第十三章13.2复数

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 思维启迪 (1)若 z＝a＋bi(a， b∈R)，则 b＝0 时，z∈R；b≠0
时， z 是虚数；a＝0 且 b≠0D 时， z 是纯虚数． C．充要条件 ．既不充分又不必要条件
(2)直接根据复数相等的条件求解．
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题型一 复数的概念
z1 【例 1】 (1)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若 为纯 z2 z1 虚数，则复数 的虚部为 ( ) z2 2 A．1 B．i C. D．0 5 (2)若 z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则 “m＝1”是“z1＝z2”的 ( )
思维升华
处理有关复数的基本概念问题， 关键
是找准复数的实部和虚部， 从定义出发， 把复数 问题转化成实数问题来处理．
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跟踪训练 1 10 (1)(2013· 安徽)设 i 是虚数单位．若复数 a－ 3－i ( D ) D．3 ( C．1 D．－2 ) B．－1 C．1
题型一 复数的概念
z1 【例 1】 (1)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若 为纯 z2 z1 虚数，则复数 的虚部为 ( A ) z2 2 A．1 B．i C. D．0 5 (2)若 z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则 “m＝1”是“z1＝z2”的 ( )
2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 m ＋m＋1＝3 (2)由 2 ，解得 m＝－2 或 m＝1， m ＋m－4＝－2 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
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题型一 复数的概念
数学
R A（理）
§13.2 复数
第十三章 算法初步、复数
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要点梳理
1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部 和 虚部 ．若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数，若 b≠0 ，则 a＋bi 为虚 数，若 a＝0且b≠0 ，则 a＋bi 为纯虚数． (a，b，c，d∈R)．
思想方法
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3＋i 跟踪训练 2 (1)已知复数 z＝ 2， z 是 z 的共轭复数，则 1 － 3i 1 4 z· z ＝________. －2 3＋i 2 2 014 0 (2) ＋( ) ＝________. 1－i 1＋2 3i
i1＋2 3i 2 2 1 007 (2)原式＝ ＋[( )] 1－i 1＋2 3i 2 1 007 ＝i＋( ) ＝i＋i1 007 －2i
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题型二 复数的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 2】
计算：
31＋i2 (1) ＝________； i－ 1 1＋ i 6 2＋ 3i (2)( )＋ 1－ i 3－ 2i ＝________.
31＋i2 3×2i 6i (1) ＝ ＝ i－ 1 i－ 1 i－ 1 6ii＋1 ＝－ 2 ＝－3i(i＋1)
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题型二 复数的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 2】
计算：
(1)复数的加法、减法、乘 法运算可以类比多项式 运算，除法关键是分子分 母同乘以分母的共轭复 数，注意要把 i 的幂写成
31＋i2 3－3i ； (1) ＝________ i－ 1 1＋ i 6 2＋ 3i (2)( )＋ 1－ i 3－ 2i
(2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i， ∴ z ＝1－i，z2＋ z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
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题型二 复数的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 2】
计算：
31＋i2 (1) ＝________； i－ 1 1＋ i 6 2＋ 3i (2)( )＋ 1－ i 3－ 2i ＝________.
知识回顾 理清教材
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d
(3)共轭复数： a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c，b＝－d (a， b， c， d∈R)．
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要点梳理
(4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面． x轴 叫做实 轴， y轴 叫做虚轴．实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚 轴上的点都表示 纯虚数 ；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
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题型二 复数的运算
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【例 2】
计算：
31＋i2 (1) ＝________； i－ 1 1＋ i 6 2＋ 3i (2)( )＋ 1－ i 3－ 2i ＝________.
复数的除法运算， 实质上 是分母实数化的运算．
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基础知识·自主学习
要点梳理
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ③乘法：z1· z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i z1 a＋bi a＋bic－di ④除法： ＝ ＝ z2 c＋di c＋dic－di ； ； ；
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题型三
【例 3】
复数的几何意义
如图所示，平行四边形 OABC，
思维启迪 结合图形和已知点对应的复数， 根据加减法的几 何意义，即可求解． → ＝－OA → ，∴AO → 所表示的复数为－3－2i. 解 (1)AO
顶点 O， A，C → 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： → → ∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. → 、BC → 所表示的复数； (1)AO → ＝OA → －OC → ，∴CA → 所表示的复数为 (2)CA → (2)对角线CA所表示的复数； (3 ＋ 2i) － (－2＋4i)＝5－2i. (3) 求 B 点对应的复数．
－ 1＋ i ＝________.
最简形式．
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题型二 复数的运算
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 2】
计算：
(2)记住以下结论， 可提高运算 速度， 1＋i ①(1± i) ＝ ± 2i ； ② ＝i； 1－i
2
31＋i2 3－3i ； (1) ＝________ i－ 1 1＋ i 6 2＋ 3i (2)( )＋ 1－ i 3－ 2i
A．充分不必要条件 B i．必要不充分条件 1＋2i 2－2a 4＋a z1 2＋ai 2＋a 解析 (1)由z ＝ ＝ ＝ 5 ＋ 5 i 是纯虚 5 1－2i 2 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 z1 数，得 a＝1，此时z ＝i，其虚部为 1. 2
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知识回顾 理清教材
ac＋bd bc－ad 2 2＋ 2 2i c ＋ d c ＋ d ＝
基础知识 题型分类
(c＋di≠0)．
思想方法 练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、 z3∈C，有 z1＋z2＝ z2＋z1 (z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ， ．
1－i a＋bi ③ ＝－i； ④ ＝b－ai； i 1＋i ⑤i4n＝1， i4n 1＝i， i4n 2＝－1，
＋ ＋
－ 1＋ i ＝________.
i4n＋3＝－i(n∈N)．
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3＋i 跟踪训练 2 (1)已知复数 z＝ 2， z 是 z 的共轭复数，则 1 － 3i 1 4 z· z ＝________. －2 3＋i 2 2 014 (2) ＋( ) ＝________. 1－i 1＋2 3i
＝i＋i4
×251＋3
＝i＋i3＝0.
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题型三 复数的几何意义
【例 3】 如图所示，平行四边形 OABC，
顶点 O，A，C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： → 、BC → 所表示的复数； (1)AO → 所表示的复数； (2)对角线CA (3)求 B 点对应的复数．
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) × (4) √ (5) √
解析
B
C
B D
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题型一 复数的概念
z1 【例 1】 (1)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若 为纯 z2 z1 虚数，则复数 的虚部为 ( ) z2 2 A．1 B．i C. D．0 5 (2)若 z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则 “m＝1”是“z1＝z2”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ( )
题型分类·深度剖析
题型一 复数的概念
z1 【例 1】 (1)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若 为纯 z2 z1 虚数，则复数 的虚部为 ( A ) z2 2 A．1 B．i C. D．0 5 (2)若 z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则 “m＝1”是“z1＝z2”的 ( A )
(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为 A．－3
(2)(2012· 江西)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z 的共轭复数， 则 z2＋ z 2 的虚部为 A．0 B．－1
10 解析 (1)a－ ＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由 a∈R， 3－i 10 且 a－ 为纯虚数知 a＝3. 3－i
| 3＋i| 1 1 2 解析 (1)方法一 |z|＝ ＝ ，z· z ＝|z| ＝4 |1－ 3i2| 2
方法二
z· z ＝ －
3＋i 3 i z＝ ＝－ 4 ＋4， －21＋ 3i
3 i 3 i 1 － 4 －4＝4. 4 ＋4
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跟踪训练 1 10 (1)(2013· 安徽)设 i 是虚数单位．若复数 a－ 3－i ( D ) D．3 ( A ) C．1 D．－2 B．－1 C．1
(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为 A．－3
(2)(2012· 江西)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z 的共轭复数， 则 z2＋ z 2 的虚部为 A．0 B．－1
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|z|
或 |a＋bi|，
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2．复数的几何意义 (1)复数 z＝ a＋ bi b∈R)． (2)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a， b)(a，
→ 平面向量OZ (a，b∈R)．
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题型分类
思想方法
＝3－3i.
1＋i2 6 (2)原式＝[ 2 ] 2＋ 3i 3＋ 2i ＋ 32＋ 22
6＋2i＋3i－ 6 ＝i ＋ ＝－1＋i. 5
6
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【例 2】
计算：
31＋i2 3－3i ； (1) ＝________ i－ 1 1＋ i 6 2＋ 3i (2)( )＋ 1－ i 3－ 2i
31＋i2 3×2i 6i (1) ＝ ＝ i－ 1 i－ 1 i－ 1 6ii＋1 ＝－ ＝－3i(i＋1) 2
＝3－3i.
1＋i2 6 (2)原式＝[ ] 2 2＋ 3i 3＋ 2i ＋ 32＋ 22
6＋2i＋3i－ 6 ＝i ＋ ＝－1＋i. 5
6
－ 1＋ i ＝________.