高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数作业 苏教版选修1-1
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。
（lnx)′=x B。
（cosx)′=sinxC。
(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。
因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。
0 C。
2 D.【解析】选D。
因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。
85 D.10【解析】选B。
因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。
4。
正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。
高中数学 第3章 导数及其应用 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修1
利用导数求函数解析式
[探究问题] 对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？
提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处 的函数值．
【例3】
(1)已知函数f(x)＝
ln x x
＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大
小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，
f′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
B [∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(1)＋1x， 又f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1，故选B．]
课堂 小结 提素 养
求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、 积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函 数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公 式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转 化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬 时速度等问题．
1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数 最值问题及求曲线的切线方程．
2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴 围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题； ③求与切线有关的定值问题等．
[跟进训练]
2．设函数f(x)＝x－
3 x
，求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直
f(x)＝2x3－9x2＋12x [因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2) ＝0，f(1)＝5，
3a＋2b＋c＝0，
所以12a＋4b＋c＝0， a＋b＋c＝5，
数学选修1-1 第三章__导数及其应用 练习
3.1 导数的定义基础训练(1)：1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x 2. 一质点的运动方程是，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（ ） Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t3．在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为（ ）A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x ∆1－2 C.Δx +2 D.2+Δx －x∆1 4.一物体位移s 和时间t 的关系是s=2t-32t ,则物体的初速度是5．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 巩固训练(1)：1．若质点M 按规律3s t =运动，则3t =秒时的瞬时速度为（ ）A ．2 B ．9 C ．27 D ．812．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D t 23-3．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 4．物体的运动方程是=s t t 1642+-，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．=t 1 B ．=t 2 C ．=t 3 D ． =t 45．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ） A ．3米/秒 B ．2米/秒 C ．1米/秒 D ．4米/秒6．在曲线223x y =的图象上取一点（1,23）及附近一点⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+y x 23,1，则x y ∆∆为（ ） A x x ∆++∆1323 B x x ∆--∆1323 C 323+∆x D x x ∆-+∆1323 7．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（ ）Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()(Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=tt s t t s v8.将边长为8的正方形的边长增加∆a,则面积的增量∆S 为（ ）A ．16∆a 2 B.64 C.2a +8 D.16∆a+∆a 29．已知一物体的运动方程是=s 7562+-t t ，则其在=t ________时刻的速度为7。
高中数学苏教版教材目录(必修 选修)
苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
高中数学第三章导数及其应用3.2.1常见函数的导数课件苏教版选修1_1
x x0
＝cos x0，
＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
命题角度2 利用导数公式求最值问题
解答 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
类型二
导数公式的综合应用
命题角度1 利用导数公式解决切线问题 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在
解答
与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明 理由．
引申探究 切线方程．
若本例条件不变，求与直线 PQ 平行的曲线 y ＝ x2 的
解答
因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0， )， 则yy | x x 0 ＝2x0， 0′
2
反思与感 悟
利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0) 处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值 问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分
析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3
已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、
(5 ) y lo g 1 x ; 解答
2
y′＝
(lo g 1 x )
2
1 ＝ 1＝－xln 2. xln 2
1
(6)y＝3x.
解答
y′＝(3x)′＝3xln 3.
反思与感 悟
若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等 变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的
高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数2111数学
探究 活动 (tànjiū)
第五页，共二十一页。
思考
(sīkǎo)
已知f (x)，g(x)，怎样求
f (x)g(x)呢？
猜想
(cāixiǎng)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
第六页，共二十一页。
证明(zhèngmíng)
f (x) g (x) f (x) g(x).
第二十页，共二十一页。
内容(nèiróng)总结
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。（1）C ＝0（C为常数
(chángshù)）。（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）。（3）(ax) ＝αxlna（a＞0，且a≠1）。（4）
No (logax) ＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）。2．求下列函数的导数．。法则3
问题3 已知f (x) f ( ) sin x cos x，
2
求f
(
).
4
第十八页，共二十一页。
回顾(huígù) 小结 函数(hánshù)的和差积商的导数求导法则．
第十九页，共二十一页。
课外作业
1.课本(kèběn)习题
2.补充：已知点P(1， 1)，点Q(2， 4) 是曲线yx2上两点，求与直线PQ 平行的曲线yx2的切线方程.
练习
(liànxí)
课本(kèběn)P22练习1～5．
小结(xiǎojié)：函数的四则运算的求导法则．
第十五页，共二十一页。
拓展(tuò zhǎn) 研究
问题 1 (wèntí)
求下列函数的导数：
(1) y x 1； x 1
(2) y sin 4 x cos4 x ；
2021年高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率_导数课件11苏教版选修1_1
思维启迪 解析 探究提高
求函数的导数，首先要搞清函数 的结构；若式子能化简，可先化 简再求导．
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数： 思维启迪 解析 (解(23(((())1234∵y))))＝yyyy(y1＝ ＝ ＝ ＝＝s)inyxexsl′ 23nix＋2n·x(＝ lx222n1＋＋x2＋(x＋eπ3x； 1xxx1＋·＝2＋l5，n)π312．xx∴1－)3；′y12；′c＝o＝se4x3lxnx＋2x－3＋ 2πx23e..x·1x＝ex(ln x＋1x)．
线可能有多条．
根底知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
5．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线〞与“过点P(x0，y0 的切线〞的区别与联系
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
4．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝ αxα－1 (α 为常数)；
(2)(ax)′＝ axln a (a>0 且 a≠1)；
1
1
(3)(logax)′＝ xlogae ＝ xln a
(a>0，且 a≠1)；
(4)(ex)′＝ ex ； 1
(5)(ln x)′＝ x ；
(6)(sin x)′＝ cos x ；
(3) gfxx′＝ f′xgx－fxg′x
g2x
(g(x)≠0)．
(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0) 处的切线是指 P 为切点，切 线 斜 率 为 k ＝ f′(x0) 的 切 线，是唯一的一条切线．
高中数学第三章导数及其应用3.2.1常见函数的导数作业苏教版选修1-1(2021年整理)
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3.2。
1 常见函数的导数[基础达标]1．若函数f（x）＝10x，则f′（1）＝________.解析：∵f′(x）＝（10x）′＝10x ln 10，∴f′（1）＝10ln 10.答案：10ln 102．给出下列结论：①若y＝错误!，则y′＝－错误!；②若y＝错误!，则y′≠错误!错误!；③若y＝错误!,则y′＝－2x－3；④若f(x）＝3x，则f′(1)＝3。
其中正确的序号是________．解析：①y′＝(x－3)′＝－3x－4＝－错误!，正确．②y′＝（x错误!)′＝错误!x－错误!＝错误!≠错误!错误!，不正确．③y′＝(x－2)′＝－2x－3，正确．④f′(x)＝(3x）′＝3，∴f′（1)＝3，正确．答案：①③④3．过曲线y＝错误!上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．解析：∵y′＝(x－1)′＝－错误!＝－4，∴x2＝错误!，x＝±错误!。
∴切点坐标为（错误!，2）或（－错误!，－2)．答案：（错误!,2）或(－错误!，－2）4．已知f(x）＝x a(a∈Z）,若f′（－1)＝－4，则a的值等于________．解析：∵f′（x）＝ax a－1∴f′（－1）＝a·(－1）a－1＝－4，∴a＝4。
2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课时作业 苏教版选修1-1
§3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 单调性 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号与函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则函数y ＝f (x )这个区间上是增函数；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则函数f (x )这个区间上是__________．2．函数的单调性决定了函数图象的大致形状．一、填空题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的____________条件．2．函数f (x )＝2x －ln x 的单调增区间为________．3．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是________．(填序号)4．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为__________．5．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为__________． 6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．8．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．二、解答题9．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．10．(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．能力提升11．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．12．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3 导数在研究函数中的应用3．3.1 单调性知识梳理1．f ′(x )>0 减函数作业设计1．充分不必要解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．(12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x， ∵x >0，f ′(x )＝2x －1x >0，∴x >12. 3．①解析 ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x .∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称．由f ′(0)＝1可排除③、④.而f ′(1)＝cos 1－sin 1<0，从而观察图象即可得到答案为①.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 解析 函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝1x－a ， 由f ′(x )>0，得1－ax x >0，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x<0， ∴x <1a ，故f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a . 5．[2，＋∞)解析 ∵y ′＝a －1x ，∴在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12得1x <2，要使a ≥1x 恒成立，只需a ≥2.6．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单调减区间为(－1,11)．7．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 8．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.9．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.10．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．11．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x .①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．12．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。
2021年高中数学第三章导数及其应用3.2.1常见函数的导数课件1苏教版选修1_1
（5）(x3)＝3x2 （7）( x )＝ 1
（6）( 1 x
)＝－
1 x2
2x
根本初等函数求导公式:
〔1〕(xα) ＝ αxα－1〔α为常数〕
〔2〕(ax) ＝axlna〔a＞0，且a≠1〕
〔3〕(logax) ＝1
x
〔4〕(ex) ＝ex
logae＝x l1n a 〔a＞0，且a≠1〕 〔5〕(lnx) ＝1
公式: (x)' x1(是 常)数
通过3) 3 x 2
(4)( 1 )
x
1 x2
1
(5)( x) 2 x
几个常用函数的导数:
（1）(kx＋b) ＝k（k，b为常数）
（2）C ＝0（C为常数）
（3）(x)＝1
（4）(x2)＝x
常见函数的导数
复 导数：函数在某点处的瞬时变化率 习
设函数y＝f(x)在区间 (a，b) 上有定
义，x0∈(a，b)，假设△x无限趋近于零时，
比值 yf(x0x)f(x0)
x
x
无限趋近于一个常数A，那么称f(x)在x
＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝
x
0
处
的导数，记作f/(x0)．
根据导数的概念，求函数导数
x
〔6〕(sinx) ＝ 〔7〕(cosx) ＝－sinx
cosx
思考：你能用语言描述一下它们的构造特点
交流展示
例1 利用求导公式求以下函数导数.
1yx5 2y x x
3y sin
3
5ylo3gx
4y4x
6ysin x
2
例2.若直线 yxb为函数 y1图象的切, 线 x
求b的值和切点的. 坐标
2020_2021学年高中数学第三章导数及其应用3.2.1_3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[A 组 学业达标]1．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x 1－x 2B.x sin x －sin x －cos x1－x2C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′ ＝－sin x1－x －cos x ·－11－x2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x 2.答案：C 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 解析：∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx . 因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1. 则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数． 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：B4．函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)在x ＝0处的导数值为( ) A ．－6 B ．0 C ．6 D ．1解析：∵f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6. 答案：A5．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2， ∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2， ∴f ′(－1)＝－1. 答案：B6．若函数f (x )＝e xx在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c ＝________.解析：∵f (x )＝e xx，∴f (c )＝e cc.又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －1x2， ∴f ′(c )＝e c c －1c2. 由题意，知f (c )＋f ′(c )＝0， ∴e c c ＋e c c －1c2＝0， ∴2c －1＝0，解得c ＝12.答案：127．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，则y 0＝e ， 则P 点坐标为(e ，e)． 答案：(e ，e)8．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：∵f (x )＝ax －ln x ， ∴f (1)＝a ，即切点是(1，a )． ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 令x ＝0，得y ＝1，即l 在y 轴上的截距为1. 答案：19．求下列函数的导数． (1)f (x )＝e －x (sin x ＋cos x )； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x >0)．解析：(1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋sin x e x ′ ＝cos x －sin x e x －e x cos x ＋sin xe 2x＝－2sin xex ＝－2e －x sin x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x－1′ ＝e x e x －1－e x ＋1e xe x －12＝－2e x e x －12.(3)法一：y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′ ＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.法二：因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.10．求过曲线y ＝sin x 在x ＝π4处的点且与此处切线垂直的直线方程．解析：由于y ′＝(sin x )′＝cos x ，则y ′|x ＝π4＝cos π4＝22，从而与切线垂直的直线的斜率为－2，依点斜式得符合题意的直线方程为y －22＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －22－24π＝0.[B 组 能力提升]11．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则ab的值为( )A ．－12e B ．－2eC.2eD.12e解析：y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e，∴a b ＝12e. 答案：D12．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：设切点为(x 0，y 0)．由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线y ＝12x ＋b ，得－12＝12＋b ，解得b ＝－1，故选B.答案：B13．曲线y ＝sin xsin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________．解析：y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin xcos x －sin xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率． 答案：1214．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋a ＋2＝2，ax 20＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：815．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.16．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解析：由已知，得f ′(x )＝2x a，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0.令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a.所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1练测 第3章导数及其应用 本章练测
第3章 导数及其应用（苏教版选修1-1） 建议用时实际用时 满分 实际得分 120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 . 2．函数x x x f -⋅=e )(的单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = .4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为 .5．曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 . 6．函数y =x +2cos x 在[0,]上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于 .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos x y x x=∈-+，，，当2y '=时， x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数：(1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；(5)y =lg x －.16．（14分）已知c bx ax x f ++=24)( 的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间.17．（14分）已知函数cbx x ax x f -+=44ln )(在处取得极值，其中cb a ,,为常数.（1）试确定b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意x，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.18．（16分）已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程；（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.19．（16分）已知函数f (x )=a ln x ++1． （1）当a =－时，求f (x )在区间上的最值；（2）讨论函数f (x )的单调性.20．（16分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1e x x ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．第3章 导数及其应用 答题纸（苏教版选修1-1）得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12． 13． 14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第3章 导数及其应用 参考答案（苏教版选修1-1）一、填空题1．x x f 2π8)(=' 解析：∵()∴==,π4π2)(222x x x f =⋅='x x f 2π42)(x 2π8.2．解析：∵ ()e ex x x f x x -=⋅=∴，21e e ()e x xx x f x ⋅-⋅'=（）0,1x >∴<. ∴ 函数xx x f -⋅=e)(的单调递增区间是.3.41 解析：设切点为),(00y x P .因为2ax y =，所以y ′=2ax . 由题意知解得41=a ． 4．23b ac ≤ 解析：由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知则，即5．5x +y －2=0 解析：∵y ′=3－4x －4，∴曲线在点（1，－3）处的切线斜率k =y ′=－5，∴切线方程为y +3=－5(x －1)，即5x +y －2=0. 6．解析：y ′=1－2sin x ，令1－2sin x =0，得sin x =.∵x ∈[0,]，∴x =.当x ∈[0,)时，y ′＞0；当x ∈[,]时，y ′≤0，∴f (). 7．1 解析：，由，得的两个解，则＝1.8．2 cm,1 cm, cm 解析：设长方体的宽为x cm ，则长为2x cm ，高为181293(3)(c m)0422x h x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭＜＜. 故长方体的体积为223393()2(3)(96(cm )(0).22V x x x x x x =-=-）＜＜ 从而).1(181818)(2x x x x x V -=-='令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜32时，0)(<'x V ， 故在x =1处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值. 从而体积最大时长方体的长为2 cm ，宽为1 cm ，高为32cm. 9． 3 解析：根据导函数图象，导数值异号的分界点有3个，故原函数有3个极值点. 10．解析：11．122n n S +=- 解析：()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为，令x =0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n na n =+， 则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--. 12. 解析：设g(x)＝xf(x)，由y ＝f(x)为R 上的奇函数，可知g(x)为R 上的偶函数．而g ′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf ′(x).由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增. 由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为＝g(－2)＝g(2)，且，故.13.(－∞，－3)∪(0，3) 解析：因为，则在x ＜0时递增.又因为分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以为奇函数，关于原点对称，所以在x ＞0时也是增函数．因为所以当时，可转化为，即；当时，可转化为，即.14.f(－a 2)f(－1) 解析：由题意可得.由＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73. 当时，为增函数；当时，为减函数；当x ＞时，为增函数.所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值. 又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤ f(－1)．二、解答题 15．解：(1)y ′=－12.(2)y ′=(3+x cos x )′=6x +cos x －x sin x .(3)y ′=()′==.(4)y ′ln x .(5)y ′=+.16．解：（1）因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c =. ①'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+=. ②由题意得切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，得. ③联立①②③得所以（2）令得当x 变化时，x 0－ 0 ＋ 0 － 0 ＋由上表可知，函数的单调递增区间为17．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得3431()4ln 4f x ax x ax bx x'=+⋅+3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥． 即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，解得32c ≥或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，. 18. 解：(1)由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2)，令＝1－8a ．当a ≥18时，≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0＜a ＜ 18时，＞0，方程＋1＝0有两个不相等的正根，不妨设，则当时，f '(x)＜0，当时，f '(x)＞0，这时f(x)不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 18，＋)． 19．解:（1）当a =－时，f (x )=－ln x ++1，∴ f ′(x )=+=．∵ f (x )的定义域为(0,+∞)，∴ 由f ′(x )=0,得x =1．∴ f (x )在区间上的最值只可能为f (1)，或f (e)，而f (1)，+，f (e)=+，∴ =f (e)=+,=f (1)=．（2）f ′(x )=，x ∈(0,+∞)．①当a +1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )<0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递减； ②当a ≥0时，f ′(x )>0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递增；③当－1<a <0时，由f ′(x )>0,得>,∴ x >或x <－（舍去）,∴ f (x )在上单调递增，在上单调递减.综上，当a ≥0时，f (x )在(0,+∞)上单调递增；当－1<a <0时，f (x )在上单调递增，在上单调递减；当a ≤－1时，f (x )在(0,+∞)上单调递减.20．解：（1）方法1：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，∴ ()2212a h x x x'=-+． ∵1x =是函数()hx 的极值点，∴ ()10h '=，即230a -=．∵ 0a >，∴ 3a =经检验当3a =1x =是函数()h x 的极值点，∴ 3a =方法2：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，，∴ ()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵ △2180a =+>，∴ ()0h x '=的两个实根为1x =（舍去），2x =，当x 变化时，()hx ，()h x '的变化情况如下表：依题意，114-+=，即23a =，∵ 0a >，∴ a = （2）对任意的[]12,1e x x ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1e x x ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦． 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴ 函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴ ()()maxe e 1g x g ==+⎡⎤⎣⎦．∵ ()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,e x ∈，0a >．①01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴ 函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴ ()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥e 1+，得a 又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴ 函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]e a ，上是增函数．∴ ()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥e 1+，得a ≥e 12+.又1≤a ≤e ，∴e 12+≤a ≤e ．③当e a >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴ 函数()2a f x x x =+在[]1e ，上是减函数．∴ ()()2min e e e a f x f ==+⎡⎤⎣⎦.由2e ea +≥e 1+，得a ≥，又e a >，∴ e a >．综上所述，a 的取值范围为e 1,2+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
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3.2.1 常见函数的导数
[基础达标]
1．若函数f (x )＝10x
，则f ′(1)＝________.
解析：∵f ′(x )＝(10x )′＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10.
答案：10ln 10
2．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′≠13
3x ； ③若y ＝1x
2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的序号是________．
解析：①y ′＝(x －3)′＝－3x －4＝－3x
4，正确． ②y ′＝(x 13)′＝13x －23＝133x
2≠133x ，不正确． ③y ′＝(x －2)′＝－2x －3，正确．
④f ′(x )＝(3x )′＝3，∴f ′(1)＝3，正确．
答案：①③④
3．过曲线y ＝1x
上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________． 解析：∵y ′＝(x －1)′＝－1x
2＝－4， ∴x 2＝14，x ＝±12. ∴切点坐标为(12，2)或(－12
，－2)． 答案：(12，2)或(－12
，－2) 4．已知f (x )＝x a (a ∈Z )，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________．
解析：∵f ′(x )＝ax a －1∴f ′(－1)＝a ·(－1)a －1＝－4，
∴a ＝4.
答案：4
5．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是________．
解析：∵y ′＝(sin x )′＝cos x ∈[－1,1]，
∴在P 点处的切线l 的斜率k ∈[－1,1]，
设其倾斜角为α，则－1≤tan α≤1， ∴0≤α≤π4或3π4
≤α<π.
答案：[0，π4]∪[3π4
，π) 6．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有________条．
解析：∵y ′＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±
33，即在点(33，39
)和点(－33，－39
)处有斜率为1的切线． 答案：2
7．求下列函数的导数：
(1)y ＝5x 3；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 9x ；
(4)y ＝sin 2x ＋cos 2x ；(5)y ＝sin(π2
＋x )． 解：(1)y ′＝(x 35)′＝35
x －2
5. (2)y ′＝4x ln 4＝2(ln 2)·4x .
(3)y ′＝1x ln 9＝12x ln 3
. (4)∵y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴y ′＝1′＝0.
(5)∵y ＝sin(π2
＋x )＝cos x ，∴y ′＝－sin x . 8．求曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．
解：∵f ′(x )＝(e x )′＝e x ，∴f ′(2)＝e 2.
∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)．
令x ＝0，则y ＝－e 2，
令y ＝0，则x ＝1，
∴切线与坐标轴交点坐标为(1,0)和(0，－e 2)，
∴S ＝12×1×e 2＝12
e 2. [能力提升]
1．曲线y ＝x 3在点(0,0)处的切线方程是________．
解析：∵y ′＝(x 3)′＝3x 2，∴k ＝y ′|x ＝0＝0.
∴y ＝x 3在点(0,0)处的切线方程是y ＝0.
答案：y ＝0
2．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.
解析：∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，
∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝(x 2)′＝2x .
答案：2x
3．求函数y ＝cos x 在点x ＝－π4
处的切线方程． 解：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，
∴y ＝cos x 在点x ＝－π4处的切线斜率k ＝－sin(－π4)＝22
， 又当x ＝－π4时，y ＝cos(－π4)＝22
. ∴切点坐标为(－π4，22
)， 由点斜式得切线方程为y －22＝22(x ＋π4)，即x －2y ＋π4＋1＝0.
4．已知抛物线y ＝x 2
，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x
－y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率k ＝2x 0＝1，
所以x 0＝12，所以切点坐标为(12，14
)， 切点到直线x －y －2＝0的距离
d ＝|12－14－2|2
＝728. 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.。