利用二次函数思路巧解不等式问题

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二次函数与不等式的关系

二次函数与不等式的关系二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

不等式是数学中的一种比较关系，表示两个数或者两个表达式之间的大小关系。

本文将探讨二次函数与不等式的关系，并分析二次函数不等式的求解方法。

一、二次函数的图像二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线。

开口向上的抛物线a > 0，开口向下的抛物线a < 0。

当a > 0时，二次函数的最小值存在；当a < 0时，二次函数的最大值存在。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

解一元二次不等式的关键在于确定抛物线与x轴的交点，并判断抛物线在x轴的上方还是下方。

1. 求解开口向上的二次函数不等式当a > 0时，二次函数图像开口向上。

首先，找到二次函数与x轴的交点，即确定二次函数的零点。

设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。

若存在实数x使得x1 < x < x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。

2. 求解开口向下的二次函数不等式当a < 0时，二次函数图像开口向下。

同样地，需要找到二次函数与x轴的交点，并确定二次函数的零点。

设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。

若存在实数x使得x < x1或x > x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。

三、二元二次不等式的解法二元二次不等式是含有两个未知量的不等式，形如ax^2 + by^2 + cx + dy + e > 0或ax^2 + by^2 + cx + dy + e < 0。

解二元二次不等式的方法之一是利用配方将其转化为一元二次不等式。

具体步骤如下：1. 将二元二次不等式化简为一元二次不等式，例如通过平方完成配方；2. 根据一元二次不等式的解法，求解得到满足不等式的区间；3. 将解得的区间带入原二元二次不等式，确定满足不等式的解集。

二次函数的方程与不等式的解法与应用

二次函数的方程与不等式的解法与应用一、二次函数的方程的解法二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

对于二次函数的方程，我们可以采取以下几种解法：1. 因式分解法当二次函数的方程可以通过因式分解的方式得到解时，我们可以尝试利用因式分解来求解。

具体步骤如下：（1）将二次函数方程转化为标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c = 0；（2）对二次函数进行因式分解，将方程写成（px + q）（rx + s）= 0；（3）令px + q = 0和rx + s = 0，解得x的值。

2. 完全平方公式法对于形如f(x) = ax^2 + bx + c = 0的二次函数方程，当其可以通过完全平方公式的方式求解时，我们可以利用下面的公式进行计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个解。

通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。

3. 直接运用求根公式法对于任意二次函数方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接应用求根公式来求解。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。

二、二次函数的不等式的解法与方程不同，二次函数的不等式的解法需要考虑到其图像在坐标轴上的位置。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以采用下列方法解二次函数的不等式：1. 利用图像法首先，我们需要画出二次函数的图像。

通过观察图像，我们可以判断二次函数在哪些区间满足不等式。

比如，当a > 0时，图像开口向上，二次函数在顶点上方满足大于零的不等式；当a < 0时，图像开口向下，二次函数在顶点下方满足小于零的不等式。

2. 利用解方程法我们可以先将二次函数的不等式转化为方程，然后求出方程的解，最后确定不等式的解的区间。

九年级数学上二次函数1.4二次函数的应用4利用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)浙教

5和－1Байду номын сангаас
9．用图象法求 x2－x＋14＝0 的解．解：画出抛物线 y＝x2－x＋14(如图)．由图象可知抛物线与 x 轴的交点为12，0，所以原方程的解为 x1＝x2＝12.
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；解：x1＝1，x2＝3.
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
解：∵∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2＋CD2.即 52＋
(5a)2＝(5－2)2＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，即 72a2＝12.
则 a＝±66.∵a＞0，∴a＝ 66.故二次函数的表达式
为
y＝
66(x＋5)(x－1)，即
y＝
66x2＋2
3
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2 时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1. 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m＋2＝－1时，y有
第1章二次函数
1.4 二次函数的应用第4课时利用二次函数的图象解一
元二次方程(不等式)
提示：点击进入习题
1D 2D 3C 4D
答案显示
5
(1)x1 ＝－ 1 ， x2 ＝ 2 (2)－1＜x＜2
(3)x≤－1或x≥2
6 x＜－3或x＞1
7C
8C
提示：点击进入习题
9 x1＝x2＝12. 10 见习题
(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；

二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析

程 ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解
（或称无实数根）。
二次函数是我们初中数学中的一个
难点，我们一定要掌握好二次函数与一元
二次方程的关系，使我们在面对二次函数
时，能够巧妙地结合方程来解决二次函数的相关问题。
四、进一步的拓展应用
在二次函数与一元二次方程关系的基础上，我们其实还可利用二次函数的图像去解一元二次不等式，我们可以结合二次函数图像与 x 轴交点的情况来判断一元二次不等式的解集；下面以 a>0 为例说明，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴无交点时，不等式 ax2+bx+c>0（或 <0）（a>0）的解集为全体实数或无解；抛物线
参考文献： [1]石慧英，秦继东.从“有形无图”到 “以形助数”— —— 一道中考题的解法与变式探究[J].中学数学，2020(14):67-69. [2]仓猛.复习课“三个关注”：目标、教材与“考向”———以“二次函数与一元二次方程”复习课为例[J].中学数学，2019(22): 41-42. [3]徐章韬.从二次函数到一元二次方程———教育数学研究之九[J].教育研究与评论(中学教育教学)，2019(08):43-46. [4]沈莉.基于机会的教学立意———以 “二次函数与方程、不等式的关系”教学为例[J].中学数学，2018(18):10-12. [5]陆炜锋.重新建构学材，提升学习能力—— —以“二次函数与一元二次方程” 教学为例[J].中学数学，2017(18):15-17.
2021·9
解：（1）①当 m=0 时，原方程可化为
x-2=0，解得 x=2；
②当 m≠0 时，方程为一元二次方程，

二次不等式的解法

二次不等式的解法二次不等式是数学中经常遇到的问题，解决这类问题需要运用一些特定的解法和技巧。

本文将介绍几种常见的二次不等式的解法。

一、一元对于形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的一元二次不等式，可以利用函数图像法或配方法来求解。

1. 函数图像法：将二次不等式转化为函数的不等式。

首先，将二次不等式中的二次项系数a视为函数的开口方向和图像开口方向的相关系数。

若a>0，则函数的图像开口向上；若a<0，则函数的图像开口向下。

其次，可以利用函数的图像来判断二次不等式的解集。

2. 配方法：将二次不等式进行配方，即将ax²+bx+c转化为a(x+m)²+n或a(x-m)²-n的形式。

然后，根据配方法的原理，我们可以根据a的正负和常数项n的正负来确定二次不等式的解集。

二、二元对于形如ax²+by²+2hxy+2gx+2fy+c≥0或ax²+by²+2hxy+2gx+2fy+c≤0的二元二次不等式，我们可以运用二次函数图像法或化简法来求解。

1. 二次函数图像法：将二元二次不等式转化为二元二次函数的图像来进行求解。

对于给定的二次不等式，可以求出关于x和y的二次函数的图像，然后利用图像的特征判断二次不等式的解集。

2. 化简法：对于给定的二次不等式，可以通过一系列的化简操作将其转化为简化形式，从而求解。

这些化简操作包括配方法、均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。

三、综合运用不等式解法在实际问题中，常常会遇到复杂的不等式问题，此时可以综合运用多种不等式解法。

1. 约束条件法：对于有约束条件的二次不等式问题，可以将约束条件和二次不等式联立求解。

通过求解方程组来确定不等式的解集。

2. 辅助变量法：对于一些复杂的二次不等式问题，可以引入辅助变量，通过辅助变量的引入和化简，将问题转化为简化的形式来求解。

3. 数学归纳法：对于一些数列或数学模型中的不等式问题，可以利用数学归纳法来进行求解。

二次函数不等式求解题技巧

二次函数不等式求解题技巧二次函数不等式是指形如$ax^2+bx+c>0$或$ax^2+bx+c<0$的不等式，其中$a, b, c$为实数，且$a\ eq 0$。

要求解二次函数不等式，通常需要经过以下步骤。

步骤一：将二次函数不等式转化为一元二次不等式。

首先，将二次函数不等式的左端变为零，得到一元二次不等式，例如将$ax^2+bx+c>0$变为$ax^2+bx+c=0$。

然后，根据二次函数的图像特点，判断二次函数的开口方向，若$a>0$，则开口向上；若$a<0$，则开口向下。

步骤二：求解一元二次不等式。

对于开口向上的一元二次不等式，可以采用因式分解或配方法求解。

对于开口向下的一元二次不等式，可以采用二次函数的性质，配方、关于平方的绝对值公式等方法求解。

步骤三：求解二次函数不等式。

根据一元二次不等式的解集，利用开区间、闭区间的概念，结合二次函数不等式的开口方向，将解集表示出来。

下面通过例子来展示具体的求解技巧。

例1：解不等式$x^2-5x+6>0$。

步骤一：将二次函数不等式转化为一元二次不等式。

将$x^2-5x+6>0$变形为$x^2-5x+6=0$。

由坐标系上方向向上打开的抛物线$x^2-5x+6=0$可知，该二次函数开口向上。

步骤二：求解一元二次不等式。

将一元二次不等式$x^2-5x+6>0$转化为一元二次方程$x^2-5x+6=0$，并进行因式分解，得$(x-2)(x-3)>0$。

进一步得到$x>3$或$x<2$。

步骤三：求解二次函数不等式。

由于二次函数的开口方向向上，因此在$x>3$或$x<2$的范围内，二次函数的值大于零，即解为$x\\in(-\\infty,2)\\cup(3,+\\infty)$。

例2：解不等式$-2x^2+8x+4<0$。

步骤一：将二次函数不等式转化为一元二次不等式。

将$-2x^2+8x+4<0$变形为$-2x^2+8x+4=0$。

二次函数专题---解二次不等式问题

22.3（5）专题---解二次不等式问题
一．【知识要点】
1.解二次不等式问题
二．【经典例题】
1.结合绵阳市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活
m，绿化区造价50元/2m，设绿化区域较长直角边为xm
动区造价60元/2
（1）用含x的代数式表示出口的宽度；
（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由；
（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进
m，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，行绿化，在实际施工中，每天比计划多绿化112
m
问原计划每天绿化多少2
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
【D】
1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4 800元?请直接写出结果.。

初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式

初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式二次函数在数学中是非常重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。

在初中数学中，学生们需要学习二次函数的应用和方程与不等式。

下面是初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)的内容。

一、二次函数的应用1.抛物线运动问题：抛物线运动是指在给定的初速度和重力加速度下，物体受到重力的作用而做抛物线运动。

学生们需要通过二次函数的知识，求解抛物线运动问题中的相关参数，如最高点、飞行时间和落地点等。

2.最值问题：通过二次函数的图像，可以求解最值问题。

学生们需要通过自定义条件，建立二次函数模型，求解二次函数的最值。

3.平方差问题：通过二次函数的知识，可以求解平方差问题。

学生们需要通过二次函数的知识，求出平方差的最小值。

二、二次函数的方程与不等式1.二次函数的解法：对于二次函数的方程，学生们需要掌握二次函数的解法。

通过配方法、因式分解法和根与系数的关系等方法，求解二次函数的方程。

2.二次函数的不等式：对于二次函数的不等式，学生们需要通过图像的性质，求解二次函数的不等式。

通过求解二次函数的图像与坐标轴的交点，求解二次函数的不等式。

3.二次函数的应用问题的解法：对于二次函数的应用问题，学生们需要掌握二次函数的方程与不等式的解法。

通过建立方程或不等式，求解二次函数应用问题中的未知数。

三、解题技巧与误区1.解题技巧：学生们在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，应注意抓住题目的关键信息，建立正确的模型，严格按照问题的要求进行求解。

2.误区：在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，学生们可能会出现以下误区：-不理解题目的意思，导致建立错误的模型；-忽略二次函数的性质，导致求解出错；-求解过程中计算错误，导致答案错误。

四、典型例题1.例题一：设二次函数f(x)的图像经过点(1,2)，其顶点是(-1,3)，求该二次函数的解析式。

要求：写出二次函数的标准方程和一般方程。

二次函数在不等式中的妙用

二次函数在不等式中的妙用北镇中学高二二班张春晖二次函数贯穿了我们初、高中的数学学习，它是联系多个数学知识点的桥梁和纽带。

不等式也是中学数学的重点内容，二者有着密切的关系。

在某些不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，建立起适当的函数模型，灵活、巧妙地解决不等式问题。

现采撷几例供参考。

例1 已知：a2+ab+ac<0证明：b2-4ac>0分析：所证式子b2-4ac为二次函数判别式的形式，由此我们联想到构造二次函数，从而使问题的思路峰回路转。

证明：令f(x)=cx2+bx+a由a2+ab+ac=a(a+b+c)<0得a与a+b+c异号，∵f(0)=a，f(1)=a+b+c∴f(x)图象与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0点评：好多同学对此题真是望题兴叹，百思不得其解。

看似与函数无关的一道题，经过巧妙转换，使证明对象发生转移，收到了意想不到的效果。

例2 已知a、b是不相等的两个正数，求证：(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2分析：此题的常规解法是作差，再配方，证出(a+b)(a3+b3)—(a2+b2)2>0，使问题得以解决。

这道题的结论形式容易让我们联想到二次函数的判别式，巧妙构造二次函数，从图像的位置使问题迎刃而解。

证明：构造二次函数f(x)=(a+b)x2-2(a2+b2)x+a3+b3=ax2-2a2x+a3+bx2-2b2x+b3=a(x2-2ax+a2)+b(x2-2bx+b2)=a(x-a)2+b(x-b)2∵a、b是不相等的两个正数∴f(x)>0又∵f(x)的图象开口向上∴f(x)的图象位于x轴上方∴⊿=〔-2(a2+b2)〕2-4(a+b)(a3+b3)<0∴(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2点评：这类问题若能认真审题，仔细思考，克服思维定势，变换思维角度，往往使问题的解决更为简捷。

用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
返回
12
题型 1 一元二次方程的解的求法应用
10．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根．
13
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
(3)直接写出使y随x的增大而减小的自变量x的取值范
围：___x_≥__2_；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
∵方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．
由图象可知，k＜2.
返回
19
题型 3 一元二次不等式的解集的求法应用
上标出方程的解．
略．
返回 17
题型
2
图象法说明一元二次方程的解与不等式的解集关系
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根：__x_1_＝__1_，__x_2＝__3___;
18
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集：_1_＜__x__＜__3__；
返回 9
7．(中考•咸宁)如图，直线y＝mx＋n 与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－ 1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是_x_＜__－___1_或__x_＞__4．
返回
10
8．如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，
使y≤1成立的x的取值范围是( D )
A．2.18

利用二次函数图像解一元二次不等式

一元二次不等式及其解法知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a 6、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（） A ．14- B ．14 C ．10- D ．107、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞ 8、不等式()()120x x --≥的解集是（）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（） A ．1a x a<<B ．1x a a<< C ．x a <或1x a>D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．23、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．。

一元二次不等式的解法利用二次函数的图象解不等式

定义: 形如ax b 0(a,b为常数,且a 0)的只含有一个未知数, 且未知数最高次数为1的整数不等式称为一元一次不等式.
问题2：ax2 bx c 0(a,b为常数)是一元二次方程吗? (1) 在什么条件下是一元二次方程呢? (2) 在什么条件下该一元二次方程无实根,有一实根,有两实根?
解: (1)当a 0时, ax2 bx c 0是一元二次方程. (2)当 b2 4ac 0时,该方程无实根; 当 b2 4ac 0时,该方程有一实根; 当 b2 4ac 0时,该方程有两实根;
问题3：你会作二次函数的图象吗?
(1) 二次函数的图象是什么形状的?
(2)作二次函数图象有哪些步骤?
y 0,即x2 2x 0
(3)函数图象上位于x轴下方的部分的所有点的纵坐标都小于0.也就是:
y 0,即x2 2x 0
y 3
2 1
-1 0 -1
探究: 什么样的不等式是一元二次不等式?
y x2 2x
1 2 3x
例1: 判断下列不等是不是一元二次不等式?
(1)x2 5x 0
(2)x2 1 3 x
1
(2) 观察图中函数图象,在x轴上方部分,
你会得到什么结论?
-1 0
(3) 观察图中函数图象,在x轴下方部分, 你会得到什么结论?
-1
y x2 2x
1 2 3x
解: (1) x=0和x=2是二次函数的零点. 即二次方程的两根.
(2) 函数图象上位于x轴上方的部分的所有点的纵坐标都大于0.也就是:
练习与作业：练习：P102页练习题1，练习题2. 作业：P103页习题，题1，题2.
课件到此结束，谢谢大家！
问题1：什么是一元一次不等式？下列式子哪些是一元一次不等式？

高二数学解二次不等式的方法与技巧

高二数学解二次不等式的方法与技巧二次不等式是高中数学中重要的内容，掌握解二次不等式的方法和技巧对于学生提高数学水平至关重要。

本文将介绍解二次不等式的常用方法和技巧，帮助学生更好地理解和应用。

一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法主要包括因式分解法、求值法和图像法。

1. 因式分解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式，其中a、b、c为已知实数，可以通过因式分解的方法来解决。

首先，将原不等式变形为ax^2+bx+c=0的二次方程，然后通过求根公式或配方法得到方程的两个根x1和x2。

接下来，根据二次函数的性质和因式分解的方法，将二次方程对应的二次函数绘制成图像。

根据图像的特点，确定方程在数轴上的解集。

最后，根据不等式的符号确定解集。

2. 求值法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式，其中a、b、c为已知实数，可以通过求值法来解决。

通过求解二次不等式对应的二次方程，得到方程的两个根x1和x2。

将数轴分成三个区间：(-∞,x1)，(x1,x2)，(x2,+∞)。

分别取每个区间中的一个点代入不等式，判断不等式在该点的取值情况。

由于二次函数的图像是开口朝上或朝下的抛物线，因此在区间中，二次函数的取值情况呈现出两种可能性，根据这些情况确定解集。

3. 图像法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式，其中a、b、c为已知实数，可以通过图像法来解决。

首先，绘制出函数y=ax^2+bx+c的图像。

根据二次函数的图像特点，确定不等式的解集。

二、二元二次不等式的解法解二元二次不等式的方法包括配方法和图像法。

1. 配方法对于形如ax^2+by^2+cx+dy+e>0或ax^2+by^2+cx+dy+e<0的二元二次不等式，其中a、b、c、d、e为已知实数，可以通过配方法来解决。

首先，将二元二次不等式化简为含有平方项的二次不等式。

利用二次函数解决不等式问题

ｌ。＆（丢ｌ＿）＋Fra bibliotekｏｇａ血毫芋变考虑
以算）恒正及一（口）＞ｏ； ③利用二元函数ｆ（ｘ，口）分离
变量为∥（口）、一（并），若已知一（膏）有最大值肼，则ｆ（ｘ，口）＞ｏ恒成立的
条件就是痧（口）＞Ｍ成立的条件．
这里的思路（鳓其实在高中课
内教学中是很难遇到的具有新意的数学思想，务必让学生掌握，现在我们仅就后二思路给出两种解法．
２－导冉（茹一１）２＜ｏ．
由二次函数的图像知，当口∈ （０，１）时，火ａ）＜ｍａｘ｛ｆ（ｏ）以１）ｌ＜ｏ，以并）＜０，因此，结论成立．
变更元是解答多元变量的问题的一条有效的方法，本题通过变更元构造出一个二次函数，再利用二次函数的性质进行解答的．
２．利用二次函数巧解不等式
例３设ｘ是实数，不等式
诎２＋２茗一１．函数．令ｆ（ａ）＝（矿＋２ｘ２）ａ２一（３ｘ４—２矿）
显然ｘ４＋搿ｔ＞０，特别地ｘ－－Ｏ
时，以０）＝－１＜０成立，而互≠０时，ｆ（Ｏ）＝一４矿＋２ｚ一
ｗ＾１＝－４（ｘ－了１，＂２一了３
，（１）≈４＋缸２一缸４＋知３—如２＋缸一
１：一２一＋氩３一ｈ２＋厶一ｌ＝－２（ｘ２一丁１茗）
解得０＜ａ＜１．
责任编辑罗峰
广东教育·教研２００８年第１２期
万方数据
利用二次函数解决不等式问题
作者：作者单位：刊名：
英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
吴玉荣潮州市松昌中学
广东教育（教研版） GUANGDONG EDUCATION 2008，""(12) 0次
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总结解二次不等式组的常用技巧

总结解二次不等式组的常用技巧解二次不等式组是高中数学中的重要知识点，掌握解二次不等式组的常用技巧对于学生来说是至关重要的。

本文将对解二次不等式组的常用技巧进行总结，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。

一、解二次不等式组的基本方法解二次不等式组的基本方法是将两个二次不等式进行合并，得到一个二次不等式。

然后通过求解这个二次不等式来确定解的范围。

1. 首先，将两个不等式分别转化为函数的零点形式，即将不等式左边的二次函数转化为函数等于零的形式。

例如，将不等式“ax² + bx + c > 0”转化为“f(x) = ax² + bx + c > 0”的形式。

2. 其次，将两个函数相减得到一个新的函数。

例如，将两个函数“f(x) - g(x)”得到一个新的函数“h(x) = f(x) - g(x)”。

3. 然后，解新函数“h(x)”等于零的方程，即求解“h(x) = 0”的解。

4. 最后，根据解的范围，得出原二次不等式组的解。

如果“h(x) = 0”的解集为“x ∈ (a, b)”和“x ∈ (c, d)”，则原不等式组的解为“x ∈ (a, b) ∪(c, d)”。

二、解二次不等式组的常用技巧除了基本方法外，还存在一些常用的技巧可以简化解二次不等式组的过程。

1. 利用二次函数的单调性二次函数在开口向上的区间内是单调递增的，在开口向下的区间内是单调递减的。

利用这一特性，可以根据二次函数的开口方向来判断不等式的解集。

2. 利用二次函数的判别式二次函数的判别式可以判断函数的根的情况。

当判别式大于零时，函数有两个不等的实根；当判别式等于零时，函数有两个相等的实根；当判别式小于零时，函数没有实根。

利用判别式可以直接确定二次不等式的解集。

3. 利用函数图像的几何意义二次函数的图像是一个抛物线，通过观察函数图像的形状和位置可以帮助确定不等式的解集。

例如，当抛物线完全位于x轴的上方时，二次不等式组的解集为空集。

高中数学中的二次函数与不等式的应用分析高中数学不等式的应用

《高中数学中的二次函数与不等式的应用分析|高中数学不等式的应用》摘要：图象【中图分类号，1006-9682(2010)07-0140-02 一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点之一，(2)若|x1|-1 (2)对于方程ax2+(b-1)x+1=0,令b-1=c,则有ax2+cx+1=0【摘要】一元二次不等式和二次函数是高中数学中比较重要的两个内容,它们贯穿于整个高中数学体系,也是实际生活中数学建模的重要工具之一。

尤其是二次函数在高中函数的教学中占有更为重要的地位,它不仅与二次函数密切联系,更为高中学习圆锥曲线和导数等内容奠定基础。

在历届高考试题中,二次函数与不等式的思想都是压轴题中不可缺少的内容。

不等式与二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想,二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系,使学生能更好地将所学知识融会贯通,为学好高中数学奠定坚实的基础。

【关键词】一元二次不等式二次函数方程数形结合图象【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2010)07-0140-02 一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点之一。

从内容上看,二次不等式、二次方程与二次函数密不可分,该内容涉及的知识点较多且应用广泛。

从思想层次上看,它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想,这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。

我们现用的教材在处理上是下了一番功夫的,它将二次不等式的解法分成了两部分――首先介绍了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式,即利用“同号两数相乘得正,异号两数相乘得负”的原理,将一元二次不等式转化为一元一次不等式组加以解决。

毫无疑问,这种解法具有极大的局限性和不完整性,这就为后面介绍二次不等式的图象法(也就是结合了与二次函数之间的关系)作了必要的铺垫和准备。

一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的主要工具,它可渗透到中学数学的几乎所有领域中,对今后的学习起着十分重要的作用。

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。

而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。

在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。

首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。

接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。

这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。

现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。

假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。

首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。

对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。

情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。

这可以通过求导数的方式来实现。

我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。

然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。

我们将这个最大值命名为M。

因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。

活用“两根式”巧解不等式

活用“两根式”巧解不等式一湖北团风中学..,秦红安一对于二次函数()=ax2+bx+c(a-7~O),如果方程厂(_z)一0的两个实根为321, X2,那么二次函数,()可写成,()一n(一-z)(～),这就是二次函数的”两根式”.灵活地运用二次函数的两根式,可以巧妙地解决一些不等式问题.售l已知二次函数厂(_z)一,+ax+b(a,bER).(1)若方程厂()=0有两个非整数实根,且这两实根在相邻两整数之间,试证明:存在整数k,使得J厂(是)I≤÷.(2)若方程厂()一.有两个非整数实根.且两实根不在相邻两整数之间,请你探求当n,b满足什么条件时,一定存在整数k,使得『厂(是)I≤÷成立.解:(1)设方程厂(_z)一O的两实根分别为a,,且m<a<m-f-1,<m+l(mE z).则有_厂(z)一.+nz+6一(x--a)(x--p).则I厂(m)JI厂(+1)J—I(m--a)(m--f1)IJ(+l--a)(+1一I一(a--m)(+1--a)(flm)(+1口)~(a--m+m+l--a).(fl--m+r~+l--f1).=(吉).(专).=({)....必有I厂()j≤{或『厂(m+1)I≤{.故在题目的条件下,存在整数k=m或k—+1,使I厂(是)i≤1成立.(2)设<口<+1,当p<时,则I厂()ll厂(+1)I—I(m--a)(m--II(+1--a)(m+1一I(a--m)(+1一(m--f1)(+1--a)~[(a--m)(m+1--f1)-F(m--f1)(m+l--a)].=()=().(由韦达定理).53●贵阳市息烽q-学李志忠两角和的正切公式tan(“+一用较广,其变形:tam+ta+tan(a+tan口ta邴一tan(a+p)在解题中也有重要作用.懿tan70.,tan50.一~r3tan70.tan50.的值是().Bc.13.一分析:...tan(70.--5O.)tanl20.一,..tan70.+tan50.一~/tan70.tan50.=tan120.一一.故选D.伪2(2002年春季高考题)在△ABC中,已知角A,B,C成等差数列,求tanA+tan+tantan导的值.’分析:因A,B,C成等差数列,故2B=A+C.从而得B=60....A~C一120..即A十百C一60....tan(A十C)一tan60.一厄..由变形公式tan+tan导+tantan一tan6o.一.啻唾已知△ABC中,”,b,f分别是角A,B,C所对应的边,且n一4.6+(一5,ta【nA+tanB+一?tanAtanB,求△lABC的面积.分析:I,ItanA+tanB+一,/gtanAtanB,..tal+tanBVStaI以tanB一一√而一一tan120.,..可认为tan120.一tan(A,B),A+B一120..从而C=60..于是由余弦定理可得c一16-cbz--4b.37.b”5,代人得6一号...s,J,:吉inC--3~/3.4(责任编辑韩可立)C因O<z<z1<z2,故z1一z>O.1+n(x--x~)>O..z1(z)>0,由此得(z)<1...当z∈(O,z1)时,z<厂(z)<z1.(责任编辑韩可立)活返厢两角和的芷切公贰。