辅导班立体几何练习含答案

…………8 分…
……………10 分
3 ，从而，在 NCB 中，可求得 CG＝ 3 3
3
3
2
3
∵
∠ACG＝ 9 0
o
∴
AG＝
AC 2 CG 2
3 4 3 3
2 2
∴
cos
CG AG
1
3
∴
2
4
………14 分 ………15 分
2 2 12 y z 16 由 PC=4, PA= 2 6 可得方程组 ， 2 2 12 ( y 4) z 24
PF 5 . PG 5
5 . ……………………… 5
15
P
z
y A E C D x
F
B
y 1 解得： ，即点 P(0,1, 3 ) , ……… 11 分 z 3 设平面 PAB 的法向量为 n=(x1,y1,z1)， ∵ BA =(0,4,0)， BP =(2 3 ,1, 3 )， x1 1 4 y1 0 ∴ ，可得一组解为： y1 0 ， z = 2 2 3x1 y1 3z1 0 1 即 n=(1,0,2) . 而平面 PED 的法向量为 m=(1,0,0)，
AHG 是二面角 A DE C 的平面角，即 AHG 设原正方形 ABCD 的边长为 2 ，连接 AF ，
在折后图的 AEF 中， AF＝ 3a，EF＝2 AE＝2a
AEF 为直角三角形， AG EF AE AF AG
在 Rt ADE 中， AH DE AD AE AH
7 1 cos 7 2 7 1 综合①②③得， cos , 7 2
∵
0 3
2. （本题满分 15 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为棱形， BAD=60o，Q 为 AD 的中点. （Ⅰ）若 PA=PD, 求证：平面 PQB 平面 PAD； （Ⅱ）设点 M 是线段 PC 上的一点，PM=tPC，且 PA∥ 平面 MQB. （ⅰ）求实数 t 的值； （ⅱ） 若 PA=PD=AD=2， 且平面 PAD 平面 ABCD， 求二面角 M–BQ–C 的大小. 证明： （1） Q 为 AD 的中点.PA=PD， AD PQ 又 Q 为 AD 的中点，底面 ABCD 为棱形， BAD=60o
∠ ABC ＝ 60 ，∴ AB 2 ∴ AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos 60 o 3
2 2 2
……………2 分
B0,1,0, M ,0,1
则 C (0,0,0), A( 3,0,0) ， 3) ， …………8 分
∴
AB 3,1,0 , BM ,1,1
7 , 8
A G B E C F D
3 5
…………………………
P
易求得 PD=DE=2，∴△PDE 是等边三角形，取 DE 中点 F， 过点 F 作 BD 的平行线交 AB 于点 G，连接 PF，PG，则 PF⊥ED，PG⊥AB， ∵DE∥AB，设平面 PED 与平面 PAB 的交线为 l，则有 DE∥AB∥l， ∵PF⊥DE，GF⊥DE，∴DE⊥平面 PFG， l⊥平面 PFG, 则 FPG 就是平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的平面角. ……………… 13 分 因为 PF= 3 ，FG=BD=2 3 ，且 PF FG，∴PG= 15 ，∴cos FPG= 故平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值为 分 法二：以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DE 为 x，y 轴正半轴，如图建立空间直角坐 标系. 则 B (2 3， 0， 0) ，C (2 3， 0， 0) , E(0,2,0), A (2 3， 4， 0) ,设点 P(0,y,z), ………………9 分
分 ∴cos<n, m>=
5 . 5
…………………………
13
∴平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值为 分 17、（本题满分 15 分） 如图，正四棱锥 S－ABCD 中，SA=AB， E，F，G 分别为 BC，SC，CD 的中点。 设 P 为线段 FG 上任意一点。 （Ⅰ）求证：EP⊥AC； （Ⅱ）当直线 CP 与平面 EFG 所成的角取得最大 值时，求二面角 P－BD－S 的平面角的余弦值。
1.如图，在梯形 ABCD 中， AB / / CD ，
AD DC CB 1, ABC 60 ，四边形 ACFE 为矩形，平
面 ACFE 平面 ABCD ， CF 1 . （I）求证： BC 平面 ACFE ； （II）点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 所成 二面角的平面角为 ( 90 ) ，试求 cos 的取值范围.
∴


…………10 分
cos
| n1 n2 | | n1 | | n2 | 1 3
∴ ………12 分 ∵
1

3

2Байду номын сангаас
1
1
3 4
2
0 3
当 0 时， cos 有最小值
7 ， 7
当
3 时 ， cos 有 最 大 值
（2）过点 A 用 AG 平面 BCDE , 垂足为 G , 连接 GC , GD.
ACD 为正三角形 AC AD GC＝GD， G 在 CD 的垂直平分线上。 又 EF 是 CD 的垂直平分线 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上
过 G 作 GH ED ，垂足为 H ，连接 AH , 则 AH DE.
∠ AGC =
∴ FB 2 BC ⊥ CF 2 14 ∴ CG , AG 2 2 2 CG AG 2 AC 2 7 ∴ cos 2CG AG 7 ②当 M 与 E 重合时，过 B作BN // CF , 且使BN CF , 连结 EN、FN ，则平面 MAB ∩平面 FCB ＝ BN , ∵ BC ⊥ CF ，又∵ AC ⊥ CF ∴ CF ⊥平面 ABC ∴ BN ⊥平面 ABC ∴ ∠ ABC ＝ ∴ = 60 , 1 ∴ cos = 2 ③当 M 与 E、F 都不重合时，令 FM (0 3) 延长 AM 交 CF 的延长线于 N ,连结 BN ∴ N 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∵ B 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∴ 平面 MAB ∩平面 FCB ＝ BN 过 C 作 CG⊥NB 交 NB 于 G ，连结 AG， 由（I）知， AC ⊥ BC , 又∵AC⊥CN, ∴ AC⊥平面 NCB ∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB，AC∩CG=C， ∴ NB⊥平面 ACG ∴AG⊥NB ∴ ∠AGC= 在 NAC 中，可求得 NC＝
AD BQ ， AD 面 PBQ ， 平面 PQB 平面 PAD
（2）（ⅰ） t
1 3
（ⅱ）求二面角 M–BQ–C 的大小为
. 3
18． （本小题满分 15 分） 已知正方形 ABCD ，E，F 分别是边 AB，CD 的中点， 将 △ ADE 沿 DE 折起， 如图所示， （1）证明 BF ∥ 平面 ADE ； （2）若 △ ACD 为正三角形，求二面角 A DE C 的余弦值．
5 . ……………………… 5
15

（I）证明：在梯形 ABCD 中， ∵ AB // CD , AD DC CB 1 ，

∴ AB AC BC ∴ BC ⊥ AC ………………… 4 分 ∵ 平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面 ABCD AC , BC 平面 ABCD ∴ BC ⊥平面 ACFE ……………6 分 （II）解法一：由（I）可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴，y轴, z轴 的如图所示空间直 角坐标系， 令 FM (0
n1 AB 0 n1 BM 0 3x y 0 x y z 0
设 n1 x, y , z 为平面 MAB 的一个法向量， 由 得


取 x 1 ，则 n1 1, 3, 3 ， ∵
n2 1,0,0 是平面 FCB 的一个法向量
D
在 RtEFG 中 EG 1 ， FG 1 ， EFG
，------------14 分 4
又二面角 E AC B 的大小与二面角 E AC D 的大小互补
二面角 E
3 AC B 的大小为 4
--------------------15 分
如图， 三棱锥 P-ABC 中， E， D 分别是棱 BC， AC 的中点， PB=PC=AB=4， AC=8， BC= 4 3 ， PA= 2 6 . (Ⅰ)求证：BC⊥平面 PED； (Ⅱ)求平面 PED 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值.
3 a 2 a 2 5
2a 5
, GH
cos
GH 1 ………………15 分 AH 4
17. (本小题满分 15 分)如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中， AB AC ， P PA 平面 ABCD ，且 PA AB ，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证： PB // 平面 AEC ； （Ⅱ）求二面角 E AC B 的大小.
P
A
E D B
C
17．解： （Ⅰ）∵AC=8,BC= 4 3 ，AB=4，由勾股定理可得 AB⊥BC, 又∵E,D 分别是棱 BC,AD 的中点，∴DE∥AB，∴DE⊥BC. …………………… 分 又已知 PB=PC，且 D 是棱 BC 的中点, ∴PD⊥BC， 分 ∴BC⊥平面 PED. ……………………… 7 分 (Ⅱ)法一：在△PAC 中， ∵AC=8,PC=4,PA= 2 6 , 由余弦定理可得 cos PCA= 又∵E 是 AC 的中点, 由余弦定理可求得 PE=2, ………… 10 分
…………15 分
1 。 2
∴
7 1 cos , 7 2
解法二：①当 M 与 F 重合时，取 FB 中点为 G ，连结 AG、CG ∵ AF AC CF 2 , ∴ AB AF ∴ AG ⊥ FB ∵ CF CB 1 ∴ CG ⊥ FB
2 2
∴ ∵
E
A
B
C 17.解： （Ⅰ）连接 BD 交 AC 于点 F , (题 17) 因为 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分， 所以 F 是 BD 中点， 点 E 是 PD 中点，所以 EF // PB , 又 PB 平面 AEC ,所以 PB // 平面 AEC ；----7 分 （Ⅱ）取 AD 中点 G ，连接 EG , PA 平面 ABCD ， EG // PA ， EG 平面 ABCD ， EG AC ，-----------9 分 连接 GF GF // AB ， AB AC ， GF AC ， EF AC ----------------------------------11 分 二面角 E AC D 的平面角就是 EFG ,------------------12 分 令 PA AB 2 ，
B E A
C F D
A B E D F
C
18.（1）证明： E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 、 CD 的中点.
ED // FD, 且 EB＝FD，
四边形 EBFD 是平行四边形
BF // ED ED 平面 AED， 而 BF 平面 AED
BF // 平面 AED ………………6 分