截面几何性质
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
yc
1 y1 2 y2 1 2
500 5 500 10 25 20cm;
500 500
(2)计算形心主惯性矩:
(z、y轴即形心主轴）
z1
z1
a12 1
50 103 12
20
52
500
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截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分
别为:
Sz
y dA;
A
Sy
z dA;
A
静矩为代数值。静矩单位: m3; mm3;
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同
一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
材料力学 截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质
§Ⅰ-1 截面的静矩和形心位置 §Ⅰ-2 惯性矩、惯性积和惯性半径 §Ⅰ-3 平行移轴公式 §Ⅰ-4 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩）
截面对z轴的静矩： Sz dSz ydA
A
A
y
截面对y轴的静矩： S y dS y zdA
z
zc
y
b y c dA
zc
C
yc
az
o
y
小结 ❖移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心； ❖在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。
例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和 惯性积。
解：将图形看作是两个矩形的结合。 形心坐标为
yc 0
zc
A1z1 A2z2 A1 A2
10.33mm
z100
z 100
20
90 20 20 y 100
z
I
100
20
90
II
20
20
100
y
对图形I和图形II,有
z
I
100
20
yIc 50mm yIIc 60mm zIc 45mm zIIc 45mm
90
AI 900m0m2AII400m0m2
2
2
Sy Syi Aizci AIzcI AIIzcII
截面的几何性质—惯性矩(工程力学课件)
Iz
bh3 12
,Iy
b3h 12
圆形截面的形心主惯性矩公式:
Iz
Iy
D 4
64
y z
A
o
dA y z
平面图形对z轴的惯性矩
Iz
y 2 dA
A
图形对y轴的惯性矩
I y
z 2 dA
A
惯性矩的单位： m4
惯性矩恒大于零
z
y
dA
A
z
o
y
图形对原点的极惯性矩
IP
2dA
A
极惯性矩的单位： m4
z y A
o
图形对z、y轴的惯性积
dA z y
Izy
yzdA
A
惯性积的单位： m4
例1. 试计算图示的矩形对其形心轴y轴和z轴(z轴平行于矩形底边)的惯性矩。
解：取平行于z轴的微面积：dA bdy
I z
y2dA
A
h
2 h
2
y 2 (bdy)
b
wk.baidu.comy3 3
h
2 h
2
bh3 12
矩形截面对其形心轴的惯性矩为：
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
牢记下列公式
矩形截面的形心主惯性矩公式:
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章
平面图形的几何性质
研究截面几何性质的意义
从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩
一、静距的概念
A
y S z d d =A
z S y d d =⎰⎰⎰⎰====A
A
y y A
A
z z A
z S S A y S S d d d d z
y d A y
z
静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m 3或mm 3。
形心
d A z
y
y z
C
x C
y ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫⋅∆∑=
⋅∆∑=A y A y A
z A z C C ⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫==
⎰⎰A ydA y A zdA z A
C A C ⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫=
=A S y A S z z C y C ⎭
⎬
⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
截面特性
平行移轴公式
I yc I zc
A
zc d A . yc d A
A c c 2
2
A
I yc zc
Iy
A
z2
y z dA dA ( z a)
c A
A
2
dA
A
zc dA 2a zc dA a 2 dA
2 A
I yc a A
2
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
I z y 2 dA I P 2dA
A
2 I z A iz
iy
Iy A
, iz
Iz A
iy 和 iz 分别称为图形对y轴和对z轴的惯性半径。
I P 2 dA y 2 dA z 2 dA I z I y
A A A
图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交 点的极惯性矩。 惯性矩和极惯矩永远为正
主惯性轴
主惯性矩 图形对主惯性轴的惯性矩 形心主惯性轴 通过图形形心C的主惯性轴 形心主惯性矩 图形对形心主惯性轴的惯性矩 形心主惯性平面 如果平面图形是杆件的横截面，则截面的形 心主惯性轴与杆件轴线确定纵向对称面。 主惯性矩的计算公式： Iy Iz 1 2 I y0 (I y I z )2 4I y z 2 2 Iy Iz 1 2 I z0 (I y I z )2 4I y z 2 2
第7章-截面图形的几何性质（PDF）
第7章 截面图形的几何性质
教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心
考察如图7.1所示任意截面几何图形。在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。定义下列积分
d y A
S z A =∫， d z A
S y A =∫
(7.1)
图7.1
分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。其量纲为长度的三次方。常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即
d d A
A
z
C
y V y A S y V A
A ==
=
∫∫
d d y A
A
C z V
z A S z V
A
A
=
=
=
∫
∫
第7章 截面图形的几何性质
截面的几何性质—平行移轴公式(材料力学)
y
z yc
A
A
A
图形对z、y轴的惯性矩和惯性积分别为
Iz y2dA, I y z2dA, Izy yzdA
A
A
A
b
zc
dA
C
yc
a y zc
由右图知
y yc a, z zc b
O
z
因此
Iz
y2dA
( yc a)2 dA
百度文库
(
y2 c
2ayc
a2
)dA
y2dA 2a c
ycdA a2
dA
A
A
A
A
A
A
Iz Iz c 2aSzc a2 A
Iy
z2dA
(zc b)2 dA
(z2 c
2bzc
b2
)dA
z2dA 2b c
zcdA b2
dA
A
A
A
A
A
A
Iy
Iy c
2bSyc
b2A
Izy yzdAyc azc bdAyczc byc azc abdA yczcdAb ycdAazcdAabdA
I zy
i 1
I yzi
Izi， Iyi
,Iyz i
----指第
i个简单截面对
y, z
轴的惯性矩，惯性积。
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
I P 2 dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面： I P 2dA 32 ; D 4 d 空心圆截面： I P (1 4 ); ( )
A A
D 4
四、惯性积： I z y dA; zy A
五、平行移轴公式：
2 I z1 z a 2 A; y1 y b A;
I z1 y1 I zy abA ;
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zo yo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
S z y dA A yc ;
A
S y z dA A zc ;
A
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的 静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心， 则截面对该轴的静矩为零。 返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式：
Sy Sz yc ; z c . A A
截面几何特性
截面图形的几何性质
一.重点及难点：
(一).截面静矩和形心
1.静矩的定义式
如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即
dA ydA
dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ∫∫==A
A
y ydA
Sx xdA
S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1
设平面图形形心C 的坐标为 则 0 C C z y ,A S y x
= ， A
S x y = （I-2）
推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为n A A A A ……321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为……332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n
i n
i i
i xi x n
i i
i n
i yi y y A S S x A S 1
1
11S （I-3）
截面图形的形心坐标为
∑∑===
n
i i
n
i i
i A
x
A x 1
1 ， ∑∑===
n
i i
n
i i
i A
y
A y 1
1 （I-4）
4.静矩的特征
(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为。
3m (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
史上最全的常用截面几何特性计算公式
史上最全的常用截面几何特性计
算公式
构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。
1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。静力矩可以是正的，也可以是负的。它的维数是长度的三次方。静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。
2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。形心坐标xo、yo的计算公式为：
3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为：
转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。例如，平行四边形对中心线的惯性矩为
4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整
个截面上的积分。下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为：
极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。构件的抗扭能力与惯性矩成正比。圆形截面相对于其中心的惯性矩为
5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为:
材料力学-几何性质
C
A
o
zc
y
（3）求静矩的另一公式：
Sz yc A
S y zc A
（3）若 yc 0, zc 0, 则 S z 0, S y 0.
z
y、z轴称为形心轴。 若已知 S z 0, S y 0,
C
则可确定z轴、y轴通
y
A
过截面形心。
二、截面的惯性矩
z
y
dA I z y²
A A
y 2 dA z 2 dA I z I y
A
IP Iz Iy D4 d 4 2 64
I P 2I z 2I y
实心圆
I P d Iz Iy 2 64
4
I P D 4 Iz Iy 1 4 2 64
d D
dA z A 图形对z轴的惯性矩
A
I y z² dA
Awk.baidu.com
图形对y轴的惯性矩 y
4 m 单位：
o
1、简单截面的惯性矩 矩形截面
y 2 2 I z y dA h y bdy b 2 3 A
h 2
h 3 2 h 2
bh3 12
bh3 Iz 12
hb Iy 12
3
组合截面惯性矩
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
Sz=∫ ydA A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z dA
y
1
HOHAI UNIVERSITY
二、截面形心的位置
∫ yc =
ydA
A
= A
Sz A
zc
∫ =
zdA
A
A
=
Sy A
bh3 12
同样地
Iy
hb3 12
I yz 0
y、z为形心主轴
Iy、Iz为形心主惯性矩
bb/2/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
8
HOHAI UNIVERSITY
例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
zHale Waihona Puke Baidu
y
dy
zz y
Iy
Iz
64
d4
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
HOHAI UNIVERSITY
截面几何性质
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I. 在下列关于平面图形的结论中，（ A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
D
）是错误的。
）的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩； C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。
四、惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的 惯性轴和主惯性矩
Ix1 =
y
主
Ix + I y 2 Ix + I y 2
Ix1y1 =
+
Ix − I y 2 Ix − I y
cosα − Ixy sin 2 α cosα + Ixy sin 2 α
Iy1 =
2 Ix − Iy
2
−
sin 2 + Ixy cos 2 α α
A Ix0 = 0 . ；
B. Ix0 = I1 − Aa2； D Ix0 = I1 + Aa。 .
C. Ix0 = I1 + Aa2；
a
x1
C
B
x0
课堂练习
I.
设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix， 则二者的大小关系是（ ）。
A Iy ≺ Ix； . B. Iy = Ix； D 不 定 . 确 。
常用截面几何性质计算公式JX
常用截面几何性质计算公式JX
截面几何性质是指用于描述截面形状和尺寸的参数。在工程学和材料科学中，了解截面几何性质对于设计和分析结构是非常重要的。下面介绍一些常用的截面几何性质计算公式。
1. 惯性矩（Moment of Inertia）：
惯性矩是描述截面抗弯刚度的参数，通常用I表示。常见的几何形状的惯性矩公式如下：
矩形截面：I=(b*h^3)/12，其中b为截面宽度，h为截面高度。
圆形截面：I=π*d^4/64，其中d为截面直径。
方形截面：I=d^4/12，其中d为截面边长。
等边三角形截面：I=(b^4*√3)/36，其中b为截面边长。
2. 面积（Area）：
面积是描述截面尺寸大小的参数，通常用A表示。常见的几何形状的面积公式如下：
矩形截面：A=b*h，其中b为截面宽度，h为截面高度。
圆形截面：A=π*(d/2)^2，其中d为截面直径。
方形截面：A=d^2，其中d为截面边长。
等边三角形截面：A=(b^2*√3)/4，其中b为截面边长。
3. 弯曲半径（Radius of Gyration）：
弯曲半径是描述截面形状分布关于中性轴的离散程度的参数，通常用
r表示。它是惯性矩与截面面积的比值的平方根。常见的几何形状的弯曲
半径公式如下：
矩形截面：r=√(I/A)
圆形截面：r=d/2，其中d为截面直径。
方形截面：r=d/√12，其中d为截面边长。
等边三角形截面：r=b/√12，其中b为截面边长。
4. 抗剪面积（Shear Area）：
抗剪面积是描述截面在剪切载荷下的性能的参数，通常用As表示。
常见的几何形状的抗剪面积公式如下：
截面几何特性
截面图形的几何性质
一.重点及难点：
(一).截面静矩和形心
1.静矩的定义式
如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即
dA ydA
dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ∫∫==A
A
y ydA
Sx xdA
S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1
设平面图形形心C 的坐标为 则 0 C C z y ,A S y x
= ， A
S x y = （I-2）
推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为n A A A A ……321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为……332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n
i n
i i
i xi x n
i i
i n
i yi y y A S S x A S 1
1
11S （I-3）
截面图形的形心坐标为
∑∑===
n
i i
n
i i
i A
x
A x 1
1 ， ∑∑===
n
i i
n
i i
i A
y
A y 1
1 （I-4）
4.静矩的特征
(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为。
3m (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
材料力学-截面几何特性
一、 惯性矩和惯性积的转轴公式
y
坐标的旋转变换：
y1
x
xy11xcxossianaysyicnoasa
dA
x1
y y1
x1
对x1轴的惯性矩：
I x1 y12dA
a
x
2
(x sina y cosa ) dA
Ix cos2 a 2Ixy sina cosa I y sin2 a
Ix1 Ix cos2 a 2Ixy sina cosa I y sin2 a
(a)
解：将截面看作由一个矩形和两个 半圆形组成，对于矩形
d 2a3
I x1 12
80 mm 200 mm 3 5 333 104 mm 4
12
对于半圆形
xc2
d sin( / 2) 3 / 2
80mm
3 / 2
17.0mm
I x2
d4 64
/2
9
16
/
2
(80mm )4 / 2 16 28 10 4 mm 4
y y
c x y
c
x
y
cx
cx
如果截面具有三根以上的对称轴，过形心的任 意轴及与之正交的形心轴均为形心主轴
y
y
cx
cx
如果截面没有对称轴，形心主轴的确定:
1、确定形心位置；
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附录I 截面的几何性质
10
x1
1
A 1 x1 A2 x 2 x A1 A2 Ai
i 1 n i 1
Ai x i
n
y1
o
y2
2 10
A1 y1 A2 y 2 y A1 A2
x2
80
x
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材料力学 矩形 1
附录I 截面的几何性质
2
A1 10 120 1200 mm
A A A
A
yC dA 0
I x I xC a2 A
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材料力学
附录I 截面的几何性质
注意：
（1）应用平行移轴公式时，两平行轴中，要
求xc、yc 必须为形心轴。截面对任意两平行轴
的惯性矩间的关系,应通过对形心轴的惯性矩 来换算； （2）截面对所有平行轴的惯性矩中,以对形心轴 的惯性矩为最小.
4996cm 4
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材料力学
附录I 截面的几何性质
例题Ⅰ- 8 试求图a所示截面对于形心轴 x 的惯性矩Ix 。 解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形 组成，半圆形的形心位置如图b所示。
(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为Ix1，每个半 圆形对x轴的惯性矩为Ix2，则有
I x I x1 2I x2
r 2 2
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材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-2
极惯性矩●惯性矩●惯性积
定义：平面图形中任 一微面积dA与它到坐标原 点Ｏ的距离ρ平方的乘积 ρ2dA,称为该面积dA对于 坐标原点o的极惯性矩或 截面二次极矩。
一、极惯性矩
y
x
dA
A
y
I P 2 dA
A
o
x
单位： mm4 , m4
yc
4
zc
z1
I y I y1 I y 2 169 609.4 778.4cm
20b
z
I zc I zc I zc
I z1 A1 ( yc y1 )2 I z 2 A2 ( y2 yc )2
2500 39.5 (14.1 10)2 61.1 21.3 (20 1.67 14.1)2
2 2
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
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材料力学
附录I 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
d 2a 80 200 其中：I x1 5 333104 m m4 12 12 河南理工大学万方科技学院
3 3
材料力学
附录I 截面的几何性质
根据平行移轴公式可得
Ix
C
2 2 d π d I x 8 3π
2
而
Ix
πd 4 1 πd 4 I x 64 2 128
A
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材料力学
附录I 截面的几何性质
定义:平面图形内，微面 积dA与其两个坐标x、y的 乘积xydA在整个图形内 的积分称为该图形对x、y 轴的惯性积。 图形对x、y两轴的惯性积： y
三、惯性积
y x dA
A
o
I xy xydA
A
x
单位：mm4 , m4
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D4
64
(1 4 )
材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 ●组合截面的惯性矩和惯性积 一、惯性矩和惯性积的平行移轴公式：
已知:
I xc , I yc , I xcyc ,
求
I x , I y 及I xy
( yc // y, xc // x)
附录I 截面的几何性质
A1 y1 A2 y2 0.072 2.46 0.48 1.2 yc 1.36m; A1 A2 0.072 0.48
若分解为１、２、３三个矩形，参考z’轴，则
0.6 2.52 (1.26 1.2) y'c 0.16m; 0.6 2.52 2 0.2 2.4
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467104 mm4
d1
h
材料力学 例6 T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。 解：(1) 求形心 任选参考坐标系,如 y0 3 20 1.5 3 17 (3 8.5) 3 zc 3 20 3 17
附录I 截面的几何性质
20cm I C
y0
6.1 cm
I zc II zc
zc
y
材料力学 二、形心位置坐标计算公式
附录I 截面的几何性质
将面积视为平行力（即看作 等厚均质薄板的重力）,由合力矩定理可得：
S y x dA A x;
A
S x y dA A y ; （I 2
A
x
y
A
xdA S y
ydA
y
Sx A A 静矩的计算公式：
A
A
A
x
A
C
Sy x A
Sx y A
y
o x
结论 ：截面对形心轴的静矩为零；反之，若截面对某一 轴的静矩为零，则该轴必为截面的形心轴。
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）
材料力学
y
附录I 截面的几何性质
dy b (y ) h O
例1 试计算图示三角形截面对于与
其底边重合的 x 轴的静矩。
y
AIII AIV
I xy xydA A yzdA A xydA A xydA 0
AI
II
III
IV
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材料力学
附录I 截面的几何性质
例4 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。 解 ： dA = b dy
I x A y dA
y
3
2
1 d4 I y Ix I p 64 2
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材料力学 y D d x
附录I 截面的几何性质
空心圆截面：
I P I P大 I P小
32 32 D4 (1 4 ) 32
d D
D4
d4
其中
I y I x I z大 I z小
材料力学
附录I 截面的几何性质
讨论： （1） I xy 为代数值,可正、可负、可为零。 （2）若图形有一对称轴，则 I xy 0 （3）若截面有一根对称轴,则该截面对包括此 对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
y
AII AI
AIII AIV
x
AI
xydA xydA
AII
xydA xydA
(2) 求 I zc , I yc
17
1 1 3 I zc I I 3 20 17 33 12 12 2048 cm4
I II I yc I yc I yc
II
3 z
zc
1 1 3 2 8.5) 2 ] [ 20 3 20 3 ( zc 1.5) ] [ 3 17 3 17 3 ( zc 12 12 4030 cm4
材料力学
附录I 截面的几何性质
材 料力学
附录 截面几何性质
2016年11月14日
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材料力学
附录I 截面的几何性质
附录I
截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心位置 §I-2 极惯性矩·惯性矩·惯性积
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 ·组合截面的惯性矩和惯性积
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面的主惯性轴和主惯性矩
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材料力学
附录I 截面的几何性质
二、惯性矩
定义：面积元素dA对y轴、x轴的惯性矩分别为：x2dA和y2dA； 整个图形对y轴、x轴的惯性矩（截面二次轴矩）分别为： y x
I y x² dA
A
dA
A y
dA I x y²
A
4 4 mm , m 单位：
o
x
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I
x
h 2 h 2
A
y dA
2
2
by
hb
12
dy bh 12
dy
3
h
C
y x
Iy
b
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材料力学 例5 求圆形截面对直径轴的惯性矩。
附录I 截面的几何性质
y
已知 则 而 所以
I P 2 dA
A
d4
32
d x
I y Ix I p I y Ix
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材料力学
附录I 截面的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心的位置 一、静矩（面积矩）的定义
y x
S y xdA
A
S x ydA
A
dA y
单位： mm3 ; m3
静矩的值与所选 坐标轴的位置有关, 为代数值,可正、可 x 负、可为零。
A
o
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I x I xC a 2 A
公式为：
I y I yC b 2 A I xy I xcyC abA
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材料力学 证明：
附录I 截面的几何性质
y= yc+a
A
I x C yC 2 dA
I x y 2 dA
A
yc 2 dA 2a yc dA a 2 dA
附录I 截面的几何性质
y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
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材料力学 例I-1’ 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m 2 , y1 2.46 m; A2 0.48 m 2 , y2 1.2m;
y
10
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2 1
x1
A2 10 70 700 mm
70 10 45mm x2 2
2
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
y 2 5mm
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材料力学 所以
A1 x 1 A2 x 2 x A1 A2 37500 20 mm 1900 A1 y 1 A2 y 2 y A1 A2 75500 40 mm 1900
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材料力学 例3 半径为r的半圆：求半圆的形心。
附录I 截面的几何性质
解： 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长 条作为微面积，即
dA 2 r 2 y 2 dy
S z ydA
A
2 3 2 y r y dy r 0 3 2 3 r Sz 4r 3 yC A 1 r 2 3 2
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材料力学
附录I 截面的几何性质
二、组合截面的惯性矩和惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对 于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y
b
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材料力学
附录I 截面的几何性质
讨论:
（1）极惯性矩、 惯性矩恒为正值；
（ 2） 所以
I y iy A ,
Iy A ,
2
I x ix 2 A
iy
Ix ix A
iy , ix ——惯性半径 （单位：mm, m ）
2 2 2 （3） x y
I P 2 dA A ( x 2 y 2 )dA A x 2 dA A y 2 dA I y I x
解：
取平行于 x 轴的狭长条，
b
x
b b( y ) ( h y ) h
所以对x 轴的静矩为
b d A (h y ) d y h
h
S x A y d A 0
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b bh (h y ) y d y h 6
2
材料力学 例2 试确定图示截面形心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
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材料力学
附录I 截面的几何性质
例7 计算图示型钢组合截面的形心和对形心轴的惯性矩。 y 解： S z A1 y1 A2 y2 14b z2 39.5 10 21.3 ( 20 1.67)
Sz yc 14.1cm A1 A2
856.8cm 3