2016年秋季学期新人教A版高中必修四第二章 平面向量复习课2
2016秋数学人教A版必修4课件：第2章 平面向量 复习提升
第十页，编辑于星期六：点 十三分。
所以 a·b＝－12a2.③ 将③代入①，得 a2＝b2， 所以|a|＝|b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝a|a·|b2＝aa·2b＝－12. 又因为 θ∈[0°，180°]， 所以 θ＝120°.
第二章 平面向量
栏目 导引
第九页，编辑于星期六：点 十三分。
第二章 平面向量
[解] (1)选 B．因为 m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)， (m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1) ＝－2λ－6＝0，解得 λ＝－3. (2)因为－3a＋b 与 5a＋7b 垂直， 所以(－3a＋b)·(5a＋7b)＝0， 所以－15a2－16a·b＋7b2＝0.① 同样由 16a＋11b 与 2a－7b 垂直， 得 32a2－90a·b－77b2＝0.② 由 11×①＋②，得－133a2－266a·b＝0.
第二章 平面向量
章末复习提升课
第一页，编辑于星期六：点 十三分。
第二章 平面向量
栏目 导引
第二页，编辑于星期六：点 十三分。
第二章 平面向量
平面向量的线性运算 向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘， 向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化 为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量 满足分配律．利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三 点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出 三点共线．
(1)设向量 a＝(0，－1)，向量 b＝(cos x，sin x)，则|a＋ b|的取值范围为________． (2)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|的值为________． [解析] (1)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)， 所以 a＋b＝(cos x，sin x－1)． 所 以 |a ＋ b| ＝ cos2x＋（sin x－1）2 ＝ 2－2sin x ＝
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版必修4课件
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
一、知识要点：
4. 两点间的距离:
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
cosab x1x2y1y2
ab x12y12 x22y22
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
第二章复习(一)
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
一、知识要点：
1. 实(((321数)))(与((a向a)b量)a)的(积aa)的a运ba算律：
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
二、重要结论：
1. AB 中 ,C若 O AO BOC 0, 则 O为 AB 的 C重 . 心 2. AB中 C, 若OAOBOBOC OAOC,则O为AB的 C 垂.心
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
二、重要结论：
2
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
三、典型例题：
例1.已 O 知 为AB内 C 一,点 AOB15o,0 BOC90o, 设OA a, OBb,OCc, 且a2, b1, c3, 用a与b表 示 c.
高中数学必修第二章平面向量复习一全册精品 新人教A版 必修4
四、基础练习：
3. AB中 C, 若OAOBOC0, 且OAOBOC1, 则ABC 为等边三.角形
人教A版高中数学必修4课件：第二章《平面向量》复习课(共23张PPT)
uur a0 (
2, 2
2) 2
ur b0
(
4
41 41
,
5
41 ) 41
题型二：利用向量知识证明
例27.（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
r
r
证则明rar：arr2 设bra1r2aa1ra2b21,(bar a212,abb2122r,),
b
rb22
(b1,
b2
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
3)坐标表示 a xi y j (x, y)
r uuur a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
a MN (xN xM , yN yM )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
r
在正八r边形A1Ar2Ar3……A8中，设A1A2= a ，
A1A8u=uubu，r 试uu用uuuar
，b表示：
uuuuur uuuur
uuuuur
uuuur
A2 A3, A2 A4, A4 A5, A5 A6, A6 A7 , A7 A8
A6 A7
A5 A4
A8
A3
b
A1 a A2
uuuur r r A2 A3 2a b
|a|
可正可负可为零
二r.基本运算（r 坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第二章 平面向量》单元复习 2PPT课件
2.向量数乘的运算性质
(1) λ(μa)=(λμ) a ； (2) (λ＋μ) a =λa ＋μa； (3) λ(a＋b)=λa＋λb；
3.数量积的运算性质
（1）a·b＝b·a；
（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c； （4）a⊥b a·b＝0； （5）a2＝|a|2； （6）|a·b|≤|a||b|；
第二章 平面向量 单元复习 第二课时
知识结构
t
p
1 2573Βιβλιοθήκη 线性运算基本定理
向 量
实际背景 向量
的 实
际
坐标表示
应 用
数量积
知识梳理
1.向量加法的运算性质
（1）a＋b=b＋a； （2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； （3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0； （4）若b＋c＝a，则c＝a－b； （5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||； （6）O A 1A 1 A 2A 2 A 3 A n 1 A n O A n
角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，
求向量a＋b＋c与a的夹角. 150°
例4 设向量a、b不共线，已知 AB 2a＋kb，BC a＋b，CD a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值.
k=－1
例5 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
例6 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
[2 3, 4]
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
高中数学 第二章 平面向量复习课课件 新人教A版必修4
完整版ppt
1
(二) 要点概述 1.平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 2.平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 3.平面向量基本定理与共线向量定理 4.平面向量的坐标运算 5.平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 6.平面向量与三角、物理等知识的融合
完整版ppt
2
四、典型题归纳： （一）向量的基本概念和运算律
完整版ppt
3
（二）向量的坐标运算
完整版ppt
4
（三）向量与函数的交汇 （四）平面向量与三角的交汇
完整版ppt
5
（五）平面向量的判断题
完整版ppt
6
[作业精选，巩固提高]
• 复习参考题：A组2，3,5
完整版pห้องสมุดไป่ตู้t
7
人教A版高中数学必修四第二章平面向量复习课件
解：设点 B 的坐标为（x,y），
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
∴ x（ x-5） +y（ y-2） =0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
2024/11/3
由①、②解得：
2
2a b
b2
3
ab
3
2024/11/3
上页 下页 返回
15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
长线上的一点，F在BC上，且BE=BF， 用向量的坐标法证明：AF⊥CE
2024/11/3
D
C
F
A
BE
上页 下页 返回
3、已知三个力 f1、f2、f3 作用于同一质点,且 | f1 | 20, | f2 | 30, | f3 | 40 (单位:牛)若三个力在同一平面
内且两两的夹角都为1200,求协力的大小和方向
y
B
f2
oθ
f3
x
C
A f1
2024/11/3
上页 下页 返回
例2:已知向量a (cos 3 x,sin 3 x),b (cos x , sin x),
22
2
2
且x
0,2
,
求
:
(1)a
b及
a
b
;
(2)若f
(x)
a
b
2
a
b
的最小值是-
3 2
, 求的值.
x1
y1
7 2
23或xy22
3 为
最新人教A版高中数学必修4第二章平面向量章末复习课导学案
第二章 平面向量学习目标.1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3.向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，类型一.向量的线性运算例1.如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.答案.311解析.设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1.在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC→＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由.解.假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二.向量的数量积运算例2.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0). (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小. 解.(1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k).由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k )在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.反思与感悟.数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m )). (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值. 解.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件.(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三.向量坐标法在平面几何中的应用例3.已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小.解.建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0).因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′—→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′—→⊥CC ′—→，所以BB ′—→·CC ′—→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3.如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于(..)A. 3B.33C.433D.2 3 答案.A解析.由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×cos 30°，－3×sin 30°)，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ(3×32，－3×12)， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1.在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于(..) A.2 B.－2C.|AB →|cos A D.与菱形的边长有关答案.B解析.如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →) ＝－2＋0＝－2.2.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于(..) A.20 B.15 C.9 D.6答案.C解析.▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为(..) A.12 B.2 C.－12 D.－2 答案.D解析.m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1). ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4.若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案.2 5解析.由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5.平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t ). 解.由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t ).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是(..) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →＋BA →＝0 C.0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD → 答案.D解析.OA →－OB →＝BA →；AB →，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于(..) A.5 B.4 C.3 D.2 答案.A解析.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3.设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 等于(..) A.2 B.3 C.4 D.6 答案.B解析.∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.4.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于(..) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3)答案.A解析.设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6).5.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于(..) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案.B6.在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是(..) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案.C解析.由已知，得AB →·(AB →－AC →)－BC →·(BA →－CA →)＝0， ∴AB →·CB →－BC →·BC →＝0，∴BC →·(－AB →－BC →)＝0，即－BC →·AC →＝0，BC →⊥AC →， ∴BC ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形.故选C.7.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角θ的大小为(..) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案.B解析.∵a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0， ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |，又∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，θ∈[0，π]，∴θ＝π3.8.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为(..)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案.C解析.令BF →＝λBE →.由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.由⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.二、填空题9.若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________. 答案.238解析.由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238.10.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 答案.711.在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________. 答案.－2解析.由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →， 则BO →＝32BC →，所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →.所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________. 答案.1解析.∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.答案.712解析.∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×(－12)＋4＝0， ∴λ＝712. 三、解答题14.若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈[0，π2]，求|AB →|的最大值. 解.∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝ 3(cos θ＋23)2＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.四、探究与拓展15.已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点.(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值.解.(1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t ).∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－(t －1)－t ＝0，∴t ＝12. (2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝1 2时，MA→·MB→取得最小值－12.。
人教A版高中数学必修四第二章平面向量复习课件
a
b
(x1x2,y1y2)
说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a
b
于这两个向量相应
(x1x2,y1y2) 坐标的和与差。
a （ x1,
y）说明：实数与向量的积的坐标 1 等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标。
abx1x2y1y2
说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。
22.09.2021
向量平行(共若 线)充a 要条 件的2 两e 种1 形 式: e 2 ,b 3 e 1 2 e 2? 求 a 与 b 的 夹 角 .
设 a = ( x , y ),
(2) 当λ＜0时,λa 的方向
说明：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
a 2 e e 2 e e 4 e 4 e e e 向说量明解平 ：：行实(数∵共与线向)充量要的条积2 件的的坐两标种等形于式用:这个实数2 乘原来向量的相应坐标。2
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
12
12
2
2
1 12 2
2．已知
求
说说上向明明海量： ： 市 平两两向行个个东(共向向中线量量学)充的的要数数姜条量量玉 件积积文的4 等等两于于e 种1 它它形2 们们式对对 :应应e 坐坐2 标标2 的的 乘乘积积4 的的e 和和1 。。e 2 c o s 6 0 4 1 4 1 1 1 2 1 7
a b 2 e e 3 e 2 e 6 e e e 2 e 说明：两个向量的数量积等于1 它们对应2 坐标的乘积的和1 。
2 7 (1) 当λ≥0时,λa 的方向
平行的充要条件是
六、平面向量的基本定理
cos ab 2 上海市向东中学 姜玉文
高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.2.1
|AB| 因此，船实际航行的速度大小为 10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角 为 60°.
上一页
返回首页
下一页
[探究共研型]
向量加法的多边形法则 探究 1 在△ABC 中，若A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，那么 a＋b＋c＝0 一定成 立吗？ 【提示】 一定成立，因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则A→B＋B→C ＝A→C，所以A→B＋B→C＋C→A＝0，那么 a＋b＋c＝0.
上一页
返回首页
下一页
向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义： 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法 法则运算的目的． 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可 以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则： 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加 法的结合律调整向量相加的顺序．
阅读教材 P80～P81“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．向量加法的定义 定义：求_____两__个__向__量__和______的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量 a，规定0＋a＝a＋_0_＝__a_．
上一页
返回首页
下一页
2．向量求和的法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，
(3)若正方形 ABCD 的边长为 1，A→B＝a，A→D＝b，A→C＝c.试作出向量 a＋b
＋c，并求出其模的大小．
上一页
返回首页
下一页
【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图．
【自主解答】 (1)由向量加法的三角形法则可得： A→E＋E→B＋B→C＝A→B＋B→C＝A→C.故选 B． (2)由向量求和的三角形法则可知 a＋d＝D→A，c＋b＝C→B.
人教A版高中数学必修四第二章平面向量复习课教案新
第12课时复习课一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、典型例题例1.对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c i j解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C （-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a=i－3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b例3.下面5个命题：①|a·b|=|a|·|b|②(a·b)2=a2·b2③a⊥(b－c)，则a·c=b·c④a·b=0，则|a+b|=|a－b|⑤a·b=0，则a=0或b=0，其中真命题是（）A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤三、巩固训练1.下面5个命题中正确的有（）①a=b⇒a·c=b·c；②a·c=b·c⇒a=b；③a·（b+c）=.=a·c+b·c；④a·（b·c）=（a·b）·c；A..①②⑤B.①③⑤C. ②③④D. ①③2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）①若a与b是非零向量，且a与b共线时，则a与b必与a或b中之一方向相同；②若e为单位向量，且a∥e则a=|a|e③a·a·a=|a|3④若a与b共线，a与c共线，则c与b共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有AC+BD=BC+ADA 1B 2C 3D 43.下列5个命题中正确的是①对于实数p,q和向量a,若p a=q a则p=q②对于向量a与b，若|a|a=|b|b则a=b③对于两个单位向量a与b，若|a+b|=2则a=b④对于两个单位向量a与b，若k a=b，则a=b4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。
2016-2017学年高中数学人教A版必修四 第二章 平面向量 2.2.2
上一页
返回首页
下一页
第二十五页，编辑于星期五：十六点 十九分。
利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题， 然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个 解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的．
上一页
返回首页
下一页
第二十六页，编辑于星期五：十六点 十九分。
上一页
返回首页
下一页
第二十二页，编辑于星期五：十六点 十九分。
探究 2 已知向量 a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小
关系？ 【提示】 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (1)当 a，b 有一个为零向量时，不等式显然成立． (2)当 a，b 不共线时，作O→A＝a，A→B＝b，则 a＋b＝O→B，如图(1)所示，根
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期五：十六点 十九分。
【精彩点拨】 运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向
量 a、b、c、d、e、f 的和与差来表示． 【自主解答】 (1)∵O→B＝b，O→D＝d，∴A→D－A→B＝B→D＝O→D－O→B＝d－b. (2)∵O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→F＝f， ∴A→B＋C→F＝(O→B－O→A)＋(O→F－O→C)＝b＋f－a－c. (3)∵O→D＝d，O→F＝f， ∴B→F－B→D＝D→F＝O→F－O→D＝f－d.
阶
阶
段
段
一
三
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
上一页
人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt
D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
4．设 b 是 a 的相反向量，则下列说法错误的是( C ) A．a 与 b 的长度必相等 B．a∥b C．a 与 b 一定不相等 D．a 是 b 的相反向量
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；
老而好学，如炳烛之明。
——刘向
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
提示:
B
C
b
a＋b
a－b
O
A
a
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与a－b 可能相 等吗？
提示: 当 b = 0 时 ， a + b = a -b .
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
【即时训练】 如图，已知向量 a , b , c ，求作向量 abc
例2.对下列各式进行化简
(1 )A B A C B D C D
解 : 原 式 = C B + B D - C D = C D - C D = 0 .
(2 )O A O C B O C O
解 :原 式=(OA+BO)+(OC+CO) =(OA-OB)+0=BA.
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量 2（精品课件）
2016-2017学年高中数学人教A版必修四 第二章 平面向量 2.4.2
上一页
返回首页
下一页
第二十五页，编辑于星期五：十六点 二十分。
2．已知 a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且 a⊥b，则 x 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】 由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得 x＝－1.故
选 A．
【答案】 A
上一页
返回首页
下一页
第二十六页，编辑于星期五：十六点 二十分。
∴λ2－11＋<0λ，2≠1－λ，即λλ2<＋1，2λ＋1≠0， ∴λ<1 且 λ≠－1. ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期五：十六点 二十分。
(1)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实
数 k 的取值范围是( )
【答案】 D
上一页
返回首页
下一页
第二十七页，编辑于星期五：十六点 二十分。
4．已知 a＝(3，－4)，则|a|＝________. 【解析】 因为 a＝(3，－4)，所以|a|＝ 32＋（－4）2＝5. 【答案】 5
上一页
返回首页
下一页
第八页，编辑于星期五：十六点 二十分。
【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利
用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． 【自主解答】 (1)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)，
所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得 x＝－32.
上一页
返回首页
下一页
第十八页，编辑于星期五：十六点 二十分。
【自主解答】 (1)当 a·b 共线时，2k－1＝0，k＝12，此时 a，b 方向相同， 夹角为 0°，所以要使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0 且 a，b 不同向．由 a·b ＝2＋k>0 得 k>－2，且 k≠12，即实数 k 的取值范围是－2，12∪12，＋∞，选 B．
2016-2017学年高中数学人教A版必修四 第二章 平面向量 2.3.4
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．
∵向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，
∴λ＝2.
上一页
返回首页
下一页
第二十页，编辑于星期五：十六点 二十分。
【答案】 2 (2)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)， 所以 0－(－10－30k)＝0， 所以 k＝－13.
上一页
返回首页
下一页
第六页，编辑于星期五：十六点 二十分。
【精彩点拨】 (1)利用向量的平行条件 x1y2－x2y1＝0，可证明有公共点的 两个平行向量共线，从而可证明三点共线．
(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线．
【自主解答】 (1)设点 C 的坐标是(x，y)， 因为 A，B，C 三点共线， 所以A→B∥A→C.
所以 AB∥CD．
上一页
返回首页
下一页
第十页，编辑于星期五：十六点 二十分。
三点共线的条件以及判断方法： 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： (1)直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)是否为 0； (2)任取两点构成向量，计算出两向量如A→B，A→C，再通过两向量共线的条 件进行判断．
上一页
返回首页
下一页
第十三页，编辑于星期五：十六点 二十分。
【精彩点拨】 (1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决． (2)方法一：可利用 b 与非零向量 a 共线等价于 b＝λa(λ>0，b 与 a 同向；λ<0， b 与 a 反向)求解； 方法二：可先利用坐标形式的等价条件求 k，再利用 b＝λa 判定同向还是反 向．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
章末复习课
课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用． 知识结构
一、选择题
1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a ·b )(a ＋b )等于( ) A ．20 B ．(－10,30) C ．54 D ．(－8,24)
2．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( ) A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →
4．在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →
等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3
5．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫
a·a a·
b b ，则向量a 与
c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π
2
6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →
)
等于( ) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49
题 号
1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是____________． 8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______． 9．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
三、解答题
11．已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →
.
12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .
(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，1
3
(a ＋b )三向量的终点在一直线上？
(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？
能力提升
13．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2＝OC →2＋AB →
2，则O 一定是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
14. 如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →
的夹角
为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，求实数λ、μ的值．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
章末复习课
答案
作业设计 1．B [a ·b ＝－3＋8＝5，a ＋b ＝(－2,6)， ∴(a ·b )(a ＋b )＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B.] 2．A [(λa ＋b )·a ＝0，∴λa 2＋a ·b ＝0. ∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选A.] 3．A [由题意D 是BC 边的中点，
所以有OB →＋OC →＝2OD →
，
所以2OA →＋OB →＋OC →＝2OA →＋2OD →＝2(OA →＋OD →)＝0⇒OA →＋OD →＝0⇒AO →＝OD →.]
4．D [AC →＝AB →＋AD →＝(1,2)，BD →＝AD →－AB →＝(－3,2)，解得AD →＝(－1,2)，∴AD →·AC →
＝(－1,2)·(1,2)＝3.故选D.]
5．D [∵a·c ＝a·⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b ·(a·b )＝0，∴〈a ，c 〉＝π2
.] 6．A [易知P 为△ABC 的重心，则PB →＋PC →＝－P A →＝AP →，故AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2＝4
9
，故选
A.]
7．2x ＋y －7＝0
解析 设直线上任一点P (x ，y )，则AP →
＝(x －2，y －3)． 由AP →·a ＝2(x －2)＋(y －3)＝0，得2x ＋y －7＝0. 8．1
解析 b 在a 上的投影为|b |cos θ＝2×cos 60°＝1. 9．2
解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)与c ＝(－4，－7)共线， ∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2. 10.10
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝1
2
.又∵|β|＝2，
∴|2α＋β|＝(2α＋β)2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋4×1
2
＋4＝10.
11．解 ∵AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)，AD →
＝(－3,5)，
BD →＝(－4,2)，CD →
＝(－5,1)， ∴AD →＋BD →＋CD →
＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． 根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m ，n 使得 AD →＋BD →＋CD →＝mAB →＋nAC →， ∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－12＝m ＋2n ，8＝3m ＋4n .，得m ＝32，n ＝－22. ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.
12．解 (1)设a －t b ＝m [a －1
3
(a ＋b )]，m ∈R ，
化简得(23m －1)a ＝(m
3
－t )b ，
∵a 与b 不共线，
∴⎩
⎨⎧ 2
3m －1＝0m
3
－t ＝0，
∴⎩⎨⎧
m ＝32
，
t ＝1
2.
∴t ＝12时，a ，t b ，1
3
(a ＋b )的终点在一直线上．
(2)|a －t b |2
＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2.
∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值3
2
|a |.
13．C [由OA →2＋BC →2＝OB →2＋CA →2，得OA →2＋(OC →－OB →)2＝OB →2＋(OA →－OC →)2，得OC →·OB →
＝OA →·OC →.∴OC →·AB →＝0，O 在边AB 的高线上．同理O 在边AC 的高线上，即O 为△ABC 的垂心．故选C.]
14．解 方法一
过点C 分别作平行于OB 的直线CE 交直线OA 于点E ，平行于OA 的直线CF 交直线OB 于点F .如图所示．
在Rt △OCE 中，|OE →
|＝|OC →|cos 30°＝233
2＝4；
|CE →|＝|OC →
|·tan 30°＝23×33
＝2，
由平行四边形法则知，OC →＝OE →＋OF →＝4OA →＋2OB →
， ∴λ＝4，μ＝2. 方法二
如图所示，以OA →
所在直线为x 轴，过O 垂直于OA 的直线为y 轴建立直角坐标系．设B 点在x 轴的射影为B ′，C 点在x 轴的射影为C ′.
易知，OC ′＝23cos 30°＝3，CC ′＝OC sin 30°＝3，BB ′＝OB sin 60°＝3
2
，
OB ′＝OB cos 60°＝1
2
，
∴A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为⎝⎛⎭
⎫－12，3
2，
C 点坐标为(3，3)． ∵OC →＝λOA →＋μOB →
∴⎩
⎨⎧
λ－1
2μ＝3，0·λ＋32
μ＝3，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝4
μ＝2.
方法三 ∵OC →＝λOA →＋μOB →
.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
OC →·OC →＝(λOA →＋μOB →)·OC →OA →·
OC →＝(λOA →＋μOB →)·OA →，
∴⎩⎨
⎧
23×32λ＝12λ－μ2＝23×32
，解得λ＝4，μ＝2.。