天津市南开中学2015届高三数学(理)统练7

天津市南开中学2015年高考数学统练试卷(理科)(7)

2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 12．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜04．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（） A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质分别取x=1或﹣1，代入函数解析式列出方程组，求出a、b 的值，即可求出a+b的值．解答：解：∵y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，∴，解得，∴a+b=，故选：C．点评：本题考查函数奇偶性的性质，以及方程思想，属于基础题．2．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质分别进行判断即可．解答：解：a=（）＞（）＞（）＞0，即a＞b，c=log＜0，即a＞b＞c，故选：B点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数幂和对数的性质是解决本题的关键．3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜0考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；换元法．分析：为便于处理，不妨设t=（）x，于是可转化为求关于t的方程t2+2t+a=0的根的问题，明显地，原方程有正实数解，即可转化为关于t的方程在（0，1）上有解的问题，即可得解．解答：解：设t=（）x，则有：a=﹣[（）2x+2（）x]=﹣t2﹣2t=﹣（t+1）2+1．原方程有正数解x＞0，则0＜t=（）x＜（）0=1，即关于t的方程t2+2t+a=0在（0，1）上有实根．又因为a=﹣（t+1）2+1．所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2，即1＜（t+1）2＜4，即﹣4＜﹣（t+1）2＜﹣1，即﹣3＜﹣（t+1）2+1＜0，即得﹣3＜a＜0．故选：B．点评：本题考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查，属于中档题．4．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：由2＜a＜3，知M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．解答：解：∵2＜a＜3，∴M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．故选A．点评：本题考查比较不等式的大小，解题时要注意均值不等式的合理运用．5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数考点：全称命题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：考查函数f（x）的单调性，排除选项A、C；a=0时，f（x）是偶函数，无论a取何值，f（x）都不是奇函数，由此得出正确选项．解答：解：∵f（x）=x2+，∴f′（x）=2x﹣=，令2x3﹣a=0，解得x=，∴当x＞时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当x＜时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴选项A、C错误；又a=0时，f（x）=x2是偶函数，∴B正确；无论a取何值，f（x）都不是奇函数，∴D错误．故选：B．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，是综合性题目．6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式易得xy∈（0，]，换元可得z=t+，t∈（0，]，由“对勾函数”的单调性可得．解答：解：∵x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，∴﹣x，﹣y∈（0，+∞），且（﹣x）+（﹣y）=1，∴由基本不等式可得xy=（﹣x）（﹣y）≤=当且仅当﹣x=﹣y即x=y=﹣时，上式取最大值，即xy∈（0，]，令xy=t，则t∈（0，]，已知式子化为z=t+，由函数的单调性易得函数z=t+在t∈（0，]上单调递减，∴当t=时，xy+有最小值+4=，故选：B．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及“对勾函数”的单调性，属基础题．7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）考点：导数的加法与减法法则；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．解答：解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．点评：本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：常规题型．分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．解答：解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）=0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围解答：解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有＜2+，即，即有1＜a＜②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；综上分析可知a∈（0，）；故选A．点评：本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（1）==0∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或⇔0＜x＜1或x＜﹣1故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；压轴题．分析：首先应根据条件将问题转化成：在上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x﹣k在上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．解答：解：方法一：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x﹣k在上有两个不同交点．对于临界直线m，应有﹣k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，1），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴﹣k＜1，即k＞﹣1．综上，﹣1＜k≤．方法二：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．化简方程，得x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0．令g（x）=x2﹣（2k+2）x+k2﹣1，则由根的分布可得，即，解得k＞﹣1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，﹣1＜k≤，故选A．点评：本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为（﹣1，1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3等价于①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得﹣1＜x＜，解③求得≤x＜1，综合可得，原不等式的解集为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是（2，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：据对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则转化成x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，解方程即可．解答：解：由题得得x＞1．又∵2log2x﹣log2（x﹣1）=log2（）=m，∴可得=2m，即x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，可得：，解得所以实数m的取值范围是：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查对数的真数大于0、对数的运算法则、二次方程的解法，解题过程中要注意对数的定义域，属于中档题．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：将方程进行移项，然后再根据利用绝对值的几何意义进行求解．解答：解：x2+x+|a﹣|+|a|=0即|a﹣|+|a|=﹣（x2+x），令y=﹣（x2+x），分析可得，y≤，若方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则必有|a﹣|+|a|≤，而|a﹣|+|a|≥，当且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=，故且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=﹣（x2+x）成立，即x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，可得实数a的取值范围为，故答案为：．点评：此题考查绝对值不等式的解法及其几何意义，解题的关键是利用零点分段法进行求解，此类题目是高考常见的题型．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出解答：解：如图两个曲线的交点为（1.25，±0.5），所以由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为：2=2=2（y﹣）|=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的应用，正确求导积分变量以及变量范围，熟练掌握微积分基本定理定理是解题的关键．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ﹣3e ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f （x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．解答：解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3．令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故答案为：[﹣2，1）．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．…（4分）乙得分的分布列如下：X ﹣15 0 15 30P．…（6分）（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，…（8分）．…（10分）故甲乙两人至少有一人入选的概率．…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x ∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．（Ⅱ）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），因为x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0解得a=e或a=3e．经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e，或a=3e．（Ⅱ）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2，解得由（Ⅰ）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），令h（x）=2lnx+1﹣，则h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数．所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有有h（x0）=2lnx0+1﹣=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入得4x02ln3x0≤4e2又x0＞1，注意到函数4x2ln3x在（1，+∞）上是增函数故1＜x0≤e，再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，由f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2解得，所以得．综上，a的取值范围为．点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．。

天津市南开中学高三数学下学期第二次月考试卷理(含解析)

天津市南开中学2015届高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）3．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1104．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．7．已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．（n∈N*）B．a n=n（n﹣1）（n∈N*）C．a n=n﹣1（n∈N*）D．a n=2n﹣2（n∈N*）8．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3] D．（0，2]二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为．10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=．11．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n达到最大值的是．12．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S10等于．13．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．18．设{a n}为等比数列，a1=1，a2=3．（Ⅰ）求最小的自然数n，使a n≥2014；（Ⅱ）求和：．19．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．天津市南开中学2015届高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：正切函数的图象．专题：计算题．分析：根据当时成立判断是成立的充分条件，当tanθ=0时不成立，进而可判断是成立的不必要条件．解答：可知充分，当θ=0°时可知不必要．故选A点评：本题主要考查了充分、必要条件的判定．属基础题．2．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标．解答：解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）．∵（+）∥，⊥（+），∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0．∴x=﹣，y=﹣，故选D点评：本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．3．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出解答：解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D点评：本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．4．要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=sinx=cos（x﹣），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于函数y=sinx=cos（x﹣），故只需将函数的图象象右平移可得函数y=cos（x﹣）的图象，故选A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题．5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ=可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可解答：解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，∴f（x）=2sin（φ），∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，由可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选A．点评：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin （ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．解答：解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选C点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．7．已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．（n∈N*）B．a n=n（n﹣1）（n∈N*）C．a n=n﹣1（n∈N*）D．a n=2n﹣2（n∈N*）考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n=n﹣1．解答：解：若0＜x≤1，则﹣1＜x﹣1＜0，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，若1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1若2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2若3＜x≤4，则2＜x﹣1＜3，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3以此类推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，下面分析函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a n=n﹣1；故选C．点评：本题考查数列的递推公式的合理运用，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．8．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3] D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：用平方差公式分解要求的算式，用同角的三角函数关系整理，把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．解答：解：sin4α﹣cos4α=sin2α﹣cos2α=2sin2α﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式．专题：常规题型；压轴题．分析：由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC=sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．解答：解：根据题意，，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，化简可得，sinC=sin2C，则C=，则，故答案为．点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．11．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n达到最大值的是20．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d，进而求得a20＞0，a21＜0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．解答：解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0∴数列的前20项为正，∴使得S n达到最大值的是20故答案为20点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．12．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S10等于．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过裂项可得a n=（﹣），并项相消计算即可．解答：解：∵=（﹣），∴S10=[（1+++…++）﹣（+++…++）]=（1+﹣﹣）=•=，故答案为：．点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于基础题．13．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．14．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ．若=1，•=﹣，则λ+μ=．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．解答：解：由题意可得若•=（+）•（+），=•+•+•+•=2×2×cos120°+•μ+λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）=•=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．…乙得分的分布列如下：X ﹣15 0 15 30P．…（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，…．…故甲乙两人至少有一人入选的概率．…点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．解答：解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1 由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．点评：本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin （x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案．解答：解：（1）因为x∈（，），所以x﹣∈（），sin（x﹣）==．sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=×+×=．（2）因为x∈（，），故cosx=﹣=﹣=﹣．sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=﹣．所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=﹣．点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力．18．设{a n}为等比数列，a1=1，a2=3．（Ⅰ）求最小的自然数n，使a n≥2014；（Ⅱ）求和：．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据题意确定出a n通项公式，即可确定出最小的自然数n的值；（Ⅱ）根据题意列举出T2n，以及﹣T2n，两数相减即可确定出T2n．解答：解：（Ⅰ）由已知条件得a n=1•（）n﹣1=3n﹣1，∵36＜2014＜37，∴使a n≥2014成立的最小自然数n=8；（Ⅱ）∵T2n=﹣+﹣…﹣①，﹣T2n=﹣+﹣+…﹣+②，∴①﹣②得：T2n=1﹣+﹣+…+﹣=﹣=，则T2n=．点评：此题考查了数列的求和，以及等比数列的通项公式，求和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．19．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n+3n，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）．所以b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由题设条件知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，a n=S n﹣S n﹣1=，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．解答：解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n=a n+1=S n+3n，即S n+1=2S n+3n，由此得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）．因此，所求通项公式为b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（Ⅱ）由①知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣a n=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．20．已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与不等式的综合．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）由题意知a≠0，先对函数求导，分a＞0，a＜0讨论函数的定义域及单调区间，从而确定最值．（II）当a=1时由（I）知函数f（x）的定义域（0，+∞），在（0，1）是减函数，[1，+∞）是增函数，从而有≥1﹣lnx=ln，分别把x=1，2，3…代入不等式相加可证（III）假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．解答：（Ⅰ）解：由题意f′（x）=．当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，f min（x）=f（a）=lna2，无最大值．当a＜0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），此时函数在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，f min（x）=f（a）=lna2，无最大值．（Ⅱ）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx﹣≥f（1）=0，故≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3，…，则1+++…+≥ln（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0﹣），切线方程：y+1=（x﹣1），将点T坐标代入得：lnx0﹣=，即lnx0+﹣﹣1=0，①设g（x）=lnx+﹣﹣1，则g′（x）=．∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+＞0．又g（）=ln+12﹣16﹣1=﹣ln4﹣3＜0，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．点评：本题考查了导数的应用：利用导数研究函数单调区间及求最值问题，而对不等式的证明问题，主要是结合函数的单调性，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．。

15年高考真题——理科数学(天津卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U AB =ð ( ) （A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）403．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”( ) （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 5．如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N 。

若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（）（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）526．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()||21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<8．已知函数()()()()22||222x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）()74,+∞ （B ）(),74-∞ （C ）()0,74 （D ）()74,2二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为。

天津市南开中学届高三校模拟考试.docx

高中数学学习材料唐玲出品天津市南开中学2015届高三校模拟考试数学试卷（文）说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第І卷（选择题共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．!) 1. 复数22 ()1i i-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( )． A ．i -B ．1-C ．1 D ．02. 设集合{|2}A x x =>，若ee m ln =（e 为自然对数底），则( ).A.A ∅∈B.A m ∉C .A m ∈ D.{}m x x A >⊆3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为( )． A . 7 B. 6 C . 5 D .4 4. 在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于( )．A ．9B ．10C ．11D ．125.“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ). A.53 B.83C ．8 D ．24 7.在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )．A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8. 已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ).A . 332>e B. 3321<<e C. 3>e D. 31<<e第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．!) 9. 公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________．10. 已知变量x ，y 满足约束条件错误!则z ＝2x ·4y 的最大值为________．11. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.12. 如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥，1,2==PC PA .则圆O 的面积为.第11题第12题13. 已知1OA =，2OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且45AOC ∠=︒，设() O C m O A n O B m n =+∈R ,，则mn的值为________． 14.已知函数243,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. (本小题满分13分)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率． 16. (本小题满分13分)已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3(其中ω>0)，且函数f (x )的周期为π.(1)求ω的值；CAP B(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调区间．17. (本小题满分13分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．18. (本小题满分13分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <． 19. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ，当直线AB 斜率为0时，32AB CD +=,（1）求椭圆的方程；（2）求由,,,A B C D 四点构成的四边形的面积的取值范围. 20. (本小题满分14分)已知函数()ln 2mf x x x=+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证：101ea b c <<<<<．21.南开中学2015届高三文科数学校模拟参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C A C D A 二、填空题：（9）41（10）32（11）120(3－1)（12）π49（13）2（14）(423-,2)三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.解析：（Ⅰ）15816216316816817017117918210a x +++++++++=170=解得a =179 所以污损处是9（Ⅱ）设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝2516.解 (1)因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，又因为函数f (x )的周期为π，且ω>0，所以T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2sin(4x －π6)的图象．由－π2＋2k π≤4x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π2－π12≤x ≤k π2＋π6(k ∈Z )；由π2＋2k π≤4x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π12(k ∈Z )．故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π24，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12. 17.(1)证明如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD .又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)①证明连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD . ②解连接BF .由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112.故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111. 所以，直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111. 18.（Ⅰ）22124n n n n n a a a a a +++++=且0n a >2221)(2)n n n a a a ++∴+=（212n n n a a a ++∴+={}na ∴是首项为1=1a ，公差为211a a -=的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）得21(1)1,n n a n n a n =+-⨯==()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ()21111n =-<+19.（Ⅰ）由题意知，22c e a==，则c b c a ==,2，2322222||||2=+=+=+∴c c ab a CD AB ，所以1c =．所以椭圆的方程为2212x y +=．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知22222121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形；②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以2222221221)1(22211221||1||kk k k k x x k AB ++=++⋅+=-+=．同理，2)1(2221)11(22||2222++=++=k k kk CD ．所以24222222522)1(42)1(2221)1(222121kk k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形()()()2221422112121k k k k k k+==-++++，9112211222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k 当且仅当1±=k 时取等号 ∴)2,916[∈四边形S 综合①与②可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S20.解：（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x． ∴221121()22-'=-=x f x x x x由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ，∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减．∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ．故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．（III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x=+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ，下面讨论()ln 2mf x x x=+的零点情况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m m f ，解得20<<m e，∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ． ∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>．10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e∴<<<<<，得证．。

天津市南开中学高考数学模拟试卷(理科)(含解析)

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y 的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a ﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c 的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。

2015天津高考数学(理科)试题(卷)与图片版答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作天津市南开中学2015届高三校模拟数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 复数z 满足：()()i 2i 5z --=，则z =( ).A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +2. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =( ).A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 设变量y x ,满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩, 则目标函数y x z 32+=的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．5 4. 已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 ( ).A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥l考试时间：120分钟C ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l5. 设x y ∈,R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，23a b +=，则11xy+的最大值为( ). A ．2B ．32C ．1D ．126. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( ).A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，12F F ，是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A B ，分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）．A ．2B ．3C ．32D ．628. 在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L 距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L 距离”之和等于定值(大于12||||F F )的点的轨迹可以是( ).ABC Dx　yB　AF 1F 2OII 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10. 已知()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数是__________.11. 如图，在ABC 中，3AB =，4BC =，5CA =，点D 是BC 的中点，BE AC ⊥于点E ，BE 的延长线交DEC 的外接圆于点F ，则EF 的长为__________.12. 已知直线l 的参数方程为413x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数) 则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________.13. 如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =， ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅的值为__________.14. 已知函数2()ln x f x a x x a =+-，对任意的12[01]x x ∈、，,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为__________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只DABCFCE DBA能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16. 已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =. (Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B ,并求1BDBC 的值.18. 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <.20. 已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；（Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．天津南开中学2015届高三理科数学校模拟试卷参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 DBDDCADA二、填空题：9101112131410192-1415372[),e +∞三、解答题：21. 15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.34. 35. 36. 37. 38. 39.40.16.已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a的值.（Ⅱ）22A f =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =.(Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B , 并求1BDBC 的值. 解：（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由（I ）知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB ⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz , 则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则1110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩，令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =. 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角．．．．．．A ．1．－．BC ．．1．－．B ．1．为锐角．．．，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =，即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B. 此时，1925BD BC λ==. 41. 42.18.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设22c a b =- 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,3,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y +=（Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x2220203331343443434x x y xy x y k y x '+=⇒=-⇒=-⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Qx x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*）（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=，得(1,0)M43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <. （Ⅰ）证明：因为()14211n n S n a +=-+，所以当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+，两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥，所以()()12121n n n a n a ++=-，即()121221n n a n n a n ++=≥-，在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553=12123252731n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---- ，所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()2122n n n S n n -=+⨯=，当1n =时，1111312T a S ==<；当1n ≥时，()()()11221121221222222n n nb n n n n n n n na S ===<=-----，所以12311111131312446222222n n T b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-.20.已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．52. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；53. （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；54. （Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．55. 解：()()212120x ax f x x a x x x-+'=+-=>.56.（Ⅰ）当3a =时，()2231x x f x x -+'=，令()0f x '=，有12x =或1x =，57. 当102x <<或1x >时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<.58. 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.59. （Ⅱ）由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x a x -+=有两个不相等的实根， 60. 所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==， 61. 所以()()()()()2212111222112121211121ln ln 1=ln ln221=2ln ln 2014f x f x x x ax x x ax ax x x a x x x x x x x -=+---+-+----++<≤ . 62. 设()()2212ln ln 2014F x x x x x =-++<≤， 63. 则()()223321212022x F x x x xx-'=--=-<，64. 所以()F x 在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ==-+，65. 即()()123ln 24f x f x -≥-+.66. （Ⅲ）()()()()2222lnln 2ln +2ln 2ln 662ln +22ln 6ax g x f x x x ax ax x x ax x ax +=+=+-+--=+-- ,67. 所以()24222222a ax x a a g x x a ax ax ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=++，68. 因为()2,4a ∈，所以2423222a a a a -=->-，且32x ≥，所以2402a x a -+>.69. 所以()0g x '>，()g x 在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，70. 所以()()()max 22ln 22242ln6g x g a a ==+-+-，71. 所以()()22ln 22242ln 64a a k a +-+->-在()2,4a ∈上恒成立. 72. 令()()()22ln 22242ln 64h a a a k a =+-+---，则()20h =， 73. 则()0h a >在()2,4上恒成立. 74. 因为()()2122211a ka k h a ka a a +-'=-+=++， 75. 当0k ≤时，()0h a '<，()h a 在()2,4上单调递减，()()20h a h <=，不合题意；76. 当0k >时，令()0h a '=，有1ka k-=， 77. 若12k k ->，即103k <<时，()h a 在12,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，存在，()()20h a h <=，不合题意； 78. 若12k k -≤，即13k ≥时，()h a 在()2,4上单调递增，()()20h a h >=，满足题意.79. 综上，实数k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.80.。

天津市南开区2015届高三第二次高考模拟考试数学【理】试题及答案

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ， ·球的体积公式V 球=34πR 3，其中S 表示棱柱的底面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（）．（A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i（2）已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（）．（A ）∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）．（A ）10（B ）11（C ）12 （D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C=（）．（A ）725（B ）725-（C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（）．（A ）61 （B ）31（C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|+|=|–|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则•=（）．（A ）98 （B ）910（C ）925 （D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答题纸（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

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天津市南开中学2015届高三校模拟数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 复数z 满足：()()i 2i 5z --=，则z =( ).A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +2. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =( ).A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 设变量y x ,满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩, 则目标函数y x z 32+=的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．5 4. 已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 ( ).考试时间：120分钟A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l5. 设x y ∈,R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，23a b +=，则11xy+的最大值为( ). A ．2B ．32C ．1D ．126. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( ).A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，12F F ，是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A B ，分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）．A ．2B ．3C ．32D ．628. 在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L 距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L 距离”之和等于定值(大于12||||F F )的点的轨迹可以是( ).A Bx　yB　AF 1F 2OC D II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10. 已知()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数是__________.11. 如图，在ABC 中，3AB =，4BC =，5CA =，点D 是BC 的中点，BE AC ⊥于点E ，BE 的延长线交DEC 的外接圆于点F ，则EF 的长为__________.12. 已知直线l 的参数方程为413x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数) 则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________.13. 如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =， ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅的值为__________.14. 已知函数2()ln x f x a x x a =+-，对任意的12[01]x x ∈、，,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为__________.DABCFCE DBA三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16. 已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =. (Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B ,并求1BDBC 的值.18. 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <.20. 已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；（Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．天津南开中学2015届高三理科数学校模拟试卷参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 DBDDCADA二、填空题：9101112131410192-1415372[),e +∞三、解答题：21. 15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.40.16.已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a的值.（Ⅱ）22A f =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =.(Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B , 并求1BDBC 的值. 解：（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由（I ）知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB ⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz , 则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则1110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩，令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =. 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角．．．．．．A ．1．－．BC ．．1．－．B ．1．为锐角．．．，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =，即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B. 此时，1925BD BC λ==. 41. 42.18.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设22c a b =- 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,3,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y +=（Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x2220203331343443434x x y xy x y k y x '+=⇒=-⇒=-⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Qx x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*）（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=，得(1,0)M43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <. （Ⅰ）证明：因为()14211n n S n a +=-+，所以当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+，两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥，所以()()12121n n n a n a ++=-，即()121221n n a n n a n ++=≥-，在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553=12123252731n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---- ，所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()2122n n n S n n -=+⨯=，当1n =时，1111312T a S ==<；当1n ≥时，()()()11221121221222222n n nb n n n n n n n na S ===<=-----，所以12311111131312446222222n n T b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-.20.已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．52. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；53. （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；54. （Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．55. 解：()()212120x ax f x x a x x x-+'=+-=>.56.（Ⅰ）当3a =时，()2231x x f x x -+'=，令()0f x '=，有12x =或1x =，57. 当102x <<或1x >时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<.58. 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.59. （Ⅱ）由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x a x -+=有两个不相等的实根， 60. 所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==， 61. 所以()()()()()2212111222112121211121ln ln 1=ln ln221=2ln ln 2014f x f x x x ax x x ax ax x x a x x x x x x x -=+---+-+----++<≤ . 62. 设()()2212ln ln 2014F x x x x x=-++<≤， 63. 则()()223321212022x F x x x x x -'=--=-<， 64. 所以()F x 在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ==-+，65. 即()()123ln 24f x f x -≥-+.66. （Ⅲ）()()()()2222lnln 2ln +2ln 2ln 662ln +22ln 6ax g x f x x x ax ax x x ax x ax +=+=+-+--=+-- ,67. 所以()24222222a ax x a a g x x a ax ax ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=++， 68. 因为()2,4a ∈，所以2423222a a a a -=->-，且32x ≥，所以2402a x a -+>. 69. 所以()0g x '>，()g x 在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，70. 所以()()()max 22ln 22242ln6g x g a a ==+-+-，71. 所以()()22ln 22242ln 64a a k a +-+->-在()2,4a ∈上恒成立. 72. 令()()()22ln 22242ln 64h a a a k a =+-+---，则()20h =， 73. 则()0h a >在()2,4上恒成立. 74. 因为()()2122211a ka k h a ka a a +-'=-+=++， 75. 当0k ≤时，()0h a '<，()h a 在()2,4上单调递减，()()20h a h <=，不合题意；76. 当0k >时，令()0h a '=，有1ka k-=， 77. 若12k k ->，即103k <<时，()h a 在12,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，存在，()()20h a h <=，不合题意； 78. 若12k k -≤，即13k ≥时，()h a 在()2,4上单调递增，()()20h a h >=，满足题意.79. 综上，实数k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

天津市南开区2015届高三一模数学(理)试题WORD版含答案

天津市南开区2015届高三一模数学（理）试题第 Ⅰ 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，复数ii5225+-=（）．（A ）–i （B ）i （C ）–2921–2920i （D ）–214+2110i （2）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数z=x –2y 的最小值是（）．（A ）0 （B ）–6 （C ）–8（D ）–12（3）设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：x ∉(A ∩B )，条件q ：x ∉(A ∪B )，则p 是q 的（）．（A ）充分不必要条件（B ）充要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x –3y=0，它的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线上，则双曲线的方程为（）．（A ）4x 2–12y 2=1 （B ）4x 2–34y 2=1 （C ）12x 2–4y 2=1 （D ）34x 2–4y 2=1 （5）函数y=log 0.4(–x 2+3x+4)的值域是（）．（A ）(0，–2]（B ）[–2，+∞)（C ）(–∞，–2]（D ）[2，+∞)（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）．（A ）38 （B ）34（C ）34 （D）32（7）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2=a 2+bc ，A=6π，则内角C=（）．（A ）6π（B ）4π（C ）43π （D ）4π或43π（8）已知函数f (x )=|mx |–|x –n |（0＜n ＜1+m ），若关于x 的不等式f (x )＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（）．（A ）3＜m ＜6 （B ）1＜m ＜3 （C ）0＜m ＜1 （D ）–1＜m ＜0第 Ⅱ 卷（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．（10）已知a ＞0，(x –2x a )6的二项展开式中，常数项等于60，则(x –2xa )6的展开式中各项系数和为（用数字作答）．（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= ．（12）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧+==，，ϕϕsin 22cos 2y x （ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：3cos θ–sin θ=0，则圆C 截直线l 所得弦长为．（13）如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ．已知PA=AB=26，PO=8．则BD 的长为．（14）已知正三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD =λAB ，AE =λ AC ．若点F 为线段BE 的中点，点O为△ADE 的重心，则OF •CF = ．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）DCBA PO得分评卷人（15）（本小题满分13分）设函数f (x )=cos (2x+32π)+2cos 2x ，x ∈R ．（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f (x )的图象向右平移3π个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最小值．得分评卷人（16）（本小题满分13分）将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A 、B 、C 三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1， 2的小球同时放到A 盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A 盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．分评卷人（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，PC ⊥底面ABCD ，AB=2AD=2CD=4，PC=2a ，E 是PB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角P -AC -E 的余弦值为36，求直线 PA 与平面EAC 所成角的正弦值．得分评卷人（18）（本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），F 为左焦点，原点O 到直线FA 的距离为22b ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．分评卷人（19）（本小题满分14分）设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0，2b n –b 1=S 1•S n ，n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =b n •log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和T n ；（Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n ≥2，有221b a -+331b a -+…+nn b a -1＜23．分评卷人（20）（本小题满分14分）已知函数f (x )=1-xbe ax，曲线y=f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x+(e –1)2y –e=0．其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）如果当x ≠0时，f (2x )＜x ek-1，求实数k 的取值范围．南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）数学试卷（理工类）参考答案 2015.04一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 ACCDBABB二、填空题：（9）60；（10）1；（11）2500；（12）23；（13）26；（14）0 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得g (x )=cos (2(x –3π)+3π)+1=cos (2x –3π)+1． …………10分因为0≤x ≤2π，所以–3π≤2x –3π≤32π，所以–21≤cos (2x –3π)≤1， …………12分因此21≤cos (2x –3π)+1≤2，即f (x )的取值范围为[21，2]． …………13分（16）解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A 盒的概率为P ，P=332422A C A =181． …………4分（Ⅱ）ξ=1，2， ………… 5分P (ξ=1)=3324222314A C A C C =32， P (ξ=2)=33242224A C A C =31，所以ξ的分布列为…………11分ξ的数学期望E (ξ)=1×32+2×31=34． …………13分（17）解：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2． ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ．又BC ∩PC=C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ． …………5分（Ⅱ）如图，以点C 为原点，DA ，CD ，CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (2，2，0)，B (2，–2，0)．设P (0，0，2a )（a ＞0），则E (1，–1，a )，CA =(2，2，0)，CP ＝(0，0，2a )，CE =(1，–1，a )．取m =(1，–1，0)，则m ·CA =m ·CP =0，m 为面PAC 的法向量．设n =(x ，y ，z )为面EAC 的法向量，则n ·CA =n ·CE =0，即⎩⎨⎧=+-=+00az y x y x ，，取x=a ，y=–a ，z=–2，则n =(a ，–a ，–2)，ξ12P32 31依题意，|cos <m ，n >|=||||||n m n m ⋅⋅=22+a a =36，则a=2． …………10分于是n =(2，–2，–2)，PA =(2，2，–4)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ=|cos <PA ，n >|=||||||n PA n PA ⋅⋅=32，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32． …………13分（18）解：（Ⅰ）设F 的坐标为(–c ，0)，依题意有bc=22ab ， ∴椭圆C 的离心率e=a c =22． …………3分（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=22，∴椭圆方程为14822=+y x ． …………5分联立方程组⎩⎨⎧+==+48222kx y y x ，化简得：(2k 2+1)x 2+16kx+24=0，由△=32(2k 2–3)＞0，解得：k 2＞23 由韦达定理得：x M +x N =12162+-k k …①，x M x N =12242+k …② …………7分设M (x M ，kx M +4)，N (x N ，kx N +4)，MB 方程为：y=MM x kx 6+x –2，……③ NA 方程为：y=N N x kx 2+x +2，……④ …………9分由③④解得：y=MN N M N M x x x x x kx -++3)3(2 …………11分=12164)212161224(2222+--++-++k k x x k k k k N N =12164)2128(222++++k k x x k kN N =1即y G =1，∴直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上． …………13分（19）解：（Ⅰ）∵a n+1=3a n ，∴{a n }是公比为3，首项a 1=1的等比数列，∴通项公式为a n =3n –1． ………… 2分 ∵2b n –b 1=S 1•S n ，∴当n=1时，2b 1–b 1=S 1•S 1，∵S 1=b 1，b 1≠0，∴b 1=1． ………… 3分 ∴当n ＞1时，b n =S n –S n –1=2b n –2b n –1，∴b n =2b n –1， ∴{b n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列，∴通项公式为b n =2n –1． …………5分（Ⅱ）c n =b n •log 3a n =2n –1log 33n –1=(n –1)2n –1， ………… 6分T n =0•20+1•21+2•22+…+(n –2)2n –2+(n –1)2n –1 ……① 2T n = 0•21+1•22+2•23+……+(n –2)2n –1+(n –1) 2n ……②①–②得：–T n =0•20+21+22+23+……+2n –1–(n –1)2n=2n –2–(n –1)2n =–2–(n –2)2n∴T n =(n –2)2n +2． ………… 10分（Ⅲ）n n b a -1=11231---n n =122331---⋅n n =)23(231222----+n n n ≤231-n221b a -+331b a -+…+nn b a -1＜031+131+…+231-n =311)31(11---n=23(1–131-n )＜23． …………14分（20）解：（Ⅰ）f '(x )=2)1()1(---x x x be bxe be a ， ………1分由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为x+(e –1)2y –e=0，知1+(e –1)2 f (1)–e=0，即f (1)=1-be a =11-e ， f '(1)=2)1()1(---be be be a =2)1(--be a =–2)1(1-e ． ………3分解得a=b=1． ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )=1-xe x，所以f (2x )＜x e k -1⇔122-x e x ＜x e k -1⇔122-x e x –x ek-1＜0⇔112-x e [xe x –21k -(e 2x–1)]＜0． ………7分令函数g (x )=xe x –21k -(e 2x–1)（x ∈R ），则g '(x )=e x +xe x –(1–k )e 2x =e x (1+x –(1–k )e x )． ………8分（ⅰ）设k ≤0，当x ≠0时，g '(x )＜0，∴g (x )在R 单调递减．而g (0)=0，故当x ∈(–∞，0)时，g (x )＞0，可得112-x e g (x )＜0；当x ∈(0，+∞)时，g (x )＜0，可得112-x e g (x )＜0，从而x ≠0时，f (2x )＜x ek-1．（ⅱ）设k ≥1，存在x 0＜0，当x ∈(x 0，+∞)时，g '(x )＞0，g (x )在(x 0，+∞)单调递增．。

2015年天津市高考数学(理科)真题及答案解析

2015年天津市高考数学真题（理科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=I （）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4， D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。

2015年高考理科数学天津卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可．【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6．【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ．【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =，所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。

【数学】天津市南开中学2015届高三第三次月考试题(理)

天津市南开中学2015届高三第三次月考试题（理）、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上, 每小题5分，共40分•）某空间几何体的三视图如右图所示 A.180 B. 240 C. 276已知m, n 是两条不同直线是两个不同平面，给出四个命题：①若门：二 m,n 二：£, n _ m ,则： ②若，则〉// :③若 m 丨■■•、，n .l “,m _n,则-丨• ④若 m//「，n//： ,m//n ,贝// - 其中正确的命题是（）. A.②③B.①②C.②④D.①④3. 已知三棱柱ABC - AB 。

的侧棱与底面垂直，体积为9 ,底面是边长为,3的4 正三角形•若P 为底面A 1B 1C 1的中心，贝U PA 与平面ABC 所成角的大小为().‘2x -y-2 色0,4. 在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组丿x+2y-1兰0,所表示的区域上3x y _8 乞0,动点，则直线OM 斜率的最小值为（）.A.2B.1C.2 25.已知F 1和F 2分别是双曲线仔-占=1（a 0, b 0）的两个焦点，A 和B 是以 a bO 为圆心，以|OF 1 |为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F 2AB 是等边1.2. A.| B. C. D.D.,则该几何体的表面积为D. 300三角形，则该双曲线的离心率为().2爲=1(a ■ 0,b 0)的离心率为2,若抛物线 a b的连线交C i 于第一象限的点M .若G 在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近2 2 B.£ —136 272 2 c.z —127182 2D. 1—11898. 线，则A.1!16(). B.已知椭圆、38 C.2、. 33 D.4、、332E:笃•爲=1(3 b 0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆 a b于A,B 两点。

若AB 的中点坐标为(1-1)，则E 的方程为().9. II 卷(将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效•)二、填空题：(每小题5分，共30分.)已知数列曲的前n 项和S n 满足S n=2a n ・1N *，且a^1，则通项公式 10. 圆心在直线x-2y ，7=0上的圆C 与x 轴交于两点A(-2,0)、B(-4,0),则圆C 11. 的方程为 __________ . 在边长为2的菱形ABCD 中，• BAD =60, E 为CD 的中点,则 AE BD -12. -q二已知 cos(x -…)二… ,贝U cosx ■ cos(x )=6 3 313. 已知函数y =x 3-3x * c 的图象与X 轴恰有三个公共点,则实数C 的取值范围B. 、、3一1C . 31D. 26. 2已知双曲线C 1:笃7. C 2：X 2=2py(p 0)的焦点到双曲线G 的渐近线的距离为 2,则抛物线的方程).A. x 23B. x 216 3y C.x 2=8y D.3已知抛物线G :x 2p 0的焦点与双曲线C 2 :2p2「宀1的右焦点是 __________ .2 2X y14•点F 是椭圆E :1的左焦点，过点F 且倾斜角是锐角的直线I 与椭25 9圆E 交于A 、B 两点，若H AOB 的面积为9，则直线I 的斜率是2三、解答题：(15 —18每小题13分，19— 20每小题14分，共80分.) 15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2, 3, 4,5的5个红球与编号为1,2, 3,4的4个白球,从中任意取出3个球.(I )求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； (n )记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.16. 在二ABC 中，A, B,C 的对边分别为a,b,c,且a cosC, b cos B, c cos A 成等差数列.(I )求B 的值;(n )求 2sin 2A cos(A-C)的范围.17. 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD -底面 ABCD ,且 PA 二 PD 2 AD , E 、2(I )求证：EF //平面PAD ； (n )求证:平面PAB _平面PDC ; (川)在线段AB 上是否存在点G,使得 1面角C -PD -G 的余弦值为-？3若存在，求AG 的长度；若不存在，说明理由118. 已知函数 f (x) x 2_aln x (a 0).2(I )若a =2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;F 分别为PC 、 BD 的中点.C(n )求f (x)在区间［1,e］上的最小值；(川)若f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.119. 已知数列〈和的前n项和S n»a n-(—)n「2 (n N ),数列2b ［满足 0 =2n a「(I) 求证：数列 g 是等差数列，并求数列a /的通项公式；(II) 设数列L」La n的前n项和为T n，证明：N ■■且n_3时，T n;I n J 2n+1 (川)设数列｛羅满足a n(C n-3n)=(-1)n% n ,(九为非零常数，n乏屮)，问是否存在整数■，使得对任意n N，都有G“ .G ?120. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为-，它的一个顶点2恰好是抛物线x2尔3y的焦点.(I)求椭圆C的标准方程；(I)若A，B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设点P -4,0，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；(川)设O为坐标原点，在(I)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求OS OT的取值范围.参考答案15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号空别対1, 2亠4,5的5个红球与编号为1 2T3,4 的4介白球，从中任意职出3尘球，（I ）求取出的3介球颜色相同且编号是三个连续雾逊的概率；存E ）记X 为取出的？个球中踣号的最大倍L £的分布列肖数学期望"解：（I ）设"■取出的3个球颜色益同冃期号是三个苣期整数叩为事件扎则(n) X 的取值为2,3, 4,5.P(X=2) =曲+3血=1 '21，1 2 2 1 ,C 2C 4 C 2 C 4 4 P(X=3)=C ： =21P (X=4)=C；C "3C；C6=3 57P(X 丸)/1、.」.C ； 3所以X 1 85 X 的数学期望EX =2'3 4 4 3 5 ' •212173 2116.在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,b cosB,ccos A成等差数列.(i)求B 的值；(n)求2sin2A • cos(A-C)的范围.解：(i),- a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列，. acosC ccosA = 2bcosB .由正弦定理，得sin AcosC sin C cos A = 2sin B cos B ,即：sin (A C) =si n2B , . sin B =si n2B .又在AABC 中，B=2B或B+2B=JT, - B =—3 '(n) 丁B 二一，32 兀2 2 nA C . . 2sin A cos(A-C) = 1 -cos2A cos(2A )3 3=1-cos2A「lcos2A 一sin 2A=1 3 sin 2A「一cos2A = 1 亠、3sin(2 A )2 2 2 2 32兀兀兀J一n/ 0 ■ A , 2A sin(2 A ) _1 .3 3 3 2 3.2sin2A cos(A-C)的范围是(-扌,1 、3].1工如團，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD^边长为2的正方刑，侧面丄底面磁込半血&隔加P昭的中曲(I)求证；丽7/平面(II)求证:干面PAB L平面PW *(III)在线段肋上是否存在点G.伫得」二面角C-PD-G的余弦值为£ ?若存在.求的的长度；若不荐在*说明理由.(I)证明;连结占由已知"为血7中总亠第召页共2页护E 为PC 中点.•••在CPA 中，EF // PA且PA 平面PAD , EF 二平面PAD /. EF //平面PAD(n )证明：因为平面PAD _平面ABCD ,平面PAD | j 面ABCD 二ADABCD 为正方形，CD _ AD , CD 二平面ABCD 所以CD _平面PAD . ••• CD _ PA又PA 卫冷AD ,所以沖AD 是等腰直角三角形，且.APD ^，即PA 丄 PD .CD "PD =D ,且CD 、PD 面 PDCPA _ 面 PDC又 PA 二面 PAB ，•面 PAB _ 面 PDC(川)如图，取AD 的中点0 ,连结OP , OF •/ PA = PD , • P0 _ AD .•••侧面PAD _底面ABCD ,平面PAD -平面ABCD 二AD ,• P0 _ 平面 ABCD , 而0,F 分别为AD,BD 的中点，• OF //AB ,又 ABCD 是正方形，故 OF _ AD .以O 为原点，直线OA,OF ,OP 分别为x, y,z 轴建立空间直角坐标系则有 A(1,0,0), D(-1,0,0) , P(0,0,1).1若在AB 上存在点G,使得二面角C - PD -G 的余弦值为—，连结PG,DG.3设 G(1a,0)(0 "乞 2).T由(n )知平面PDC 的法向量为PA=(1,0,-1).PA —辽AD, PA_PD ,OP=OA22AB 上存在点G(lg,0),使得二面角C -PD -G 的余弦值为-，此时AG 二丄. 3 21 218.已知函数 f(x) = ^x -alnx(a 0).(I )若a =2,求f (x)在(1,f (1))处的切线方程； (n )求f(x)在区间［1,e ］上的最小值;(川)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围.1 2 21 解:(I) a=2,f(x) x -2 In x, f'(x) = x , f'(1) =—1, f (1),2 x 21f (x)在(1, f ⑴)处的切线方程为y 〜2 = i x-1，即2x ，2y-3 = 0.设平面PGD 的法向量为n 二(x, y, z).•/ DP = (1,O,1),GD = (-2,—a,0)•••由 n DP = 0, n GD = 0 可得x 0 y z =02,令 x =1 ,则 y 二上，z =「1,-2 x - a y 0 z = 0a故 n =(1,一2,一1)a得，a =「所以在线段2cos ：： n,二=〕，解3③若、、a _e,即a_e 2,在(1,e)上, f '(x) ：：： 0, f(x)在［1,e ］上单调递减因此,在f x 区间［1,e ］上的最小值为j—,0 < a 兰1,21 21 2 2 e -a, a _ e . 22(川)由(n )可知当0：：：a 乞1或a_e 时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1 ：：： a ::: e 2时,要使f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点,则工a eI 1 2即 1 2 ,此时，e ：：： a e .所以，a 的取值范围为 a e 2221 2(e,^e ).19.已知数列GJ 的前n 项和S^ -a n -(-)nJ- 2( n • N ”)，数列 g 满足b = 2na ..2(I)求证澈列是等差数列，并求数列的通项公式；(n)设数列-_La n 的前n 项和为人，证明：n N "且 n_3时，T n5n; I n J2n+1(川)设数列｛Q J 满足a n G -3n ) =(-1)n r n ,(扎为非零常数，n 壬N ),问是否存在整数，，使得对任意 n• N "，都有c n d >c n .1 1解(I )在 S ^-a ^(-)n J - 2 中，令 n=1，可得 S 厂-a n -1 • 2 p ，即 a^ -11当 n _2 时，S nd= _and_ (广二 2,an= S n- S n 」二一a nan 」(严,22-2a n =a n 」 (1)nJL，即2na^2nJ a nj ' 1.2:b n=2na n ，・b n=b n 「1,即当 n - 2时，b n-b n 「1.又b^2a^1,-数列fb,是首项和公差均为1的等差数列. 于是 b n =1(n -1) 1 二 n =2n a n ,・ a .综上，f (x)min a 1 — I n a ,1 ：： a1-a(1 —1 n a) <0, 2«f(1)=： A0,2 1 2f (e) =— e -a >0,2(II)由(l )得51an 十%)n ，所以n11 1 1T n =2 — 3 (―)24 (—)3K (n 1)(—)n2 2 2 21111 1 Tn =2 (亍23 (；)34 (亍4K (n 1)( )n 12 2 2 2 21 11 1 1由①-②得一T n =1 • (-)2(-)3- K (—)n_(n 1)(-)n12 2 2 2 2十心严]1=1 4 2-(n 1)(')n11—122(n 3)(2n-2n-1)2n(2 n 1)证明如下：证法1: (1)当n=3时，由上验算显示成立。

天津市南开中学2015届高三数学统练7 数列文

天津市南开中学 2015 届高三数学统练 7 数列文一、选择题等差数列{an}中， a1 1 ， a3 a5 14 ，其前 n 项和 Sn 100 ,则 n =（）A. 9B. 10C.11D. 12已知等差数列 an 中， a2 a5 a9 a12 60，那么其前 13 项和为（）A. 390B. 195C.180D. 120设 an是首项为 a1 ，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1，S2，S4，成等比数列，则 a1 =（）11A. 2B. 2C. 2D. 2等差数列{an}的公差是 2，若 a2, a4, a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn （）A. n(n 1)B. n(n 1)n(n 1) C. 2n(n 1) D. 2等差数列 an 中的前 12 项的和为 S12 354,其中奇数项之和 S奇与偶数项之和 S偶的比为2732 ,则 an的公差 d ().A. 10B. 30C. 5D. 15 设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d ．若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k （）A. 2B. 4C.6D. 8 已知数列 an 的通项公式为 an (1)n1(4n 3) , Sn 为其 n 项和,则 S15 S22 S31 的值为()A. 13B. 76C.46D. 76设等差数列{an}的公差为 d ，若数列{2a1an }为递减数列，则（）A. d 0B. d 0C. a1d 0D. a1d 0 数列anan 的通项公式为(2 3)n1(2 3)n11 ,则下列表述正确的是()A.最大项为 a1 ,最小项为 a3B.最大项为 a1 ,最小项不存在C.最大项不存在, 最小项为 a3D. 最大项为 a1 ,最小项为 a4 数列 anan1 满足 2an,0 an 2an 1,1 2 1; 2an 1 .若 a16 7,则 a20 的值为()6531A. 7B. 7二、填空题C. 7D. 7已知数列的通项 an 5n 2 ，则其前 n 项和 Sn ．数列 {an } 的前n项和为Snan，若1 n(n 1)，则S5=．等比数列{an}中,已知 a1 an 66, a2an1 128, Sn 126,则 n ___ .已知{an}等比数列, Sn 是它的前 n 项和, S10 2, S30 S10 12则 S60 S30 ___ .在等差数列 an 中，a1 7 ，公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，当且仅当 n 8 时 Sn 取最大值，则 d的取值范围_________.已知{an}是等差数列, Sn 是{an}的前 n 项和,首项 a1 10 ,并且当 n 6 时, Sn 取得最小值,则公差 d 的取值范围是.等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成等差数列，则 an 的公比为．等比数列 an 的各项均为正数，且 a1a5 4 ，则log2 a1 log2 a2 log2 a3 log2 a4 log2 a5 .三、解答题{an}成等差数列， S3 21， S6 24 ，求数列{| an |}的前 n 项和Tn .设 {an } 是等差数列， bn( 1 )an 2b1 b2，已知 b3218b1b2 b3，1 8 ，（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求等差数列{an}的通项 an .天津南开中学 2015 届高三数学统练 7 参考答案三解答题19解：21 24 3a1 6a1 3d 1 5dda19 2n 5 时， an 0 n 6 时， an 0（1） n 5 Tn a1 an n2 10n（2） n 6 Tn | a1 | | an | a1 a2 a5 a6 an 25 (a6 an ) 25 25 (a1 a2 a5 a6 an ) 50 Sn n2 10n 50∴Tn n2 n2 10n(n 5) 10n 50(n 6)∴ an 2n 5 或 2n 3。

天津市南开中学高考数学统练试卷(7)理(含解析)

2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 12．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜04．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（） A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质分别取x=1或﹣1，代入函数解析式列出方程组，求出a、b 的值，即可求出a+b的值．解答：解：∵y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，∴，解得，∴a+b=，故选：C．点评：本题考查函数奇偶性的性质，以及方程思想，属于基础题．2．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质分别进行判断即可．解答：解：a=（）＞（）＞（）＞0，即a＞b，c=log＜0，即a＞b＞c，故选：B点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数幂和对数的性质是解决本题的关键．3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜0考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；换元法．分析：为便于处理，不妨设t=（）x，于是可转化为求关于t的方程t2+2t+a=0的根的问题，明显地，原方程有正实数解，即可转化为关于t的方程在（0，1）上有解的问题，即可得解．解答：解：设t=（）x，则有：a=﹣[（）2x+2（）x]=﹣t2﹣2t=﹣（t+1）2+1．原方程有正数解x＞0，则0＜t=（）x＜（）0=1，即关于t的方程t2+2t+a=0在（0，1）上有实根．又因为a=﹣（t+1）2+1．所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2，即1＜（t+1）2＜4，即﹣4＜﹣（t+1）2＜﹣1，即﹣3＜﹣（t+1）2+1＜0，即得﹣3＜a＜0．故选：B．点评：本题考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查，属于中档题．4．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：由2＜a＜3，知M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．解答：解：∵2＜a＜3，∴M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．故选A．点评：本题考查比较不等式的大小，解题时要注意均值不等式的合理运用．5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数考点：全称命题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：考查函数f（x）的单调性，排除选项A、C；a=0时，f（x）是偶函数，无论a取何值，f（x）都不是奇函数，由此得出正确选项．解答：解：∵f（x）=x2+，∴f′（x）=2x﹣=，令2x3﹣a=0，解得x=，∴当x＞时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当x＜时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴选项A、C错误；又a=0时，f（x）=x2是偶函数，∴B正确；无论a取何值，f（x）都不是奇函数，∴D错误．故选：B．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，是综合性题目．6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式易得xy∈（0，]，换元可得z=t+，t∈（0，]，由“对勾函数”的单调性可得．解答：解：∵x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，∴﹣x，﹣y∈（0，+∞），且（﹣x）+（﹣y）=1，∴由基本不等式可得xy=（﹣x）（﹣y）≤=当且仅当﹣x=﹣y即x=y=﹣时，上式取最大值，即xy∈（0，]，令xy=t，则t∈（0，]，已知式子化为z=t+，由函数的单调性易得函数z=t+在t∈（0，]上单调递减，∴当t=时，xy+有最小值+4=，故选：B．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及“对勾函数”的单调性，属基础题．7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）考点：导数的加法与减法法则；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．解答：解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．点评：本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：常规题型．分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．解答：解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）=0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围解答：解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有＜2+，即，即有1＜a＜②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；综上分析可知a∈（0，）；故选A．点评：本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（1）==0∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或⇔0＜x＜1或x＜﹣1故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；压轴题．分析：首先应根据条件将问题转化成：在上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x﹣k在上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．解答：解：方法一：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x﹣k在上有两个不同交点．对于临界直线m，应有﹣k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，1），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴﹣k＜1，即k＞﹣1．综上，﹣1＜k≤．方法二：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．化简方程，得x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0．令g（x）=x2﹣（2k+2）x+k2﹣1，则由根的分布可得，即，解得k＞﹣1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，﹣1＜k≤，故选A．点评：本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为（﹣1，1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3等价于①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得﹣1＜x＜，解③求得≤x＜1，综合可得，原不等式的解集为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是（2，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：据对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则转化成x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，解方程即可．解答：解：由题得得x＞1．又∵2log2x﹣log2（x﹣1）=log2（）=m，∴可得=2m，即x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，可得：，解得所以实数m的取值范围是：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查对数的真数大于0、对数的运算法则、二次方程的解法，解题过程中要注意对数的定义域，属于中档题．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：将方程进行移项，然后再根据利用绝对值的几何意义进行求解．解答：解：x2+x+|a﹣|+|a|=0即|a﹣|+|a|=﹣（x2+x），令y=﹣（x2+x），分析可得，y≤，若方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则必有|a﹣|+|a|≤，而|a﹣|+|a|≥，当且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=，故且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=﹣（x2+x）成立，即x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，可得实数a的取值范围为，故答案为：．点评：此题考查绝对值不等式的解法及其几何意义，解题的关键是利用零点分段法进行求解，此类题目是高考常见的题型．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出解答：解：如图两个曲线的交点为（1.25，±0.5），所以由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为：2=2=2（y﹣）|=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的应用，正确求导积分变量以及变量范围，熟练掌握微积分基本定理定理是解题的关键．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ﹣3e ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f （x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．解答：解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3．令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故答案为：[﹣2，1）．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．…（4分）乙得分的分布列如下：X ﹣15 0 15 30P．…（6分）（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，…（8分）．…（10分）故甲乙两人至少有一人入选的概率．…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x ∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．（Ⅱ）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），因为x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0解得a=e或a=3e．经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e，或a=3e．（Ⅱ）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2，解得由（Ⅰ）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），令h（x）=2lnx+1﹣，则h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数．所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有有h（x0）=2lnx0+1﹣=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入得4x02ln3x0≤4e2又x0＞1，注意到函数4x2ln3x在（1，+∞）上是增函数故1＜x0≤e，再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，由f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2解得，所以得．综上，a的取值范围为．点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．。

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