关于不定方程x_3_1_301y_2整数解的讨论_鲁伟阳

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关于不定方程x^3—1=301y^2整数解的讨论

了 ± ２７＝２８ｙ的整数解．本文利用递归数列、同
余式、平方剩余等研究了一个未解决的不定方程
一
１＝３０１ｙ２的整数解的问题．引理１一３ｙ４＝１有整数解（，Ｙ）＝（２，１），
（Ｉ）由＋＋１＝ｂ。得：０或一１，代人一１＝３０１ａ。不成立，故该情形方程（１）无解．（ Ⅱ）由一１＝７ａ可得１（ｍｏｄ７），给＋＋１＝４３ｂ两边取模７可得３；ｂ（ｍｏｄ７），这不可
仅有整数解（，Ｙ）＝（１，０）．
关键词：不定方程；整数解；递归序列；同余式中图分类号：０１５６．１文献标志码：Ａ文章编号：１６７２— ８５１３（２０１３）０４一ｏ２６４一ｏ２
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｒｅｃｕｒｒｅｎｔｓｅｑｕｅｎｃｅ，ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ，ｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｍａｉｎｄｅｒａｎｄｓｏｍｅｐｒｏｐｅ￣ｉｅｓｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏＰｅｌｌｅｑｕａｔｉｏｎ．ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｔｈｅＤｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ一１＝３０１ｙｈａｓｏｎｌｙｔｈｅｉｎｔｅｇｅｒ

关于不定方程x~3+1=305y~2

作者简介：和郁欣（９５一）男，１８，山西汾阳人，硕士生，事计算数论的研究从
４８５
重庆工商大学学报（自然科学版）
第２７卷
２２一１ｍｍ・
由于（，一）＝（：，ｘ一ｙ）＝（：，ｘ），Ｙ２：３２Ｙ２：）＝（２，）＝．序列｛｝模５，ｎ（ｏ２时，Ｙ２２对取当一１ｒｄ）ｏ有三１２ｒｄ）５不整除：，（ｏ５，ｏ所以有下列情形之一成立：
定理１不定方程
＋１＝３５０ｙ（）１
仅有整数解（一１０，１，３．，）（４ ± ）
证明因（＋１一＋１，）＝１或３且５不整除一＋１故由式（）出下列４种可能的分解：，，１得
Ｉ
１Ｉ Ⅲ
６１ａ＝ｙｍｌ＋１＝一ｍ＋２４０４４ｙ
—
ｍ
＋＝一（＋ｙｍ４２２１＝ｙ（ｍ３２）２２２—，３５１１６；）＋ｘｍｍ十２２２２一ｙ＝ｙｍｌ即０ａ＝Ｙｍｍｍ
收稿Ｅ期：００— ２—１；回日期：１０ｔ２１０９修２０— ５—１．００
故有：６０一１＝Ｙ１ａ（）２
易验证下列递推关系成立：＋＝ｘ一，ｏ，＝；２４一Ｙ＝，１．２４：１１２ｙ＋＝ｙＹ，００ｙ＝１
如果２，么２ｌ由式（）１（ｏ２，那ｌ．Ｙ２有 —０ｒｄ）这不可能．以有ｎ ±１ｒｄ．ｎ＝ｍ一１时，ｏ所（ｏ４）当ｏ４有

数学分析刘三阳第二讲习题解答!

习题2—11、若自然数n是无理数。

(),,,pp q N p qq=∈且互质，于是2222nq pp nq p pp nq=⇒=⇒而(),p q互质，故p不整除q⇒p整除n，记()nn ps s N ps+=∈⇒=，故()2222nnq n qss=⇒=，即n为完全平方数，矛盾。

假设不成立。

2、设,a b是两个不同的实数，证明,a b之间一定存在有理数。

证明：不妨设a b<，则存在m N+∈，使得()111m m b a mb mab a>⇒->⇒>+-又因为存在整数n，使得1n ma n-≤<由1,,1ma n ma nma n mb a b m N n Zma mb m+<≤+⎧⇒<<⇒<<∈∈⎨+<⎩，nm是有理数。

3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数12i ia a-+满足要求，故假设不成立。

习题2—21、求下列数集的上，下确界()111n⎧⎫-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为0（达到）()121nn Nn⎧⎫⎪⎪⎛⎫+∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭上确界为e（不达到），下确界为2（达到）()()()11311n nn+⎧⎫-+-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为-1（不达到）()214,1,2y x x⎧⎫⎛⎫=∈-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭上确界为1（不达到）下确界为0（达到）2、设{}2,2,,E x x x Q =<∈验证infE =证明：()1 2,2x E x x ∀∈<⇒>，即是E 的一个下界()2若2β<，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在()2x β'∈，且x '为有理数，于是222x x β''<<<⇒<，即存在22,,x E x ββ''∈<故不是E 的下界。

3、用定义证明上（下）确界的唯一性证明一：假设12,ββ均为下确界，且12ββ≠，不妨设12ββ<。

关于不定方程x 3+1=3y 2的解

＝１ｒｏ），；１ｒｏ）（ｄ３ｏ（ｄ３一１ｍｏ（ｄ３）时，定义４得。一１（ｄ３）由ｍｏ
’
．
’
．
・．
（一＋１ｉ（ｏ）１ｒｄ３）ｏ
・．．
３不整除（一＋１即（一＋１＝１）３，）
中图分类号：５０１６文献标志码：Ａ文章编号：０９５２（０００．０１－０１０－１８２１）２．０５－３－－－－－
收稿日期：Ｏ９ｌ— １２０一１９
基金项目：陕西省教育厅科研基金资助项目（Ｊ８２）０Ｊ４６（９Ｋ３）０Ｊ４２；Ｓ０Ａ２（９Ｋ２）０Ｊ４０（９Ｋ３）渭南师范学院科研计划项目（０Ｋ０１；１ＹＳ０）渭南师范学院教育教学改革研究项目（Ｇ０９３Ｊ２０２）作者简介：陈斌（９９）男，１７一，陕西咸阳人，渭南师范学院数学与信息科学系讲师，理学硕士，研究方向：数论．
定理 ’ （拉定理）设ｍ为整数且ｍ ≥ ２，ａ，欧（ｍ）＝１则ａ，一１ｍｏｒ）（ｄｎ．
２定理的证明
定理不定方程＋１＝３仅有整数解：一１，＝０ｙＹ．
证明由＋１：３（＋１（一＋１＝３２ｙ得））ｙ（）１因为（＋１一＋１＝１或３，）
关予不定方程＋２＝７的解的情况已全部由李双娥等 ¨ 得到，文利用唯一分解定理、余式７ｙ本同等几种初等数论方法，明了不定方程＋１＝３只有正整数解：一１，证ｙ，，＝０，其它正整数解．无

关于不定方程x3+1=1043y2的整数解

关于不定方程x3+1=1043y2的整数解高丽;杨婕【摘要】主要利用递归序列、同余、平方剩余以及Pell方程的解的性质,证明了不定方程x3+1=1043y2仅有平凡整数解(-1,0).【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(037)003【总页数】2页(P5-6)【关键词】不定方程;同余式;平方剩余;整数解【作者】高丽;杨婕【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O156.41 引言及引理不定方程又称为丢番图方程，是初等数论研究的重要内容[1-3]。

不定方程x3±1=Dy2(D>0，不含平方因子)是不定方程中一类重要的三次不定方程，对于不定方程x3±1=Dy2(D>0，不含平方因子)的研究，通常分为含6k+1形素因子与不含6k+1形素因子两种类型。

当D不含有6k+1形素因子时，柯召、孙琦在文[4]中证明了当D>2，D无平方因子且不含有3与6k+1形素因子时，方程x3-1=Dy2无非平凡解；在文[5]中证明了当D>2，D无平方因子且不含有6k+1形素因子时，方程x3-1=Dy2无非平凡解；而文[6]中给出了当D不含有6k+1形素因子时，方程x3+1=Dy2的全部整数解。

然而，对D中含有6k+1形素因子的不定方程求解，其过程是极其复杂的，但是这方面的研究成果也是有很多的。

周科在文[7]中给出了丢番图方程x3+1=301y2的全部整数解, 在文[8]中给出了丢番图方程x3+1=749y2的全部整数解。

杜先存、万飞、杨慧章在文[9]中给出了丢番图方程x3±1267y2的全部整数解。

钱立凯、普粉丽在文[10]中给出了不定方程x3-1=91y2的全部整数解。

本文利用递归序列、同余、平方剩余、Pell方程的解的性质，证明了不定方程x3+1=1043y2仅有平凡整数解(-1,0)。

求不定方程的整数解

求不定方程的整数解
不定方程的整数解是指在给定的方程中，寻找满足整数条件的解。一般来说，求解不定方程的整数解可以使用数学方法，如贝祖定理、模运算等。以下是一些常见的不定方程及其整数解的求解方法：
1. 一元一次方程：形如ax + by = c的一元一次方程，可以使用贝祖定理求解。贝祖定理告诉我们，如果a和b互质，那么方程有整数解。具体的求解方法是使用扩展欧几里得算法，找到满足ax + by = gcd(a, b)的整数解x和y。
3. 二元二次方程：形如ax^2 + bxy + cy^2 = d的二元二次方程，可以使用整数平方根的性质求解。首先，将方程转化为完全平方形式，即将方程两边同时乘以4ac，得到(2ax + by)^2 - (4ac - b^2)y^2 = 4acd - b^2y^2。然后，使用整数平方根的性质，找到满足该等式的整数解。
求不定方程的整数解
4. Diophantine方程：Diophantine方程是一类更一般的不定方程，形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为整数。求解Diophantine方程的整数解可以使用模运算和数学归纳法。具体的求解方法可以根据方程的特点和形式进行推导和求解。
需要注意的是，不定方程的整数解可能有多个或无解，具体的解个数和形式取决于方程的特点和系数的取值。在实际求解时，可以根据具体的方程形式选择合适的方法和工具进行求解。
求不定方程的整数解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 二元一次方程：形如ax + by = c的二元一次方程，可以使用扩展欧几里得算法求解。首先，使用欧几里得算法找到a和b的最大公约数d，如果c是d的倍数，那么方程有整数解。然后，使用扩展欧几里得算法找到满足ax + by = d的整数解x和y。最后，将x和y分别乘以 c/d，得到方程的整数解。

不定方程x^3+1=2019y^2的整数解

第３８卷第２期２０１９年６月
延安大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ＤＯＩ：１０．１３８７６／Ｊ．ｃｎｋｉ．ｙｄｎｓｅ．２０１９．０２．００８
Ｖｏｌ．３８Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２０１９
不定方程ｘ３＋１＝２０１９ｙ２的整数解
收稿日期：２０１９０４２１基金项目：国家自然科学基金项目（１１４７１００７）；陕西省科技厅科学技术研究发展计划项目（２０１３ＪＱ１０１９）；延安大学校级
科研计划项目—引导项目（ＹＤ２０１４－０５）作者简介：高丽（１９６６—），女，陕西绥德人，延安大学教授。
第２期不定方程ｘ３＋１＝２０１９ｙ２的整数解
９
引理５［１３］设ｕ０＋ｖ０槡Ｄ是不定方程ｕ２－Ｄｖ２＝－Ｎ的某结合类Ｋ的基本解，ｘ０＋ｙ０槡Ｄ是ｘ２－Ｄｙ２＝１的基本解，则有
槡０＜ｖ０≤
ｙ０槡Ｎ，０≤
槡２（ｘ０－１
｜ｕ０｜≤
１２（ｘ０－１）Ｎ。
２主要结果及证明
定理不定方程
ｘ３＋１＝２０１９ｙ２
＋１＝２０１９ｙ２整数解的情况。
首先由引理１可知：情形（Ⅰ）和情形（Ⅱ）无整
数解，故只需讨论其余六种情形下原不定方程有无
整数解。对于情形（Ⅲ），由第一式ｘ＋１＝３ａ２，可得同余
方程ｘ＋１≡０（ｍｏｄ３），解之得：ｘ≡２（ｍｏｄ３），将ｘ代入第二式ｘ２－ｘ＋１＝６７３ｂ２的左边可得：
高丽，胡江美
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０００）
摘要：研究了不定方程ｘ３＋１＝２０１９ｙ２的整数解问题。利用简单同余法、分解因子法、Ｐｅｌｌ方程法以及分类讨论等初等方法，得出不定方程ｘ３＋１＝２０１９ｙ２有且仅有平凡整数解（ｘ，ｙ）＝（－１，０）。关键词：不定方程；整数解；同余方程；Ｐｅｌｌ方程；分数解中图分类号：Ｏ１５６４文献标识码：Ａ文章编号：１００４－６０２Ｘ（２０１９）０２－０００８－０４

关于不定方程x3+1=35y2整数解的讨论

关于不定方程x3+1=35y2整数解的讨论谭龙泽;邱克娥;沈询;张箫;申小倩【摘要】讨论不定方程x3+1=35y2的整数解问题,证明了该方程仅有整数解(x,y)=(-1,0),(19,±14).【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(013)003【总页数】3页(P16-18)【关键词】不定方程;整数解【作者】谭龙泽;邱克娥;沈询;张箫;申小倩【作者单位】贵州师范学院数学与大数据学院,贵州贵阳550018;贵州师范学院数学与大数据学院,贵州贵阳550018;贵州师范学院数学与大数据学院,贵州贵阳550018;贵州师范学院数学与大数据学院,贵州贵阳550018;贵州师范学院数学与大数据学院,贵州贵阳550018【正文语种】中文【中图分类】O156.11 引言及引理关于不定方程x3±1=Dy2(D>0)的整数解问题，已有不少的研究工作。

当D无6k+1的素因数时，其全部整数解已由曹富珍，柯召，孙琦等人得到[1-2]。

但当D 有6k+1的素因数时，方程的求解较困难。

1999年倪谷炎[3]在文章关于不定方程x3+1=Dy2中指出当D=7，14，35，37，38，57，65，86时有非平凡解，但是其只是用计算机程序得到了一些特殊的整数解，并未给出证明。

2003年，罗明[4-5]证明了D=14和D=7时方程分别仅有整数解(x，y)=(-1，0)，(5，±3)和(x，y)=(-1，0)，(3，±2);2006年，段辉明[6-7]证明了D=38和D=86时方程分别仅有整数解(x，y)=(-1，0)，(31，±28)和(x，y)=(-1，0)，(7，±2).在上述研究的基础上，利用初等数论的方法给出至今未解决的不定方程x3+1=35y2的全部整数解。

引理1 同余方程x2-x+1≡0(mod5)无解。

证明如果有解，则(2x-1)2+3≡0(mod5)，所以(2x-1)2≡2(mod5).而勒让德符号因而无解.引理2[1] 不定方程x2-3y4≡1有整数解(x，y)=(2，1)，(7，2)，(1，0)，(-1，0). 引理3[1] 不定方程4x2-3y2=1有整数解(x，y)=(1，1)，(-1，-1)，(1，-1)，(-1，1).引理4[8] u，v是方程x2-Dy2=1的基本解，则有下面递归序列成立：xn+2=2uxn+1-xn，x0=1，x1=u;yn+2=2uyn+1-yn，y0=0，y1=v.2 主要结果及证明定理不定方程x3+1=35y2仅有整数解(x，y)=(-1，0)，(19，±14).证明由于(x+1，x2-x+1)=1，3，所以不定方程x3+1=35y2有下列8种可能的分解情形：(1)x+1=a2，x2-x+1=35b2，y=ab; (2)x+1=3a2，x2-x+1=105b2，y=3ab;(3)x+1=5a2，x2-x+1=7b2，y=ab; (4)x+1=15a2，x2-x+1=21b2，y=3ab; (5)x+1=7a2，x2-x+1=5b2，y=ab; (6)x+1=21a2，x2-x+1=15b2，y=3ab; (7)x+1=35a2，x2-x+1=b2，y=ab; (8)x+1=105a2，x2-x+1=3b2，y=3ab.这里a≥0，b≥0，且ab≠0时，(a，b)=1.由引理1 可知:情形(1)，(2)，(5)，(6)无解。

关于不定方程x^3±1=2py^2

第３９卷
第１期
曲
阜
师范大
学
学报
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏ１．３９Ｎｏ．１
２０１３年１月
ｒｍａｌＪｏｕｎａｒｌｏｆＱｕｆｕＮｏ
Ｊａｎ．２０１３
ＤＯＩ：ｉ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ｒ５３３７．２０１３．Ｉ．００２
三个充分条件．周伟平证明了Ｐ为１２ｓ＋１（Ｓ为奇数）型素数时，方程＋１＝２ｐｙ无正整数解．杜
无正整数解．
定理２设Ｐ＝３ｎ（ｎ＋１）＋１－７（ｍｏｄ２４）为奇素数，则不定方程
关于不定方程３±１＝２ｐｙ２
杜先存①，赵东晋 ②，赵金娥③
（ ① 红河学院教师教育学院； ② 红河学院工学院； ③红河学院数学系，６６１１９９，云南省蒙自市）
摘要：设Ｐ是６＋ｌ型的奇素数，运用初等方法得出ｒ当Ｐ１（ｏｒｏｄ６）为素数时不定方程 ’ ± １：２ｐｙ。
型的素数（２４ｒ＋２０）＋１（ｒ∈ ）为素因数时，方程４－１＝Ｄｙ无正整数解．高
洁、袁进证明了Ｐ为３（８＋ｆ）（８ｋ＋ｔ＋１）＋１（ｔ＝
２主要定理
无正整数解的充分条件．
关键词：不定方程；奇素数；同余；正整数解

浅谈不定方程整数解的求解方法

浅谈不定方程整数解的求解方法摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域，整数环，或某一代数域上的代数整数环，本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.) .对于一般的不定方程(组)，除个别情况外，没有统一的解法，因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析，以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程，三元一次不定方程，二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法二元一次不定方程整数解的求解方法怎么判断整系数方程有无整数解.用定理1来判断。

定理1 若整系数方程（）有整数解，则必有，反之若，则整系数（）有整数解.其中表示的最大公约数；表示整除c。

若整系数方程有整数解,怎么求出它的整数解时就用以下方法来求解。

1通法：若整系数方程（）满足，，且，是它的一个特解，则方程（）的所有整数解（通解）可以表示为2观察法在二元一次不定方程中，当系数a、b以及c的绝对值比较小时，可以用观察法求它的一个特解，从而得到其通解。

例1.求二元一次不定方程2x + 5y=45的一切整数解。

解:因为(2|5)=1，得(2,5) |45，所以原方程有整数解又因为5|45，所以得到方程的一个特解为并且， .故原方程的一切整数解为:3辗转相除法两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。

辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。

由辗转相除法也可以得出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫贝祖等式。

例2.求方程的一切整数解。

数列中不定方程问题的几种解题策略

数列中不定方程问题的几种解题策略王海东（江苏省丹阳市第五中学，212300）数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜,本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。

题型一：二元不定方程双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活,下面介绍3种常用的方法。

方法 1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解。

题1（2014·浙江卷）已知等差数列{}n a 的公差d ＞0。

设{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ,3632=⋅S S 。

(1）求d 及S n ； (2)求m ,k (m ，k ∈N ＊）的值，使得65...21=+++++++k m m m m a a a a .解析(1)略（2)由（1）得2,12n S n a n n =-=(n ∈N *）=+++++++k m m m m a a a a ...21()2122121-++-+k m m k ）（)1)(12(+-+=k k m 所以65)1)(12(=+-+k k m ，由m ，k ∈N ＊知1112>+≥-+k k m65151365⨯=⨯=，故⎩⎨⎧=+=-+511312k k m 所以⎩⎨⎧==45k m 点评本题中将不定方程变形为()()135112⨯=+⋅-+k k m ,因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于k m ,的二元一次方程组求解。

方法 2.利用整除性质在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决．题2。

设数列{}n b 的通项公式为2121n n b n t-=-+，问：是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值;若不存在，请说明理由．解析：要使得12,,m b b b 成等差数列，则212m b b b =+即:312123121m t t m t -=+++-+ 即：431m t =+- ∵,m t N *∈，∴t 只能取2，3，5 当2t =时，7m =；当3t =时,5m =；当5t =时，4m =．点评本题利用t 表示 m 从而由431m t =+-得到14-t 是整数，于是1-t 是4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一检验即可，当然，本题也可以利用m 表示t 来处理。

关于不定方程x3-1=229y2

第31卷第1期纺织高校基础科学学报V o l .31,N o .12018年3月B A S I CSC I E N C E S J O U R N A LO FT E X T I L EU N I V E R S I T I E SM a r .,2018文章编号:1006-8341(2018)01-0031-04D O I :10.13338/j.i s s n .1006-8341.2018.01.006 收稿日期:2017-06-12基金项目:陕西省教育厅自然科学专项研究项目(17J K 0341) 通信作者:牟全武(1977 ),男,西安工程大学讲师,博士,研究方向为解析数论.E -m a i l :m u qu a n w u @163.c o m 引文格式:杨晓柳,牟全武.关于不定方程x 3-1=229y 2[J ].纺织高校基础科学学报,2018,31(1):31-34. Y A N GX i a o l i u ,MU Q u a n w u .O n t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x 3-1=229y 2[J ].B a s i c S c i e n c e s J o u r n a l o fT e x t i l e U n i v e r s i t i e s ,2018,31(1):31-34.关于不定方程x 3-1=229y2杨晓柳,牟全武(西安工程大学理学院,陕西西安710048)摘要:设D 是素数且D ʉ1(m o d 6),关于不定方程x 3-1=D y 2的求解是数论中未彻底解决的问题之一.利用P e l l 方程基本解的性质㊁同余式及递归数列等研究了D =229时的情形,证明了不定方程x 3-1=229y 2的整数解仅有(x ,y )=(1,0).关键词:不定方程;整数解;递归数列;同余式中图分类号:O156.2 文献标识码:AO n t h eD i o p h a n t i n e e qu a t i o n x 3-1=229y 2Y A N G X i a o l i u ,MU Q u a n w u(S c h o o l o f S c i e n c e ,X i 'a nP o l y t e c h n i cU n i v e r s i t y,X i 'a n710048,C h i n a )A b s t r a c t :L e t D b e a p r i m ew i t h D ʉ1(m o d 6).T h e s o l u t i o n o f t h eD i o p h a n t i n e e qu a t i o n x 3-1=D y 2is o n e o f t h e u n s o l v e d t o p i c s i nn u m b e r t h e o r y .T h e s i t u a t i o n i n t h e c a s e o f D =229w a s s t u d i e db y u s i n g s o m e p r o p e r t i e s o f t h eb a s i c s o l u t i o n s t oP e l l e q u a t i o n ,c o n gr u e n c e a n d r e c u r -r e n t s e q u e n c e ,i t i s p r o v e d t h a t t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x 3-1=229y 2ha s o n l y i n t e g e r s o l u -t i o n (x ,y )=(1,0).K e y wo r d s :D i o p h a n t i n e e q u a t i o n ;i n t e g e r s o l u t i o n ;r e c u r r e n t s e q u e n c e ;c o n g r u e n c e 1 引言及结论关于不定方程x 3-1=D y 2(D 为不含平方因子的正整数)的求解已有不少研究.当D 不含6k +1型素因子时,其全部解已由柯召和孙琦[1-2]及曹珍富[3]等人给出.但当D 含6k +1型素因子时,此类不定方程的求解较为困难.当0<D <100且D 含6k +1型素因子时,不定方程x 3-1=D y 2的全部整数解已得到解决[4-5].而对于D >100时,现在仅仅得到一些零散的结果[6-12].罗明[13]证明了x 3-1=14y 2仅有整数解(x ,y )=(1,0).杨海等[14]证明了方程x 3-53=3p y 2有适合g c d (x ,y )=1的正整数解的充要条件.贺艳峰等[15]证明了方程4x 2n -p y 2=1对于任意的奇数n ,方程无正整数解.本文探讨了D =229的23纺织高校基础科学学报第31卷情形,运用P e l l方程基本解的性质㊁同余式及递归数列等证明了:定理1不定方程x3-1=229y2的整数解仅有(x,y)=(1,0).2若干引理引理1[16]设D,N为正整数,且D不含平方因子,u0+v0D是方程u2-D v2=-N.(1)的某结合类k的基本解,x0+y0D是x2-D y2=1的基本解,则有0<v0ɤy02(x0-1)N, 0ɤ|u0|ɤ12(x0-1)N.引理2[3]设p是一个奇素数,则丢番图方程4x4-p y2=1,(2)除开p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,无其他的正整数解.引理3[17]不定方程x2-D y4=1(0<Dɤ400且D不是完全平方数),有正整数解的全部D为: D=3,5,8,14,15,18,20,24,33,35,39,48,60,63,65,68,79,80,83,95,99,105,120,138,143,150,156, 168,183,189,195,203,224,248,254,255,258,264,288,315,320,325,328,333,360,390,399.3定理1的证明显然,不定方程x3-1=229y2有整数解(x,y)=(1,0).故只需证明该方程不存在其他正整数解即可.下文中a,b都是正整数,且a与b互素.假设存在正整数解(x,y),由于(x-1,x2+x+1)=1,3,可分为以下四种情形讨论:情形1x-1=229a2,x2+x+1=b2,y=a b.(3)将(3)中的第二式化成(2x+1-2b)(2x+1+2b)=-3,由于x,b均为正整数,必有2x+1+2b ȡ5,这与2x+1+2b整除3相矛盾,故无解.情形2x-1=a2,x2+x+1=229b2,y=a b.(4)从(4)中的第二式有(2x+1)2+3=229(2b)2,又由(4)中的第一式有x=a2+1,所以有(2a2+3)2 -229(2b)2=-3.要解出不定方程u2-229v2=-3的正整数解,须先计算P e l l方程x2-229y2=1的基本解.而P e l l方程x2-229y2=1的基本解为5848201+386460229,故由引理1中的(1)式知对于不定方程u2-229v2=-3属于某个结合类k的基本解u0+v0229,有0<v0ɤ38646032ˑ5848201<196.但当v=1,2,3, ,195时,不定方程u2-229v2=-3无整数解(u,v).故在情形2下,原方程无正整数解.情形3x-1=687a2,x2+x+1=3b2,y=3a b.(5)同样的将方程组(5)消去x并化简可得(2b)2-3(458a2+1)2=1.故此不定方程的全部整数解由2b+(458a2+1)3=(2+3)n,nȡ0.(6)给出.记u n+v n3=(2+3)n,则2b=u n,458a2+1=v n.易验证有以下递推公式:(a)u n=4u n-1-u n-2(nȡ2),u0=1,u1=2;(b)v n=4v n-1-v n-2(nȡ2),v0=0,v1=1;(c)u n+r=u n u r+3v n v r,v n+r=u n v r+u r v n;(d)u n+1=2u n+3v n,v n+1=u n+2v n;(e)u2n=u2n+3v2n,v2n=2u n v n;(f )u 2n -3v 2n =1,(u n ,v n )=1;(g )229|u n 当且仅当n ʉ57(m o d 114),229|v n 当且仅当114|n .由2b =u n 及(a )知n 为奇数.再考虑458a 2+1=v n ,由v n ʉ1(m o d 458)可得n ʉ1(m o d 228),n ʉ113(m o d 228).若n ʉ1(m o d 228),假设n =228m +1(m 为非负整数),则由(d ),(e ),(f)得458a 2=v n -1=v 228m +1-1=u 228m +2v 228m -1=u 2114m +3v 2114m +4u 114m v 114m -1=6v 2114m +4u 114m v 114m =2v 114m (3v 114m +2u 114m )=2v 114m u 114m +1.(7)所以v 114m u 114m +1=229a 2.又由(u n ,v n )=1及(d )知(v 114m ,u 114m +1)=(v 114m ,2u 114m +3v 114m )=(v 114m ,2u 114m )=2.(8)且229|v 114m ,故必存在正整数s ,t ,使得u 114m +1=2s 2,v 114m =458t 2,a =2s t .(9)代入u 2114m +1-3v 2114m +1=1得4s 4-3v 2114m +1=1.由引理2知,此时必有s =v 114m +1=1,所以m =0,n =1,从而a =0.这给出一组整数解(x ,y )=(1,0).若n ʉ113(m o d 228),假设n =228h +113(h 为非负整数),则类似式(3),有458a 2=v n -1=v 228h +113-1=u 228h +112+2v 228h +112-1=u 2114h +56+3v 2114h +56+4u 114h +56v 114h +56-1=6v 2114h +56+4u 114h +56v 114h +56=2v 114h +56(3v 114h +56+2u 114h +56)=2v 114h +56u 114h +57.(10)故v 114h +56u 114h +57=229a 2.又由(d ),(f )及229|u 114h +57,知(v 114h +56,u 114h +57)=(v 114h +56,2u 114h +56+3v 114h +56)=(v 114h +56,2u 114h +56)=2.(11)故必存在正整数e ,f ,使得u 114h +57=458e 2,v 114h +56=2f 2,a =2e f .(12)所以u 2114h +56-12f 4=1,由引理3可知此方程没有正整数解.情形4x -1=3a 2,x 2+x +1=687b 2,y =3a b .(13)消去x 且化简可得229(2b )2-3(2a 2+1)2=1.因为不定方程229x 2-3y 2=1的最小解为19229+1663,由文献[18]知229x 2-3y 2=1的全部正整数解由x 229+y 3=(19229+1663)2k +1,k ȡ0.(14)表出.令u k 229+v k 3=(19229+1663)2k +1,k ȡ0,则有以下递推公式:u k +1=165337u k +18924v k ,v k +1=1444532u k +165337v k .(15)其中u 0=19,v 0=166.由式(15)与u 0=19知,数列{u k }中的每一项都为奇数.又因为2b =u k ,与u k 是奇数相矛盾.所以在情形4下,原方程无解.故综合上述4种情况知,不定方程x 3-1=229y 2的整数解仅有(x ,y )=(1,0).参考文献(R e f e r e n c e s):[1] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x 3ʃ1=3D y 2[J ].四川大学学报(自然科学版),1981,18(2):1-6. K EZ ,S U N Q.O n t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x 3ʃ1=3D y 2[J ].J o u r n a l o f S i c h u a nU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n ),1981,18(2):1-6.[2] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x 3ʃ1=D y 2[J ].中国科学,1981,24(12):1453-1457. K EZ ,S U N Q.O n t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x 3ʃ1=D y 2[J ].S c i e n c e i nC h i n a ,1981,24(12):1453-1457.[3] 曹珍富.丢番图方程引论[M ].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989:20,275.C A OZF .I n t r o d u c t i o n t oD i o p h a n t i n e e q u a t i o n s [M ].H a r b i n :H a r b i n I n s t i t u t e o fT e c h n o l o g y Pr e s s ,1989:20,275.33第1期杨晓柳,等:关于不定方程x 3-1=229y243纺织高校基础科学学报第31卷[4]罗明,黄勇庆.关于不定方程x3-1=26y2[J].西南大学学报(自然科学版),2007,29(6):5-7.L U O M,HU A N GYQ.O n t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x3-1=26y2[J].J o u r n a l o f S o u t h w e s tU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n),2007,29(6):5-7.[5]段辉明,朱国会.关于不定方程x3-1=38y2[J].黄冈师范学院学报,2005,25(3):16-18.D U A N H M,Z HU G H.O nt h eD i o p h a n t i n ee q u a t i o n x3-1=38y2[J].J o u r n a l o fH u a n g g a n g N o r m a lU n i v e r s i t y,2005,25(3):16-18.[6]黄勇庆.关于不定方程x3-1=157y2[J].重庆文理学院学报(自然科学版),2006,5(1):30-31.HU A N G Y Q.O nt h eD i o p h a n t i n ee q u a t i o n x3-1=157y2[J].J o u r n a l o fC h o n g q i n g U n i v e r s i t y o fA r t sa n dS c i e n c e s (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n),2006,5(1):30-31.[7]牟全武,吴强.关于不定方程x3-1=103y2[J].西南大学学报(自然科学版),2008,30(10):38-40.MU Q W,WU Q.O n t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x3-1=103y2[J].J o u r n a l o f S o u t h w e s tU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i-t i o n),2008,30(10):38-40.[8]李鑫,梁艳华.关于不定方程x3-1=111y2[J].西南师范大学学报(自然科学版),2009,34(1):12-15.L IX,L I A N GY H.T h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n s x3-1=111y2[J].J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u-r a l S c i e n c eE d i t i o n),2009,34(1):12-15.[9]王利红.关于不定方程x3-1=182y2[J].四川理工学院学报(自然科学版),2010,23(4):396-398.WA N GL H.O nD i o p h a n t i n ee q u a t i o n s x3-1=182y2[J].J o u r n a l o fS i c h u a n U n i v e r s i t y o fS c i e n c ea n dE n g i n e e r i n g (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n),2010,23(4):396-398.[10]车慧,罗明.关于不定方程x3-1=215y2[J].西安文理学院学报(自然科学版),2010,13(4):36-39.C H E H,L U O M.O nt h eD i o p h a n t i n ee q u a t i o n x3-1=215y2[J].J o u r n a l o fX i'a n U n i v e r s i t y o fA r t sa n dS c i e n c e(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n),2010,13(4):36-39.[11]瞿云云,罗永贵,王云鹏.关于不定方程x3-1=119y2[J].云南民族大学学报(自然科学版),2012,21(5):342-344. Q U Y Y,L U O Y G,WA N G YP.S t u d y o f t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x3-1=119y2[J].J o u r n a l o fY u n n a nU n i v e r s i t y o fN a t i o n a l i t i e s(N a t u r a l S c i e n c e sE d i t i o n),2012,21(5):342-344.[12]樊苗.关于不定方程x3-1=181y2[J].云南民族大学学报(自然科学版),2017,26(1):38-40.F A N M.O n t h e d i o p h a n t i n e e q u a t i o n x3-1=181y2[J].J o u r n a l o fY u n n a n M i n z uU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e sE d i-t i o n),2017,26(1):38-40.[13]罗明.关于不定方程x3ʃ1=14y2[J].重庆交通学院学报,1995,14(3):112-116.L U O M.O n t h e i n d e t e r m i n a t e e q u a t i o n x3ʃ1=14y2[J].J o u r n a l o fC h o n g q i n g J i a o t o n g I n s t i t u t e,1995,14(3):112-116.[14]杨海,武静,任荣珍.关于D i o p h a n t i n e方程x3-53=3p y2[J].纺织高校基础科学学报,2014,27(4):418-420.Y A N G H,WUJ,R E N RZ.T h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n x3-53=3p y2[J].B a s i cS c i e n c e s J o u r n a l o fT e x t i l eU n i v e r s i-t i e s,2014,27(4):418-420.[15]贺艳峰,柴璇.关于D i o p h a n t i n e方程4x2n-p y2=1[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(1):45-47.H E Y F,C HA IX.O nt h eD i o p h a n t i n ee q u a t i o n4x2n-p y2=1[J].B a s i cS c i e n c e sJ o u r n a l o fT e x t i l eU n i v e r s i t i e s,2015,28(1):45-47.[16]柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海:上海教育出版社,1980:28-35.K EZ,S U N Q.A b o u t i n d e t e r m i n a t e e q u a t i o n[M].S h a n g h a i:S h a n g h a i E d u c a t i o nP r e s s,1980:28-35.[17] C OHNJH E.T h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n y2=D x4+1,Ⅲ[J].M a t h.S c a n d,1978,42:180-188.[18]柯召,孙琦.数论讲义[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:147-151.K EZ,S U N Q.N u m b e r t h e o r y h a n d o u t[M].2n de d i t i o n.B e i j i n g:H i g h e rE d u c a t i o nP r e s s,2003:147-151.责任编辑:王秋凤。

不定方程的整数解公式

不定方程的整数解公式不定方程，听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实呀，它在数学世界里可是个很有趣的存在呢！咱们先来说说啥是不定方程。

简单来讲，不定方程就是未知数的个数多于方程个数的方程。

比如说，3x + 4y = 10 ，这里有两个未知数 x 和 y ，但只有一个方程，这就是不定方程。

那不定方程的整数解公式是啥呢？这可得好好琢磨琢磨。

就拿一个例子来说吧，假设咱们有不定方程 5x + 7y = 20 ，咱们想找到它的整数解。

首先，咱们对这个方程进行变形。

5x = 20 - 7y ，然后 x = (20 - 7y) / 5 。

这时候，为了找到整数解，咱们就得想想啦。

因为 x 要是整数，20 - 7y 就得是 5 的倍数。

那怎么才能是 5 的倍数呢？咱们可以一个个去试。

假设 y = 1 ，那么 20 - 7×1 = 13 ，不是 5 的倍数；再假设 y = 2 ，20 - 7×2 = 6 ，也不是5 的倍数；当 y = 3 时，20 - 7×3 = -1 ，还不是 5 的倍数。

一直试到 y = 5 时，20 - 7×5 = -15 ，是 5 的倍数啦，这时候 x = (-15) / 5 = -3 。

但是呢，咱们通常想要的是正整数解或者零解。

那继续往下试，当y = 0 时，x = 4 ，这就是一组整数解啦。

在找不定方程整数解的过程中，有时候可不容易，得有耐心，就像我之前教学生的时候，有个小家伙怎么都弄不明白，急得直挠头。

我就耐心地跟他一点点分析，引导他去尝试不同的数值，最后他终于搞懂了，那高兴的样子，让我也觉得特别有成就感。

再比如说不定方程 2x + 3y = 12 ，咱们同样可以通过变形和尝试来找到整数解。

2x = 12 - 3y ，x = (12 - 3y) / 2 。

假设 y = 0 ，x = 6 ；y = 1 ，x = 4.5 ，不是整数；y = 2 ，x = 3 ；y = 3 ，x = 1.5 ，不是整数；y = 4 ，x = 0 。

揭开“不定”方程的面纱——对数列中不定方程整数解问题的探究与反思

作者：蔡莹
作者机构：江苏省苏州新区第一中学,215011
出版物刊名：数学之友
页码： 65-67页
年卷期： 2014年第12期
主题词：不定方程正整数解数列存在性问题数学思维能力探索能力高中数学数学思想
摘要：数列是高中数学的核心内容之一，在高考中占有重要的地位，其在历年高考解答题中基本居压轴位置．江苏省08、09年高考中数列解答题都考查了数列中一类存在性问题，此类问题一般转化为求不定方程正整数解的问题．它的解决往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体，蕴含了丰富的数学思想，这类题对学生数学思维能力和探索能力提出了更高的要求．笔者在高三复习课中设计了一节《数列中的不定方程整数解问题》，通过对数列中一类存在性问题的探究，让学生加深对数列概念的理解，学会此类问题的常用处理策略，进而提升学生分析、转化、解决问题的能力．。

关于不定方程χ~3+1=201y~2

关于不定方程χ~3+1=201y~2
李双志;罗明
【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(035)001
【摘要】利用Pell方程、递归数列的方法证明了不定方程χ~3+1=201y~2的整数解只有(-1,0),(440,651),(440,-651).
【总页数】4页(P11-14)
【作者】李双志;罗明
【作者单位】西南大学,数学与统计学院,重庆,400715;西南大学,数学与统计学院,重庆,400715
【正文语种】中文
【中图分类】O156.2
【相关文献】
1.关于不定方程x~3＋1=py~2 [J], 管训贵
2.多彩的不定方程与不定方程组 [J], 韦卫宁
3.关于Diophantine方程x^3＋1=201y^2 [J], 刘杰
4.关于不定方程x^3+1=pQy^2 [J], 赵建红
5.关于不定方程x^3+1=2py^2 [J], 冯国锋
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例谈“不定方程整数解个数”模型应用

例谈“不定方程整数解个数”模型应用浙江省绍兴县柯桥中学(312030)陈冬良在排列组合中，我们利用挡板法可以得到方程x 1+x 2+x 3+…+x k =n (n 为正整数)的正整数解个数为11--k n C ;这一知识点在各类联赛或各省市的预赛中正频繁的出现，的确此模型的应用较广泛、灵活，特别是从一般试题中挖掘出此类命题的“庐山真面目”需有较强的功底。

下面选取几例典型的试题供参考。

一．模型的直接应用例1.（2010全国联赛）方程x + y + z = 2010满足x ≤ y ≤ z 的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 _______ .解：首先易知x + y + z = 2010的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C把x + y + z = 2010满足x ≤ y ≤ z 的正整数解分为三类：（1）x , y , z 均相等的正整数解的个数显然为1；（2）x , y , z 中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设x , y , z 两两均不相等的正整数解为k .易知 1+ 3⋅1003 + 6k = 2009×1004， 6k = 2009×1004 - 3×1003 -1解得k = 335671. 从而满足x ≤ y ≤ z 的正整数解的个数为1+1003 + 335671 = 336675例2. (04全国联赛)一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2，则算过关。

问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。

抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。

）解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652⨯>⨯<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n 已不可能。

不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)

专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。

在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。

【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。

【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。

关于不定方程３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）

第３９卷第６期２０２１年１１月贵州师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｌ．３９．Ｎｏ．６Ｎｏｖ．２０２１引用格式：赵仁杰．关于不定方程３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）［Ｊ］．贵州师范大学学报（自然科学版），２０２１，３９（６）：３２３５．［ＺＨＡＯＲＪ．Ｏｎｔｈｅｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ），２０２１，３９（６）：３２３５．］关于不定方程３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）赵仁杰（西南大学数学与统计学院，重庆　４００７１５）摘要：运用递归序列和平方剩余的方法，证明了不定方程３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）仅有正整数解（ｘ，ｙ）＝（１３，７）。

关键词：不定方程；整数解；平方剩余；递归序列中图分类号：Ｏ１５６．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—５５７０（２０２１）０６－００３２－０４ＤＯＩ：１０．１６６１４／ｊ．ｇｚｎｕｊ．ｚｒｂ．２０２１．０６．００７ＯｎｔｈｅＤｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）ＺＨＡＯＲｅｎｊｉｅ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４００７１５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｉｔｈｔｈｅｐｒｉｍａｒｙｍｅｔｈｏｄｓｏｆｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓａｎｄｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｍａｉｎｄｅｒｓ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅＤｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）ｈａｓａｕｎｉｑｕｅｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ（ｘ，ｙ）＝（１３，７）．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｍａｉｎｄｅｒ；ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｓｅｑｕｅｎｃｅ不定方程也称为丢番图方程，在数论研究中占有重要的地位。

第七讲从不定方程的整数解谈起

第七讲从不定方程的整数解谈起对于形如111n x y=+的方程，寻找整数x 、y 使之满足方程，称为求不定方程的整数解。

这里n 是取定的一个自然数。

对于方程111n x y=+ （1）显见x=y=12是一个整数解。

还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。

由1116xy=+，两边减去1x，得：1116x y -=；通分：616x x y -=；因此，66xy x =-，这里x －6大于0。

为了使右端的分数形式更简明，我们不妨把x －6看成一个整体，即令t=x-6.那么x=t+6。

因此6(6)666t y t t⨯+⨯==+。

由于y 是整数，上式右边也是整数，所以66t⨯也必须是整数，这样我们推知：t 是62的因数（约数）。

由于是求不定方程1116x y=+的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两个未知数x 、y 的困难问题，转换成简单的62的因子t 的问题了。

一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62的因子有6、1和36，2和18，3和12，4和9。

6称为自补的因子。

后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：t 0=6,t 1=1,t 1’=36;t 2=2,t 2’=18;t 3=3,t 3’=12;t 4=4,t 4’=9也即2'116t t =， (2)446t t =，x=6+t,y=26t+6=t ’+6,1116x y =+的所有解表示成'111666t t=+++。

这里t 和t ’是62=36的互补因子（当t=t ’=6时自补因子也包括在内），所以1116x y=+的全部整数解为： '00111116,;()612126666t t ===++++'11111111,36,;()674261636t t ===++++'22111112,18,;()682462618t t ===++++'33111113,12,;()691863612t t ===++++'44111114,9,;()610156469t t ===++++由于x 、y 地位对等，11111111,,742427x y x y ====的解与的情况我们都看成一种了。

关于不定方程x_3_1_301y_2整数解的讨论_鲁伟阳