高等数学第一次课共23页
《高等数学》 课件 高等数学第一章
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
经典高等数学课件无穷小与无穷大四则运算法则演示文稿
Q( x0 )
不确定
当 lim Q( x) 0时 x x0
当 lim Q（x） 0但 lim P( x) 0 时
x x0
x x0
当 lim Q（x） 0且 lim P( x) 0时
x x0
x x0
0 型：约去零因式法. 变形后用四则法则. 0
第二十页，共23页。
例5.
求
lim
x
3x3 4x 2 7x3 5x2 3 .
若
为无穷大,
则
f
1 (x)
为无穷小
;
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
f
1 (x)
为无穷大.
(自证)
意义：关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
想一想：无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？
当x 时,x 1与x均为无穷大, 但( x 1) x不是无穷大.
而无穷大－无穷大= 0吗？ 不一定等零.
f ( x) A , g( x) B , 其中 , 为无穷小
设
A A 1 (B A )
B B B(B ) 无穷小
1
B
1 g( x)
2 B
有界 x U ( x0 )
因此 为无穷小, 且 f ( x) A
g(x) B
推由论极2限. l与im无f穷( x小) 关A系( A定理0),得 x x0
解: lim( x2 5 x 4) 0, 所以商的法则不能用 x 1 又 lim(2x 3) 1 0, x1
但因
lim
x1
x2 5x 4 2x 3
lim( x2 5x 4)
x1
lim(2x 3)
12 5 1 4 21 3
高等数学(一)1课程教学大纲
第一章矢量与坐标
【目的要求】能正确理解矢量的概念，并且能灵活运用这些概念解决一些具体问题；掌握矢量的线性关系及矢量的分解；熟练掌握矢量各种运算的定义、性质、法则以及矢量的各种位置关系及其对应的代数表示式，在此基础上能进行正确的证明、计算；能正确理解矢量的坐标与点的坐标的内在联系和区别，掌握矢量运算的坐标表示及其各种位置关系的坐标表示，并且能熟练地进行运算和论证。
三、泰勒公式
四、函数单调性的判别法
五、函数的极值及其求法
六、函数的最大值和最小值
七、函数的凹凸性与拐点
八、函数图形的描绘
九、曲率
●实践教学内容与安排（4学时）
一、第一章习题
二、描绘函数图形
【作业与思考】第一章部分习题
思考：函数一阶导、二阶导数与函数极值点和拐点有哪些联系？
第六章定积分
【目的要求】掌握积分概念，性质，换元积分法和分部积分法、有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。
【作业与思考】第三章部分习题
思考：微分与积分的联系。
学时分配表
课程内容
学时
理论
第一章中值定理与导数应用
16
第二章不定积分
10
第三章定积分
10
实践
一各章节习题
19
二描绘函数图形
2
三讨论：定积分与不定积分换元法的区别
1
考核
1．第一、二章内容
2
合计
60
教学策略与方法建议：以讲授法为主，辅以练习法、谈话法、讨论法、引导发现法。教学策略上宜以问题的呈现引发学生思考，帮助学生建立数学模型，找出解决问题的一般方法，从而建立概念，掌握有关数学思想方法，巩固定理和法则。
【重点与难点】重点是求导公式及法则。难点是导数与微分概念。
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
高数大一第一节知识点总结
高数大一第一节知识点总结大学的高数课程对于很多理科生来说都是一个巨大的挑战。
无论是对于数学基础薄弱的同学，还是对于数学领域有所了解的同学来说，高数都是一门需要认真学习和掌握的课程。
在大一的第一节高数课上，我们学习了一些基础的数学概念和方法，下面就对这些知识点进行总结和归纳。
第一部分：数列与数列极限数列是高数中一个非常基础也非常重要的概念。
数列可以看作是按照一定规律排列的一系列数值。
在第一节课中，我们学习了数列的概念以及常见的一些数列类型，如等差数列和等比数列。
我们还学习了数列极限的概念。
数列极限可以理解为当数列中的项数趋近于无穷大时，数列的值会趋近于一个确定的值。
数列极限的计算可以使用一些特定的方法，如极限的四则运算法则、夹逼定理等。
第二部分：函数及其基本性质在高数课程中，函数是一个核心概念。
函数可以看作是一种输入和输出之间的映射关系。
在第一节课中，我们学习了函数的定义和性质。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系等。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
我们还学习了函数的图像和函数的图像的基本变换。
在高数课程中，函数的图像是非常重要的，通过观察函数的图像可以更好地理解函数的性质和行为。
第三部分：极限与连续极限是高数课程中一个非常重要的概念。
极限可以理解为当自变量趋于一个确定的值时，函数的值会趋近于一个确定的值。
在第一节课中，我们学习了函数的极限和无穷小的概念。
无穷小可以理解为当自变量趋于一个确定的值时，函数值与这个确定值之间的差异非常小。
我们还学习了极限的四则运算法则和夹逼定理。
连续是一个和极限密切相关的概念。
在高数课程中，连续可以理解为函数在某一点处的极限与函数在该点的函数值相等。
第四部分：导数与微分导数是高数课程中一个重要且难点的内容。
导数可以理解为函数在某一点处的切线的斜率。
导数的计算可以使用一些特定的方法，如导数的基本公式、导数的运算法则等。
在第一节课中，我们学习了导数的定义和性质。
我们还学习了一阶导数和二阶导数的概念。
高数第一册第一章1共33页
二、函数
1. 函数的定义： 设数集 X R ，若存在一个对应法则 f , 使得 x
X, 按法则 f , 有唯一确定的 y R 与之对应 , 则称 f : X R 为定义在 X 上的函数，记为 y = f (x) . 其中，x 称为自变量，y 称为应变量。X 为定义域，f ( X ) 为值 域（由 f 及 X 唯一确定）且 y 称为 f 在点 x 的函数值.
值域为{－1, 0, 1}. 图略. 1, x 0.
（5） 取整函数 y = [x]，其中记号[ x ] 表示不超过 x 的
最大整数，也称为 x 的整数部分。如，
y [1 .8]3 1 , [π ] 3 , 4
.
[ 5 .3] 5 6 , [ 2 ] 2 . 3
2
• •
易见其定义域为Ｒ，
定义域——使函数表达式及实际问题都有意义的自变量的集合. 函数相同——定义域和法则都相同.
例1.
解：4x2 1 0 D[1,1][1,1].
1 x 1
22
例2.
解: x0 D(0,).
例3. 解：因两函数定义的对应法则不同，故它们不相同。
2. 函数的三种表示方法
(1) 表格法 即将自变量与对应的函数值以表格方式给
（2）绝对值函数 值域为[0, + ).
y
x
x, x,
x0, 其定义域为R，
x0.
（3）D i r i c h l e t 函数 其定义 域为R，值域为{
0D , (1}x. )10,,
y
y
a
y=a
xQ, xR\Q.
y=|x|
(c, c)
O
x
x
1, x 0,
（4） 符号函数
一.《高等数学》第一课.
1 科学思维能力 2 计算能力了 3 逻辑推理能力
五．如何考硕士研究生
1 考研与就业的关系 2 考研的得与失
五．全国大学生数学建模
1 数学模型思想广泛渗透
六．高等数学与其它学科课程的关系
1 高等数学是学习大学后继课程的前提.
七．数学发展简史
八．杰出数学家
一．《高等数学》第一课
1 最先接触的数学课 2 最先接触的第一门课 3 数学是一种文化 4 数学是一门艺术
二．数学的属性
1 数学是一种科学 2 数学是一种方法 3 数学是一门课程
三．《高等数学》学什么
1 方法 2 思想 3 内容 4 技巧
四．《高等数学》培养哪些能力
高等数学第一章-课件2.ppt
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地 说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲 线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学 的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节 极
四 无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中 的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无 穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简 单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近 方式。
fξ=0。 该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如 图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
大一高等数学第一本教材
大一高等数学第一本教材高等数学是大一学生必修的一门课程，它是数学学科的重要分支，对培养学生的数学思维和分析能力具有重要意义。
本文将介绍大一高等数学第一本教材的内容，帮助读者更好地理解和学习这门课程。
本教材以系统的数学知识结构为基础，分为多个章节，每个章节涵盖了不同的数学概念和方法。
下面我们逐一介绍其中的一些章节和内容。
第一章：函数与极限这一章是高等数学的基础，介绍了函数的概念、性质和分类等。
其中包括定义域、值域、单调性、奇偶性等基本概念。
同时，这一章还讲解了极限的概念和运算法则，使学生能够理解和解决函数在特定点的极限问题。
第二章：导数与微分导数是高等数学的重要概念，它描述了函数的变化率。
本章主要介绍了导数的定义、性质和基本求导法则。
通过学习导数，学生可以计算函数在不同点处的斜率，进而应用于实际问题的解决。
第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章，我们将深入探讨导数的应用。
首先介绍了微分中值定理，它是研究函数在某个区间内连续变化的重要工具。
接着讲解了函数的单调性、极值与最值等概念，以及利用导数解决实际问题的方法。
第四章：不定积分不定积分是求解函数原函数的过程，反映了函数的积分性质。
本章主要介绍了不定积分的基本概念、性质和基本积分公式。
通过学习不定积分，学生可以解决一些与面积、曲线长度等相关的问题。
第五章：定积分定积分是高等数学中的重要概念，描述了函数在一定区间上的积分值。
本章主要介绍了定积分的定义、性质和基本计算法则。
同时，我们还将学习到定积分在几何学、物理学等领域的应用。
第六章：微分方程微分方程是描述变化过程中的数学关系的重要工具。
本章将介绍常微分方程的基本概念、解法和应用。
通过学习微分方程，学生可以研究和解决许多实际问题，如物理、生物、经济等领域中的变化模型。
以上只是大一高等数学第一本教材的部分章节介绍，全书还包括一些其他重要的数学知识，如多元函数与偏导数、重积分与坐标变换、无穷级数与幂级数等。
同济版 高等数学(上册) 第一章课件
第一章 函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
y
y x (α 是常数) Z y x 当 时， 的定义域是 R ； 当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当 时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当 时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x
高数第一堂课介绍
高数第一堂课介绍高等数学是近代数学的基础,《高等数学》课程不仅是高等工科院校的一门重要的基础课，也是在现代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程，是所有工科专业的支撑。
它不仅是学习后继课程的一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养。
学习这门课程目的是使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。
因此，高等数学教学关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，学好这门课程对学生今后的发展是至关重要的。
数学从它的形成到现在至少已有2千多年，经过一代人又一代人的继承和发展，已经形成了一个非常庞大的科学体系，一个人从小学到高中毕业，学了不少的数学，但与整个数学的庞大的科学体系相比只是沧海一粟而已，高等数学与高中数学相比有很大的不同，内容上主要是引进了一些全新的数学思想，特别是无限分割逐步逼近，极限等；从形式上讲，学习方式也很不一样，特别是一般都是大班授课，进度快，老师很难个别辅导，故对自学能力的要求很高。
很多大学生在开始接触高等数学课时都会很茫然。
具体的学习方法因人而异，但有些基本的规律大家都得遵守。
1、建立学习目标大学生的学习比中学生更复杂更高级，同时也更为自觉、更为独立，因此，学习动机的强弱对大学生的学业成就有着极大的影响。
在高中阶段，学生以考上大学为惟一的学习目标，目标明确，再加上老师和家长的监督，学习抓得很紧，一旦目标实现，容易产生松懈心理，希望在大学里好好享乐一番。
没有及时树立起进一步的学习目标。
另一方面大学新生自我控制能力一般较差，容易受别人的影响，有时会有意无意地模仿高年级学生的做法。
渐渐便失去了自控能力。
因而大学新生应尽快建立学习目标，以适应大学校园的学习气氛，大学里面的学习气氛是外松内紧的。
在大学里很少有人监督你，很少有人主动指导你；没有人给你制订具体的学习目标，每个人都在独立地面对学业，每个人都该有自己设定的目标，每个人都在和自己的昨天比，和自己的潜能比，也暗暗地与别人比。