知识点35 与圆的有关计算2018-2019领军中考数学(原卷版)

专题三十五与圆的有关计算瞄准中考一、选择题1.（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，7，3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（）A．120°B．180°C．240°D．300°2.（2018辽宁省沈阳市，10，2分）如图，正方形ABCD 内接于O，AB＝，则AB的长是（）第10题图A.πB.32π C.2π D.12π3.（2018山西省，10题，3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O, ⊙O的半径为2。

以点A为圆心，以AC 长为半径画弧交AB的延长线于点E.交AD的延长线于点F.则图中阴影部分的面积是( )A ．B ．C．D ．4.（2018内蒙古包头，7，3分）如图2，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是( )A.32π-B.62π-C.34π-D.64π-5.（2018内蒙古通辽，5，3分）如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是A．18πB．24πC．27πD．42π考点（知识点）讲解考点一、圆的相关概念（3分）1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3分）（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论（3分）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

学——科网垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性（3分）1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3分）1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论（3~8分）1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点七、点和圆的位置关系（3分）设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。

考点八、过三点的圆（3分）1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

考点九、反证法（3分）先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

考点十、直线与圆的位置关系（3~5分）直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r；考点十一、切线的判定和性质（3~8分）1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

考点十二、切线长定理（3分）1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

考点十三、三角形的内切圆（3~8分）1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

考点十四、圆和圆的位置关系（3分）1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切⇔d=R-r （R>r ）两圆内含⇔d<R-r （R>r ）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

考点十五、正多边形和圆 （3分）1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

考点十六、与正多边形有关的概念 （3分）1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点十七、正多边形的对称性 （3分）1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

考点十八、弧长和扇形面积 （3~8分）1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180r n l π=2、扇形面积公式lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积rl r l S ππ=∙=221 其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）1、相交弦定理⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交与点E ，则AE ∙BE=CE ∙DE2、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

即：∠BAC=∠ADC3、切割线定理PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，则PC PB PA ∙=2随机数。

典例1（2018广西南宁，10，3）如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，AB ＝2，则莱洛三角形（即阴影部分面积）为（ ）A ．π+ 3B ．π－ 3C ．2π－ 3D ．2π－2 3C典例2（2018湖北十堰，9，3分）如图，扇形OAB 中，∠AOB ＝120°，OA ＝12，C 是OB 的中点，CD ⊥OA交⌒AB 于点D ，以OC 为半径的⌒CE 交OB 于点E ，则图中阴影部分的面积是（） A ．12π＋183 B ．12π＋363错误！未找到引用源。

C ．6π＋183D ．6π＋363课后练习8. （2018辽宁省抚顺市，题号8，分值3）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是A.3πB.32π C.π D.2π9.（2018·宁夏，6，3）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．10 B．20 C．10πD．20π二、填空题1.（2018广东省，15，3）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 .（结果保留π）题15图2.（2018黑龙江省龙东地区，7，3分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为________．3.（2018山东省东营市，16，3分）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为.16．（2018山东省东营市，16，3分）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为.4.（2018四川乐山，15，3）如图7，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O＇AC＇，使得点O＇的坐标是（1，则在旋转的过程中线段OC 扫过部分（阴影部分）的面积为.图75. (2018甘肃省兰州市,15,4分)如图,△ABC的外接圆O的半径为3,∠C=55°,则劣弧AB的长是 .6.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号12，分值3）已知圆锥的底面半径为20，侧面积为400π，则这个圆锥的母线长为________.7.（2018江苏扬州，13，3）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．8.（2018青海，11，2分）如图6，用一个半径为20cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的图锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r为cm.图4 图5 图69.（2018广西贵港，17，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′ 恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）A'10.（2018江苏常州，16，2）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，⋂BC的长是34π，则⊙O 的半径是_______．11. （2018江苏苏州，16，3分）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB 和扇形OCD ，点O ，A ，B ，C ，D 均在格点上．若用扇形OAB 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r 1；若用扇形OCD 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r 2，则12r r 的值为 ．12. （2018江苏徐州，16，3分）如图，扇形的半径为6，圆心角 为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 .13. （2018江苏徐州，18，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝4，C 为半圆AB 的中点.P 为»AC 上一动点，延长BP 至点Q ，使BP •BQ ＝AB 2.若点P 由A 运动到C ，则点Q 的运动路径长为.14. （2018江苏镇江，7，2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为________．15. （2018云南省昆明市，6，3分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和π）．16.(2018黑龙江大庆，17，3) 17. 如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到RtΔADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为____________.17.（2018黑龙江哈尔滨，18，3）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm，则此扇形的面积是_________________cm2．18.（2018湖北恩施州，15，3分）在Rt△ABC中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，如图5所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为_________．（结果不取近似值∙∙∙∙∙）19.（2018四川眉山，16，3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC 绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是．20.（2018云南曲靖，14，3分）如图，图像①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北、正南、西北方向同时平移，每次移动一个单位长度；第一次移动后图形①②③的圆心P P＝依次为P1、P2、P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4、P5、P6，…………，依此规律，02018____________个单位长度.三、解答题1. （2018黑龙江省龙东地区，22，6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B (1，1)，C (3，1)．（1）画△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）． xyC AO B2. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号20，分值8）如图，以△ABC 的边AB 为直径画O ，交AC 于点D ，半径OE//BD ，连接BE ，DE ，BD ，设 BE 交 AC 于点 F ，若∠DEB = ∠DBC .(1)求证：BC 是O 的切线； (2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.3. （2018黑龙江绥化，22，6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标为A （-4,1），B(-1，-1)，C（-3,3）.（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得出△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1），画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕着坐标原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A1、B1、C1的对应点分别为点A2、B2、C2），画出旋转后的△A2B2C2；（3）求△A1B1C1在旋转过程中，点C1旋转到点C2所经过的路径的长.（结果用含π的式子表示）4.（2018吉林省，20, 7分）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．．5.（2018江苏扬州，25，10）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O 为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．6.（2018•徐州，25，8分）如图，AB为⊙O的直径，点Ｃ在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点Ｄ，∠Ｃ＝90°．（1）CD与⊙O有怎么的位置关系？请说明理由；（２）若∠CDB＝60°，AB＝6，求»AD的长．7.（2018贵州贵阳，23，10分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM.（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长.8. (2018黑龙江大庆，27，9) 如图AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接C B.（1）求证：AC 平分∠F AB ；（2）求证：BC ²＝CE •CP ；（3）当AB ＝43且CP CF ＝43时，求劣弧BD 的长度.9.（2018云南曲靖，22）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D ．恰好与圆心O 重合，连接OC ，CD ，BD ，过点C 的切线与线段BA 的延长线交于点P ，连接AD ，在PB 的另一侧作∠MPB ＝∠ADC ，（1）判断PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若PC，求四边形OCDB 的面积.10. （2018云南，22，9分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD ＝∠BAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠D ＝30°，BD ＝2，求图中阴影部分的面积．（第22题图）。