【数学】江苏省常州市部分四星级中学11～12学年度高二第一学期期末联考

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江苏省常州市2023-2024学年高三上学期期末学业水平监测数学试卷(后附参考答案解析)

常州市教育学会学业水平监测高三数学2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2＝x}，B＝{x|ln x＜0}，则A∪B＝A．[0，1]B．(0，1]C．[0，1)D．(0，1)2．在复平面内，复数z＝－12＋32i对应的向量为→OA，复数z＋1对应的向量为→OB，那么向量→AB对应的复数是A．1B．－1C．3i D．－3i3．已知实数a，b满足等式lg a＝ln b，下列三个关系式中可能成立的个数为①a＜b＜1；②1＜a＜b；③a＝b．A．0B．1C．2D．34．对任意实数a，b，C，在下列命题中，真命题是A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的必要条件B．“ac2＝bc2”是“a＝b”的必要条件C．“ac2＝bc2”是“a＝b”的充分条件D．“ac2≥bc2”是“a≥b”的充分条件5．已知扇形AOB的半径为5，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，→OA＝(5，0)，→OB＝(4，3)，弧AB的中点为C，则→OC＝(第5题图)A．(92，32)B．(3102，102)C．(4，2)D．(25，5)6．已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC 的距离是A．32B．6C．3D．3327．已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜e x，则不等式f(x)＞x e x的解集是A．(－∞，1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1＋d2＝A．2B．4C．6D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n(n≥4)，其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k＋1(k＝1，2，…，n)生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有A．极差B．平均数C．中位数D．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：°C)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sinωx＋B(A＞0，B＞0，0＜ω＜1 2 )，其中0≤t≤24．已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25°C，第二天凌晨3：00时温度最低为19°C，则A．ω＝π12B．当天下午3：00温度最高C．温度为28°C是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22°C11．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列说法正确的有A．存在点P，使得CP⊥平面A1DBB．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°C．PC＋PD的最小值为23D．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是223π12．关于函数f(x)＝2x＋1x2＋1，下列说法正确的有A．函数f(x)的图象关于点(－12，0)对称B．函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减C．若方程f(x)＝t恰有一个实数根，则t＝5D．若∀x∈R，都有f(x)＞m，则m≤－2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的标准方程为x2k－4＋y2k－5＝1，则该双曲线的焦距是．14．已知函数f(x)a－x2＋3x，x＜0，3x－2，x＞0，若f[f(13)]＝a，则实数a的值为．(第15题图)15．如图，以等腰直角三角形BA0A1的直角边BA1为斜边，在△BA0A1外侧作等腰直角三角形BA1A2，以边BA0的中点O1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A0A1；再以等腰直角三角形BA1A2的直角边BA2为斜边，在△BA1A2外侧作等腰直角三角形BA2A3，以边BA1的中点O2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A1A2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i－1A i的直角顶点A i首次落到线段．．BA0上，作出相应的圆弧后结束．若BA0＝4，则i＝，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角α－l－β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋cn＋c，c∈R．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，2a m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．18．(12分)某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6，σ2)，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．(1)求σ；(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根?说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z＝X1－μσ转化为标准正态分布Z~N(0，1)，从而查标准正态分布表得到P(X＜X1)＝Φ(Z)．可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z)Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9Φ(Z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713 Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8Φ(Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高为h ，已知B ＝π3．(1)若b ＝3h ，求ca的值；(2)若c －a ＝h ，求sin A －3cos A 的值．20．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝AD ，PD ＝23，M 是AB 的中点，N 是线段PC 上一点，且MN ∥平面PAD ，MN ⊥PC ．(1)求证：CD ⊥平面PAD ；(2)求平面MNC 与平面PBD 所成的二面角的正弦值．(第20题图)已知函数f (x )＝m e x ＋cos x ＋n ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线方程为y ＝x ．(1)讨论函数f (x )在[－π，＋∞)上的单调性；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥3sin x －ax 恒成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，P (2a ，0)．(1)若点A ，B 关于原点对称，且FA ⊥FB ，求e 的取值范围；(2)若点A ，B 关于x 轴对称，直线PA 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知e ＝12，求→OM ·→ON 的取值范围．常州市教育学会学业水平监测高三数学2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{x |ln x ＜0}，则A ∪B ＝A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(0，1)2．在复平面内，复数z ＝－12＋32i 对应的向量为→OA ，复数z ＋1对应的向量为→OB ，那么向量→AB 对应的复数是A ．1B ．－1C ．3iD ．－3i3．已知实数a ，b 满足等式lg a ＝ln b ，下列三个关系式中可能成立的个数为①a ＜b ＜1；②1＜a ＜b ；③a ＝b ．A ．0B ．1C ．2D ．34．对任意实数a ，b ，C ，在下列命题中，真命题是A ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的必要条件B ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的充分条件D ．“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件5．已知扇形AOB 的半径为5，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，→OA ＝(5，0)，→OB ＝(4，3)，弧AB 的中点为C ，则→OC ＝(第5题图)A ．(92，32)B ．(3102，102)C ．(4，2)D ．(25，5)6．已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC 的距离是A．32B．6C．3D．3327．已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜e x，则不等式f(x)＞x e x的解集是A．(－∞，1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1＋d2＝A．2B．4C．6D．8的两根，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n(n≥4)，其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k＋1(k＝1，2，…，n)生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有A．极差B．平均数C．中位数D．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：°C)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sinωx＋B(A＞0，B＞0，0＜ω＜1 2 )，其中0≤t≤24．已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25°C，第二天凌晨3：00时温度最低为19°C，则A．ω＝π12B．当天下午3：00温度最高C．温度为28°C是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22°C11．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列说法正确的有A．存在点P，使得CP⊥平面A1DBB．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°C．PC＋PD的最小值为23πD．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是223法向量，22π，选项D正确；312．关于函数f(x)＝2x＋1x2＋1，下列说法正确的有A．函数f(x)的图象关于点(－12，0)对称B．函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减C．若方程f(x)＝t恰有一个实数根，则t＝5D．若∀x∈R，都有f(x)＞m，则m≤－2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的标准方程为x 2k －4＋y 2k －5＝1，则该双曲线的焦距是．14．已知函数f (x )－a －x 2＋3x ，x ＜0，log 3x －2，x ＞0，若f [f (13)]＝a ，则实数a 的值为．(第15题图)15．如图，以等腰直角三角形BA 0A 1的直角边BA 1为斜边，在△BA 0A 1外侧作等腰直角三角形BA 1A 2，以边BA 0的中点O 1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 0A 1；再以等腰直角三角形BA 1A 2的直角边BA 2为斜边，在△BA 1A 2外侧作等腰直角三角形BA 2A 3，以边BA 1的中点O 2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 1A 2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i －1A i 的直角顶点A i 首次落到线段．．BA 0上，作出相应的圆弧后结束．若BA 0＝4，则i ＝，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角α－l－β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋cn＋c，c∈R．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，2a m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．【解析】18．(12分)某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6，σ2)，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．(1)求σ；(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根?说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z＝X1－μσ转化为标准正态分布Z~N(0，1)，从而查标准正态分布表得到P(X＜X1)＝Φ(Z)．可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z)Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9Φ(Z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713 Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8Φ(Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974【解析】19．(12分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高为h ，已知B ＝π3．(1)若b ＝3h ，求ca的值；(2)若c －a ＝h ，求sin A －3cos A 的值．【解析】20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝23，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．(第20题图)【解析】21．(12分)已知函数f(x)＝m e x＋cos x＋n，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝x．(1)讨论函数f(x)在[－π，＋∞)上的单调性；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥3sin x－ax恒成立，求实数a的取值范围．【解析】22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，P (2a ，0)．(1)若点A ，B 关于原点对称，且FA ⊥FB ，求e 的取值范围；(2)若点A ，B 关于x 轴对称，直线PA 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知e ＝12，求→OM ·→ON 的取值范围．【解析】(2)。

江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析

江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市部分四星级高中联考数学试卷苏教版[试题]

江苏省常州市部分四星级高中联考数学试卷苏教版[试题]1．对于两个集合1S 、2S 我们把一切有序对),(y x 所组成的集合（其中21,S y S x ∈∈），叫做1S 和2S 的笛卡尔积，记作21S S ⨯.如果{}2,11=S ，{}1,0,12-=S 则21S S ⨯的真子集的个数为个． 2．已知xy y x y x 则,log log )(log 222+=+的取值范围是．3. 观察下列各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为． 4．第一次抛掷骰子得到的点数为a ，第二次点数为b ，则关于,x y 的方程组3,22ax by x y +=⎧⎨+=⎩唯一一组解的概率．5．为了计算13599⨯⨯⨯⨯的值，请你把右边框图中空缺的部分补完整，正确的为．6. 银行计划将某客户的资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润。

年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户。

为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为． 7．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如2]08.1[,3][-=-=π，定义函数],[][x x x -=那么下列命题：①函数{x }的定义域为R ，值域为[0，1]；②方程{x }=21，有无数解；③函数{x }是周期函数；④函数{x }是增函数.正确的序号是．8．椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为．9. 在平面直角坐标系xoy 中已知△ABC 的顶点A(－6，0)和C(6，0)，顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，sin sin sin A C B-=则．10. 定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1,f -=(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?的值为．11.函数sin()(0,0,)2y A x A p w j w j =+>>浇<部分的图象如图所示，则该函数的表达式为．12．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆O 外的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平，折痕CD 与直线OA 交于P 点，当点A 运动时点P 的轨迹是．（从“圆”，“椭圆”，“双曲线”，“抛物线”中选取） 13．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数,a b ∈R满足：(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n n n n f f f a b af b bf a f a n N b n N n =+==∈=∈，考察下列结论：． ①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{n a )为等比数列； ④数列{n b )为等差数列.14．三个同学对问题“关于x 的不等式232164xx x ax ++-≥在[]1,8上恒成立，求实数a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．15、已知函数()1,f x a b =⋅-r r其中)()2,cos ,1,2cos ()a x x b x x R ==∈r r.⑴求()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为(),,,2,3a b c f A a b ==，求边长c 的值。

常州市部分四星级学校高二联考

2006年常州市部分四星级学校高二联考化学第一卷 (选择题共74分)一、选择题(本题包括8小题，每小题4分，共32分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意)1. 目前冰箱里使用的致冷剂是氟里昂(二氟二氯甲烷)，根据结构可推出氟里昂的同分异构体有A ．没有同分异构体B ．2种C ．3种D ．4种2. 有一种烃分子中含有一个环状结构和三个双键，则该烃分子式可能是A ．C 14H 24B ．C 15H 20 C ．C 18H 28D ．C 19H 323. 按系统命名法,CH 3—CH 2—C —C —H 的正确的名称是A ．3，3－二甲基－4－乙基戊烷B ．3，3－二甲基－2－乙基戊烷C ．3，4，4－三甲基己烷D ．3，3，4－三甲基己烷4. 将己烯、甲苯、溴苯、水和NaOH 溶液区分开来的一种试剂是A ．盐酸B ．溴水C ．石蕊溶液D ．酸性高锰酸钾溶液5. 分子中含有若干个双键的不饱和烃的分子量为M ，Wg 该烃与标准状况下VLH 2恰好反应，则1mol 该烃中双键数目为(设N A 为阿伏加德罗常数)A ．W MVN A 4.22B ．W MVN AC ．MVW 4.22 D ．W VN A 2 6. 已知化合物A （844H Si C ）与立方烷（88H C ）的分子结构相似，如下图：则C 4Si 4H 8的二氯代物的同分异构体数目为A ．3B ．4C ．5D ．67. 、都属于萘的同系物。

萘和萘的 CH 3 CH 3CH 3 CH 2CH 2CH 3 C 2H 5CH 3 C H 3 CH 3同系物分子组成通式是A ．C n H 2n-8(n ﹥10)B ．C n H 2n-10 (n ≥10)C ．C n H 2n-12 (n ≥10)D ．C n H 2n-6(n ≥11)8. A 、B 两种烃组成的混合物，当混合物质量一定时，无论A 、B 以何种比例混合，完全燃烧消耗氧气的量为一恒量。

江苏省常州高级中学2023-2024学年高二上学期期末质量检查数学试题

10．已知由样本数据 ( xi , yi ) (i = 1, 2,3,L,10) 组成的一个样本，根据最小二乘法求得线
性回归方程为 yˆ = 2x -1且 x = 2 ，去除两个异常数据 (-a, b) 和 (a, -b) 后，得到新的线性回归直线的斜率为 3，则下列结论中正确的是（）
A．相关变量 x ， y 具有正相关关系 B．去除异常数据后，新的平均数 x¢ = 2 C．去除异常数据后的线性回归方程为 yˆ = 3x - 3 D．去除异常数据后，随 x 值增加， yˆ 的值增加速度变大 11．2023 年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其
若Tr+1 为有理项，则 r 能被 3 整除，即满足题意的 r 可以是： 0,3, 6,9 共四个. 故选：C. 3．B 【分析】设出公差，根据等差数列求和公式得到方程，求出首项和公差，求出答案.
【详解】设公差为d ，则有 3a1 + 3d = 15, 7a1 + 21d = 63 ，
解得 a1 = 3, d = 2 ，
江苏省常州高级中学 2023-2024 学年高二上学期期末质量
检查数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以椭圆
x2 9
+
y2 5
= 1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为（
）
A．
x2 14
-
y2 5
=1
B．已知曲线 C : x2 + y2 = 2 | x | +2 | y | （ x ， y 不全为 0），则曲线 C 的周长为 4 2π

江苏省常州市2023-2024学年高二上学期期末学业水平监测数学试卷

40 岁以下
总计
200
(1)将题中表格补充完整（填写在答题卡上）； (2)判断是否有 99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．
附： K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d ．
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2 k0 ) 0.025 0.010 0.005 0.001
9．点 A2,1 、 B a,1 a ，过 A 、 B 的直线为 l ，下列说法正确的有（）
A．若 a 1，则直线 l 的方程为 x 3y 1 0 B．若 a 1，则直线 l 的倾斜角为 π
4 C．任意实数 a ，都有 AB 3
D．存在两个不同的实数 a ，能使直线 l 在 x 、 y 轴上的截距互为相反数
(1)求 an (n 0,1, 2,,16) 的最大值； (2)求 f (5) 5 被 13 除的余数．
21．已知等差数列an 满足 a3 a4 12 ， a5 a7 22 ，数列bn 满足 b1 3，且
bn1 2bn n 1．
(1)证明：bn n是等比数列，并求数列an 和bn 的通项公式：
D． 4 2 2, 4 2 2
8．经过双曲线 C : x2 12
y2 b2
1b
0 的右焦点 F
作该双曲线的一条渐近线的垂线 l ，垂足
为
M
，且
l
交另一条渐近线于点
N
，若
uuur 3FN
uuur 5MF
，则 b
的值为（
）
A． 2 6
B． 4
C． 2
D． 3
试卷第 1 页，共 4 页
二、多选题
(2)将数列an和bn的公共项从小到大排成的数列记为cn ，求 (1)n cn 的前 2n 项和

2023-2024学年江苏省常州市高二上学期11月月练数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省常州市高二上册11月月练数学模拟试题一、单选题1．已知(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，则=a （）A ．2B ．92C ．2或8-D ．2或92【正确答案】D【分析】分(2,0),(4,)-A B a 在:3410l x y -+=的同侧和异侧分类讨论求解.【详解】（1）若(2,0),(4,)-A B a 在:3410l x y -+=的同侧，则34AB l k k ==，所以364a =，92a =，（2）若(2,0),(4,)-A B a 在:3410l x y -+=的异侧，则(2,0),(4,)-A B a 的中点1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭在直线:3410l x y -+=上，所以420a -=解得2a =,故选:D.2．“2b ac =”是“,,a b c 成等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不必要也不充分条件【正确答案】B【详解】分析：先说明必要性，由a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得b 2=ac ；再说明充分性，可以举一个反例，满足b 2=ac ，但a 、b 、c 不成等比数列，从而得到正确的选项．解答：若a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得：b 2=ac ，∴“b 2=ac”是“a ，b ，c 成等比数列”的必要条件；若b=0，a=2，c=0，满足b 2=ac ，但a 、b 、c 显然不成等比数列，∴“b 2=ac”是“a ，b ，c 成等比数列”的非充分条件．∴“b 2=ac”是“a 、b 、c 成等比数列”的必要非充分条件．故选B点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．解题的关键应用a ，b ，c 成等比数列时，一定要考虑a ，b ，c 都等于0的特殊情况．3．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，若12π3F AF ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．14B ．34C ．12D 【正确答案】C【分析】求出1,c =1π6F AO ∠=，则1m m ，得到a ，则得到离心率.【详解】由题意可得1,c b m ==，如下图所示：又因为12π3F AF ∠=,根据对称性可得1π6F AO ∠=,可得11tan F AO m ∠==解得m =.故2a =，故离心率为12c a =，故选：C.4．已知圆1C ：()()22341x y -++=与2C ：()()2239x a y a -+-+=恰好有4条公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．((),11-∞+∞ C ．()0,4D ．()(),13,-∞-⋃+∞【正确答案】D【分析】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得a 的取值范围.【详解】因为圆1C ：()()22341x y -++=与2C ：()()2239x a y a -+-+=恰好有4条公切线，所以圆1C 与2C 4>，解得3a >或1a <-，即实数a 的取值范围是()(),13,-∞-⋃+∞.故选：D.5．在数列{}n a 中，12a =，对任意正整数m ，n ，m n m n a a a +=恒成立，n S 为{}n a 的前n 项和，若254n S =，则n =（）．A ．7B ．6C ．5D ．4【正确答案】A【分析】令1m =可求出公比q ，得出等比数列前n 项和，进而得解.【详解】令1m =，由m n m n a a a +=可得11n n a a a +=，即112n na a a +==，所以该数列为等比数列，12a q ==，所以()()11122122121n n n n a q S q +--===---，令254n S =，解得7n =.故选：A6．已知抛物线C ：24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，点F 是抛物线C 的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于另一点N ，O 为坐标原点，则点M 到ON 的距离为（）A ．25BC ．45D【正确答案】D【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，设M 的纵坐标为2，即可求出M 的横坐标，从而得到M 、N 的坐标，再利用等面积法计算可得.【详解】解：抛物线C ：24y x =的焦点坐标为()1,0F ，又M 到x 轴的距离为2，不妨令2M y =，则224M x =，解得1M x =，即()1,2M ，此时直线MF 为1x =，所以()1,2N -，所以ON ==M 到ON 的距离为d ，则1122ONM S ON d MN OF ==⋅，即114122=⨯⨯，解得d =故选：D7．设等差数列{}n a 满足11a =，()*0N n a n >∈，其前n 项和为n S，若数列也为等差数列，则102n nS a +的最大值是（）A ．310B ．212C ．180D ．121【正确答案】D【分析】设数列{}n a 的公差为d ，得到()11n a n d =+-，()1112n n n d S ++-⎡⎤⎣⎦=，然后利用数列为等差数列，得到=2d =，即可得到2102121242n n S a n +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，根据数列2121242n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭的增减性即可得到1011221121n n S S a a +≤=.【详解】解：∵等差数列{}n a 满足11a =，()0n a n >∈*N ，设公差为d ，则()11n a n d =+-，其前n 项和为()1112n n n d S ++-⎡⎤⎣⎦=，=1===∵数列也为等差数列，∴=∴1=解得2d =．∴()21010n S n +=+，()2221na n =-，∴221021012121242n n S n a n n ++⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，由于2121242n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调递减数列，∴2101122111121n n S S a a +≤==，故选：D ．8．已知双曲线C ：2214y x -=的左、右顶点为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象限，若PD QD μ=且2DQP DPQ ∠=∠，则μ=（）ABCD 【正确答案】D【分析】设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，由4DP DQ k k ⋅=得出3cos 3θ=，再由正弦定理||||sin 2sin DP DQ θθ=得出μ.【详解】如图所示，设DPQ θ∠=，则2DQP θ∠=，设11(,)D x y ，则221114y x -=，即212141y x =-，由双曲线方程可得(1,0),(1,0)P Q -，所以211121114111DP DQy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，又2DQP DPQ ∠=∠，tan ,tan(2)DP DQ k k θπθ==-，则tan tan(2)4θπθ⋅-=，解得tan 2θ=，则3cos 3θ=，在三角形DPQ 中，由正弦定理||||sin 2sin DP DQ θθ=，可得||sin 2232cos ||sin 3DP DQ θμθθ====故选：D 二、多选题9．已知圆()()221:1311C x y -+-=与圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，则下列说法正确的是（）A ．若圆2C 与x 轴相切，则2m =B ．若3m =-，则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为()246220x m y m +-++=D ．直线210kx y k --+=与圆C 1始终有两个交点【正确答案】BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线210kx y k --+=过定点()2,1以及()2,1在圆C 1内判断即可.【详解】因为221:(1)(3)11C x y -+-=，222:(1)()4C x y m ++-=，对A ，故若圆2C 与x 轴相切，则有||2m =，故A 错误；对B ，当3m =-时，1262C C =>+B 正确；对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程24(62)20x m y m +-+-=，故C 错误；对D ，直线210kx y k --+=过定点()2,1，而22(21)(13)511-+-=<，故点()2,1在圆221:(1)(3)11C x y -+-=内部，所以直线210kx y k --+=与圆1C 始终有两个交点，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 是公比1q ≠的正项等比数列，M 是3a 与11a 的等比中项，N 是5a 与9a 等差中项，则下列说法正确的是（）A ．72a N =B ．227a M=C ．M N <D ．M N>【正确答案】BC【分析】首先利用等差，等比中项的定义，判断AB ；再利用基本不等式判断CD.【详解】由等比中项的定义可知，223117M a a a =⋅=，等差中项的定义可知，592N a a =+，592a a N +=故A 错误，B 正确；若M 是负数，则M N <，若M 是正数，则M =592a a N +=，因为数列{}n a 是公比1q ≠的正项等比数列，所以59a a ≠，根据基本不等式可知M N <，故C 正确；D 错误.故选：BC11．已知数列{}n a 满足()111,2n n n a a a n N *+=+=∈，则下列结论中确的是（）A ．45a =B ．{}n a (2,n n ≥∈N )为等差数列C ．2024122023213a a a -++⋯+=D ．2023122022223a a a -++⋯+=【正确答案】ACD【分析】A.逐项求解判断；B.利用等差数列的定义判断；C.利用并项求和判断；D.利用并项求和判断.【详解】由11a =，则1222,1a a a +==，又2334,3a a a +==，同理33442,5a a a +==，故A 正确；因为21320,2a a a a -=-=，所以{}n a 不是等差数列，故B 错误；1220231235204222023()()()a a a a a a a a a a=+++++++++++ 1011101220242420224(14)412112+2++2=1+==1433---=+- ，故C 正确；()()()122022123420212022a a a a a a a a a +++=++++++ ()101110112023132021214242222+2++2===1433-⨯--=- ，故D 正确.故选：ACD12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（）A ．椭圆的长轴长为B ．线段AB 长度的取值范围是4,2+⎡⎣C ．ABF △面积的最小值是4D ．AFG 的周长为4+【正确答案】ABD【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断A ；由椭圆性质可判断B ；取特值，结合OA 长度的取值范围可判断C ；由椭圆定义可判断D.【详解】由题知，椭圆中的几何量2b c ==，得a =2a =，A 正确；2AB OB OA OA =+=+，由椭圆性质可知2OA ≤≤，所以42AB ≤≤+B 正确；记AOF θ∠=，则11sin sin()22ABF AOF OBF S S S OA OF OB OF θπθ=+=⋅+⋅- sin 2sin (2)sin OA OA θθθ=+=+取6πθ=，则1111422ABF S =+≤+⨯ ，C 错误；由椭圆定义知，2AF AG a +==，所以AFG 的周长4L FG =+=+，D 正确.故选：ABD三、填空题13．已知圆C 的圆心为(1,0)-，且圆C 经过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的标准方程为___________．【正确答案】22(1)9x y ++=【分析】求出抛物线的焦点坐标，从而求出圆的半径，得到圆的标准方程.【详解】因为抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以圆C 的半径为3，则圆C 的标准方程为22(1)9x y ++=．故答案为.22(1)9x y ++=14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若231152a a a ⋅=，且4128S S S λ+=，则λ=__________.【正确答案】83【分析】由231152a a a ⋅=可得42q =，根据前n 项和公式即可求解.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以有22311752a a a a ⋅==，所以247252a q a ==，所以1q ≠，因为4128S S S λ+=，所以4128111(1)(1)(1)111a q a q a q q q qλ---+=---，即412811(1)q q q λ-+-=-，即：321212(12)λ-+-=-，解得.83λ=故答案为.8315．已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,,e e P 是它们的一个公共点.若1260F PF ∠=︒，则12e e ⋅的最小值为__________.【分析】根据椭圆和双曲线的定义、余弦定理列方程，结合基本不等式求得12e e ⋅的最小值.【详解】设椭圆1C 对应11,,a b c ，双曲线2C 对应22,,a b c ，12,PF m PF n ==，所以12m n a +=，两边平方得222124m n mn a ++=①，22m n a -=，两边平方得222224m n mn a +-=②，①+②并整理得22221222m n a a +=+；①-②并整理得2212mn a a =-.由余弦定理得22241cos 6022m n c mn +-︒==，整理得2224m n c mn +-=，所以222221212224a a c a a +-=-，2221234a a c +=，所以22212121212121221331144a a a a c c c e e a a a a a a a a ⎛⎫+⋅=⋅==⋅=+ ⎪⎝⎭142≥⨯，当且仅当1212213,a a a a a ===时等号成立.故216．数列{}n a 中，112a =，()()*11N 1n n n na n a n na ++=∈+，若不等式()2410n n n a t n ++-≥对所有的正奇数n 恒成立，则实数t 的取值范围为__________．【正确答案】28,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】对已知等式变形可得1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得()11n a n n =+，将问题转化为45n t n ++≥，对所有的正奇数n 恒成立，然后求出45n n++的最小值即可.【详解】解：由()()*111nn n na n a n N na ++=∈+，得()()*1111N 1n nn n a na +-=∈+，则1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，所以1211nn n na =+-=+，所以()11n a n n =+，不等式()2410nn n a t n ++-≥对所有的正奇数n 恒成立，即45n t n++≥，对所有的正奇数n 恒成立，当1n =时，4510n n++=，当3n =时，4285103n n ++=<，()45f n n n=++在*N n ∈且3n ≥上单调递增，所以()min 283f n =，则实数t 的取值范围为28,3⎛⎤-∞ ⎝⎦．故答案为.28,3⎛⎤-∞ ⎝⎦四、解答题17．数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．(1)求2a ，3a ；(2)设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式．【正确答案】(1)232a =，352a =-(2)证明见解析，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】（1）由数列{}n a 的递推关系，令2n =和3n =即可求出答案；（2）由题意可求出1n b +=12n b ，即可求出数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，即可求出{}n b 的通项公式.【详解】（1）由11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，令2n =，则2113122a a =+=，令3n =，则32354422a a =-=-=-故232a =，352a =-；（2）()()()()12221212111221221421222n n n n nb a a n a n a n n ++++=-=++-=+-=-+-()2211112222n n n a a b =-=-=．因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．已知圆C 与x 轴相切，圆心C 在直线2y x =上，且与y轴正半轴相交所得弦长为(1)求圆C 的方程；(2)过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 交圆于C ，于E ，F两点，且EF =l 的方程．【正确答案】(1)22(1)(2)4x y -+-=(2)12x =或6850x y -+=【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),2m m ，再利用与x 轴的正半轴相切，截y轴所得弦的弦长为（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222EF R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）设圆心(,2)C m m ，因为圆C 与x 轴的正半轴相切，所以0m >，圆C 的半径为2m ，因为圆C 截y轴所得弦的弦长为所以222(2)m m +=，即233m =，又0m >，所以1m =，所以圆22:(1)(2)4C x y -+-=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以方程为：12x =，代入22(1)(2)4x y -+-=中解得：22y =±，此时22EF ⎛⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：11(22202y k x kx y k -=-⇔--+=，由圆心()1,2C 到直线l 的距离为：d =，由2222EF R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22222⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得：34k =，所以直线l 的方程为：6850x y -+=，综上，直线l 的方程为：12x =或6850x y -+=.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且111a b ==，32312S b ==．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若1n n n n c a b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32=n a n -，14n n b -=(2)()121141133nn n T -⋅=+【分析】（1）利用基本量的计算即可求解等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法和等比数列前n 项和公式求解即可【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意得：13312a d +=，解得：3d =，所以()13132n a n n =+-=-，由2312b =得：24b =，所以214a q a ==，所以14n n b -=（2）()113244n n n n n n b c a b n -+==+-⋅+，则()2344474324n n T n =+⨯+⨯+-'+ ①，()2341444474324n n T n +=+⨯+⨯+-'+ ②，两式相减得：()23413434343434324n n n T n +-=+⨯+⨯+⨯+⨯--'+ ()()111164433241233414n n n n n +++-=+⨯--=-+--，所以()1414n n T n +=+-'，{}n b 的前n 项和为413n -，所以()121141133nn n T -⋅=+.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点()()2,0,0,1A B --.(1)求椭圆C 的方程及其离心率；(2)若P 为椭圆C 上第一象限的点，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N ，且有//MN AB ，求点P 的坐标.【正确答案】(1)2214x y +=(2)2⎭【分析】（1）由题意可得2,1a b ==，继而求出c ，即可得方程和离心率；（2）设(),P m n ，则2214m n +=，又由//MN AB 可得PM PN MA NB =，继而得到2m n =，联立即可解得m ，n 的值.【详解】（1）依题知：2,1a b ==，所以c ==所以椭圆方程为2214x y +=，离心率c e a ==（2）如图：设(),P m n ，第一象限有,0m n >，2214m n +=①；由//MN AB 得：PM PN MA NB =，又2PA PMx m MA x ==，1P B PN y n n NB y ===，因此2m n =②，联立①②解得2m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P ⎭.21．已知有一系列双曲线n C ：221n a x y -=，其中0n a >，*n ∈N ，记第n 条双曲线的离心率为n e ，且满足()1122212n n n n e e e e -++⋅⋅⋅+=-⋅，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证.1211134n a a a ++⋅⋅⋅+<【正确答案】(1)22n a n n=+(2)证明见解析【分析】（1）首先利用已知数列{}12n n e -的前n 项和求n e ，再根据双曲线的方程，得n a 与n e 的关系，求数列{}n a 的通项公式；（2）首先表示211111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用错位相减法求和，即可证明不等式.【详解】（1）因为()1122212n n n n e e e e -++⋅⋅⋅+=-⋅，当1n =时，()1121e e =-，解得12=e ；当2n ≥时，()2112112212n n n n e e e e ----++⋅⋅⋅+=-⋅，两式相减，可得()()11121212n n n n n n e e e ---=-⋅--⋅，所以()112n n e e n --=≥，所以{}n e 是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以()211n e n n =+-=+.由题意，得n e =，所以2212n n a e n n =-=+.（2）所以211111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故121111111111112324112n a a a n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭1111113112212224n n ⎛⎫⎛⎫=+--<+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得证.22．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，且经过点()()2,0A p m m >，5AF =．(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥．过点A 作AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【正确答案】(1)2p =，4m =；(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有||252p AF p =+=求p ，由A 在抛物线上求m 即可.（2）令:MN x ky n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据AM AN ⊥ 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定MN 所过定点B ，再由AD MN ⊥易知D 在以AB 为直径的圆上，即可证结论.【详解】（1）由抛物线定义知：||252p AF p =+=，则2p =，又()()4,0A m m >在抛物线上，则244m =⨯，可得4m =.（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由（1）知：(4,4)A ，所以11(4,4)AM x y =-- ，22(4,4)AN x y =-- ，又AM AN ⊥，所以121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=，令直线:MN x ky n =+，联立2:4C y x =，整理得2440y ky n --=，且216160k n ∆=+>，所以124y y k +=，124y y n =-，则21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=，综上，2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=，当84n k =+时，:(4)8MN x k y =++过定点()8,4B -；当44n k =-时，:(4)4MN x k y =-+过定点(4,4)，即,,A M N 共线，不合题意；所以直线MN 过定点()8,4B -，又AD MN ⊥，故D 在以AB 为直径的圆上，而AB 中点为()6,0Q ，即2ABDQ ==.。

江苏省常州市四星级高中2013-高二下学期期中联考数学(文)试题

2013－2014学年第二学期期中教学情况调研高二年级数学（文科）试卷(满分160分，考试时间120分钟)命题学校：江苏省横林高级中学命题人：王哲审核人：陈柳红一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.命题“存在一个偶数是素数”的否定为 ▲ ． 2. 函数1x y x +=的定义域为 ▲ ． 3. 设z ＝(3－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为▲ ．4. 设全集U=R ，A={x ︱110x ≤≤}，B={ x ︱260xx -->}，则下图中阴影表示的集合为 ▲ ．5. 已知复数z 满足2z =，则4z i +的最小值为 ▲ ．6. 函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ．7. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为 ▲ ．8. 函数ln y x x =的单调递减区间为 ▲ ．9. 观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝ ▲ ． 10. 已知2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f = ▲ ．11. 已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2S r l=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径R ▲ 成立.12. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当20()2x f x x x ≥=--时，，，2(2)()f a f a ->若则实数a 的取值范围是▲ ． 13. 已知点A(0，1)和点B(－1，－5)在曲线C ：32y ax bx d a =++　(，b ，d 为常数)上，若曲线C 在点A 、B 处的切线互相平行，则a b d -＋＝ ▲ ．14. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当201()0x f x x x ≤≤=>时，，当时， (1)()(1)f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有3个不同的公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)（1）计算101()1i i-+；（2）已知i 是虚数单位，实数a b i a bi i a b ，满足（3-4)(+)=10，求4-3的值；（3）若复数112222z z a i z i z =+=，＋，且为纯虚数，求实数a 的值。

江苏省常州中学2024年数学高三第一学期期末教学质量检测试题含解析

江苏省常州中学2024年数学高三第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．192．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->3．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（） A ．14B ．15C ．25D ．356．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（） A ．35B ．25C ．4D ．57．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,48．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直9．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（） A ．13B ．3C ．33D 311．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．412．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省四星高中11-12学年高二数学上学期学情诊断(文化类)【会员独享】

第6题高二数学学情诊断试题 2011.12方差的计算公式：[]222212)()()(1x x x x x x nS n -++-+-=Λ 一、填空题：（每小题5分，共计70分）1. 直线10x y +-=与直线20x ay +-=互相垂直，则实数a 的值为_▲_．2. 双曲线1222=-y x 的渐近线方程是_▲_． 3. 样本数据11，8，9，10，7的方差是_▲_． 4. 某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示，则其中支出在[]50,60元的同学有_▲_人．5. 若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线3x -y ＝0，则点P 的坐标为_▲_．6. 运行如图所示的程序框图,则输出的结果S=_▲_．7. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中位移s 的单位是米，时间t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是_▲_米/秒． 8. 函数x x x f ln )(=的单调递减区间为_▲_．9. 设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值为 ▲ ．10.已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为_▲_．11. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ,若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则a 的值为_▲_．12. 已知命题：“[1,2]x ∃∈，使022≥++a x x ”为假命题，则a 的取值范围是_▲_．13. 已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_▲_． 14. 已知1()sin cos f x x x =+，记2132()(),()(),......,f x f x f x f x ''== 1()(),n n f x f x -'=(,2)n N n *∈≥，则=+++)2()2()2(201121πππf f f Λ_▲_．频率二、解答题：（本大题共计90分，请写出必要的解题步骤）15．（14分）已知:|3|2,:(1)(1)0p x q x m x m -≤-+--≤，若p ⌝是q ⌝充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.16．（14分）已知双曲线过点)2,3(-，且与椭圆14922=+y x 有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程；（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程. 17．（15分）已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y （1）求当,x y ∈R 时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率；（2）求当,x y ∈Z 时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．18．（15分）已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心（1）求圆C 的方程；（2）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．19．（16分）已知函数x a x m a x x f ln )(21)(2++-=（0>a ，R m ∈），且01='）（f ．（1）求m 的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间．20．（16分）如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）求椭圆的方程；（2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．高二数学学情诊断试题参考答案一、填空题(14×5＝70分)1.1-2.x y 2±=3.24.1505.（1,0）6.617.58.)1,0(e9.4 10.1121m << 11.8 12.8-<a1 14.1- 二、解答题（共90分）15.解:由题意 p: 232≤-≤-x ∴ 51≤≤x ……………………………3分∴p ⌝：51><x x 或 ……………………………5分 q ：11+≤≤-m x m ……………………………8分 ∴q ⌝：11+>-<m x m x 或 …………………………10分又∵p ⌝是q ⌝充分而不必要条件 ∴⎩⎨⎧≤+≥-5111m m ∴42≤≤m ………………………… 14分16．解：(1)由椭圆方程得焦点12(F F 由条件可知，双曲线过点(3，-2)，根据双曲线定义，2||a ===即得a =b =双曲线方程为：22132x y -=， …………………… 8分（待定系数法也可）(2)由(1)得双曲线的右准线方程为：x =∴2p =从而可得抛物线的标准方程为：25y x =-。

江苏省常州市部分四星级高中2014-2015学年度高二下学期期中考试数学文试卷

高二文科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1．计算22015i i i ++的值为 ▲ ；2．复数11iz i-=+在复平面内所对应的点的坐标为 ▲ ； 3．设复数z 满足：(1)32i z i +=+，则z 的虚部是___▲____； 4．设全集{1,3,5,7,9},{1,|5|,9},{5,7}UU A a A ==-=,则a 的值为 ▲ ；5．命题“对x ∀∈R ，都有210x x -+>”的否定是 ▲ ； 6．设x 是纯虚数．．．．，y 是实数，且21(3)x i y y i -+=--，则||x y += ▲ ； 7．已知关于实数x 的两个命题：1:0,:02x p q x a x+<+<-，且命题p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____▲____； 8．若函数()(31)()xf x x x a =+-为奇函数，则a = ▲ ；9. 将正奇数按如图所示的规律排列：则第n （n ≥4）行从左向右的第3个数为 ▲ ．9．二维空间中，正方形的一维测度（周长）4l a =（其中a 为正方形的边长），二维测度（面积）2S a =；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）26S a =（其中a 为正方形的边长），三维测度（体积）3V a =；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度34V a =，则其四维测度W ＝ ▲ ；11. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上是减函数，则使(ln )(1)f x f <的x 的取值范围为 ▲ ； 12. 直线y t =与函数()0),()x f x x g x e =>=的图像分别交于,A B 两点，则线段AB 的长度的最小值为 ▲ ； 13．如果函数221(0,1)xx y a a a a =+->≠在区间上的最大值是14，则实数a 的值为 ▲ ；13 5 7 9111315 17 19……第9题图14．已知函数()y f x =是定义域为R 偶函数，当0x ≥时，2022()21x x f x x x x⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩，若函数()f x 在(,2)t t +上的值域是3(,0]2-，则实数t 的值的集合为 ▲ ；二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知命题p :关于实数x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :关于实数x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根．命题“p 或q ”真，“p 且q ”假，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知z 是复数，(12)2z iz i i++-、均为实数，（1）求复数z（2）若复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。

2023-2024学年江苏省常州市高二下学期第一次学情检测数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省常州市高二下册第一次学情检测数学模拟试题一、单选题1．若82C C n n =，则n 的值为（）A ．8B ．9C ．10D ．12【正确答案】C【分析】根据给定条件利用组合数的性质即得.【详解】因为28C C n n =，则由组合数的性质有28n +=，即10n =.故选：C ．2．()()()()()1998199920212022,2022n n n n n N n --⋅⋅⋅--∈>可表示为（）A ．241998A n -B ．251998A n -C ．242022A n -D ．252022A n -【正确答案】B【分析】由排列数的定义即可判断.【详解】()()()()1998199920212022n n n n --⋅⋅⋅--总共有(1998)(2022)125n n ---+=个数连乘，故()()()()2519981998199920212022=A n n n n n ---⋅⋅⋅--.故选：B3．已知直线l 的方向向量为(),1,2m x =-，平面α的法向量为()1,2,4n =- ，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为（）A ．12-B ．10-C ．12D ．10【正确答案】A【分析】由题意得m n λ=，利用空间向量的坐标运算计算即可．【详解】由题意得m n λ= ，则()(),1,21,2,4x λ-=-，即,12,24x λλλ=-==-，解得12x λ==-.故选：A.4．向量()2,1,a x = ，()2,,1b y =- ，若a =r a b ⊥，则x y +的值为（）A ．1-B ．1C ．4-D ．4【分析】根据向量模的公式可求出x 的值，根据a b ⊥可求出y 的值，从而可求出x y +的值.【详解】因为向量()2,1,a x =，a r =，解得0x =，所以向量()2,1,0a =，因为a b ⊥，所以2200a b y ⋅=⨯++=r r ，所以4y =-，所以x y +的值为4-.故选：C.5．关于32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论不正确的是（）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20-D ．系数最大的项为第3项【正确答案】D【分析】原二项式可化为61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据二项式展开式的性质求解即可.【详解】解：3622112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得二项式系数和为6264=，故A 正确；令1x =得所有项的系数和为0，故B 正确；常数项33361C 20x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；6161C rr rr T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，系数为()61C r r-，最大为26C 或46C ，为第3项或第5项，故D 错误.故选：D.6．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有()种A ．540B ．360C ．300D ．420【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.【详解】分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；(ii)②和④涂不同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D ﹒7．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）A ．2300B ．2301C ．2302D ．2303【正确答案】B【分析】依次计算首位为1、前两位为20、前两位为21的有多少个数，然后可得答案.【详解】首位为1的有35A 60=个，前两位为20的有24A 12=个，前两位为21的有24A 12=个，因而第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，故选：B8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,E F （E 在F 的左边），且EF =）A ．当,E F 运动时，不存在点,E F 使得AE CF ⊥B ．当,E F 运动时，不存在点,E F 使得AE BF ∥C ．当E 运动时，二面角E AB C --的最大值为45︒D ．当,EF 运动时，二面角A EF B --为定值【正确答案】C【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC ；由反证法判断B ；平面EFB 即为平面11BDD B ，平面AEF 即为平面11AB D ，从而得出二面角A EF B --为定值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,0,2,0,0,2,0,2A B C D D ．因为,E F 在11B D上，且11B D =EF =可设()(),2,212E t t t -≤≤，则()1,3,2F t t --，则()()2,,2,1,3,2AE t t CF t t =--=--，所以()()()()22134266AE CF t t t t t t ⋅=--+-⋅-+=-+ ，故AE CF ⋅恒为正，故A 正确．若AE BF ∥，则11,,,A B B D 四点共面，与AB 和11B D 是异面直线矛盾，故B 正确．设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，又()2,0,0AB =- ，所以00AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()20220x t x ty z -=⎧⎨--+=⎩，取2y =，则()0,2,m t =，平面ABC 的法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n = 设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos m n m n θ⋅==因为12t ≤≤，y =[]1,2上单调递减，cos 52θ≤≤，当且仅当2t =时，cos θ取得最大值2，即θ取最小值45︒，故C 错误．连接11,,BD AD AB ．平面EFB 即为平面11BDD B ，而平面AEF 即为平面11AB D ，故当,E F 运动时，二面角A EF B --的大小保持不变，故D 正确．故选：C 二、多选题9．（多选题）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量,(0,0)a b a b ≠≠ ，若a b ⊥，则0a b ⋅= B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P A B C ，，，四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量,,a b c满足()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b c 【正确答案】ABC【分析】对于A ，根据数量积的性质判断，对于B ，利用空间向量共面定理判断，对于C ，利用基底的定义判断，对于D ，利用数量积的定义分析判断【详解】对于A ：空间向量,(0,0)a b a b ≠≠ ，若a b ⊥，则0a b ⋅= ，故A 正确；对于B ：若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++ ，由于1111623++=，则P A B C ，，，四点共面，故B 正确；对于C ：已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+ ，则{},,a b a c + 两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C 正确；对于D ：任意向量,,a b c 满足()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b c ，由于a b ⋅ 是一个数值，b c ⋅ 也是一个数值，则说明c和a存在倍数关系，由于,,a b c 是任意向量，不一定存在倍数关系，故D 错误．故选：ABC ．10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种【正确答案】BC【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优限法、定序法、分组分配法逐项判断即可.【详解】对于A ，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有22A 种，然后与戊全排列的安排22A 种，丙、丁不能相邻的安排有23A 种，共有222223A A A 22624=⨯⨯=种，故A 不正确；对于B ，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则当甲在左端时，则有44A 种安排方法；当乙在左端时，甲有13A 种安排方法，其他人有33A 种安排方法，故符合的总的安排方法种数为413433A A A 241842+=+=种，故B 正确；对于C ，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有5533A 12020A 6==种，故C 正确；对于D ，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则4人分三组的分组方法数为24C ，再把三个组分配到三个社区的种方法数为33A ，则总的安排方法数为2343C A 6636=⨯=种，故D 不正确.故选：BC.11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（）A ．组成的三位数的个数为60B ．在组成的三位数中，偶数的个数为30C ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24【正确答案】BC【分析】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为0，②个位数为2或4，然后根据分步乘法原理及分类加法原理即可判断；对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，②十位为1，③十位为2，然后根据分步乘法原理及分类加法原理即可得判断.【详解】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为124444348A A =⨯⨯=，故A 不正确；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有244312A =⨯=种，②个位数为2或4，则有A A A =⨯⨯=11123323318种，所以在组成的三位数中，偶数的个数为121830+=，故B 正确；对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有244312A =⨯=种，②十位为1，则有23326A =⨯=种，③十位为2，则有22212A =⨯=种,所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为126220++=，故C 正确，D 不正确.故选：BC.12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，D 是棱1CC 的中点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点.若点Q 在直线1B P 上，则下列结论错误的是()A ．当Q 为线段1B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BDB ．当Q 为线段1B P 的三等分点时，DQ ⊥平面1A BDC ．在线段1B P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面1A BD D ．不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直【正确答案】ABC【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面1A BD 的一个法向量(2,1,2)n =-，设11B Q B P λ= ，表示出向量DQ ，再利用//n DQ ，建立关系式1112122124λλ---+===-，从而判断出λ无解，即不存在这样的点Q ，进而判断出选项ABC 不正确，选项D 正确.【详解】如图，以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知，1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，10,1,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2,0)P ，所以1(1,0,1)A B = ，110,1,2A D ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1(1,2,0)B P =- ，111,1,2DB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11012n A B x z n A D y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2z =-，则2x =，1y =，所以平面1A BD 的一个法向量为(2,1,2)n =-.假设DQ ⊥平面1A BD ，且11(1,2,0)(,2,0)B Q B P λλλλ==-=-，则11DQ DB B Q =+= 11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭.因为DQ也是平面1A BD 的法向量，所以(2,1,2)n =-与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭ 共线，所以1112122124λλ---+===-成立，但此方程关于λ无解，因此不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直，所以选项ABC 不正确，选项D 正确.故选：ABC .三、填空题13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60 ，则1AC uuu r的长为________.【分析】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，利用空间向量数量积的运算求出21AC 的值，即可得解.【详解】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，由空间向量数量积的定义可得11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以，()22222111112226AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅=，因此，1AC =故答案为14．某篮球队友12名队员，有6名只打前锋，4名只打后卫，甲､乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫），则出场阵容共有___________种.【正确答案】636【分析】按甲乙二人打后卫的人数分三类，分别计算出每一类的出场阵容种数，然后相加即可.【详解】按甲乙二人打后卫的人数分三类：（1）甲乙二人都不打后卫：2348C C 656336⋅=⨯=；（2）甲乙二人有一人打后卫：113427C C C 835280⋅=⨯=；（3）甲乙二人都打后卫.2326C C 12020⋅=⨯=所以，出场阵容共有33628020636++=种.故答案为.63615．设1002100012100(32)x a a x a x a x -=++++ ，若0241003Z)a a a a m kk +++++=∈ （，则实数m ＝________.【正确答案】31,Zt t -∈【分析】利用赋值法求出()0110002401512a a a a +=++++ ，再由()100100516=-得到1005被6除余1，从而得到22m +能被6整除，即可求出m 的取值.【详解】因为1002100012100(32)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =得301210401a a a a a a ++++++= ①，令=1x -得100340121005a a a a a a -+++=+- ②，①+②得()0110002401512a a a a +=++++ ，所以()021100004125a a a a ++++=+ ，其中()()10010010056116=-=-()()()()1231000123100100100100100100C +C 6C 6C 6C 6=-+-+-++- ()()()()1231001231001001001001001+C 6C 6C 6C 6=-+-+-++- 因为()0241003Z a a a a m k k +++++=∈ ，所以()()024100226Z a a a a m k k +++++=∈ ，即()02410022a a a a m +++++ 能被6整除，又()02411000021225a a a a m m +++++=++ ，又1005被6除余1，所以22m +能被6整除，即226,Z m t t +=∈，所以31,Z m t t =-∈.故答案为.31,Zt t -∈16．在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DA BB 的中点，,M N 分别为线段1111,D A A B 上的动点（不包括端点）满足EN FM ⊥，则线段MN 的长度的取值范围为__________．【正确答案】,25⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：()()1,0,0,2,2,1E F ，设()(),0,2,2,,2M x N y ，其中02,02x y <<<<，则()()1,,2,2,2,1EN y FM x==--，()(),1,,2.2,2,120EN FM EN FM y x x y ⊥∴⋅=--=-=，据此可得：2,02,01x y x y =<<∴<< ，由空间中两点之间距离公式可得：MN ===当45y=时，5MN =，当0y =时，2MN =，结合二次函数的性质可得线段MN 的长度的取值范围为,25⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.点睛：1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．四、解答题17．（1）计算：1234555555A A A A A ++++；（2）已知2155C C m m -=，（m >1）；求1236678C C C C m m m m ++++++的值.【正确答案】（1）325；（2）126.【分析】（1）根据排列数的计算公式()!A !mn n n m =-即可得解；（2）根据C C m n mn n -=结合题意可得2m =，利用111C C C m m m n n n ++++=化简整理，再代入组合数的计算公式()!C !!m nn m n m =-计算.【详解】（1）∵()!A !m n n n m =-，则1234555555A 5,A A 6200,A A 12,0=====∴1234555555A 325A A A A +++=+（2）∵2155C C m m -=，则215m m +-=或21m m =-，解得2m =或1m =（舍去）∵111C C C m m m n n n ++++=，则23453454556678778889C C C C C C C C C C 126+++=++=+==.18．已知空间中的三点()2,0,2P -，()1,1,2M -，()3,0,4N -，设M a P =，b PN = .（1）若ka b +与2ka b - 互相垂直，求k 的值；（2）求点N 到直线PM 的距离.【正确答案】(1)2k =或52k =-（2）2(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k 即可．(2）求出直线PM 的单位方向向量为u →，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为()2,0,2P -，()1,1,2M -，()3,0,4N -，所以(1,1,0),(1,0,2),a PMb PN →→====- （1）(1,,2)ka b k k +=-，2(2,,4)ka b k k -=+- ，因为()(2)kb b kb b +⊥-，所以2(1)(2)80k k k -++-=，整理得22100k k +-=，解得2k =或52k =-，所以k 的值为2k =或52k =-.(2)设直线PM 的单位方向向量为u →，则,0).||au a ==由于(1,0,2)PN b →==-，所以25b →=，2b u ⋅=-所以点N 到直线PM 的距离.d =关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，112AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠= ，E 是PD 的中点.(1)求E 到平面PAB 的距离；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45 ，求二面角M AB D --的正弦值.【正确答案】(1)2【分析】（1）取线段AD 的中点O ，连接OP 、OC ，证明出OP ⊥平面ABCD ，OC AD ⊥，然后以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得E 到平面PAB 的距离；（2）设PM PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤可求得λ的值，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）解：取线段AD 的中点O ，连接OP 、OC ，因为PAD 为等边三角形，O 为AD 的中点，所以，OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，OP ∴⊥平面ABCD ，在底面ABCD 中，因为90BAD ABC ∠=∠= ，则//BC AD ，即//BC AO ，因为O 为AD 的中点，则12BC AD AO ==，所以，四边形ABCO 为平行四边形，AB AD ⊥ ，CO AD ∴⊥，以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()1,1,0B -、(P、10,2E ⎛ ⎝⎭、()1,0,0C ，设平面PAB 的法向量为(),,m x y z = ，()1,0,0AB =，(AP = ，则00m AB x m AP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取y =()1m =-，30,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，点E 到平面PAB的距离为2AE m m ⋅= .（2）解：设(()1,0,,0,PM PC λλλ===-，其中01λ≤≤，(()(),0,BM BP PM λλ=+=-+=-，平面ABCD 的一个法向量为()10,0,1n = ，由题意可得111cos ,BM n BM n BM n ⋅<>=⋅整理可得22410λλ-+=，因为01λ≤≤，解得1λ=所以，2BM ⎛= ⎝⎭，设平面ABM 的法向量为()2,,n a b c =，则220022n AB a n BM a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取b =(2n =，所以，121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅，则12sin ,n n <>= ，因此二面角M AB D --的正弦值为5.20．已知57A 56C n n =，且()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+．(1)求n 的值；(2)求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；(3)求0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+的值．【正确答案】(1)15n =(2)2-(3)15312-【分析】由排列数和组合数公式求出n 的值，再通过赋值法，求123n a a a a +++⋅⋅⋅+和0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+的值即可.【详解】（1）∵57A 56C n n =，∴7n ≥，*n ∈N ∴()()()()()()()()()()1234561234567654321n n n n n n n n n n n n ----------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，∴()()05619n n --=，∴211600n n --=，解得n =-4（舍）或15n =，∴15n =.（2）由第（1）问，15n =，∴()152150121512x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+①，令①式中1x =，则()150121512a a a a -=+++⋅⋅⋅+，∴()15012151a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-1，令①式中0x =，则1501a =，即01a =，∴12312315112n a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=--=-.（3）令第（2）问①式中=1x -，则()150123141512a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-，∴15012314153a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②，由第（2）问，012314151a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=-③，②，③两式相加，得()150214231a a a ++⋅⋅⋅+=-，∴15024102414312n a a a a a a a a --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=.21．如图1，在平面内，ABCD 是60BAD ∠=︒且AB a =的菱形，1ADD A ''和1CDD C '都是正方形．将两个正方形分别沿AD ，CD 折起，使D ''与D ¢重合于点1D ．设直线l 过点B 且垂直于菱形ABCD 所在的平面，点E 是直线l 上的一个动点，且与点1D 位于平面ABCD 同侧（图2）．(1)设二面角1E AC D --的大小为θ，若ππ43θ≤≤，求线段BE 的长的取值范围；(2)若在线段1D E 上存在点P ，使平面11PAC 平面EAC ，求1D PPE与BE 之间满足的关系式，并证明：当0BE a <<时，恒有11D PPE<.【正确答案】(1)3,2a ⎤⎥⎣⎦(2)11D P BE PE a=，证明见解析【分析】（1）设菱形ABCD 的中心为O ，以O 为原点，对角线AC ，BD 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系如图．设()0BE t t =>，得到平面1D AC 和平面EAC 的法向量，从而得到二面角1E AC D --的余弦值的表达式，再根据其范围，得到t 的范围；（2）假设存在满足题意的点P ，令1D P PE λ=，从而得到P 点坐标，得到1A P ∥平面EAC ，则120A P n ⋅=，得到等式，解出λ.【详解】（1）因为11,,D D AD D D DC AD DC D ⊥⊥= ，,AD DC ⊂平面ABCD ，故1D D ⊥平面ABCD ，设菱形ABCD 的中心为O ，以O 为原点，对角线AC ，BD 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系如图，设()0BE t t =>，1(,0,0),(,0,0),(0,,),(0,,).2222a aA a C a D a E t --1(,,),(,0,0),22a AD a a AC =-=(,,),22a AE a t = 设平面1D AC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111111100,2200a n AD ax y z a n AC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，令11z =得1(0,2,1)n =．设平面EAC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则22221200,200a n AE y tz n AC ⎧⎧⋅=++=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，令2z a =-得2(0,2,)n t a =- ．二面角1E AC D --的大小为θ，由题设可得1212cos n n n n θ⋅==．ππ43θ≤≤，1cos ,22θ⎡∴∈⎢⎣⎦，∴12≤2≤，整理得22121630t at a --≤且2244320t at a --≥，又0t >，解得83222aa t +≤≤，所以t的取值范围是3,2a ⎤⎥⎣⎦.（2）设BE ＝t ，t ＞0，(),,P x y z ，令1D P PE λ= ，则,,,,22a a x y z a x y t z λ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()()10,,211a t ax y z λλλλ-+===++，则()()10,,211a t a P λλλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，1,0,A a ⎫⎪⎪⎝⎭，()()11,211a t a A P λλλλλ⎛⎫--∴= ⎪ ⎪++⎝⎭，11AA CC ∥且11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，从而11AC AC ，11A C ⊄平面EAC ，AC ⊂平面EAC ，得11A C 平面EAC ，由平面11PAC 平面EAC ，得1A P 平面EAC ，120A P n ∴⋅=，1011t a t λλλλλ--∴⋅-=++，化简得：t a λ=，（t ≠a ），即11D P BE PE a =，所以当0＜t ＜a 时，1λ<，即当0BE a <<时，恒有11D PPE<.22．已知()(1)nn f x x =+（0x ≠且1x ≠-，*n ∈N ）.（1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++ ，求()g x 中含3x 项的系数；（2）化简：123234(1)nn n n n C C C n C +++++ ；（3）证明.1121(1)1232m m m mm m m m m n m nm n C C C nC C m ++++-+++++++=+ 【正确答案】（1）330；（2）1221n n n -⋅+-；（3）见解析【分析】（1）根据()g x 表达式可知3x 系数为333334510C C C C ++++ ，将33C 改写成44C ，利用组合数的性质：11mm mn nnCCC -+=+整理得到结果；（2）通过对()n f x 求导可得()1111nn k k n k n x kC x --=+=∑，代入1x =可求得112nn k n k n kC -=⋅=∑，根据()1k k k n n n k C kC C +=+可化简得到结果；（3）等式左侧可看做()()()()11121...1m m m n h x x x n x ++-=++++++中含m x 项的系数；通过()()()1h x x h x -+整理出()h x ，此时含m x 项的系数为()1112m m nm n C m +++++，即等式右侧；由此可知所证等式成立.【详解】（1）由题意知：()()()()3410111g x x x x =++++++ 所以()g x 中含3x 项的系数为：333343334345104*********C C C C C C C C C ++++=++++== （2）()()01nnk k n n k f x x C x==+=∑两边求导得()1111nn k k nk n x kC x --=+=∑，令1x =得到112nn k n k n kC -=⋅=∑，又1221n nn n n C C C +++=- 且所求式子的通项为()1k k k n n nk C kC C +=+()12312341221nn n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+- （3）()()()()11121...1m m m n h x x x n x ++-=++++++……①则函数()h x 中含m x 项的系数为112...m m mm m m n C C nC -+-+⨯++因为()()()()()121121...1m m m nx h x x x x ++++=++++++……②①-②得：()()()()()()121111...11m m m m n m nxh x x x x x n x+++-+-=++++++++-+即()()()()()111111mn m nx x xh x n x x +⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+所以()()()()2111mm n m nx x nx x h x x +++-+++=函数()h x 中含m x 项的系数为：()()()()()()21!!2!2!1!1!m m m n m n m n n m n C nC m n m n ++++++-+=-++-+-()()()()()()112!1121!1!2m m nn n m m n m n C m m n m ++--+++++=⨯=++-+所以()1 1211123...2 m m m m m m m m m n m nm nC C C nC Cm+ +++-+++ ++++=+本题考查二项式定理、组合数公式的综合应用问题，解题关键是在处理组合数的化简、证明问题时，常采用构造法逆用二项式定理、对二项展开式左右两端分别求导，从而得到符合题意的组合数；同时在解题过程中要注意组合数性质的应用.。

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角的大小是( )A. B.C.D.2.函数的单调递增区间是( )A.B.C.D.3.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为( )A. 95B. 131C. 139D. 1414.若点P 是圆C ：上一点，则点P 到直线的距离最大值为( )A. B. C. 2D. 5.已知函数在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. B. C.D.6.记为等差数列的前n 项和，给出下列4个条件：①②③④，若只有一个条件不成立，则该条件为( )A. ① B. ②C. ③D. ④7.已知双曲线的焦点为、，其渐近线上横坐标为的点P 满足，则( )A. B. C. 2D. 48.已知数列满足，，设，若对于，都有恒成立，则t 的最大值为( )A. 3B. 4C. 7D. 9二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知曲线C 的方程为，则下列结论正确的是( )A. 当时，曲线C为圆B. “”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件C. 存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为D. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为10.已知函数，当时，有极大值，则a的取值可以是( )A. 6B. 5C. 4D. 311.已知是等差数列的前n项和，且，则下列命题正确的是( )A. B.该数列的公差C. D.12.古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )A. C的方程为B. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是的平分线C. 在C上存在K使得D. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.抛物线的焦点到准线的距离是__________.14.在正项等比数列中，若，与的等差中项为12，则等于__________.15.美学四大构件是：史诗、音乐、造型绘画、建筑等和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为的直角梯形如图所示，则该椭圆的离心率为__________.16.定义在R上的函数满足，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

江苏省常州市2024-2025学年高二上学期学情调研测试一数学试题

江苏省常州市2024-2025学年高二上学期学情调研测试一数学试题一、单选题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF ，则双曲线的方程为（）A ．22184x y −=B ．22148x y −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=2．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）A ．22184x y +=B ．22135x y +=C ．22162x y +=D ．22169x y +=3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．15B C D 4．已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A ．25B C ．35D 5．对于一段曲线C ，若存在M 点，使得对于任意的P C ∈，都存在Q C ∈，使得||||1PM QM ⋅=，则称曲线C 为“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则下列正确的是（） A ．①成立②不成立 B ．①不成立②成立 C ．①成立②成立D ．①不成立②不成立6．已知点()10F ,，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（） A ．点P 的轨迹方程是22143x y +=B ．直线1:240l x y +−=是“最远距离直线”C ．平面上有一点()1,1A −，则2PA PF +的最小值为5D ．点P 的轨迹与圆22:20C x y x +−=是没有交汇的轨迹（即没有交点） 7．已知曲线C ：()()222229x y x y +=−是双纽线，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 的图象不关于原点对称B ．曲线C 经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C ．若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为(],1−∞−D ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3二、多选题8．在平面上，定点1F 、2F 之间的距离122F F c =.曲线C 是到定点1F 、2F 距离之积等于()20c c >的点的轨迹.以点1F 、2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系.已知点()00,P x y 是曲线C 上一点，下列说法中正确的有（） A ．曲线C 是中心对称图形B ．曲线C 上有两个点到点1F 、2F 距离相等 C ．曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是,22c c ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D ．曲线C9．到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点()()122,0,2,0F F −，动点()00,P x y 满足124PF PF ⋅=，设P 的轨迹为曲线C ，则下列命题错误的是（） A ．曲线C 过原点 B ．P 的横坐标最大值是2C ．P 的纵坐标最大值是32D ．22002ln(1)y x ≤+10．某学习小组用函数图象：1:4C y =2:4C y =23:2C x py =部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过3C 焦点F 的直线l 交3C （包含边界点）于A ，B 两点，P 是1C 或2C 上的动点，下列说法正确的是（）A ．抛物线3C 的方程为23:4C x y =B ．||||PB FB +的最小值为4C ．PABS的最大值为33542h ⎛⎫=⎪⎝⎭D ．若P 在1C 上，则PA PB ⋅的最小值为4−11．曲线()32222:4C x y x y +=被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（）A ．曲线C 关于直线(0)y ax a ≠=交于不同于原点O 的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点，则12120x x y y +++=B ．存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）；C ．存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C 在此圆面内（含边界）；D ．曲线C 上存在一个点M ，使得点M 到两坐标轴的距离之积大于12.三、填空题12．已知圆2240x y x m +−−=的面积为π，则m = ．13．已知直线:10l x my −+=与()22:14C x y −+=交于A ，B 两点，写出满足“ABC V 面积为85”的m 的一个值． 14．在空间直角坐标系下，由方程()22222210,0,0x y z a b c a b c++=>>>所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面0,0,0z y x ===分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为222210x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，222210x z a c y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，222210y z b cx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆2219160x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩与点(1,M ，则这个椭球面的方程为 .四、解答题15．设抛物线2:2(0)C y px p =>，直线210x y −+=与C 交于A ，B两点，且||AB = (1)求p ；(2)设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF ⋅=，求MNF 面积的最小值. 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==． (1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A PF 面积的二倍，求直线2A P 的方程．17．已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．(1)若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；(2)当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离； (3)直线l ：3x =−，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P 的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．18．在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于19．在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线. (1)求E 的方程;(2)若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积;(3)设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明:Γ在点G 处的切线n 为12AF F △的等线。