立体几何之点线面之间位置关系
立体几何一之点线面
解析：取 中点 ，连结 ，∵ 分别是 的中点，
∴ 且 ，
∴异面直线 所成的角即为 所成的角，
在 中， ，
∴ ，异面直线 所成的角为 ．
说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形 内角 是钝角时，表示异面直线 所成的角是它的补角。
1、“直线 ( )
A、充要条件． B、充分非必要条件．
C、必要非充分条件． D、非充分非必要条件．
2．若 、 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )B
A．若 ， ，则 ；B．若 ， ，则 ；
C．若 ， ，则 ； D．若 ， ，则 ．
3．设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是【 】
A． B．
C． D．
3．在空间中，给出下列4个命题(其中 表示直线， 表示平面)，则正确命题的序号是( )
变式练习：
1、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．
解析：
2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
解析：法（一）连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，
（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．
（3）求异面直线BC和AA′的距离．
点线面位置 平行关系
立体几何 点线面位置
一、知识点
1、空间两条直线的位置关系：
⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪
⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2、已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
3、直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面内（有无数个公共点）；
（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l α⊂；l P α= ；//l α. 4、 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.
分别记作//αβ；l αβ= .
5、证明平行关系
二、基础检测
1、两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）.
A ．相交
B ．重合
C ．相交或重合
D ．以上都不对 2、下列推断中，错误的是（ ）.
A ．,,,A l A
B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=
C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉
D ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且A 、B 、C 不共线,αβ⇒重合
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
(1)两个平面平行---没有交点
(2)两个平面相交---有一条公共直线
3.顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
2、证明空间三线共点
可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证明另两条直线的交点在此直线上。
3、证明空间几点共面问题
可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面内
三、空间两直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线
在同一平面内
有且只有一个公共点
平行直线
在同一平面内
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形语言
符号语言
文字语言（读法）
点 在直线 上
点 不在直线 上
点 在平面 内
点 不在平面 内
直线 、 交于 点
直线 在平面 内
直线 与平面 无公共点
直线 与平面 交于点
平面 、 相交于直线
二、平面的基本性质
1.公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
2.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线
高中数学高考45第八章 立体几何 8 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
A.30°
B.45°
√C.60°
D.90°
解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF， 故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C， ∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
1234பைடு நூலகம்6
3.[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD， DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C__＝__B_D_时，四边形EFGH为菱形；
解析 ∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)当AC，BD满足条件_A__C_＝__B_D__且__A_C_⊥__B_D__时，四边形EFGH为正方形.
解析 ∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF∥AC，EH∥BD，且 EF＝12AC，EH＝21BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
√C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c 解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面； 若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面； 若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面； 由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
123456
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
点线面位置关系总结
立体几何中的选择填空题类型
1．位置关系
线线位置关系：共面和异面，共面包括相交和平行（一般不考虑两直线重合）；异面是指既不平行也不相交的两条直线；这里特别强调一个特殊的位置关系：垂直，垂直包括两种，共面垂直和异面垂直，没有特别指明的话，两种都有可能。
线面位置关系：包括三种位置关系：相交、平行、直线在平面内（也称为平面过直线）。特别是直线在平面内，容易被忽略掉。
平面与平面的位置关系：包括三种：平行、相交、重合。两个面相交一定是有无数个交点的，这些交点都是在同一条直线即交线上。
2.平面的四种确定方式
（1）不共线的三个点可以确定唯一的一个平面
（2）直线及直线外的一点可以确定唯一的一个平面
（3）两条相交直线确定唯一的一个平面
（4）两条平行直线确定唯一的一个平面（也就是说两条平行直线必定共面）
1.四大证明问题总结
2.有关角的问题总结
||||a b ⋅ 条直线的方向向量
||||a n ⋅ 角，注意角的范围。 这里的两个向量分别是直12
||||
n n ⋅
注意求出余弦值之后，观察题中角的范围，最后确定角不能只看求出的余弦值的正负就决定角是锐3. 最小角定理（也称三余弦定理）
观察右图，直线OA 在该平面内的投影是直线AB ，直线AC 是该平面内的任意一点， A 为这三条直线的公共交点，则有：
12
cos cos cos θθθ=，此处的1θ为线面角。
该定理常用于求线面角，也可以将线线角、二面角经过转化之后，
使用该定理求出。
6.对于立体几何中的选择填空题类型，我们的基本思路就是：对于位置关系判定的，一律进行举反例判断，对于求空间角的选择填空题，一是寻找出该角的平面角，转化为求一个平面角，常用的工具就是最小角定理或三角形的相关知识内容，如果发现此方法比较困难的时候，应马上进行建系，使用向量法来解决。
高考数学复习第8章立体几何第三课时空间点线面间位置关系理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线． 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号 都填上)．
38/66
【解析】 本题是判断两条直线的位置关系，具体分析如下： A，M，C1 三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C∉平面 AD1C1B， 因此直线 AM 与 CC1 是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线， AM 与 DD1 也是异面直线；①②错误，④正确；M，B，B1 三点 共面，且在平面 MBB1 中，但 N∉平面 MBB1，因此直线 BN 与 MB1 是异面直线，③正确．
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行 或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假 设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不 经过点 B 的直线是异面直线．
36/66
思考题 2 (1)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M， N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：
22/66
(3)∵EF∥BD 且 EF<BD， ∴DE 与 BF 相交．设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1.又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1. ∴DE，BF，CC1 三线交于点 M. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略
立体几何——点线面的位置关系
点线面的位置关系
〔1〕四个公理
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号语言：A l,B l,且A ,B l .
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
②经过两条相交直线,有且只有一个平面_______________________
③经过两条平行直线,有且只有一个平面_______________________
它给出了确定一个平面的依据.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线〔两个平面的交线〕.
符号语言：P ,且P I l,P 1.
公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行
符号语言：a//l,nb//l a//b 0
〔2〕空间中直线与直线之间的位置关系
1 .概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
两条异面直线a,b ,经过空间任意一点O作直线a //a,b //b ,我们把
a与b所成的角〔或直角〕叫异面直线a, b所成的夹角.〔易知：夹角范围
0 90 〕
公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行.
符号语言：a〃l,且b//l a//b 0
定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.〔注意：会画两个角互补的图形〕
小,击〃心相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；u向宜线
2 .位置关系：八’ 平行直线：同一平面内,没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、内容讲解
知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。 平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。 点的表示：大写字母 点A 点B
线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b
平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）
A a A ∈a 点A 在直线a 上
A a
A ∉a 点A 在直线a 外 A
α A ∈α 点A 在平面α上（内） A α
A ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I
直线a,b 交于点A a α
a α⊂
线a 在面α内 a
α a α⊄ 线a 在面α外
a A
α a A α=I 直线a 交α于点A
l αβ=I
平面α交β于线l
与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
指出：（1）符号语言：____________________________________．
（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
高中数学第一章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系教案全国公开课一等
三、两个平面垂直性质定理
[情境问题]： 为何墙面和地面垂直时候，墙体就不轻易坍毁呢？
将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书 面沿书面与桌面交线转动时，它会怎么样呢？
由物理学原理知，它会坍毁．
[探索研究 ]： 假如两个平面相互垂直，那么在第一个平面内垂直于
交线直线，是否垂直于第二个平面呢？
解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC， VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角A-VC-B平面 角．由∠ACB是直径上圆周角，知 ∠ACB =90°。 所以，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥AC．由两个平面垂直性质定理，知直 线DE与平面VBC垂直。
3/13
二、两个平面垂直判定定理
假如一个平面经过另一个平面一条垂线，那么这两个平面 相互垂直．
已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）． 求证：α⊥β。
[证实]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD． 在 平 面 β 内 过 点 B 作 直 线 BE⊥CD ， 则
∠ABE是二面角α-CD-β平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。
两平面垂直 判定和性质
1/13
从一条直线出发两个半
平面1所、组二成面图角形平叫面做角二
一、二面角定义： 1、依据定义作出来 面角。这必条须直满线足叫三做个二条面件 2、利用直线和平面垂 角棱2。、这二两面个角半平平面面角叫
立体几何-点线面关系
立体几何
第二节
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节主要包括2个知识点：
1.平面的基本性质；
2.空间两直线的位置关系.
突破点(一) 平面的基本性质
1．公理1～3
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
点、线、面的位置关系
1．证明点共线问题的常用方法
(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；
(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 2．证明线共点问题的方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点． 3．证明点、直线共面问题的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
[典例] 已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝1
3
DC .求证：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三直线FH ，EG ，AC 共点． [方法技巧]
平面的基本性质的应用
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )
立体几何——点线面的关系
第二部分点、线、平面之间的位置关系
第一讲空间点、直线、平面之间的位置关系
一、导入
1. 正确理解平面的儿何概念，掌握平面的基本性质；
2 .熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，熟练点线面关系符号语言的书写:;
3. 结合图形理解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系；
4 .进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换；
5 .进一步培养学生的空间想象和全面思考问题的能力.
二、知识点梳理
（一）平面的表示方法
1. 平面是无限延伸的，但常用平面的一部分来表示平面.
2.画法:常用平彳二四边形
3.1 • （标记在角上）
②平面A BCD ③平面A C或平面BD
注意：（1）平面的两个特征:①无限延伸②平的（没有厚度）
（2）一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分（二）点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示：点A、线a、面a
(2)集合关系:A e a, A e a,a u a
例1判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打否则打X
1、一个平面长4米，宽2米；（）
2、平面有边界；（）
3、一个平面的面积是2 5 cnr :
4、一个平面可以把空间分成两部分・（）
例2如图，用符号表示以下各概念：
①点力、B在直线*上；
②直线a在平面a内；
点C在平面01内；
③点O不在平面0C内；直线b不在平面a内.
变式训练一
1 •将下列符号语言转化为图形语言:
(1) B 已卩、A el, Bel
(2 ) a u a、b u 卩、ar\ 卩= c y a // c, b cc = p
2. 将下列文字语言转化为符号语言：
立体几何——点线面的位置关系
点线面的位置关系
（1）四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβα
β∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把
a '与
b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角范围
090θ<≤︒） 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）
2.位置关系：⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪
⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;
共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
立体几何点线面知识复习
点到平面的距离： 点P是平面外一点,
P
n
过 点P任 意 作 一 条 斜 线 与 平 面交 于 点A, 平 面的 法 向 量 为n，点P到平面的距离为d
A
PA n
d
(即PA在n上 的 投 影 的 绝 对 值)
n
注意： 投影必须加绝对值符号！！！
巩固练习 1.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,
立体几何-------点线面知识梳理
1.线线关系
相交直线 同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
两直线的
平行直线 同一平面内，没有公共点；
位置关系
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点。
异面直线所成角
b
a
b
b
O
a
O
a 异面直线所成角
a 的范围： 00 ,900
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线a`//a, b`//b，我们把 a`与b`所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
B 设平面OAB的法向量n ( x, y, z)
O
A x
y
由OA n OB n
0 0
x
y
y0 z0
令x 1,则y 1, z 1
n (1,1,1)
赋值
知识探究
平面的法向量
必修二第一章立体几何和第二章点线面之间关系知识点归纳
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
,,A l B l
l A B ααα
∈∈⎧⇒⊂⎨
∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
若A ，B ，C 不共线，则A ，
B ，
C 确定平面α
推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面
若A l ∉，则点A 和l 确定平面α
推论2：过两条相交直线有且只有一个平面 若m n A = ，则,m n 确定平面α 推论3：过两条平行直线有且只有一个平面
若m n ，则,m n 确定平面α 公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且
公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
点线面位置关系
(1)位置关系的分类．
(2)平行公理：公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设 a，b，c 是三条直线，
a∥b，c∥b，则
.
公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用． 作用：判断空间两条直线平行的依据．
(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 (4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做 过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的 ． ，已知异面直线 a，b，经 叫做异面直线 a 与 b 所成
(2012 年大纲全国)三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1 ＝60°，则异面直线 AB1 与 BC1 所 成角的余弦值为________．
π
1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的 这条直线在此平面内． 符号表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l 作用：可用来证明点、直线在平面内． α. 在一个平面内，那么
(2)公理 2：过
上的三点，有且只有一个
平面．符号表示为：A，B，C 三点不共线⇒有且只有一个平 面 α，使 A∈α，B∈α，C∈α.作用：①可用来确定一个平面， 为空间图形平面化作准备；②证明点线共面．
证明空间两直线平行最常用的方法：平行直线的传递性，即如果 a∥b，b∥c，则 a∥c. 证明两直线为异面直线的方法： (1)定义法(不易操作)． (2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严 密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
空间几何中的点线面的位置关系
空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。
一、点与线的位置关系
1.1 点在直线上
当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。
1.2 点在直线上的延长线上
当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。
1.3 点在线段上
当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。
1.4 点在线段的延长线上
当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。
二、点与面的位置关系
2.1 点在平面上
当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
2.2 点在平面上的延长线上
当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。
2.3 点在平面外
当一个点不在平面上时，称该点在平面外。点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。
三、线与面的位置关系
3.1 线在平面上
当一条线位于平面内时，称该线在平面上。线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
3.2 线平行于平面
当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。
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C
B
A
l 3
l 2
l 1
第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系
考试要求：
1、 熟练掌握点、线、面的概念；
2、 掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；
3、
掌握点、线、面垂直、平行的性质
知识网络：
知识要点：
1、公理
（1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A 、B ∈a , A 、B ∈α，则
（2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P ，则α、β有且只有一条过点P 的公共直线 a
（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面
3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900
例1、已知直线1l 、2l 和3l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线1l 、2l 和3l 在同一平面上.
空间图形的关系
空间基本关系与公理 平行关系 垂直关系 公理 点、线、面的位置关系 判定 性质 应用 应用
性质 判定
例2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值.
分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种: （1）三个平面相互平行
（2）两个平面相互平行且与第三个平面相交
（3）三个平面两两相交且交线重合
（4）三个平面两两相交且交线平行
（5）三个平面两两相交且交线共点
例3、已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。
求证：四边形是梯形。
例4、如图，A是平面BCD外的一点,G H分别是,
ABC ACD
∆∆的重心，
求证：//
GH BD．
例5、如图，已知不共面的直线,,
a b c相交于O点，,
M P是直线a上的两点，,
N Q分别是,b c上的一点求证：MN和PQ是异面直线
例6、已知正方体ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
的棱长为a，则棱A
1
B
1
N
M
H
G
D
C
B
A
α
c
b
a
Q
P
N
M
O
A1
C1
D1
所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是
直线与平面平行、平面与平面平行
1、 直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内
2、 直线和平面平行的判定及性质
（1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行）
（2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线
平行。（简述为线面平行线线平行）
3、 两个平面的位置关系：平行、相交
4、 两个平面平行的判定与性质
（1） 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （2） 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离
例1、如图，在三棱锥P-ABC 中，点Ο、D 分别是AC 、PC 的中点，求证： OD//平面PAB
例2、如图在四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，
求证：MN//平面PAD
例3、如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD//平面CB 1D 1
j
E N M D C B A P D O C
B A P
D1C
B1
1
D
C
A
B
例2、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；
（II）求证：AC 1//平面CDB1；
（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．
例3、如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90。,
棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点。
（1）求BN的长；
（2）求BA1，B1C夹角的余弦值；
（3）求证A1B⊥C1M
A
B C
A1
B C
N
M
例4、已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，
⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=12
AB =1，M 是PB 的中点。证明：面PAD ⊥面PCD
例5、已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形， ⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点.（1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值.
例6. 如图所示，在斜边为AB 的Rt △ABC 中，过A 作PA ⊥平面ABC ，AM ⊥PB 于M ，AN ⊥PC 于N 。 （1）求证：BC ⊥面PAC ；
（2）求证：PB ⊥面AMN ；
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tan θ表示△AMN 的面积，当tan θ取何值时，△AMN 的面积最大？最大面积是多少？