_破译_几何概型概率计算公式

高中数学必备必考公式大全

高考数学必备必考公式大全一、集合1.并集的运算A∪B={x|x∈A,或x∈B}2. 并集的运算性质(1) A∪A=A(2)A∪∅=A(3)A∪B=B∪A(4) A∪B=A⇔B⊆A3. 交集的运算A∩B={x|x∈A,且x∈B}4. 交集的运算性质(1)A∩A=A(2)A∩∅=∅(3)A∩B=B∩A(4)A∩B=A⇔A⊆B5. 补集的运算∁U A={x|x∈U,且x∉A}6. 补集的运算性质(1) ∁U (∁U A)=A(2) ∁U U=∅,∁U∅=U(3)A∪(∁U A)=U,A∩(∁U A)=∅(4) ∁U (A∩B)=( ∁U A)∪(∁U B), ∁U (A∪B)=( ∁U A)∩(∁U B)二、函数与导数公式1. 有理数指数幂的运算性质（1）a r a s=a r+s(a>0,r,s∈Q)（2）=a r-s(a>0,r,s∈Q)（3）(a r)s=a rs(a>0,r,s∈Q)（4）(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q)2.对数运算公式（1）对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:log a(M·N)=log a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=n log a M(n∈R)（2）对数恒等式a log aN =N(a>0,且a≠1,N>0)（3）对数运算的换底公式log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)（4）换底公式的变形log a b·log b a=1,即log a b=lo b n=log a blog N M==（5）换底公式的推广log a b·log b c·log c d=log a d3.求导公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式a.若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0.b.若f(x)=x n(n∈Q*),则f'(x)=nx n-1.c.若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x.d.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x.e.若f(x)=a x,则f'(x)=a x ln a.f.若f(x)=e x,则f'(x)=e x.g.若f(x)=log a x,则f'(x)=.h.若f(x)=ln x,则f'(x)=.（2）导数运算法则a.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)b.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)c.[]'=(g(x)≠0)（3）复合函数的导数(理)设y=f(u),u=φ(x),则y'x=y'u u'x或记作f '[φ(x)]=f '(u)φ'(x).特别地，[f (ax +b )] '=a f' (ax+b).4.定积分的运算性质（理）（1）b a ⎰kf (x )d x=k b a ⎰f (x )d x (k 为常数)(2) b a ⎰[f (x )±g (x )]d x=b a ⎰f (x )d x±b a ⎰g (x )d x (3)b a ⎰f (x )d x=-a b ⎰f (x )d x(4）c a ⎰f (x )d x=b a ⎰f (x )d x+cb ⎰f (x )d x (a<b<c )三、三角函数1. 同角关系：(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商的关系:=tan α(α≠+k π,k ∈Z ). 2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

考点五十几何概型学生

考点五十几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 14解题要点基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．题型二与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A. π2B. π4C. π6D. π8变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 12解题要点求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．题型三与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A. π12 B ．1－π12 C. π6 D ．1－π6变式训练有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解题要点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A. 34＋12π B. 12＋1π C. 14－12π D. 12－1π2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. 4π81B. 81－4π81C. 127D. 8273. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A. 13 B. 2π C. 12 D. 234．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )A. 25B. 14C. 35D. 455．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________．课后作业一、选择题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为( )A. 25 B ．15、 C. 45 D ．3102．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A. 13 B ．17 C. 310 D ．7103．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A. 16 B ．13 C. 23 D ．454．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A. 235 B ．215 C. 195 D ．1655．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率( )A. 334π B ．2π C. 4π D ．33π46．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为( )A ．22B ．23C ．2－ 3D ．2－ 2 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 二、填空题8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________．9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．。

几何概率的计算和应用

几何概率的计算和应用几何概率是数学中的一个重要分支，它研究的是几何形状对事件发生的概率产生的影响。

几何概率的计算方法和应用广泛存在于各个领域，例如工程、自然科学、经济学等。

本文将从几何概率的计算方法和应用两个方面进行探讨。

一、几何概率的计算方法几何概率的计算方法主要通过计算几何形状的面积或体积来确定事件发生的概率。

以下将介绍两种常见的几何概率计算方法。

1. 面积法面积法是几何概率计算中最常用的方法之一。

当事件的可能结果能够与几何形状的面积对应时，可以使用面积法来计算概率。

具体计算方法为：将事件的可能结果与几何形状的面积进行比较，然后用事件的可能结果的面积除以几何形状的总面积即可得到事件发生的概率。

2. 体积法体积法是几何概率计算中的另一种常用方法。

当事件的可能结果能够与几何形状的体积对应时，可以使用体积法来计算概率。

具体计算方法为：将事件的可能结果的体积除以几何形状的总体积即可得到事件发生的概率。

二、几何概率的应用几何概率在各个领域都有着重要的应用价值。

以下将介绍几个常见的几何概率的应用场景。

1. 机械工程中的应用在机械工程中，几何概率的计算可以用于确定零件的质量合格率。

例如，在制造一批螺钉时，可以通过计算符合标准的螺钉与总产量的体积比例来确定质量合格率。

2. 自然科学中的应用在自然科学中，几何概率的计算可以用于模拟复杂的自然现象。

例如，研究气象学中的降雨模式时，可以利用几何概率来计算降雨的概率分布。

3. 经济学中的应用在经济学中，几何概率的计算可以用于分析市场需求。

例如，在确定产品的市场需求量时，可以通过计算符合市场需求的产品与总产品的面积比例来确定市场需求率。

4. 生物学中的应用在生物学中，几何概率的计算可以用于遗传学的研究。

例如，在研究染色体的分离时，可以通过计算符合染色体分离规律的基因型与总基因型的概率比例来确定分离的概率。

结语几何概率作为数学中的一个重要分支，具有广泛的应用价值。

通过几何概率的计算方法，我们可以更准确地推测事件发生的概率。

概率计算方法

概率计算方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0<P(随机事件)<1.例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=3162 . 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算. 二.面积法例2 如图2是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=178. 评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积. 三.树形图法例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12 .（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都图1图232 1是白球的概率.解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得21122=++x ∴x=1答：蓝球有1个（2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =61122=说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．黄白2白1蓝黄白1蓝黄白21 2 3图3图4解析:(1)所求概率是.2142 (2)解法一(树形图):第一次抽取 12 3 4 第二次抽取21 3 431 2 441 2 3共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 解法二(列表法):(3,2), (3,4), 评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有效.概率计算一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？4面体将由4面变成8面；由4个顶点变成12个顶点；由6条棱变成18条棱。

概率(几何)定义

几何概型的解法归纳摘要：我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，其中每个等可能的基本结果可以用平面（或直线、空间）中的点来表示，而所有的基本结果对应于一个区域Ω，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.事实上从某种意义上来说几何概型是古典概型的补充和推广.本文中将几何概型的问题分为两大类来解决.关键词：几何概型，概率，蒲丰投针引言：几何概率定义：设Ω是某一有界区域，（可以是一维空间的，也可以是二维、三维空间的）向Ω中随机投掷一点M ，如果点M 落在Ω中任一点是等可能的（或说是均匀分布的），则说这个试验是几何概型.对于几个可行试验，事件A=“点M 落在区域Ω⊂A 中”的概率，定义为()的测度的测度Ω=A A P这里的测度指长度、面积、体积等 .1 一般问题 1.1 直接解题法这类问题中，样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域题中已经直接给出.这类问题结构比较简单，易于求解.下面举例说明.例 1 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴，y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内，而且落在这个三角形内每一点处的可能性都相等.求此质点落在直线31=x 的左边的概率.解由题意得出图（1），可知影阴部分即为题中所要求的样本点A ，大三角形即为样本空间Ω.211121=⨯⨯=Ωs185********=⨯⨯-=A s根据概率的几何定义，可得所求概率为：5518192P ssA Ω=== . 例2 随即地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的的夹角小于4π的概率.解以Ω表示半圆202y ax x <<- 由题可知：点()y x ,应落在图（2）所示的影阴部分（记为区域A ）由于在极坐标下，图形A 的面积：2c o s40a s d rdr πθθA =⎰⎰=22cos 4012a d r πθθ⎛⎫⎪⎝⎭⎰ =22402cos a d πθθ⎰=()2401cos 2ad πθθ+⎰=4222sin 214πθπa a +=2214a ⎪⎭⎫⎝⎛+π221a s π=Ω应用几何概率公式得到所求的概率：2211142122a s P s a πππA Ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+ .1.2 间接解题法这一类几何概率问题中，样本空间所对应的几何区域题中没有直接指明，需要对问题作深入的分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域.这一类结构比较复杂，解答富有技巧性，下面举例说明.例3 把长度为10的木棒任意分为三段，求这三段可以构成一个三角形的率. 解设其中两段的长度分别为x 与y 则第三段的长度为y x --10，显然有图(1)11/31xyAπ/4a 图（2）oyx⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<10100100100y x y x也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<100100100y x y x把()y x ,看作平面上的直角坐标中的点，则区域Ω可以用图（3）中的大三角形表示出来.为了使分成的三段能构成三角形，必须满足角形任意两边之和大于第三边所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+x y x y y y x x yx y x 101010 也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧>+<<<<55050y x y x ，于是区域A 可以用图（3）中的影阴部分表示，因此，所求概率为155121410102P S SA Ω⨯⨯===⨯⨯ .例 4 从区间()1,0内任意取两个数，求这两个数的积小于41的概率.解以y x ,表示从()1,0内任意取的两个数，那么x 和y 的变化范围为：10<<x ，10<<y ,即样本空间是边长为1的正方形Ω，两数的积小于41的充要条件为：41<xy ，10<<x ，10<<y ，即当样本点()y x ,落在由双曲线41=xy 及四条直线：0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围成的区域A （如图（4））内时，两数的积小于41，因为区域Ω的面积大小为1，而区域A 的面积大小为：1141111l n 24424dx x s A =+=+⎰ . 于是，所求的概率为：11ln 21124ln 2124P s sA Ω+===+ . 例5 在线段AB 上任取三点1x ，2x ，3x 求1Ax ，2Ax ，3Ax 能构成三角概率.解设线段AB 的长为1则101<<x ，102<<x ，103<<x 把()321,,x x x 看作空间一点的坐标系，则区域Ω可以用图（5）中的正方体表示出来.要使1Ax 2Ax 3Ax 能构成三角形，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+132231321xx x x x x x x x ，即六面体ODEBA 为所要求的样本点A ，所以所要求的概率为：111313212A P ννΩ-⨯⨯===.2 典型问题 2.1 会面问题例6 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等另一人一刻钟，过时即可离去.求两人会面的概率.解以x 和y 分别表示甲乙两人到达约会地点的时间则两人能够会面的充要条件是：15x y -≤ ，在平面上建立直角坐标系，则()y x ,的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图（6）中的影阴部分所表示，因此所求概率为：222604576016P ssA Ω-=== .例7 甲、乙两艘轮船使向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1小时，乙船是2小时求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.图（3）101055y xy-x=15x-y=15图（6）606015150yx1/41/4图（4）yA11x图(5)OHFEDC BA111X3X2X1解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别是x 及y ，则x 及y 均可能取区间[]0,24内的任意一值，即024x ≤≤ ，024y ≤≤而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出，也就是要求两船不可能会面，那么1y x -≥，或必须甲比乙早到1h 以上，或乙比甲早到2h 以上，即要2x y -≥ 在平面上建立直角坐标系如图（7），则(),x y 的所以可能结果是边长为24的正方形，而两艘船不可能会面的时间由图（7）中影阴部分表示,则所求概率为:()()22211241242220.89724P -+-==. 2.2 蒲丰投针问题蒲丰投针问题是一个著名的几何概型问题，它是法国科学家蒲丰在1777年提出的，在蒲丰投针问题中，投掷物针可以看作是一条线段，而针的落点是一组平行线构成的平面.蒲丰应用几何概型的一般方法，利用等可能性，巧妙地解了这个问题.例8 平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为l ，向平面任意投掷一枚长为()a a l <的针，试求针与平行线相交的概率.的距离，ϕ表解设x 表示针落下后针的中点M 到最近的一条平行线πϕ≤≤0而示针与平行线所成的角（如图(8)a ），则：02l x ≤≤ ，针与一直线相交的充要条件是：sin 2ax ϕ≤. 我们把x 和ϕ表示为平面上一点的直角坐标，则所有基本事件可以用边长为π及2l的矩形内的点表示出来，而“针与直线相交”这一事件所包含的基本事件可以用上图(8)b 中影阴部分内的点表示出来，因而所求概率为：0sin 222ad a P l l ssπϕϕππA Ω===⨯⎰. 例9 把针替换成三角形的蒲丰问题.平面上画有等距离的平行线，每二条平行线之间的距离为l ,向平面任意投掷一个三角形，该三角形的边长分别为c b a ,,(均小于)l ，求三角形与平行线相交的概率.分析三角形与平行线相交，只可能有三种情况：第一种情况是三角形的一个顶点与平行线相合(如图9（1））；第二种情况是三角形的一条边与平行线相合(如图9（2））；第三种情况是三角形的两条边与平行线相交(如图9（3））.由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域的面积为零，在几何概率中，其概率也为零.所以上面叙述中第一种情况和第二种情况可以省略，仅考虑第三种情况即可，因此，三角形与平行线相交的概率可转化为三角形中有两条边与平行线相交时的概率.而假设当三角形的a 边与平行线相交时，必须导致b 边或c 边与平行线相交，这两个事件是两两互斥的，且这两个事件的和事件恰好是边长为a 的边与平行线相交这个事件，a 与平行线相交的概率符合蒲丰投针问题.解分别用 321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然0)()(21==A P A P ，所求概率为)(3A P .分别用 bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边 bc ac ab ,,与平行线相交，则 )()()()(3bc ac ab A P A P A P A P ++= 显然 )()()(ac ab a A P A P A P += )()()(bc ab b A P A P A P +=)()()(bc ac c A P A P A P +=所以 [])()()(21)(3c b a A P A P A P A P ++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=l c l b l a πππ22221 lcb a π++=.2.3 贝特朗奇论问题x-y=2y-x=1212424yx图（7）图9（3）图9（2）图9（1）ϕπx=(a/2)sin ϕL/2图(8)bxLaϕx图(8)a几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，后来人们对这种观点提出异议，并且具出许多反例. 例10 在单位圆上任作一弦，求弦长大于3的概率.分析在这个几何概率问题中，对于术语“随机地”的含义解释不同，这个问题存在多种不同的答案.下面为其中的种.解法一如图10（1），不妨设弦的一端点A 已取定，问题化为在圆上任取另一端点B ，故样本空间为整个圆周，因为单位圆的内接正三角形AMN 的边长恰为3，故弦长AB 大于3，当且仅当端点B 落在弧MN上，由于弧MN 的长为圆周长的31，故所求概率P =31.解法二如图10（2），不妨直考虑与直径MN 垂直的弦，当且仅当弦心距小于21，即所作弦的中心在EF 上时弦长大于3，因此所求概率P =21.于3的充要解法三如图10（3），弦由其中点位置确定，而弦长大条件是，弦的中点落在半径为21的同心圆内，故所求概率为：P =41 .认真分析上述解题过程可知究其原因，主要是在取弦时采用了不同的P =31 ；理解为等可能性假设，理解为在圆周上任取两点连成一弦，则所求在固定直线上任取一点作弦与此直径垂直的弦则P =21 ；理解为在圆内任取一点作弦的中点而作弦，则P = 41.这三种答案是针对不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.结论从某种意义上说，几何概型是古典概型的补充和推广.几何概型在概率问题中占有重要的地位.几何概型在本文中被分为两大类来，一是一般性的问题，另一类是典型的问题.通过归纳我们发现几何概型的解题的一般步骤为：首先选择一定的观察角度（必要时可以辅之图形）；再把基本事件转化为与之对应的区域，并把随机事件A 转化为与之对应的区域；最后利用概率公式计算.FEOM N BA图10（2）图10(3)OBAO图10（1）NBA。

几何概型及其概率计算课件

概率的等可能性的实例。
04
几何概型与其他概率模型的比较
与古典概型的比较
01
02
03
古典概型
每个基本事件发生的可能性相同，且所有基本事件是等可能的。
几何概型
基本事件的发生与某个几何量（如长度、面积、体积等）有关，其概率与该几何量的大小成正比。
比较
古典概型适用于离散随机试验，而几何概型适用于连续随机试验。
几何概型及其概率计算课件
contents
目录
• 几何概型的定义与特点 • 几何概型的概率计算方法 • 几何概型的应用实例 • 几何概型与其他概率模型的比较 • 几何概型在实际生活中的应用 • 几何概型的扩展与展望
01
几何概型的定义与特点
定义
01
几何概型是一种特殊的概率模型，其中随机事件A的发生与否依赖于一个或多个变量的取值范围。
拟合等。
几何概型的展望
几何概型的深入研究随着概率论和数学的发展，几何概型的研究也在不断深入，如对几何概型中的概率测度、概率空间的构造等方面的研究。
几何概型的应用拓展随着科技的发展，几何概型的应用范围也在不断拓展，如计算机科学、信息论、通信网络等领域中的应用。
几何概型的交叉学科研究几何概型可以与其他学科进行交叉研究，如物理学、生物学、经济学等，形成新的研究领域和方向。
THANKS
感谢观看
AI行为模拟
在角色扮演类游戏中，通过几何概型可以设计出更符合实际概率的角色属性，提高游戏的平衡性和趣味性。
利用几何概型，游戏开发者可以模拟 AI角色的行为概率，使游戏中的AI行为更加自然和真实。
随机事件
在游戏中，几何概型可以用于描述各种随机事件的发生概率，如掉落物品、触发技能等。

归纳与技巧：几何概型(含解析)

归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3．在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4．已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5．在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}；画出图形，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233．设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。

第5讲几何概型

第5讲几何概型一、知识梳理 1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）常用结论在几何概型中，如果A 是确定事件，(1)若A 是不可能事件，则P (A )＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P (A )＝0不能推出A 是不可能事件．(2)若A 是必然事件，则P (A )＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P (A )＝1不能推出A 是必然事件．二、教材衍化1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A.因为P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．2．在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．解析：坐标小于1的区间为[0，1)，长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为13.答案：133．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为________．解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.答案：1－π4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ选用的几何测度不准确导致出错.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________．解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.答案：3与长度(角度)有关的几何概型(师生共研)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ，在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D的概率是________．【解析】由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 【答案】 59与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．1．从区间[－2，2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( )A.14 B ．13C.12D ．23解析：选A.令t ＝2x，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎨⎧Δ≥0t 1＋t 2>0t 1t 2>0⇒a ≥1，又a ∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1，2]，故P＝14，选A.2.如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为________．解析：设OA ＝3，则AB ＝33，所以AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.答案：14与面积有关的几何概型(多维探究) 角度一与平面图形面积有关的几何概型(1)(2020·黑龙江齐齐哈尔一模)随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3，宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为( )A.π24＋9π B ．4π24＋9πC.π18＋9πD ．4π18＋9π(2)(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点．点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C .从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12 B ．13C.23D ．25【解析】 (1)图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积为π×(32－22)＝5π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为4π24＋9π.故选B.(2)在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，所以S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比为面积比可得，点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B.【答案】 (1)B (2)B角度二与线性规划交汇命题的几何概型(2020·陕西咸阳模拟)已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的概率为( )A.π3 B ．π12C.π24D ．3π32【解析】因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，所以作出平面区域Ω为如图所示的△AOB .直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直，故∠AOB ＝π2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x －y －3＝0，得点A (1，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，得点B (3，3)．OA ＝12＋（－1）2＝2，OB ＝32＋32＝32，在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的区域是如图所示的半径为1的14圆，即扇形OCD ，所以由几何概型得点到坐标原点的距离不大于1的概率P ＝S 扇形OCDS △AOB ＝14×π×1212×2×32＝π12.故选B. 【答案】 B角度三与定积分交汇命题的几何概型(2020·洛阳第一次联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2 B ．4π3C.2π2 D ．2π3【解析】由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝－2cos x ⎪⎪⎪π0＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3，故选B.【答案】 B角度四与随机模拟相关的几何概型从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n m B ．2n mC.4m nD ．2m n【解析】设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝π41＝m n ，所以π＝4mn，故选C.【答案】 C求与面积有关的几何概型的概率的方法(1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率计算公式求解．1．(2020·江西八校联考)小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是( )A.13 B ．14C.19D ．17解析：选D.如图，连接OB ，OA ，可得△OBM 与△OAN 全等，所以S 四边形MONB ＝S △AOB＝12×2×1＝1，即正方形ABCD 和OPQR 重叠的面积为1.又正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形面积为4＋4－1＝7，故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是17，故选D.2．(一题多解)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2，在圆O 内，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段NM 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，…点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A ．4π－6 3B ．1－332πC ．π－332D ．332π解析：选B.法一：依题意，得阴影部分的面积S ＝6×[16(π×22)－12×2×2×32]＝4π－63，所求概率P ＝4π－63π·22＝1－332π，故选B.法二：依题意得阴影部分的面积S ＝π×22－6×12×2×2×32＝4π－63，所求概率P＝4π－63π·22＝1－332π，故选B.与体积有关的几何概型(师生共研)已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC <12V S ABC 的概率是 ( )A.34 B ．78C.12D ．14【解析】由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P ABC <12V S ABC ，故使得V P ABC <12V S ABC 的概率：P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝78.【答案】 B与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．1．(2020·山西太原五中模拟)已知四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝2.现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P -ABCD 内部的概率为________．解析：把四棱锥P -ABCD 扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R ，即23＝2R ，R ＝3，则四棱锥的体积为13×2×2×2＝83，球的体积为43×π(3)3＝43π，则该点取自四棱锥P -ABCD内部的概率P ＝8343π＝239π.答案：239π2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为________．解析：因为V FAMCD＝13×S四边形AMCD×DF＝14a3，V ADFBCE＝12a3，所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为14a312a3＝12.答案：12[基础题组练]1．(2020·江西九江模拟)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是()A.12B．13C.25D．35解析：选D.由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A，则P(A)＝610＝35.故选D.2．(2020·河南洛阳二模)在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为()A．1－36B．1－3π6C．1－33D．1－3π3解析：选B.若点P到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A，B，C为圆心作半径为1的圆，则P的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为12×3×π3×12＝π2，△ABC的面积S＝12×22×sin 60°＝3，则阴影部分的面积S＝3－π2，则对应的概率P＝3－π23＝1－3π6.故选B.3．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B ．π12C.π4D ．1－π12解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.4.(2020·河北衡水联考)在如图所示的几何图形中，四边形ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，EC ＝CF ＝3，BE ＝DF ＝4，BE ⊥EF ，DF ⊥EF .若在几何图形中任取一点，则该点取自Rt △BCE 的概率为( )A.19 B ．18C.17D ．16解析：选D.因为EC ＝3，BE ＝4，BE ⊥EC ，所以BC ＝5.又由题可知BD ＝EF ＝6，AC ＝2BE ＝8，所以S △BCE ＝S △DFC ＝12×3×4＝6，S四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝24.由几何概型概率公式可得，所求概率P ＝624＋6＋6＝16，即该点取自Rt △BCE 的概率为16.故选D.5.(2020·湖南宁乡一中、攸县一中联考)将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12≈0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．图中在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为( )A.5－12 B ．5－2 C.5－14D ．5－22解析：选B.所求概率为S △APQ S △ABC ＝PQ BC ＝BQ －BP BC ＝5－12BC －⎝⎛⎭⎪⎫1－5－12BC BC ＝5－2.故选B.6.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1x ，y ＝－1x ，y ＝x ，y ＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14.答案：147．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是________．解析：y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，所以⎠⎛0π⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x ⎪⎪⎪π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.答案：128．已知O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，则点P到点C的距离大于14的概率为________．解析：因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x＋y≤2，0≤x－2y≤2对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＝0，2x＋y＝2解得⎩⎨⎧x＝45，y＝25，即E⎝⎛⎭⎫45，25，所以|OE|＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255，所以正方形OEFG的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.答案：1－5π649.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率．解：(1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记事件M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.10．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1，0，1，2}，y ∈{－1，0，1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1所表示的区域， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，如图，区域B 为图中的阴影部分去掉直线x －2y ＝0上的点，所以，P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.[综合题组练]1．(2020·安徽合肥模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4与y 轴负半轴交于点M ，圆C 与直线l ：x －y ＋1＝0相交于A ，B 两点，那么在圆C 内随机取一点，则该点落在△ABM 内的概率为( )A.378π B ．374πC.328πD ．324π解析：选A.由图可知，由点到直线距离公式得|OC |＝|1|2＝22，则|AB |＝222－⎝⎛⎭⎫222＝14，同理可得|MD |＝|0＋2＋1|2＝322，所以S △MAB ＝12|AB |·|MD |＝372，由几何概型知，该点落在△ABM 内的概率为S △MAB S 圆＝372π×22＝378π，故选A.2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14 B ．13C.23D ．12解析：选D.以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.3．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．解析：如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.答案：344．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意，大圆的直径为函数y ＝3sin π6x 的最小正周期T ，又T ＝2ππ6＝12，所以大圆的面积S ＝π·⎝⎛⎭⎫1222＝36π，一个小圆的面积S ′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P ＝2S ′S ＝2π36π＝118.答案：1185．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为70.14＝50.由图易知第4，5，6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤109.5≤y ≤10.5，设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.6．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1，1；若a ＝3，则b ＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ”的个数是15. 所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标C ⎝⎛⎭⎫163，83，故所求事件的概率P ＝S △BOC S △AOB ＝12×8×8312×8×8＝13.。

概率(几何)定义

几何概型的解法归纳摘要：我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，其中每个等可能的基本结果可以用平面（或直线、空间）中的点来表示，而所有的基本结果对应于一个区域Ω，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.事实上从某种意义上来说几何概型是古典概型的补充和推广.本文中将几何概型的问题分为两大类来解决.关键词：几何概型，概率，蒲丰投针引言：几何概率定义：设Ω是某一有界区域，（可以是一维空间的，也可以是二维、三维空间的）向Ω中随机投掷一点M ，如果点M 落在Ω中任一点是等可能的（或说是均匀分布的），则说这个试验是几何概型.对于几个可行试验，事件A=“点M 落在区域Ω⊂A 中”的概率，定义为()的测度的测度Ω=A A P这里的测度指长度、面积、体积等 .1 一般问题 1.1 直接解题法这类问题中，样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域题中已经直接给出.这类问题结构比较简单，易于求解.下面举例说明.例 1 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴，y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内，而且落在这个三角形内每一点处的可能性都相等.求此质点落在直线31=x 的左边的概率.解由题意得出图（1），可知影阴部分即为题中所要求的样本点A ，大三角形即为样本空间Ω.211121=⨯⨯=Ωs185********=⨯⨯-=A s根据概率的几何定义，可得所求概率为：5518192P ssA Ω=== . 例2 随即地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的的夹角小于4π的概率.解以Ω表示半圆202y ax x <<- 由题可知：点()y x ,应落在图（2）所示的影阴部分（记为区域A ）由于在极坐标下，图形A 的面积：2c o s40a s d rdr πθθA =⎰⎰=22cos 4012a d r πθθ⎛⎫⎪⎝⎭⎰ =22402cos a d πθθ⎰=()2401cos 2ad πθθ+⎰=4222sin 214πθπa a +=2214a ⎪⎭⎫⎝⎛+π221a s π=Ω应用几何概率公式得到所求的概率：2211142122a s P s a πππA Ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+ .1.2 间接解题法这一类几何概率问题中，样本空间所对应的几何区域题中没有直接指明，需要对问题作深入的分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域.这一类结构比较复杂，解答富有技巧性，下面举例说明.例3 把长度为10的木棒任意分为三段，求这三段可以构成一个三角形的率. 解设其中两段的长度分别为x 与y 则第三段的长度为y x --10，显然有图(1)11/31xyAπ/4a 图（2）oyx⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<10100100100y x y x也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<100100100y x y x把()y x ,看作平面上的直角坐标中的点，则区域Ω可以用图（3）中的大三角形表示出来.为了使分成的三段能构成三角形，必须满足角形任意两边之和大于第三边所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧>--+>--+-->+x y x y y y x x yx y x 101010 也就是 ⎪⎩⎪⎨⎧>+<<<<55050y x y x ，于是区域A 可以用图（3）中的影阴部分表示，因此，所求概率为155121410102P S SA Ω⨯⨯===⨯⨯ .例 4 从区间()1,0内任意取两个数，求这两个数的积小于41的概率.解以y x ,表示从()1,0内任意取的两个数，那么x 和y 的变化范围为：10<<x ，10<<y ,即样本空间是边长为1的正方形Ω，两数的积小于41的充要条件为：41<xy ，10<<x ，10<<y ，即当样本点()y x ,落在由双曲线41=xy 及四条直线：0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围成的区域A （如图（4））内时，两数的积小于41，因为区域Ω的面积大小为1，而区域A 的面积大小为：1141111l n 24424dx x s A =+=+⎰ . 于是，所求的概率为：11ln 21124ln 2124P s sA Ω+===+ . 例5 在线段AB 上任取三点1x ，2x ，3x 求1Ax ，2Ax ，3Ax 能构成三角概率.解设线段AB 的长为1则101<<x ，102<<x ，103<<x 把()321,,x x x 看作空间一点的坐标系，则区域Ω可以用图（5）中的正方体表示出来.要使1Ax 2Ax 3Ax 能构成三角形，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+132231321xx x x x x x x x ，即六面体ODEBA 为所要求的样本点A ，所以所要求的概率为：111313212A P ννΩ-⨯⨯===.2 典型问题 2.1 会面问题例6 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等另一人一刻钟，过时即可离去.求两人会面的概率.解以x 和y 分别表示甲乙两人到达约会地点的时间则两人能够会面的充要条件是：15x y -≤ ，在平面上建立直角坐标系，则()y x ,的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图（6）中的影阴部分所表示，因此所求概率为：222604576016P ssA Ω-=== .例7 甲、乙两艘轮船使向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1小时，乙船是2小时求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.图（3）101055y xy-x=15x-y=15图（6）606015150yx1/41/4图（4）yA11x图(5)OHFEDC BA111X3X2X1解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别是x 及y ，则x 及y 均可能取区间[]0,24内的任意一值，即024x ≤≤ ，024y ≤≤而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出，也就是要求两船不可能会面，那么1y x -≥，或必须甲比乙早到1h 以上，或乙比甲早到2h 以上，即要2x y -≥ 在平面上建立直角坐标系如图（7），则(),x y 的所以可能结果是边长为24的正方形，而两艘船不可能会面的时间由图（7）中影阴部分表示,则所求概率为:()()22211241242220.89724P -+-==. 2.2 蒲丰投针问题蒲丰投针问题是一个著名的几何概型问题，它是法国科学家蒲丰在1777年提出的，在蒲丰投针问题中，投掷物针可以看作是一条线段，而针的落点是一组平行线构成的平面.蒲丰应用几何概型的一般方法，利用等可能性，巧妙地解了这个问题.例8 平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为l ，向平面任意投掷一枚长为()a a l <的针，试求针与平行线相交的概率.的距离，ϕ表解设x 表示针落下后针的中点M 到最近的一条平行线πϕ≤≤0而示针与平行线所成的角（如图(8)a ），则：02l x ≤≤ ，针与一直线相交的充要条件是：sin 2ax ϕ≤. 我们把x 和ϕ表示为平面上一点的直角坐标，则所有基本事件可以用边长为π及2l的矩形内的点表示出来，而“针与直线相交”这一事件所包含的基本事件可以用上图(8)b 中影阴部分内的点表示出来，因而所求概率为：0sin 222ad a P l l ssπϕϕππA Ω===⨯⎰. 例9 把针替换成三角形的蒲丰问题.平面上画有等距离的平行线，每二条平行线之间的距离为l ,向平面任意投掷一个三角形，该三角形的边长分别为c b a ,,(均小于)l ，求三角形与平行线相交的概率.分析三角形与平行线相交，只可能有三种情况：第一种情况是三角形的一个顶点与平行线相合(如图9（1））；第二种情况是三角形的一条边与平行线相合(如图9（2））；第三种情况是三角形的两条边与平行线相交(如图9（3））.由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域的面积为零，在几何概率中，其概率也为零.所以上面叙述中第一种情况和第二种情况可以省略，仅考虑第三种情况即可，因此，三角形与平行线相交的概率可转化为三角形中有两条边与平行线相交时的概率.而假设当三角形的a 边与平行线相交时，必须导致b 边或c 边与平行线相交，这两个事件是两两互斥的，且这两个事件的和事件恰好是边长为a 的边与平行线相交这个事件，a 与平行线相交的概率符合蒲丰投针问题.解分别用 321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然0)()(21==A P A P ，所求概率为)(3A P .分别用 bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边 bc ac ab ,,与平行线相交，则 )()()()(3bc ac ab A P A P A P A P ++= 显然 )()()(ac ab a A P A P A P += )()()(bc ab b A P A P A P +=)()()(bc ac c A P A P A P +=所以 [])()()(21)(3c b a A P A P A P A P ++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=l c l b l a πππ22221 lcb a π++=.2.3 贝特朗奇论问题x-y=2y-x=1212424yx图（7）图9（3）图9（2）图9（1）ϕπx=(a/2)sin ϕL/2图(8)bxLaϕx图(8)a几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，后来人们对这种观点提出异议，并且具出许多反例. 例10 在单位圆上任作一弦，求弦长大于3的概率.分析在这个几何概率问题中，对于术语“随机地”的含义解释不同，这个问题存在多种不同的答案.下面为其中的种.解法一如图10（1），不妨设弦的一端点A 已取定，问题化为在圆上任取另一端点B ，故样本空间为整个圆周，因为单位圆的内接正三角形AMN 的边长恰为3，故弦长AB 大于3，当且仅当端点B 落在弧MN上，由于弧MN 的长为圆周长的31，故所求概率P =31.解法二如图10（2），不妨直考虑与直径MN 垂直的弦，当且仅当弦心距小于21，即所作弦的中心在EF 上时弦长大于3，因此所求概率P =21.于3的充要解法三如图10（3），弦由其中点位置确定，而弦长大条件是，弦的中点落在半径为21的同心圆内，故所求概率为：P =41 .认真分析上述解题过程可知究其原因，主要是在取弦时采用了不同的P =31 ；理解为等可能性假设，理解为在圆周上任取两点连成一弦，则所求在固定直线上任取一点作弦与此直径垂直的弦则P =21 ；理解为在圆内任取一点作弦的中点而作弦，则P = 41.这三种答案是针对不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.结论从某种意义上说，几何概型是古典概型的补充和推广.几何概型在概率问题中占有重要的地位.几何概型在本文中被分为两大类来，一是一般性的问题，另一类是典型的问题.通过归纳我们发现几何概型的解题的一般步骤为：首先选择一定的观察角度（必要时可以辅之图形）；再把基本事件转化为与之对应的区域，并把随机事件A 转化为与之对应的区域；最后利用概率公式计算.FEOM N BA图10（2）图10(3)OBAO图10（1）NBA。

几何概型概率-经典总结

几何概型1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.概率公式：()P A =构成事件A 的区域长度（面积或体积）实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.3.特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个结果（基本事件）出现的可能性相等. 考点1：几何概型的概念（重点；理解）例1.下列概率模型中，是几何概型的为（） 1）从区间[10,10]-内任取一个数，求取到1的概率；2）从区间[10,10]-内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； 3) 从区间[10,10]-内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；4) 向一个边长为4cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1cm 的概率. 考点2：与长度有关的几何概型例2.在两根相距8m 的木杆间系一绳子，并在绳子上挂一个警示灯，求警示灯与两杆的距离都大于3m 的概率. 1.取一根长度为5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两端绳子的长度都不小于2m 的概率为多少？ 2.在区间（1,3）内随机取一个数x ，则这个实数x 为不等式250x -<的解的概率是多少？ 3.设m 在[0,5]上随机地取值，求方程21042m x mx +++=有实数根的概率. 考点3：与面积有关的几何概型例3.如图，墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6cm ，4cm ，2cm ，某人站在3m 之外向此板投镖，设投镖击中中线上或没有击中木板时都不算，可重投.（1）投中大圆内的概率是多少？（2）投中圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？4.向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于2S的概率是多少？ 5.设点(,)M x y 在1x ≤，1y ≤时按均匀分布出现.（1）求0x y +≥的概率；（2）求1x y +<的概率；（3）求221x y +≥的概率.6.在半径为1的圆内随机地取一点为弦中点做弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率.7.设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.8.在区间[1,1]-上随机取两个数,x y ，求满足2214x y +<的概率.9.将长为18cm 的线段随机地分成三段，则以这三段线段的长能组成一个三角形的概率是多少？考点4：与体积有关的几何概型例4.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使四棱锥M ABCD -的体积小于16的概率.10.已知正三棱锥S ABC -的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内任取一点M ，试求使点M 到底面距离小于2h 的概率.11.在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.考点5：与角度有关的几何概型例5.如图在平面直角坐标系中，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率.考点6：几何概型在实际中的应用例6.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.考点7：均匀随机数的应用例7.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分（曲线与3x =及轴围成的图形）的面积.同步练习：1.如图1，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M . 求AM AC <的概率.2.向面积为S 的正方形ABCD 内投一点P ，试求PBC ∆的面积小于4S 的概率.3.在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三段，试求这三条线段能构成三角形的概率.4.如图2，在地上画一个正方形线框，其边长等于一枚硬币直径的2倍，向方框中投硬币，硬币完全落在正方形外不计，求硬币完全落在正方形内的概率.5.(2009辽宁)ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（）.6.（2011山东）在区间[1,2]-上随机取一个数x ，则1x ≤的概率为（）.7.（2009福建）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点.在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为（）.8.（2010全国）设函数()y f x =在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算曲线()y f x =及直线0,1,0,1x x y y ====所围成部分的面积S .先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,...,N x x x 和12,,...,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,...,)i i x y i N =，再数出其中满足()(1,2,...,)i i y f x i N ≤=的点数1N ，那么随机模拟方法可得S 的近似值为（）. 9.已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）. 10.已知函数2()2,[5,5]f x x x x =--∈-，那么任取一点0x ，使0()0f x >的概率为（）. 11.在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作正方形，这个正方形的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为（）.12.在正方形ABCD 内任取一点P ，则使90APB ∠<︒的概率是（）.13.已知直线,[2,3]y x b b =+∈-，则直线在y 轴上的截距的绝对值大于1的概率为（）. 14.已知半径为）. 15.1b 是[0,1]上的均匀随机数，1(2)3b b =-*，则b 是区间上的均匀随机数.16.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，在正方体内随机取一点M . （1）求点M 落在三棱锥111B A BC -内的概率；（2）求M 与面ABCD 及面1111A B C D 的距离都大于3a 的概率；（3）求使四棱锥M ABCD -的体积小于31a 的概率.C D一.关于互斥事件、对立事件的概率1.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）. A.至少有一个红球；都是红球 B.至少有一个红球；都是白球 C.至少有一个红球；至少有一个是白球 D.恰有一个红球；恰有两个红球2.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）若以A 表示和为6的事件，求()P A ；（2）现在连续玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，B 和C 是否为互斥事件，为什么？这种游戏规则公平吗？3.现有8名数理化成绩优秀者，其中123,,A A A 数学成绩优秀，123,,B B B 物理成绩优秀，12,C C 化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛. （1）求1C 被选中的概率；（2）求1A 和1B 不全被选中的概率.二.关于古典概型问题1.（2011江苏）在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（）.2.已知圆22:9C x y +=.（1）若连续掷两次骰子，点数分别为,m n ，则点(,)m n 在圆C 内的概率是多少？（2）若[4,4],[5,5]m n ∈-∈-，则点(,)m n 在圆C 内的概率是多少？3.袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次.（1）三次颜色各不相同的概率；（2）三次颜色不全相同的概率；（3）三次取出的无红色或无黄色的概率；三.关于几何概型问题1.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点，作射线OC ，求AOC ∠和BOC ∠都不小于30°的概率.2.在区间[0,1]内随机地取出两个数，求所取的两个数之和小于65的概率.3.在区间[1,1]-上任取两个数,a b ，求一元二次方程220x ax b ++=的两根：（1）都是实数的概率；（2）都是正数的概率. 四.求放回不放回概型的概率1.从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 五.概率中的观察角度1.口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率.概率解题方法：1.数形结合思想例1：甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）分别求平局、甲赢、乙赢的概率. 2.化归思想例2：两个对讲机持有者A 和B 都为货运公司工作，他们的对讲机接受范围为25公里，在下午3：00时A 正在基地正东距离基地30公里以内的某处向基地行驶.而此时B 正在基地正北距基地40公里以内的某处向基地行驶，他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？3.函数与方程的思想例3：设点(,)p q 在3,3p q ≤≤中按均匀分布出现，试求方程22210x px q +-+=的两根都是实数的概率.。

几何概型的概率公式

几何概型的概率公式
几何概率：
1、定义：
几何概率（Geometric Probability）是计算概率的概念，用来描述某一
状态前面发生的概率。

比如说，如果抛掷一个骰子4次，那么几何概
率就是描述得到4的情况发生的概率。

2、公式：
几何概率的公式是：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，k是几何概率的
参数，p是你需要研究的概率。

3、形式：
几何概率的形式为：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，X表示参数，k
表示发生的概率，p表示你需要研究的概率。

4、例子：
举一个简单的例子来说，假设抛掷一个六面骰子，让我们来计算出第
三次抛掷出现1的概率。

根据几何概率的公式，可以得到：Pr(X=3) = (1-1/6) ^ (3-1) * 1/6 = 1/36。

即第三次投掷出现1的概率是1/36。

5、应用：
几何概率被广泛应用于统计学，以及信息理论、语言学、数学等领域。

几何概率可用来估计特定事件的概率，对于金融市场中的风险测量也非常有用。

同时，几何概率也经常被用来分析一系列的观测事件的出现规律。

几何概型与概率如何理解几何概型与计算概率

几何概型与概率如何理解几何概型与计算概率几何概型与概率是数学中重要的概念，在统计学与概率论中起到了至关重要的作用。

几何概型是一种利用图形之间的空间关系来描述和解决问题的方法；而计算概率则是通过数学计算的方法，计算事件发生的可能性。

本文将从几何概型的理解和计算概率的角度，对几何概型与概率的关系进行探讨。

一、几何概型的理解几何概型是一种将问题转化为图形的方法，通过图形来解决问题，从而便于我们理解和分析问题。

在几何概型中，我们将问题中的要素抽象为几何图形，通过观察图形之间的关系，得出问题的解答。

例如，我们考虑一个实验，抛掷一枚公正的骰子，求得到1点的概率。

在几何概型中，我们可以将骰子抽象为一个立方体，立方体的每个面上分别标有1-6的数字。

问题转化为找到骰子上标有1的面的概率，即几何概型中的一个点。

通过观察立方体的几何形状，我们可以发现骰子上标有1的面只有一个，而骰子一共有六个面，因此得到1点的概率为1/6。

几何概型的优势在于通过图形直观地展示问题的解法，便于我们理解和记忆。

通过将问题与具体的几何图形对应起来，可以更加深入地理解问题本质，为问题的解答提供了方便。

二、计算概率的方法计算概率是通过数学计算的方法，确定事件发生的可能性。

计算概率的方法有很多种，根据具体的情况选择合适的计算方法对于求解问题至关重要。

1.数学定义法数学定义法是最常见的计算概率的方法，根据概率的数学定义求解。

概率的数学定义是事件发生的次数与试验次数的比值。

例如，抛掷一枚公正的硬币，求出现正面的概率。

假设对硬币进行N次试验，观察到正面的次数为M次，那么正面出现的概率为M/N。

2.等可能性原理等可能性原理是计算概率的常用方法之一，该原理认为在一组等可能性的情况下，每个事件发生的概率是相等的。

例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。

在52张牌中，红心牌一共有13张，而总共的牌数是52张，因此抽到红心牌的概率为13/52，即1/4。

概率的基本概念与计算方法

定义：在一定条件下，一个随机事件A发生的可能性大小可以用一个实数表示，这个实数称为事件A的概率。
计算方法：通过试验的方法，将随机事件A发生的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记作S。样本空间的大小即为基本事件的总数n，而事件A包含的基本事件个数m，则事件A的概率为P(A)=m/n。
特点：几何概型的概率大小与所选的空间和区域有关，其概率值可以通过几何图形的大小、长度、面积或体积等来计算。
概率在人工智能中的应用
机器学习中的概率模型
概率图模型在自然语言处理中的应用
概率在强化学习中的重要性
概率在计算机视觉和图像处理中的应用
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如果一个事件的概率是1，则称该事件为必然事件；如果一个事件的概率是0，则称该事件为不可能事件。
概率的统计定义
事件：在一定条件下可能发生或可能不发生的结果
频率：某一事件发生的次数与总实验次数之比
概率：频率的稳定值，表示某一事件发生的可能性大小
概率的取值范围：0≤P(A)≤1，其中P(A)表示事件A的概率
全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式：用于计算事件发生的概率，通过将事件分解为若干个互斥子事件，并分别计算每个子事件的概率，最后将这些概率相加得到事件的总概率。
贝叶斯公式：用于计算在已知某些条件下的事件发生的概率，通过将先验概率与条件概率相结合，得到后验概率。
03
概率的性质
概率的基本性质
概率是非负实数，取值范围在0到1之间
02
概率的计算方法
古典概型概率计算
定义：古典概型是一种特殊的概率模型，其中每个样本点发生的可能性相等。计算公式：概率 = 样本点数 / 所有可能样本点数。适用范围：适用于样本空间有限且每个样本点发生的可能性相等的情况。举例说明：掷一枚骰子，观察出现的点数，计算每个点数出现的概率。

几何概型

因此由几何概型的概率公式得
P(A) 60 50 1 , 60 6
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 1 . 6
练习:
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：记“小杯水中含有这个细菌” 为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件。
由几何概型的概率的公式，得
P( A ) 0.1 0.1 1
2.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域；（2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域。
练习:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘
游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜, 否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
三.例题讲解与练习
例1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台正点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 所求的事件A恰好是打开收音机时的时刻位于[50,60]时间段内。
顿拳脚，打得那大虫动弹不得，使得口里兀自气喘。 ⑥武松放了手，来松树边寻那打折的棒橛，拿在手里；只怕大虫不死，把棒橛又打了一回。那大虫气都没了，武松再寻思道：“我就地拖得这死大虫下冈子去。”就血泊里双手来提时，那里提得动，原来使尽了气力，手脚都苏软了。 16．武松的绰号是。他后来在二龙山落草，山寨的大头领的。 17．“文似看山不起平”，作者是如何把武松打虎的过程写的波澜起伏的？ 18．赏析第③段中画线的句子。

高考数学复习：几何概型

10
()
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有
关. ( )
提示:(1)√.这是几何概型与古典概型的区别. (2)√.这是几何概型与古典概型的共同点. (3)×.从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是0. (4)×.无论长度、角度、面积、体积、“测度”只与大小有关,而与形状和位置无关.
3
6
=6 . 1
3
2
【规律方法】长度、角度等测度的区分方法 (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则把题中所表示的几何模型转化为长度,然后求解. 解题的关键是构建事件的区域(长度).
(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时, 应以角度的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.
【题组练透】
1.(2019·西宁模拟)函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在
区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是 ( )
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
2
3
4
3
【解析】选B.函数f(x)=2x(x<0)的值域为(0,1),即
D=(0,1),则在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的
【解析】以A为圆心,以AD=1为半径作圆弧 DB 交 AC,AP,AB分别为C′,P′,B′.
依题意,点P′在 B上D任何位置是等可能的,且射线AP
与线段BC有公共点,则事件“点P′在 B上C”发生.
又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′= .
故所求事件的概率P=BA=C
BAD
答案: 1
=75(s)的时间长度.根据几何概型的概率公式可得,事件A发生的概率P(A)= 40 = 8 .

概率的计算与掌握概率计算和的方法

概率的计算与掌握概率计算和的方法概率的计算与掌握概率计算的方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述一个事件发生的可能性。

对于概率的计算和掌握，我们需要了解一些基本概念和方法。

本文将介绍概率的基本定义、概率计算的方法，以及如何有效地掌握概率计算的技巧。

一、概率的基本定义在学习概率之前，我们先来了解一下概率的基本定义。

概率是指某个事件发生的可能性。

在概率论中，通常用0到1之间的一个数来表示概率，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

二、概率计算的方法1. 经典概型法经典概型法适用于所有等可能性事件。

它的计算方法是通过将事件发生的次数除以总的可能性次数来得到概率。

例如，如果一个骰子扔出，求得点数为6的概率，由于骰子的每个点数出现的可能性相等，所以点数为6的概率为1/6。

2. 相对频率法相对频率法是通过统计实验中某事件发生的次数与实验总次数之比来得到概率。

当实验次数很大时，该方法可以得出比较准确的概率。

例如，如果我们想知道掷一个硬币正面朝上的概率，可以进行多次实验，统计正面朝上的次数与总次数的比值。

3. 几何概型法几何概型法适用于求解几何问题中的概率。

它通过对几何图形进行面积或长度的比较来求解概率。

例如，如果想要求解一个抛物线上某一区域的概率，就需要计算该区域的面积，并将其除以整个曲线的总面积。

4. 条件概率条件概率是指在给定某个条件下，某一事件发生的概率。

条件概率可以用P(A|B)表示，其中A和B是两个事件。

条件概率的计算方法是将事件A和事件B同时发生的次数除以事件B发生的次数。

例如，如果想要求得某人在得了感冒的情况下感染流感的概率，可以先计算出得了感冒和感染流感的人数，然后将其除以得了感冒的人数。

三、掌握概率计算的方法1. 多做练习掌握概率计算的方法需要进行大量的练习。

只有通过不断地练习，才能熟悉各种概率计算方法的应用场景，同时也能加深对概率计算的理解。

可以通过做题集、参加概率学习小组或者寻找在线概率计算练习资源来进行练习。

几何概型的求法

几何概型的求法所谓几何概型，就是以几何图形为模型的一种概率模型，它具备以下特征：在一个几何图形上，随意的投掷一个小球，则小球落在这个图形中任二个面积相同的区域内的概率相等。

几何概型概率的求法概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成图形的面积。

即：P(事件A)＝事件所有可能结果所组成图形的面积所有可能结果组成图形的面积我们称这个概率公式为几何概型概率公式。

利用这个公式求几何概型的概率时，需分别计算公式中分子的值与分母的值，而它们的商即为所求。

例1．两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去. 试求这两人能会面的概率？[解析]：（如图）这是几何概型问题. 以X 、Y 分别表示两人到达时刻，建立直角坐标系如图：则0≤X ≤60， 0≤Y ≤60。

两人能会面的充要条件是|X-Y|≤20∴P=9560206060222=--=）（阴OABCS S 例2、把长度为a 的线段在任意两点折断为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。

解：取此线段为数轴，折断点的坐标为,x y ，则三线段长分别是,,x y a x y --，且0,0,x y x y a >>+<，这相当于点(),x y 落入xoy 平面上两条直角边长为a 的三角形中，故所有基本事件可以用此三角形的面积来表示。

其面积为212a (见图1)三线段构成三角形的充要条件是两边之和大于第三边。

即222a x y x y a x y a x a x y y y y a x y x a x ⎧+>⎪+>--⎧⎪⎪⎪+-->⇒<⎨⎨⎪⎪+-->⎩⎪<⎪⎩此时点(),x y 落入图中阴影部分区域。

其面积为218a 。

所以可以构成三角形的概率为22118142aP a ==例3. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域 D ，事件“发放急救物品无效”为A ，距离水池10米范围为区域 d ，即为图中的阴影部分，则有()测度测度D d A P =()100010004104105021080250802⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=π答：略说明：这种题目要看清题目意思，为了利用几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？略解：()ππ+=+⨯⨯+==324141442222测度测度D d A P 变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a , 现有一直径等于2a 的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？aEDABC【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径解：如图，正三角形ABC 内有一正三角形 111C B A ，其中︒======tan30D A BE AD , 61F A E B D A , 1111a a AB a 63=，a a a AD AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∴331332B A 11 当圆心落在三角形 111C B A 之外时，硬币与网格有公共点111C B A 111ABC C B A -S P ∆∆∆=∴S S 有公共点的概率82.04333143432222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .变式训练3：如图，已知矩形在正方形内，中 , 7AC , 5AB ==ABCD, P 任取一点︒>∠90 APB 求的概率？略解：()5657525212ππ=⨯⎪⎭⎫⎝⎛=A P 变式训练4：平面上画了彼此相距2a 的平行线把一枚半径r < a 的硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？解：设事件A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM ，垂足为M ，线段OM 的长度的取值范围为[] a , 0 ，其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域D 的几何测度，只有当 a OM 0≤<时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足事件A 的区域d 的几何测度，所以()(][]ar a a a r A P -==的长度的长度,0, 答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为ara -M【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D和区域d，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。

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