CFD程序验证的虚构解方法及其边界精度匹配问题
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一
题； 数值 模拟 验证 活动 主要 将 数 值模 拟 结 果 与 高精 度
解 进行 比较 ， 并量 化其 数值 误差 。 当前 ， 行程 序 验证 进
主要 有 两 条 途径 ， 一 ， 其 软件 工 程 的手 段 ， 即通 过大 量 的测 试来 完成 ； 二 ， 值算 法验证 。软件工 程 方法 主 其 数
收稿 日期 ：０ ７ ３ Ｄ ２０ ３ ６ ４ 修 订 日期 ：０ ７１ ３ ２０ － ０ ０－
在 错误 。值 得注 意 的是 ， 虚 构解 不 必 具 有 实 际 的物 该 理 意义 ， 程序 验 证 仅 仅是 一个 数 学 的过 程 。在虚 构 解
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维普资讯
第３ ７卷
第 ６期
航 空 计 算 技 术
Ａｅ ｏ ａ ｔｃ ｌＣｏ ｕｔｎ ｃ ｎｉｕｅ ｒ ｎ ｕ ｉａ ｍｐ ｉ ｇ Ｔｅ ｈ ｑ
Ｖ０． ７ Ｎｏ ６ １３ ． ＮＯ ２０ ７ Ｖ． ０
而且 问题 本身 往往 是 多学科 的耦合 。与之对 应 的求解 程 序也变 得庞 大 ， 高达上 万行 ， 十万 行 ， 至更 高 ， 几 甚 复 杂 度越来 越高 。这 对程 序 的可靠性 提 出 了较 严 峻 的考
验， 程序 的验证 变得 更 为重要 。
验证 方法 ， 即为本 文 的 主要 内容 。该 方法 克服 了传 统
计 、 析与优 化产 生 了深远 的影 响 。然而 ， 方 面 由于 分 一
偏 微分 方程学 科 的发展 ， 目前 为止 ， 到 对非 线性 问题 能 提供 的解析 解 极 其 有 限 ， 当 解 析 解 存 在 时 ， 且 限制 颇 多 ， 当解 存 在 时 ， 么 方程 的某 些项 缺 省 ， 样 的解 如 要 这 不 具有 普 遍 性 ， 么为 无 穷 展式 ， 要 数值 上 不 易 实现 ； 另
引 言
随着 电子计 算 机 的 飞速 发 展 ， 力 地 推 动 了偏 微 有 分方 程 （ ） 组 的数 值 求 解 ， 模 与仿 真 技 术 对 工 程 设 建
精 度 阶验证 ， 即展 示程 序 的渐 进 实 际精 度 阶与 数值 算 法 的理 论精 度 阶一致 。程 序验证 活 动主要 解决 程 序 的 正 确性 问题 ， 也是 进行 Ｃ Ｄ可 信 度研 究 的重 要 前沿 课 Ｆ
解析 解与 网格 收 敛 分析 等 方 法 的缺点 ， 一种 严 格稳 是 健 的程序 验证 手 段 。从 现 有 的 资料 来 看 ， 内对 该 方 国 法 的还未 开展 积极 的研究 。针 对 目前存 在 的主要 问题 和发 展方 向 ， 文 着 重对 程 序 验 证 的虚构 解 方 法 进行 本 了理 论研究 和数 值 实验探 索 。
要包 括 白盒测 试 、 黑盒 测试 以及 回归测 试等 ； 值算 法 数 验证 方法 主要 包 括 高 精 度解 方法 、 虚构 解 方 法 等 。其 中， 虚构 解方法 是 最 近 才 发展 起 来 的一 种 有效 的程 序
方面 ， 由于实 际 问题 越 来 越 复杂 ， 解 域 不但 复杂 ， 求
２０ ０ ７年 １ 月 １
Ｃ Ｄ程 序 验 证 的 虚 构 解 方 法 及 其 边 界 精 度 匹 配 问题 Ｆ
杨 振 虎
（ 中国航 空计 算技 术研 究所 ，陕 西西安 ７０６ ） １０ ８
摘 要 ： 用网格 收敛 分析 和虚 构解 理 论对 程序 验证 进 行 了理 论 探 索 与数 值 实验 研 究， 采 并发 展 完善 了该
和 由虚 构解 修改 边 界 条 件 以 产 生 预先 规 定 的解 ， 然后 进 行 网格 收敛分 析 来 确 定 实 际 的 收敛 阶 ， 过 分析 对 通 比实 际 的收敛 阶与理论 上 的收敛 阶来 判 断程 序是 否存
误差得 到 量化 和有 效 控 制 以后 ， 实 验结 果 的 比较 才 与 是有 意义 的 。因此 ， 验证 是 计 算 流 体力 学 可 信 度 研 究 中最 基础 、 最重 要 的一 步 。验 证 又 可分 为 程 序 验 证 和 数值模 拟验证 。程序 验证 是一个 确 定程序 没 有 编码错 误 的过程 。也就 是令 人信 服 的演示 求解方 程 的 程序 正 确 的求 解 了方程 ， 更精 确一 点 ， 在这 里程序 验 证 指 的是
分析 活动 ； 确认 通 过 将数 值 模 拟 结 果 与 实验 结 果 进 行
比较 ， 对模 型 的不 确定 度进 行 量化 ， 以确定 计 算 软件 是 否求 解 了正确 的方 程 ， 一 种建 模 活 动 。 只有 当数 值 是
１ 虚 构 解 方 法
该 方 法 的核 心 思想是 通过 添加 源项 修改 控制 方程
解方法是一种严格稳健有效的程序验证方法， 用它完成的程序验证具有较高的可信度。 关键词 ： 构解方法；网格收敛分析 ；计算流体力 学 虚
中 图 分 类 号 ： ２２ ０ ４ 文 献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ １６４ ２ ０ ）６ ０ ５０ １７ － Ｘ（０７ ０ － ０ － ５ ０ ５
对 Ｃ Ｄ程 序尤 其如 此 ， Ｆ 当前对 Ｃ Ｄ程序 的 可信度 Ｆ
研究 主要 有验证 和 确认 两种 策略 。验证 通过 将 数值 解 与解 析解 或高精 度 解进行 比较 ， 数值 误差 进行 量 化 ， 对 以确定计 算软件 是 否正 确 地 求 解 了方 程 ， 一种 数 值 是
方法。给 出了虚构解程序验证 中一种比较简单的源项处理方案 ； 给出了虚构解程序验证 中气动方程组一
种通 用 的虚构 解 系数 选取 方 法 ， 用 虚构 解 方法对 二 维结 构 网格 Ｅ ｌ 流动 计 算程序 Ａ Ｃ Ｄ进 行 了验 最后 ｕｅ ｒ Ｒ２ 证， 并发现 了该程 序边 界条 件 实现精 度 与流 场 内部精 度 不相 匹配 问题 ． 并给 予 了修 正 ， 值 实践证 明虚 构 数
题； 数值 模拟 验证 活动 主要 将 数 值模 拟 结 果 与 高精 度
解 进行 比较 ， 并量 化其 数值 误差 。 当前 ， 行程 序 验证 进
主要 有 两 条 途径 ， 一 ， 其 软件 工 程 的手 段 ， 即通 过大 量 的测 试来 完成 ； 二 ， 值算 法验证 。软件工 程 方法 主 其 数
收稿 日期 ：０ ７ ３ Ｄ ２０ ３ ６ ４ 修 订 日期 ：０ ７１ ３ ２０ － ０ ０－
在 错误 。值 得注 意 的是 ， 虚 构解 不 必 具 有 实 际 的物 该 理 意义 ， 程序 验 证 仅 仅是 一个 数 学 的过 程 。在虚 构 解
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航 空 计 算 技 术
Ａｅ ｏ ａ ｔｃ ｌＣｏ ｕｔｎ ｃ ｎｉｕｅ ｒ ｎ ｕ ｉａ ｍｐ ｉ ｇ Ｔｅ ｈ ｑ
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而且 问题 本身 往往 是 多学科 的耦合 。与之对 应 的求解 程 序也变 得庞 大 ， 高达上 万行 ， 十万 行 ， 至更 高 ， 几 甚 复 杂 度越来 越高 。这 对程 序 的可靠性 提 出 了较 严 峻 的考
验， 程序 的验证 变得 更 为重要 。
验证 方法 ， 即为本 文 的 主要 内容 。该 方法 克服 了传 统
计 、 析与优 化产 生 了深远 的影 响 。然而 ， 方 面 由于 分 一
偏 微分 方程学 科 的发展 ， 目前 为止 ， 到 对非 线性 问题 能 提供 的解析 解 极 其 有 限 ， 当 解 析 解 存 在 时 ， 且 限制 颇 多 ， 当解 存 在 时 ， 么 方程 的某 些项 缺 省 ， 样 的解 如 要 这 不 具有 普 遍 性 ， 么为 无 穷 展式 ， 要 数值 上 不 易 实现 ； 另
引 言
随着 电子计 算 机 的 飞速 发 展 ， 力 地 推 动 了偏 微 有 分方 程 （ ） 组 的数 值 求 解 ， 模 与仿 真 技 术 对 工 程 设 建
精 度 阶验证 ， 即展 示程 序 的渐 进 实 际精 度 阶与 数值 算 法 的理 论精 度 阶一致 。程 序验证 活 动主要 解决 程 序 的 正 确性 问题 ， 也是 进行 Ｃ Ｄ可 信 度研 究 的重 要 前沿 课 Ｆ
解析 解与 网格 收 敛 分析 等 方 法 的缺点 ， 一种 严 格稳 是 健 的程序 验证 手 段 。从 现 有 的 资料 来 看 ， 内对 该 方 国 法 的还未 开展 积极 的研究 。针 对 目前存 在 的主要 问题 和发 展方 向 ， 文 着 重对 程 序 验 证 的虚构 解 方 法 进行 本 了理 论研究 和数 值 实验探 索 。
要包 括 白盒测 试 、 黑盒 测试 以及 回归测 试等 ； 值算 法 数 验证 方法 主要 包 括 高 精 度解 方法 、 虚构 解 方 法 等 。其 中， 虚构 解方法 是 最 近 才 发展 起 来 的一 种 有效 的程 序
方面 ， 由于实 际 问题 越 来 越 复杂 ， 解 域 不但 复杂 ， 求
２０ ０ ７年 １ 月 １
Ｃ Ｄ程 序 验 证 的 虚 构 解 方 法 及 其 边 界 精 度 匹 配 问题 Ｆ
杨 振 虎
（ 中国航 空计 算技 术研 究所 ，陕 西西安 ７０６ ） １０ ８
摘 要 ： 用网格 收敛 分析 和虚 构解 理 论对 程序 验证 进 行 了理 论 探 索 与数 值 实验 研 究， 采 并发 展 完善 了该
和 由虚 构解 修改 边 界 条 件 以 产 生 预先 规 定 的解 ， 然后 进 行 网格 收敛分 析 来 确 定 实 际 的 收敛 阶 ， 过 分析 对 通 比实 际 的收敛 阶与理论 上 的收敛 阶来 判 断程 序是 否存
误差得 到 量化 和有 效 控 制 以后 ， 实 验结 果 的 比较 才 与 是有 意义 的 。因此 ， 验证 是 计 算 流 体力 学 可 信 度 研 究 中最 基础 、 最重 要 的一 步 。验 证 又 可分 为 程 序 验 证 和 数值模 拟验证 。程序 验证 是一个 确 定程序 没 有 编码错 误 的过程 。也就 是令 人信 服 的演示 求解方 程 的 程序 正 确 的求 解 了方程 ， 更精 确一 点 ， 在这 里程序 验 证 指 的是
分析 活动 ； 确认 通 过 将数 值 模 拟 结 果 与 实验 结 果 进 行
比较 ， 对模 型 的不 确定 度进 行 量化 ， 以确定 计 算 软件 是 否求 解 了正确 的方 程 ， 一 种建 模 活 动 。 只有 当数 值 是
１ 虚 构 解 方 法
该 方 法 的核 心 思想是 通过 添加 源项 修改 控制 方程
解方法是一种严格稳健有效的程序验证方法， 用它完成的程序验证具有较高的可信度。 关键词 ： 构解方法；网格收敛分析 ；计算流体力 学 虚
中 图 分 类 号 ： ２２ ０ ４ 文 献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ １６４ ２ ０ ）６ ０ ５０ １７ － Ｘ（０７ ０ － ０ － ５ ０ ５
对 Ｃ Ｄ程 序尤 其如 此 ， Ｆ 当前对 Ｃ Ｄ程序 的 可信度 Ｆ
研究 主要 有验证 和 确认 两种 策略 。验证 通过 将 数值 解 与解 析解 或高精 度 解进行 比较 ， 数值 误差 进行 量 化 ， 对 以确定计 算软件 是 否正 确 地 求 解 了方 程 ， 一种 数 值 是
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种通 用 的虚构 解 系数 选取 方 法 ， 用 虚构 解 方法对 二 维结 构 网格 Ｅ ｌ 流动 计 算程序 Ａ Ｃ Ｄ进 行 了验 最后 ｕｅ ｒ Ｒ２ 证， 并发现 了该程 序边 界条 件 实现精 度 与流 场 内部精 度 不相 匹配 问题 ． 并给 予 了修 正 ， 值 实践证 明虚 构 数