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2013年济南市文科高考数学模拟试题及答案

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山东省济南市2013届高三第一次模拟考试数学文试题(WORD解析版)

山东省济南市2013届高三第一次模拟考试数学文试题(WORD解析版)

山东省济南市2013年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•济南一模）已知全集∪={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2}，B={0，2，5}，则集合（∁U A）∩B=（）A．{3，4，6} B．{3，5} C．{0，5} D．{0，2，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：直接利用补集和交集的运算进行求解，即可得到答案．解答：解：由∪={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2}，∴∁U A={0，3，4，5，6}，又B={0，2，5}，∴（∁U A）∩B={0，3，4，5，6}∩{0，2，5}={0，5}．故选C．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的题．2．（5分）（2013•济南一模）设复数z=（3﹣4i）（1+2i）（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2 B．2C．﹣2i D．2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：熟练掌握复数的运算法则和虚部的意义即可得出．解答：解：∵复数z=（3﹣4i）（1+2i）=11+2i，∴复数z的虚部为2．故选B．点评：正确理解复数的运算法则和虚部的意义是解题的关键．3．（5分）（2013•济南一模）若a=30.6，b=log30.2，c=0.63，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：利用指数函数与对数函数的性质可知，a＞1，b＜0，0＜c＜1．从而可得答案．解答：解：∵a=30.6＞a=3°=1，b=log30.2＜log31=0，0＜c=0.63＜0.60=1，∴a＞c＞b．故选A．点评：本题考查指数函数与对数函数的性质，考查有理数指数幂的化简求值，掌握指数函数与对数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．4．（5分）（2013•济南一模）设x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：解不等式可得x＜0或x＞3，由集合{x|x＞4}是集合{x|x＜0或x＞3}的真子集可得答案．解答：解：由x2﹣3x＞0可解得x＜0或x＞3，因为集合{x|x＞4}是集合{x|x＜0或x＞3}的真子集，故“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，故选B点评：本题考查充要条件的判断，转化为集合与集合的关系是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）（2013•济南一模）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论．解答：解：当输入的值为n=6时，n不满足上判断框中的条件，n=3，i=2，n不满足下判断框中的条件，n=3，n满足上判断框中的条件，n=4，i=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n不满足上判断框中的条件，n=2，i=4，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为i=4，故选C．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6．（5分）（2013•济南一模）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=（）A．﹣1 B．2C．0或﹣2 D．﹣1或2考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．解答：解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，又∵l1∥l2，∴，∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等，所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行．故选D．点评：本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．7．（5分）（2013•济南一模）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣2 B．x=4 C．x=﹣8 D．y=﹣4考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程．解答：解：因为抛物线标准方程是y2=2px（p＞0），所以其焦点在x轴的正半轴上，故其焦点坐标即为直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点，所以其焦点坐标为（2，0）和（0，﹣1）又抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在x轴上，。

山东省2013届高三最新文科模拟试题精选(26套含一、二模)分类汇编2：函数

山东省2013届高三最新文科模拟试题精选(26套含一、二模)分类汇编2：函数

山东省2013届高三最新文科模拟试题精选（26套含一、二模）分类汇编2：函数一、选择题错误！未指定书签。

．（山东省日照市2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）函数()()lg 1f x x =-的大致图象是【答案】B 解析:答案B ．易知()f x 为偶函数,故只考虑0x >时()lg(1)f x x =-的图象,将函数lg y x =图象向x 轴正方向平移一个单位得到()lg(1)f x x =-的图象,再根据偶函数性质得到()f x 的图象错误！未指定书签。

．（山东省临沂市2013届高三3月教学质量检测考试（一模）数学（文）试题）函数121xf (x )ln x x =+-的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)[来源:] C ．(0,1) D ．(0,1) (1,+∞)【答案】要使函数有意义,则有001x x x ≥⎧⎪⎨>⎪-⎩,即0(1)0x x x ≥⎧⎨->⎩,所以解得1x >,即定义域为(1,]+∞,选B ． [来源:]错误！未指定书签。

．（山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试数学文试题）设定义在R 上的奇函数)(x f y =,满足对任意R t ∈都有)1()(t f t f -=,且]21,0[∈x 时,2)(x x f -=,则)23()3(-+f f 的值等于 （ ）A ．21-B ．31-C ．41-D ．51-【答案】C错误！未指定书签。

．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文）函数f(x)=1nx-212x 的图像大致是【答案】【答案】B 函数的定义域为{0}x x >,函数的导数微微211'()x f x x x x -=-=,由21'()0x f x x -=>得,01x <<,即增区间为(0,1).由21'()0x f x x -=<得,1x >,即减区间为(1,)+∞,所以当1x =时,函数取得极大值,且1(1)02f =-<,所以选 B ．错误！未指定书签。

2013年高考数学(文科)仿真试题(一)

2013年高考数学(文科)仿真试题(一)

2013年高考数学（文科）仿真试题（新课标版）（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于（A ）1 （B ）0 （C ）2- （D ）3- 2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3.已知a b <，则下列不等式正确的是（A ）11ab >（B ）22a b > （C ）22a b ->- （D ）22a b >4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅=”是“ABC ∆为直角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于 （A ）2 （B ）1 （C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）47第5题图 第6题图7．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m的最大值为（A ）3 （B ）2 （C（D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量=a，+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为________.正(主)视图俯视图 侧(左)视图13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______. 14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题： ①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<； ③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数1)43()sin x f x xπ+-=.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()2f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面M D O ； （Ⅲ）求三棱锥M A B D -的体积.17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上45人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.A AB CM O D把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数()e xf x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()eg x f x x =-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ，l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的焦距为2.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且,,BD BE DE 成等比数列，求2k 的值.20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P .（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①(1)xy a a =>； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 12011. 3012. 1； 13. 1；1- 14. ①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：解：（Ⅰ）由题意，s i n 0x ≠， ……………2分所以，()x k k ≠π∈Z .……………3分函数()f x 的定义域为{,}x x k k ≠π∈Z . ……………4分 （Ⅱ）因为()2f x =1)2sin 43x x π+-=， ……………5分1)2sin 223x x x +-=， ……………7分 1cos sin 3x x -=， ……………9分将上式平方，得11sin 29x -=， ……………12分所以8sin 29x =. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ……………2分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分 （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为DM =所以90DOM ∠= ，OD OM ⊥. (6)分 又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. …………7分 因为OM AC O = , 所以OD ⊥平面ABC ， ……………8分 因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积. ……………10分由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高. ……………11分ABM ∆的面积为11sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯=， ……………12分A BCMOD所求体积等于132ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n ++++++=， ……………2分所以100n =. ……………3分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m =+，解得2m =.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3，则从中任取2人的所有基本事件为 (A 1,B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，(B 1 ,B 2)，(B 2 ,B 3)，(B 1 ,B 3)共10个. ………7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)， …………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. ……………9分（Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………10分那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-，所以()e e xg x '=-， ……………2分 由()e e 0xg x '=-=，得1x =， ……………3分 所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分 在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（Ⅱ）因为()e xf x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000ee ()x x y x x -=-. ……………7分切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )xxx -， ……………9分 因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分0201e (1)2x S x '=-， ……………12分在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减.……………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2eS =，所以，S 的最大值为2e. ……………14分19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知2c =，2c a=……………2分解得2,a c ==……………4分所以2221b a c =-=， 椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B 点的直线为1y kx =+，由221,41,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(41)80k x kx ++=，所以2814D k x k=-+，所以221414D k y k-=+， ……………8分依题意0k ≠，12k ≠±.因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2BEBD DE =， ……………9分所以2(1)D D b y y =-，即(1)1D D y y -=， ……………10分 当0D y >时，210D D y y -+=，无解， ……………11分 当0D y <时，210D D y y --=，解得12D y -=， ……………12分所以22141142k k--=+，解得224k +=，所以，当,,BD BE DE 成等比数列时，224k +=. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x具有性质P . ……………1分111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a-+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a+->， ……………3分 即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P .（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n - 中第一个大于0的值， ……………6分 则0)1()(>--i f i f ，因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--， 所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+> ， 与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤. ……………9分 （Ⅲ）不成立. 例如2()()x x n x f x xx -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数.……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=， 当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分（其他反例仿此给分.如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()()x x f x x⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。

山东省2013届高三高考模拟卷(二)文科数学含答案

山东省2013届高三高考模拟卷(二)文科数学含答案

山东省2013届高三高考模拟卷（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0}x M y y x ==>，{N y y ==，则M N 等于A ．∅B ．{1}C ．{1}y y >D ．{1}y y ≥2．已知复数2ii ia b -=+（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则2a b -= A. 1 B. 2 C. 3 D.43.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A. 3,y x x R =∈ B. sin ,y x x R =∈ C. lg ,0y x x => D. 3(),2x y x R =∈4．命题“对任意的01,23≤+-∈x x x R ”的否定是 A ．不存在01,23≤+-∈x x x R B ．存在01,23≤+-∈x x x RC ．存在01,23>+-∈x x x RD ．对任意的01,23>+-∈x x x R5.向量a ，b 的夹角为60︒，且||1a =，||2b =，则|2|a b -等于A.1D.2 6．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60︒，E 为BC 的中点， 则AE BD =A ．3-B ．1-C ．0D ．17．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y xD ．1422=+y x 8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且21813a a =，则313335319log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=A. 5B. 5-C. 53D.1039．把函数)2,0(),sin(πφωφω<>+=x y 的图像向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图示，则,ωϕ的值分别为 A ．3,1πB ．3,1π-C ．3,2πD ． 3,2π-10．已知()f x '是函数()f x 的导函数，如果()f x '(1,1)，那么曲线()f x 上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是A. (1,]4πB. [,)42ππC. 3(,]24ππD.[,)4ππ 11．若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是A ．211>abB ．111≤+ba C ．2≥ab D ．81122≤+ba12．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则有A. 2(2)(3)(l o g )af f f a << B. 2(3)(log )(2)af f a f <<C. 2(l o g )(3)(2)af a f f<< D. 2(log )(2)(3)af a f f <<第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，满分16分．13．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的弦长是 ．14．已知：l m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，给出下列五个命题： ①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //.其中正确命题的序号是15．已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是 ．16.已知偶函数()y f x =（x R ∈），满足：(1)(1)f x f x +=-，且[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =与函数3|log |y x =图象的交点个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3cos 5B =，且符合21AB BC ⋅=-． （Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若7a =，求角C ．18．（本小题满分12分） 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件=E {5x y -≤}，事件F ={15->x y }，求()P E F ．19．（本小题满分12分）数列}{n a 是首项14a =的等比数列，且3S ，2S ，4S 成等差数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和，若1n n T b λ+≤对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的最小值． 20．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．(Ⅰ) 当1BE =，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP PD λ=，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(Ⅱ) 设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A -CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．21．（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．（Ⅰ）设椭圆的半焦距1c =，且222,,a b c 成等差数列，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设（1）中的椭圆C 与直线1y kx =+相交于P Q 、两点，求OP OQ 的取值范围．22．(本小题满分13分)已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+. (Ⅰ) 求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ) 若函数()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,求a 的取值范围； (Ⅲ) 若方程()()f x g x m =+有唯一解,试求实数m 的值.数学（文科）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3． A 4．C 5． D 6． C 7． A 8 ．B 9． D10． B 11． D 12． C二、填空题：A B C D E F E F A B C D13． 2 14．④ 15．16． 3三、解答题：17．【解析】（Ⅰ）21cos()21AB BC AB BC B π⋅=-⇒⋅⋅-=- ………………2分 cos 21c a B ⇒⋅⋅=． …………………………………………………………… 3分又3cos 5B =，故35ac =． ………………………………………………4分由3cos 5B =可推出4sin 5B == ………………………………………5分1sin 14.2ABC S ac B ∆∴== ………………………………………6分（Ⅱ）7,35a ac ==由，可得5c=， ………………………………………7分又2223cos 2cos 325B b a c ac B b =∴=+-=⇒= ………………8分cos 2C ∴==， ………………10分 又(0,)C π∈　，4C ∴=． ………………12分18．【解析】（Ⅰ）第六组的频率为40.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=； ……………………………4分 （Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=， 身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=， 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=， 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=，由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ，则170175<<m 由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 …………………………6分由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,所以身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为0.18800144⨯=人． ………………8分（Ⅲ）第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况，因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故7()15P E =． ……………………10分 由于max 19518015x y -=-=，所以事件F ={15->x y }是不可能事件，()0P F =， 由于事件E 和事件F 是互斥事件，所以7()()()15P EF P E P F =+=………12分 19．【解析】（Ⅰ）当1q =时，32412816S S S ===，，,不成等差数列……………1分当1q ≠时，234111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+--- ，∴2342q q q =+ ，…………3分∴220q q +-=，∴2q =-， …………………………………………………………4分∴114(2)(2)n n n a -+=-=-．………………………………………………………………5分（Ⅱ）122log log (2)1n n n b a n +==-=+，………………………………………… 6分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， ………………………………………… 7分 11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-=++++， ………………8分1n n T b λ+≤，∴(2)2(2)n n n λ≤++，∴22(2)nn λ≥+， …………………… 10分又211142(2)2(44)162(4)n n n n=≤=++++，∴λ的最小值为116． ……… 12分 20．【解析】(Ⅰ)存在P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时32λ=．…………… 2分下面证明：当32λ=时，即此时32AP PD =，可知35AP AD =，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有35MP FD =，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP //=EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．……………………… 6分(Ⅱ)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ．由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x (0<x …4)，FD ＝6-x ．故222111112(6)(6)[(3)9](3)332333A C D F V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，A CDF V -有最大值，最大值为3． ……………………… 12分21．【解析】（Ⅰ）由已知：221a b =+，且2221b a =+，解得223,2a b ==， ……4分所以椭圆C 的方程是22132x y +=． …………………………5分 （Ⅱ）将1y kx =+代入椭圆方程，得22(1)132x kx ++=， …………………………6分 化简得，()2232630k x kx ++-= …………………………7分设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122263,3232k x x x x k k +=-=-++， …………………8分 所以，()()()()21212121212121111OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x =+=+++=++++EFA B C D M P()22222223166131232323232k k k k k k k -+--=-+==-+++++， ………………………10分 由222233310,322,0,22322322k k k k ≥+≥<≤-<-+≤-++，…………………12分所以OP OQ 的取值范围是1(2,]2--. …………………………13分22．【解析】(Ⅰ)因为8()2f x x x'=-,所以切线的斜率(1)6k f '==- …………2分又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+ …………4分 (Ⅱ)因为2(2)(2)()x x f x x+-'=,又x >0,所以当x >2时,()0f x '>；当02x <<时, ()0f x '<.即()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减 ……………………………………………5分又2()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减 ………6分欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则217a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得26a ≤≤ ……8分(Ⅲ) 原方程等价于228ln 14x x x m --=,令2()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =. ……………………9分 因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点……………………10分又82(4)(21)()414x x h x x x x-+'=--=,且0x >， 所以当4x >时,()0h x '>，函数()h x 单调递增；当04x <<时, ()0h x '<，函数()h x 单调递减. 故()h x 在4x =处取得最小值． ……………12分 从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--． ………13分0z =。

2013年高考数学文科模拟试卷(含答案详解版)

2013年高考数学文科模拟试卷(含答案详解版)

开始 0k =k ＝k ＋131n n =+150?n >输出k ,n结束是 否输入n2013年高考数学模拟试卷（文）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B xx =>，则A B =A ．B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅ 2．已知i 为虚数单位，则212ii-++的值等于 ( )A. i -B.12i -C. 1-D.2．定义{|,,}x A B z z x y x A y B y⊗==+∈∈.设集合{0,2}A =，{1,2}B =3．如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 4．如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．35．阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()O AO BA B +⋅＝（ ）A.6B.4C.4-D.6-7．在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ） A.72种 B.36种 C.144种 D.108种O xyAB第6题图图18．已知函数()y f x =的定义域为2(43,32)a a --， 且(23)y f x =-为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3或－1B ．－3或1C ．1D ．－19．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。

2013年高考文科数学山东卷考试试题与答案word解析版

2013年高考文科数学山东卷考试试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013山东，文1)复数z ＝22i i(-)(i 为虚数单位)，则|z |＝( )．A ．25 BC ．5 D2．(2013山东，文2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且(A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩＝( )．A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．3．(2013山东，文3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－24．(2013山东，文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．A．8B．83C．，83D ．8,85．(2013山东，文5)函数f (x )( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1] 6．(2013山东，文6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )．A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.87．(2013山东，文7)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b，则c ＝( )．A．．2 CD ．1 8．(2013山东，文8)给定两个命题p ，q ．若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．(2013山东，文9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．10．(2013山东，文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为( )．A ．1169B ．367 C ．36 D．11．(2013山东，文11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A．16 B．8 C．3 D．312．(2013山东，文12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )．A ．0B ．98C ．2D ．94第2卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2013山东，文13)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________．14．(2013山东，文14)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360,20,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是__________．15．(2013山东，文15)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为__________．16．(2013山东，文16)定义“正对数”：ln ＋x ＝0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．(2013山东，文17)(本小题满分12分)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(2(1)从该小组身高低于(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．18．(2013山东，文18)(本小题满分12分)设函数f (x )＝2-2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点． (1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足1212112n n n b b b a a a +++=-，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .21．(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小．22．(2013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.4设OP＝tOE，求实数t的值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：C解析：44i 134i43i i iz ---==--，所以|z | 5.故选C. 2． 答案：A解析：∵(A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}． 又∵B ＝{1,2}，∴A 一定含元素3，不含4. 又∵＝{3,4}，∴A ∩＝{3}．3． 答案：D解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2.4．答案：B解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：由图可知PO ＝2，OE ＝1，所以PE =，所以V ＝13×4×2＝83，S ＝1422⨯5．答案：A解析：由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(－3,0]．6． 答案：C解析：第一次：a ＝－1.2＜0，a ＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2＜0，a ＝－0.2＋1＝0.8＞0，a ＝0.8≥1不成立，输出0.8.第二次：a ＝1.2＜0不成立，a ＝1.2≥1成立，a ＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2. 7． 答案：B解析：由正弦定理sin sin a bA B=得：1sin A =又∵B ＝2A ，∴1sin sin 22sin cos A A A A ==，∴cos A A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴c 2. 8． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝pq ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A.9．答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 10． 答案：B解析：∵模糊的数为x ，则：90＋x ＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7， x ＝4，所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，方差为s 2＝222229091291912949187917(-)+(-)+(-)+(-)＝367.11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p⎛⎫== ⎪⎝⎭，故M 点切线的斜率为03x p =，故M 1,36p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.由1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得p D. 12． 答案：C解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥-=-=， 当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，z xy有最小值1，将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：解析：如图，当AB 所在直线与AC 垂直时弦BD 最短，AC ＝=CB ＝r ＝2，∴BA =BD ＝14．解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，即d min=. 15．答案：5解析：∵OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)， ∴BA ＝OA －OB ＝(－3，t －2)．又∵∠ABO ＝90°，∴BA ·OB ＝0， 即(－3，t －2)·(2,2)＝0， －6＋2t －4＝0， ∴t ＝5. 16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12. (2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310. 18．解：(1)f (x )＝22ωx －sin ωx cos ωx＝1cos 21sin 2222x x ωω---＝2cos 2ωx －12sin 2ωx＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2ππ=424ω⨯.因此ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝πsin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.当π≤x ≤3π2时，5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因此－1≤f (x )≤2.故f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2，－1. 19．(1)证法一：取PA 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE 平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD . 证法二：连接CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ， 所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD .又CF 平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又EF 平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ， 所以CE ∥平面PAD .(2)证明：因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD .又AB ∥CD ，所以MN ∥AB . 因此MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得：11114684,212211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由已知1212112n n n b b b a a a +++=-，n ∈N *， 当n ＝1时，1112b a =；当n ≥2时，111111222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 所以12n n n b a =，n ∈N *. 由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝212nn -，n ∈N *. 又T n ＝23135212222nn -++++，231113232122222n n n n n T +--=++++， 两式相减得2311122221222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 113121222n n n -+-=--， 所以T n ＝2332nn +-. 21．解：(1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝221ax bx x+-.①当a ＝0时，f ′(x )＝1bx x-.若b ≤0，当x ＞0时，f ′(x )＜0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)． 若b ＞0，当0＜x ＜1b时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 当x ＞1b时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得2ax 2＋bx －1＝0.由Δ＝b 2＋8a ＞0得x 1，x 2.显然，x 1＜0，x 2＞0.当0＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞x 2时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b ＞0时，函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭； 当a ＞0时，函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. (2)由题意，函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由(1)知4b a -+是f (x )的唯一极小值点，＝1，整理得2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝14xx-， 令g ′(x )＝0，得x ＝14.当0＜x ＜14时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞14时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．因此g (x )≤14g ⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋1ln 4＝1－ln 4＜0，故g (a )＜0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0，即ln a ＜－2b . 22解：(1)设椭圆C 的方程为2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)，由题意知222,22,a b c ca b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得a，b ＝1.因此椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.(2)当A ，B 两点关于x 轴对称时， 设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意＜m ＜0或0＜m将x ＝m 代入椭圆方程22x ＋y 2＝1，得|y |所以S △AOB ＝|m =解得m 2＝32或m 2＝12.① 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB +＝12t (2m,0)＝(mt,0)， 因为P 为椭圆C 上一点，所以22mt ()＝1.② 由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t . 当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h . 将其代入椭圆的方程22x ＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由判别式Δ＞0可得1＋2k 2＞h 2， 此时x 1＋x 2＝2412kh k -+，x 1x 2＝222212h k -+， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2212h k +，所以|AB |＝因为点O 到直线AB 的距离d， 所以S △AOB ＝1|AB |d＝12⨯||h .又S △AOB|h =.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0，解得n ＝4h 2或n ＝243h ， 即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝243h .④ 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB + ＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝222,1212kht ht k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以2222212121212kh h t k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即222112h t k =+.⑤将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43，又知t ＞0，故t ＝2或t ＝3.经检验，适合题意．综上所得t ＝2或t .。

数学_2013年山东省济南市高考数学一模试卷(文科)_(含答案)

数学_2013年山东省济南市高考数学一模试卷(文科)_(含答案)

2013年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{1, 2}，B＝{0, 2, 5}，则集合(∁U A)∩B＝（）A {3, 4, 6}B {3, 5}C {0, 5}D {0, 2, 4}2. 设复数z=(3−4i)(1+2i)（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A −2B 2C −2iD 2i3. 若a=30.6，b=log30.6，c=0.63，则（）A a>c>bB a>b>cC c>b>aD b>c>a4.设x∈R，则“x2−3x>0”是“x>4”的()A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A 2B 3C 4D 56. 已知两条直线l1：(a−1)x+2y+1=0，l2:x+ay+3=0平行，则a=()A −1B 2C 0或−2D −1或27. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线x−2y−2=0上，则该抛物线的准线方程为（）A x=−2B x=4C x=−8D y=−48. 等差数列{a n}中，a2+a8=4，则它的前9项和S9=()A 9B 18C 36D 729. 已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间（）A [kπ+π3, kπ+5π6](k∈Z] B [2kπ−π6, 2kπ+π3](k∈Z) C [kπ−π3, kπ+π6](k∈Z) D [kπ−π6, kπ+π3](k∈Z)10. 函数y＝x−x13的图象大致为（）A B CD11. 一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A 203 B 403 C 20 D 4012. 若函数f(x)=2sin(π6x +π3)(−2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →+OC →)⋅OA →=( )A −32B −16C 16D 32二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，某机构调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年教育支出y （单位：万元）的情况．调查显示年收入与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程为y ̂=0.15x +0.2．由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出约增加________万元． 14. 已知实数x ，y 满足{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3，则Z =x −3y 的最小值是________．15. 下列命题正确的序号为________．①函数y =ln(3−x)的定义域为(−∞, 3]；②定义在[a, b]上的偶函数f(x)=x 2+(a +5)x +b 最小值为5；③若命题P ：对∀x ∈R ，都有x 2−x +2≥0，则命题￢P:∃x ∈R ，有x 2−x +2<0； ④若a >0，b >0，a +b =4，则1a+1b 的最小值为1．16. 若双曲线x 29−y 216=1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x −m)2+y 2≥16内，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. 在△ABC 中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足bcosC =(3a −c)cosB ． （1）求cosB ；（2）若BC →⋅BA →=4，b =4√2，求边a ，c 的值．18. 如图所示的茎叶图中记录了甲组3名同学寒假期间去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假期期间去图书馆B 学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示．（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆B学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的同学中选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数之和大于20的概率．19. 正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a4=16，且a2，a3的等差中项为S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=na2n−1，求数列{b n}的前n项和T n．20. 已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD // EF // BC，BE=AD=EF=12BC，G是BC的中点．（1）求证：AB // 平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF．21. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M(−a, b)，N(a, b)，F2和F1组成了一个高为√3，面积为3√3的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A，B，求△F2AB面积的最大值．22. 已知函数f(x)=(ax2+x−1)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．(1)若a=1，求曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(2)若a<0，求f(x)的单调区间；(3)若a=−1，函数f(x)的图象与函数g(x)=13x3+12x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．2013年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. B3. A4. B5. C6. D7. A8. B9. D10. A11. B 12. D 13. 0.15 14. −21 15. ②③④16. {m|m ≥5或m ≤−5} 17. 解：（1）在△ABC 中，∵ bcosC =(3a −c)cosB ，由正弦定理可得 sinBcosC =(3sinA −sinC)cosB ，∴ 3sinA ⋅cosB −sinC ⋅cosB =sinBcosC ，化为：3sinA ⋅cosB =sinC ⋅cosB +sinBcosC =sin(B +C)=sinA ．∵ 在△ABC 中，sinA ≠0，故cosB =13．（2）由 BC →⋅BA →=4，b =4√2，可得，a ⋅c ⋅cosB =4，即 ac =12．…①． 再由余弦定理可得 b 2=32=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−2ac 3，即 a 2+c 2=40，…②．由①②求得a =2，c =6； 或者a =6，c =2． 综上可得，{a =2c =6，或 {a =6c =2．18. 解：（1）当x =7时，由茎叶图，可知乙组同学去图书馆B 学习的次数是7，8，9，12， 所以其平均数为7+8+9+124=9，方差s 2=14[(7−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(12−9)2]=72．（2）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆A 学习的次数分别为9，12，11； 乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆B 学习的次数分别为9，8，9，12． 从学习次数大于8的同学中任选2名同学， 所有可能的结果有15种，分别是 A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4， A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1， A 3B 3，A 3B 4，B 1B 3，B 1B 4，B 3B 4．用C 表示“选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数之和大于20”这一事件， 则C 中包含的结果有5种，分别是 A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4．故选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数之和大于20的概率为P(C)=515=13． 19. 解：（1）由题意可得，a 2+a 3=2S 2=2a 1+2a 2 ∴ {a 1q 3=16a 1q +a 1q 2=2a 1(1+q)∵ q >0解方程可得，a 1=2，q =2 ∴ a n =2n （2）∵ b n =n a 2n−1=n 22n−1∴ T n =12+223+⋯+n22n−1 T n 4=123+225+⋯+n −122n−1+n 22n+1 两式相减可得，3T n 4=12+18+⋯+122n−1−n 22n+1=(1−14n )×121−14−n 22n+1=2−222n 3−n 22n+1∴ T n =8−1622n9−4n6×22n20. 证明：（1）∵ AD // EF // BC ，AD =EF =12BC ，G 是BC 的中点． ∴ AD = // BG ，∴ 四边形ADGB 是平行四边形， ∴ AB // DG ，∵ AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ． ∴ AB // 平面DEG ；（2）∵ AD // EF ，AD =EF ， ∴ 四边形AEFD 是平行四边形， ∴ DF // AE ，∵ AE ⊥底面BEFC ，∴ DF ⊥底面BEFC ． ∴ DF ⊥EG ．连接FG ，∵ EF =12BC ，G 是BC 的中点，EF // BC ， ∴ 四边形BEFG 是平行四边形，又∵ BE =EF ，∴ 四边形BEFG 是菱形， ∴ BF ⊥EG ．∵ DF ∩BF =F ，∴ EG ⊥平面BDF ．21. 解：(1)由题意知b =√3，12(2a +2c)b =3√3，所以a +c =3①，又a 2=b 2+c 2，即a 2=3+c 2②， 联立①②解得a =2，c =1， 所以椭圆方程为：x 24+y 23=1；(2)由(1)知F 1(−1, 0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，过点F 1的直线方程为x =ky −1， 由{x =ky −1，x 24+y 23=1，得(3k 2+4)y 2−6ky −9=0， Δ>0成立，且y 1+y 2=6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4， △F 2AB 的面积S =12×|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|) =|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√36k 2(3k 2+4)2+363k 2+4=12√k 2+1(3k 2+4)2=√9(k +1)+1k 2+1+6，又k 2≥0，所以9(k 2+1)+1k 2+1+6递增， 所以9(k 2+1)+1k 2+1+6≥9+1+6=16，所以√9(k +1)+1k 2+1+6≤√16=3，当且仅当k =0时取得等号， 所以△F 2AB 面积的最大值为3．22. 解：∵ f(x)=(ax 2+x −1)e x ，∴ f′(x)=(2ax +1)e x +(ax 2+x −1)e x =(ax 2+2ax +x)e x ，(1)当a =1时，f(1)=e ，f′(1)=4e ，故切线方程为y −e =4e(x −1)， 化为一般式可得4ex −y −3e =0；(2)当a <0时，f′(x)=(ax 2+2ax +x)e x =[x(ax +2a +1)]e x ， 若a =−12，f′(x)=−12x 2e x ≤0，函数f(x)在R 上单调递减，若a <−12，当x ∈(−∞, −2−1a )和(0, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x ∈(−2−1a , 0)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；若−12<a <0，当x ∈(−∞, 0)和(−2−1a, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(0, −2−1a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；(3)若a =−1，f(x)=(−x 2+x −1)e x ，可得f(x)−g(x)=(−x 2+x −1)e x −13x 3−12x 2−m ，原问题等价于f(x)−g(x)的图象与x 轴有3个不同的交点，即y =m 与y =(−x 2+x −1)e x −13x 3−12x 2的图象有3个不同的交点， 构造函数F(x)=(−x 2+x −1)e x −13x 3−12x 2，则F′(x)=(−2x+1)e x+(−x2+x−1)e x−x2−x=(−x2−x)e x−x2−x=−x(x+1)(e x+1)，令F′(x)=0，可解得x=0或−1，且当x∈(−∞, −1)和(0, +∞)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x∈(−1, 0)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，故函数F(x)在x=−1处取极小值F(−1)=−3e −16，在x=0处取极大值F(0)=−1，要满足题意只需∈(−3e −16, −1)即可．故实数m的取值范围为：(−3e −16, −1)。

2013-山东省-济南市-一模-数学(文)

2013-山东省-济南市-一模-数学(文)

第5题图山东省济南市2013届高三高考模拟考试文科数学试题本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：1.锥体的体积公式：1V S 3h =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高; 2.方差],)()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为n x x x ,,,21 的平均数. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集}6,5,4,3,2,1,0{=U ，集合{1,2}A =，}5,2,0{=B ，则集合=B A C U )( A ．{3，4，6}B ．{3，5}C ．{0，5}D ．{0，2，4}2. 设复数)21)(43(i i z +-=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为 A ．2- B. 2 C. i 2- D.3. 若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则A ．b c a >> B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >>4. 设R x ∈，则“032>-x x ”是“4>x ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D 5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. 已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ，03:2=++ay x l 平行，则=a A ．-1 B ．2C ．0或-2D ．-1或27. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为 A.2x =- B. 4=x C. 8-=x D. 4-=y 8. 等差数列}{n a 中，482=+a a ，则它的前9项和=9S A ．9B ．18C ．36D ．729. 已知函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π，则)(x f 的单调递增区间A. )](65,3[Z k k k ∈++ππππ B. )](32,62[Z k k k ∈+-ππππ C. )](6,3[Z k k k ∈+-ππππ D. )](3,6[Z k k k ∈+-ππππ10. 函数13y x x =-的图象大致为11. 一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为A.203B. 403C. 20D. 4012. 若函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则=⋅+OA OC OB )(A ．-32B ．-16C ．16D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年教育支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：2.015.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加____________万元．第11题图14. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 3-=的最小值是 .15. 下列命题正确的序号为 .①函数)3ln(x y -=的定义域为]3,(-∞;②定义在],[b a 上的偶函数b x a x x f +++=)5()(2最小值为5;③若命题:p 对R x ∈∀，都有022≥+-x x ，则命题:p ⌝R x ∈∃，有022<+-x x ;④若0,0>>b a ，4=+b a ，则ba 11+的最小值为1. 16. 若双曲线116922=-y x 渐近线上的一个动点P 总在平面区域16)(22≥+-y m x 内，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-. （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅=，b =a ，c 的值.18. (本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示. （1）如果x =7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x =9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.19. (本小题满分12分)正项等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，164=a ，且32,a a 的等差中项为2S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设12-=n n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .x 8 29 乙组 第18题图20. (本小题满分12分)已知在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，//AD //EF BC ，12BE AD EF BC ===，G 是BC 的中点． （1）求证：//AB 平面DEG ； （2）求证：EG ⊥平面BDF ．21. (本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M(-a ,b )、N(a ,b )、F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.（1）求椭圆的方程;（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求∆F 2AB 面积的最大值.22. (本小题满分14分)已知函数2()(1)x f x ax x e =+-，其中e 是自然对数的底数，a R ∈． （1）若1=a ，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若0<a ，求()f x 的单调区间；（3）若1-=a ，函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=232131)(的图象有3个不同的交点，求实数m 的取值范围.ADFEBGC第20题图2013年3月济南市高考模拟考试文科数学参考答案1.C2.B3.A4.B5.C6.D7.A8.B9.D 10.A 11.B 12.D 13.0.15 14.21- 15.②③④ 16. ),5[]5,(+∞--∞ 17. 解：（1）由正弦定理和cos (3)cos b C a c B =-，得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-， …………………2分 化简，得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=即sin3sin cos B C A B +=（）， …………………4分 故sin 3sin cos A A B =.所以1cos =3B . …………………6分 （2）因为4BC BA ⋅=， 所以4cos ||||=⋅⋅=⋅B所以12BC BA ⋅=，即12ac =. （1） …………………8分又因为2221cos =23a cb B ac +-=, 整理得，2240a c +=. （2） …………………10分联立（1）（2） 224012a c ac ⎧+=⎨=⎩，解得26a c =⎧⎨=⎩或62a c =⎧⎨=⎩. …………………12分18. 解（1）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为;9412987=+++=x …………………3分方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分（2）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4， B 1 B 3，B 1B 4，B 3B 4. …………………9分 用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为A DFEBC.31155)(==C P …………………12分 19. 解：（1）设等比数列}{n a 的公比为)0(>q q ，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(2161121131q a a q a q a q a ，解得⎩⎨⎧==221q a . …………………4分 所以n n a 2=. …………………5分 （2）因为12122--==n n n n a n b ， …………………6分所以12753224232221-+++++=n n nT ， 121275322123222141+-+-++++=n n n nn T ， …………………8分所以12127532212121212143+--+++++=n n n n T122411)411(21+---=n n n 12233432+⋅+-=n n …………………11分 故2181612992n n nT ++=-⋅. …………………12分 20. 证明：（1）∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC ． ………………1分 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD ， ………………2分 ∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG ． ………………4分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG ． ………5分 （2）连结GF ，四边形ADFE 是矩形， ∵//DF AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ， ∴DF EG ⊥．…………8分 ∵//,EF EF BE =，∴四边形BGFE 为菱形，∴BF EG ⊥， …………………11分 又,BF DF F BF =⊂I 平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，∴EG ⊥平面BDF ． …………………12分21. 解：（1）由条件，得b=3，且333222=+ca ， 所以a+c=3. …………………2分 又322=-c a ，解得a=2，c=1.所以椭圆的方程13422=+y x . …………………4分（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my -1，直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立方程 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得, 096)43(22=--+my y m ， 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交..439,436221221+-=+=+∴m y y m m y y …………………6分 AB F S 2∆=21212121y y y y F F -=- ……………………8分 22222221221)311(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y,)1(913211422++++=m m …………………10分令112≥+=m t ,设t t y 91+=,易知)31,0(∈t 时,函数单调递减, ),31(+∞∈t 函数单调递增所以 当t=12+m =1即m=0时，910min =y AB F S 2∆取最大值3. …………………12分22. 解：（1）因为xe x x xf )1()(2-+=，所以++='x e x x f )12()(xx e x x e x x )3()1(22+=-+， ………………1分所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为e f k 4)1(='=. ………………2分 又因为e f =)1(，所以所求切线方程为)1(4-=-x e e y ，即034=--e y ex ． ………………3分（2）++='x e ax x f )12()(x x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+，①若021<<-a ，当0<x 或aa x 12+->时，0)(<'x f ； 当<<x 0aa 12+-时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间为]0,(-∞，),12[+∞+-aa ； 单调递增区间为]12,0[aa +-. …………………5分 ②若21-=a ，=')(x f 0212≤-xe x ，所以)(xf 的单调递减区间为),(+∞-∞.…………………6分③若21-<a ，当a a x 12+-<或0>x 时，0)(<'x f ； 当012<<+-x aa 时，0)(>'x f . 所以)(x f 的单调递减区间为]12,(aa +--∞，),0[+∞； 单调递增区间为]0,12[aa +-. …………………8分 （3）由（2）知，2()(1)x f x x x e =-+-在]1,(--∞上单调递减，在]0,1[-单调递增，在),0[+∞上单调递减，所以()f x 在1-=x 处取得极小值ef 3)1(-=-，在0=x 处取得极大值1)0(-=f . …………………10分 由m x x x g ++=232131)(，得x x x g +='2)(. 当1-<x 或0>x 时，0)(>'x g ；当1-0<<x 时，0)(<'x g .所以)(x g 在]1,(--∞上单调递增，在]0,1[-单调递减，在),0[+∞上单调递增. 故)(x g 在1-=x 处取得极大值m g +=-61)1(，在0=x 处取得极小值m g =)0(. …………………12分 因为函数)(x f 与函数)(x g 的图象有3个不同的交点，所以⎩⎨⎧>-<-)0()0()1()1(g f g f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+<-m me 1613. 所以1613-<<--m e .…………14分。

2013年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）（2013•山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）=，．2．（5分）（2013•山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）4．（5分）（2013•山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）4S=V=5．（5分）（2013•山东）函数f（x）=的定义域为（）=6．（5分）（2013•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）7．（5分）（2013•山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，Bb==得：===cosA=8．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q．．．．x=时，10．（5分）（2013•山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）B=91（．11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，B求出函数在，得），得，则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为处的切线的斜率为由题意可知，得）．p=12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，代入=+，求得二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．=，2=214．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．=的最小值等于故答案为：15．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．利用已知条件求出解：因为知，=，所以16．（4分）（2013•山东）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号），，．时，此时lnb=，此时则，此时，，＜三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）（2013•山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．p=p=18．（12分）（2013•山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．[]﹣，故周期为，所以）时，，，[]上的最大值和最小值分别为：19．（12分）（2013•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．AB CD=20．（12分）（2013•山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．，+++，++时，=时，=）﹣（==，+++，T++T+++）﹣﹣﹣21．（12分）（2013•山东）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．时，．可得出﹣＜）上是减函数，在（），单调递增区间是（，，）上，导数小于在区间（，），单调递增区间是（，，），单调递增区间是（，）知，是函数的唯一极小值点故=1==0x=＜＜（22．（14分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．（Ⅰ）设椭圆的标准方程为的关系，再利用（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为，解得，∴椭圆的方程为．，另一方面，==，∴，，∴，，解得，或，∴综上可得：。

2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(山东卷带解析)答案解析docx

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2013年全国普通高等学校招生统一考试文科（山东卷）数学试题1、【答案】C【解析】【考点定位】本题考查复数的基本概念和运算，通过分母实数化思想来考查运算能力,要注意在运算中多次出现，符号确定容易出错.2、【答案】A【解析】,因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.3、【答案】D【解析】【考点定位】本题考查函数的奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想. 根据直接运算而若求在上的解析式再求便“多余”了.【答案】B【解析】由正视图可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为，高为，侧面上的斜高为，所以【考点定位】本题考查三视图的应用，考查空间想象能力和运算能力. 因求体积的影响，可能会把求侧面积误认为全面积而选C. 此外棱锥体积运算时不要漏乘5、【答案】A【解析】由题意得，所以【考点定位】本题考查函数的定义域的求法，考查数形结合思想和运算能力. 根据函数解析式确定函数的定义域，往往涉及到被开放数非负、分母不能为零，真数为正等多种特殊情形，然后通过交集运算确定.6、【答案】C【解析】两次运行结果如下：第一次第二次【考点定位】本题考查程序框图的运行途径，考查读图能力和运算能力. 本题不同于以往所见试题，两次运行程序输出结果.针对类似问题可根据框图中的关键“部位”进行数据罗列，从而确定正确的输出结果.【答案】B【解析】,所以，整理得求得或若，则三角形为等腰三角形，不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出后，要及时判断出，便于三角形的初步定型，也为排除提供了依据.如果选择支中同时给出了或，会增大出错率.8、【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件.【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，也渗透了转化思想的考查. 本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也可以依据题目条件构造一个满足“是的必要而不充分条件”的简单例子，进行转化比较，从而确定答案.9、【答案】D【解析】函数在时为负，排除A,由奇函数的性质可排除B，再比较C,D，不难发现在取接近于的正值时排除C.【考点定位】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等函数的重要性质，考查了函数图象的识别能力.本题可根据函数的性质对比图象进行逐一验证，若通过求导方法来研究该函数的图象和性质后再做准确判断，增加了运算负担.10、【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是，所以，【考点定位】本题考查茎叶图的识别、方差运算能统计知识，考查数据处理能力和运算能力. 确定被去掉的数据是解题的关键，本题给出的数据中最大，即便是处理方差运算时要对方差概念牢固掌握，避免与标准差混淆误选D.11、【答案】D【解析】画图可知被在点M处的切线平行的渐近线方程应为，设，则利用求导得又点共线，即点共线，所以，解得所以【考点定位】本题考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力.这一方程形式为导数法研究提供了方便，本题“切线”这一信号更加决定了“求导”是“必经之路”.根据三点共线的斜率性质构造方程，从而确定抛物线方程形式,此外还要体会这种设点的意义所在.12、【答案】C【解析】当且仅当时成立，因此所以【考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想. 基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值，本题通过得以实现.13、【答案】【解析】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所以最短弦长为【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.14、【答案】【解析】确定可行域为点形成的三角形，因此的最小值为点到直线的距离，所以【考点定位】本题考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力. 线性规划问题的重点是确定可行域，要根据已知条件逐一画出直线并代点验证从而确定区域位于直线的某一侧，类比集合的交集运算确定公共部分,再按照研究方向求得结果.15、【答案】【解析】,所以【考点定位】本题考查平面向量的加减坐标运算和数量积坐标运算，考查转化思想和运算能力. 本题通过进行运算极易想到，但求时往往出现坐标的“倒减”，虽然不影响运算的结果，被填空题型所掩盖，但在解答题中就会被发现.16、【答案】①③④【解析】对于①可分几种情形加以讨论，显然时，依运算，成立，时亦成立.若，则成立.综合①正确.对于②可取特殊值验证排除.对于③分别研究在内的不同取值，可以判断正确；对于④根据在内的不同取值，进行判断，显然中至少有一个小于结论成立，当均大于时，，所以满足运算，结论成立.【考点定位】本题通过新定义考查分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论思想，并对推理判断能力和创新意识进行了考查. “正对数”与“普通对数”的差异只在于内，因此在取值验证时要特别注意这一“差异”，对于“正对数”的四则运算法则才能作出正确判断.17、【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】（I）可得到满足条件的基本事件有种情形，目标事件只有种，所以选到的人都在以下的概率为(II)把研究学生的人数扩大到人，基本事件个数增加到，并且要通过身高和体重两方面的限制确定目标事件,因此选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率为【考点定位】本题考查古典概型的运算，通过对基本事件和目标事件的罗列考查数据处理能力和运算能力. 判断为古典概型后，根据题意罗列可能的结果组成的基本事件是关键.由于本题的两个问题研究的对象发生变化，在寻找基本事件和目标事件时要做到不重不漏.18、【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ，.【解析】因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又，所以（II）由（I）知，当时，，所以因此故在区间上的最大值和最小值分别为，.【考点定位】.本题考查三角函数的图象和性质，通过三角恒等变换考查转化思想和运算能力.第一问先逆用倍角公式化为的形式，再利用图象研究周期关系，从而确定第二问在限制条件下求值域，需要通过不等式的基本性质先求出的取值范围再进行求解.式子结构复杂，利用倍角公式简化时要避免符号出错导致式子结构不能形成这一标准形式，从而使运算陷入困境.19、【答案】见解析【解析】（I）取的中点，连接因为为的中点，所以，又,所以因此四边形是平行四边形.所以又平面，平面，因此平面.另解：连结.因为为的中点，所以又所以又，所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，所以平面.因为分别为的中点，所以又平面，所以平面.因为，所以平面平面.（II）证明因为分别为的中点，所以，又因为，所以同理可证.又,平面，平面，因此平面.又分别为的中点，所以.又，所以因此平面，又平面，所以平面平面.【考点定位】本题考查空间直线与平面，平面与平面间的位置关系，考查推理论证能力和空间想象能力.要证平面，可证明平面与所在的某个平面平行，不难发现平面平面.证明平面平面时，可选择一个平面内的一条直线（）与另一个平面垂直.线面关系与面面关系的判断离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系，中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材.20、【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(I) 设等差数列的首项为，公差为.由,得，解得因此(Ⅱ) 由可得当时，，当时，所以又，两式相减得所以【考点定位】本题考查等差数列的通项公式、错位相减求和方法，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力.根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，从而确该数列的通项公式，这一问相对简单，第二问通过递推关系得到数列的通项公式后再按照错位相减方法转化为等比数列的求和运算进行解决.本题第二问的条件因其结构复杂在使用上形成障碍，如果表示为数列的前项和的形式，则不难想到利用这一熟悉结构来处理.21、【答案】(Ⅰ) 单调递减区间是，单调递增区间是(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由得（1）当时，(i)若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是.(ii)若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以的单调递减区间是，单调递增区间是（2）当时，令得，由得显然当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.(Ⅱ)由题意知函数在处取得最小值，由（I）知是的唯一极小值点，故，整理得，令则由得当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此故，即即【考点定位】本题考查导数法研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.函数的单调区间判断必然通过导数方法来解决，伴随而来的是关于的分类讨论.比较与的大小时要根据已知条件和第一问的知识储备，构造新的函数利用单调性直接运算函数值得到结论.本题具备导数研究函数单调性的特征，必然按照程序化运行，即求导、关于参数分类讨论、确定单调区间等步骤进行.而第二问则是在第一问的基础上进一步挖掘解题素材，如隐含条件的发现、新函数的构造等，都为解决问题提供了有力支持.22、【答案】(I) (Ⅱ) 或【解析】(I)设椭圆的方程为,由题意知，解得因此椭圆的方程为(II)（1）当两点关于轴对称时，设直线的方程为，由题意知或，将代入椭圆方程得.所以解得或.又，因为为椭圆上一点，所以，或又因为所以或（2）当两点关于轴不对称时，设直线的方程为，将其代入椭圆方程得.设，由判别式可得，此时所以，因为点到直线的距离为，所以令，则解得或，即或.又，因为为椭圆上一点，所以，即，所以或又因为所以或经检验，适合题意.综上可知或【考点定位】本题基于椭圆问题综合考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.第一问通过椭圆的性质确定其方程，第二问根据两点关于轴的对称关系进行分类讨论，分别设出直线的方程，通过联立、判断、消元等一系列运算“动作”达成目标.本题极易简单考虑设直线的形式而忽略斜率不存在的情况造成漏解.在联立方程得到后，后续运算会多次出现这一式子，换元简化运算不失为一种好方法，令，搭建了与的桥梁，使坐标的代入运算更为顺畅，使“化繁为简”这一常用原则得以完美呈现。

数学_2013年山东省济南市高考数学三模试卷(文科)_(含答案)

数学_2013年山东省济南市高考数学三模试卷(文科)_(含答案)

2013年山东省济南市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数z=1+i3−4i 的共轭复数z¯对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 已知全集U=R，集合A={x||x|≤1, x∈Z}，B={x|x2−2x=0}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A {−1}B {2}C {1, 2}D {0, 2}3. 函数f(x)=x−lg1x−2的零点所在区间为（）A (0, 1)B (1, 2)C (2, 3)D (3, 4)4. 若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=4:5:7，则△ABC()A 一定是锐角三角形B 一定是直角三角形C 一定是钝角三角形D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 4B 4+π2 C 8+π D 2+π46. 在边长为a的正方形内随机取一个点，则此点落在该正方形的内切圆内部的概率为（）A π4 B π6C 2πD 3π7. 函数f(x)=x3−3e x的图象大致是（）A B C D8. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，⋯，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495住在第II营区，从496到600在第III营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A 26，16，8B 25，17，8C 25，16，9D 24，17，99. 命题p:∃α∈R，cos(π+α)=cosα；命题q:∀m>0，m+1m≥2．则下面结论正确的是（ ）A p 是假命题B ￢q 是真命题C p ∧q 是假命题D p ∨q 是真命题10. 若A 为不等式组{x ≤0y ≥0y −x ≤2表示的平面区域，则当实数a 从−2连续变化到0时，动直线x +y =a 扫过A 中部分的区域面积为（ ）A 34B 12C 2D 1 11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的离心率为( )A 2B 2√2C √5+12D √6 12. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90∘，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若CO →=xOA →+yOB →，其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是( )A 1B √2C √3D 2二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=60，则S 15的值为________．14. 若直线3x +y +a =0过圆x 2+y 2+2x −4y =0的圆心，则a 的值为________．15. 如图所示程序框图若输入x 的值为2011，则输出s 的结果为________．16. 给出定义：若x ∈(m −12, m +12]（其中m 为整数），则m 叫做与实数x“亲密的整数”，记作{x}=m ，在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x −{x}|的四个命题：①函数y =f(x)在x ∈(0, 1)上是增函数；②函数y=f(x)的图象关于直线x=k2(k∈Z)对称；③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1；④当x∈(0, 2]时，函数g(x)=f(x)−lnx有两个零点．其中正确命题的序号是________．三、计算题：本大题共6小题，共74分.17. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示．（1）求f(x)的解析式；（2）求g(x)=f(x)+sin2x的单调递增区间．18. 今年10月在济南举办第十届中国艺术节，届时有很多国际友人参加活动．现有8名“十艺节”志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓英语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求A1被选中的概率；（2）求B1和C1不全被选中的概率．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2AB=2BC．BC // AD，AB⊥AD．（1）若点E为PD的中点，求证：CE // 平面PAB；（2）在平面PAC内，AF⊥PC．求证：AF⊥平面PCD．20. 某高校有奖励基金本金1000万元，此基金每年购买银行的两种风险和收益不同的理财产品A和B，把每年产生的收益用来奖励品学兼优的大学生，本金继续购买这两种理财产品．第一年购买理财产品A和B各500万元，为了规避风险以后规定：上一年购买产品A的本金，下一年会有20%购买产品B，而上一年购买产品B的本金，下一年会有30%购买产品A．用a n，b n(n∈N∗)分别表示在第n年购买理财产品A和B的本金数（单位：万元）．（1）分别求出a2，b2，a3；（2）①证明数列{a n−600}是等比数列，并求a n；②求数列{b n}的前n项和T n．21. 已知函数f(x)=axlnx+b(a, b∈R)的图象过点(1, 0)，且在此点处的切线斜率为1．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若g(x)=12x2−mx+32，存在x0∈(0, +∞)使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数m的取值范围．22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60∘的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2，斜率为k(k≠0)的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k⋅k′为定值．2013年山东省济南市高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. B3. B4. C5. B6. A7. C8. B9. D10. D11. A12. B13. 18014. 115. 1216. ②③④17. 解：（1）由图知，A=1，T=π，故2πω=π，解得ω=2；又因为函数f(x)过(π12, 1)，代入得sin(π12×2+φ)=1，∴ π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)．又因为0<φ<π，∴ φ=π3，∴ f(x)=sin(2x+π3)；（2）∵ g(x)=f(x)+sin2x=sin(2x+π3)+sin2x=12sin2x+√32cos2x+sin2x=32sin2x +√32cos2x =√3(√32sin2x +12cos2x) =√3sin(2x +π6)，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ．∴ g(x)的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z)．18. 解：（1）从8人中选出英语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1，B 1，C 1)，(A 1, B 1, C 2)，(A 1, B 2, C 1)， (A 1, B 2, C 2)，(A 1, B 3, C 1)，(A 1, B 3, C 2)，(A 2, B 1, C 1)，(A 2, B 1, C 2)，(A 2, B 2, C 1)，(A 2, B 2, C 2)，(A 2, B 3, C 1)，(A 2, B 3, C 2)，(A 3, B 1, C 1)，(A 3, B 1, C 2)，(A 3, B 2, C 1)，(A 3, B 2, C 2)，(A 3, B 3, C 1)，(A 3, B 3, C 2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ={(A 1，B 1，C 1)，(A 1, B 1, C 2)，(A 1, B 2, C 1)， (A 1, B 2, C 2)，(A 1, B 3, C 1)，(A 1, B 3, C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而P(M)=618=13． （2）用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N ¯表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ¯={(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 1, C 1), (A 3, B 1, C 1)}，事件有3个基本事件组成，所以P(N ¯)=318=16，由对立事件的概率公式得P(N)=1−P(N ¯)=1−16=56 19.证明：（1）取PA 的中点为G ，连接BG 、EG ，则EG // 12AD ，EG =12AD ，------------又BC // AD ，BC =12AD ，所以EG // BC ，EG =BC ，四边形BGEC 为平行四边形．-------------所以EC // BG ．----------------------------------------又EC ⊄平面PAB ，BG ⊂平面PAB ，故EC // 平面PAB．----------------------------------------（2）因为AB⊥AD，BC // AD，AB=BC，AD=2BC，易证得CD⊥AC．-----------------------因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．----而AF⊂平面PAC，所以CD⊥AF．又已知AF⊥PC又因为CD∩PC=C，所以AF⊥平面PCD．20. （1）解：由已知a n+b n=1000，又a1=500，b1=500，∴ a2=0.8a1+0.3b1=550，∴ b2=450，∴ a3=0.8a2+0.3b2=440+135=575．（2）①证明：由题意得a n+1=0.8a n+0.3b n，∴ a n+1=0.8a n+0.3(1000−a n)=0.5a n+300，∴ a n+1−600=12(a n−600)，∴ 数列{a n−600}是首项为−100，公比为12的等比数列，∴ a n−600=−100×(12)n−1，∴ a n=600−100×(12)n−1．②解：由①知，a n+b n=1000，∴ b n=400+100×(12)n−1，∴ T n=400n+100[1−(12)n]1−12=400n+200−200×12n．21.解：(1)由已知可得f(1)=0，f′(1)=1，得b=0，a=1．f(x)=xlnx，f′(x)=1+lnx(x>0)，由f′(x)<0得，0<x<1e，所以函数f(x)的单调递减区间为(0, 1e)．(2)存在x0∈(0, +∞)使得f(x0)≥g(x0)成立，即f(x)≥g(x)在(0, +∞)上解集不空．即存在x使得m≥12x+32x−lnx成立，即m≥(12x+32x−lnx)min，设ℎ(x)=12x+32x−lnx(x>0)，ℎ′(x)=12−32x2−1x=(x+1)(x−3)2x2，当0<x <3时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 当x >3时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 所以当x =3时，ℎ(x)取到最小值， 即ℎmin (x)=ℎ(3)=2−ln3，所以实数m 的取值范围m ≥2−ln3．22. 解：（1）由题意可得a =2，b =√3，c =1． ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）设过点F 2(1, 0)的直线l 的方程为：y =k(x −1)．设点E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，化为(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0． 显然△>0，∴ x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2(∗)． 直线AE 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，直线AF 的方程为y =y 2x 2−2(x −2)， 令x =3，得点M(3,y 1x 1−2)，N(3,y 2x 2−2)．∴ 点P(3,12(y 1x 1−2+y 2x 2−2))．直线PF 2的斜率为k′=12(y 1x 1−2+y 2x 2−2)−03−1 =14(y 1x 1−2+y 2x 2−2) =14y 2x 1+x 2y 1−2(y 1+y 2)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=142kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4kx 1x 2−2(x 1+x 2)+4． 把(∗)代入得k ′=14⋅2k⋅4k 2−123+4k 2−3k⋅8k 23+4k 2+4k 4k 2−123+4k 2−2⋅8k 23+4k 2+4=−34k ． ∴ k ⋅k ′=−34为定值．。

2013届济南三模数学文科试题

2013届济南三模数学文科试题

（第5题图）高三针对训练 理 科 数 学一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数134iz i+=-的共轭复数z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合{}1,0,1-=A , {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为A.{}1-B.{}2C.{}2,1D. {}2,03．函数21lg)(--=xx x f 的零点所在区间为 A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4） 4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 4:5:7A B C =，则△ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．4 B ．24π+C ．8π+D ．24π+6．在边长为a 的正方形内随机取一个点，则此点落在该正方形的内切圆内部 的概率为 A ．4πB ．6πC ．π2D ．π37．函数()33xx f x e-=的图象大致是 A. B. C. D. 8．将参加公务员上岗前培训的600名学员编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学员分住在三个校区，从001到300在第Ⅰ校区，从301到495住在第Ⅱ校区，从496到600在第III 校区，三个校区被抽中的人数依次为 A ．26，16，8 B ．25，17，8 C ．25，16，9 D ．24，17，9 9．命题:p ∃,α∈R ααπcos )cos(=+ ；命题:q 0,m ∀> 21≥+mm . 则下面结论正确的是 A. p 是假命题 B.q ⌝是真命题 C. p ∧q 是假命题 D. p ∨q 是真命题（第2题图）10．若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当实数a 从－2连续变化到0时，动直线x y a +=扫过A 中部分的区域面积为A.34 B.12C. 2D. 1 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为A ．2 B． CD12．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为60. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则2x y +的最大值是A ．2 BCD ．1 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．等差数列}{n a 中,若468101260a a a a a ++++=, 则15S 的值为 . 14．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心, 则a 的值为 . 15．如图所示程序框图若输入x 的值为2013，则输出s 的结果为 . 16．给出定义:若11(,]22x m m ∈-+ (其中m 为整数),则m 叫做与实数x “亲密的整数”, 记作{}x m =,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题:①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数;②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称;③函数()y f x =是周期函数,最小正周期为1;④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点. 其中正确命题的序号是____________. 三、解答题:(本大题共6小题，共74分)17．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示. （1）求()f x 的解析式；（2）求()()sin 2g x f x x =+的单调递增区间.18.今年10月在济南举办第十届中国艺术节，届时有很多国际友人参加活动. 现有8名“十艺节”志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓英语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语. 从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.(1)求1A 被选中的概率； (2)求1B 和1C 不全被选中的概率.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面A B C D ，且P A A C ⊥，22PA AD AB BC ===.//BC AD ，AB AD ⊥．（1）若点E 为PD 的中点，求证://CE 平面PAB .（2）在平面PAC 内，PC AF ⊥. 求证：⊥AF 平面PCD20某高校有奖励基金本金1000万元，此基金每年购买银行的两种风险和收益不同的理财产品A 和B ，把每年产生的收益用来奖励品学兼优的大学生，本金继续购买这两种理财产品．第一年购买理财产品A 和B 各500万元，为了规避风险以后规定：上一年购买产品A 的本金，下一年会有20%购买产品B ，而上一年购买产品B 的本金，下一年会有30%购买产品A ．用n a ,n b ()n N *∈分别表示在第n 年购买理财产品A 和B 的本金数(单位：万元)．(1)分别求出223,,a b a ；(2)①证明数列{}600-n a 是等比数列，并求n a ； ②求数列{n b }的前n 项和n T ．21. 已知函数()()ln ,R f x ax x b a b =+∈的图象过点)0,1(，且在此点处的切线斜率为1. （1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()21322g x x mx =-+，()00,x ∃∈+∞使得()()00f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围. 22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12,F F 和上下两个顶点12,B B 是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为60的菱形的四个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，BDC AFPE(第19题图)AF 分别交直线3x = 于点M ,N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '.求证:k k '⋅为定值.文科数学参考答案及评分标准一、选择题1.C2.B3.B4.C5.B6.A7.C8.B9.D 10.D 11.A 12. A 二、填空题13.180 14.1 15. 1816. ②③④三、解答题17. 解：(1)由图知，A ＝1，T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2. ----------------------------------------3分又因为函数f (x )过⎝⎛⎭⎫π12，1代入得 sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1， 所以π6＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z ).又因为0<φ<π，所以φ＝π3. ----------------------------------------5分所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ----------------------------------------6分 (2) g (x )＝f (x )＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋sin2x ＝32sin2x ＋32cos2x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.--------------------------------9分 由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ， --------------------------------10分解得kπ－π3≤x ≤kπ＋π6，k ∈Z .所以g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π3，kπ＋π6(k ∈Z ). --------------------12分 18. 解：(1)从8人中选出英语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)} ，共18个基本事件. 由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的. ----------------------------------------4分用M 表示事件“A 1恰被选中”，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)} ，共有6个基本事件.因此P(M)＝618＝13. ----------------------------------------6分(2)用N 表示事件“B 1，C 1不全被选中”，则其对立事件N 表示事件“B 1，C 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 包含3个基本事件， 9分所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N )＝1－16＝56. ----------------12分19. 证明：(1)取P A 的中点为G ，连接BG 、EG ，则1//2EG AD =， ------------1分 又1//2BC AD =，所以//EG BC =，四边形BGEC 为平行四边形. -------------2分所以EC //BG . ----------------------------------------3分 又EC ⊄平面P AB ， BG ⊂平面P AB ，故EC //平面P AB . ----------------------------------------5分 (2)因为AB ⊥AD ，BC //AD ，AB ＝BC ，AD ＝2BC ，易证得CD⊥AC . -----------------------8分因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 因为P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC . ----10分 而AF ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AF .又已知AF ⊥PC 又因为CD ∩PC ＝C ，所以AF ⊥平面PCD . 12分 20. 解：(1)由已知a n ＋b n ＝1 000，又a 1＝500，b 1＝500， ∴a 2＝0.8a 1＋0.3b 1＝550， --------------2分 ∴b 2＝450，∴a 3＝0.8a 2＋0.3b 2＝440＋135＝575. -----------------------------------4分 (2)①由题意得a n ＋1＝0.8a n ＋0.3b n ，∴a n ＋1＝0.8a n ＋0.3(1000－a n )＝0.5a n ＋300， ------------------------------5分∴a n ＋1－600＝12(a n －600)， ----------------------------------------6分∴数列{a n －600}是首项为－100，公比为12的等比数列， --------------------7分∴a n －600＝－100×⎝⎛⎭⎫12n －1，得a n ＝600－100×⎝⎛⎭⎫12n －1. ----------------------8分 ②由①知，a n ＋b n ＝1 000 所以b n ＝400＋100×1)21(-n ----------------------------------------10分前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝400n ＋100⎣⎡⎦⎤1＋12＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＝400n ＋100⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝400n ＋200－200×12n .∴T n ＝400n ＋200－3225-n . -----------12 分21.解：(1)∵f ′(x )＝a ln x ＋a ， ∴f ′(1)＝a ln1＋a ＝a ＝1. ----------------------2分 ∵f (1)＝0， ∴b ＝0， ∴f (x )＝x ln x . -----------------------------------4分由f ′(x )＝ln x ＋1<0，得0<x <1e.∴f (x )的单调递减区间是(0，1e). ----------------------------------------6分(2)∵x ln x ≥12x 2－mx ＋32(x >0)，∴m ≥12x －ln x ＋32x . -------------------------7分设h (x )＝12x －ln x ＋32x(x >0)，则h ′(x )＝12－1x －32x 2＝x 2－2x －32x 2＝()x －3()x ＋12x 2. ------------------------9分∵当x ∈()0，3时，h ′()x <0，函数h ()x 单调递减；当x ∈()3，＋∞时，h ′()x >0，函数h ()x 单调递增. -------------------------11分 ∴h min ()x ＝h ()3＝2－ln3， ----------------------------------------12分 ∴m ≥2－ln3. ----------------------------------------13分 22.解：(1)由条件知a ＝2，b ＝3， --------------------------------------2分故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ----------------------------------------4分(2)设过点P (1,0)的直线l 方程为：y ＝k(x －1)，设点E (x 1，y 1)，点F (x 2，y 2)， 5分 将直线l 方程y ＝k(x －1)代入椭圆C ： x 24＋y 23＝1，整理得：(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ----------------------------------------6分 因为点P 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，Δ>0恒成立，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3， x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.---------------------------------------7分直线AE 的方程为：y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AF 的方程为：y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，得点M (3，y 1x 1－2)，N(3，y 2x 2－2)，所以点P 的坐标(3，12(y 1x 1－2＋y 2x 2－2)).----9分直线PF 2的斜率为k /＝12(y 1x 1－2＋y 2x 2－2)－03－1＝14(y 1x 1－2＋y 2x 2－2)＝14·y 2x 1＋x 2y 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4. ------------------ 11分 将x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3， x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3代入上式得：k /＝14·2·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k 4k 2－124k 2＋3－2·8k24k 2＋3＝－34k . 所以k ·k ′为定值－34. -----------------------------13分。

2013山东高考济南二模文科数学(含答案)

2013山东高考济南二模文科数学(含答案)

绝密★启用并使用完毕前高三巩固性训练文 科 数 学本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：1.锥体的体积公式： Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高; 2. 统计中2χ的公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，其中21111n n n +=+，22122n n n +=+，12111n n n +=+，22212n n n +=+，22122111n n n n n +++=.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 复数=-+2013)11(ii A. 1- B. 1 C. i - D. i2. 设集合{}1|(),|12x M y y N y y ⎧⎫===≥⎨⎬⎩⎭，则集合M ，N 的关系为A.M N =B.M N ⊆C.N M ≠⊂ D.N M ≠⊃3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.84. 已知圆04222=-+-+my x y x 上两点M 、N 关于直线2x +y =0对称，则圆的半径为A ．9B ．3 C．23 D ．25. 一空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为第3题图6. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数z =x +2y 的最大值为A.1B.4C.5D.6 7. 在等比数列{}n a 中，531=+a a ，1042=+a a ，则=7aA ．64B ．32C ．16D ．128 8. 为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关下面的临界值表供参考：A. 95% 99.9%9. 函数)22sin(2x y -=π是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数10. 设,m n 是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件 11. 函数sin x xy e-=的图象大致为A. B. C. D.12. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤<-=0,1)1(01,)(3x x f x x x f ，若函数x x f x g -=)()(的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A ．2)1(-=n n a n B ．)1(-=n n a n C ．1-=n a n D ．22-=n n a 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 若向量)3,2(-=a ，),4(m b =， //a b ，则实数=m .14. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦点F 到一条渐近线的距离为||23OF ，点O 为坐标原点，则此双曲线的离心率为 .15. 在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，21=∆ABC S ，则=BC .16. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+ 3235=+ 23135=++ 337911=++241357=+++ 3413151719=+++2513579=++++ 292725232153++++=根据上述分解规律，若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)设函数()sin()sin()33f x x x x ππωωω=++- (其中ω＞0)，且函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. （1）求ω的值；（2）将函数)(x f y =的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在区间[0,]2π的最大值和最小值.18. (本小题满分12分)为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”， “十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. (本小题满分12分)如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11AA C C 是菱形，160A AC ∠= ，E 、F 分别是11AC 、AB 的中点． 求证：（1）EC ABC ⊥平面；（2）求三棱锥1A EFC -的体积.20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设1(1)1(1)22n nn n n c a b --+-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 21．(本小题满分13分) 已知函数31()(2)3f x ax a x c =+-+的图象如右图所示． （1）求函数)(x f y =的解析式； （2）若()()2l n k f x g x x x'=-在其定义域内为增函数，求实数k 的取值范围．22. (本小题满分13分)已知点F 1)0,3(-和F 2)0,3(是椭圆M :)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，且椭圆M经过点)21,3(.（1）求椭圆M 的方程；（2）过点P (0,2)的直线l 和椭圆M 交于A 、B 两点，且53=,求直线l 的方程； （3）过点P (0,2)的直线和椭圆M 交于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点C ，求证：直线CB 必过y 轴上的定点，并求出此定点坐标.12013年4月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.A8. C9.B 10. A 11.B 12.C 13. 6- 14.2 15. 1或5 16.917.解：（1）()sin f x x x ωω==2sin()3x πω+. ………………………………3分∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π， ∴2T ππω==. ………………………………5分∴2ω=. ………………………………6分 （2）由（1）得()f x =2sin(2)3x π+，∴()g x =2sin()3x π+. ………………………………8分 由x ∈[0,]2π可得5336x πππ≤+≤， ……………………………10分 ∴当=32x ππ+，即x =6π时，()g x 取得最大值()2sin 262g ππ==;当5=36x ππ+，即x =2π时，()g x 取得最小值5()2sin126g ππ==. …………12分 18. 解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为5100.5=， 再结合频率分布直方图可知1001001.010=⨯=n . ………………………………2分 ∴a =100×0.020×10×0.9=18， ………………………………4分270.91000.0310x ==⨯⨯, ………………………………6分（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：618254⨯=人，第3组：627354⨯=人，第4组：69154⨯=人． ………………………………8分 设第2组的2人为1A 、2A ，第3组的3人为1B 、2B 、B 3，第4组的1人为C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()1,B C ，()23,B B ，()2,B C ，()3,B C ，共15个基本事件， ………………………………10分 其中第2组至少有1人被抽中的有()12,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()13,A B ，()1,AC ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C 这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为93155=. ………………………………12分 19. 证明：（1） 在平面11AA C C 内，作1AO AC ⊥，O 为垂足． 因为0160A AC ∠=，所以11122AO AA AC ==，即O 为AC 的中点，所以1OC A E ∥.……3分因而1EC AO ∥．因为侧面11AA C C ⊥底面ABC ，交线为AC ，1AO AC ⊥，所以1AO ⊥底面ABC ． 所以EC ⊥底面ABC . ……6分（2）F 到平面1A EC 的距离等于B 点到平面1A EC 距离BO 的一半，而BO ……8分所以111111111113232324A EFC F A EC A EC V V S BO A E EC --=====V g g g g g . ……12分20.解：（1）当1=n ，21=a ； …………………………1分当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴ 12n n a a -=. ……………2分 ∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2n n a =. ………3分 由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴ 21n b n =-. ………………………………6分（2）2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分2122223n n n +-=--． ……………………………12分21.解：（1）∵()22f x ax a '=+-， …………………………………………2分由图可知函数)(x f 的图象过点()0,3，且()10f '=. 得3220c a =⎧⎨-=⎩ , 即31c a =⎧⎨=⎩. ………………………………………………4分∴31()33f x x x =-+. ………………………………………………5分（2）∵()()2ln 2ln kf x kg x x kx x x x'=-=--, ………………………………6分 ∴ ()22222k kx k xg x k x x x+-'=+-=. …………………………………………8分 ∵ 函数()y g x =的定义域为),0(+∞, …………………………………………9分 ∴若函数()y g x =在其定义域内为单调增函数，则函数()0g x '≥在),0(+∞上恒成立，即220kx k x +-≥在区间),0(+∞上恒成立. ……………………………10分 即122+≥x xk 在区间),0(+∞上恒成立. 令22()1xh x x =+，),0(+∞∈x ， 则222()111x h x x x x==≤++（当且仅当1=x 时取等号）. …………………12分 ∴ 1≥k . …………………………………………………………………………13分22.解：（1）由条件得：c =3，设椭圆的方程132222=-+a y a x ，将)21,3(代入得 1)3(41322=-+a a ，解得42=a ，所以椭圆方程为1422=+y x . --------4分 （2）斜率不存在时，31=不适合条件；----------------------5分 设直线l 的方程2+=kx y ，点B (x 1,y 1), 点A (x 2,y 2), 代入椭圆M 的方程并整理得：01216)41(22=+++kx x k .0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得432>k . 且1412,1416221221+=+-=+k x x k k x x . -------------------7分因为53=,即)2,(53)2,(2211-=-y x y x ，所以2153x x =.代入上式得1420,141022222+=+-=k x k k x ，解得1±=k ， 所以所求直线l 的方程：2+±=x y . --------------------9分（3）设过点P (0,2)的直线AB 方程为：2+=kx y ，点B (x 1,y 1), 点 A (x 2,y 2), C (-x 2,y 2).将直线AB 方程代入椭圆M : 1422=+y x ，并整理得： 01216)41(22=+++kx x k ，0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得432>k . 且1412,1416221221+=+-=+k x x k kx x .设直线CB 的方程为：)(212122x x x x y y y y +---=-，令x =0得：2221212121122112222++=++=+--=x x x kx x x y x y x x x y x x y y y .----------11分将1412,1416221221+=+-=+k x x k kx x 代入上式得： 21223214161412222=+-=++-+=k k k ky . 所以直线CB 必过y 轴上的定点，且此定点坐标为)21,0(. ---------12分 当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (文科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (文科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学参考公式：如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 一．选择题:本题共12个小题，每题5分，共60分。

1．复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||zA ．25 B.41 C ．5 D. 5 答案 C解析 z ＝3－4ii＝－4－3i ，所以|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5.2．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B 等于( ) A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．∅ 答案 A解析 ∵4∈∁U (A ∪B )，∴4∉A ∪B ，又∁U B ＝{3,4}， ∴A ∩∁U B ＝{3}．3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－2 答案 D解析 f (－1)＝－f (1)＝－2.4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8答案 B解析 该四棱锥的直观图如图，所以侧面积为：4×12×2×5＝45，体积为：V ＝13×2×2×2＝83.5．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] 答案 A解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0解得－3<x ≤0.6．执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( ) A ．0.2,0.2 B ．0.2,0.8 C ．0.8,0.2 D ．0.8,0.8答案 C解析 第一次a ＝－1.2时，输出a ＝0.8. 第二次a ＝1.2时，输出a ＝0.2.7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1 答案 B解析 由正弦定理得：1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A.所以cos A ＝32，A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，所以c ＝2.8．给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为﹁p 是q 的必要而不充分条件，所以﹁q 是p 的必要而不充分条件，即p 是﹁q 的充分而不必要条件，选A.9．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 因为函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，所以排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.10．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677 答案 B解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以S 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.11．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433 答案 D解析 抛物线C 1：y ＝12p x 2的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2.双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .又y ′＝1p x ，所以1p x ＝33，解得x ＝33p ，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由点F 、F ′、M 三点共线可求p ＝433.12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2＋z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94答案 C解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2， 则z xy ＝x 2－3xy ＋y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.第Ⅱ卷二、填空题13．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案 2 2解析 由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此时，点(3,1)为弦的中点，如图所示．∴AB ＝2BE ＝2BC 2－CE 2＝24－2＝2 2.14．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．答案 2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为：22＝ 2.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________． 答案 5解析 因为∠ABO ＝90°，即AB →⊥OB →，所以AB →·OB →＝(OB →－OA →)·OB →＝(3,2－t )·(2,2)＝6＋4－2t ＝0，解得：t ＝5.16．定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①③④解析 ①0<a b <1时(0<a <1)，ln ＋(a b )＝0＝b ln ＋a ；a b >1时(a >1)，ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；正确．②设a ＝15，b ＝3，则0＝0＋ln 3不成立，不正确；③(a >b )ln ab ⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥ln a (0<b <1≤a )，≥0(0<a ，b <1)(a <b )0⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥－ln b (0<a <1≤b )，≥0(0<a ，b <1).④(1)a ＋b >1，a ，b >1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln b ＋ln 2＝ln 2ab 成立； (2)a ＋b >1，a >1,0<b <1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln 2＝ln 2a 成立； (3)a ＋b >1,0<a ，b <1：ln(a ＋b )≤ln 2成立； (4)0<a ＋b <1,0<a ，b <1：0≤ln 2成立．三、解答题17．某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标 (单位：千克/米2)(1)(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从小组6名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个．则P (N )＝310.18．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近 的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.19．如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CF ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD .方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)∵E 、F 分别为PB 、AB 的中点，∴EF ∥P A .又∵AB ⊥P A ，∴EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又∵EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ， FG ⊂平面EFG . ∴AB ⊥平面EFG .又∵M ，N 分别为PD ，PC 的中点， ∴MN ∥CD ，又AB ∥CD ， ∴MN ∥AB ，∴MN ⊥平面EFG .又∵MN ⊂平面EMN ，∴平面EFG ⊥平面EMN .20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d 由⎩⎪⎨⎪⎧s 4＝4s 2，a 2n ＝2a n ＋1得a 1＝1，d ＝2 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *①当n ≥2时，b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n －1a n －1＝1－12n －1②①－②得：b n a n ＝12n ，又当n ＝1时，b 1a 1＝12也符合上式，所以b n a n ＝12n (n ∈N *)．所以b n ＝2n －12n (n ∈N *)．所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12＋322＋523＋…＋2n －12n . 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1. 两式相减得：12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以T n ＝3－2n ＋32n .21．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a >0，且对任意x >0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小．解 (1)f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x.当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x.①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立，所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，当x >1b时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，由f ′(x )＝0得2ax 2＋bx －1＝0.解得x 1＝－b －b 2＋8a 4a ，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a，此时x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，当x >x 2时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述：当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.(2)由题意知：函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由(1)知，－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的惟一极小值点，故－b ＋b 2＋8a4a＝1，整理得b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4x x ，令g ′(x )>0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；所以g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4<0. 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP →＝tOE →，求实数t 的值．解 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意－2<m <0或0<m < 2.将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝2－m 22，所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64.解得m 2＝32或m 2＝12.(ⅰ)又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)，又点P 在椭圆上，所以(mt )22＝1.(ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)得t 2＝4或t 2＝43.又因为t >0，所以t ＝2或t ＝233.②当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4knx ＋2n 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝4k 2n 2－4(1＋2k 2)(2n 2－2)>0得1＋2k 2>n 2.此时x 1＋x 2＝－4kn1＋2k 2，x 1x 2＝2n 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2n ＝2n1＋2k 2.所以|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝221＋k 21＋2k 2－n 21＋2k 2.又点O 到直线AB 的距离d ＝|n |1＋k 2.所以S △AOB ＝12|AB |d＝12×221＋k 21＋2k 2－n 21＋2k 2|n |1＋k 2. ＝2·1＋2k 2－n 21＋2k 2·|n |＝64.令r ＝1＋2k 2代入上式得：3r 2－16n 2r ＋16n 4＝0.解得r ＝4n 2或r ＝43n 2，即1＋2k 2＝4n 2或1＋2k 2＝43n 2.又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎫－2knt 1＋2k 2，nt 1＋2k 2.又点P 为椭圆C 上一点，所以t 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫－2kn 1＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫n 1＋2k 22＝1，即n 21＋2k 2t 2＝1. 由⎩⎨⎧1＋2k 2＝4n 2或1＋2k 2＝43n 2，n21＋2k 2t 2＝1得t 2＝4或t 2＝43.又t >0，故t ＝2或t ＝233.经检验，适合题意．综合①②得t ＝2或t ＝233.。

2013年高考数学模拟(文科)试题及答案

2013年高考数学模拟(文科)试题及答案

文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集R U =，集合}03|{},0)1)(2(|{<≤-=>-+=x x B x x x A ，则)(B C A U 为 (A) }02|{≥-<x x x 或 (B) }12|{>-<x x x 或(C)}03|{≥-<x x x 或 (D) }13|{>-<x x x 或 2. 已知R a ∈，且ii a -+-1为实数，则a 等于(A) 1 (B) 1- (C)2 (D)2-3.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(A)(B)(C)(D) 834. 命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是(A)若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 (B)若11<<-x ，则12<x (C)若11-<>x x ，或，则12>x (D)若11-≤≥x x ，或，则12≥x5.当x y 、满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 6. 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为(A)π23 (B)π32 (C)6π(D)34π7.对变量,x y 有观测数据(,)(1,2,,10)i i x y i = ，得散点图1；对变量,u v 有观测数据(,)(1,2,,10)i i u v i = ，得散点图2. 由这两个散点图可以判断.（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关俯视图8. 如图，是一个计算1922221++++ 的程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 下列四个选项中的(A)i 19≥ (B) i 20≥ (C)i 19≤ (D)i 20≤9. 已知函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 是R 上的偶函数，则ϕ的值为(A)6π(B)3π(C)32π (D)65π10.已知ABC ∆的三边长为c b a 、、，满足直线0=++c by ax 与圆122=+y x 相离，则ABC ∆是 (A )锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 以上情况都有可能 11. 已知集合}),()(|)({R x x f x f x f M ∈=-=，}),()(|)({R x x f x f x f N ∈-=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f P ∈+=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f Q ∈+-=-=，若R x x x f ∈-=,)1()(3，则(A)M x f ∈)( (B) N x f ∈)( (C)P x f ∈)( (D)Q x f ∈)(12. 王先生购买了一步手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.(A) 300秒 (B) 400秒 (C) 500秒 (D) 600秒 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 设向量(12)(23)a b == ，，，，若向量a b λ+ 与向量(47)c =--，共线，则=λ ．14．ΔABC 中，3=a ，2=b ，45=∠B ，则A ∠= .15.考察下列三个命题，是否需要在“ ”处添加一个条件，才能构成真命题（其中m l ,为直线，βα,为平面）？如需要，请填这个条件，如不需要，请把“ ”划掉. ① αα//_____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂ ② αα//_____////l m ml ⇒⎪⎭⎪⎬⎫③ αβαβ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥l l _____// 16. 若从点O 所做的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2，与点N 1，N 2，则面积之比 11221122OM N OM N S O M O N S O M O N ∆∆⋅=⋅.若从点O 所做的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ ，OR 上分别有点P 1，P 2，Q 1，Q 2，R 1，R 2，则能推导出的结论是 . 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）已知函数.cos2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围．18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8, AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率.20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线. （Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21BF MB AF MA λλ==求21λλ+的值．22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n nn ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．附：答案及评分标准：一．选择题：AACDD CCBAC DB1. 解析：A.{|12}A x x x =><-或;{|03}U C B x x x =≥<-或，得{|02}U A C B x x x =≥<- 或.2. 解析：A.2()(1)111122a i a i i a a i ii-+-++---==+--，∴1a =.3. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为222=，其体积12233V =⨯⨯⨯=.4. 解析：D.“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，易知应选D.5. 解析：D.如图，易求点B 的坐标为（2，3），所以当2,3x y ==时t 取最大值5.6. 解析：C. 最大球为正方体的内切球，则内切球的半径为12，341()326V ππ=⋅=.7. 解析：C.由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C.8. 解析：B.当1922221++++ 时，19=i ，而1i i =+，此时20i =，输出S 为1922221++++ .9. 解析：A .)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f =12(sin(2)))22x x φφ+++=2sin(2)3x πφ++；∵()f x 为偶函数，∴()32k k Z ππφπ+=+∈，又∵0φπ<<，∴6πφ=.10. 解析：C. 根据题意，圆心（0，0）到直线0=++c by ax 的距离1d =>，∴222c a b >+，故选C.11. 解析：D. ()f x M ∈，则函数()f x 关于y 轴对称；()f x N ∈，则函数()f x 关于原点对称；()f x P ∈，则函数()f x 关于直线1x =对称；()f x Q ∈，则函数()f x 关于(1,0)中心对称；3()(1),f x x x R =-∈关于（1，0）中心对称，故选D.12. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥.二．填空题：13.2；14.3π或32π；15. α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）；16. 体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.13. 解析：2.a b λ+ =（322++λλ，），a b λ+ 与向量(47)c =-- ，共线，则0)4()32()7()2(=-⋅+--⋅+λλ，解得=λ 2.14. 解析：3π或32π.45sin 2sin 3sin sin =⇒=ABb Aa 23sin =⇒A ，A ∠=3π或32π.15. 解析：α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.根据线面平行和线面垂直的判定定理，3个位置依次填α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.16. 解析：根据结论11221122OM N OM N S O M O N S O M O N ∆∆⋅=⋅可类比得到，在空间中有体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.三．解答题17. （本小题满分12分）已知函数.cos2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围． 解：（Ⅰ）x x x x f 2cos2)62sin()62sin()(+-++=ππ12cos 6sin2cos 6cos2sin 6sin2cos 6cos2sin ++-++=x x x x x ππππ--------------1分12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx --------------------------------------3分ππωπ===22||2T ------------------------------------------------------------5分Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ,Z k k x k ∈+≤≤+-∴,63ππππ，函数)(x f 的递增区间是Z k k k ∈++-∴],6,3[ππππ-----------------------------7分（Ⅱ）由()2f x ≥ 得2sin(2)126x π++≥， 21)62sin(≥+∴πx πππππ6526262+≤+≤+∴k x k )(Z k ∈----------------------------9分)(3Z k k x k ∈+≤≤∴πππ ，2)(≥∴x f 的x 的取值范围是},3|{Z k k x k x ∈+≤≤πππ---------------------------12分18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8, AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．证明：（Ⅰ）AB =54，BD =8, AD =4,则AB 2 = BD 2+AD 2.∴BD ⊥AD .------------------------------------------2分 设AD 的中点为E ，连接AE ，因为PAD ∆是等边三角形，所以PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，------------------------------------------4分 BD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥BD .E PE AD =⋂，∴BD ⊥平面PADBD ⊂平面BDM ，∴平面MBD ⊥平面P AD .-------------------------------------------------------------------------6分 解（Ⅱ）3223==AD PE ，----------------------------------------------------------------------------------------8分ABCD S 梯形==+∆∆BCD ABD S S ABD ABD ABD S S S ∆∆∆=+2321=2484432123=⋅⋅=⋅⋅⋅DB AD .--------------------------------------------------------------10分 316322431=⋅⋅=-ABCD P V ---------------------------------------------------------------12分19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx axx f（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率. 解：（Ⅰ）分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b 全部可能的基本结果有：（-1，-2），（-1，-1），（-1,1），（-1，2），(-1，3)，(1，-2)，（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，-2），（3，-1），（3，1),，（3，2)，（3，3）.共20个基本结果.-------------------------------------------------------------------------------3分函数14)(2+-=bx axx f 的对称轴a bx 2=，要使函数)(x f 在),1[+∞上是增函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>120ab a ， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分于是满足条件的基本结果为：（1，-2），（1，-1），（2，-2），（2，-1），（2，1），（3，-2），（3，-1），（3，1）共8个.函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率52208==P .----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 所表示的区域如图OAB ∆所示，从区域内取点且函数)(x f y =在),1[+∞上是增函数需满足 的条件⎪⎩⎪⎨⎧≤>>200x y y x 如图阴影部分OAC ∆所示.-----------------------------------------------------------------------------9分解⎪⎩⎪⎨⎧==+28x y y x 得C （38,316）.---------------------------------------------------------------------------------------10分 函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率OABOAC S S P ∆∆=31838==----------------------------------------12分20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线.（Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围.解：（Ⅰ）根据题意，)1()1(),1()1(''g f g f ==；--------------------------------------------------------------2分4)1(,4)(''==g x x g ，又∵a x x f +=2'3)(，----------------------------------------------------------------------3分∴41(3)1(''==+=）g a f ，∴1=a ；21)1(=+=a f ，∴2)1(2)1(==+=g b g ，得0=b .---5分∴函数)(x f 与)(x g 的解析式为：x x x f +=3)(，22)(x x g =------------------------------------------6分 （Ⅱ）232)()()(mx x x x g m x f x F -+=⋅-=；143)(2'+-=mx x x F ------------------------------7分 ∵函数)(x F 在区间]3,21[上是减函数，∴0143)(2'≤+-=mx x x F 在区间]3,21[上恒成立.-----------8分⎪⎩⎪⎨⎧≤≤0)3(0)21('F F ‘---------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 =⎪⎩⎪⎨⎧≤+⨯-⨯≤+⨯-⨯013433012144132m m 37≥⇒m . 实数m 的取值范围是),37[+∞∈m -------------------------------------------------------------------------------------12分21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21BF MB AF MA λλ==求21λλ+的值．解：（Ⅰ） 设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by ax ；∵241x y =y x42=⇒的焦点坐标为（0，1），∴1=b . -------------------------------------------------------------------------------------2分⇒==552a c e 5412222=-=a a ac ，得5=a .--------------------------------------------------------------------4分∴所求的椭圆的方程为1522=+yx.-----------------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为点），（02F 在椭圆内部，且直线与y 轴相交，所以直线l 不与x 轴垂直，斜率一定存在.设l ：)2(-=x k y ------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分则052020)51(15)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k k x y x x k y --------------- ①设),0(),,(),,(02211y M y x B y x A由①得2221222151520;5120kkx x kkx x +-=+=+，---------------------------------------------------------------8分1M A AF λ= 即 1101111,)(2,)M A x y y AF x y λλ=-==--（得110111,)(2,)x y y x y λ-=--（，111(2)x x λ=-即1112x x λ=-，同理2222x x λ=-------------------------------------------------------------------------------------------------9分12λλ+=112x x -+222x x -=121212122()242()x x x x x x x x +--++=222222222222202052()2()4040101515102020542040542()1515kk k k k k k k k k k k---+++==--+---+++ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n nn ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2n n n n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------6分 1111122n n nn a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =.----------------------------------------------------------------------------------------------8分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n nn b a +=+=；得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------10分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22nn n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n nn S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+ --------------------------------------------11分11 233222(21)2n n n n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n nn n --=+-+⋅+- =(21)21n n n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------14分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n n n ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈ 1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t t a a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------8分。

2013年山东高考数学文科试卷带详解

2013年山东高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学一．选择题:本题共12个小题，每题5分，共60分.1．复数2(2i)iz -=（i 为虚数单位），则z = ( )A ．25 B.41 C.5 D.5 【测量目标】复数的代数的四则运算，复数的基本概念（复数的模）. 【考查方式】给出复数的乘方与除法形式,求复数的模. 【参考答案】C【试题解析】利用复数的乘方和乘除运算计算出z ，进而求出z ，2222(2i)44i+i 34i =43i,z (4)(3)5i i iz ---===--∴=-+-=.2．已知集合,A B 均为全集{}=1,2,3,4U 的子集，且{}()4U A B = ð,{}=1,2B ,则U A B = ð ( )A.{3}B.{4}C.{3，4}D.∅【测量目标】集合间的基本运算.【考查方式】集合的表示(列举法),给出集合间的四则运算结果，去计算A B 与的补集的交集.【参考答案】A【试题解析】利用所给条件计算出A 和U B ð，进而求交集{}{}=1,2,3,4,()4U U A B = ，ð(步骤1) {}{}{}{}1,2,3.=123123.A B B A ∴=∴⊆⊆ 又，，，，(步骤2) 又{}{}=34,3.U UB A B ∴= ，痧(步骤3)3．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时()21f x x x=+，则()1f -= ( ) A ．2 B.1 C.0 D.-2【测量目标】函数奇偶性的综合运用.【考查方式】已知函数的部分解析式、利用函数的奇偶性，解决函数的求值问题. 【参考答案】D【试题解析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-求解.当2210(),(1)11 2.x f x x f x>=+∴=+=时， ()f x 为奇函数.(1)(1)2f f ∴-=-=-4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) A ．45,8 B.845,3C.84(51),3+ D. 8,8 【测量目标】由三视图求几何体表面积与体积.【考查方式】给出四棱锥的主视图，描述四棱锥棱的情况，求解四棱锥的侧面积与体积.【参考答案】B 【试题解析】有正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，21822.33V ∴=⨯⨯=四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为15,=425=452S ∴⨯⨯⨯侧5．函数1()123xf x x =-++的定义域为 ( ) A.(-3，0] B. (-3，1] C. ()(],33,0-∞-- D. ()(],33,1-∞-- 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】通过给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域. 【参考答案】A【试题解析】求函数定义域就是是这个式子有意义的自变量x 的取值范围，由题意，自变量x 应满足120,30,x x ⎧-⎨+>⎩…解得0,303,x x x ⎧∴-<⎨>-⎩……6．执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值为-1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为 ( )A.0.2，0.2B. 0.2，0.8C. 0.8，0.2D. 0.8，0.8 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的算法流程图，求输出的结果.【参考答案】C【试题解析】根据输入a 的值的不同而执行不同的程序.当 1.20, 1.210.2,0,a a a a =-<∴=-+=-< 时，0.210.8,0.0.81,a a =-+=>< 输出0.8.a =当 1.21, 1.210.2.a a a =∴=-=时，…0.21,< 输出0.2.a =7．ABC △的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若=2,=1,=3,B A a b 则c = ( )A. 23B. 2C.2D.1【测量目标】用正余弦定理判断三角形形状，勾股定理，二倍角.【考查方式】已知三角形的边角关系求边长，考查正弦定理、二倍角公式. 【参考答案】B【试题解析】先利用正弦定理，求出角A ,进而求出角B 和角C ，得出角C 为直角，从而用勾股定理求出边c 由正弦定理得,2,1,3,sin sin a bB A a b A B==== 13.sin 2sin cos A A A∴=（步骤1） A 为三角形的内角3sin 0.cos 2A A ∴≠∴=，.(步骤2)ππ0π,2.63A A B A <<∴=∴==又，(步骤3)ππ2C A B ABC ∴=--=∴，△为直角三角形由勾股定理得221(3) 2.c =+=（步骤4）8．给定两个命题q p ,，p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝ ( ) A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件，四种命题之间的关系.【考查方式】根据逻辑连接词,来主要考查命题的基本关系及充分必要条件. 【参考答案】A【试题解析】借助原命题与逆否命题等价判断.若p ⌝是q 的必要不充分条件，则q p ⇒⌝但p q ⌝≠，其逆否命题为,p q q p p q ⇒⌝⌝≠∴⌝但是的充分不必要条件.9．函数cos sin y x x x =+的图象大致为 ( )A B C D【测量目标】函数奇偶性的综合运用，函数图象的阅读及处理. 【考查方式】通过给定的函数式，确定函数的大概图象.【参考答案】D【试题解析】结合给出的函数图象，带入特殊值，利用排除法求解.π10,C 2π,1,B 2π,π0 A.Dx y x y x y ==>=-=-==-<时，排除当排除当排除故选10．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为 （ ）A.1169 B.367 C.36 D.677【测量目标】茎叶图、用样本数字特征估计总体数字特征（方差，平均数）.【考查方式】给定茎叶图，里面含有未知数，给定去高去低后的平均数，求剩余分数的方差.【参考答案】B【试题分析】利用平均数为91，求出x 的值，利用方差的定义，计算方差，根据茎叶图.[]22222222187+94909190(90)9191, 4.7136(8791)(9491)(9091)(9191)(9091)(9491)(9191)77x x s ++++++=∴=⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦11．抛物线211:()2C y x p p=>0的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p = （ ）A ．316 B.38 C.233 D.433【测量目标】双曲线、抛物线的简单几何性质，抛物线与直线的位置关系.【考查方式】给定两抛物线交点位置，交点处的切线与抛物线的关系，去求抛物线中的未知数.【参考答案】D【试题解析】做出草图，数形结合，建立方程求解.双曲线2223x C y -:=1,∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为33y x =±（步骤1） 抛物线21102C y x p p=>：(),焦点为(0,).2p F '（步骤2）设200001.2M x y y x p=(,), 020001222,.2113,|.3MF FF x x p p x p k k x y x y x p p ''=-=∴=-''=∴== 得433p =（步骤3） 12．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为()A ．0 B.98 C.2 D.94【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】给定三个未知数满足的方程式，用基本不等式求式子的最大值. 【参考答案】B【试题解析】含三个参数,,x y z 消元，利用基本不等式及配方法求最值.222234(0,0,0),44323134z x xy y x y z xy xy x y x yz x xy y y x y x=-+>>>∴==+--=-+ …(步骤1) 当且仅当42x yx y y x==,时等号成立2222222223446422222242(1)2z x xy y y y y y x y z y y y y y y =-+=-+=∴+-=+-=-+=--+(步骤2)12y x y z ∴=+-,的最大值是2(步骤3)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________ 【测量目标】圆的简单几何性质.【考查方式】给定定点，与圆的标准方程，求过点的最短弦长. 【参考答案】22【试题解析】借助圆的几何性质，确定圆的最短弦位置，利用半径，弦心距及半弦长的关系求弦长.设A （3,1），可知圆心C （2,2），半径r =2，当弦过点A （3,1）且与CA 垂直时为最短弦22(23)(21)2CA =-+-=（步骤1）所以半弦长22=422r CA -=-=最短弦长为2214．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩………所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值． 【参考答案】2 【试题解析】如图所示，M 为图中阴影部分的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以OM 的最小值2==2215．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,),(2,2)OA t OB =-= ，若90ABO ∠=，则实数t 的值为______【测量目标】平面向量在平面几何中的应用，向量的坐标运算.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量的垂直关系，求未知数t . 【参考答案】5【试题解析】利用向量垂直的充要条件，列方程求解.90,,0.ABO AB OB OB AB ∠=∴⊥∴=(2,2)(1,)(3,2),AB OB OA t t =-=--=-又(步骤1)(2,2)(3,2)62(2)0t t ∴-=+-= 5t ∴=(步骤2)16．定义“正对数”：()()0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧⎪=⎨⎪⎩…，现有四个命题：①若0,a b >>0，则()lnlnba b a ++=；②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+ ③若0,0a b >>，则ln ln ln a a b b +++⎛⎫- ⎪⎝⎭… ④若0,0a b >>，则()lnln ln ln2a b a b ++++++…其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号) 【测量目标】分段函数，对数的性质，不等式恒成立问题.【考查方式】给定分段函数，求所给的4个小命题的正确性，逐一论证. 【参考答案】○1○3○4【试题解析】本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，对每一个选项逐一论证或排除.○11,0,1,ln ()ln ln ln .bb b a b aa ab a b a ++>∴∴=== 当厖(步骤1)01,0,1,l n ()bba b a a +<<>∴<∴= 当(步骤2) ln 0,ln 0,ln ()ln ba b a a b a ++++=∴=∴=又(步骤3) 故○1正确. ○2112,,ln ()ln 0,42a b ab ++====当而ln ln 2,ln 0,ln ln ln 2a b a b ++++==∴+=(步骤4) 故○2不成立. ○3a.01,01,ln ln 0a b a b ++<<-=当剟而ln 0,ln ln ln a a a b b b ++++⎛⎫⎛⎫∴-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭厖(步骤5)b ．当+01,1,ln ln ln 0a b a b b ++<>-=-<…而+ln ()0,ln ()ln ln a a a b bb +++=∴-…(步骤6)c ．当1,01,1,aa b a b ><>剠(步骤7) ln ()ln()ln ln ln ln a a a a a b b b ++++∴===-…ln ()ln ln a a b b+++∴-… (步骤8)d ．当1,1,,ln ()0a a b a b b+>><=且 ln ln 0,ln ()ln ln a a b a b b+++++-<∴-…(步骤9)e ．当1,1,,1aa b a b b>>>>且时ln ()ln()ln ln ln ln a aa b a b b b +++∴==-=-(步骤10)综上：ln ()ln ln a a b b+++-…，故○3正确.○4a.01,01,01,ln ()0a b ab a b +<+<<∴+=当剟?ln ln ln 200ln 20a b ++++=++>+ln ()ln ln ln 2a b a b ++∴+<++(步骤11)b ．1,a b +>当分下列三种情况：（i ）当 11,12,a b a b b b b b <+++= 0，剠剟ln ()ln()ln 2ln ln ln 2a b a b b a b +++∴+=+=++…(步骤12) (ii)1,011+2,a b a b aa a a <++= 当时，厔剟+ln ()ln()ln 2ln ln 2ln ln ln 2a b a b a a a b ++∴+=+=+=++…(步骤13)(iii)01,012,ln 0,a ba b a +<<∴+=当时，且剟?ln 0.ln ()ln()ln 2ln ln ln 2b a b a b a b ++++=∴++=++剟(步骤14)综上：ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++…，故○4正确.三．解答题：本大题共6小题，共74分， 17．(本小题满分12分) 某小组共有A B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：ABCDE身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.225.118.523.320.9（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率【测量目标】列举法、古典概型，随机事件与概率.【考查方式】给出五个学生的身高与体重，按照一定条件求概率.【试题分析】解（1）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有（,A B ）,(,A C ),(,A D ),(,B C ),(,B D ),(,C D )共6个.(步骤1)由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是均等的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有(,A B ),(,A C ),(,B C ),共3人.(步骤2)因此选到的俩人身高都在1.78以下的概率为12p =(步骤3) （2）从该小组同学中人选两人，其组成成分有(,A B ),(,A C ),(,A D ),(,A E ),(,B C ),(,B D ),(,B E ),(,C D ),(,C E ),(,D E ),共10个(步骤4) 选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的事件有(,C D ),(,C E ),(,D E ),共三个(步骤5)选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率310P =(步骤6) 18．(本小题满分12分)设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，（1）求ω的值. （2）求()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质【考查方式】利用倍角公式化简函数式,数形结合求未知数ω再求函数在一段区间上的最值.【试题分析】（1）先利用倍角公式，两角和与差的三角公式把()f x 的解析式进行化简整理，再利用对称中心到最近的对称轴的距离为π4求出ω，（2）先根据x 的取值范围求出π23x -的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出()f x 的最值. 23()3sin sin cos 231cos 213sin 2222f x x x x x x ωωωωω=---=-- （1）31πcos 2sin 2sin 2223x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭(步骤1) 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 又2ππ0,424ωω>∴=⨯ 因此1ω=(步骤2)（2）由（1）知π()sin 2.3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当3π5ππ8ππ,2.2333xx -剟剟 3πsin 2 1.23x ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭剟(步骤3) 因此31()2f x -剟 故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为3,12-(步骤4) 19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，,,AB AC AB PA ⊥⊥,2,,,,,AB CD AB CD E F G M N = 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证：CEPAD 平面 ；(Ⅱ)求证：EFG EMN ⊥平面平面【测量目标】线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，平行线的传递性.【考查方式】根据所给出的直线间的位置关系,用线线平行推导线面平行，根据线面垂直，去证明面面垂直.【试题分析】要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证明面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要考虑的;要证明EFG EMN ⊥平面平面，可先考虑证明平面EMN 中的MN 垂直于平面EFG ,即转化为证明线面垂直，而要证明MN EFG ⊥平面，需要证明MN 垂直于平面EFG 中的两条相交直线(1):如图，取,PA H EH DH 的中点，连接E 为PB 的中点1,.2EH AB EH AB ∴= (步骤1)1,2AB CD CD AB =,.EH CD CD EH ∴= (步骤2)所以四边形DCEH 是平行四边形 (步骤3).CE DH ∴ (步骤4),DH PAD CE PAD ⊂又平面平面Ü CE PAD ∴平面 (步骤5)(2)因为,E F 分别为,PB AB 的中点，所以.,.EF PA AB PA AB EF ⊥∴⊥又 (步骤6)同理可证AB FG ⊥(步骤7),,EF FG F EF EFG FG =⊂⊂ 又平面平面EFGAB ⊥因此平面EFG (步骤8)又,M N 分别为,PD PC 的中点MN DC ∴ (步骤9) 又,,AB DC MN AB MN ∴∴⊥ 平面EFG (步骤10)MN ⊂又平面,EMN 所以平面EFG ⊥平面EMN (步骤11)20．(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*12121...1,2n n n b b b n a a a +++=-∈N ，求{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等差数列通项公式及前n 项和公式，错位相减法求和.【考查方式】已知{}n a 为等差数列，给定{}2n n S a 与进行逆推{}n a ，再由题给出的{}{}n n a b 与的关系式错位相减求出结果.【试题分析】（1）由于已知{}n a 是等差数列，因此可以考虑用基本量1,a d 表示已知等式，进而求出{}n a 的通项公式.（2）先求出nnb a ，进而求出{}n b 的通项公式，再用错位相减法求{}n b 的前n 项和.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由422421,n n S S a a ==+，11114684,(21)22(1)1a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩(步骤1) 因此，*21,n a n n =-∈N (步骤2)*121211111,,211,;21112,11222n n n n n n n n b b b n a a a b n a b n a -++⋅⋅⋅+=-∈==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭N (2)由已知当当…*1,.2n n n b n a ∴=∈N (步骤3) 由*21,,n a n n =-∈N （1）*21,2n nn b n -∴=∈N (步骤4) 2313521,2222n n n T -∴=+++⋅⋅⋅+23113232122222n n n n n T --=++⋅⋅⋅++(步骤5) 两式相减，得231111122221()2222223121,222n n n n n n T n +-+-=+++⋅⋅⋅+--=--2332n nn T +∴=-(步骤6)21．(本小题满分12分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b =+-∈R , (Ⅰ)设0a …，求()f x 的单调区间(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0,()(1)x f x f >….试比较ln a 与2b -的大小【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】用导数求含参数函数的单调区间，利用导数证明不等式.【试题分析】（1）求()f x 的单调区间，需要对()f x 求导.当()0,()f x f x '>是增函数，()0,()f x f x '<是减函数，但是需要对参数,a b 进行讨论（2）()f x 的最小值为(1)f ，当()f x 有唯一极小值点时，极小值就是最小值，然后构造函数求解.解：由2()ln ,(0,),f x ax bx x x =+-∈+∞221()ax bx f x x +-'=(步骤1)11.0,().bx a f x x-'==a ．若0b …，当0x >，()0f x '<恒成立 所以函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞.(步骤2)1b.0,0,()0b x f x b'><<<若当函数()f x 单调递减1,(),x f x b'>函数()f x 单调递增(步骤3)所以函数()f x 的单调递减区间1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞（步骤4）2.当20,()0,210.a f x ax bx '>=+-=令得(步骤5) 由280b a +>得221288,44b b a b b ax x a a--+-++==(步骤6) 显然120,0.x x <>当20,()0,x x f x '<<<函数()f x 单调递减2,()0,x x f x '>>当函数()f x 单调递增(步骤7)所以函数()f x 的单调递减区间是280,4b b a a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间是28,4b b a a ⎛⎫-+++∞⎪ ⎪⎝⎭(步骤8) 综上所述，当0,0a b =…，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞当0,0a b =>，函数()f x 的单调递减区域是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区域是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当0a >，函数()f x 的单调递减区间是280,4b b a a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间是28,4b b a a ⎛⎫-+++∞⎪ ⎪⎝⎭.(步骤9) （2）由题意知函数()1f x x =在处取最小值，由284b b a a-++（1）知是()f x 的唯一极小值点(步骤10)故28=14b b a a-++.整理，21,a b +=即12.b a =-(步骤11)令14()24ln ,().xg x x x g x x-'=-+=则(步骤12) 令1()0,4g x x '==得(步骤13) 10,()0,()4x g x g x '<<>单调递增1,4x >()0g x '<,()g x 单调递减.(步骤13)因此11()()1ln 1ln 4044()0,24ln 2ln 0,g x g g a a a b a =+=-<<-+=+<即… 即ln 2a b <-(步骤14)22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22(I)求椭圆C 的方程(Ⅱ),A B 为椭圆C 上满足AOB △的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，向量的线性运算，平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】给出椭圆的位置情况，短轴及离心率，用待定系数法去求椭圆方程，（Ⅱ）中给出AOB △的面积及部分支线的几何位置，求满足向量方程的未知数. 【试题解析】（1）可用待定系数法求出,a b ，进而求出椭圆C 的方程.（2）设出直线AB 的方程，带入椭圆方程，设而不求，利用根与系数的关系转化，但要注意AB 与x 轴垂直时的情况.解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>由题意 2222,222a b c cab ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此椭圆C 的方程为 22 1.2x y +=(步骤1) （2）（i ）当,A B 两点关于x 轴对称，设直线AB 的方程为x m =. 由题意得20m <<-或02m <<(步骤2)将x m =带入椭圆方程22221,22x m y y -+==(步骤3) 226.24AOBm S m -∴== △解得223122m m ==或 ○1 (步骤4) 11()(2,0)(,0),22OP tOE t OA OB t m mt ==+==又P 为椭圆C 上一点212mt ∴=（） ○2 (步骤5)由○1○2，得22443t t ==或 又230,23t t t >∴==或 (步骤6) （ii ）当,A B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y kx h =+将其代入椭圆的方程2212x y +=，得 ()222124220.k xkhx h +++-=(步骤7)设1122(,),(,).A x y B x y 由判定式0∆>可得2212k h +>(步骤8)21212221212222121242,,12122()2,121()4kh h x x x x k khy y k x x h k AB k x x x x +=-=+++=++=+∴=+⨯+-222212221.12k h k k+-=⨯+⨯+(步骤9) 因为点O 到直线AB 的距离21h d k=+，2221122212AOBk h S AB d h k +-∴==⨯⨯+△(步骤10) 2221+262124k h h k -∴⨯⨯=+ ○3 (步骤11) 212,n k =+令代入○3整理得224316160n h n h -+= 解得22443n h n h ==或， 即222241241+23k h k h +==或 ○4 (步骤12) 121211()(,)22OP tOE t OA OB t x x y y ==+=++222,1212khtht k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭(步骤13) 又P 为椭圆C 上一点，2222212()121212kh h t k k ⎡⎤⎛⎫∴-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦即222112h t k=+ ○5(步骤13) 将○4代入○5，得22443t t ==或 (步骤14) 230,2.3t t t >==又故或(步骤15) 经检验,符合题意23i ii 23t t ==综合（）（），得或(步骤16)。

山东省济南市2013届高三第二次模拟考试数学文试题(WORD解析版)

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2013年山东省济南市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•济南二模）复数=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先把括号内部的复数化简，然后利用i2=﹣1，进行化简运算．解答：解：==（i2）1006i=i．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，解答此题的关键是运用i2=﹣1，是基础题．2．（5分）（2013•济南二模）设集合，则集合M，N的关系为（）A．M=N B．M⊆N C．M⊊N D．M⊋N考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数的值域求得集合M，即可得到集合M与集合N的关系．解答：解：∵y=，∴y＞0，即M={y|y＞0}，又N={y|y≥1}∴M⊋N．故选D．点评：本题考查集合之间的关系，以及指数函数的值域问题，属基础题．3．（5分）（2013•济南二模）执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）考点：程序框图．分析：先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．解答：解：∵n=1，s=0，由于s=0＞60为否，∴s=s+4n，所以s=4，n=2；又∵n=2，s=4，由于s=4＞60为否，∴s=s+4n，所以s=12，n=3；又∵n=3，s=12，由于s=12＞60为否，∴s=s+4n，所以s=24，n=4；又∵n=4，s=24，由于s=24＞60为否，∴s=s+4n，所以s=40，n=5；又∵n=5，s=40，由于s=40＞60为否，∴s=s+4n，所以s=60，n=6；又∵n=6，s=60，由于s=60＞60为否，∴s=s+4n，所以s=84，n=7；又∵n=7，s=84，由于s=84＞60为是，∴输出n，此时n=7．故答案选C．点评：本题考查程序框图．要掌握常见的当型、直到型循环结构；以及会判断条件结构，并得到条件结构的结果；在已知框图的条件下，可以得到框图的结果．4．（5分）（2013•济南二模）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（）A．9B．3C．2D．2考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：求出圆的圆心，代入直线方程即可求出m的值，然后求出圆的半径．解答：解：因为圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，所以直线经过圆的圆心，圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0的圆心坐标（1，﹣），所以2×1﹣=0，m=4．所以圆的半径为：=3故选B点评：本题考查直线与圆的位置关系，求出圆的圆心坐标代入直线方程，是解题的关键．5．（5分）（2013•济南二模）空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）考点：由三视图还原实物图．专题：作图题．分析：根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．解答：解：由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱选项都正确，故选A．点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．6．（5分）（2013•济南二模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点A（1，2.5）时，z最大值即可．解答：解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（1，2.5）．结合可行域可知当动直线经过点A（1，2.5）时，。

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第5题图2013年3月济南一模数学考试1.锥体的体积公式：1V S 3h =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高; 2.方差],)()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为n x x x ,,,21 的平均数. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集}6,5,4,3,2,1,0{=U ，集合{1,2}A =，}5,2,0{=B ，则集合=B A C U )( A ．{3，4，6}B ．{3，5}C ．{0，5}D ．{0，2，4}2. 设复数)21)(43(i i z +-=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为 A ．2- B. 2 C. i 2- D. i 23. 若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则A ．b c a >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >>4. 设R x ∈，则“032>-x x ”是“4>x ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D 5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ，03:2=++ay x l 平行，则=aA ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或27. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为 A.2x =- B. 4=x C. 8-=x D. 4-=y 8. 等差数列}{n a 中，482=+a a ，则它的前9项和=9S A ．9B ．18C ．36D ．729. 已知函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π，则)(x f 的单调递增区间A. )](65,3[Z k k k ∈++ππππ B. )](32,62[Z k k k ∈+-ππππ C. )](6,3[Z k k k ∈+-ππππ D. )](3,6[Z k k k ∈+-ππππ10. 函数13y x x =-的图象大致为11. 一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为A.203B.403C. 20D. 4012. 若函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图象与x 轴交于点 A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则=⋅+OA OC OB )(A ．-32B ．-16C ．16D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年教育支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：2.015.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加____________万元．第11题图14. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 3-=的最小值是 .15. 下列命题正确的序号为 .①函数)3ln(x y -=的定义域为]3,(-∞;②定义在],[b a 上的偶函数b x a x x f +++=)5()(2最小值为5;③若命题:p 对R x ∈∀，都有022≥+-x x ，则命题:p ⌝R x ∈∃，有022<+-x x ; ④若0,0>>b a ，4=+b a ，则ba 11+的最小值为1. 16. 若双曲线116922=-y x 渐近线上的一个动点P 总在平面区域16)(22≥+-y m x 内，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-. （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅=，b =a ，c 的值.18. (本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示. （1）如果x =7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x =9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.x 8 29 乙组 第18题图19. (本小题满分12分)正项等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，164=a ，且32,a a 的等差中项为2S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设12-=n n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .20. (本小题满分12分)已知在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，//AD //EF BC ，12BE AD EF BC ===，G 是BC 的中点． （1）求证：//AB 平面DEG ； （2）求证：EG ⊥平面BDF ．21. (本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M(-a ,b )、N(a ,b )、F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.（1）求椭圆的方程;（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求∆F 2AB 面积的最大值.22. (本小题满分14分)已知函数2()(1)xf x ax x e =+-，其中e 是自然对数的底数，a R ∈． （1）若1=a ，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若0<a ，求()f x 的单调区间；（3）若1-=a ，函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=232131)(的图象有3个不同的交点，求实数m 的取值范围.ADFEBGC第20题图2013年3月济南市一模文科数学参考答案1.C2.B3.A4.B5.C6.D7.A8.B9.D 10.A 11.B 12.D 13.0.15 14.21- 15.②③④ 16. ),5[]5,(+∞--∞ 17. 解：（1）由正弦定理和cos (3)cos b C a c B =-，得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-， …………………2分 化简，得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=即sin 3sin cos B C A B +=（）， …………………4分故sin 3sin cos A A B =.所以1cos =3B . …………………6分 （2）因为4BC BA ⋅=， 所以4cos ||||=⋅⋅=⋅B所以12BC BA ⋅=，即12ac =. （1） …………………8分又因为2221cos =23a cb B ac +-=, 整理得，2240a c +=. （2） …………………10分联立（1）（2） 224012a c ac ⎧+=⎨=⎩，解得26a c =⎧⎨=⎩或62a c =⎧⎨=⎩. …………………12分18. 解（1）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为;9412987=+++=x …………………3分方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分（2）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4， B 1 B 3，B 1B 4，B 3B 4. …………………9分A DFEBGC用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为.31155)(==C P …………………12分 19. 解：（1）设等比数列}{n a 的公比为)0(>q q ，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(2161121131q a a q a q a q a ，解得⎩⎨⎧==221q a . …………………4分 所以n n a 2=. …………………5分 （2）因为12122--==n n n n a n b ， …………………6分所以12753224232221-+++++=n n nT ， 121275322123222141+-+-++++=n n n nn T ， …………………8分 所以12127532212121212143+--+++++=n n n n T122411)411(21+---=n n n 12233432+⋅+-=n n …………………11分 故2181612992n n nT ++=-⋅. …………………12分 20. 证明：（1）∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC ． ………………1分 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ， ………………2分 ∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG ． ………………4分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG ． ………5分 （2）连结GF ，四边形ADFE 是矩形，∵//DF AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ， ∴DF EG ⊥．…………8分 ∵//,EF BG EF BE =，∴四边形BGFE 为菱形，∴BF EG ⊥， …………………11分 又,BF DF F BF =⊂I 平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，∴EG ⊥平面BDF ． …………………12分21. 解：（1）由条件，得b=3，且333222=+ca ， 所以a+c=3. …………………2分 又322=-c a ，解得a=2，c=1.所以椭圆的方程13422=+y x . …………………4分（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my -1，直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立方程 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得, 096)43(22=--+my y m ， 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交..439,436221221+-=+=+∴m y y m m y y …………………6分 AB F S 2∆=21212121y y y y F F -=- ……………………8分 22222221221)311(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y,)1(913211422++++=m m …………………10分令112≥+=m t ,设t t y 91+=,易知)31,0(∈t 时,函数单调递减, ),31(+∞∈t 函数单调递增所以 当t=12+m =1即m=0时，910m in =y AB F S 2∆取最大值3. …………………12分22. 解：（1）因为xe x x xf )1()(2-+=，所以++='xe x xf )12()(xxe x x e x x )3()1(22+=-+， ………………1分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为e f k 4)1(='=. ………………2分 又因为e f =)1(，所以所求切线方程为)1(4-=-x e e y ，即034=--e y ex ． ………………3分 （2）++='x e ax x f )12()(x x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+，①若021<<-a ，当0<x 或aa x 12+->时，0)(<'x f ； 当<<x 0aa 12+-时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间为]0,(-∞，),12[+∞+-aa ；单调递增区间为]12,0[aa +-. …………………5分②若21-=a ，=')(x f 0212≤-xe x ，所以)(xf 的单调递减区间为),(+∞-∞.…………………6分③若21-<a ，当aa x 12+-<或0>x 时，0)(<'x f ； 当012<<+-x aa 时，0)(>'x f . 所以)(x f 的单调递减区间为]12,(aa +--∞，),0[+∞； 单调递增区间为]0,12[aa +-. …………………8分 （3）由（2）知，2()(1)xf x x x e =-+-在]1,(--∞上单调递减，在]0,1[-单调递增，在),0[+∞上单调递减，所以()f x 在1-=x 处取得极小值ef 3)1(-=-，在0=x 处取得极大值1)0(-=f . …………………10分 由m x x x g ++=232131)(，得x x x g +='2)(. 当1-<x 或0>x 时，0)(>'x g ；当1-0<<x 时，0)(<'x g .所以)(x g 在]1,(--∞上单调递增，在]0,1[-单调递减，在),0[+∞上单调递增. 故)(x g 在1-=x 处取得极大值m g +=-61)1(，在0=x 处取得极小值m g =)0(. …………………12分 因为函数)(x f 与函数)(x g 的图象有3个不同的交点，所以⎩⎨⎧>-<-)0()0()1()1(g f g f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+<-m me 1613. 所以1613-<<--m e .…………14分2013年4月济南市高三二模文科数学1.锥体的体积公式： Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高; 2. 统计中2χ的公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，其中21111n n n +=+，22122n n n +=+，12111n n n +=+，22212n n n +=+，22122111n n n n n +++=.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 复数=-+2013)11(ii A. 1- B. 1 C. i - D. i2. 设集合{}1|(),|12x M y y N y y ⎧⎫===≥⎨⎬⎩⎭， 则集合M ，N 的关系为A.M N =B.M N ⊆C.N M ≠⊂ D.N M ≠⊃3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为A.5B.6C.7D.84. 已知圆04222=-+-+my x y x 上两点M 、N 关于直线2x +y =0对称，则圆的半径为A ．9B ．3C ．23D ．25.一空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为6. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数z =x +2y 的最大值为A.1B.4C.5D.67. 在等比数列{}n a 中，531=+a a ，1042=+a a ，则=7aA ．64B ．32C ．16D ．1288. 为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关下面的临界值表供参考：A. 95% 99.9%9. 函数)22sin(2x y -=π是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数10. 设,m n 是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件 11. 函数sin x xy e-=的图象大致为A. B. C. D.12. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤<-=0,1)1(01,)(3x x f x x x f ，若函数x x f x g -=)()(的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A ．2)1(-=n n a n B ．)1(-=n n a n C ．1-=n a n D ．22-=n n a 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 若向量)3,2(-=，),4(m =， //，则实数=m .14. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点F 到一条渐近线的距离为||23OF ，点O 为坐标原点，则此双曲线的离心率为 .15. 在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，21=∆ABC S ，则=BC .16. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+ 3235=+ 23135=++ 337911=++241357=+++ 3413151719=+++2513579=++++ 292725232153++++=根据上述分解规律，若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)设函数()sin()sin()33f x x x x ππωωω=++-+ (其中ω＞0)，且函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π.（1）求ω的值；（2）将函数)(x f y =的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在区间[0,]2π的最大值和最小值.为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”， “十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. (本小题满分12分)如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11AAC C 是菱形，160A AC ∠= ，E 、F 分别是11AC 、AB 的中点． 求证：（1）EC ABC ⊥平面；（2）求三棱锥1A EFC -的体积.1已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设1(1)1(1)22n n n n n c a b --+-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．21．(本小题满分13分) 已知函数31()(2)3f x ax a x c =+-+的图象如右图所示． （1）求函数)(x f y =的解析式； （2）若()()2ln kf x g x x x'=-在其定义域内为增函数，求实数k 的取值范围．22. (本小题满分13分)已知点F 1)0,3(-和F 2)0,3(是椭圆M :)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，且椭圆M经过点)21,3(.（1）求椭圆M 的方程；（2）过点P (0,2)的直线l 和椭圆M 交于A 、B 两点，且53=,求直线l 的方程； （3）过点P (0,2)的直线和椭圆M 交于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点C ，求证：直线CB 必过y 轴上的定点，并求出此定点坐标.2013年4月济南市高三二模文科数学参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.A8. C9.B 10. A 11.B 12.C 13. 6- 14.2 15. 1或5 16.917.解：（1）()sin f x x x ωω=+=2sin()3x πω+. ………………………………3分∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π， ∴2T ππω==. ………………………………5分∴2ω=. ………………………………6分 （2）由（1）得()f x =2sin(2)3x π+，∴()g x =2sin()3x π+. ………………………………8分 由x ∈[0,]2π可得5336x πππ≤+≤， ……………………………10分 ∴当=32x ππ+，即x =6π时，()g x 取得最大值()2sin 262g ππ==;当5=36x ππ+，即x =2π时，()g x 取得最小值5()2sin 126g ππ==. …………12分18. 解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为5100.5=，再结合频率分布直方图可知1001001.010=⨯=n . ………………………………2分∴a =100×0.020×10×0.9=18， ………………………………4分 270.91000.0310x ==⨯⨯, …………6分（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：618254⨯=人，第3组：627354⨯=人，第4组：69154⨯=人． ………………………………8分 设第2组的2人为1A 、2A ，第3组的3人为1B 、2B 、B 3，第4组的1人为C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()1,B C ，()23,B B ，()2,B C ，()3,B C ，共15个基本事件， ………………………………10分 其中第2组至少有1人被抽中的有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C 这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为93155=. ………………………………12分 19. 证明：（1） 在平面11AAC C 内，作1AO AC ⊥，O 为垂足． 因为0160A AC ∠=，所以11122AO AA AC ==，即O 为AC 的中点，所以1OC A E ∥.……3分 因而1EC A O ∥．因为侧面11AA C C ⊥底面ABC ，交线为AC ，1AO AC ⊥，所以1AO ⊥底面ABC ．所以EC ⊥底面ABC . ……6分（2）F 到平面1A EC 的距离等于B 点到平面1A EC 距离BO 的一半，而BO ……8分所以111111111113232324A EFC F A EC A EC V V S BO A E EC --=====V g g g g . ……12分20.解：（1）当1=n ，21=a ； …………………………1分当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴ 12n n a a -=. ……………2分 ∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2nn a =. ………3分 由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴ 21n b n =-. ………………………………6分（2）2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩为偶数为奇数n n ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分2122223n n n +-=--． ……………………………12分21.解：（1）∵()22f x ax a '=+-， …………………………………………2分由图可知函数)(x f 的图象过点()0,3，且()10f '=. 得3220c a =⎧⎨-=⎩ , 即31c a =⎧⎨=⎩. ………………………………………………4分 ∴31()33f x x x =-+. ………………………………………………5分 （2）∵()()2ln 2ln kf x kg x x kx x xx'=-=--, ………………………………6分 ∴ ()22222k kx k xg x k x x x +-'=+-=. …………………………………………8分∵ 函数()y g x =的定义域为),0(+∞, …………………………………………9分∴若函数()y g x =在其定义域内为单调增函数，则函数()0g x '≥在),0(+∞上恒成立，即220kx k x +-≥在区间),0(+∞上恒成立. ……………………………10分 即122+≥x xk 在区间),0(+∞上恒成立. 令22()1xh x x =+，),0(+∞∈x ， 则222()111x h x x x x==≤++（当且仅当1=x 时取等号）. …………………12分 ∴ 1≥k . …………………………………………………………………………13分22.解：（1）由条件得：c =3，设椭圆的方程132222=-+a y a x ，将)21,3(代入得 1)3(41322=-+a a ，解得42=a ，所以椭圆方程为1422=+y x . --------4分 （2）斜率不存在时，31=不适合条件；----------------------5分设直线l 的方程2+=kx y ，点B (x 1,y 1), 点A (x 2,y 2), 代入椭圆M 的方程并整理得：01216)41(22=+++kx x k .0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得432>k . 且1412,1416221221+=+-=+k x x k k x x . -------------------7分 因为PA PB 53=,即)2,(53)2,(2211-=-y x y x ，所以2153x x =.代入上式得1420,141022222+=+-=k x k k x ，解得1±=k ， 所以所求直线l 的方程：2+±=x y . --------------------9分（3）设过点P (0,2)的直线AB 方程为：2+=kx y ，点B (x 1,y 1), 点 A (x 2,y 2), C (-x 2,y 2).将直线AB 方程代入椭圆M : 1422=+y x ，并整理得：01216)41(22=+++kx x k ，0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得432>k . 且1412,1416221221+=+-=+k x x k kx x . 设直线CB 的方程为：)(212122x x x x y y y y +---=-，令x =0得：2221212121122112222++=++=+--=x x x kx x x y x y x x x y x x y y y .----------11分将1412,1416221221+=+-=+k x x k k x x 代入上式得： 21223214161412222=+-=++-+=k k k ky . 所以直线CB 必过y 轴上的定点，且此定点坐标为)21,0(. ---------12分 当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件。

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