题
一元二次不等式可以用来描述客观事物的变化规律，例如物理学中的位移与时间的关系式s = t^2 - 2t + 3可以用一元二次不等式表示。
一元二次不等式的性质
不等式的性质与一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当 a＞0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0， 解得 x≥a2或 x≤－1. ③当 a＜0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0. 当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2a；
INNOVATIVE DESIGN
第七章
第1节 不等式的性质与一元二次不等式
1 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 (组)的实际背景
2 考
会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型
纲
3 要
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次 方程的联系
4 求
会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的
索引
感悟升华
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转 化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关 系，从而确定解集形式.
时的油耗不超过 9 L，则速度 x 的取值范围为( B )
A.[60，120] B.[60，100]
C.[45，100]
D.[45，120]
索引
解析
由
题
意
得
1 5
120－k＋4152000
＝
11.5
，
解
得
k ＝ 100 ， 故 每 小 时 的 油 耗 为
15x＋4 5x00－20 L，
第1章 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
第1章 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法【解析】 a >b 并不能保证a ，b 均为正数，从而不能保证A ，B 成立.又a >b ⇒a －b >0，但不能保证a －b >1，从而不能保证C 成立.显然D 成立.事实上，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a >b ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b成立.【答案】 D教材整理2 一元一次不等式的解法 关于x 的不等式ax >b ，(1)当a >0时，该不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞；(2)当a <0时，该不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b a ； (3)当a ＝0时，若b <0，则该不等式的解集为R ；若b ≥0，则该不等式的解集为∅.不等式组⎩⎨⎧x ＋9＜5x ＋1，x ＞m ＋1的解集是{x |x ＞2}，则m 的取值范围是( )【导学号：38000000】A.m ≤2B.m ≥2C.m ≤1D.m ≥1【解析】 原不等式组可化为⎩⎨⎧x ＞2，x ＞m ＋1.∵解集为{x |x ＞2}，∴m ＋1≤2，∴m ≤1. 【答案】 C教材整理3 一元二次不等式的解法 形如ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解法： Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不等的实根x 1，x 2且x 1<x 2有两个相等的实根x 1，x 2且x 1＝x 2无实根ax2＋bx＋c >0(a >0) 的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅不等式－x2＋5x－6>0的解集是()A.{x|2<x<3}B.{x|x<2或x>3}C.{x|－1<x<6}D.{x|x<－1或x>6}【解析】原不等式可化为x2－5x＋6<0，即(x－2)(x－3)<0，所以原不等式的解集为{x|2<x<3}.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]比较大小(1)已知x>3，比较x3＋3与3x2＋x的大小；(2)若m>0，试比较m m与2m的大小.【精彩点拨】(1)只需考查两者的差同0的大小关系；(2)注意到2m>0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质.【自主解答】(1)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1).∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，∴x3＋3>3x2＋x.(2)m m2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m， 当m ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m＝1，此时m m ＝2m ；当0<m <2时，0<m 2<1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m<1，∴m m <2m ；当m >2时，m 2>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m>1，∴m m >2m .1.利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为差的符号问题.作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要.2.在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.作差法变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.3.利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.[再练一题]1.已知A ＝1x ＋1y ，B ＝4x ＋y，其中x ，y 为正数，试比较A 与B 的大小.【导学号：38000001】【解】 A －B ＝1x ＋1y －4x ＋y＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ).∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0， ∴A －B ≥0，即A ≥B .利用不等式的性质求范围设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，在求f (－2)的取值范围时有如下解法：由⎩⎨⎧1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧32≤a ≤3，0≤b ≤32.∴3≤f (－2)＝4a －2b ≤12.上述解法是否正确？为什么？【精彩点拨】 本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f (－2)的范围扩大.因此需要将f (－2)用a －b 与a ＋b 整体表示.【自主解答】 给出的解法不正确. 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b . 于是⎩⎨⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1). 又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 因此，f (－2)的取值范围是[5,10].1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础.2.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.[再练一题]2.已知－6<a <8,2<b <3，分别求a －b ，ab 的取值范围. 【解】 ∵－6<a <8,2<b <3. ∴－3<－b <－2，∴－9<a －b <6， 则a －b 的取值范围是(－9,6). 又13<1b <12，(1)当0≤a <8时，0≤ab <4； (2)当－6<a <0时，－3<ab <0. 由(1)(2)得－3<ab <4. 因此ab 的取值范围是(－3,4).一元二次不等式的解法解下列关于x 的一元二次不等式.(1)3x 2＋5x －2>0；(2)9x 2－6x ＋1>0； (3)x 2－4x ＋5>0.【精彩点拨】 先由不等式确定对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，再根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象确定不等式的解集.【自主解答】 (1)方程3x 2＋5x －2＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝13，函数y ＝3x 2＋5x －2的图象开口向上，与x 轴交于两个点 (－2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，观察图象可得不等式3x 2＋5x －2>0的解集为x ⎪⎪⎪x >13或x <－2.(2)方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝13，二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象开口向上，与x 轴仅有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，观察图象可以得到不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0可化为(x －2)2＋1＝0，故方程x 2－4x ＋5＝0没有实数根，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象开口向上并且与x 轴没有交点，由图象可得，不等式x 2－4x ＋5>0的解集为R.当a >0时，解形如ax 2＋bx ＋c >0(≥0)或ax 2＋bx ＋c <0(≤0)的一元二次不等式，一般可以分为三步：(1)确定对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解； (2)画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象；(3) 由图象得出不等式的解集. [再练一题]3.不等式x 2＋x －2≤0的解集为________.【解析】 方程x 2＋x －2＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1， 函数y ＝x 2＋x －2的图象开口向上， ∴不等式x 2＋x －2≤0的解集为[－2,1]. 【答案】 [－2,1]含参数的一元二次不等式的解法解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.【精彩点拨】 由于a ∈R ，故分a ＝0，a ＞0，a ＜0讨论. 【自主解答】 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，即x ＞1. 若a ＜0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，即x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 (1)当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅； (2)当a ＞1时，由(*)式可得1a ＜x ＜1； (3)当0＜a ＜1时，由(*)式可得1＜x ＜1a . 综上所述：当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅； 当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a ＜x ＜1. 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论.[再练一题]4.解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R). 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0， ∴当a <0时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，解集为{x |x ≠0}； 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，解集为{x |x ≠1}； 当a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}. 综上所述：当a <0或a >1时，解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，解集为{x |x ≠1}.一元二次不等式的应用设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两个实数根x 1，x 2且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围.【精彩点拨】 若把方程左边看成二次函数f (x )，则它的图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交的条件是f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，所以只需解关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围.【自主解答】 设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2. ∵x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0<x 1<1,1<x 2<2，∴有⎩⎨⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧a 2－a －2>0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2<0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2>0，∴有⎩⎨⎧ a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0，∴有⎩⎨⎧ a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3.∴有－2<a <－1或3<a <4.∴a 的取值范围是{a |－2<a <－1或3<a <4}.解关于二次方程根的分布问题，应考虑“三个二次”的关系，分清对应的二次函数的开口方向及根所在区域的范围，画出对应的二次函数的图象，根据图象列出有关的不等式或不等式组进行求解.[再练一题]5.一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元.(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？【解】 (1)由题意知，日利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由日利润不少于1 300元.得－2x 2＋130x －500≥1 300，即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故当该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1 300元.(2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数.故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元.可化为一元二次不等式的分式不等式的解法解不等式：x ＋1x －2≤2. 【精彩点拨】 把不等式转化为f (x )g (x )≥0求解. 【自主解答】 ∵x ＋1x －2≤2，∴x ＋1x －2－2≤0，即－x ＋5x －2≤0， ∴x －5x －2≥0，∴⎩⎨⎧ (x －5)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5. 即原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}.解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解.即f (x )g (x )≥0⇒⎩⎨⎧ f (x )·g (x )≥0，g (x )≠0⇒f (x )·g (x )＞0或f (x )＝0. f (x )g (x )＞0⇒⎩⎨⎧ f (x )＞0，g (x )＞0或⎩⎨⎧f (x )＜0，g (x )＜0⇒f (x )·g (x )＞0. [再练一题]6.不等式x －2x 2－1＜0的解集为( ) A.{x |1＜x ＜2}B.{x |x ＜2且x ≠1}C.{x |－1＜x ＜2且x ≠1}D.{x |x ＜－1或1＜x ＜2}【解析】 因为不等式x －2x 2－1＜0， 等价于(x ＋1)(x －1)(x －2)＜0，所以该不等式的解集是{x |x ＜－1或1＜x ＜2}.【答案】 D[探究共研型]不等式的性质及恒成立问题探究1 甲同学认为a >b ⇔1a <1b ，乙同学认为a >b >0⇔1a <1b ，丙同学认为a >b ，ab >0⇔1a <1b ，请你思考一下，他们谁说的正确？【提示】 它们的说法都不正确.设f (x )＝1x ，则f (a )＝1a ，f (b )＝1b ，可以利用函数f (x )＝1x 的图象比较f (a )与f (b )的大小.探究2 不等式两边同时乘以(或除以)一个数时，要注意什么？【提示】 要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以)这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变.探究3 ax 2＋bx ＋c >0对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？【提示】 ⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧a >0，Δ<0. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围.【精彩点拨】 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，只要f (x )的图象全部位于x 轴上方，只要顶点在x 轴上或x 轴上方即可.【自主解答】 ∵Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[－2,2].[再练一题]7.把上述例题中“x ∈R ”改为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，求a 的取值范围. 【解】 法一：x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12可化为 －a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，设f (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， ∴－a ≤f (x )min .∵f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，∴－a ≤52，a ≥－52， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a 2. 当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， 应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1； 当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数， 应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0；当0<－a 2<12，即－1<a <0时， 应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0. 综上，有a ≥－52. ∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞. [构建·体系]不等式的性质与解法—⎪⎪⎪⎪⎪ —不等式的性质—⎪⎪⎪ —两个实数的大小—不等式的基本性质—不等式的解法—⎪⎪⎪ —一元一次不等式的解法—一元二次不等式的解法1.若x ≠2且y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系是( )A.M >NB.M <NC.M ＝ND.不能确定【解析】 M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y －(－5)＝(x －2)2＋(y ＋1)2.∵x ≠2且y ≠－1，∴x －2≠0且y ＋1≠0，∴(x －2)2＋(y ＋1)2>0，故M >N .【答案】 A2.已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能【解析】 x 1＋x 2<0⇒x 1<－x 2.又∵f (x )＝x ＋x 3为奇函数，且在R 上递增，∴f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.同理：f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 3)<0.以上三式相加，整理得f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.【答案】 B3.已知－π2≤α＜β≤π2，则α－β2的范围是________. 【导学号：38000002】【解析】 ∵－π2≤α＜β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4， ∴－π4≤－β2＜π4， ∴－π2≤α－β2＜π2. 又∵α＜β，∴α－β2＜0，∴－π2≤α－β2＜0. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0 4.关于x 的不等式0≤x 2－x －2≤4的解集为________.【解析】 先解x 2－x －2≥0.∵方程x 2－x －2＝0的根为x 1＝－1，x 2＝2，∴x 2－x －2≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}.再解x 2－x －2≤4.∵方程x 2－x －2＝4的两根为x 1＝－2，x 2＝3，∴x 2－x －2≤4的解集为{x |－2≤x ≤3}.∴原不等式的解集为{x |x ≤－1，或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}.【答案】 {x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，求实数a 的取值范围. 【解】 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增.又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴f (2－a 2)>f (a )⇒2－a 2>a ⇒a 2＋a －2<0⇒－2<a <1.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
不等式的性质与一元二次不等式
..不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比拟大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab＝1⇔a ＝ba b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0)．2、不等式的根本性质3、不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质：①a >b ，ab >0⇒1a <1b ；②a <0<b ⇒1a <1b ；③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d .；④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a..(2)有关分数的性质：假设a>b>0，m>0，那么，①ba<b＋ma ＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)；②ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0)4、“三个二次〞的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－b2a}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ∅∅5、常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}..选择题：设a <b <0，那么以下不等式中不成立的是()A.1a >1bB.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b 解析 由题设得a <a －b <0，∴有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a 不成立．假设a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，那么()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 解析 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln44ln3＝log 8164<1，∴a >b ；b c ＝5ln44ln5＝log 6251024>1，∴b >c ，即c <b <a假设a ，b ∈R ，假设a ＋|b |<0，那么以下不等式中正确的选项是()A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0 解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是()A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，∴使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b，那么M ，N 的大小关系是()A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定 解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab (1＋a )(1＋b )>0..实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，那么a ，b ，c 的大小关系是() A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >a D ．a >c >b 解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，那么A ，B 的大小关系是() A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ≤B 解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，那么M 与N 的大小关系是() A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，那么m ，n 的大小关系为()A ．m ≥nB ．m >nC ．m ≤nD ．m <n 解析 m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x 2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)， n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0.那么有x ∈R 时，m >n 恒成立a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么以下选项中一定成立的是()..A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0，由b >c 得ab >ac 一定成立．设a >b >1，c <0，给出以下三个结论：①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是()A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 解析 由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >cb，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确；∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．设a ，b ∈R ，那么“(a －b )·a 2<0〞是“a <b 〞的() A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值围是()A ．(0，5π6)B ．(－π6，5π6)C ．(0，π) D．(－π6，π)解析 由题设得0<2á<ð，0≤â3≤ð6，∴－ð6≤－â3≤0，∴－ð6<2á－â3<ð.假设集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，那么A ∩B 等于()..A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1) 解析 依题意，可求得A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，¡àA ∩B ＝(－1,1)．集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，那么(∁R P )∩Q 等于()A ．[2,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1<x ≤3}，那么(∁R P )∩Q ＝(2,3]不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，那么不等式x 2－bx －a <0的解集是()A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)假设一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值围为()A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0) 解析 2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么必有⎩⎨⎧2k <0，Ä＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0.设a 为常数，任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，那么a 的取值围是()A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4) 解析 任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，那么必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Ä＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4...假设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，那么f (x )，g (x )的大小关系是()A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＞g (x )C ．f (x )＜g (x )D ．随x 的值变化而变化 解析f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x )．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，那么不等式f (x )＞3的解集为________解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是()A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2，x >0，那么不等式f (x )≥x 2的解集为()A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2] 解析 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．假设集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，那么实数a 的取值围是()..A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Ä＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，∴0≤a ≤4不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于()A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析 由题意，得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 那么不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}． 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3假设不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，那么a 的值为()A.－1－52B.1－52C.－1±52D.1±52解析 假设不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，那么x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Ä＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52，所以选D.假设不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值围为()A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4填空题：设a >0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，那么P 与Q 的大小关系是_____ 解析 由题意可知a >1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)>0，∴a 3－1>a 2－1，∴log a (a 3－1)>log a (a 2－1)，即P >Q ...设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，那么x ，y ，z 的大小关系是________ 解析 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，那么x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .设f (x )＝ax 2＋bx ，假设1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，那么f (－2)的取值围是________解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.假设关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，那么实数m 的值为________． 解析 因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}．∴1，2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.假设关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，那么a 的取值围为________ 解析 由题意可知，Ä>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，那么x 的取值围是_______ 解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.函数f (x )＝x 2＋mx －1，假设对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，那么实数m 的取值围是______ 解析 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，..那么有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，那么实数a 的取值围是________解析 ∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3，∴实数a 的取值围是{a |a >－3}．假设0<a <1，那么不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是_____________解析 原不等式即(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，那么实数a ＝________.解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0，依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2.设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，假设f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，那么实数a 的取值围是________解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0，∴－1<a <23. 假设不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，那么实数a 的取值围是________．解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Ä＝a 2＋8＞0，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根， 于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ¡Ê⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.. .假设关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，那么关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________ 解析 由ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，那么实数λ的取值围为________解析 因为a 2＋8b 2≥ëb (a ＋b )对于任意的a ，b ¡ÊR 恒成立，所以a 2＋8b 2－ëb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ¡ÊR 恒成立，即a 2－ëba ＋(8－ë)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Ä＝ë2b 2＋4(ë－8)b 2＝b 2(ë2＋4ë－32)≤0，∴(ë＋8)(ë－4)≤0，解得－8≤ë≤4.解答题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.假设对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值围．解 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 又∵m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可，∴m 的取值围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)假设m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)假设a >0，且0<x <m <n <1a，比拟f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；. .当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0，∴f (x )－m <0，即f (x )<m .f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)假设不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，数a ，b 的值．解(1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋23，∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.，即a 的值为3±3，b 的值为－3.专项能力提升假设a >b >0，那么以下不等式中一定成立的是()A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b 解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∴当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，应选A.. .设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，那么a ∶b ∶c 等于() A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎨⎧－b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ， ∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么以下选项中不一定成立的是()A.c a <b aB.b －a c >0C.b 2c <a 2cD.a －c ac<0 解析 ∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －ac >0，a －c ac<0， 但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c 不一定成立函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，假设不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，那么f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是()A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，那么f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，应选D.函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集是(). .A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞)B ．(－32，12)C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞)D ．(－12，32) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12.假设关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，那么a 等于()A.52B.72C.154D.152解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，那么b 的取值围是()A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像的对称轴为直线x ＝1，那么有a 2＝1，故a ＝2，由f (x )的图像可知f (x )在[－1,1]上为增函数． ∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m )－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，那么实数m 的取值围是_____解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，. .即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32.函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，假设关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，那么实数c 的值为________解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a 2＋c ∴⎩⎨⎧－a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6.②，②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.。
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Δ >0
{x|x<x1 _______ 或x>x2} _______ {x|x1<x<x2} ___________
Δ =0
{x|x≠x1} _________
Δ <0
R
ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
∅
∅ __
【金榜状元笔记】 1.倒数性质的几个必备结论 (1)a>b,ab>0⇒ 1 < 1 .
2 ï í ï 1 ï b＝ ［f (1)- f (- 1)］ . ï ï 2 î
所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
考向一 【典例1】
比较大小及不等式性质的应用
(1)(2016·北京高考)已知x,y∈R,且x>y>0,则 (
1 1 A. x y C.( 1 ) x 2
)
>0
1 y <0 ( ) 2
B.sin x-sin y>0 D.ln x+ln y>0
(2)设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________.
【巧思妙解】(特值验证)易知x=2,y=1时A选项为负值,
1 p 排除A,x=π,y= ,B选项为负值排除B,若x=1,y= , 2 2
D选项为负值,故排除D,选C.
(2)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
第六章 第一节
不等式、推理与证明
不等式的性质及一元二次不等 式
【教材基础回顾】
1.两个实数比较大小的依据
> = < (1)a-b>0⇔a__b.(2)a-b=0 ⇔a__b.(3)a-b<0 ⇔a__b.
2.不等式的基本性质 b<a a>c (1)对称性:a>b⇔____.(2) 传递性:a>b,b>c⇒____. (3)可加性:a>b⇒a+c>b+c.(4)可乘性:a>b,c>0⇒ ac<bc ac>bc ______;a>b,c<0 ⇒______. a+c>b+d (5)加法法则:a>b,c>d⇒________.
祆 m＋n＝4， m＝3， 镲 镲 于是得 眄 解得 镲 n - m＝- 2， n＝ 1. 镲 铑
所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10. 答案:[5,10]
【一题多解微课】解决本例(2)还可以采用以下方法: ì f (- 1)＝a - b， ï ï (解方程组法)由 í ï ï î f (1)＝a＋b， ì 1 ï ï ï a＝ ［f (- 1)＋f (1)］，
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根
有两个相异 __________ 实根x1,x2 _________ (x1<x2) _______
有两个相 _________ 等实根 _______
_没有实 数根
判别式Δ =b2-4ac
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集
1 1 (2)a<0<b⇒ < . a b a b (3)a>b>0,0<c<d⇒ > . c d (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒ 1 < 1 < 1 . b x a a b
2.两个重要不等式 若a>b>0,m>0,则
b b ＋m b b ；> (1) < a a＋m a a a a＋m a a 2 ；< ( ) > b b＋ m b b m (b - m > 0). m m (b - m > 0). m
(
)
【解析】选B.由题设得a<a-b<0,所以有
1 1 c < ? a- b a a- b c ， 所以B中式子不成立. a
2.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x| 2x-3>0},则A∩B= (
3 A.(- 3, - ) 2 3 C.(1, ) 2
)
3 B.(- 3, ) 2 3 D.( ,3) 2
a 0, 若a≠0,则由题意,得 2 a 4a 0,
解得-4≤a<0,综上,得a∈[-4,0]. 答案:[-4,0]
【母题变式溯源】 题号 知识点 源自教材 1 比较大小 P74·例1 2 一元二次不等式的解法 P80·习题3.2A组T4 一元二次不等式的恒成 3 P103·A组T3 立问题
3.一元二次不等式的解法技巧 求不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,先求出对应方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根,再根据口诀:大于取两边,小于 取中间求解集.
【教材母题变式】 1.设a<b<0,c>0,则下列不等式中不成立的是
c c A. ＞ a b C. a c > - bc c c B. > a- b a - a D. > c - b c
1 1 【解析】(1)选C. = y - x <0;当x=π ,y= p 时, x y xy 2 sin x-sin y<0;函数y= ( 1 ) x 在R上单调递减,所以 2 1 时,ln x+ln y<0. 1 x 1 y 1 x 1 y 当 x=1,y= ( ) ＜( ) ，即( ) - ( ) ＜0. 2 2 2 2 2
ac>bd (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒______. an>bn (7)乘方法则:a>b>0⇒_____(n∈N,n≥1).
n a > b (8)开方法则:a>b>0⇒_________ (n∈N,n≥2). n
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程 的关系 判别式Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 Δ >0 Δ =0 Δ <0
【解析】选D.A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},
3 3 B={x|2x-3>0}= {x|x > } .所以A∩B= {x| < x < 3} . 2 2
3.已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有 f(x)≤0,则实数a的取值范围是________.
【解析】若a=0,则f(x)=-1≤0恒成立,