2013高考“高命中”必考点：2012数学真题(选择题、三角函数)解析版

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2013年高考数学试题与答案

试题类型：A2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至3页，第II 卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，第小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}02|{2>-=x x x A ，}55|{<<-=x x B ，则（A ） R B A =⋃ （B ）Φ=⋂B A （C ） A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个阶段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。

在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样(4)已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ）x y 21±= （D ）x y ±= （５）执行右边的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s(A) ]4,3[- (B) ]2,5[- (C) ]3,4[- (D) ]5,2[-（６）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm.，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为(A)33866cm π (B) 33500cm π (C) 331372cm π (D) 332048cm π （7）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则m =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）16+8π （B ）8+8π（C ）16+16π（D ）8+16π（9）设m 为正整数，m y x 2)(+展开式的二项式系数的最大值为a ，12)(++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b .若b a 713=，则m =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若A B 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为（A ）1364522=+y x （B ）1273622=+y x （C ）1182722=+y x （D ）191822=+y x (11)已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>+≤+-.0),1ln(,0,22x x x x x 若|)(|x f ≥ax ，则a 的取值范围是 (A) ]1,(-∞ (B) ]0,(-∞ (C) ]1,2[- (D) ]0,2[-（12）设△n n n C B A 的三边长分别为n n n c b a ,,，△n n n C B A 的面积为n S ，n =1,2,3，….若2,2,,2,11111111n n n n n n n n a b c a c b a a a c b c b +=+===+>+++，则（A ）}{n S 为递增数列（B ）}{n S 为递减数列（C ）}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列（D ）}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年全国各省市高考真题——三角函数(带答案)

2013年全国各省市文科数学—三角函数1、2013大纲文T2.已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213-（B ）513- （C ）513 （D ）12132、2013大纲文T9.若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）23、2013新课标文T9.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）4、2013新课标文T10.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10（B ）9（C ）8（D ）55、2013新课标Ⅱ文T4.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（）（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 16、2013新课标Ⅱ文T6.已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（）（A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）237、2013辽宁文T6.在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8、2013山东文T7.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =，则c =(A)(D)19、2013山东文T9.函数x x x y sin cos +=的图象大致为10、2013北京文T5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =（） A ．15 B ．59CD ．111、2013四川文T6.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π12、2013天津文T6. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) (D) 0 13、2013浙江文T6.函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 A 、π，1 B 、π，2 C 、2π，1 D 、2π，2 14、2013福建文T9．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 15、2013广东文T4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25-B ．15-C ．15D ．2516、2013安徽文T9. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =(A)3π (B) 23π (C) 34π (D) 56π 17、2013陕西文T9. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形(B) 锐角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定18、2013湖南文T5.在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2sinB=3b ，则角A 等于A.3π B.4π C.6πD.12π19、2013湖北文T6．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12 B ．π6C ．π3D ．5π620、2013江西文T3. sincos 2αα==若（） A. 23-B. 13-C. 13D.2321、2013新课标文T16.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.22、2013新课标Ⅱ文T16.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________。

2013年数学高考题分类三角函数资料

任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角函数的诱导公式一、选择题1. （2013·浙江高考理科·Ｔ6）已知R α∈，sin 2cos αα+=则t a n 2α=（） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 【解题指南】由已知条件和22sin cos 1αα+=联立方程组可求得sin α与cos α的值，从而求得tan α，再利用倍角公式求tan 2α.【解析】选C.由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1tan 3α=-或tan 3α=，当1tan 3α=-时，2222tan 33tan 21tan 4113ααα-===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭当tan 3α=时，222tan 63tan 21tan 134ααα===---，故选C.2. （2013·广东高考文科·Ｔ4）已知51sin()25πα+=，那么cos α=（）A ．25- B ．15- C ．15D ．25【解题指南】本题考查三角函数诱导公式，可以直接利用公式计算. 【解析】选C. 51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭.3.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ2）已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则（） A.1213- B.513- C.513 D.1213【解题指南】由1cos sin 22=+αα及αsin 求出αcos 的值，并利用a 所在象限判断αcos 的符号.【解析】选 A.因为1cos sin 22=+αα，所以169144sin 1cos 22=-=αα，则1312cos ±=α，又a 是第二象限角，所以1312cos -=α 二、填空题4.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ13）已知1sin ,cot 3是第三象限角，则=-=ααα .【解析】98sin 1cos 22=-=αα，而α为第三象限角，所以0cos <α，解得322cos -=α，又223322sin cos cot =--==ααα. 【答案】22三角函数的图象与性质一、选择题1.（2013·湖北高考文科·Ｔ6）与（2013·湖北高考理科·Ｔ4）相同将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A.12π B. 6π C. 3π D 65π【解题指南】先化简，再平移，余弦函数关于y 轴对称。

2012高考理科数学三角函数 (答案详解)

2012理科数学三角函数专题题目一、选择题1.（湖南卷6）函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为（）A ．]2,2[-B ．]3,3[-C ．]1,1[-D ．]23,23[- 2．（新课标全国卷9）已知0>ω，函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin πωx x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递减。

则ω的取值范围是（）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21 （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 (D)(]2,03.（山东卷7）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ， 8732sin =θ，则=θsin （D ）（A ）53（B ）54（C ）47（D ）43 4. （陕西卷9）在A B C ∆中，角A 、B 、C 边长分别为c b a ,,，若2222c b a =+，则C co s 的最小值为( ) （A ）23 （B ） 22（C ） 21 （D ） 21-5.（辽宁卷7）已知sin cos (0,)αααπ-∈，则tan α=（）（A ）1-（B ）-（C （D ）16.（全国卷7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（）（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）37.（上试卷16）在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定8.（天津卷2）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件9.（天津卷6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cos C =（）（A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725± （Ｄ）242510.（重庆理5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 二、填空题11.(广东卷9)函数)20(2cos sin π≤≤+=x x x y 的值域是12．（湖北卷11）设ABC ∆的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角13.（福建卷13）已知ABC ∆14．（北京卷11）在ABC ∆中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = 15.（江苏卷11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 值为16.（上海卷4）若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为：（结果用反三角函数值表示）。

2013 ,2012年高考真题解答题

2013年高考真题解答题：三角函数(理科)1．（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．2．（2013•天津）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．3．（2013.江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围.4．（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos （B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．5．（2013.新课标一卷）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC 内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA6．（2013.四川）在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，且（1）求cosA的值；（2）若，求向量在方向上的投影．7．（2013.上海）已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．8．（2013.陕西）已知向量, 设函数.(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 9．（2013.山东）设的内角所对的边分别为，且，。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。

10．（2013.新课标二卷）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.11．（2013.大纲卷）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C.12．（2013.江苏）已知，.（1）若，求证：；（2）设，若，求，的值.13．（2013.辽宁）设向量（I）若（II）设函数14．（2013.湖南）已知函数。

2013高考数学试卷及答案

2013高考数学试卷及答案一、选择题1.若函数 $f(x)=\\frac{\\sqrt{1-x^2}}{\\sqrt{1+x^2}}$，则f(−1)+f(0)+f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 3答案： C. 22.已知函数 $y=\\log_2{x}$，则 $y^2-4y-5 \\leq 0$ 的解集为A. (-∞, -1] ∪ [5, +∞)B. [-1, 5]C. [-1, 1]D. (1, 5)答案： B. [-1, 5]3.如图所示，在ΔABC 中，$AD \\perp BC$，则 $\\frac{BD}{CD} =$imageimageA. $\\frac{2}{3}$B. $\\frac{3}{7}$C. $\\frac{5}{3}$D. $\\frac{3}{2}$答案： A. $\\frac{2}{3}$二、填空题4.设a1=3，$a_2=\\frac{7}{4}$，a n+2=2a n+1+a n，则a10=答案： $\\frac{535}{64}$5.设 $f(x)=\\sin^3{x}-\\cos^3{x}$，则 $f(\\frac{\\pi}{6})=$答案： $\\frac{1}{4}$三、解答题1. 计算题6.已知数列 $\\{a_n\\}$，a1=2，$a_{n+1}=2a_n+3(n\\geq1)$，求a n 的通项公式。

解答：首先我们观察数列的前几项，可以发现：a1=2 $a_2 = 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 = 7$ $a_3 = 2 \\cdot 7 + 3 \\cdot 2 = 20$定义数列 $\\{b_n\\}$，$b_n = a_n + \\frac{3}{2} \\cdot n$，我们来观察数列 $\\{b_n\\}$： $b_1 = 2 + \\frac{3}{2} \\cdot 1 = \\frac{7}{2}$ $b_2 = 7 + \\frac{3}{2} \\cdot 2 = 12$ $b_3 = 20 + \\frac{3}{2} \\cdot 3 =\\frac{29}{2}$我们可以发现数列 $\\{b_n\\}$ 是一个等差数列，公差为$\\frac{3}{2}$。

高考真题汇编三角函数

2011、2012、2013年高考文科数学真题汇编-三角函数一、选择题1（11辽宁文）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf（A ）2+3 （B ）3（C ） 33（D ）23-2（11全国新课标文）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x=上，则cos2θ=（A ） 45- （B ）35- （C ） 35 （D ）453（11全国大纲文）7．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．94（11湖北文）6．已知函数()3s i n c o s,f x x x x R=-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．5|,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭5（11山东文）6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 6.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π47.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）32 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（）A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 9.【2012高考辽宁文6】已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) - 1 (B) 22-(C) 22(D) 1 10.【2012高考江西文4】若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A. -34B. 34C. -43D. 4311.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是A.x=4πB.x=2πC.x=-4πD.x=-2π12（2013年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定13（2013年高考湖北卷（文））将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π614（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π15（2013年高考辽宁卷（文））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1s i n c o ss i n c o s ,2a B C cB A b +=,a b B >∠=且则( ) A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π16（2013年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值（） A ．1- B ．22-C ．22D ．0二、填空题17（11全国新课标文） ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为________．18（北京文）（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 19.【2102高考北京文11】在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=x^2-4x+c，则f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点，则c的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=4，则S_5的值为：A. 15B. 25C. 35D. 45答案：A3. 设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：A4. 若直线y=2x+3与曲线y=x^3-x^2+1相切，则切点的横坐标为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A5. 已知复数z满足|z-1|=1，|z+1|=2，则|z|的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f'(x)=0，则x的值为：A. 1B. -1C. 2D. -2答案：A7. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，若a·b=5，则a与b的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C8. 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，若椭圆C与直线y=x+1相交于A、B两点，且|AB|=2√2，则a^2+b^2的值为：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B二、填空题（每题5分，共20分）9. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，若f'(x)=0，则方程x^3-6x^2+9x+1=0的根为________。

答案：0，310. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_3=26，则公比q为________。

答案：311. 设函数f(x)=3x^2-6x+5，若f(x)=0，则x的值为________。

答案：1，5/312. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, 1)，若a·b=-11，则向量a与b的夹角为________。

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案导言：本文将提供2013年高考数学试题及答案，帮助同学们更好地复习和准备高考。

以下是题目及答案解析，请同学们参考。

第一部分：选择题1. (本题为填空题)已知函数f(x) = 2x - 5，则f(3)的值为多少？解析：将x = 3代入函数表达式f(x) = 2x - 5中，得到：f(3) = 2(3) - 5 = 1。

2. 若a:b = 4:5, c:b = 3:4，则a:c的值为多少？解析：根据已知条件可得到：a:c = (a:b) / (c:b) = (4/5) / (3/4) = (4/5) * (4/3) = 16/15。

3. 已知△ABC中，角B = 90°，AB = 4，BC = 3，则AC的长度为多少？解析：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25，因此AC = √25 = 5。

4. 若2x - 3y = 6，5x + ky = -1，则k的值为多少？解析：将x = 1，y = -2代入第二个方程，得到：5(1) + k(-2) = -1，解得：k = 3。

5. (本题为填空题)已知a + b = 5，a² + b² = 13，则ab的值为多少？解析：根据(a + b)² = a² + 2ab + b²可得：25 = 13 + 2ab，解得：ab = 6。

第二部分：填空题6. 求过点A(1, 2)且与直线y = x + 1垂直的直线方程。

解析：直线y = x + 1的斜率为1，垂直直线的斜率为-1。

通过点斜式可以得到直线方程为y - 2 = -(x - 1)，化简得到y = -x + 3。

7. 已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {4, 5, 6, 7}，则A∪B的元素个数为多少？解析：集合A∪B表示A和B的并集，即包含A和B中所有的元素。

【命中考心】2013高考数学必考点之三角函数典型解答题解读

【命中考心】2013高考数学必考点之三角函数典型解答题1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B++cos2B= -14 （2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B…………6分（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数

2012高考真题分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】因为βαtan ,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα，2tan tan =βα，所以3213tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+βαβαβα，选A.2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】根据题设条件得到变化后的函数为)1cos(+=x y ，结合函数图象可知选项A 符合要求。

故选A.3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4c o s ()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）ABCD【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC =3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A.2B. 2C. 12D. 12-【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C ）4（D ）34 【答案】D【解析】因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ，又81s i n 212c o s 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) - (C) (D) 1 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，，故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

2013年、2012年、2011年高考题分类汇编之三角函数

第四章三角函数第一节三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式高考试题考点一三角函数的概念1.(2011年新课标全国卷,理5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=()(A)-45(B)-35(C)35(D)45解析:①取x=1,则y=2,∴∴cos θcos 2θ=2cos2θ-1=-3 5 .②取x=-1,则y=-2,∴θ.cos 2θ=2cos2θ-1=-35.故选B.答案:B2.(2012年山东卷,理16)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为.解析:如图所示,由题意知=OB=2,∵圆半径为1,∴∠BAP=2,故∠DAP=2-π2,∴DA=Apcos(2-π2)=sin 2, DP=APsin (2-π2)=-cos 2.∴OC=2-sin 2,PC=1-cos 2.∴OP =(2-sin 2,1-cos 2).答案:(2-sin 2,1-cos 2)考点二同角三角函数的基本关系式1.(2013年浙江卷,理6)已知α∈R,sin α+2cos α则tan 2α等于() (A)43 (B)34 (C)-34 (D)-43解析:因为sin α+2cos α所以sin 2α+4sin α cos α+4cos 2α=52,所以3cos 2α+4sin α cos α=32, 所以2223cos 4sin cos sin cos ααααα++=32, 所以234tan 1tan αα++=32,即3tan 2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-13,所以tan 2α=22tan 1tan αα-=-34. 故选C.答案:C2.(2012年辽宁卷,理7)已知sin α-cos αα∈(0,π),则tan α=( )(A)-1(D)1解析:∵sin α-cos α∴(sin α-cos α)2=2,∴1-2sin αcos α=2,2sin αcos α=-1<0,∴α∈(π2,π),∴1+2sin αcos α=0,∴(sin α+cos α)2=0,sin α+cos α=0,由sin cos sin cos 0, αααα⎧-⎪⎨+=⎪⎩得sin α,cos α,tan α=sin cos αα=-1.故选A.答案:A3.(2012年江西卷,理4)若tan θ+1tan θ=4,则sin 2θ=() (A)15 (B)14 (C)13 (D)12解析:∵tan θ+1tan θ=sin cos θθ+cos sin θθ =1sin cos θθ =2sin 2θ=4,∴sin 2θ=12. 故选D.答案:D4.(2011年福建卷,理3)若tan α=3,则2sin 2cos αα的值等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析: 2sin 2cos αα=22sin cos cos ααα=2tan α=6,故选D. 答案:D5.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若tan(θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 解析:因为θ为第二象限角, 所以π2+2k π<θ<π+2k π,k ∈Z, 因此34π+2k π<θ+π4<54π+2k π,k ∈Z, 从而sin(θ+π4)<0. 又∵tan(θ+π4)=12, ∴sin(θ+π4, ∴sin θ+cos θθ+π4答案6.(2011年大纲全国卷,理14)已知α∈(π2,π),sin α,则tan 2α= . 解析:∵sin αα∈(π2,π), ∴cos α∴tan α=-12, ∴tan 2α=22tan 1tan αα-=1114--=-43.答案:-4 3考点三诱导公式及其应用(2010年大纲全国卷Ⅰ,理2)记cos (-80°)=k,那么tan 100°等于()解析:∵cos(-80°)=k,∴cos 80°=k,∴sin 80°,∴tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°=-sin80 cos80.故选B.答案:B模拟试题考点一三角函数的概念1.(2011浙江杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是()(A)(-2,3] (B)(-2,3)(C)[-2,3) (D)[-2,3]解析:∵cos α≤0,sin α>0,∴390,20, aa-≤⎧⎨+>⎩∴-2<a≤3,故选A.答案:A2.(2013安徽省大江中学、开成中学高三联考)已知点P(sin 3π4,cos3π4)角θ的终边上,则tan(θ+π3)值为.解析:∵sin 3π4,cos3π4,∴点P的坐标为)∴tan θ=-1.则tan(θ+π3)=πtan tan3π1tan tan3θθ+-⋅=)212答案考点二同角三角函数基本关系式1.(2013山东师大附中高三月考)若α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α等于()(A)35(B)45(C)-35(D)-45解析:∵tan(α+π4)=tan11tanαα+-=17,∴tan α=-34=sincosαα,∴cos α=-43sin α,又∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=9 25,又∵α∈(π2,π),∴sin α=3 5 .答案:A2.(2012山东潍坊模拟)已知α∈(0,π)且 sin α+cos α,则sin α-cos α=.解析:由sin α+cos α,两边平方得2sin αcos α=-1 2 ,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=3 2 .又α∈(0,π),sin αcos α<0,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α.答案考点三诱导公式1.(2013广东省深圳市高三第一次调研)化简sin 2013°的结果是()(A)sin 33°(B)cos 33°(C)-sin 33°(D)-cos 33°解析:sin 2013°=sin (5×360°+213°)=sin 213°=sin(180°+33°)=-sin 33°.故选C.答案:C2.(2012浙江丽水质检)设tan(π+α)=2,则()()()()sinπcosπsinπcosπ+αααα-+-+-等于()(A)3 (B)1 3(C)1 (D)-1解析:由tan(π+α)=2,得tan α=2,故()()()() sinπcosπsinπcosπ+αααα-+-+-=()sin cossin cosαααα-----=sin cos sin cosαααα+-=tan1 tan1αα+-=3.故选A.答案:A3.(2013浙江省建八高中月考)若α∈(0,π2),且cos2α+sin(π2+2α)=12,则tan α=.解析:cos2α+sin(π2+2α)=cos2α+cos 2α=3cos2α-1=1 2 ,∴cos2α=1 2 .∵α∈(0,π2 ),∴cos α,sin α,∴tan α=1.答案:1综合检测1.(2012江西八所重点高中模拟)在直角坐标平面内,已知函数f(x)=log a(x+2)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若角θ的终边过点P,则cos2θ+sin 2θ的值等于()(A)-12(B)12(C)710(D)-710解析:因为函数y=log a x的图象恒过定点(1,0),所以f(x)的图象恒过定点P(-1,3),由三角函数的定义知sin θ,cos θ则cos 2θ+sin 2θ=cos 2θ+2sin θcos θ=110+2× =110-610=-12. 故选A.答案:A2.(2012安徽合肥一模)已知sin(π3-x)=35,则cos(5π6-x)= . 解析:cos(56π-x)=cos[π2+(π3-x)] =-sin(π3-x) =-35. 答案:-353.(2011江苏泰兴月考)已知sin(π-α)-cos(π+α(π2<α<π).求下列各式的值: (1)sin α-cos α;(2)sin 3(π2-α)+cos 3(π2+α).解:由sin(π-α)-cos(π+α,得sin α+cos α,(*) 将(*)式两边平方,得1+2sin α·cos α=29, 故2sin α·cos α=-79. 又π2<α<π, ∴sin α>0,cos α<0.(1)(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1-(-79) =169, ∴sin α-cos α=43. (2)sin 3(π2-α)+cos 3(π2+α) =cos 3α-sin 3α =(cos α-sin α)(cos 2α+cos α·sin α+sin 2α) =-43×(1-718) =-2227.第二节三角函数的图象和性质高考试题考点一三角函数的性质及应用1.(2012年湖南卷,理6)函数f(x)=sin x-cos(x+π6)的值域为( )(A)[-2,2] ](C)[-1,1] ] 解析:f(x)=sin x-cos(x+π6)cos x+12sin x=32cos xsin(x+π6),所以函数f(x)的值域为].故选B.答案:B2.(2012年新课标全国卷,理9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()(A)[12,54] (B)[12,34](C)(0,12] (D)(0,2]解析:∵ω>0,∴由2kπ+π2≤ωx+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得f(x)的单调减区间为[π2π+4kω,5π2π+4kω],k∈Z.又∵f(x)在(π2,π)上单调递减,∴π2ππ4, 25π2π4π,kkωω⎧+⎪≥⎪⎪⎨⎪+⎪≤⎪⎩即14,252,4kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩由ω>0及k∈Z知,只能k=0,即12≤ω≤54.答案:A3.(2011年山东卷,理6)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω等于() (A)3 (B)2(C)32(D)23解析:据条件可知,f(x)=sin ωx在x=π3处取得最大值1,即sinπ3ω=1,∴π3ω=2kπ+π2(k∈Z).∴ω=6k+32,k∈Z,结合选项得ω=32.故选C.答案:C4.(2011年安徽卷,理9)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.若f(x)≤π6f⎛⎫⎪⎝⎭对x∈R恒成立,且f(π2)>f(π),则f(x)的单调递增区间是()(A)[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z)(B)[kπ,kπ+π2](k∈Z)(C)[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)(D)[kπ-π2,kπ](k∈Z)解析:由f(x)≤π6f⎛⎫⎪⎝⎭对x∈R恒成立知x=π6时,f(x)取得最值,故π3+φ=kπ+π2(k∈Z),φ=kπ+π6(k∈Z),又f(π2)>f(π),∴sin ϕ<0,∴ϕ=(2k+1)π+π6(k∈Z),∴f(x)=-sin(2x+π6 ),令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),得kπ+π6≤x≤kπ+3π2,k∈Z.故选C.答案:C5.(2013年江西卷,理11)函数2x的最小正周期T为.解析(1-cos 2x)=2sin(2x-π3故函数的最小正周期T=2π2=π. 答案:π6.(2012年北京卷,理15)已知函数f(x)=()sin cos sin 2sin x x x x-.(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间. 解:(1)∵sin x ≠0, ∴x ≠k π(k ∈Z),∴f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠k π,k ∈Z}. 又∵f(x)=()sin cos sin 2sin x x x x-=2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1π4)-1. ∴f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)函数y=sin x 的单调递增区间为 [2k π-π2,2k π+π2](k ∈Z), 由2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2, 且x ≠k π(k ∈Z), 得k π-π8≤x ≤k π+3π8, 且x ≠k π(k ∈Z), ∴f(x)的单调递增区间为 [k π-π8,k π),(k π,k π+3π8] (k ∈Z). 考点二三角函数的图象及变换1.(2013年湖北卷,理4)将函数∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )(A)π12(B)π6(C)π3(D)5π6解析:函数y=2(cos x+12sin x)=2cos(x-π6)的图象向左平移m个单位长度后,得图象的解析式为y=2cos(x-π6+m),由题意此函数为偶函数,故m-π6=kπ,k∈Z,即m=kπ+π6,k∈Z,m min=π6.故选B.答案:B2.(2013年山东卷,理5)将函数y=sin(2x+ϕ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为()(A)3π4(B)π4(C)0 (D)-π4解析:由函数横向平移规律“左加右减”则y=sin(2x+ϕ)向左平移π8个单位得y=sin(2x+π4+ϕ).由y=sin(2x+π4+ϕ)为偶函数得π4+ϕ=π2+kπ,k∈Z,则ϕ=π4+kπ,k∈Z,则ϕ的一个可能值为π4 .故选B.答案:B3.(2012年浙江卷,理4)把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:y=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1=cos x+1,再向左平移1个单位长度得y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1),故相应的图象为选项A.答案:A4.(2011年大纲全国卷,理5)设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )(A)13(B)3 (C)6(D)9解析:由题意,得π3为函数f(x)=cos ωx 的最小正周期的正整数倍,∴π3=k ·2π (k ∈N *),∴ω=6k(k ∈N *),∴ω的最小值为6. 答案:C5.(2010年新课标全国卷,理4)如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析:显然,当t=0时故排除选项A 、D.又因为质点是按逆时针方向转动,所以开始运动后,随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小,再排除选项B,即得选项C. 答案:C6.(2012年山东卷,理17)已知向量m=(sin Acos x,2Acos 2x)(A>0),函数f(x)=m ·n 的最大值为6. (1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[0,5π24]上的值域.解:(1)f(x)=m ·Asin xcos x+2Acos 2x12cos 2x)=Asin(2x+π6) 因为A>0,由题意知A=6. (2)由(1)得f(x)=6sin(2x+π6). 将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位后得到y=6sin[2(x+π12)+π6]=6sin(2x+π3)的图象; 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+π3)的图象. 因此g(x)=6sin(4x+π3). 因为x ∈[0,5π24], 所以4x+π3∈[π3,7π6], 故g(x)在[0,5π24]上的值域为[-3,6]. 考点三由函数的图象求解析式1.(2013年四川卷,理5)函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0,-π2< <π2）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )(A)2,-π3 (B)2,-π6 (C)4,-π63解析:因为34T =5π12-（-π3）=3π4,所以T=2πω=π,ω=2. 由2×5π12+ϕ=π2+2k π(k ∈Z),得ϕ=-π3+2k π(k ∈Z). 因为-π2<ϕ<π2,所以ϕ=-π3,故选A. 答案:A2.(2009年辽宁卷,理8)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f （π2）=-23,则f(0)等于( )(A)-23(B)-12(C)23 (D) 12解析:由图象可得最小正周期为2π3, 于是f(0)=f （2π3）,注意到2π3与π2关于7π12对称, 所以f （2π3）=-f(π2)=23. 答案:C3.(2011年江苏卷,9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是 .解析:由题图知 4T =7π12-π3=π4, ∴T=π,ω∴ω=2,∴ϕ),将点(7π12代入得,×7π12+ϕ)π6+ϕ), ∴sin(π6+ϕ)=1, ∴π6+ϕ=2k π+π2(k ∈Z), ∴ϕ=π3+2k π(k ∈Z),∴π3+2k ππ3),∴π3.答案 4.(2011年辽宁卷,理16)已知函数f(x)=Atan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)= .解析:由图象知f(x)周期为π2, ∴π2=πω,ω=2, 则f(x)=Atan(2x+φ), 又f(0)=Atan ϕ=1,f(3π8)=Atan(3π4+φ)=0, ∴tan(3π4+ϕ)=0,∴3π4+ϕ=k π,k ∈Z, 而|ϕ|<π2, ∴ϕ=π4,∴A=1, ∴f(x)=tan(2x+π4),故f(π24)=tan(π12+π4)=tan π3答案5.(2012年陕西卷,理16)函数f(x)=Asin(ωx-π6)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设α∈(0,π2),f(2α)=2,求α的值.解:(1)由f(x)的最大值为3,得A+1=3,A=2, 由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2, 得2×π2=2πω,ω=2, ∴f(x)=2sin(2x-π6)+1. (2)∵f(2α)=2sin(α-π6)+1=2, ∴sin(α-π6)=12. ∵0<α<π2, ∴-π6<α-π6<π3, ∴α-π6=π6, 故α=π3. 模拟试题考点一三角函数的性质及应用1.(2013安徽省望江四中高三月考)同时具有性质“周期为π,图象关于直线x=π3对称,在[-π6,π3]上是增函数”的函数是()(A)y=sin(2x-π6) (B)y=cos(2x+π3)(C)y=cos(2x-π6) (D)y=sin(2x+π6)解析:∵周期为π,∴ω=2,排除选项D.图象关于x=π3对称,即函数在x=π3处取得最值,排除选项C.又函数在[-π6,π3]上是增函数.故选A.答案:A2.(2013四川省成都市高新区月考)已知函数y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π)为偶函数,其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1,x2,若|x1-x2|的最小值为π,则()(A)ω=2,θ=π2(B)ω=12,θ=π2(C)ω=12,θ=π4(D)ω=2,θ=π4解析:由题意知,|x1-x2|的最小值即为三角函数的最小正周期.∴2π=π,∴ω=2.又∵y=2sin(2x+θ)(0<θ<π)为偶函数,即当x=0时,y取得最值.∴θ=π2 .故选A.答案:A3.(2012云南玉溪二模)当-π2≤x ≤π2时,函数f(x)=sin(x-2ππ-x)的值域为 .解析:f(x)=-sin(2ππ-x)=2sin(x+π3), 由-π2≤x ≤π2得-π6≤x+π3≤5π6. 则-12≤sin(x+π3)≤1, 故f(x)的值域为[-1,2].答案:[-1,2]考点二三角函数的图象变换1.(2013广东省广州市综合测试)已知函数为了得到函数g(x)=sin 2x+cos 2x 的图象,只要将y=f(x)的图象( )(A)向右平移π4个单位长度 (B)向左平移π4个单位长度 (C)向右平移π8个单位长度 (D)向左平移π8个单位长度解析:g(x)=sin 2x+cos 2x=π4),若由得到π8)], 只要将f(x)的图象左移π8个单位长度即可. 故选D.答案:D2.(2012安徽合肥八中一模)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x=π4对称,则φ的最小正值为()(A)π8(B)3π8(C)3π4(D)π2解析:f(x)=2sin(2x+π4)y=2sin(2x-2ϕ+π4)y=2sin(4x-2ϕ+π4).因为直线x=π4为对称轴,所以4×π4-2φ+π4=kπ+π2(k∈Z),即ϕ=-12kπ+3π8(k∈Z).因为ϕ>0,则k=0时,φmin=3π8.故选B.答案:B考点三由函数的图象求解析式1.(2013浙江省重点中学六校联考)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到的图象解析式为()(A)y=sin 2x (B)y=sin(2x-π6 )(C)y=sin(2x+2π3) (D)y=cos 2x解析:由图象知34T=11π12-π6=912π=34π,∴T=π=2πω,∴ω=2.∴2×π6+ϕ=π2,∴ϕ=π6,而A=1. ∴f(x)=sin(2x+π6), 右移π6个单位得g(x)=sin[2(x-π6)+π6] =sin(2x-π6). 故选B.答案:B2.(2013四川省乐山第二次调研)如果存在正整数ω和实数φ,使得函数f(x)=cos 2(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,且图象经过点(1,0),那么ω的值为( )(A)4 (B)3(C)2 (D)1解析:f(x)=cos 2(ωx+φ) =()1cos 222x ωϕ++, 由图象知2T <1<34T,43<T<2, ∴43<πω<2, π2<ω<34π<3, 又ω∈N *, ∴ω=2.答案:C综合检测1.(2013安徽省屯溪一中高三第一次质检)设函数cos(2x+ϕ)+sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π2),且其图象关于直线x=0对称,则( )(A)y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,π2)上为增函数(B)y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,π2)上为减函数(C)y=f(x)的最小正周期为π2,且在(0,π4)上为增函数(D)y=f(x)的最小正周期为π2,且在(0,π4)上为减函数解析:f(x)=2sin(2x+ϕ+π3 ),∴T=2π2=π.又图象关于x=0对称,∴ϕ+π3=π2+kπ,k∈Z,又∵|ϕ|<π2 ,∴ϕ=π6 .∴f(x)=2sin(2x+π2)=2cos 2x,∴在(0,π2)上为减函数.故选B.答案:B2.(2013重庆铁路中学高三考试)f(x)=sin ωx+cos(ωx+π6)的图象上相邻两条对称轴间的距离是2π3,则ω的一个值是()(A)23(B)43(C)32(D)34解析:f(x)=sin ωcos ωx-12sin ωx=sin(ωx+π3 ),T=2×2π3=4π3=2πω,所以ω=3 2 .答案:C第三节三角恒等变换高考试题考点一两角和与差的三角函数公式1.(2010年福建卷,理1)计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( )(A)12解析:原式=sin(43°-13°)=sin 30°=12.故选A.答案:A2.(2013年重庆卷,理9)4cos 50°-tan 40°等于( )解析:4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40cos40 =4sin 40cos40sin 40cos40⋅- =2sin80sin 40cos40- =2sin10sin 40cos40-=()2cos10sin 3010cos40-+ =33cos10sin1022cos40-=)cos30cos10sin30sin10cos40-故选C.答案:C3.(2012年重庆卷,理5)设tan α,tan β是方程x 2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:易知tan α+tan β=3,tan αtan β=2,故tan (α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-=312-=-3. 故选A.答案:A4.(2012年四川卷,理4)如图所示,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin ∠CED 等于( )解析:∵四边形ABCD 是正方形,且AE=AD=1,∴∠AED=π4. 在Rt △EBC 中,EB=2,BC=1,∴.∴sin ∠∠. ∴sin ∠CED=sin(π4-∠BEC)cos ∠sin ∠BEC故选B.答案:B5.(2011年浙江卷,理6)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)= 13,cos(π4-2β则cos(α+2β) 等于( )解析:∵0<α<π2, ∴π4<α+π4<3π4. ∵cos （π4+α）=13,∴sin （π4+α）又∵-π2<β<0, ∴π4<π4-2β<π2.∵cos （π4-2β）,∴sin(π4-2β, ∴cos （α+2β）=cos[（α+π4）（π4-2β）] =cos （α+π4)cos(π4-2β)+ Sin(α+π4)sin(π4-2β)=13 故选C.答案:C 6.(2012年江苏卷,11)设α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为 . 解析:∵cos(α+π6)=45>0,且α为锐角, ∴α+π6∈(π6,π2), ∴sin(α+π6)=35, ∴sin(2α+π3)=2cos(α+π6)sin(α+π6) =2×35×45=2425,Cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)-1=725,∴sin(2α+π12)=sin[(2α+π3)-π4]=sin(2α+π3)cosπ4-cos(2α+π3)sinπ4答案7.(2012年广东卷,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+π6)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈[0,π2],f(5α+5π3)=-65,f(5β-5π6)=1617,求cos(α+β)的值.解:(1)∵T=10π=2π,∴ω=1 5 .(2)由(1)得f(x)=2cos(15x+π6),∵-65=f(5α+5π3)=2cos[15(5α+53π)+π6] =2cos(α+π2)=-2sin α,∴sin α=35,cos α=45.∵1617=f(5β-5π6)=2cos[15(5β-5π6)+π6] =2cos β,∴cos β=817,sin β=1517.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=45×817-35×1517=-1385.考点二倍角公式与半角公式1.(2012年山东卷,理7)若θ∈[π4,π2],sin 2θ则sin θ等于( )(A)35 (B)45 (D)34解析:∵θ∈[π4,π2],∴2θ∈[π2,π],∴cos 2θ18,∴sin θ34.故选D.答案:D2.(2011年辽宁卷,理7)设sin(π4+θ)= 13,则sin 2θ等于( ) (A)-79 (B)-19 (C)19 (D)79解析:sin 2θ=-cos(2θ+π2)=2sin 2(θ+π4)-1=2×19-1 =-79.故选A.答案:A3.(2012年大纲全国卷,理7)已知α为第二象限角,sin α+cos α,则cos 2α等于()解析:sin α+cos α两边平方,∴1+2sin αcos α=13,∴sin 2α=-23.∴cos 2α=.又∵sin α+cos α>0,α是第二象限角, ∴2k π+π2<α<2k π+3π4(k ∈Z).∴4k π+π<2α<4k π+3π2 (k ∈Z),∴2α是第三象限角,∴cos 2α故选A.答案:A4.(2010年新课标全国卷,理9)若cos α=-45,α是第三象限的角,则1tan 21tan 2αα+-等于() (A)-12 (B)12 (C)2 (D)-2解析:∵cos α=-45,α是第三象限的角,∴2k π+π<α<2k π+54π,k ∈Z,∴k π+π2<2α<k π+58π,k ∈Z, ∴2α是第二、四象限角,∴tan 2α∴1tan 21tan 2αα+-=1313-+=-12.故选A.答案:A5.(2011年江苏卷,7)已知tan(x+π4)=2,则tan tan 2xx 的值为 .解析:由tan(x+π4)=2, 得πtan tan 4π1tan tan 4x x +-=2, 即tan 11tan x x +-=2,∴tan x=13,∴tan tan 2x x =2tan 2tan 1tan x x x-=21tan 2x -=21132⎛⎫- ⎪⎝⎭=49. 答案:496.(2013年四川卷,理13)设sin 2α=-sin α,α∈(π2,π),则tan 2α的值是 . 解析:法一由sin 2α=-sin α得2sin αcos α=-sin α, 又 α∈(π2,π). 所以sin α≠0,所以cos α=-12, 所以sin αα. 则tan 2α=22tan 1tan αα-法二由sin 2α=-sin α,得2sin α·cos α=-sin α,又α∈(π2,π),sin α≠0,所以cos α=-12,α=2π3,则tan 2α=tan 4π3=tan π3. 答案7.(2011年四川卷,理17)已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4),x ∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)已知cos(β-α)= 45,cos(β+α)=-45,0<α<β≤π2.求证:[f(β)]2-2=0. (1)解:∵f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4)=sin xcos7π4+cos xsin 7π4+cos xcos 3π4+sin xsin 3π4cos x)=2sin(x-π4), ∴f(x)的最小正周期T=2π, 最小值为-2.(2)证明:∵0<α<β≤π2 ,∴0<β-α<π2,0<α+β<π.又cos(β-α)=45,cos(β+α)=-45,∴sin(β-α)=35,sin(β+α)=35,∴sin 2β=sin[(β-α)+(β+α)]=sin(β-α)cos(β+α)+cos(β-α)sin(β+α)=35×(-45)+45×35=0,∴[f(β)]2-2=[2sin(β-π4)]2-2=4×π1cos222β⎛⎫--⎪⎝⎭-2=2-2sin 2β-2=-2sin 2β=0,∴[f(β)]2-2=0.8.(2013年广东卷,理16)已知函数π12),x∈R.(1)求f(-π6)的值;(2)若cos θ=35,θ∈(3π2,2π),求f(2θ+π3).解:(1)f(-π6π6-π12π4)=π4=1.(2)f(2θ+π3θ+π3-π12θ+π4)=cos 2θ-sin 2θ.因为cos θ=35,θ∈(2π3,2π),所以sin θ=-45.所以sin 2θ=2sin θcos θ=-2425,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-725.所以f(2θ+π3)=cos 2θ-sin 2θ=-725-（-2425）=1725.模拟试题考点一两角和与差的三角函数公式应用1.(2012潍坊质检)已知α∈（0,π2）,α+π3的终边上的一点的坐标为(-4,3),则sin α等于()解析:由α∈（0,π2）及三角函数的定义可知Sin（α+π3）=35,cos（α+π3）=-45,所以可得sin α=sin[(α+π3)-π3]=sin(α+π3)cosπ3-cos(α+π3)sinπ3故选A.答案:A2.(2012广东深圳一模)已知直线l:xtan α-y-3tan β=0的斜率为2,在y轴上的截距为1,则tan(α+β)等于()(A)-73(B)73(C)57(D)1解析:由题意,得tan α=2,tan β=-13,可得tan(α+β)=tan tan1tan tanαβαβ+-=1231123-+⨯=1.故选D.答案:D考点二倍角公式与半角公式1.(2011四川成都五校联考)已知锐角α满足cos 2α=cos(π4-α),则sin 2α等于()(A)12(B)-12解析:∵cos 2α=cos(π4-α),∴cos2α-sin2α(cos α+sin α),∴cos α-sin α.两边平方,得1-sin 2α=1 2 ,∴sin 2α=12. 故选A. 答案:A2.(2012江南五校联考)设函数f(x)=sin x+cos x,f ′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f ′(x),则22sin sin 2cos x xx -= .解析:f ′(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f ′(x)得 sin x+cos x=2cos x-2sin x, ∴cos x=3sin x,于是22sin sin 2cos x x x -=22sin 2sin cos cos x x x x-=222sin 6sin 9sin x x x -=-59. 答案:-593.(2013广东湛江一中等“十校”高三联考)设f(x)=6cos 2sin 2x,(1)求f(x)的最小正周期、最大值及f(x)取最大值时x 的集合;(2)若锐角α满足f(α,求tan 45α的值.解:(1)f(x)=6×1cos22x+sin 2xcos 2x-12sin 2x)+3cos(2x+π6)+3.故f(x)的最大值为+3, 此时2x+π6=2k π,x=k π-π12,k ∈Z, 即x 的集合为ππ,12x x k k Z ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭,最小正周期T=2π2=π.(2)由f(αcos(2α+π6,故cos（2α+π6）=-1,又由0<α<π2得π6<2α+π6<7π6,故2α+π6=π,解得α=512π.从而tan 45α=tanπ3=.综合检测1.(2012东北三校联考)设α、β都是锐角,且cos αα+β)=35,则cos β等于()解析:cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α.又α、β都是锐角,当cos α,sin α又sin(α+β)=3 5 ,因此cos(α+β)=±4 5 ,又cos α<1 2 ,∴α>60°,∴α+β>60°,∴cos(α+β)<1 2 ,故cos(α+β)=-4 5 ,∴cos β故选A.答案:A2.(2013安徽大江中学、开成中学高三联考)在斜三角形ABC中,sin Bcos C,且tan B·tan C=1-则角A的值为()(A)π4 (B)π3 (C)π2(D)3π4解析即sin sin cos cos B CB C∵∴=cos Bcos C+sin A.∴cos Bcos C-sin Bsin C=-sin A, ∴cos(B+C)=-sin A, ∴-cos A=-sin A, ∴tan A=1, ∴A=π4. 故选A. 答案:A第四节三角函数的最值与综合应用高考试题考点一三角函数的最值1.(2012年大纲全国卷,理14)当函数≤x<2π)取得最大值时,x= .解析cos x=2sin(x-π3), ∵0≤x<2π, ∴x-π3∈[-π3,5π3), ∴当x-π3=π2时,y 取得最大值2, ∴x=56π. 答案:56π2.(2011年上海卷,理8)函数y=sin(π2+x)cos(π6-x)的最大值为 . 解析:y=cos x ·cos(π6-x)12sin x)cos 2x+12sin xcos x+sin 24x1412sin(2x+π3),答案3.(2009年全国卷Ⅰ,理16)若π4<x<π2,则函数y=tan 2xtan 3x 的最大值为 . 解析:∵π4<x<π2,∴tan x>1, 令tan 2x-1=t>0,则y=tan 2xtan 3x=422tan 1tan x x -=()221t t+-=-2(t+1t +2)≤-8,当且仅当t=1t ,t=1时取等号. 答案:-84.(2011年北京卷,理15)已知函数f(x)=4cos xsin (x+π6)-1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值. 解:(1)因为f(x)=4cos x ·sin(x+π6)-1sin x+12cos x)-12x-1=2sin(2x+π6), 所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3.于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,f(x)取得最大值2;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,f(x)取得最小值-1.5.(2012年重庆卷,理18)设函数f(x)=4cos(ωx-π6)sin ωx-cos(2ωx+π),其中ω>0.(1)求函数y=f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3π2,π2]上为增函数,求ω的最大值.解ωx+12sin ωx)sin ωx+cos 2ωxsin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωxωx+1,因-1≤sin 2ωx≤1,所以函数y=f(x)的值域为].(2)因为y=sin x在每个闭区间[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上为增函数,故sin 2ωx+1(ω>0)在每个闭区间[kπω-π4ω,kπω+π4ω](k∈Z)上为增函数.依题意知[-3π2,π2]⊆[kπω-π4ω,kπω+π4ω]对某个k∈Z成立,此时必有k=0,于是3ππ,24ππ,24ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得ω≤1 6 ,故ω的最大值为1 6 .6.(2013年陕西卷,理16)已知向量a=(cos x,-12sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值.解:f(x)=(cos x,-12)·sin x,cos 2x)12cos 2xsin 2x-12cos 2x=cosπ6sin 2x-sin π6cos 2x =sin （2x-π6）. (1)f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π, 即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2, ∴-π6≤2x-π6≤5π6. 由正弦函数的性质,知当2x-π6=π2, 即x=π3时,f(x)取得最大值1. 当2x-π6=-π6, 即x=0时,f(x)取得最小值-12, 因此,f(x)在[0,π2]上的最大值是1,最小值是-12.7.(2013年辽宁卷,理17)设向量sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x ∈[0,π2]. (1)若|a|=|b|,求x 的值;(2)设函数f(x)=a ·b,求f(x)的最大值.解:(1)由|a|=|b| 即4sin 2x=1.又因为sin 2x+cos 2x=1,x ∈[0,π2]. 所以sin x=12,x=π6.(2)f(x)=a ·sin xcos x+sin 2x,x ∈[0,π2].1cos22x sin 2x-12cos 2x+12=sin(2x-π6)+12.又2x-π6∈[-π6,5π6],f(x)∈[0,32]. 即f(x)最大值为32.8.(2012年湖北卷,理17)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωcos ωx),设函数f(x)=a ·b+λ(x ∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(12,1). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象经过点(π4,0),求函数f(x)在区间[0,3π5]上的取值范围.解:(1)因为f(x)=sin 2ωx-cos 2ωωx ·cos ωx+λ=-cos 2ωsin 2ωx+λ =2sin(2ωx-π6)+λ. 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴, 可得sin(2ωπ-π6)=±1, 所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z), 即ω=2k +13(k ∈Z). 又ω∈(12,1),k ∈Z, 所以k=1,故ω=56. 所以f(x)的最小正周期是6π5. (2)由y=f(x)的图象过点(π4,0), 得f(π4)=0, 即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sinπ4故f(x)=2sin(53x-π6由0≤x≤3π5,有-π6≤53x-π6≤5π6,所以-12≤sin(53x-π6)≤1,得2sin(53x-π6故函数f(x)在[0,3π5]上的取值范围为考点二三角函数的综合应用1.(2011年陕西卷,理6)函数在[0,+∞)内()(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点(D)有无穷多个零点解析的解,即y=cos x交点的横坐标.在同一直角坐标系中分别作出函数y=cos x的图象,如图所示,由于x>1时≤1,所以两图象只有一个交点,在[0,+∞)内只有一个根,所以在[0,+∞)内只有一个零点.故选B.答案:B2.(2010年浙江卷,理9)设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()(A)[-4,-2] (B)[-2,0](C)[0,2] (D)[2,4]解析:在同一坐标系中画出g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x的图象如图所示.由图可知g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x 的图象在区间[-4,-2]上无交点, 即函数f(x)=4sin(2x+1)-x 在区间[-4,-2]上没有零点.故选A. 答案:A3.(2009年江苏卷,15)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a 与b-2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b. 解:(1)∵a 与b-2c 垂直, ∴a ·(b-2c)=a ·b-2a ·c=0,∵a ·b=4sin βcos α+4cos βsin α=4sin(α+β), a ·c=4cos αcos β-4sin αsin β=4cos(α+β). ∴4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, ∴tan(α+β)=2.(2)|b+c|2=sin 2β+2sin βcos β+cos 2β+16cos 2β-32cos βsin β+16sin 2β=17-30sin βcos β =17-15sin 2β. ∴2max b c +=32.∴|b+c|max(3)证明:∵tan αtan β=16, ∴sin αsin β=16cos αcos β, 即4cos α·4cos β-sin αsin β=0. ∴a ∥b.4.(2013年福建卷,理20)已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为(π4,0),将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象. (1)求函数f(x)与g(x)的解析式; (2)是否存在x 0∈(π6,π4),使得f(x 0),g(x 0),f(x 0)g(x 0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x 0的个数,若不存在,说明理由;(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点解:法一(1)由函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的周期为π,ω>0,得ω=2πT=2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为(π4,0),ϕ∈(0,π),故f(π4)=sin(2×π4+ϕ)=0,得ϕ=π2,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)=cos(x-π2)的图象,所以g(x)=sin x.(2)当x∈(π6,π4)时,12,0<cos 2x<12,所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在x∈(π6,π4)内是否有解.设G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈(π6,π4),则G′(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x∈(π6,π4),所以G′(x)>0,G(x)在(π6,π4)内单调递增.又G(π6)=-14<0,G(π4>0,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(π6,π4)内存在唯一零点x0,即存在唯一的x0∈(π6,π4)满足题意.(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=-cos2sinxx,x≠kπ(k∈Z).现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程a=-cos2sinxx的解的情况.。

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数

2 sin
cos
1 3 0, cos
，所以
2s i n c o s
2 3
0 ，因为已知 α 为第二象限角，所以 sin 2 3 5 3 15 3 15 3
0 ，
sin
cos
1 2 sin
cos
1
，
所
以
c
2
c o
2
so s
2
(i s
sc n )
io s (
n )= s ic
a ，则另两边为 a
2
2 a,2 a .
2
所以最大角余弦
cos
2a 2a
2
4a 2a
2 4
3 5
，
19.【 2012 高考真题重庆理
13】设
ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b, c ，且 cos A
cos B
5 13
,b
3则 c
【答案】
14 5 3 5 5 13 4 5 12 13
2
, ) 上单调递减，则有 3 2k
，即
f ' (x) 2k
cos( x x x
，选 A.
4 5 4
，又
)
0 恒成立， 2k x
，所以
2 2k
4 2k
2 ，k 1 2
4 0 时，
4 4 2 4 ,
4
，解得
Z ，当 k 5 4
，即
5 4
4. 【 2012 高考真题四川理
2 4 4 】如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E ，使 AE
(B) [
1 3 , ] 2 4

2013高考数学夺分法宝选择,填空、三角函数、立体几何（解析版）

2013高考数学夺分法宝选择,填空、三角函数、立体几何（解析版）【2010高考真题——上海卷】（文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角19.（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.解析：原式=lg(sinx +cosx)+lg(cosx +sinx)-lg(sinx +cosx)2=0．【2010高考真题——湖南卷】（文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。

（文数）16. （本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

【2010高考真题——浙江卷】（理数）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题（理数）（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故xsin2x ＜xsinx ，结合xsin2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（理数）（11）函数2()sin(2)224f x x xπ=--的最小正周期是__________________ .解析：()242sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题（文数）（12）函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是。

2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)3：三角函数含答案

2013年高考解析分类汇编3:三角函数一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文2）)已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（ )A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】A因为135sin =α，α为第二象限角，所以1312cos -=α。

故选A.2 ．(2013年高考课标Ⅰ卷（文9））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为【答案】C ;函数()(1cos )sin f x x x =-为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.02x π<<时，()0f x >，排除A 。

()(1cos )sin 1222f πππ=-=,排除D ，选C.3 ．(2013年高考四川卷（文6））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π-B ．2,6π- C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A43129312543ππππ==+=T ,所以π=T ，所以πωπ=2，2=ω，)42sin(2)(+=x x f ,所以πϕπk =+-⨯)3(2，所以32ππϕ+=k ，又22πϕπ<<-，所以3πϕ-=,选A.4 ．（2013年高考湖南(文5））在锐角ABC ∆中,角,A B 所对的边长分别为,a b 。

若2sin 3,a B b A =则角等于A 。

3π B.4π C 。

6π D 。

12π【答案】A本题考查正弦定理的应用.由正弦定理得得2sin sin 3sin A B B =,即3sin 2A =,以为三角形为锐角ABC ∆，所以3A π=，选A 。

5 ．(2013年高考福建卷(文）)将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 ( ）A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π【答案】B本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得,πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B6 ．（2013年高考陕西卷（文9））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【答案】A因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。

2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)4：三角函数

2012高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ）向左平移1个单位（B ）向右平移1个单位（C ）向左平移 12个单位（D ）向右平移12个单位【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。

2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T =-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A.3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1--【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C.5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524-（B ）2512-（C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【2012高考重庆文5】sin 47sin 17cos 30cos17-（A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）2【答案】C 【解析】sin 47sin 17cos 30sin(3017)sin 17cos 30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sinsinsin<+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abcb a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【2012高考四川文5】如图，正方形A B C D 的边长为1，延长B A 至E ，使1A E =，连接E C 、ED 则sin C ED ∠=（）（1）10B10C 10D15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC ===3424E D C E D A A D C πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin 1sin 5C ED D C ED CC E∠===∠，所以3sin sin sin55410C ED ED C π∠=∠==.10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A)-1 (B) 2- (C) 2(D) 1【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

无锡新领航教育2013高考“高命中”必考点：2012数学真题(选择题、三角函数)解析版

cos 2 x3 sin 2 x2sin(2 xπ .)6由直线 xπ是yf ( x) 图象的一条对称轴π ,,可得sin(2 π)16ππ 所以 2πk π( k Z ) ,即62又1, k Z ,所以k1 ,故 ( ,1)2k1 (k Z ).235 .6所以 f ( x ) 的最小正周期是6 π.5( Ⅱ) 由yf ( x ) π, 得f ( π 0 ,的图象过点 ( , 0) )44即5 π π 2sinπ2 ,即2 .2sin(26)46故 f ( x)5 xπ 2 ,2sin()36由 0 x3π,有 π 5 x π 5 π,56 3 66所以1 5 xπ1 , 得12 2sin(5 π2 2 2 ,2sin( )x )363 6故函数 f ( x) 在[0,3π]上的取值X 围为 [12, 22] .5错误！未找到引用源。

解析: (Ⅰ)T210 , 所以 1.5( Ⅱ)f51 552cos2sin6 , 所以52cos36 2 5353 . f 55 2cos1 5 52cos16 , 所以cos 8 sin6 . 因为565 61717、0,, 所以cos12 4 , sin215 所以 sin5 1 cos,217coscos cossinsin4 8 3 15 13 .5175 1785错误！未找到引用源。

【考点定位】此题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考察运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.解 :(1) 选择 (2)2cos15sin15 cos1511 3式计算如下 sin 15sin 3024(2) 证明 : sin 2cos 2 (30 ) sin cos(30 )sin 2(cos 30 cossin 30 sin) 2 sin(cos 30 cossin 30 sin )2323sin cos123cos12sin cos24sin sin sin42232323sin cos444错误！未找到引用源。

高考数学试卷总结解析---分类汇编3：三角函数 Word版含答案

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-【答案】C2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【答案】B5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】A6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x的最大值为2(D)()f x 既奇函数,又是周期函数【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））( )D. 【答案】C11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若4cos50tan 40-=12sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】D12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.12πB.6π C. 3π D. 56π【答案】B 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.【答案】14．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】.15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【答案】16．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________【答案】2π17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.18．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos3C π=- 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.【答案】π22．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为a b c 、、,若5 8 60a b B ===o ，，,则b=_______ 【答案】723．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π3224．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设为第二象限角,若,则________.【答案】5-25．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.【答案】π26．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________ 【答案】5三、解答题27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin B ==在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a Cc A==.28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在中,内角的对边分别是,且.(1)求; (2)设,求的值. 【答案】由题意得ABC V ,,A B C ,,a b c 2222a b ab c +=C ()()2cos cos 322cos cos cos A B A B ααα++==tan α30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)()3,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =g 求的最大值【答案】32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若31sin sin 4A C -=,求C . 【答案】34．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若42a =5b =,求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(2223425255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA u u u r 在BC uuur方向上的投影为cos 2BA B =u u u r 35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin 9B ==,由正弦定理得sin sin a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯=综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=r r＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -=r r 求证:a b ⊥r r ;(2)设(0,1)c =r,若a b c +=r r r ,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-b b a a b a ,又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=b a ∴b ⊥a(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭.40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=. (I)若α是第一象限角,且33()f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ 41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB==CBA(2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D ,设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514m/min.故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒ (II)1sin 532S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴==43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求△面积的最大值.【答案】CBADMN44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得==,∴PA=;(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA 中,由正弦定理得,,化简得,,∴=,∴=.45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A 的坐标为(0 82)，,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1)(2)【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan3θ=,知31tan 3θ=, 而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =.故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，.(2)由题意,点n P 的坐标为1(2 0)n -，,1tan 82n n OAP -∠=.1112128282tan tan()21622182828282282n n n n n n n nn OAP OAP θ--+--=∠-∠===+⋅++. 因为16222282n n+≥,所以2tan 422n θ≤=, 当且仅当16282n=,即4n =时等号成立. P 2 0 x y AP 1 P 3 P 4易知0 tan 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数,因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。

2013年、2012年、2011年高考题分类汇编之三角函数

第四章三角函数第一节三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式高考试题考点一三角函数的概念1.(2011年新课标全国卷,理5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=()(A)-45(B)-35(C)35(D)45解析:①取x=1,则y=2,∴r=5,∴cos θ=5=5,cos 2θ=2cos2θ-1=-3 5 .②取x=-1,则y=-2,∴r=5,cos θ=-5.cos 2θ=2cos2θ-1=-35.故选B.答案:B2.(2012年山东卷,理16)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为.解析:如图所示,由题意知=OB=2,∵圆半径为1,∴∠BAP=2,故∠DAP=2-π2 ,∴DA=Apcos(2-π2)=sin 2,DP=APsin (2-π2)=-cos 2. ∴OC=2-sin 2,PC=1-cos 2.∴OP =(2-sin 2,1-cos 2).答案:(2-sin 2,1-cos 2)考点二同角三角函数的基本关系式1.(2013年浙江卷,理6)已知α∈R,sin α+2cos α则tan 2α等于( ) (A)43 (B)34 (C)-34 (D)-43解析:因为sin α+2cos α所以sin 2α+4sin α cos α+4cos 2α=52,所以3cos 2α+4sin α cos α=32, 所以2223cos 4sin cos sin cos ααααα++=32, 所以234tan 1tan αα++=32,即3tan 2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-13,所以tan 2α=22tan 1tan αα−=-34.故选C.答案:C2.(2012年辽宁卷,理7)已知sin α-cos αα∈(0,π),则tan α=()(A)-1(D)1解析:∵sin α-cos α∴(sin α-cos α)2=2,∴1-2sin αcos α=2,2sin αcos α=-1<0,∴α∈(π2,π),∴1+2sin αcos α=0,∴(sin α+cos α)2=0,sin α+cos α=0,由sin cos sin cos 0, αααα⎧−⎪⎨+=⎪⎩得sin α,cos α,tan α=sin cos αα=-1. 故选A.答案:A 3.(2012年江西卷,理4)若tan θ+1tan θ=4,则sin 2θ=( ) (A)15(B)14 (C)13 (D)12 解析:∵tan θ+1tan θ=sin cos θθ+cos sin θθ=1sin cos θθ =2sin 2θ=4,∴sin 2θ=12. 故选D.答案:D4.(2011年福建卷,理3)若tan α=3,则2sin 2cos αα的值等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析: 2sin 2cos αα=22sin cos cos ααα=2tan α=6,故选D. 答案:D5.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若tan(θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 解析:因为θ为第二象限角, 所以π2+2k π<θ<π+2k π,k ∈Z, 因此34π+2k π<θ+π4<54π+2k π,k ∈Z, 从而sin(θ+π4)<0. 又∵tan(θ+π4)=12,∴sin(θ+π4,∴sin θ+cos θsin(θ+π4答案6.(2011年大纲全国卷,理14)已知α∈(π2,π),sin α,则tan 2α= . 解析:∵sin α,α∈(π2,π), ∴cos α, ∴tan α=-12, ∴tan 2α=22tan 1tan αα−=1114−−=-43. 答案:-43考点三诱导公式及其应用(2010年大纲全国卷Ⅰ,理2)记cos (-80°)=k,那么tan 100°等于( )解析:∵cos(-80°)=k,∴cos 80°=k,∴sin 80°,∴tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80° =-sin80cos80故选B.答案:B模拟试题考点一三角函数的概念1.(2011浙江杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是( )(A)(-2,3] (B)(-2,3)(C)[-2,3) (D)[-2,3]解析:∵cos α≤0,sin α>0,∴390,20,a a −≤⎧⎨+>⎩ ∴-2<a ≤3,故选A.答案:A2.(2013安徽省大江中学、开成中学高三联考)已知点P(sin 3π4,cos 3π4)角θ的终边上,则tan(θ+π3)值为.解析:∵sin 3π4,cos3π4,∴点P的坐标为)∴tan θ=-1.则tan(θ+π3)=πtan tan3π1tan tan3θθ+−⋅=)212.答案考点二同角三角函数基本关系式1.(2013山东师大附中高三月考)若α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α等于()(A)35(B)45(C)-35(D)-45解析:∵tan(α+π4)=tan11tanαα+−=17,∴tan α=-34=sincosαα,∴cos α=-43sin α,又∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=9 25,又∵α∈(π2,π),∴sin α=3 5 .答案:A2.(2012山东潍坊模拟)已知α∈(0,π)且 sin α+cos α,则sin α-cos α=.解析:由sin α+cos α,两边平方得2sin αcos α=-1 2 ,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=3 2 .又α∈(0,π),sin αcos α<0,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α.答案考点三诱导公式1.(2013广东省深圳市高三第一次调研)化简sin 2013°的结果是()(A)sin 33°(B)cos 33°(C)-sin 33°(D)-cos 33°解析:sin 2013°=sin (5×360°+213°)=sin 213°=sin(180°+33°)=-sin 33°.故选C.答案:C2.(2012浙江丽水质检)设tan(π+α)=2,则()()()()sinπcosπsinπcosπ+αααα−+−+−等于()(A)3 (B)1 3(C)1 (D)-1解析:由tan(π+α)=2,得tan α=2,故()()()() sinπcosπsinπcosπ+αααα−+−+−=()sin cossin cosαααα−−−−−=sin cossin cosαααα+−=tan1tan1αα+−=3.故选A.答案:A3.(2013浙江省建八高中月考)若α∈(0,π2),且cos2α+sin(π2+2α)=12,则tan α=.解析:cos2α+sin(π2+2α)=cos2α+cos 2α=3cos2α-1=1 2 ,∴cos 2α=12. ∵α∈(0,π2),∴cos α,sin α, ∴tan α=1.答案:1综合检测1.(2012江西八所重点高中模拟)在直角坐标平面内,已知函数f(x)=log a (x+2)+3(a>0且a ≠1)的图象恒过定点P,若角θ的终边过点P,则cos 2θ+sin 2θ的值等于( ) (A)-12 (B)12 (C)710 (D)-710 解析:因为函数y=log a x 的图象恒过定点(1,0),所以f(x)的图象恒过定点P(-1,3),由三角函数的定义知sin θcos θ, 则cos 2θ+sin 2θ=cos 2θ+2sin θcos θ=110+2) =110-610=-12. 故选A.答案:A2.(2012安徽合肥一模)已知sin(π3-x)=35,则cos(5π6-x)= . 解析:cos(56π-x)=cos[π2+(π3-x)] =-sin(π3-x) =-35. 答案:-353.(2011江苏泰兴月考)已知sin(π-α)-cos(π+α(π2<α<π).求下列各式的值: (1)sin α-cos α;(2)sin3(π2-α)+cos3(π2+α).解:由sin(π-α)-cos(π+α,得sin α+cos α,(*)将(*)式两边平方,得1+2sin α·cos α=2 9 ,故2sin α·cos α=-7 9 .又π2<α<π,∴sin α>0,cos α<0.(1)(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=1-(-7 9 )=16 9,∴sin α-cos α=4 3 .(2)sin3(π2-α)+cos3(π2+α)=cos3α-sin3α=(cos α-sin α)(cos2α+cos α·sin α+sin2α)=-43×(1-718)=-2227.第二节三角函数的图象和性质高考试题考点一三角函数的性质及应用1.(2012年湖南卷,理6)函数f(x)=sin x-cos(x+π6)的值域为()(A)[-2,2] ](C)[-1,1] ]解析:f(x)=sin x-cos(x+π6 )cos x+12sin x=32cos xsin(x+π6),所以函数f(x)的值域为].故选B.答案:B2.(2012年新课标全国卷,理9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是()(A)[12,54] (B)[12,34](C)(0,12] (D)(0,2]解析:∵ω>0,∴由2kπ+π2≤ωx+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得f(x)的单调减区间为[π2π+4kω,5π2π+4kω],k∈Z.又∵f(x)在(π2,π)上单调递减,∴π2ππ4, 25π2π4π,kkωω⎧+⎪≥⎪⎪⎨⎪+⎪≤⎪⎩即14,252,4kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩由ω>0及k∈Z知,只能k=0,即12≤ω≤54.答案:A3.(2011年山东卷,理6)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω等于() (A)3 (B)2(C)32(D)23解析:据条件可知,f(x)=sin ωx在x=π3处取得最大值1,即sinπ3ω=1, ∴π3ω=2k π+π2(k ∈Z). ∴ω=6k+32,k ∈Z,结合选项得ω=32. 故选C.答案:C 4.(2011年安徽卷,理9)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.若f(x)≤π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立,且f(π2)>f(π),则f(x)的单调递增区间是( ) (A)[k π-π3,k π+π6](k ∈Z) (B)[k π,k π+π2](k ∈Z) (C)[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z) (D)[k π-π2,k π](k ∈Z) 解析:由f(x)≤π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立知x=π6时,f(x)取得最值, 故π3+φ=k π+π2(k ∈Z),φ=k π+π6(k ∈Z), 又f(π2)>f(π), ∴sin ϕ<0,∴ϕ=(2k+1)π+π6(k ∈Z), ∴f(x)=-sin(2x+π6), 令2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2(k ∈Z), 得k π+π6≤x ≤k π+3π2,k ∈Z.故选C. 答案:C5.(2013年江西卷,理11)函数2x 的最小正周期T 为 .解析(1-cos 2x)=2sin(2x-π3 故函数的最小正周期T=2π2=π. 答案:π6.(2012年北京卷,理15)已知函数f(x)=()sin cos sin2sinx x xx−.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)∵sin x≠0,∴x≠kπ(k∈Z),∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.又∵f(x)=()sin cos sin2sinx x xx−=2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1π4)-1.∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z),由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,且x≠kπ(k∈Z),得kπ-π8≤x≤kπ+3π8,且x≠kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ),(kπ,kπ+3π8] (k∈Z).考点二三角函数的图象及变换1.(2013年湖北卷,理4)将函数cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()(A)π12(B)π6(C)π3(D)5π6解析:函数y=2(cos x+12sin x)=2cos(x-π6)的图象向左平移m个单位长度后,得图象的解析式为y=2cos(x-π6+m),由题意此函数为偶函数,故m-π6=kπ,k∈Z,即m=kπ+π6,k∈Z,m min=π6.故选B.答案:B2.(2013年山东卷,理5)将函数y=sin(2x+ϕ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为()(A)3π4(B)π4(C)0 (D)-π4解析:由函数横向平移规律“左加右减”则y=sin(2x+ϕ)向左平移π8个单位得y=sin(2x+π4+ϕ).由y=sin(2x+π4+ϕ)为偶函数得π4+ϕ=π2+kπ,k∈Z,则ϕ=π4+kπ,k∈Z,则ϕ的一个可能值为π4 .故选B.答案:B3.(2012年浙江卷,理4)把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:y=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1=cos x+1,再向左平移1个单位长度得y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1),故相应的图象为选项A.答案:A4.(2011年大纲全国卷,理5)设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于()(A)13(B)3 (C)6 (D)9解析:由题意,得π3为函数f(x)=cos ωx的最小正周期的正整数倍,∴π3=k·2πω(k∈N*),∴ω=6k(k∈N*),∴ω的最小值为6.答案:C5.(2010年新课标全国卷,理4)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()解析:显然,当t=0时2故排除选项A 、D.又因为质点是按逆时针方向转动,所以开始运动后,随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小,再排除选项B,即得选项C. 答案:C6.(2012年山东卷,理17)已知向量m=(sin 3x,2Acos 2x)(A>0),函数f(x)=m ·n 的最大值为6. (1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[0,5π24]上的值域. 解:(1)f(x)=m ·3Asin xcos x+2Acos 2x 312cos 2x) =Asin(2x+π6) 因为A>0,由题意知A=6. (2)由(1)得f(x)=6sin(2x+π6). 将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位后得到y=6sin[2(x+π12)+π6]=6sin(2x+π3)的图象; 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+π3)的图象. 因此g(x)=6sin(4x+π3). 因为x ∈[0,5π24], 所以4x+π3∈[π3,7π6], 故g(x)在[0,5π24]上的值域为[-3,6]. 考点三由函数的图象求解析式1.(2013年四川卷,理5)函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0,-π2< <π2）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )(A)2,-π3(B)2,-π6(C)4,-π6(D)4,π3解析:因为34T=5π12-（-π3）=3π4,所以T=2πω=π,ω=2.由2×5π12+ϕ=π2+2kπ(k∈Z),得ϕ=-π3+2kπ(k∈Z).因为-π2<ϕ<π2,所以ϕ=-π3,故选A.答案:A2.(2009年辽宁卷,理8)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f（π2）=-23,则f(0)等于()(A)-23(B)-12(C)23(D)12解析:由图象可得最小正周期为2π3,于是f(0)=f（2π3）,注意到2π3与π2关于7π12对称,所以f（2π3）=-f(π2)=23.答案:C3.(2011年江苏卷,9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是.解析:由题图知A=2,4T =7π12-π3=π4, ∴T=π, ∴2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+ϕ), 将点(7π12,-2)代入得, -2=2sin(2×7π12+ϕ) =-2sin(π6+ϕ), ∴sin(π6+ϕ)=1, ∴π6+ϕ=2k π+π2(k ∈Z), ∴ϕ=π3+2k π(k ∈Z), ∴f(x)=2sin(2x+π3+2k π)=2sin(2x+π3), ∴f(0)=2sin π3=6. 答案:6 4.(2011年辽宁卷,理16)已知函数f(x)=Atan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)= .解析:由图象知f(x)周期为π2, ∴π2=πω,ω=2, 则f(x)=Atan(2x+φ), 又f(0)=Atan ϕ=1,f(3π8)=Atan(3π4+φ)=0,∴tan(3π4+ϕ)=0, ∴3π4+ϕ=k π,k ∈Z, 而|ϕ|<π2, ∴ϕ=π4,∴A=1, ∴f(x)=tan(2x+π4),故f(π24)=tan(π12+π4)=tan π3.答案5.(2012年陕西卷,理16)函数f(x)=Asin(ωx-π6)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设α∈(0,π2),f(2α)=2,求α的值.解:(1)由f(x)的最大值为3,得A+1=3,A=2, 由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2, 得2×π2=2πω,ω=2, ∴f(x)=2sin(2x-π6)+1. (2)∵f(2α)=2sin(α-π6)+1=2, ∴sin(α-π6)=12. ∵0<α<π2, ∴-π6<α-π6<π3, ∴α-π6=π6, 故α=π3. 模拟试题考点一三角函数的性质及应用1.(2013安徽省望江四中高三月考)同时具有性质“周期为π,图象关于直线x=π3对称,在[-π6,π3]上是增函数”的函数是( ) (A)y=sin(2x-π6) (B)y=cos(2x+π3) (C)y=cos(2x-π6) (D)y=sin(2x +π6) 解析:∵周期为π, ∴ω=2,排除选项D. 图象关于x=π3对称, 即函数在x=π3处取得最值,排除选项C. 又函数在[-π6,π3]上是增函数. 故选A. 答案:A2.(2013四川省成都市高新区月考)已知函数y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π)为偶函数,其图象与直线y=2的交点的横坐标为x 1,x 2,若|x 1-x 2|的最小值为π,则( ) (A)ω=2,θ=π2 (B)ω=12,θ=π2(C)ω=12,θ=π4 (D)ω=2,θ=π4解析:由题意知,|x 1-x 2|的最小值即为三角函数的最小正周期. ∴2π=π,∴ω=2.又∵y=2sin(2x+θ)(0<θ<π)为偶函数, 即当x=0时,y 取得最值. ∴θ=π2. 故选A. 答案:A3.(2012云南玉溪二模)当-π2≤x ≤π2时,函数f(x)=sin(x-2πcos(2π-x)的值域为 .解析:f(x)=-sin(2πcos(2π-x)cos x =2sin(x+π3), 由-π2≤x ≤π2得-π6≤x+π3≤5π6. 则-12≤sin(x+π3)≤1, 故f(x)的值域为[-1,2].答案:[-1,2]考点二三角函数的图象变换1.(2013广东省广州市综合测试)已知函数f(x)=2sin 2x,为了得到函数g(x)=sin 2x+cos 2x的图象,只要将y=f(x)的图象()(A)向右平移π4个单位长度(B)向左平移π4个单位长度(C)向右平移π8个单位长度(D)向左平移π8个单位长度解析:g(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+π4 ),若由f(x)=2sin 2x得到g(x)=2sin[2(x+π8 )],只要将f(x)的图象左移π8个单位长度即可.故选D.答案:D2.(2012安徽合肥八中一模)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x=π4对称,则φ的最小正值为()(A)π8(B)3π8(C)3π4(D)π2解析:f(x)=2sin(2x+π4)y=2sin(2x-2ϕ+π4)y=2sin(4x-2ϕ+π4).因为直线x=π4为对称轴,所以4×π4-2φ+π4=kπ+π2(k∈Z),即ϕ=-12kπ+3π8(k∈Z).因为ϕ>0,则k=0时,φmin=3π8.故选B.答案:B考点三由函数的图象求解析式1.(2013浙江省重点中学六校联考)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到的图象解析式为( )(A)y=sin 2x (B)y=sin(2x-π6) (C)y=sin(2x+2π3) (D)y=cos 2x 解析:由图象知34T=11π12-π6=912π=34π, ∴T=π=2πω,∴ω=2. ∴2×π6+ϕ=π2, ∴ϕ=π6,而A=1. ∴f(x)=sin(2x+π6), 右移π6个单位得g(x)=sin[2(x-π6)+π6] =sin(2x-π6). 故选B.答案:B2.(2013四川省乐山第二次调研)如果存在正整数ω和实数φ,使得函数f(x)=cos 2(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,且图象经过点(1,0),那么ω的值为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:f(x)=cos 2(ωx+φ)=()1cos 222x ωϕ++,由图象知2T <1<34T,43<T<2, ∴43<πω<2, π2<ω<34π<3,又ω∈N*,∴ω=2.答案:C综合检测1.(2013安徽省屯溪一中高三第一次质检)设函数cos(2x+ϕ)+sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π2),且其图象关于直线x=0对称,则()(A)y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,π2)上为增函数(B)y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,π2)上为减函数(C)y=f(x)的最小正周期为π2,且在(0,π4)上为增函数(D)y=f(x)的最小正周期为π2,且在(0,π4)上为减函数解析:f(x)=2sin(2x+ϕ+π3 ),∴T=2π2=π.又图象关于x=0对称,∴ϕ+π3=π2+kπ,k∈Z,又∵|ϕ|<π2 ,∴ϕ=π6 .∴f(x)=2sin(2x+π2)=2cos 2x,∴在(0,π2)上为减函数.故选B.答案:B2.(2013重庆铁路中学高三考试)f(x)=sin ωx+cos(ωx+π6)的图象上相邻两条对称轴间的距离是2π3,则ω的一个值是()(A)23(B)43(C)32(D)34解析:f(x)=sin ωcos ωx-12sin ωx=sin(ωx+π3 ),T=2×2π3=4π3=2πω,所以ω=32. 答案:C第三节三角恒等变换高考试题考点一两角和与差的三角函数公式1.(2010年福建卷,理1)计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( )(A)12解析:原式=sin(43°-13°)=sin 30°=12.故选A.答案:A2.(2013年重庆卷,理9)4cos 50°-tan 40°等于( )解析:4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40cos 40=4sin 40cos40sin 40cos40⋅−=2sin80sin 40cos40− =2sin10sin 40cos40−=()2cos10sin 3010cos40−+ =33cos10sin1022cos40−=)cos30cos10sin30sin10cos40−.故选C.答案:C3.(2012年重庆卷,理5)设tan α,tan β是方程x 2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为()(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:易知tan α+tan β=3,tan αtan β=2,故tan (α+β)=tan tan1tan tanαβαβ+−=312−=-3.故选A.答案:A4.(2012年四川卷,理4)如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED 等于()3101055解析:∵四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,∴∠AED=π4 .在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,∴5.∴sin∠5,cos∠25.∴sin∠CED=sin(π4-∠BEC)2cos∠2sin∠BEC225510.故选B.答案:B5.(2011年浙江卷,理6)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-2β3,则cos(α+2β)等于()33536解析:∵0<α<π2 ,∴π4<α+π4<3π4.∵cos（π4+α）=13,∴sin（π4+α）22又∵-π2<β<0, ∴π4<π4-2β<π2.∵cos （π4-2β）,∴sin(π4-2β, ∴cos （α+2β）=cos[（α+π4）（π4-2β）] =cos （α+π4)cos(π4-2β)+ Sin(α+π4)sin(π4-2β)=13 故选C.答案:C 6.(2012年江苏卷,11)设α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为 . 解析:∵cos(α+π6)=45>0,且α为锐角, ∴α+π6∈(π6,π2), ∴sin(α+π6)=35, ∴sin(2α+π3)=2cos(α+π6)sin(α+π6) =2×35×45=2425, Cos(2α+π3)=2cos 2(α+π6)-1=725, ∴sin(2α+π12)=sin[(2α+π3)-π4] =sin(2α+π3)cos π4-cos(2α+π3)sin π4答案 7.(2012年广东卷,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+π6)(其中ω>0,x ∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值;(2)设α,β∈[0,π2],f(5α+5π3)=-65,f(5β-5π6)=1617,求cos(α+β)的值. 解:(1)∵T=10π=2πω,∴ω=15.(2)由(1)得f(x)=2cos(15x+π6),∵-65=f(5α+5π3) =2cos[15(5α+53π)+π6]=2cos(α+π2)=-2sin α,∴sin α=35,cos α=45.∵ 1617=f(5β-5π6) =2cos[15(5β-5π6)+π6]=2cos β,∴cos β=817,sin β=1517.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =45×817-35×1517 =-1385.考点二倍角公式与半角公式1.(2012年山东卷,理7)若θ∈[π4,π2],sin 2θ,则sin θ等于()(A)35 (B)45 (D)34解析:∵θ∈[π4,π2],∴2θ∈[π2,π],∴cos 2θ18,∴sin θ34.故选D.答案:D2.(2011年辽宁卷,理7)设sin(π4+θ)= 13,则sin 2θ等于( )(A)-79(B)-19(C)19(D)79解析:sin 2θ=-cos(2θ+π2 )=2sin2(θ+π4)-1=2×19-1=-7 9 .故选A.答案:A3.(2012年大纲全国卷,理7)已知α为第二象限角,sin α+cos α,则cos 2α等于()解析:sin α+cos α,两边平方,∴1+2sin αcos α=1 3 ,∴sin 2α=-2 3 .∴cos 2α=又∵sin α+cos α>0,α是第二象限角,∴2kπ+π2<α<2kπ+3π4(k∈Z).∴4kπ+π<2α<4kπ+3π2(k∈Z),∴2α是第三象限角,∴cos 2α故选A.答案:A4.(2010年新课标全国卷,理9)若cos α=-45,α是第三象限的角,则1tan21tan2αα+−等于()(A)-12(B)12(C)2 (D)-2解析:∵cos α=-45,α是第三象限的角,∴2kπ+π<α<2kπ+54π,k∈Z,∴k π+π2<2α<k π+58π,k ∈Z, ∴2α是第二、四象限角,∴tan 2α∴1tan 21tan 2αα+−=1313−+=-12.故选A. 答案:A5.(2011年江苏卷,7)已知tan(x+π4)=2,则tan tan 2x x 的值为 . 解析:由tan(x+π4)=2, 得πtan tan 4π1tan tan 4x x +−=2, 即tan 11tan x x+−=2, ∴tan x=13, ∴tan tan 2x x =2tan 2tan 1tan x x x−=21tan 2x −=21132⎛⎫− ⎪⎝⎭=49. 答案:496.(2013年四川卷,理13)设sin 2α=-sin α,α∈(π2,π),则tan 2α的值是 . 解析:法一由sin 2α=-sin α得2sin αcos α=-sin α,又 α∈(π2,π). 所以sin α≠0,所以cos α=-12, 所以sin α,tan α. 则tan 2α=22tan 1tan αα−. 法二由sin 2α=-sin α,得2sin α·cos α=-sin α,又α∈(π2,π),sin α≠0,所以cos α=-12,α=2π3, 则tan 2α=tan4π3=tan π3. 答案7.(2011年四川卷,理17)已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=45,cos(β+α)=-45,0<α<β≤π2.求证:[f(β)]2-2=0.(1)解:∵f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4)=sin xcos 7π4+cos xsin7π4+cos xcos3π4+sin xsin3π4cos x)=2sin(x-π4 ),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值为-2.(2)证明:∵0<α<β≤π2 ,∴0<β-α<π2,0<α+β<π.又cos(β-α)=45,cos(β+α)=-45,∴sin(β-α)=35,sin(β+α)=35,∴sin 2β=sin[(β-α)+(β+α)]=sin(β-α)cos(β+α)+cos(β-α)sin(β+α)=35×(-45)+45×35=0,∴[f(β)]2-2=[2sin(β-π4)]2-2=4×π1cos222β⎛⎫−−⎪⎝⎭-2=2-2sin 2β-2=-2sin 2β=0,∴[f(β)]2-2=0.8.(2013年广东卷,理16)已知函数π12),x∈R.(1)求f(-π6)的值;(2)若cos θ=35,θ∈(3π2,2π),求f(2θ+π3).解:(1)f(-π6π6-π12π4)=π4=1.(2)f(2θ+π3θ+π3-π12θ+π4)=cos 2θ-sin 2θ.因为cos θ=35,θ∈(2π3,2π),所以sin θ=-45.所以sin 2θ=2sin θcos θ=-2425,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-725.所以f(2θ+π3)=cos 2θ-sin 2θ=-725-（-2425）=1725.模拟试题考点一两角和与差的三角函数公式应用1.(2012潍坊质检)已知α∈（0,π2）,α+π3的终边上的一点的坐标为(-4,3),则sin α等于()解析:由α∈（0,π2）及三角函数的定义可知Sin（α+π3）=35,cos（α+π3）=-45,所以可得sin α=sin[(α+π3)-π3]=sin(α+π3)cosπ3-cos(α+π3)sinπ3故选A.答案:A2.(2012广东深圳一模)已知直线l:xtan α-y-3tan β=0的斜率为2,在y轴上的截距为1,则tan(α+β)等于()(A)-73(B)73(C)57(D)1解析:由题意,得tan α=2,tan β=-13,可得tan(α+β)=tan tan1tan tanαβαβ+−=1231123−+⨯=1.故选D.答案:D考点二倍角公式与半角公式1.(2011四川成都五校联考)已知锐角α满足cos 2α=cos(π4-α),则sin 2α等于()(A)12(B)-12解析:∵cos 2α=cos(π4-α),∴cos 2α-sin 2α(cos α+sin α),∴cos α-sin α. 两边平方,得1-sin 2α=12, ∴sin 2α=12. 故选A.答案:A 2.(2012江南五校联考)设函数f(x)=sin x+cos x,f ′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f ′(x),则22sin sin 2cos x x x−= .解析:f ′(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f ′(x)得sin x+cos x=2cos x-2sin x,∴cos x=3sin x, 于是22sin sin 2cos x x x −=22sin 2sin cos cos x x x x−=222sin 6sin 9sin x x x − =-59. 答案:-593.(2013广东湛江一中等“十校”高三联考)设f(x)=6cos 2sin 2x,(1)求f(x)的最小正周期、最大值及f(x)取最大值时x 的集合;(2)若锐角α满足f(α,求tan 45α的值.解:(1)f(x)=6×1cos22x +sin 2xsin 2x+3cos 2x-12sin 2x)+3cos(2x+π6)+3.故f(x)的最大值为+3,此时2x+π6=2k π,x=k π-π12,k ∈Z, 即x 的集合为ππ,12x x k k Z ⎧⎫=−∈⎨⎬⎩⎭, 最小正周期T=2π2=π.(2)由f(α得cos(2α+π6, 故cos （2α+π6）=-1,又由0<α<π2得π6<2α+π6<7π6, 故2α+π6=π,解得α=512π.从而tan45α=tan π3. 综合检测1.(2012东北三校联考)设α、β都是锐角,且cos α,sin(α+β)=35,则cos β等于( )解析:cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α.又α、β都是锐角,当cos α时,sin α. 又sin(α+β)=35, 因此cos(α+β)=±45,又cos α12, ∴α>60°,∴α+β>60°,∴cos(α+β)<12, 故cos(α+β)=-45,∴cos β故选A. 答案:A2.(2013安徽大江中学、开成中学高三联考)在斜三角形ABC 中,sin Bcos C,且tan B ·tan则角A 的值为( ) (A)π4 (B)π3 (C)π2 (D)3π4解析,即sin sin cos cos B C B C∵∴=cos Bcos C+sin A.∴cos Bcos C-sin Bsin C=-sin A,∴cos(B+C)=-sin A,∴-cos A=-sin A,∴tan A=1,∴A=π4 .故选A.答案:A第四节三角函数的最值与综合应用高考试题考点一三角函数的最值1.(2012年大纲全国卷,理14)当函数≤x<2π)取得最大值时,x=.解析cos x=2sin(x-π3 ),∵0≤x<2π,∴x-π3∈[-π3,5π3),∴当x-π3=π2时,y取得最大值2,∴x=56π.答案:5 6π2.(2011年上海卷,理8)函数y=sin(π2+x)cos(π6-x)的最大值为.解析:y=cos x·cos(π6-x)12sin x)cos2x+12sin xcos x=)1cos24x++sin24x+14cos 2x)+12sin(2x+π3),答案3.(2009年全国卷Ⅰ,理16)若π4<x<π2,则函数y=tan 2xtan3x的最大值为.解析:∵π4<x<π2,∴tan x>1,令tan2x-1=t>0,则y=tan 2xtan3x=422tan1tanxx−=()221tt+−=-2(t+1t+2)≤-8,当且仅当t=1t,t=1时取等号.答案:-84.(2011年北京卷,理15)已知函数f(x)=4cos xsin (x+π6)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.解:(1)因为f(x)=4cos x·sin(x+π6)-1sin x+12cos x)-1sin 2x+2cos2x-1sin 2x+cos 2x=2sin(2x+π6 ),所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3.于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,f(x)取得最大值2;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,f(x)取得最小值-1.5.(2012年重庆卷,理18)设函数f(x)=4cos(ωx-π6)sin ωx-cos(2ωx+π),其中ω>0.(1)求函数y=f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3π2,π2]上为增函数,求ω的最大值.解ωx+12sin ωx)sin ωx+cos 2ωxsin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωxsin 2ωx+1,因-1≤sin 2ωx≤1,所以函数y=f(x)的值域为].(2)因为y=sin x在每个闭区间[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上为增函数,故sin 2ωx+1(ω>0)在每个闭区间[kπω-π4ω,kπω+π4ω](k∈Z)上为增函数.依题意知[-3π2,π2]⊆[kπω-π4ω,kπω+π4ω]对某个k∈Z成立,此时必有k=0,于是3ππ,24ππ,24ωω⎧−≥−⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得ω≤1 6 ,故ω的最大值为1 6 .6.(2013年陕西卷,理16)已知向量a=(cos x,-12sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值.解:f(x)=(cos x,-12)·sin x,cos 2x)cos xsin x-12cos 2xsin 2x-12cos 2x=cos π6sin 2x-sinπ6cos 2x=sin（2x-π6）.(1)f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2 ,∴-π6≤2x-π6≤5π6.由正弦函数的性质,知当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)取得最大值1.当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)取得最小值-1 2 ,因此,f(x)在[0,π2]上的最大值是1,最小值是-12.7.(2013年辽宁卷,理17)设向量sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x ∈[0,π2]. (1)若|a|=|b|,求x 的值;(2)设函数f(x)=a ·b,求f(x)的最大值.解:(1)由|a|=|b|, 即4sin 2x=1.又因为sin 2x+cos 2x=1,x ∈[0,π2]. 所以sin x=12,x=π6.(2)f(x)=a ·sin xcos x+sin 2x,x ∈[0,π2].1cos22x −sin 2x-12cos 2x+12=sin(2x-π6)+12.又2x-π6∈[-π6,5π6],f(x)∈[0,32]. 即f(x)最大值为32.8.(2012年湖北卷,理17)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωcos ωx),设函数f(x)=a ·b+λ(x ∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(12,1). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象经过点(π4,0),求函数f(x)在区间[0,3π5]上的取值范围.解:(1)因为f(x)=sin 2ωx-cos 2ωsin ωx ·cos ωx+λ=-cos 2ωsin 2ωx+λ =2sin(2ωx-π6)+λ. 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴, 可得sin(2ωπ-π6)=±1, 所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z), 即ω=2k +13(k ∈Z). 又ω∈(12,1),k ∈Z, 所以k=1,故ω=56. 所以f(x)的最小正周期是6π5. (2)由y=f(x)的图象过点(π4,0),得f(π4)=0,即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2,故f(x)=2sin(53x-π6)-2,由0≤x≤3π5,有-π6≤53x-π6≤5π6,所以-12≤sin(53x-π6)≤1,得-1-2≤2sin(53x-π6)-2≤2-2,故函数f(x)在[0,3π5]上的取值范围为[-1-2,2-2].考点二三角函数的综合应用1.(2011年陕西卷,理6)函数f(x)= x-cos x在[0,+∞)内()(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点(D)有无穷多个零点解析:f(x)= x-cos x的零点即为方程x-cos x=0的解,即y=x与y=cos x交点的横坐标.在同一直角坐标系中分别作出函数y=x和y=cos x的图象,如图所示,由于x>1时,y=x>1,y=cos x≤1,所以两图象只有一个交点,即方程x-cos x=0在[0,+∞)内只有一个根,所以f(x)= x-cos x在[0,+∞)内只有一个零点.故选B.答案:B2.(2010年浙江卷,理9)设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()(A)[-4,-2] (B)[-2,0](C)[0,2] (D)[2,4]解析:在同一坐标系中画出g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x的图象如图所示.由图可知g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x的图象在区间[-4,-2]上无交点,即函数f(x)=4sin(2x+1)-x在区间[-4,-2]上没有零点.故选A.答案:A3.(2009年江苏卷,15)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a 与b-2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b. 解:(1)∵a 与b-2c 垂直,∴a ·(b-2c)=a ·b-2a ·c=0,∵a ·b=4sin βcos α+4cos βsin α=4sin(α+β), a ·c=4cos αcos β-4sin αsin β=4cos(α+β). ∴4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)|b+c|2=sin 2β+2sin βcos β+cos 2β+16cos 2β- 32cos βsin β+16sin 2β =17-30sin βcos β =17-15sin 2β.∴2max b c +=32.∴|b+c|max(3)证明:∵tan αtan β=16, ∴sin αsin β=16cos αcos β, 即4cos α·4cos β-sin αsin β=0. ∴a ∥b.4.(2013年福建卷,理20)已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为(π4,0),将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象. (1)求函数f(x)与g(x)的解析式; (2)是否存在x 0∈(π6,π4),使得f(x 0),g(x 0),f(x 0)g(x 0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x 0的个数,若不存在,说明理由;(3)求实数a 与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n π)内恰有2013个零点解:法一 (1)由函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的周期为π,ω>0,得ω=2πT=2. 又曲线y=f(x)的一个对称中心为(π4,0),ϕ∈(0,π), 故f(π4)=sin(2×π4+ϕ)=0,得ϕ=π2, 所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x 的图象,再将y=cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)=cos(x-π2)的图象,所以g(x)=sin x.(2)当x ∈(π6,π4)时, 12,0<cos 2x<12, 所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在x ∈(π6,π4)内是否有解.。

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