2012年苏南五市单招教学调研测试数学二模试卷及答案

绝密★启用前2012年苏南五市单招教学调研测试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，两卷 满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(共48分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号等项目.2．用2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑，答案不涂写在答题卡上无效.一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合 要求的．）1．若集合{}210，，=A ,=B {}A n n x x ∈=，2，则集合=B A （ ） A ．{}0 B ．{}10， C ．{}21， D ．{}20，2. 22bc ac >是b a >的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知x x f a2log)(=，若)3()2(f f >，则a 的取值范围是 （ ）A ．1-<a 或1>aB ．11<<-aC ．10<<aD ．01<<-a 或10<<a 4. 已知),(3Z n m i in m∈=，则nm i+的值为 （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -5．在等差数列}{n a 中，3321=++a a a ，165302928=++a a a ，则此数列前30项的和等于 （ ） A ．810 B ．840 C ．870 D ．900 6. 已知α是第四象限的角，且53)sin(=+απ，则=-)2cos(πα （ ）A ．54 B ．54-C ．54± D ．537. 如果偶函数)(x f 在区间[2,8]上是减函数，并且其图象与x 轴相交，那么)(x f 在区间[-8,-2]上是 （ ） A ．减函数，且其图象与x 轴相交 B ．减函数，且其图象与x 轴不相交 C ．增函数，且其图象与x 轴相交 C ．增函数，且其图象与x 轴不相交8. 给出以下四个命题： （1）若直线a ∥直线b ，且b ⊂平面α，则a ∥平面α；（2）一条直线和一个平面所成角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛20π，；（3）和两条异面直线相交的两条直线是异面直线；（4）若直线a 和平面α内任意一条直线都垂直，则a ⊥α．以上四个命题中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9. 下列函数中，在其定义域内最大值为1的函数是 （ ） A ．x x y cos sin ⋅= B ．x x y cos sin += C ．x y tan = D ．2sin2cos 22x x y -=10. 样本中共有六个个体，其值分别为，2，a 2541，，，，若该样本的平均数为3，则样本方差为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．311. 若直线06=+-y ax 被圆02522=-+y x 截得的弦长为8，则=a （ ）A ．3B ．33 C ．3± D ．33±12. 椭圆的一个焦点与短轴的两个端点连线互相垂直，则椭圆的离心率是 （ ） A . 21 B .22 C .23 D .412012年苏南五市单招教学调研测试数学试卷第Ⅱ卷(共102分)注意事项：第Ⅱ卷共6页，考生须用钢笔或圆珠笔将答案答在试卷上.二、填空题:（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在题中的横线上．）13.已知函数xy3log=与kxy=的图象有公共点A，且点A的横坐标为3，则k= .14. 双曲线8822=-kykx的一个焦点是（0,3）,则=k.15．若函数)1(11)(>-+=xxxxf在ax=处取到最小值，则=a.16. 已知1nx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1024，则n＝.17. 在ABC∆中，已知45,13,6=∠+==Cba,则A∠=.18．已知定义在R的奇函数)(xf满足)()4(xfxf-=-，且]20[，∈x时，)1(log)(2+=xxf，则=)3(f.三、解答题：(本大题共7小题，共78分，解答应写出必要的文字说明及证明过程.)19. (本题满分6分)已知函数)(xf与)(xg互为反函数，其中xxf⎪⎭⎫⎝⎛=21)(.（1）求)(x g 的解析式； （2）求)2(2x x g -的定义域.20. (本题满分10分)已知数列}{n b 是等差数列，11=b ，1451021=+⋅⋅⋅++b b b . （1）求数列}{n b 的通项公式； （2）设数列}{n a 满足nb n a 2=，求数列}{n a 的前n 项和n S .21. (本题满分10分)已知点)232()sin (cos )30()03(ππααα，，，，，，，∈C B A .（1）若||||BC AC =，求角α的值；（2）若1-=⋅BCAC，求αααtan 12 sinsin 22++的值.22. (本题满分12分)在某一路段，车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度达到20辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当0≤x≤180时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）当0≤x≤180时，求函数)(xv的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(xvxxf⋅=可以达到最大，并求出最大值.23. (本题满分12分)口袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止.（1）求恰好第三次取到白球的概率；（2）求取球次数ξ的概率分布；（3）求ξ的数学期望)(ξE .24. (本题满分14分)如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长为2，侧棱长为3，11C A 的中点为D .（1）求三棱锥D AB A 11-的体积； （2）求证：1BC ∥平面D AB 1； （3）求二面角A D B A --11的大小.25. (本题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，焦点是圆y y x 622=+的圆心.（1）求此抛物线的标准方程； （2）过抛物线焦点且斜率为21-的直线与抛物线和圆分别交于A 、B 、C 、D 四点，求OAB ∆与OCD ∆的面积之和.2012年苏南五市单招教学调研测试数学试卷答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，两卷满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求．）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 13．63； 14．1-； 15．2； 16．5； 17． 60； 18．1.三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出必要的文字说明及证明过程．）19．解：（1） 函数)(x g 与xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(互为反函数，∴x x g 21log)(=，………………………………………………………………………………2分（2）)2(log)2(2212x x x x g -=-，……………………………………………………………3分∴022>-x x ，……………………………………………………………………………………4分解得20<<x ，……………………………………………………………………………………5分 所以定义域 {}20<<=x x D ．…………………………………………………………………6分20．解：（1） }{n b 是等差数列，1451021=+⋅⋅⋅++b b b ， ∴ 1452910110=⨯⨯+⨯d ，…………………………………………………………………1分∴ 3=d ，………………………………………………………………………………………2分 ∴ +∈-=N n n b n ，23.………………………………………………………………………4分 （2）2322-==n nb n a ，……………………………………………………………………………5分∴82253231==---n n n n a a ，……………………………………………………………………………7分∴ }{n a 是以2211==b a ，8=q 的等比数列，………………………………………………8分∴ 前n 项和()1872-=nn S ，+∈N n ．………………………………………………………10分21．解：（1）)3sin (cos )sin 3(cos -=-=αααα，，BC ，AC ，……………………………………1分2222)3(s i n (c o s s i n )3(c o s -+=+-∴=αααα ，……………………2分1t a n s i n c o s=∴=∴ααα，，…………………………………………………………………3分 45)232(παππα=∴∈，， ．……………………………………………………………………4分 （2） =⋅BC AC 1sin 3sin cos 3cos 22-=-+-αααα，…………………………………5分32sin cos =+∴αα，…………………………………………………………………………6分两边平方 942s i n 1=+α ，952sin -=α，………………………………………………7分αααααα2s i n c o s s i n 2t a n 12s i n s i n 22=⋅=++化简，…………………………………………9分95t a n 12s i n s i n 22-=++∴ααα．……………………………………………………………………10分22．解：（1）由题意设b ax x v +=)(……………………………………………………………………1分再由已知得⎩⎨⎧=+=+80200180b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=9021b a ，……………………………………………3分 故0≤x ≤180时，函数9021)(+-=x x v ．…………………………………………………5分 （2）由题意得x x x v x x f 9021)()(2+-=⋅=，………………………………………………7分4050)90(219021)(22+--=+-=x x x x f ，………………………………………………10分当90=x 时，)(x f 在区间]180,0[上取得最大值4050，即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为4050辆/小时．……………12分23．解：（1）设事件A ={恰好第三次取得白球} ，………………………………………………………1分 511)(1314131514=⋅⋅=CCC CC A P ．………………………………………………………………………3分（2）设随机变量ξ为取球的次数 ，ξ可以取得值为1、2、3、4、5，…………………………4分2.01)1(15===CP ξ，2.0)2(141514=⋅==CC C P ξ，2.0)3(1314151314=⋅⋅⋅==CC C C C P ξ， 2.0)4(12131415121314=⋅⋅⋅⋅⋅==CC C C C C C P ξ，2.0)5(12131415121314=⋅⋅⋅⋅⋅==CC C C C C C P ξ，∴变量的分布列为………………………………………………………………………………………………………10分 （3）数学期望 ()32.052.042.032.022.01=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． …12分24． 解：（1） 正三棱柱111C B A ABC -中，三角形111C B A 为等边三角形， D 为11C A 的中点，D A D B 11⊥，1,311==D A D B ，……………………………………1分D B A A DABA V V 1111--==11131AA S D B A ⋅∆21=．……………………………………………………4分（2）证明：连结B A 1交1AB 于点O ，连结DOO 为B A 1的中点，D 为11C A 的中点 ，…………………………………………………5分 ∴ OD ∥1BC ，………………………………………………………………………………6分1BC D AB 1面⊄ ，OD D AB 1面⊂ ∴ 1BC ∥平面D AB 1 ．……………………………9分（3） 1111C B A AA 面⊥, ∴ D B AA 11⊥，D 为11C A 的中点 ， ∴ D B DA 11⊥， ∴C C AA D B 111面⊥，∴ D B AD 1⊥，∴1ADA ∠为二面角的平面角 ，………………………………………12分 ∴3tan 1=∠ADA ，………………………………………………………………………13分∴601=∠ADA ，即二面角A D B A --11的大小为 60．……………………………14分25．解：（1）圆心坐标为)30(， 半径为3 ，…………………………………………………………2分 抛物线方程为 y x 122=，………………………………………………………………4分 （2）直线方程为 321+-=x y ，…………………………………………………………5分设D 点坐标为)(11y x ， ， A 点坐标为)(22y x ， ，联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==321122x y yx ，………………………………………………………………6分 化简得到03662=-+x x ，…………………………………………………………………7分∴ 3662121-=-=+x x x x ，，……………………………………………………………………8分 154)(1212212=-+⋅+=x x x x kAD ，…………………………………………………10分原点到直线AD 的距离为 55656=-=H ，…………………………………………………11分r AD CD AB 2-=+ ， ∴9=+CD AB ，……………………………………………12分 ∴5527)(21=+⋅⋅=+∆∆CD AB H S S OCD OAB ．……………………………………………14分。