计算方法实验指导书

计算方法实验指导书
理学院实验中心数学专业实验室编写
实验一 列主元消去法
【实验类型】 设计性 【实验学时】 2学时 【实验内容】
1．掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤
2．并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 【实验前的预备知识】 1．计算机基础知识；
2．熟悉编程基本思想； 3．熟悉常见数学函数； 【实验方法或步骤】
1．列主元消去法基本思路
设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。

列主元消去法的基本思想就是通
过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。

2．列主元高斯消去法算法描述
将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ⨯+==表示。

步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得
,max k i k ik k i n
a a ≤≤=
（2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）；
（3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，
,,1j k n =+ ；
（4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算
.ij ij ik kj a a l a =-
步骤 2：回代过程：
（1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）；
（2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算
,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
∑
[实验内容]
在课后习题中选择一个求解线性方程组的题编程计算。

交回实验报告与计算结果 [实验程序] (由学生独立完成)
实验二 最小二乘法
【实验类型】 设计性 【实验学时】 2学时 【实验内容】
1. 曲线拟合的最小二乘法的基本思路和拟合步骤
2. 能根据给定的函数值表构造出次数不相同的拟合多项式。

【实验前的预备知识】
1．计算机基础知识；
2．熟悉编程基本思想； 3．熟悉常见数学函数； 【实验方法或步骤】
1．最小二乘法的基本思路
已知数据对()(),1,2,,j j x y j n = ，求多项式
()()m
i
i i p x a x m n ==<∑
使得2
201010(,,,)n
n
m j
n i j i i i i j a a a R a x y ϕ===⎛⎫==- ⎪⎝⎭
∑∑∑ 为最小，这就是一个最小二乘问题。

2．最小二乘法算法描述：
用线性函数()p x a bx =+为例，拟合给定数据(),,1,2,,i i x y i m = 。

步骤1：输入m 值，及(),,1,2,,i i x y i m = ； 步骤2：建立正规方程组
02111
21m i i i m i i i i
i
m
m m m m i i i i i a y x
x a x y x x
x
a x y x x x -+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣
⎦
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
步骤3：解法方程组，求出系数i a ；
步骤4：输出()p x a bx =+。

[实验内容]
在课后习题中选择一个题目编程计算。

交回实验报告与计算结果 [实验程序] (由学生独立完成)
实验三 龙贝格方法
【实验类型】 设计性 【实验学时】 2学时 【实验内容】
1.理解龙贝格方法的基本思路
2.用龙贝格方法设计算法，编程求解一个数值积分的问题。

【实验前的预备知识】 1．计算机基础知识；
2．熟悉编程基本思想； 3．熟悉常见数学函数； 【实验方法或步骤】
[实验方法]
1． 龙贝格方法的基本思路
龙贝格方法是在积分区间逐次二分的过程中，通过对梯形之值进行加速处理，
从而获得高精度的积分值。

2． 龙贝格方法的算法
步骤1 准备初值()f a 和()f b ，用梯形计算公式计算出积分近似值
()()12
b a
T f a f b -=
+⎡⎤⎣⎦ 步骤2 按区间逐次分半计算梯形公式的积分近似值
令
2i
b a
h -=
，0,1,2,...i = 计算
1
210
2122n n n i i h T T f
x -+=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∑，2i
n = 步骤3 按下面的公式积分（为便于编程，写下列形式） 梯形公式：()223
n n n n
T T S T -=+
辛普生公式：()2215
n n n n S S C S -=+
龙贝格公式：()2263
n n n n C C R C -=+
步骤4 精度控制
当2n n R R ε-<，（ε为精度）时，终止计算，并取2n R 为近似值，否则，将
步长折半，转步骤2。

[实验内容]
在课后习题中选择一个题目编程计算。

交回实验报告与计算结果 [实验程序] (由学生独立完成)
实验四 龙格-库塔法
【实验类型】 设计性 【实验学时】 2学时 【实验内容】
1．用标准四阶龙格－库塔方法设计算法 2. 编程解微分方程初值问题；
【实验前的预备知识】 1．计算机基础知识；
2．熟悉编程基本思想；
3．熟悉常见数学函数； 【实验方法或步骤】
1．龙格－库塔方法的基本思路
设法计算(),f x y 在某些点上的函数值，然后对这些函数值做线性组合，构造
近似计算公式；再把近似公式和解的泰勒展开式相比较，使前面的若干项吻合，从而达到较高的精度。

2． 四阶龙格－库塔方法的计算步骤
求解
'0
()(,)
()()y x f x y a x b y a y ⎧=≤≤⎨
=⎩ 对上述给定的(,)f x y ，用四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题
1
12341213
243(22)6
(,)11(,)2211(,)22(,)
n n n n n n
n n n n h y y k k k k k hf x y k hf x h y k k hf x h y k k hf x h y k +⎧
=++++⎪⎪
=⎪⎪⎪
=++⎨⎪
⎪=++⎪⎪
=++⎪⎩
[实验内容]
在课后习题中选择一个题目编程计算。

交回实验报告与计算结果 [实验程序] (由学生独立完成)。