人教版2020届高三数学第一次模拟考试试题新版新人教版

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2020届高三第一次质量检测数学试卷(含答案)

高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =▲．2．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的▲条件． 3．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1=1q 2，且S 5=S 2+7，则首项a 1的值为▲．4．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为▲． 5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为▲．6．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f +++⋯+f (50)=▲．7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为▲．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为▲． 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑▲．10.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为▲．11．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是▲．12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是▲．13．已知当x ∈[0,1]时，函数y =(mx −1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是▲．14．设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=2 f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x(x −1)．若对任意x ∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m 的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17.（本小题满分15分）已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-．（1）2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域；（2）0a >，解关于x 的不等式()0F x ≥．18．（本小题满分15分）如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形ABCD 组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点P ），为了固定该设备，计划除从隧道最高点Q 处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自,A B 两点分别使用钢管支撑.已知道路宽8AB cm =，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为L .（1）①设PQ x =，将L 表示为关于x 的函数； ②设PAB θ∠=，将L 表示为关于θ的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？19.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+．（1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数2()(1),()ln (,)f x x a x a g x x b x a b R =++-=-∈ (1)当2b =时，求函数()g x 的单调区间；(2)设函数(),1()(),1f x x h x g x x ≤⎧=⎨>⎩若0a b +=，且()0h x ≥在R 上恒成立，求b 的取值范围；(3)设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +≥，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围.高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.(–∞，1)2.充分不必要条件3.144.a c b <<5.1010.16.27.a n =3-2n8.439.2nn+110.[1,2) 11.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.44013.(0,1]∪[3,+∞)14.（−∞,73]二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . （1）当S =∅1−m >1+m ⟹m <0 （2）当S ≠∅则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[−∞,3]．16.解：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.1）22221(13)()()()12123(01)x x x F x f x g x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=-=---=⎨+-≤<⎪⎩………2分13x ≤≤，221[0,4]x x --∈……………………………4分 01x ≤<，223[3,0)x x +-∈-……………………………6分所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-……………………………7分（2）(1)(1) (1)()(1)(1) (1)x x a x F x x x a x -+-≥⎧=⎨-++<⎩……………………………9分1x ≥，()0F x ≥，0a >，令(1)12a a --=-①当2a ≥时，(1)1a -≥，所以1x ≤或1x a ≥-，即：1x =或1x a ≥- ②当02a <<时，(1)1a -<，所以1x a ≤-或1x ≥，即：1x ≥1x <，()0F x ≥，0a >得：1x a ≤--或1x ≥1x a ⇒≤--……………………13分综上：当2a ≥时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x =或1x a ≥- 当02a <<时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x ≥……………………15分18．解（1）延长QP 交AB 于点E ，则⊥QE AB ，且E 为AB 的中点，所以142EA EB EQ AB ====，由对称性可知，PA PB =. ①若PQ x =，则04x <<，4EP x =-，在Rt PAE ∆中，PA ==所以)204L PQ PA x x =+=+<<，②若PAB θ∠=，则04πθ<<，在Rt PAE ∆中，4cos cos AE PA θθ==，tan 4tan PE AE θθ==，所以44tan PQ QE PE θ=-=-，所以42sin 244tan 2440cos cos 4L PQ PA θπθθθθ-⎛⎫=+=-+⨯=+⨯<< ⎪⎝⎭. （2）选取②中的函数关系式，2sin 440cos 4L θπθθ-⎛⎫=+⨯<< ⎪⎝⎭，记()2sin 0cos 4fθπθθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则由()22sin 10cos f θθθ-'==及04πθ<<可得，6πθ=，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f θ'<，此时()fθ单调递减，当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0f θ'>，此时()f θ单调递增，所以当6πθ=时，()fθ取得最小值，从而钢管总长度为L 取得最小值，即所用的钢管材料最省.19.解：（1）k 的值为﹣1；（2）①②。

部编版2020届高三数学一模检测试题理(含解析)新人教版

2019届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．．．．．.．．．．、草稿纸上答题无效4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式：球的体积公式：第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1. 集合，集合，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】集合集合，........................则.故选B.2. 已知复数，，,是虚数单位，若是实数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】复数，，.若是实数，则，解得.故选A.3. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为.若双曲线与直线无交点，则.离心率.所以.故选D.4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，再沿着走到用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )米.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．考点：1．扇形面积公式；2．余弦定理求三角形边长5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.由题意知.所以，解得.故选A.6. 下列判断错误的是A. 若随机变量服从正态分布,则；B. 若组数据的散点都在上，则相关系数；C. 若随机变量服从二项分布：, 则；D. 是的充分不必要条件；【答案】D【解析】对于A.若随机变量服从正态分布，则，由得.,A正确；对于B.若组数据的散点都在上，则相关系数，B正确；对于C. 若随机变量服从二项分布：, 则；对于D.若，未必有，例如当时，，充分性不成立，D错误.故选D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序：均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；均为偶数，且所以；不均为偶数，且所以;不均为偶数，且所以.此时，所以输出.故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，.令，若在区间内，函数有4个不相等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，是定义在R上的周期为2的偶函数，令,作其与y=f(x)的图象如下，函数有4个不相等实根，等价于与y=f(x)有4个交点，所以，解得.故选C.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为A. B. C. D.【答案】C【解析】架“歼—”飞机着舰的方法共有种，乙机最先着舰共有种，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：.故选C.10. 2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程,计算器显示线段，则线段的曲线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题中示例可知：之所以可以表示为之所以可以表示线段.因为方程等价于，即，即为线段.由此可得题中线段的方程为：，等价于.故选A.11. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可知，故外接球面积为.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.12. 设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】设.恒过(，恒过(1,0)因为存在唯一的整数，使得，所以存在唯一的整数，使得在直线下方. 因为，所以当时，,单调递减；当时，,单调递增.所以.作出函数图象如图所示：根据题意得：，解得：.故选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系..第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13. 的展开式的常数项为_______________．【答案】70【解析】试题分析：的展开式中第项为令可得故展开式中的常数项为，故答案为.考点：二项展开式定理的应用.14. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为__________．【答案】2【解析】函数的图象向右平移个单位，得到函数，y=g(x)在上为增函数，所以，即：ω⩽2，所以ω的最大值为：2.故答案为：2.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.15. 已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得，又,则∠AOB=30°，由正弦定理得，解得.故答案为.16. 给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为___________．①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是；②“”是“成等比数列”的必要不充分条件；③，；④若，则.【答案】②③④【解析】①,∵在区间(−1,1)上存在一个零点，∴,解得或，故①错误；②，若“”，则不一定成等比数列，例如，但“成等比数列”则有，所以“”成立，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故②正确；③,由图可知,单位圆O中，，设,又，所以，故③正确；④,∵为增函数,均为减函数，∴，故④正确；故答案为②③④.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在．．答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．.）17. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且, . （1）求数列和的通项公式;（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,且,平面.（1）求与平面所成角的正弦值;（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积的坐标形式进行求解；（2）依据题设条件，运用向量的坐标形式建立方程，即判定方程是否有解：解：（1）依题意，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，从而.设平面的法向量为,则，且，即，且，不妨取，则，所以平面的一个法向量,此时，所以与平面所成角的正弦值为；（2）设，则则，由得，化简得，，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足.19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男人，女人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为，求的分布列和.附表及公式：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算K2，对照附表做结论；（2）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．试题解析：（1）由表中数据得的观测值：，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）可能取值为，，，，的分布列为：.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若、分别是椭圆的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于与点.证明：为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出，为此要列出关于的两个等式，由椭圆的性质及，四边形是边长为2的正方形，知；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设，写出直线方程，再代入椭圆方程求得点坐标，然后直接计算，可得定值．试题解析：（1），，∴，∴椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆得，∵，∴，，∴，∴（定值）考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a，b的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 （m>0，n>0，且m≠n）．2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值．21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出，设令,通过求导进行证明．试题解析：（1）函数的定义域为..，方程的判别式.①当时，，∴，故函数在上递减；②当时，，由可得，.函数的减区间为；增区间为.所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减.（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，且.设，则，，所以在上递增，，所以.考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）若，求的值.【答案】（1）曲线，直线；（2）.【解析】试题分析：（1）将曲线C的方程两边分别乘以，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程，对直线方程，消去参数t,即可化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t二次方程，利用根与系数关系及参数t的几何意义，即可求出|PM|+|PN|的值.试题解析：(1)曲线C的直角坐标方程为，直线的普通方程. 6分(2)直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2则所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=14分考点：直角坐标方程与参数方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程互化；直线的参数方程中参数的意义；直线与抛物线的位置关系.23. 选修4—5：不等式选讲已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得的解集为，由绝对值不等式的解法即可得；（2）将代入得，可得,展开运用基本不等式即可证得.试题解析：（1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为.又的解集为，故（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：，当且仅当时取等号，所以.。

2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)_3

2020届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.若复数，则（）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；B. ，值域为，奇函数，排除；C. ，值域为，奇函数，满足；D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.4.设等差数列的前项和为，若，则（）A. 10B. 9C. 8D. 7【解析】【分析】根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设则以线段为直径的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.6.设为非零实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.设为非零向量，则“”是“与共线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D【解析】【分析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.实数解，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量满足，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】根据题意计算，解得答案.【详解】，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线得到，，计算得到离心率.【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】分析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象能力和计算能力.17.已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析【解析】【分析】选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，，.故分布列为：.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值; (Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.(Ⅱ)设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.(Ⅲ)设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.【详解】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形.【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；当为奇数时，时，最大为；综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，故.综上所述：.当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，故；当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.综上所述：使成立的为：或.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2020届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.若复数，则（）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】【分析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；B. ，值域为，奇函数，排除；C. ，值域为，奇函数，满足；D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.4.设等差数列的前项和为，若，则（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设则以线段为直径的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.6.设为非零实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.设为非零向量，则“”是“与共线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D【解析】【分析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量满足，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】根据题意计算，解得答案.【详解】，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线得到，，计算得到离心率.【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】分析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象能力和计算能力.17.已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析【解析】【分析】选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，，.故分布列为：.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.(Ⅱ)设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.(Ⅲ)设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.【详解】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形.【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；当为奇数时，时，最大为；综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，故.综上所述：.当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，故；当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.综上所述：使成立的为：或.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2019-2020年高三数学第一次模拟考试理新人教A版

2019-2020年高三数学第一次模拟考试理新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，本试卷自行保存，将答题纸交回．参考公式：样本数据，，…，的标准差：22121()()n s x x x x x x n 2=[-+-+⋯+(-)]，其中为样本平均数；柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．若i 为虚数单位，且复数满足，则复数的虚部是（）A ．B ．C ．D ． 2．已知命题，则（） A ． B ． C ． D ．3．在等差数列中，若，则等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6 4．设随机变量服从正态分布.若，则的值为（） A ． B ． C ． D ． 5．已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（） A ． B ．C ．D ． 6．已知点的坐标满足条件则点到直线的距离的最小值为（） A ． B ． C ． D ． 7．函数的部分图象大致是（）8．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A．B．C．D．9．若函数的图象与x轴交于点A，过点A的直线与函数的图象交于B、C两点，则（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心在坐标原点，边长为，平行于轴，直线(为常数)与正六边形交于两点，记的面积为，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与有关第Ⅱ卷（非选择题共100分）本卷包括必答题和选答题两部分．第21（1）、（2）、（3）题为选考题，请考生根据要求选答；第16题~第20题为必答题，每个试题考生都必须做答．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）11．展开式中常数项为．12．已知函数若，则等于．13．某班级有50名学生，现要采取等距系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，…，第十组46—50号．若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.14．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为．15．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：①若，P(2,－1)，则；②若，，则；③若，，则；④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．其中正确结论的序号是___________（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分13分)如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且．将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；17．(本小题满分13分)函数部分图象如图所示，其图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和ABCDE图1 图2A1BCDE第14题图（Ⅰ）求的解析式及的值；（Ⅱ）在中，、、分别是角、、的对边，若，的面积为，求、的值.18．(本小题满分13分)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙．已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．假设汽车(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；(Ⅱ)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为万元、万元(其它费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(Ⅰ)所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润=(销售商支付给生产商的费用)一(一次性费用)) ．19．(本小题满分13分)已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换选做题已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.(Ⅰ) 求矩阵A；(Ⅱ) 矩阵B=，点O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩阵AB的对应变换作用下所得到的的面积. （2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程选做题在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）判断曲线与曲线的交点个数，并说明理由．（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲选做题已知函数，不等式在上恒成立．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．南安一中xx 届高三毕业班第一次模拟考试数学科试卷参考答案 1．【解析】D ．，故复数的虚部是． 2．【解析】A ．全称命题的否定是特称命题，所以. 3．【解析】C ．由于，所以，解得． 4．【解析】B ．因为，所以，从而12(2)120.2(01)0.322P P ξξ-≥-⨯<<===．5．【解析】B ．第1次循环，s=1+1=2 ，n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4， n=2+1=3；当执行第10项时，，的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值，故答案为或. 6．【解析】C ．作出可行域，可知可行域内的点到直线的距离的最小，其值为． 7．【解析】C ．函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B ；当时，，排除D ；，由，得，所以函数的极值有很多个，所以选C. 8．【解析】B ．因为双曲线的渐近线为，要使直线与双曲线无交点，则直线，应在两渐近线之间，所以有，即，所以，，即，，所以． 9．【解析】D ．由，解得，即，过点A 的直线与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，是的中点，所以，所以22()222432OB OC OA OA OA OA +⋅=⋅==⨯=.10．【解析】B ．设点、关于原点的对称点分别为为、，可知、在正六边形的边上．当直线在某一个确定的位置时，对应有一个的值，那么易得直线的斜率仍为，对应的截距为，显然的面积与的面积相等，即函数关于轴对称，所以是偶函数． 11．【解析】．展开式的通项为，由，得，所以常数项为． 12．【解析】或．当时，由，得；当时，由，得． 13．【解析】37．因为，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为号． 14．【解析】．由三视图可知，该几何体是一个放到的四棱锥，其中四棱锥的底面是主视图，为直角梯形，直角梯形的上底为1，下底为4，高为 4.又棱锥的高为4，所以四棱锥的体积为．15．【解析】①②④．①若，P(2,－1)，则，2222121122121(2)4444cos601541132OP =-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯⨯=e e e e e e e e ，所以，①正确；若，，则，，所以，即，所以②正确；，，则，，所以111221221212122112()()())OP OQ x y x y x x y y x y x y ⋅=+⋅+=+++⋅e e e e e e ，所以③错误；若，以为圆心，1为半径的圆，设圆上的任意一点，由，可得，即，所以，所以④正确，故填①②④．16．【解析】（Ⅰ）在图1△中，．. …………………………2分又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.…………………………4分由1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………6分（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………7分．…………………………8分设为平面的一个法向量，因为所以，令，得.所以为平面的一个法向量． ……………………10分设与平面所成角为．则．所以与平面所成角的正弦值为．……………13分 17．【解析】（Ⅰ）由图可知，．设函数的周期为，则，所以，所以． ……………2分此时，．又点在图象上，所以，可得，因为，所以． ……………………………………………4分所以的解析式为． …………………………………5分[ ，所以又因为是最小的正数，所以．……………………………………………………8分（Ⅱ）由，得，即．，，所以，所以．…………………10分由，得，① 由，得，即，② 从而得，③解①③得．………………………………………13分………………………………………………………2分设分别表示汽车A 在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；分别表示汽车B 在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；，，所以汽车A 应选择公路1，……………………………4分，，所以汽车B 应选择公路2．…………………6分（Ⅱ）设表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则. 的分布列如下：42 40 38 36()420.2400.4380.2360.239.2P X=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以表示汽车A选择公路1时的毛利润为（万元）．…………9分设表示汽车B选择公路2时给生产商的费用，则则的分布列如下：()440.1420.4400.4380.141P Y=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以表示汽车B选择公路1时的毛利润为（万元）．因为，所以汽车B为生产商获得毛利润更大．……………12分19．【解析】（Ⅰ）椭圆的两焦点与短轴的一个端点连线构成等腰直角三角形，所以，故椭圆的方程为．又因为椭圆经过点，代入可得，………………………………………2分所以，故所求椭圆方程为．………………………………………4分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为；当直线的斜率不存在时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为，由解得即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是．………………8分事实上，点就是所求的点．证明如下：当的斜率不存在时，以为直径的圆过点．………………………………9分若的斜率存在时，可设直线为，由消去得．记点、，则…………………………10分又因为，所以1212121244(1)(1)()()33 TA TB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--916918123491816)1(222=++⋅-+-⋅+=kkkkk．所以，即以为直径的圆恒过点，…………………………………12分所以在坐标平面上存在一个定点满足条件．……………………………………13分20．【解析】函数的定义域为，．…………………………………………………1分（Ⅰ）当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数的定义域为．（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………5分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；………………6分由，即，得．………………………7分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……………………………………8分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．…………………………………………………9分（Ⅲ））因为存在一个使得，则，等价于.………………………………………………10分令，等价于“当时，”.对求导，得. ……………………………………………11分因为当时，，所以在上单调递增. ……………13分所以，因此. …………………………………………14分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当时，. ………………………………………10分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，不满足题意. …………………………………11分（2）当时，令得.（ⅰ）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，，所以. …………………………………………………………12分（ⅱ）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.…………………………………………………13分（ⅲ）当，即时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………14分21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得，所以…………2分解得故A=. ……………………………………………………3分(Ⅱ) AB==，所以，，，……………5分即点O，M，N变成点O′(0，0)，M ′(4，0)，N ′(0，4)，的面积为.…………………………………………………7分（2）【解析】（Ⅰ）由已知得……………………………………1分消去参数,得．………………………3分（Ⅱ）由得曲线的直角坐标方程为, ………4分由消去,得，……………………5分解得……………………6分故曲线与曲线只有一个交点．……………………7分（3）【解析】（Ⅰ）因为，所以. …………………2分因为不等式在R上恒成立，所以，的取值范围为. …………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由柯西不等式得：，所以. ……………5分当且仅当即时，的最大值为. ……………7分。

高三数学(理)第一次高考模拟考试(2020届附答案)

n=5 s=0 WHILE s<15 S=s + n n=n －1 WEND PRINT n END (第5题)2020届高三数学（理）第一次高考模拟考试（附答案）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．满足条件{1,2}{1,2,3}A ⋃=的集合A 有（）A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个2．已知445sin sin cos ααα=-则的值为（）A ．—35B ．—15C ．15D ．353．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，值域为[—2，3]，则()()y f x x =∈R 的值域为（）A ．[—2，2]B ．[—2，3]C ．[—3，2]D ．[—3，3]4．棱长为1的正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，11AB BC ⋅的值为（）A ．1B ．—1C ．2D ．—25．右边程序执行后输出的结果是（） A 1- B 0 C 1 D 26．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种8．曲线||2||2x y +=的图象大致是（）9．已知双曲线方程22221(0)x y a b a b-=>>，过右焦点F 2且倾斜角为60°的线段F 2M 与y轴交于M ，与双曲线交于N ，已知224MF NF =，则该双曲线的离心率为（）A．13- B1- C．13+ D110．如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|()|||f x M x ≤恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛涵，下面四个函数；①()f x =1②()f x =x 2 ③()(sin cos )f x x x x =+④2()1xf x x x =++ 其中属于有界泛函的是（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2020届高三数学第一次月考试题文(含解析)新人教

2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。

2020届高三第一次(1月)模拟考试数学试题(有答案)

2020 届高三年级第一次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合 A = {0，+∞) ，全集U = R ，则C U A =______.2.设复数 z = 2 + i ，其中i 为虚数单位，则 z ⋅ z = _________.3.学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为_________.4.命题“∀θ ∈ R ，cos θ + sin θ > 1 ”的否定是________命题（填“真”或“假”） .5.运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为________.6.已知样本 789，x ，y 的平均数是 9，且 xy = 110 ，则此样本的方差是_______7.在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y 2 = 4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点O 的距离为________.8.若数列{a n }是公差不为 0 的等差数列， ln a 1、 ln a 2、 ln a 5 成等差数列，则21a a 的值为______.9.在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，点 P 是棱CC 1 上一点，记三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 与四棱锥 P- ABB 1A 1的体积分别为V 1和V 2 ，则21V V ＝_______. 10.设函数的图像与 y 轴交点的纵坐标为32， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω 的值为______. 11.已知 H 是 ∆ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则cos ∠BAC 的值为______.12.若无穷数列{cos(ωn )}(ω ∈R ) 是等差数列，则其前10项的和为______.13.已知集合 P = {(x ，y ) ｜x ｜x ｜+ y ｜y ｜= 16}，集合Q = {(x ，y ) ｜kx +b 1 ≤ y ≤ kx +b 2} ，若 P ⊆ Q ，则的最小值为______.14.若对任意实数 x ∈(∞-，1]，都有≤1成立，则实数 a 的值为______.二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分 14 分）已知 ∆ABC 满足 2cos （B ＋6π）＝2cosB （ 1）若 cos C ＝63，AC =3，求 AB ；（ 2）若A ∈（0，3π），且 cos( B －A) ＝45 ，求 sin A .16.（本小题满分 14 分）如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC 1上的一点.（ 1）若 AC 1 ∥平面 PBD ，求1PC PC的值；（ 2）求证： BD ⊥ A 1P .17.（本小题满分 14 分）如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶。

2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)_2

2020届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）考生须知：1.本试卷共5页，共两部分，20道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简,再和求交集.【详解】解：,又因为所以,即.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.2.设复数，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先把复数化成的形式,即可得出对于的象限.【详解】解：所以在复平面内对应的点在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,属于基础题.3.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解.【详解】解：,,,所以,即.故选：A【点睛】本题考查三个数大小的比较,是基础题,要注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用.4.若，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质,特殊值排除法和基本不等式解题.【详解】因为：对于A：当,所以,故A错误；对于B：因为,所以,故B错误；对于C：因为,所以,故C错误；对于D：因为,所以,又因为,则,故不取等,即,故D正确；故选：D【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力.5.抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（）A. B. 8 C. 4 D. 1【答案】B【解析】【分析】分别求出抛物线与双曲线的焦点,两焦点为同一焦点,即可得出的值.【详解】解：抛物线的焦点为,双曲线,为,则,,焦点为：或,所以有,解得或,又因为,所以.故选：B【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点,是基础题.6. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. B. 12C. D. 8【答案】D【解析】试题分析：由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，高为，所以侧面的斜高为，所以该几何体的侧面积为．考点：三视图；四棱锥的侧面积．点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，发挥自己的空间想象力，把立体图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系．7.设非零向量，满足，则“”是“与的夹角为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直数量积等于零，利用充分性、必要性的定义即可求解.【详解】由，则，即，若，则，即与的夹角为，充分性满足；若与的夹角为，则，由，所以，必要性满足；所以“”是“与的夹角为”充分必要条件.故选：C【点睛】本题考查了充分性、必要性定义，同时考查了向量的数量积定义运算，属于基础题.8.当时,若函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,由二次函数的性质分析可得为二次函数,在区间为减函数,在区间为增函数,分和两种情况,结合图象分析两个函数的单调性与值域,即可得出正实数的取值范围.【详解】解：当时,又因为为正实数,函数的图象二次函数,在区间为减函数,在区间为增函数;函数,是斜率为的一次函数.最小值为,最大值为;①当时,即时,函数在区间为减函数,在区间为增函数,的图象与的图象有且只有一个交点,则,即,解得,所以②当时,即时,函数在区间为减函数,在区间为增函数,在区间为增函数,的图象与的图象有且只有一个交点,则即的图象与的图象有且只有一个交点,解得或综上所述：正实数的取值范围为.故选:B【点睛】本题考查函数的交点问题,涉及函数单调性的应用,关键是确定实数的分类讨论.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.____.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.【详解】解：.故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数.10.设为公比的等比数列的前项和,且，，成等差数列，则__________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先设等比数列的通项公式,再根据,,成等差数列,利用等差中项列方程,求出公比,再代入即可解出本题.【详解】解：设等比数列的通项公式,又因为,,成等差数列,所以,即,又因为等比数列中,则,解得或,又因为,所以.所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差中项以及等比数列的前项和公式,属于基础题.11.若函数，则函数的零点是___________.【答案】0或【解析】【分析】先令等于,再根据分段函数分情况求解.【详解】解：要求函数的零点,则令,即,又因为：,①当时,,,解得.②当时,,,解得（负值舍去）,所以.综上所以,函数的零点是0或.故答案为：0或【点睛】本题考查函数的零点,以及已知函数值求分段函数的定义域,属于基础题.12.在中，若，，，则_________.【答案】5【解析】【分析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解.【详解】解：因为在中,,,,由余弦定理：,,所以.故答案为：【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.13.直线与圆相交于两点,当的面积达到最大时,________.【答案】【解析】【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径,同时把直线的方程整理为一般式方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离,即为圆中弦的弦心距,根据垂径定理得到垂足为弦的中点,由圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理表示出弦的长度,然后利用三角形的面积公式底乘以高除,用含有的式子表示出三角形的面积,并利用基本不等式求出面积的最大值,以及面积取得最大值时的值,从而列出关于的方程,求出方程的解即可得到面积最大时的值.【详解】解：由圆,得到圆心坐标为 ,半径,把直线的方程为,整理为一般式方程得：,.圆心到直线的距离弦的长度,,又因为,当且仅当时取等号,取得最大值,最大值为.解得故答案为：【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：圆的标准方程,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及基本不等式的应用,当直线与圆相交时,常常由弦长的一半,弦心距,以及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.14.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为,观影人数记为,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为,,即为票价,当时,,则为固定成本,由图象(2)知,直线向上平移,不变即票价不变,变大,则变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,变大,即提高票价,不变,则不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.函数的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）求在区间的最大值与最小值及对应的x的值.【答案】（1）；（2），此时；，此时；【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆应用将函数化为，根据三角函数的图像可得，利用周期公式即可求解.（2）由（1）可得函数，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由，则，由三角函数的图像可知，所以，解得.（2）由（1）可得，因为，所以，当即时，函数；当即时，函数.【点睛】本题考查了三角恒等变换、根据三角函数图像求解析式、三角函数的性质，属于基础题.16.已知四棱锥中,底面是正方形,平面,,是的中点.（1）求证：平面平面;（2）求二面角的大小;（3）试判断所在直线与平面是否平行,并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）AE与平面PCD不平行,详见解析【解析】【分析】（1）先根据条件证平面,又因为平面,所以可以证得平面平面.（2）根据条件得两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,设平面的法向量,求出法向量,根据公式求出两个法向量的余弦值,即可得出二面角的大小.（3）依题意可证平面,则平面的法向量为,又∵,则与不垂直,证得与平面不平行.【详解】（1）证明：∵正方形∵⊥平面, 平面,∴∵平面∴平面又∵平面∴平面平面（2）∵平面, 平面∴又∵是正方形∴∴两两垂直∴以为原点如图建系,设∴, , , , ,∴又∵平面∴平面的法向量设平面的法向量则,∴令,得∴∴∴二面角的大小为（3）∵, ,又平面,∴平面∴平面的法向量为又∵∴与不垂直,∴与平面不平行【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查用向量法求二面角的夹角,是立体几何中的基础题,掌握证明的条件是解题的关键.17.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】（1）人（2）（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.（2）由表可用减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人∴估计总体中女生人数人（2）设“不及格”为事件A,则“及格”为事件∴（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则依题意可知：,所以,X的分布列为【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.18.已知函数,其中（1）当时,求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在最小值,求证:.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将代入函数,对函数求导,将代入导函数求斜率,将代入原函数求切点,最后用点斜式求曲线在点处的切线方程；（2）先求导得,讨论当时,恒成立,则在单调递增,无最小值.当时,令得或（舍）分别讨论时和时的单调性,得出所以存在最小值,.再对新函数求导,根据单调性即可得出最大值为,则得证.【详解】解：（1）时,切线斜率曲线在点处的切线方程为：即：（2）①当时,恒成立在单调递增,无最小值②当时,由得或（舍）时,,在单调递减时,,在单调递增所以存在最小值,下面证明.设函数由得,易知在单调递增,在单调递减所以的最大值为所以恒成立,得证.【点睛】本题考查利用导数求切线方程,以及含有参数的不等式的证明，利用导数求极值,属于中档题,分类讨论是关键.19.已知椭圆C：.（1）求椭圆C的离心率；（2）设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.【答案】（1）（2）以为直径的圆经过轴上的定点和,证明见解析【解析】【分析】（1）先将转化为,根据椭圆的性质得到,即可求出离心率.（2）根据椭圆方程求出,设,则①,分别求出直线和的方程,再分别与相交于点和,设以为直径的圆经过轴上的定点,则,即得②,将①代入②得解得或,得出为直径的圆是过定点和.【详解】解：（1）由得,那么所以解得,所以离心率（2）由题可知,设,则①直线的方程：令,得,从而点坐标为直线的方程：令,得,从而点坐标为设以为直径的圆经过轴上的定点,则由得②由①式得,代入②得解得或所以为直径的圆经过轴上的定点和.【点睛】本题考查已知椭圆的方程求离心率和证明椭圆中的定点问题,属于中档题.20.若无穷数列满足：只要,必有,则称具有性质.（1）若具有性质,且,求；（2）若无穷数列是等差数列,无穷数列是等比数列, ,,.判断是否具有性质,并说明理由；（3）设是无穷数列,已知.求证：“对任意都具有性质”充要条件为“是常数列”.【答案】（1）（2）不具有性质,详见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据具有性质,且,可得,又因为, ,,则,代入数据即可得结果.（2）,得出的公差和的公比,即可设和的通项公式,得出.因为,则, ,得出,所以不具有性质.（3）先证充分性：当为常数列时,.对任意给定的,只要,则由,必有.充分性得证.再证必要性：用反证法证明.假设不是常数列,则存在,使得,而.证明存在满足的,使得,但.设,取,使得,再根据条件类推,得出不具有性质,矛盾.必要性得证即可得出结论.【详解】解：（1）因为,所以,,, .所以,又因为,解得（2）的公差为,所以,的公比为,所以所以.所以,,,因为,所以不具有性质.（3）证明充分性：当为常数列时,.对任意给定的,只要,则由,必有.充分性得证.证明必要性：用反证法证明.假设不是常数列,则存在,使得,而.下面证明存在满足的,使得,但.设,取,使得,则,,故存在使得.取,因为（）,所以,依此类推,得.但,即.所以不具有性质矛盾.必要性得证.综上,“对任意,都具有性质”的充要条件为“是常数列”【点睛】本题考查数列新定义,考查等差、等比数列的定义,考查数列为基础的证明题.2020届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）考生须知：1.本试卷共5页，共两部分，20道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简,再和求交集.【详解】解：,又因为所以,即.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.2.设复数，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先把复数化成的形式,即可得出对于的象限.【详解】解：所以在复平面内对应的点在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,属于基础题.3.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解.【详解】解：,,,所以,即.故选：A【点睛】本题考查三个数大小的比较,是基础题,要注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用.4.若，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质,特殊值排除法和基本不等式解题.【详解】因为：对于A：当,所以,故A错误；对于B：因为,所以,故B错误；对于C：因为,所以,故C错误；对于D：因为,所以,又因为,则,故不取等,即,故D正确；故选：D【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力.5.抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（）A. B. 8 C. 4 D. 1【答案】B【解析】【分析】分别求出抛物线与双曲线的焦点,两焦点为同一焦点,即可得出的值.【详解】解：抛物线的焦点为,双曲线,为,则,,焦点为：或,所以有,解得或,又因为,所以.故选：B【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点,是基础题.6. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. B. 12C. D. 8【答案】D【解析】试题分析：由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，高为，所以侧面的斜高为，所以该几何体的侧面积为．考点：三视图；四棱锥的侧面积．点评：解决这类题的关键是准确分析出几何体的结构特征，发挥自己的空间想象力，把立体图形和平面图形进行对照，找出几何体中的数量关系．7.设非零向量，满足，则“”是“与的夹角为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直数量积等于零，利用充分性、必要性的定义即可求解.【详解】由，则，即，若，则，即与的夹角为，充分性满足；若与的夹角为，则，由，所以，必要性满足；所以“”是“与的夹角为”充分必要条件.故选：C【点睛】本题考查了充分性、必要性定义，同时考查了向量的数量积定义运算，属于基础题.8.当时,若函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,由二次函数的性质分析可得为二次函数,在区间为减函数,在区间为增函数,分和两种情况,结合图象分析两个函数的单调性与值域,即可得出正实数的取值范围.【详解】解：当时,又因为为正实数,函数的图象二次函数,在区间为减函数,在区间为增函数;函数,是斜率为的一次函数.最小值为,最大值为;①当时,即时,函数在区间为减函数,在区间为增函数,的图象与的图象有且只有一个交点,则,即,解得,所以②当时,即时,函数在区间为减函数,在区间为增函数,在区间为增函数,的图象与的图象有且只有一个交点,则即的图象与的图象有且只有一个交点,解得或综上所述：正实数的取值范围为.故选:B【点睛】本题考查函数的交点问题,涉及函数单调性的应用,关键是确定实数的分类讨论.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.____.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.【详解】解：.故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数.10.设为公比的等比数列的前项和,且，，成等差数列，则__________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先设等比数列的通项公式,再根据,,成等差数列,利用等差中项列方程,求出公比,再代入即可解出本题.【详解】解：设等比数列的通项公式,又因为,,成等差数列,所以,即,又因为等比数列中,则,解得或,又因为,所以.所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差中项以及等比数列的前项和公式,属于基础题.11.若函数，则函数的零点是___________.【答案】0或【解析】【分析】先令等于,再根据分段函数分情况求解.【详解】解：要求函数的零点,则令,即,又因为：,①当时,,,解得.②当时,,,解得（负值舍去）,所以.综上所以,函数的零点是0或.故答案为：0或【点睛】本题考查函数的零点,以及已知函数值求分段函数的定义域,属于基础题.12.在中，若，，，则_________.【答案】5【解析】【分析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解.【详解】解：因为在中,,,,由余弦定理：,,所以.故答案为：【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.13.直线与圆相交于两点,当的面积达到最大时,________.【答案】【解析】【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径,同时把直线的方程整理为一般式方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离,即为圆中弦的弦心距,根据垂径定理得到垂足为弦的中点,由圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理表示出弦的长度,然后利用三角形的面积公式底乘以高除,用含有的式子表示出三角形的面积,并利用基本不等式求出面积的最大值,以及面积取得最大值时的值,从而列出关于的方程,求出方程的解即可得到面积最大时的值.【详解】解：由圆,得到圆心坐标为 ,半径,把直线的方程为,整理为一般式方程得：,.圆心到直线的距离弦的长度,,又因为,当且仅当时取等号,取得最大值,最大值为.解得故答案为：【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：圆的标准方程,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及基本不等式的应用,当直线与圆相交时,常常由弦长的一半,弦心距,以及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.14.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为,观影人数记为,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为,,即为票价,当时,,则为固定成本,由图象(2)知,直线向上平移,不变即票价不变,变大,则变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,变大,即提高票价,不变,则不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.函数的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）求在区间的最大值与最小值及对应的x的值.【答案】（1）；（2），此时；，此时；【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆应用将函数化为，根据三角函数的图像可得，利用周期公式即可求解.（2）由（1）可得函数，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由，则。

2020届高三数学第一次模拟检测试题文(含解析)

2020届高三数学第一次模拟检测试题文（含解析）注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3.记是等比数列的前项和，若，则公比（）A. B. C. D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】用和表示，结合以及可求出的值.【详解】由题意可知，且，解得.【点睛】本题考查等比数列求项和中基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出向量的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出的值.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．【详解】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，∵A B，故“x＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．6.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.7.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，可得出函数的单调递增区间.【详解】令，解得，因此，函数的单调递增区间是.故选：C【点睛】本题考查余弦型三角函数单调区间的求解，解题时要熟练利用余弦函数的单调性，考查计算能力，属于中等题.8.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】，且，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及的妙用，考查计算能力，属于中等题.9.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题的序号为（）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④【答案】A【分析】逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.【详解】对于命题①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若，，则，命题②正确；对于命题③，若，，则与相交、平行或异面，命题③错误；对于命题④，若，，则或，命题④错误.故选：A.【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.10.有编号为,,的三个盒子和编号分别为,,的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】以表示编号为、、的盒子分别放编号为、、的小球，则所有的基本事件有：、、、、、，共种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：、，共个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为.故选：D.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.11.设函数，则（）A. 有极大值B. 有极小值C. 有极大值D. 有极小值【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.【详解】，定义域为，，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.14.若变量、满足约束条件：，则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，可得点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般通过平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15.已知，则_________，=__________．【答案】；1．【解析】试题分析：由题意得，,所以.考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换.16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法..改写成以下形式：若，则_________.【答案】【解析】【分析】利用霍纳算法依次计算，，在处的取值，由此可得出，从而得出结果.【详解】由霍纳算法可知，当时，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查算法思想的应用，解题的关键就是利用题中的算法逐一计算，考查计算能力，属于中等题.三、.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）如果，，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由得出，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得，结合的范围可得出角的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积.【详解】（Ⅰ），.化简得：，又，；（Ⅱ）由余弦定理得，，整理得，解之得：，.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.18.如图，长方体中，是棱的中点，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由长方体的性质可得出平面，从而可得出；（Ⅱ）由长方体的性质可得出平面，可得出三棱锥的高为，由此可计算出三棱锥的体积.【详解】（Ⅰ）证明：是长方体，平面.又平面，；（Ⅱ），是棱的中点，，，在长方体中，则平面，.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题.19.某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查了名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在和的员工中选取人.从选取的人中，再任选取人，求得分在和中各有人的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将每组的中点值乘以频数，相加之后再除以总人数即可得出所求平均数；（Ⅱ）由分层抽样可知，人中位于中的有人，分别记为、，在中的有人，分别记为、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“得分在和中各有人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】（Ⅰ）记这名员工学习得分的平均数为，则；（Ⅱ）用分层抽样可知从中选人，记这人分别为、，从中选人，记这人分别为、、.从、、、、中再任取人的情况有：、、、、、、、、、，共种.其中得分在和中各有人的情况有：、、、、、，共种.记事件为“得分在和中各有人”，则.【点睛】本题考查样本平均数的计算，同时也考考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，考查计算能力，属于中等题.20.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求实数取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.①当时，由，知函数在内单调递增；②当时，由，即得；由，即得.所以，函数在内单调递增，在内单调递减.因此，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增；在内单调递减；（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.且当时，，当时，，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.如图，已知抛物线的焦点是，准线是.（1）写出焦点的坐标和准线的方程；（2）已知点，若过点直线交抛物线于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、，求证：.【答案】（1），准线的方程为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可解题；（2）由（1）知：设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由根与系数的关系得：．直线方程为：，，当时，，，同理得：，得到，所以，所以．【详解】解：（1）抛物线的焦点为，准线的方程为：；（2）设直线的方程为：，令，，联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，由根与系数的关系得：.直线方程为：，，当时，，，同理得：.，,，，.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(二)选考题：共10分，考生从22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程(为参数)，直线的参数方程(为参数).（1）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数后化简整理即可得到曲线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，可得到关于的一元二次方程，由韦达定理并结合参数的几何意义可得，从而求得，最后写出直线的倾斜角即可.【详解】（1）由曲线的参数方程 (为参数)，可得：，由，得：，曲线的参数方程化为普通方程为：；（2）中点的极坐标化成直角坐标为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，得：，化简整理得：，，即，，即，又，直线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.23.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集；（Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，，由得.①当时，原不等式可化为：，解之得：；②当时，原不等式可化为：，解之得：且，.因此，不等式的解集为；（Ⅱ）当时，，由得，，，，，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.2020届高三数学第一次模拟检测试题文（含解析）注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3.记是等比数列的前项和，若，则公比（）A. B. C. D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】用和表示，结合以及可求出的值.【详解】由题意可知，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查等比数列求项和中基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出向量的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出的值.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．【详解】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，∵A B，故“x＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．6.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.7.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，可得出函数的单调递增区间.【详解】令，解得，因此，函数的单调递增区间是.故选：C【点睛】本题考查余弦型三角函数单调区间的求解，解题时要熟练利用余弦函数的单调性，考查计算能力，属于中等题.8.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】，且，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及的妙用，考查计算能力，属于中等题.9.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题的序号为（）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④【答案】A【解析】【分析】逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.【详解】对于命题①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若，，则，命题②正确；对于命题③，若，，则与相交、平行或异面，命题③错误；对于命题④，若，，则或，命题④错误.故选：A.【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.10.有编号为,,的三个盒子和编号分别为,,的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】以表示编号为、、的盒子分别放编号为、、的小球，则所有的基本事件有：、、、、、，共种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：、，共个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为.故选：D.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.11.设函数，则（）A. 有极大值B. 有极小值C. 有极大值D. 有极小值【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.【详解】，定义域为，，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.14.若变量、满足约束条件：，则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，可得点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般通过平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15.已知，则_________，=__________．【答案】；1．【解析】试题分析：由题意得，,所以.考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换.16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法..改写成以下形式：若，则_________.【答案】【解析】【分析】利用霍纳算法依次计算，，在处的取值，由此可得出，从而得出结果.【详解】由霍纳算法可知，当时，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查算法思想的应用，解题的关键就是利用题中的算法逐一计算，考查计算能力，属于中等题.三、.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）如果，，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由得出，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得，结合的范围可得出角的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积.【详解】（Ⅰ），.化简得：，又，；（Ⅱ）由余弦定理得，，整理得，解之得：，.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.18.如图，长方体中，是棱的中点，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由长方体的性质可得出平面，从而可得出；（Ⅱ）由长方体的性质可得出平面，可得出三棱锥的高为，由此可计算出三棱锥的体积.【详解】（Ⅰ）证明：是长方体，平面.又平面，；（Ⅱ），是棱的中点，，，在长方体中，则平面，.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题.19.某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查了名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：得分人数（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在和的员工中选取人.从选取的人中，再任选取人，求得分在和中各有人的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将每组的中点值乘以频数，相加之后再除以总人数即可得出所求平均数；（Ⅱ）由分层抽样可知，人中位于中的有人，分别记为、，在中的有人，分别记为、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“得分在和中各有人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】（Ⅰ）记这名员工学习得分的平均数为，则；（Ⅱ）用分层抽样可知从中选人，记这人分别为、，从中选人，记这人分别为、、.从、、、、中再任取人的情况有：、、、、、、、、、，共种.其中得分在和中各有人的情况有：、、、、、，共种.记事件为“得分在和中各有人”，则.。

学2020届高三数学一诊模拟试题文(含解析)

学2020届高三数学一诊模拟试题文（含解析）第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知全集为，集合，，则元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析】求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数【详解】由，可得：，所以，即元素个数为2，故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题．2.某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的基本事件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的基本事件个数，最后利用古典概型公式计算即可．【详解】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，基本事件总数，所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的基本事件个数为，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为，故答案选C【点睛】本题考查概率的求法，考查分层抽样，古典概型．排列组合的知识，属于基础题．3.设，则（）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B【解析】【分析】先将分母实数化，然后直接求其模．【详解】【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5.已知函数，则（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】，，，故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中介值“”，和指数的同指或同底时的大小比较得解.【详解】,,故选B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.7.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线B. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线C. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线D. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线【答案】D【解析】【分析】将通过合一公式化为向右平移就可以得到．【详解】，把曲线向右平移个长度单位得即为，故选D．【点睛】本题考查函数的平移变换，是一道基础题．8.“割圆术”是刘徽最突出数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【答案】A【解析】【分析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性，零点个数及x＝2时的函数值，可得答案．【详解】函数奇函数，故图象关于原点对称，故排除D；通过函数解析式得到函数有﹣1，0，1三个零点，故排除A；当x＝2时，函数值f(x)>0为正数，故排除B，故选C．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象和性质，已知函数表达式求函数的图像，一般采用排除法．通过函数解析式研究函数的奇偶性，可排除选项；通过代入特殊点或者函数的极限值，均可以进行选项的排除.10.过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用，求得，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选B．11.已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，可得，可得所以解得故选A【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.12.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数，则，定义在上的可导函数的导函数为，满足在上恒成立，函数在上为单调递减函数；又为偶函数，则函数，即关于对称，，则，由于不等式的解集等价于的解集，根据函数在上为单调递减函数，则，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设，满足约束条件，则的最小值是________.【答案】0【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当平移到过点时，.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.14.函数的图像在处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】对函数求导，把分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程．【详解】，函数的图像在处的切线方程为，即.【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题．15.如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；【答案】2【解析】【分析】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的面对角线长为、、，利用勾股定理列出方程组，求出a，b，c的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积．【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则，解得，所以四面体的体积，故答案为2.【点睛】本题运用类比的方法，考查锥体的体积求法，考查学生逻辑推理，计算化简的能力，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属基础题．16.在四边形中，已知是边上的点，且，，若点在线段上，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得计算出的表达式,最后根据的大小,可以求出的取值范围.【详解】，，是边上的点，，所以，因此，在等腰中,点到线段上的一点的距离最大值为1,取最小值时,为的中点,此时,所以的取值范围为: .【点睛】本题考查了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1) 求和的值；(2) 求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,【点睛】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.18.唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的件工艺品测得重量（单位：）数据如下表：（1）求出频率分布表中实数，的值；（2）若从仿制的件工艺品重量范围在的工艺品中随机抽选件，求被抽选件工艺品重量均在范围中的概率.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布表即可得到实数，的值；（2）利用古典概型公式即可得到结果.【详解】解：（1）；.（2）件仿制的工艺品中，重量范围在的工艺品有件，重量范围在的工艺品有件，所以从重量范围在的工艺品中随机抽选件方法数（种），所以所求概率.【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.19.如图1，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，已知四棱锥的正视图，如图2所示.（I）若M是的中点，证明：平面；（II）求棱锥的体积.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】(Ⅰ)由正视图可知，先证明平面得到.由等腰三角形可得，利用线面垂直的判定定理可得结果；(Ⅱ)在平面PCD内过M作交CD于N，可得棱锥的体积，结合棱锥的体积等于棱锥的体积，从而可得结果.【详解】(Ⅰ)由正视图可知，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD.∵，∴BC⊥平面PCD∵平面PCD，∴DM⊥BC.又是等腰三角形，E是斜边PC的中点，所以∴DM⊥PC又∵，∴DM⊥平面PBC.(Ⅱ)在平面PCD内过M作MN//PD交CD于N，所以且平面ABCD，所以棱锥M－ABD的体积为又∵棱锥A－BDM的体积等于棱锥M－ABD的体积，∴棱锥A－BDM的体积等于.【点睛】本题主要考查棱锥的体积、线面垂直的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；（2）设出P点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出面积的值，当斜率存在时，利用点P坐标表示的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：（1）设，由题意得：，由，可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，所以得，故动点的轨迹方程为.（2）设，则，且，当时，，此时；当时，因为,即故，，，①，代入①设因为恒成立，在上是减函数，当时有最小值，即,综上：的最小值为【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.21.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，然后利用函数的导数研究的单调区间.（2）将原不等式等价变形为，根据（1）中求得的单调性，只需证当时，，构造函数，利用导数证得，也即时，成立，由此证得原不等式成立.【详解】解：（1）函数的定义域为，求导得，令，令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，所以单调增区间为减区间为．g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定义域上恒成立，所以的单调减区间为；（2）证明：将不等式变形为，因为，即不等式等价于，由（1）有所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，需证当x＞0时，x＜ex-1，令，则，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上单调递增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，（l）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.【答案】（1）（为参数）；（2）1【解析】【分析】（1）由直线的极坐标方程为，求得，进而由，代入上式得，得到直线的参数方程；（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）直线的极坐标方程为即，因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）（2）由，得，由，代入，得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.（*）则且，，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.则，，，由题设得.则有，得或.因为，所以【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为，可构造新函数，则问题再转化为，由（1）可得，即，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）（方法一）由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.（方法二）设，则，当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.学2020届高三数学一诊模拟试题文（含解析）第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知全集为，集合，，则元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数【详解】由，可得：，所以，即元素个数为2，故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题．2.某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的基本事件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的基本事件个数，最后利用古典概型公式计算即可．【详解】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，基本事件总数，所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的基本事件个数为，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为，故答案选C【点睛】本题考查概率的求法，考查分层抽样，古典概型．排列组合的知识，属于基础题．3.设，则（）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B先将分母实数化，然后直接求其模．【详解】【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5.已知函数，则（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】，，，故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中介值“”，和指数的同指或同底时的大小比较得解.【详解】,,故选B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.7.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线B. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线C. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线D. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线【答案】D【解析】【分析】将通过合一公式化为向右平移就可以得到．【详解】，把曲线向右平移个长度单位得即为，故选D．【点睛】本题考查函数的平移变换，是一道基础题．8.“割圆术”是刘徽最突出数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【答案】A【解析】【分析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性，零点个数及x＝2时的函数值，可得答案．【详解】函数奇函数，故图象关于原点对称，故排除D；通过函数解析式得到函数有﹣1，0，1三个零点，故排除A；当x＝2时，函数值f(x)>0为正数，故排除B，故选C．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象和性质，已知函数表达式求函数的图像，一般采用排除法．通过函数解析式研究函数的奇偶性，可排除选项；通过代入特殊点或者函数的极限值，均可以进行选项的排除.10.过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用，求得，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选B．11.已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，可得，可得所以解得故选A【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.12.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数，则，定义在上的可导函数的导函数为，满足在上恒成立，函数在上为单调递减函数；又为偶函数，则函数，即关于对称，，则，由于不等式的解集等价于的解集，根据函数在上为单调递减函数，则，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设，满足约束条件，则的最小值是________.【答案】0【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当平移到过点时，.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.14.函数的图像在处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】对函数求导，把分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程．【详解】，函数的图像在处的切线方程为，即.【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题．15.如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟考试1

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟考试一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填入答题卡填空题的相应答题线上。

）1．双曲线1322=-y x 的离心率是。

2．命题“012,2≤+-∈∃x x R x ”的否定是。

3．设i 是虚数单位，若ai iz ++=11是实数，则实数=a 。

4．已知集合{}a A ,1-=，{}b B a ,2=，若{}1=B A ，则=B A 。

5．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为。

6．设()()R x x x x f ∈--=322，则在区间[]ππ,-上随机取一个数x ，使()0<x f 的概率为。

7．设函数()x x x f ln 2+=，若曲线()x f y =在点()()1,1f 的切线方程为b ax y +=，则=+b a 。

8．右图是一个算法的流程图，则输出a 的值是。

9．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则下列4所有能推得b a ⊥的条件是。

（填序号）①,α⊂a b ∥β，βα⊥；②βαβα⊥⊥⊥,,b a ； ③,α⊂a β⊥b ，α∥β；④α⊥a ，b ∥β，α∥β。

10．数列{}n a 为正项等比数列，若12=a ，且116-+=+n n n a a a ()2,≥∈n N n ，则此数列的前4项和=4S 。

11．过直线x y l 2:=上一点P 作圆()()218:22=-+-y x C 的线21,l l ，若21,l l 关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为。

12．已知正实数z y x ,,满足yz z y x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++112，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+z x y x 11的最小值为。

13．已知函数()32-=x x f ，若120+<<b a ，且()()32+=b f a f ，则b a T +=23的取值范围为。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试数学试卷

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知集合M ={－1，1}，{|124}x N x =≤≤，则MN = ▲ ．2．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为 ▲ ．3．设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z =▲． 4．根据右图的算法，输出的结果是 ▲ ．5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是 ▲ 人． 6．若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ▲ ． 7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：（1）若a ∥α，a ∥β，则α∥β；（2）若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；（3）若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；（4）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ．上述命题中，所有真命题的序号是 ▲．8．双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是▲．9．函数()()sin f x x x x ωω=+∈R ，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值等于π2，则正数ω的值为▲．10．若圆C ：22()(1)1x h y -+-=在不等式10x y ++≥所表示的平面区域内，则h 的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在AOB ∠的平分线上，且10OC =C 的坐标是 ▲ ．For from 1 to 10 End for Print EndS I S S I S ←←+（第4题）12．已知函数3221()(21)13f x x x a x a a=++-+-+，若()0f x '=在（1，3]上有解，则实数a 的取值范围为▲ ．13．已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，|a －b |=2．（1）求a·b 的值；（2）求|a +b |的值． 16．（本题满分14分）如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．（1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠=，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．17．（本题满分15分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数2πsin()3y A x ω=+()0,0A ω>>，[]4,0x ∈-时的图象，且图象的最高点为B （－1，2）。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期高三摸底考试理科数学

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期高三摸底考试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x n n N ==+∈,则M N ⋂=（） A.(0,8) B. {3,5,7} C.{0,1,3,5,7} D.{1,3,5,7} 2．已知复数11z i =+，232z i =-，则复数21z z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值是（）A. 6B.7C.9D.10 4==+，则与的夹角为（）A.30oB.45oC.60oD.120o 5．当2x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =+的（）A ．最大值是1，最小值是．最大值是2，最小值是C ．最大值是1，最小值是1-D ．最大值是2，最小值是1- 6．函数2cos y x =的单调增区间是（）A.(2,2),k k k Z πππ-∈B.(2,2),2k k k Z πππ-∈C.(,),k k k Z πππ-∈D.(,),2k k k Z πππ-∈7．已知函数2()(1)x f x e x ax =++在点(0,(0))f 的切线与直线260x y -+=垂直,则a =（）A ．3-B ．2-C ．2D ．38．已知cos()(0,[0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（）A.32π B.74π C.4π D.0 9．执行如右下图的程序框图，若输入2015n =，则输出T 的值为（）A ．12-B ．23C ．3D ．3410．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（） A ．3+4+3+7B ．3+6+3πC ．2+4+3+7πD ．2+6+3π11．若0a >，且1a ≠，设函数2,1()2,1x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,若不等式()3f x ≤的解集是(,3]-∞，则a 的取值范围是（）A.(1,)+∞(1,3) C.(0,1) D.[3,)+∞12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点个数为（）A.14B.16C.18D.20 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{}n b 的前n 项和为n S ,且231n n S b =-,则n b =．13n -14．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为．122515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0)c ,(0,)b 两点，若直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．15+ 否开始结束输入n是输出T 1?n <3S = 11T S=-S T =1n n =-（第10题俯视图左视图正视图 2222216．(3)nx y+展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，则展开式中的中间项是．2254x y选择题答案：ＤＤＣＣＢＤＡＢＢＡＣＣ三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和为nS,公差2d=，10120S=.（1）求na；（2）若nb=,求数列{}nb的前n项和为nT．解(1)1(1)2nn nS na d-=+,2d=，10120S= (2)分11091021202a⨯∴+⨯=,即13a= (3)分所以1(1)21na a n d n=+-=+ (4)分(2)12nnba=== (7)分1111(22222nT n∴=++++……………10分即11)2nT= (12)分18．（本小题满分12分）某号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示；(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数的和，求ξ的分布列.（结果用最简分数）解：（1）由题意得：1102603302.2100⨯+⨯+⨯=………………………………………………………… 2分∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为2.2…………………………………………………………………3分（2）由题意得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6…………………………………………………………… 5分1091(2)10099110P ξ⨯===⨯， 210604(3)1009933P ξ⨯⨯===⨯，21030605923(4)100991009955P ξ⨯⨯⨯==+=⨯⨯， 230604(5)1009911P ξ⨯⨯===⨯，302987(6)10099990P ξ⨯===⨯，………………………………………………………………………………10分∴ξ的分布列为：12分19．（本小题满分12分）已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,且2AE EB BC ===,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ；(2)求二面角C DE A --的余弦值. 解：（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ，ABCD 是矩形∴G 为AC 的中点…………………………………… 1分由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥由EB BC =知：点F为CE 中点…………………………………………………………… 2分∴FG 为ACE ∆的中位线∴FG //AE …………………………………………………………………………………… 3分F E DC BA∵AE ⊄平面BFD ；FG ⊂平面BFD ；∴//AE 平面BFD ；………………………………………………………………………… 4分（2）由BF ⊥平面ACE 得：BF AE ⊥；由BC ⊥平面ABE 得:BC AE ⊥，BC BE ⊥；∴AE ⊥平面BCE ，则BE AE ⊥………………………………………………………… 6分在BCE Rt ∆中，CE =同理可得：DE AB CD ===,AC =；……………………………………… 8分 ∵2AD BC AE ===∴ 取DE 中点H ，连结AH ，CH ,则AH DE ⊥,CH DE ⊥且12AH DE ==CH == 10分 ∴CHA ∠即为二面角C DE A --的平面角；在CHA ∆中，222222cos23CH AH AC CHA CH AH +-∠===-⋅；∴ 二面角C DE A --的余弦值为-………………………………………………………………… 12分20．（本小题满分12分）已知动圆过定点1(0,)4F ,且与定直线1:4l y =-相切．（1）求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；（2）若点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为,M N ，求证：直线MN 恒过定点，并求AMN ∆面积S 的最小值.解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹C 是以点1(0,)4F 为焦点，以定直线1:4l y =-为准线的抛物线；………………………………………………………………………………………………2分设2:2(0)C x py p => ∵点1(0,)4F 到准线1:4l y =-的距离为12,∴12p =∴ 圆心的轨迹C 的方程为2x y =………………………………………………………………………… 4分(2)∵2x y =,∴2y x '=设切点,M N 的坐标分别为11(,)M x y ,22(,)N x y ,则211x y =,222x y =则过点11(,)M x y 的切线方程为1112()y y x x x -=-，即2112y x x x =-，即112y x x y =- 过点22(,)N x y 的切线方程为2222()y y x x x -=-，即2222y x x x =-，即222y x x y =-∵过点,M N 的切线都过点00(,)A x y ∴01012y x x y =-，02022y x x y =-∴点11(,)M x y ,22(,)N x y 都在直线002y xx y =-上 ∴直线MN的方程为002y xx y=-，即0020x x y y --=…………………………………………………6分又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --= ∴直线MN 的方程为002(1)0x x y x ---=,即0(21)(1)0x x y -+-= ∴直线MN恒过定点1(,1)2…………………………………………………………………………………8分联立00220x x y y y x--=⎧⎨=⎩得到20020x x x y -+= 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=,即200210x x x x -+-=…①则12x x 、是①的二根∴20012012044(1)021x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩,∴MN == (1)0分点00(,)A x y 到直线0020x x y y --=的距离是:d ===…………………………………………………11分∴200112S MN d x x ∆=⋅==-+即14AMN S ∆==≥=∴面积的最小值是14…………………………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数21()(2)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈. （1）若0a =，证明:()0f x <；（2）讨论函数()f x 零点的个数.解(1)证明:当0a =时,()22ln (0)f x x x x =-+> 列表:max ()()0f x f x ≤<,即()0f x <………………………………………………………………………………2分(2)2()(2)(0)f x ax a x x'=-++>…………………………………………………………………………3分讨论:01 当0a =时,由第(1)问可得函数()f x 没有零点; ……………………………………………4分02 当21a>,即02a <<时, 令(1)(2)()0x ax f x x--'=>得01x <<,或2x a >,即函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a +∞令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2(1,)a而11(1)(2)2ln12022f a a a =-++=--<,因为函数()f x 的减区间为2(1,)a ,所以2()(1)0f f a <<又函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a+∞所以当(0,1)x ∈时,()(1)0f x f <<所以当2(,)x a ∈+∞时,2()()f x f a>，x →+∞时，()f x →+∞ 所以函数()f x 在区间2(0,)a 没有零点,在区间2(,)a+∞有一个零点………………………………………6分03 当21a=,即2a =时, 2(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x-----'===≥恒成立即函数()f x 在(0,)+∞上递增而11(1)222022f a =--=-⨯-<，x →+∞时，()f x →+∞ 所以函数()f x 在区间(0,)+∞有一个零点……………………………………………………………………8分04 当201a<<,即2a >时, 令(1)(2)()0x ax f x x --'=>得20x a<<,或1x >,即函数()f x 的增区间为2(0,)a ,(1,)+∞令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a<<,即函数()f x 的减区间为2(,1)a因为2a >,所以2222()22ln 22ln10f a a a a=--+<--+<，又x →+∞时，()f x →+∞根据函数单调性可得函数()f x 在区间(0,1)没有零点,在区间(1,)+∞有一个零点……………………10分05 当20a<,即0a <时, 令(1)(2)()0x ax f x x--'=>得01x <<,即函数()f x 的增区间为(0,1)令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得1x >,即函数()f x 的减区间为(1,)+∞0x →时，()f x →-∞x →+∞时，()f x →-∞而114(1)(2)2ln12222a f a a a --=-++=--=当4(1)02a f --=>即4a <-时, 函数()f x 有两个零点;当4(1)02a f --==即4a =-时, 函数()f x 有一个零点;当4(1)02a f --=<即40a -<<时, 函数()f x 没有零点. (11)分综上，4a <-时, 函数()f x 有两个零点;4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 40a -<≤时, 函数()f x 没有零点；0a >时, 函数()f x 有一个零点；………………………………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP OM ⊥于P(1)证明：2OA OM OP =⋅；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB ON ⊥且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K .证明：090OKM ∠=．证明：（1）由MA是圆O的切线知:AM OA ⊥ …………………………………………………………2分又∵AP OM ⊥；创作人：百里严守创作日期：202B.03.31∴在Rt OAM中，由射影定理知：2OA OM OP =⋅……………………………………………………4分（2）证明：由BK 是圆O 的切线知：BN OK ⊥．同（1）2OB ON OK =⋅……………………………6分由OB OA=得：OM OP ON OK ⋅=⋅………………………………………………………………………7分即:OP OKON OM=．又NOP MOK∠=∠，则NOP MOK …………………………………………9分∴090OKM OPN ∠=∠=．………………………………………………………………………………10分(用M P N K 、、、四点共圆来证明也得分)23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线1C :()03πθρ=≥，动圆2C ：220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈．(1)求1C ，2C 的直角坐标方程；(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两点，求0x 的取值范围. 解(1)()tan ,03y x πθθρ==≥(0)yx x∴=≥, 所以1C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥…………………………………………………………2分cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,所以2C 的直角坐标方程22200240x y x x x +-+-=.…………………………2分 (2)联立()22000032cos 40()x x x R πθρρρθ⎧=≥⎪⎨⎪-+-=∈⎩ 关于ρ的一元二次方程2200040()x x x R ρρ-+-=∈在[0,)+∞内有两个实根…………………………6分即220012021204(4)0040x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪⋅=->⎩,……………………………………………………………………………………8分得000043433302,2x x x x ⎧-<<⎪⎪⎪>⎨⎪><-⎪⎪⎩或,即0432x <<…………………………………………………………………10分 (用数形结合法解出也给分)24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知不等式221x x a +-->．(1)当0a =时，求不等式的解集；(2)若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.解： (1)由题意得：2210x x +-->，即：221x x +>-……………………………………………1分∴22(22)(1)x x +>-，即：231030x x ++>……………………………………………………………3分解得：3x <-或13x >-； ∴不等式的解集为1(,3)(,)3-∞-⋃-+∞……………………………………………………………………5分 (2)设()221([4,2])f x x x x =+--∈-,则:3,(41)()31,(11)3,(12)x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪+≤≤⎩, ……………………………7分其图像如图示：则()f x 的最大值为(2)5f =……………………8分 ∵不等式221x x a +-->在区间[4,2]-无解，∴实数a 的取值范围为[5,)+∞…………………………………………10分。

(人教版)2020年高三数学模拟试卷及参考答案

（人教版）2020年高三数学模拟试卷及参考答案一、选择题（5×10=50分）1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =I （） A ．{11}x x -<< B ．{1}x x > C ．{11}x x -≤< D ．{1}x x ≥-2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（） A ．4 B ．8 C ．16D ．323．已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的什么条件（）A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要4．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+=（） A ．145- B ．75- C ．2-D ．455．圆0222=++x y x 和0422=-+y y x 的公共弦所在直线方程为（） A ．02=-y x B ．02=+y x C ．02=-y x D ．02=+y x 6. 已知函数()22xf x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）7．函数()3cos 2sin 2f x x x =-的单调减区间为（）A ．2[,]63k k ππππ++，k Z ∈ B ．7[,]1212k k ππππ--，k Z ∈C ．7[2,2]1212k k ππππ--，k Z ∈D ．5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈8．设11321log 2,log 3,()2a b c ===0.3，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<9．在复平面内，复数211)i (i-+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A ．21 B ．61 C ． 121 D ． 181二、填空题（5×5=25分）11．向量b a ,的夹角为120°，|5|,3||,1||b a b a -==则= 12．不等式0)1)(3(1<+--x x x 的解集为13．已知圆C 的圆心是直线01=+-y x 与x 轴的交点，且圆C与直线03=++y x 相切．则圆C 的方程为14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______15．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．三、解答题（75分）16．设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{x |1＜4x ＋3}（1）求集合B A I（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值17．已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）求函数x x x f sin 22cos )(+=的值域18．将一颗均匀的四面分别标有1，2，3，4点的正四面体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(),x y在区域Ω：0020x y x y >⎧⎪>⎨⎪-->⎩内的概率．19．已知数列{}n a 的前n 项和为22n n nS +=, （1）求数列{}n a 的通项公式（2）求数列1{}n n a x -的前n 项和（其中0x >）20．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D AA AB ,3,21==为B C 1的中点，P 为AB 边上的动点.（1）当点P 为AB 边上的中点，证明DP //平面11A ACC （2）若,3PB AP =求三棱锥CDP B -的体积．21．若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b by x 的离心率等于23，抛物线2C ：)0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。