刘俊峰-2018线性代数考前冲刺(学生用)

刘俊峰-2018线性代数考前冲刺(学生用)
2018线性代数考前冲刺
复习要点：
一、行列式的计算
1、数字型行列式（根据性质）
2、抽象型行列式
①爪型行列式（例1、例2）
对于低阶(4阶(含）以下）行列式，标准爪形利用对角线元素把第一行（列）化为只有一个非零元素，非标准的爪形按照非零行（列)展开; 高阶的利用递推法或数学归纳法。

②三条对角线型（例3）
对于三对角线行列式，通过行列式性质可以利用对角线元素把对角线下方的元素划为0，把行列式化成上三角行列式；或者利用递推和数学归纳法来证明。

③每行（列）元素和相等的行列式
对于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第1行（列），提取公因子，然后通过第1列（行）把行列式变成下（上）三角行列式进行计算。

④范德蒙型行列式
通过行列式性质进行变形，把行列式变成范德蒙行列式进行计算。

⑤拉普拉斯型行列式（例4）
此行列式适合比较多的类型，通过行列互换，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。

3、矩阵行列式（例7）
结合矩阵的运算，以及初等变换，来求行列式 4、已知特征值的矩阵行列式（例6）
1
n
i i A ==∏λ，相似矩阵行列式相等
若A 与B 相似，则A B =，故可将A 的行列式的计算转化为与其相似矩阵的行列式进行计算.一般地，)
()(B f A f =
，其中)(A f 为矩阵A 的多项式。

5、拉普拉斯矩阵的行列式
000
A A C A A B
B
B
C
B =
=
= 其中,A B 分别是两个方
阵．
(1)m m m m mn n n
n n
O A O A A B
B O
B C
⨯⨯⨯⨯==-
二、矩阵
1、矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，方阵行列式的计算 注：对于n 阶矩阵 A ，n kA k A = 乘法不满足交换律
2、特殊向量的乘法 1122
,n n a b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M αβ，
()11112122122
21212
n n T n n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
L L L
M L L L L L
αβ ()1T R =αβ 1122()
T T T n n a b a b a b tr ==++=L βααβαβ
若T
=αβλ，T
βα的一个非零特征值为λ；（因()()T
T
==βαβαββλβ）
特别的：T αα的唯一一个非零特征值T αα，又因为T αα是对称矩阵，因此T
αα相似对角
矩阵Λ，且()()1T
R R =Λ=αα，故T αα的特征值为T
αα和0(1n -重）；
单位矩阵E 的特征值为1（n 重），因此若α为单位向量，则T
E -αα的特征值为0，1（1
n -重）；T
E +αα的特征值为2，1（1n -重），()T
R E n +=αα
3、转置、可逆、伴随矩阵的性质
(),(),(),()T T T T T T T T T T
A A A
B B A kA kA A B A B ===±=± 1111111
1(),(),(),A A AB B A kA A k -------===
1
1)()(--=T T A A
E
A A A AA ==*
*，
A A
A A 1)()(*11*=
=--，**
()
()T
T A A =，*
**
()
AB B A =
4、矩阵的初等变换
经过有限步初等变换得到的矩阵是等价的。

()()~R A R B A B =⇔
熟悉行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的特点，主要用于解方程组、求极大无关组、求秩 5、矩阵的秩
()R A r =⇔存在r 阶子式不等于0，对于所有的（若存在）1r +阶子式等于0； ()R A r ≥⇔存在r 阶子式不等于0； ()R A r <⇔对于所有的r 阶子式等于0； ()R A A =列秩A =的行秩
6、矩阵秩的性质
①0()min{,}m n R A m n ⨯≤≤
②()()T
R A R A =，()()T
R A A R A =（方程组同解） ③α为n 维非零列向量，()1T
R αα=
④若~A B ，则()()R A R B =
⑤若,P Q 为可逆矩阵，则()()()R PA R PAQ R A == ⑥max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+ ⑦()()()R A B R A R B +≤+ ⑧()min{(),()}R AB R A R B ≤
⑨若m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤
⑩A 为n 阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*
()()1()10()1n R A n R A R A n R A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩
7、初等矩阵
初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵； 初等矩阵是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵； 可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积；
矩阵左乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的初等行变换，右乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的列变换； 利用初等变换求逆矩阵；
三、线性方程组
1、齐次线性方程组0m n A x ⨯=解的判定：()只有零解
有非零解r n R A r r n =⎧=⎨<⎩
2、齐次线性方程组解的性质：12,ξξ是0m n A x ⨯=的解，则1122k k +ξξ也是0m n A x ⨯=的解； 会求基础解系；
若()R A r =，则基础解系解向量的个数为n r - 3、非齐次线性方程组m n A x b ⨯=的解的判定：
(|)()=(|)()无穷多解
有解唯一解无解
r n R A b R A r r n R A b R A <⎧=⇔⎨
=⎩>⇔
4、非齐次线性方程组解的性质及结构
若123,,ηηη是m n A x b ⨯=的解，则当1230k k k ++=时，112233k k k ++ηηη是0m n A x ⨯=的解，当1231k k k ++=时，112233k k k ++ηηη是m n A x b ⨯=的解
非齐次方程m n A x b ⨯=的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解构成。

5、矩阵方程AX O X =⇔的列向量就是0Ax =的基础解系
矩阵方程1212(,,)(,,,)s s AX B A b b b =⇔=L L ξξξ，即(1,2,)i i A b i s ==L ξ 6、公共解问题
求两个方程组的公共解，也就是要找到一个解既是方程组（1）的解，也是方程组（2）的解，因此对于这类题目就是联立两个方程组，组成一个新的方程组求通解
四、向量
1、线性表示
向量b 可以由向量组12,,,r L ααα线性表示1122r r b k k k Ax b ⇔=+++⇔=L ααα有解()(|)R A R A b ⇔=
向量组12:,,,s B L βββ可以由向量组12:,,,r A L ααα线性表示，即向量组B 中每个向量都可以由向量组A 线性表示()(|)()()R A R A B R A R B ⇔=⇒≥
向量组等价：向量组A 与向量组B 可以相互线性表示()()(|)R A R B R A B ⇔== 若AB C =，则C 的列向量可以由A 的列向量线性表示；C 的行向量可以由B 的行向量线性表示
2、线性相（无）关
对于向量组12:,,,r A L ααα，若存在一组不全为0的数12,,,r k k k L ，使得
11220r r k k k +++=L ααα成立，则线性相关，否则线性无关
线性相关0Ax ⇔=有非零解()R A r ⇔< 线性无关0Ax ⇔=只有零解()R A r ⇔=
若向量组12:,,,r A L ααα线性无关，向量组12,,,,r L αααβ线性相关，则向量β可以由向量组12:,,,r A L ααα线性表示，且表示唯一 3、极大无关组
极大无关组的定义，求法 向量组的秩的定义 4、向量空间
向量空间、基、维数的定义 基变换和坐标变换
标准正交基（施密特正交化）
正交矩阵1
T
T
AA E A A A -=⇔=⇔的行（列）向量是单位正交的向量组
五、特征值与特征向量
1、定义：(0)A =≠αλαα，λ是特征值，α是特征值λ对应的特征向量
2、求法：0A E -=λ，解出n 个（含重根）特征值12,,,n L λλλ 解 ()0i A E x -=λ得i λ的基础解系
注：若i λ是k 重根，则()i R A E n k -≥-λ，即特征向量的个数小于等于k 个； 若()i R A E n k -=-λ，矩阵A 可以相似对角化，否则不能。

3、相似的定义：1P AP B -=，则A 相似于B
相似对角化充要条件A 存在n 个线性无关的特征向量。

对任意对称矩阵存在正交矩阵P ，使得1P AP -=Λ
相似矩阵的特征值、行列式、秩、对角线元素和均相等，反之不成立。

两个对称矩阵如果特征值相等，则必相似。

4、特征值的性质 ①
不同特征值对应的特征向量线性无关；特殊
地，对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交 ②对于n 阶矩阵A ，1
n
i
i A λ==∏，1
1
n
n
ii
i
i i a λ===∑∑；特殊地，若
矩阵A 可逆，则矩阵A 的所有特征值不为0 ③若ξ是矩阵A 的特征值λ对应的特征向量，则
m m A A Ak k =⇔=⇔=⇔
ξλξξλξξλξ111111()(1)m m m m m m m m k A k A k A E k k k ----+++=+++ξλλλξ
⇒
若1110
m m m
m k
A k A k A E --+++=，则11110
m
m m
m k k k λ
λλ--+++=
④若矩阵A 可逆，则1
*
1
A
A A
A ξλξξξξξλ
λ
-=⇔=
⇔=
⑤对称矩阵A 非零特征值的个数等于()R A ，T
αα的唯一的非零特征值为T
αα
5、对称矩阵的相似对角化步骤
①求出A 的特征值、特征向量：1
2
1
2
,,,;,,,n
n
λλλαααL L ．
②对于任意一个k 重特征值i
λ，其特征向量为
1,,i ik
ααL ．先正交化1
,,i ik
α
αL ，得1
,,i ik
β
βL ；再把所有特
征向量单位化，得1
2
,,,n
ηηηL ．
③存在正交矩阵1
2
(,,,)n
P =L ηηη，使得T
A P P =Λ，其中
12n ⎛⎫ ⎪
⎪Λ= ⎪ ⎪⎝
⎭
O λλλ
六、二次型
1、二次型矩阵 对称矩阵
2、把二次型利用正交变换化为标准型也就是对称矩阵相似对角化的过程
3、正惯性指数 二次型对任意可逆变换，其正惯性指数的个数不变，即大于0的特征值的个数不变。

4、正定矩阵的判定：顺序主子式大于0；特征值大于0
5、矩阵的等价、相似、合同
两个n 阶矩阵,A B 存在常见的几个关系：等价、相似和合同．
（1）A 与B 等价⇔A 经过一系列初等变换得到
B A PBQ
⇔=，其中,P Q 都是可逆矩阵()()R A R B ⇔=
（2）,A B 相似⇔存在可逆矩阵P ，使得1
P
AP B
-=．
（3）,A B 合同⇔若存在可逆矩阵C ，使得
T C AC B =⇔
二次型T
x
Ax
与T
x
Bx
有相同的正、负惯性
指数．
对于对称矩阵而言，相似必合同，合同必等价； 对于一般矩阵，相似必等价，合同必等价，相似与合同没有必然联系．
冲刺题型：
例1 1
000
1
00
014
3
2
1
λ
λ
λ
λ--=
-+
答案：4
32234
λλλλ++++
例
2
证
明
n
n n n n n n
n a x a x a x a x a a a a x x x x D ++++=+---=
----1111
2
21
10
00000000100001ΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
例 3 设⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=a a a a a a a a a A 2121212122
2
22
O O O 是n 阶矩阵，证明
n
a n A )1(+=
注：两类数学归纳法介绍
（一）（1）验证1=n 时，命题成立； （2）假设1-=k n 时，命题成立；
（3）利用（2），证明当k n =时，命题成立。

（二）（1）验证2,1==n n 时，命题成立； （2）假设k n <时，命题成立；
（3）利用（2），证明当k n =时，命题成立。

例4 d
c d c b a b a 0
0000000
答案：2
()bc ad --
例5 设B A ,均为n 阶矩阵，且,2,3==B A *
*
,B A 分别是A
和B 的伴随矩阵，则1
**1
---B A B A =
答案：
(1)6
n -
例6 已知矩阵A 和B 相似，其中⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=003020100B ，则=+E A
答案：6-
例7 设,αβ都是n 维非零列向量，矩阵2T
A E =+αβ，
若2
23A A E O
+-=，则T
=
α
β
答案：2-
例8 三阶矩阵A 可逆，把矩阵A 的第2行与第3行互换得矩阵B ，把矩阵B 的第1列的2-倍加到第3列得到单位矩阵E ，则*
A =
答案：*
120 001 010
A
-
⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪
-
⎝⎭
例9 设A为m n⨯矩阵，且n
m
A
R<
=
)
(, 则下列命题错误的是（）
（A）方程组0=x A T只有零解（B）方程组0=
Ax
A T必有无穷多解
（C）对任意的m维列向量b，m n A x b
⨯
=必有无穷多解（D）对任意的n维列向量b，T A x b=总有唯一解
答案：选D
例10 设A是n
m⨯矩阵，B是m
n⨯矩阵，则0=
ABx
（A）m
n>时仅有零解．（B）m
n>时必有非零解．
（C）n
m>时仅有零解．（D）n
m>时必有非零解．
答案：选D
例11 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩
)(0A R A R T =⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛αα，则线性方程组
（A ）Ax α=必有无穷多解 （B ）Ax α=必有唯一解 （C ）
00T A x y αα
⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
仅有零解 （D ）
00T A
x y αα
⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
必有非零解
答案：选D
例12 设1
2
3
,,βββ是0=Ax 的一组基础解系，考查下
列向量组 ①1
2
1
3
,,βββ
β-； ②1
2
3213
,,ββ
ββββ-++；
③1
2
313
,ββ
βββ++-； ④1
3123
,
,βββββ-+．
上述向量组中，仍是0=Ax 的基础解系的是
()
A ①②． ()
B ①③． ()
C ①④． ()
D ②③． 答案：选C
例13 已知1
2
3
,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三
个解，()3R A =，若()()
12231,2,3,4,22,3,4,5T T
+=+=αααα，则方
程组Ax b =的通解 （A ）
11021324k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（B ）
12231
04315k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（C ）
11011121k -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（D ）
10210213k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
答案：选B
例14 已知齐次方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
40203221
321321x a x x ax x x x x x ；方程
（Ⅱ）1
2321
-=++a x x x
有公共解，求a 的值及所有的
公共解
答案：1
=a 时，公共解为()
T
k 101
-；2=a 时，公共解
为()
T
110
-
例15设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
122400
x x x x +=⎧⎨
-=⎩ ,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为()()1
2
0,1,1,01,2,2,1T
T
k k +-
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
答案：（1）方程组(Ⅰ)的基础解系为
()()
120,0,1,0,1,1,0,1T
T
ξξ==- (2)所有公共解为()1,1,1,1T
c -
例16设矩阵
233
220
5926
A
a a a
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
+++
⎝⎭
，
122
211
364
B
a a a
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
+++
⎝⎭
，
当a为何值时，方程AX B BX
-=无解；当a为何值时，
方程AX B BX
-=有解，并求全部解
答案：1
a=-时，方程无解；当1
a≠-时，方程有唯
一解，解为
133
1
11
132
2
11
11
1
11
a a a a
a a a a
a a
a a
--
⎛⎫
-
⎪++ ⎪+
⎪ ⎪++ ⎪-- ⎪ ⎪++⎝⎭
例17 求一个齐次线性方程组，使它的基础解
系为()()
T
T
0123,321021
==ξξ
答案：
12312420230
x x x x x x -+=⎧⎨
-+=⎩
例18 已知A 是3阶实对称矩阵，
A =，若
112111212141A -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，求0Ax =的通解
答案：0Ax =的通解110k ⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
例19 设12
301214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪--⎝⎭
且()2R A =，求齐次方程组*
A x =的通解
答案：*
0A x =的通解为
12150314k k ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
例20 设1
(1,0,1)T
α
=，
2
(0,1,1)T
α=，
3
(1,3,5)T
α=不能由1
(1,1,1)T
β
=，
2(1,2,3)T
β=，3
(3,4,)T
a β
=线性表出。

（1）求a
（2）将1
2
3
,,βββ由1
2
3
,,ααα线性表出
例21 设A 是m n ⨯矩阵，1
2
,,,t
L ξξξ是齐次方程组0
Ax =的基础解系，η是非齐次线性方程组Ax b =的解. （1）证明：1
2
,,,,t
+++L ηηξηξηξ线性无关
（2）证明方程组
Ax b
=的任一解均可由
12,,,,t
+++L ηηξηξηξ线性表示
例22 已知
100010001A ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
，则下列矩阵中与A 相似共
有（ ）个
100100100010,012,210001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
答案：2
例23 设A 为4阶实对称矩阵,且2
A A O
+=,若A 的
秩为3,则A 相似于 ( )
(A)
1110⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭. (B)
1110⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
.
(C)
1110⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
. (D)
1110-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
.
答案：选D
例24设A 是n 阶矩阵，先交换A 的第i 行和第j 行，再交换A 的第i 列和第j 列得到B ，则下列关系中正确的有 个。

①A B = ②()()R A R B = ③ A 等价于B ④A 相似于B ⑤A 合同B 答案：5
例25 设矩阵
02313312A a -⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪-⎝⎭
相似于矩阵12000031B b -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
．
（1）求,a b 的值； （2）求可逆矩阵P ，使1
P
AP
-为对角矩阵．
答案：（1）4,5a b == （2）
231101011P --⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，（P 不唯一）则
1100010.005P AP -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
例26 已知矩阵011230000A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
（1）求99
A ；
（2）设3阶矩阵
()
123,,B ααα=满足
2B BA
=.记
()
100123,,B βββ=，将1
2
3
,,βββ分别表示为1
2
3
,,ααα的线性组
合.
答案：
99999899100100
99221222221222000A ⎛⎫
-+--
⎪=-+-- ⎪ ⎪⎝
⎭
99100112(22)(22)βαα=-++-+，991002
12
(12)(12)β
αα=-+-，
9899312
(22)(22)βαα=-+-。

例27设A 是3阶方阵，()9,18,18T
b =方程组Ax b =通解为：
()()()
122,1,02,0,11,2,2T
T
T
k k -++，其中1
2
,k k 为任意常数，求A
和100
A
答案：
9
1818183636183636A -⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪--⎝⎭
，
100
1001229244144A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪--⎝⎭
例28若二次曲面的方程为2
2232224
x y z axy xz yz +++++=，
经正交变换化为221
144
y z +=，则____a =
答案：1a = 例29二次型222
123123121323
(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的
正惯性指数为______
答案：2
例30 设二次型
123(,,)T f x x x x Ax
=的秩为1，A 中行元素
之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准型为__________．
答案：标准形为21
3y ． 例31设二次型222123
123121323
(,,)444f x x x x
x x x x x x x x =+++++，则
123(,,)2
f x x x =在空间直角坐标系下的二次曲面为
（ ）
（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）柱面
答案：选B 例32已知1
1011100
1A a a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
- ⎪-⎝⎭，二次型
123(,,)()T T f x x x x A A x
=的秩
为2
（1）求实数a 的值；
（2）求利用正交变换x Qy =将f 化为标准型．
答案：1a =-；
()123326,,3260
36Q βββ==，在正交变换x Qy =下，标准
型为2
2
23
26f y
y =+．
例33已知二次型AX
X
x x x f T
=),,(3
2
1
在正交变换QY
X =下的标准型为22
21y y
+，且Q 的第三列为T )2
2,
0,22(.
（1）求矩阵A ；
（2）证明E A +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵．
答案：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=210210102102
1
A ．
例34 已知二次型1
2
3
(,,)T
f x x x x
Bx
=，其中
10221011a B a -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪-⎝⎭
的正负惯性指数都是1.
（1）求a 的值；（2）用正交变换x Qy =化二次型为标准型，并求出Q ；（3）若A kE +是正定矩阵，求k
的范围（4）判断A是否与矩阵
012
100
200
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
合同
答案：
2
a =-；
326326360333263
2
6Q ⎛- ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
，即x Qy =时，2
2
23
33f y
y =-；
3
k >；合同
例 35设1
2
3
(,,),
T
f x x x X
AX =3
1
2,
ii
i a
==∑且,AB O =110112101B -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
（1）用正交变换化二次型为标准型，并求正交变换
（2）求该二次型
答案：
（1） 32
63263263
6033P ⎫-⎪ ⎪
⎪= ⎪
- ⎝⎭
当X PY
=时，2
1233(,,)3T T f x x x X AX Y Y y ==Λ=
（2）二次型为222123123121323
1142
44
(,,)333333T f x x x X AX x x x x x x x x x ==+++--。