广义α1对角占优矩阵的判定准则

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广义S-α1_型块对角占优矩阵的判定及其谱分析

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(8), 3619-3630 Published Online August 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.128360文章引用: 朱开心, 庹清, 黄琦. 广义S-α1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析[J]. 应用数学进展, 2023, 12(8): 3619-3630. DOI: 10.12677/aam.2023.128360广义S -α1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析朱开心，庹清*，黄琦吉首大学数学与统计学院，湖南吉首收稿日期：2023年7月18日；录用日期：2023年8月8日；发布日期：2023年8月17日摘要利用G -函数的性质研究了一类新的广义块对角占优矩阵及其判定方法。

同时，利用该判定方法给出了分块矩阵特征值新的包含域。

最后，用数值算例说明了该判定方法的优越性。

关键词块H -矩阵，G -函数，特征值，广义S -α1型块对角占优矩阵The Determination and Spectrum of Generalized S -α1 Block Diagonally Dominant MatricesKaixin Zhu, Qing Tuo *, Qi HungCollege of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou HunanReceived: Jul. 18th , 2023; accepted: Aug. 8th , 2023; published: Aug. 17th, 2023AbstractA new class of generalized block diagonally dominant matrix and its determination method are studied by using the properties of G-function. At the same time, a new bound for eigenvalues of block matrices was given and some examples are given to show the advantages of this new result.KeywordsBlock H -Matrix, G -Function, Eigenvalue, Generalized S -α1 Block Diagonally Dominant Matrix*通讯作者。

广义对角占优矩阵判定的几个充分条件

本文用Ｍ（Ｃ）表示阶复矩阵的集合．令Ｎ＝｛１，２，３， …，｝，对
ＶＤ＝（） ∈ Ｍ（Ｃ），
记
Ｒ（Ｄ）＝ ∑ＩＩ，ｉ ∈ ．
设Ｎ．Ｎ，我们用Ｄ（Ｎ１）表示行、列指标都在中的Ｄ的主子阵
作者简介：肖荣（１９８６一），男，湖南耒阳人，在读硕士生，研究方向为矩阵理论与矩阵计算；周积团，教授，
博士，硕士生导师，通信作者，研究方向为矩阵理论与矩阵计算．
第２７卷
第４期
摘要：研究了判定广义对角占优矩阵的几个充分条件，推广和改进了相关已有结果，并用两个
例子说明判定方法的有效性．
关键词：广义对角占优矩阵；Ｈ一矩阵；不可约矩阵；主子阵中图分类号：Ｏ１５１．２１文献标志码：Ａ
ＳｏｍｅＳｕｆｆｉｃｉｅｎｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒＤｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔＭａｔｒｉｃｅｓ
ＸＩＡＯＲｏｎｇ，ＺＨＯＵＪｉ－ｔｕａｎ
１引言及定义
Ｈ一矩阵在计算数学、数学物理、控制论、经济学等领域中应用广泛，但是在实际应用中要判

广义对角占优矩阵的新判据

１广义对角占优矩阵判定的充分条件
引理３设Ａ＝（ ∈ｃ，ｎ）若存在正对角矩阵．使Ｄ则Ｄ
约，称Ａ为不可约一对角占优矩阵；若对式则
证明
因为Ａ是广义对角占优矩阵，以存Ｄ所
定义ｌ若存在 Ⅳ１Ⅳ ，，ｃＮ＋满足ｎ，２… ，：（，≠ ，，２ｉＶｉｊＪ∈Ｎ＋ｕ：＝Ｎ＋则称 Ⅳ ，２，，】Ⅳ ，
…
０．设 ∈［，］Ｎ０１，＋＝Ｎ２１０Ⅳ 为Ｎ＋的一个划分，其中Ｎ＝｛∈ ＋０＜ＩＩ（＋１）ｉ｝。ｉＮ：口 ≤ Ａ）（一Ｓ（Ａ），＾＝｛∈ ＋ｆ“ ＞＋Ｉ）｝，Ｎ：ｆＲ（２Ａ）（ — Ｓ（．Ａ）
由引理１，Ｎ＝（，ＡＥＧ若＝２，知若１２则Ｄ；ｊｆｊ则Ａ∈Ｇ．故本文总假设： Ⅳ ≠ ．此外， Ⅳ ＤＮ，２当１（ Ⅳ）或２为单点集时，规定
ｔＥＮ１，≠‘ Ｉ
，
为集合Ｎ＋的划分，为Ｎ＋Ｎ１２记＝０Ⅳ ０…０．
第１期
江
如：义对角占优矩阵的新判据广
２５
阵．由于Ｄ是正对角矩阵，故Ｄ也是正对角矩又Ｄ
）Ａ，ｓ（）则称Ａ为具非零元素链ａ一角占优对
引理１设Ａ∈ｃｌ，Ｄ当且仅当Ａ为【ＪＡＥＧ
广义一角占优矩阵．对
了深入研究，并取得了不少成果（见文献［］－［］１６等）文提出一些新的判据，广了文献［］［］．本推１、２

广义块严格对角占优矩阵的判定

广义块严格对角占优矩阵的判定
广义块严格对角占优矩阵（generalized block diagonal dominant matrix， GBDD matrix）是研究方面比较重要的矩阵，它是十分普遍存在的一种矩阵，广泛应用于计算数学、能量管理与生态系统分析等一系列领域。

研究者在检测广义块严格对角占优矩阵时，需要根据特定的方法来进行判定。

首先，对给定的矩阵A有n行n列，假定若n等于m，则将其划分为m*m的方形矩阵块。

接下来，检查小的子块并定义它的行索引集合 Ri 和列索引集合 Ci，以及它的元素的“增幅和”，即求a_ij的绝对值和abs(a_ij)，即若A_ik>=0时，sum(Ri) = sigma Aik, k go to n; 否则sum(Ri)=-|sigma Aik|, k go to n。

最后，对于对角块必须有sum(Ri) > sum(Ci) > 和sum(Ci)，才能满足广义块严格对角矩阵的条件。

总而言之，广义块严格对角矩阵的判定，一般应列出具体检验过程，以及需要计算“增幅和”，确定小的子块行索引和列索引，最后确定对角块的“增幅和”之比较是否满足广义块严格对角占优矩阵。

以上是有关广义块严格对角占优矩阵的判定的介绍，从简洁的概念，具体的流程到一些必需的计算，希望能为大家提供一定的参考价值。

对角占优矩阵的判定条件

对角占优矩阵的判定条件作者：田素霞来源：《科技视界》2014年第26期【摘要】本文介绍了α-对角占优矩阵的概念，给出了广义严格对角占优矩阵新的判定条件，改进和推广了先前有关文献的相应的结果.【关键词】广义对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;判定条件对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。

本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件，改进和推广了文1-3的结果。

设A=（a■）∈C■，N={1，2，…n}=N■∪N■，N■∩N■=Φ，记∧■（A）=■a■，Si（A）=■aji定义1 设A=（a■）∈C■，若aii>∧■（A）（？坌■∈N），则称A为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵.定义2 设A=（a■）∈C■，若存在α∈（0，1]使aii>α∧■（A）+（1-α）S■（A）（？坌■∈N），则称A为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵.定义3 设A=（a■）∈Z■=（a■）│a■≤0，i≠j;i，j∈N，若A=sI-B，s>ρ（B），其中：B为非负矩阵，ρ（B）为B的谱半径，则称A为非奇异M-矩阵;若A的比较矩阵M（A）=（mij）为非奇异M-矩阵，则称A为非奇异H-矩阵，其中：设A=（a■）∈C■，把A分块为：这里A■（1≤i≤k）为ni阶方阵，■n■=n定义4 设A=（a■）∈C■，分块如（1），若A■（1≤i≤k）均非奇异，且：则称A为块对角占优矩阵;如果（2）的所有不等号为严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为块严格对角占优矩阵，则称A为广义块对角占优矩阵.设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如下：引理1[1] 设A=（a■）∈C■，若A为严格α-对角占优矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵.引理2[1] 设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如（3），则A为广义块对角占优矩阵当且仅当B是非奇异M-矩阵.定理1 设A=（a■）∈C■，若N■∪N■=N，N■∩N■=？覫及α∈（0，1]存在使得满足：则A为广义严格对角占优矩阵.证明：令：若■a■=0时，记M■=+∞.由题设知0≤m■适当选取d使之满足0≤■m■设正对角矩阵X=diag（xi│xi=d■，i∈N■;xi=■，i∈N■），再设B=AX=（bij），则：当i ∈N■时，当j ∈N■时，所以B为严格α-对角占优矩阵，由引理1知B为广义严格对角占优矩阵，又因为X为正对角矩阵，所以A也是广义严格对角占优矩阵。

广义对角占优矩阵和m矩阵的判定准则

广义对角占优矩阵和m矩阵的判定准则一、广义对角占优矩阵广义对角占优矩阵(generalized diagonal dominance matrix)，简称GDM，是一种特殊的矩阵，它的元素满足“四象限定理”。

其定义是：一个n阶矩阵GDM=[aij]n×n满足对任意i≠j，都有|aij|≤(|aii|+|ajj|)/2，称之为广义对角占优矩阵。

显然，任何一个对角线占优矩阵都是一个广义对角占优矩阵，即每一个非主对角线上的元素都不大于主对角线上这一行和这一列所对应位置元素的和的一半，而主对角线上的元素都不小于主对角线上这一行和这一列所对应位置元素的和的一半。

二、m矩阵M矩阵（M-matrix）是一种负定矩阵，其每一行和每一列都是负定的，即每一行和每一列的和都是负的。

它和广义对角占优矩阵之间的关系是，m矩阵一定是广义对角占优的，但是广义对角占优矩阵不一定是M矩阵。

m矩阵的判定准则是：一个n阶矩阵GDM=[aij]n×n，如果对任意i≠j，都有|aij|≤(|aii|+|ajj|)/2，同时对所有i,都有|∑ji≠j|>0，则称之为m矩阵。

M矩阵拥有许多特殊性质，例如它有一个正定的若数分解，可以被分解成正定的部分和标量的和，它的本征值都是正数等。

这些性质使得M矩阵在图论、工程数学计算上得到了广泛的应用。

三、判定准则广义对角占优矩阵的判定准则是：一个n阶矩阵GDM=[aij]n×n，如果对任意i≠j，都有|aij|≤(|aii|+|ajj|)/2，则称之为广义对角占优矩阵。

m矩阵的判定准则是：一个n阶矩阵GDM=[aij]n×n，如果对任意i≠j，都有|aij|≤(|aii|+|ajj|)/2，而对所有i，都有|∑ji≠j|>0，则称之为m矩阵。

从上面可以看出，判断一个矩阵是否是m矩阵，需要首先确定它是否是一个广义对角占优矩阵，如果是，再判断它的各行和是否都大于零。

对角占优矩阵的判定条件

对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。

本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件,改进和推广了文1-3的结果。

设A=(a ij )∈Cn×n,N={1,2,…n}=N 1∪N 2,N 1∩N 2=Φ,记∧i (A)=j ∈Nj ≠i∑a ij ,S i (A )=j ∈N j ≠i∑a ji定义1设A=(a ij )∈C n×n,若a ii >∧i (A)(∀i ∈N ),则称A 为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为严格对角占优矩阵,则称A 为广义严格对角占优矩阵.定义2设A=(a ij )∈Cn×n,若存在α∈(0,1]使a ii >α∧i (A )+(1-α)S i (A )(∀i ∈N ),则称A 为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为严格α-对角占优矩阵,则称A 为广义严格α-对角占优矩阵.定义3设A=(a ij )∈Z n×n =(a ij )│a ij ≤0,i ≠j ;i ,j ∈N {},若A =sI-B ,s>ρ(B ),其中:B 为非负矩阵,ρ(B )为B 的谱半径,则称A 为非奇异M-矩阵;若A 的比较矩阵M(A)=(m ij )为非奇异M-矩阵,则称A 为非奇异H-矩阵,其中:设A=(a ij )∈Cn×n,把A 分块为:这里A ii (1≤i ≤k )为n i 阶方阵,ki =1∑n i =n定义4设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),若A ii (1≤i ≤k )均非奇异,且:则称A 为块对角占优矩阵;如果(2)的所有不等号为严格不等式,则称A 为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为块严格对角占优矩阵,则称A 为广义块对角占优矩阵.设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),且A ii (1≤i ≤k )均非奇异,构造B如下:引理1[1]设A=(a ij )∈Cn×n,若A 为严格α-对角占优矩阵,则A 为广义严格对角占优矩阵.引理2[1]设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),且A ii (1≤i ≤k )均非奇异,构造B 如(3),则A 为广义块对角占优矩阵当且仅当B 是非奇异M-矩阵.定理1设A=(a ij )∈Cn×n,若N 1∪N 2=N ,N 1∩N 2=Ø及α∈(0,1]存在使得满足:则A 为广义严格对角占优矩阵.证明:令:若k ∈N ∑a jk =0时,记M j =+∞.由题设知0≤m i <M j ,∀i ∈N 1,j ∈N 2.适当选取d 使之满足0≤max i ∈N m i <d <min j ∈N M j ≤+∞.设正对角矩阵X=diag(x i │x i =d ∧i (A )a ii ,i ∈N 1;x i =∧i (A )a ii,i ∈N 2),再设B=AX=(b ij ),则:当i ∈N 1时,当j ∈N 2时,所以B 为严格α-对角占优矩阵,由引理1知B 为广义严格对角占优矩阵,又因为X 为正对角矩阵,所以A 也是广义严格对角占优矩阵。

广义对角占优矩阵的判定

广义对角占优矩阵的判定
广义对角占优矩阵（Generalized Diagonally Dominant Matrix）又称为弱对角占优矩阵。

它是一类特殊的矩阵，其特性为每行或每列上的绝对值最大的元素在对角线上，而且对角元素的绝对值大于其余元素的绝对值之和。

广义对角占优矩阵用来判断矩阵结构的稳定性。

广义对角占优矩阵判定可以利用如下定理来完成。

定理1：设A是n阶方阵，则当A满足：
∑|aik|≤|aii| (i=1,2,…,n)
时，称A为弱对角占优矩阵，记作A∈GDD(n) 。

根据定理1可以看出，当矩阵A满足弱对角占优的条件时，就表明该矩阵具有广义对角占优的结构，该矩阵更加稳定。

广义对角占优矩阵的判定可以分别针对不同情况进行检测，例如：
1. 当矩阵A的所有元素为正数时，可以判断
A∈GDD(n) 的条件是：
∑aik≤aii (i=1,2,…,n)
2. 当矩阵A的元素包含正负数时，可以判断
A∈GDD(n) 的条件是：
∑|aik|≤|aii| (i=1,2,…,n)
3. 当矩阵A的元素都是负数时，可以判断A∈GDD(n) 的条件是：
∑(-aik)≤(-aii) (i=1,2,…,n)
4. 关于重复元素的情况，判断A∈GDD(n) 的条件是：
∑|aik|<|aii| (i=1,2,…,n)
以上就是广义对角占优矩阵的判定，从上面可以看出，广义对角占优矩阵具有一定的稳定性，因此在矩阵分析中，它常常被用来判断矩阵的结构稳定性。

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件1. 引言1.1 引言概述广义严格对角占优矩阵是线性代数中一个重要且常见的概念。

在矩阵理论中，对角占优矩阵是指矩阵每一行（或每一列）对角线上的元素的绝对值都大于该行（或该列）上所有其他元素的绝对值之和。

而广义严格对角占优矩阵则是对角线和非对角线上元素的要求更为宽松的一类矩阵。

广义严格对角占优矩阵在实际问题中有着重要的应用，尤其在数值计算中起着至关重要的作用。

本文将探讨广义严格对角占优矩阵的定义、性质、定理证明、应用和举例，希望通过对这一概念的深入研究，能够更好地理解其在数学和工程领域的重要性和实用性。

在下文中，我们将详细介绍广义严格对角占优矩阵的各个方面，并通过具体的例子和应用场景来帮助读者更好地理解这一概念。

通过对广义严格对角占优矩阵的全面分析，我们可以更好地把握其本质和特点，为进一步的研究和应用奠定基础。

2. 正文2.1 定义广义严格对角占优矩阵是指对于一个n阶方阵A，如果存在正整数r（r=1,2,...,n-1），使得对于所有i(j≠i)，都有|a_ij|≤r|a_ii|成立，则称矩阵A是广义严格对角占优的。

这里，a_ij表示矩阵A的第i行第j列元素，a_ii表示矩阵A的第i 行第i列元素。

简单来说，广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵，其非对角线上的元素的绝对值都小于等于对角线上元素的绝对值的r 倍。

广义严格对角占优矩阵的定义对于矩阵的性质和定理证明有着重要的影响，它保证了矩阵A的主对角线上的元素起着重要的作用，并且非对角线上的元素相对于对角线上的元素来说是比较小的。

这种特性为矩阵的计算和性质分析提供了便利，在实际应用中也有着重要的作用。

2.2 性质广义严格对角占优矩阵是一类在数学和工程领域中广泛应用的重要矩阵。

它具有许多独特的性质，这些性质在矩阵论和线性代数中具有重要的意义。

广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵结构，它的对角元素绝对值大于其它元素绝对值的和。

广义严格对角占优矩阵的几个判定方法

广义严格对角占优矩阵的几个判定方法
广义严格对角占优矩阵是线性代数中的重要概念，它既包括标准的严格对角占优矩阵，也包括带有权值信息的广义严格对角占优矩阵。

它是用来描述矩阵主对角线上元素均大于等于矩阵的非主对角线元素的非负值矩阵。

一般来说，严格对角占优矩阵有几种判定方法，他们是对角元素检查法、列求和检查法以及行求和检查法。

首先，对角元素检查法要求每一个矩阵的对角元素都必须大于等于它的其他元素，如果这一条件不满足，则矩阵就不是严格对角占优矩阵。

其次，列求和检查法要求将每一列的元素求和，若求和的结果大于对角元素，则不是严格的对角占优矩阵。

最后，行求和检查法是将每一行的元素求和，若求和的结果大于对角元素，则矩阵也不是严格的对角占优矩阵。

总之，严格对角占优矩阵判定方法并不是很复杂，通常来说，只要确保矩阵的对角元素大于等于该矩阵的所有其他元素即可，同时也可以通过列和行求和的方法来判断矩阵是否为严格的对角元素。

α—对角占优矩阵判定条件的讨论

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α—对角占优矩阵判定条件的讨论
作者：付尧
来源：《无线互联科技》2014年第08期
摘要：广义严格对角占优矩阵具有很广的实际背景，这类特殊矩阵在数值代数、控制
论、电力系统理论、经济数学及弹性力学等众多领域中有着重要的实用价值。

但实际中对此类矩阵进行有效判别，尤其是对大型矩阵的判别，还存在许多困难。

经国内外许多学者不懈努力，已获得一些重要结果。

本文根据α-对角占优矩阵的一些定理，用数值例子讨论了其实用性，并例出了性质及其应用。

[参考文献]
[1]逄明贤.广义对角占优阵的判定及应用[J].数学年刊，1985，6A（3）：323-330.
[2]孙玉祥.广义对角占优阵的充分条件[J].高等学校计算数学学报，1997，19（3）：216-223.
[3]郭世平.广义对角占优矩阵的若干基本性质[J].安徽教育学院学报，2005，23（6）：6-9.
[4]谢清明.判定广义对角占优矩阵的几个充分条件[J].工程数学学报，2006，23（4）：757-760.。

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件
1. 它是一个方阵，即行数等于列数。

2. 矩阵的对角线元素非负且大于所有其它相应行的元素的绝对值之和。

这是一个充分必要条件，即只有当矩阵满足上述两个条件时，才能被称为广义严格对角占优矩阵。

下面对这两个条件进行详细解释：
条件一：矩阵是一个方阵，即行数等于列数。

这个条件是广义严格对角占优矩阵的基本性质，也是定义的一部分。

矩阵的行数和列数需要相等才能满足这个条件。

条件二：矩阵的对角线元素非负且大于所有其他相应行的元素的绝对值之和。

这个条件是广义严格对角占优矩阵的核心性质。

具体来说，对于矩阵的每一个对角线元素，它必须满足两个条件：
- 非负：对角线元素大于等于零，即其值不能为负数。

- 大于所有其他相应行的元素的绝对值之和：对于每一个对角线元素，它的绝对值必须大于该行中所有其他元素绝对值的和。

如果矩阵满足上述两个条件，则可以说它是一个广义严格对角占优矩阵。

这个条件保证了矩阵在计算中的一些特性，例如求逆矩阵的存在性和一致性等。

需要注意的是，广义严格对角占优矩阵与严格对角占优矩阵还是有一定区别的。

严格对角占优矩阵要求对角线元素大于所有其他相应行的元素绝对值之和，而不要求非负。

广义严格对角占优矩阵是在严格对角占优矩阵的基础上增加了对角线元素非负的条件。

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件是：矩阵是一个方阵并且满足对角线元素非负且大于所有其他相应行的元素的绝对值之和。

这个条件对矩阵的特性和应用有重要的影响。

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件1. 引言1.1 研究背景广义严格对角占优矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数值计算、优化理论、图论等领域。

研究广义严格对角占优矩阵的充分必要条件可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质及其在实际问题中的应用。

在实际问题中，我们常常需要求解线性方程组、最小二乘问题等，而矩阵的性质对于这些问题的求解至关重要。

广义严格对角占优矩阵在数值计算中有着广泛的应用，其具有良好的性质，能够保证解的存在唯一性和数值稳定性。

深入研究广义严格对角占优矩阵的充分必要条件对于提高数值计算的精度和效率具有重要意义。

广义严格对角占优矩阵在优化理论和图论中也有着重要的作用。

在优化问题中，要求解约束最优化问题时，矩阵的性质直接影响优化算法的效率和稳定性。

而在图论中，广义严格对角占优矩阵的性质可以帮助我们研究图的结构及其特征。

研究广义严格对角占优矩阵的充分必要条件具有重要的理论意义和实际价值，对于推动数值计算、优化理论和图论领域的发展具有重要意义。

1.2 研究意义广义严格对角占优矩阵在数学领域具有重要的研究意义。

研究广义严格对角占优矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特点，为线性代数理论的深入发展提供了基础。

广义严格对角占优矩阵在数值计算和科学工程中具有广泛的应用价值，比如在求解线性方程组、矩阵分解、最优化等方面起着重要作用。

研究广义严格对角占优矩阵还可以为优化算法的设计和改进提供参考，提高算法的收敛速度和精度。

广义严格对角占优矩阵的研究不仅有着深远的理论意义，而且具有重要的实际应用价值，对于推动数学领域的发展和促进科学技术的进步都具有重要的意义。

2. 正文2.1 广义严格对角占优矩阵的定义广义严格对角占优矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和数值计算中具有重要的应用价值。

在正文中，我们将详细介绍广义严格对角占优矩阵的定义及其充分必要条件。

我们来定义广义严格对角占优矩阵。

一个矩阵被称为广义严格对角占优矩阵，如果对于矩阵的每一行，其对角线元素的绝对值大于等于该行其他元素的绝对值之和。

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件
广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵，其在工程学和科学计算领域中具有广泛应用。

因此，该类型矩阵的性质和判定方法尤为重要。

本文将介绍广义严格对角占优矩阵的
基本定义和性质，并给出该类矩阵的充分必要条件。

一、广义严格对角占优矩阵的基本定义和性质
（1）矩阵的对角线元素绝对值均大于其它元素的绝对值。

（3）广义严格对角占优矩阵是严格对角占优矩阵的一种推广形式，当p=1时，广义严格对角占优矩阵就是严格对角占优矩阵。

广义严格对角占优矩阵在科学计算和工程学中有着广泛的应用，特别是在数值线性代
数中，如加速迭代法、线性方程组的求解等方面。

例如，在求解某些非线性方程组时，需要将其转化为线性方程组求解，因此需要用到
线性代数求解器，而广义严格对角占优矩阵正是其中的重要判别条件之一。

该条件的证明需要用到数学归纳法，具体证明过程可参见相关文献。

其中p是一个正整数。

综上所述，广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵类型，其具有对角线绝对值大于
其它元素绝对值，非对角线元素绝对值之和小于对角线元素绝对值的p次方等特点。

此外，该类矩阵适用于众多科学计算和工程应用，如数值线性代数中加速迭代法和线性方程组求
解等方面。

对于广义严格对角占优矩阵，其充分条件是绝对值对角线元素之和的p次方大
于其它绝对值元素之和的p次方，而必要条件是对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对
值之和的p次方。

因此，广义严格对角占优矩阵的判定依据可由其充分必要条件得出。

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件广义严格对角占优矩阵是指一个n阶方阵A，其对角线元素都为正数，且满足对于任意的i ≠ j，有|a[i][i]| > |a[i][j]|。

a[i][j]表示矩阵A的第i行第j列的元素。

定理1：对于一个n阶方阵A，如果它是一个广义严格对角占优矩阵，那么A是非奇异的。

定理1的证明：我们知道，对于一个方阵A是非奇异的，当且仅当A的行列式不为0。

假设A是一个广义严格对角占优矩阵，那么我们可以得到A的行列式表示为det(A) = a[1][1] * a[2][2] * ... * a[n][n]。

由于A是广义严格对角占优矩阵，对于任意的i ≠ j，有|a[i][i]| > |a[i][j]|。

a[1][1] * a[2][2] * ... * a[n][n] > |a[1][1] * a[2][2] * ... * a[j][j] * a[i][i] * ... * a[n][n]|。

(1 ≤ i, j ≤ n)由于A是非奇异的，那么det(A) ≠ 0。

我们可以将A进行LU分解，即A = LU，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

考虑第i行的元素，即A的第i行乘以U的第i列（1 ≤ i ≤ n）。

由于U是上三角矩阵，对于任意的j < i，有u[i][j] = 0。

A的第i行乘以U的第i列可以简化为a[i][1] * u[1][i] + a[i][2] * u[2][i] + ... + a[i][i] * u[i][i]。

由于A是非奇异矩阵，那么它的逆矩阵A^(-1)存在。

我们可以将等式A = LU两边同时左乘A^(-1)，得到A^(-1)A = A^(-1)LU。

由矩阵乘法的结合律，我们可以得到I =A^(-1)LU。

我们可以将等式I = A^(-1)LU写成I[i，i] = A^(-1)[i，k]L[k，j]U[j，j]。

将上述讨论得到的不等式代入，可以得到|I[i，i]| = |A^(-1)[i，k]L[k，j]U[j，j]| <|A^(-1)[i，k]L[k，j]| * |U[j，j]|。

广义严格对角占优矩阵的一种判别法___

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):676-681广义严格对角占优矩阵的一种判别法关晋瑞,任孚鲛(太原师范学院数学系,山西晋中030619)摘要：广义严格对角占优矩阵是一类很重要的特殊矩阵,在理论与实际中具有广泛的应用,有关它的判别一直是人们研究的重点.本文给出广义严格对角占优矩阵的一种迭代判别法,证明了相应的收敛性理论,并用数值算例展示了该判别法的有效性.关键词：广义严格对角占优矩阵;不可约矩阵;迭代判别法中图分类号：O241.6AMS(2000)主题分类：15B99;65F30;65F10文献标识码：A 文章编号：1001-9847(2019)03-0676-061.引言广义严格对角占优矩阵是一类很重要的特殊矩阵,在矩阵理论,数值分析,控制论及数理经济学中都有着广泛的应用[2−3,8,11,14−16].有关广义严格对角占优矩阵的判定一直是人们研究的一个重点.近年来很多学者都对此问题作了深入的研究,得到了大量的成果[1,4−7,9−10,12−13].为了方便讨论,下面我们首先给出有关广义严格对角占优矩阵的一些基本概念,术语符号及常见结论.设A =(a ij )∈C n ×n ,记N ={1,2,···,n },对任意的i ∈N ,令r i (A )=∑j =i |a ij |,t i (A )=ri(A )|a ii |,以及N 1(A )={i ∈N ||a ii |>r i (A )},N 0(A )={i ∈N ||a ii |=r i (A )},N 2(A )={i ∈N ||a ii |<r i (A )},则有N =N 1(A )∪N 0(A )∪N 2(A ).定义1.1[8,16]设A =(a ij )∈C n ×n ,若对任意的i ∈N ,都有|a ii |>r i (A ),则称A 为严格对角占优矩阵.若存在正对角矩阵D ,使得AD 为严格对角占优矩阵,则称A 为广义严格对角占优矩阵.定义1.2[16]设A =(a ij )∈C n ×n ,若存在置换矩阵P ,使得P AP T =(A 11A 12O A 22),其中A 11,A 22分别为k ×k ,(n −k )×(n −k )的矩阵,1≤k <n ,则称矩阵A 是可约的.否则称A 是不可约的.定义1.3[8,16]设A =(a ij )∈C n ×n 不可约,若对任意的i ∈N ,有|a ii |≥r i (A ),且至少有一个严格不等式成立,则称A 为不可约对角占优矩阵.定义1.4[16]设A =(a ij )∈C n ×n ,称m (A )=(αij )∈R n ×n 为A 的判别矩阵,其中αij ={|a ii |,i =j,−|a ij |,i =j.∗收稿日期：2018-08-22基金项目：国家自然科学基金(11401424),山西省自然科学基金(201601D011004),太原师范学院大学生创新创业训练项目(CXCY1861)作者简介：关晋瑞,男,汉族,山西人,讲师,研究方向：数值代数.第3期关晋瑞等：广义严格对角占优矩阵的一种判别法677下面是广义严格对角占优矩阵的几个基本性质[7−8,16].引理1.1设A 为广义严格对角占优矩阵,则对任意的i ∈N ,有a ii =0.引理1.2设A 为广义严格对角占优矩阵,则N 1(A )=∅.引理1.3设A =(a ij )∈C n ×n ,则A 为广义严格对角占优矩阵当且仅当AD 为广义严格对角占优矩阵,其中D 为正对角矩阵.引理1.4设A 是不可约对角占优矩阵,则A 为广义严格对角占优矩阵.现有文献中关于广义严格对角占优矩阵的判别法大多数都是直接法,但直接法判定范围狭窄,复杂且不实用,相比之下,迭代判别法具有更大的优势,并且可以充分利用计算机来实现[1,7].本文研究广义严格对角占优矩阵的迭代判别法,在第2节我们提出广义严格对角占优矩阵的一种迭代判别法,并证明了相应的收敛性理论,在第3节中用数值算例展示了该判别法的有效性.2.主要结果文[13]提出如下一个广义严格对角占优矩阵的迭代判别法.算法2.1输入：不可约矩阵A =(a ij )∈C n ×n .输出：“A 不是广义严格对角占优矩阵”或者“A 是广义严格对角占优矩阵”.1)若对某个i ∈N ,有a ii =0,“A 不是广义严格对角占优矩阵”,停止；否则2)令k =0,A 0=A ；3)对i ∈N ,计算t i (A k ),及[u,uu ]=min 1≤i ≤n t i (A k ),v =max 1≤i ≤n t i (A k )；若u ≥1,“A 不是广义严格对角占优矩阵”,停止；若v ≤1,“A 是广义严格对角占优矩阵”,停止；否则计算A k +1=A k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={u,i =uu,1,i =uu ;4)令k =k +1,返回第3步.该算法的优点是运算量小,每步迭代只需要O (n )的运算量,而其他的一些判别法每步都需要O (n 2)的运算量.对于不可约广义严格对角占优矩阵,该算法具有良好的收敛性.通过数值实验我们发现当所要判别的矩阵不是广义严格对角占优矩阵时,算法2.1所需的迭代次数比较多,因此有待进一步改进.通过对算法2.1的深入研究,我们发现其基本思想是不断缩小占优行对角元所在列元,从而最终得到矩阵是否为广义严格对角占优矩阵的结论.经过分析我们认为如果同时对占优行对角元所在列进行不断缩小,以及对占劣行对角元所在列进行不断放大,这样会取得更好的效果,避免了其缺陷.下面按照这个想法我们对算法2.1进行改进.设A =(a ij )∈C n ×n 不可约,构造序列{A k }如下：记A 0=(a (0)ij )=A .计算t i (A 0),∀i ∈N .设t p (A 0)=max 1≤i ≤n t i (A 0),则令A 1=A 0D 0,其中D 0=diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={t p (A 0),i =p,1,i =p.若A k =(a (k )ij )已得到,然后计算t i (A k ),∀i ∈N .设t p (A k )=max 1≤i ≤n t i (A k ),则令A k +1=A k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={t p (A k ),i =p,1,i =p.678应用数学2019依此类推,可以得到矩阵序列{A k}.由构造过程可以看到该矩阵序列元素的绝对值不断变大.对于该矩阵序列,我们有下面的结论.引理2.1设A=(a ij)∈C n×n不可约,若A不是广义严格对角占优矩阵,对角线元素非零且判别矩阵m(A)非奇异,则对于上述构造的矩阵序列{A k},存在一个正整数K,当k>K时,有N1(A k)=∅.证首先注意到当k增加时,集合N1(A k)的元素个数不增,而N0(A k)∪N2(A k)的元素个数不减.这是因为∀i∈N1(A k),设t p(A k)=max1≤i≤n t i(A k),则t p(A k)>1,且p=i.从而t i(A k+1)=r i(A k+1)|a(k+1)ii|=∑j=i,p|a(k)ij|+t p(A k)|a(k)ip||a(k)ii|≥∑j=i|a(k)ij||a(k)ii|=t i(A k).这样有可能t i(A k+1)≥1,进而i/∈N1(A k+1).而对于∀i∈N0(A k)∪N2(A k),当i=p时,很明显i∈N0(A k+1),而当i=p时,t i(A k+1)=r i(A k+1)|a(k+1)ii|=∑j=i,p|a(k)ij|+t p(A k)|a(k)ip||a(k)ii|≥∑j=i|a(k)ij||a(k)ii|=t i(A k).因此仍然有i∈N0(A k+1)∪N2(A k+1).其次,假设引理结论不成立,即对任意正整数k,都有N1(A k)=∅.根据上面的分析则存在一个正整数l,使得∀m>0,有N1(A l)=N1(A l+m).为了讨论方便,不妨设N1(A l)={1,2,···,k},且A l=(A11A12A21A22),其中A11是k×k的.这样A l的前k行是严格对角占优行,且由上面假设对于任意m>l,A m的前k行也是严格对角占优行.而根据引理的条件,A l的后n−l行必存在严格对角占劣行,否则A l将是广义严格对角占优矩阵,从而A是广义严格对角占优矩阵,这与引理条件矛盾.类似的对于任意m>1,A m的后n−k行必存在严格对角占劣行.这样对于A l而言,当l增大时,对应的子块A12中的元素将不断增大,但是由于前k行是严格对角占优行,于是A12中的元素存在上界,从而必有极限.设lim l→∞A l=Aω=(A11BA21C).我们来看看最后极限结果中的B和C.容易证明Aω后n−k列不会趋于无穷大,而且lim l→∞max1≤i≤nt i(A k)=1,因此Aω无严格对角占劣行.若Aω前k行存在严格对角占优行,则Aω是广义严格对角占优矩阵,从而A是广义严格对角占优矩阵,与定理条件矛盾.若Aω前k行不存在严格对角占优行,即有t i(Aω)=1,则m(Aω)奇异,从而m(A)也奇异,这也与定理假设矛盾.从而对于充分大k必有N1(A k)=∅.证毕.根据前面的分析以及上述定理,我们提出下面的判别法.算法2.2输入：不可约矩阵A=(a ij)∈C n×n.输出：“A不是广义严格对角占优矩阵”或者“A是广义严格对角占优矩阵”.1)若对某个i∈N,有a ii=0,“A不是广义严格对角占优矩阵”,停止;否则2)令k=0,B0=A,C0=A;3)对i∈N,计算t i(B k),及p=min1≤i≤n t i(B k),[q,qq]=max1≤i≤n t i(B k);若p≥1,“A不是广义严格对角占优矩阵”,停止;第3期关晋瑞等：广义严格对角占优矩阵的一种判别法679若q ≤1,“A 是广义严格对角占优矩阵”,停止;否则计算B k +1=B k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={q,i =qq,1,i =qq ;4)对i ∈N ,计算t i (C k ),及[u,uu ]=min 1≤i ≤n t i (C k ),v =max 1≤i ≤n t i (C k )；若u ≥1,“A 不是广义严格对角占优矩阵”,停止；若v ≤1,“A 是广义严格对角占优矩阵”,停止；否则计算C k +1=C k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={u,i =uu,1,i =uu ;5)令k =k +1,返回第3步.下面我们分析算法2.2的收敛性.定理2.1对任意给定的不可约矩阵A =(a ij )∈C n ×n ,假设判别矩阵m (A )非奇异,则算法2.2总是收敛的.证若矩阵A 对角线有零元素,则算法2.2直接可以停止.若矩阵A 对角线无零元素,当矩阵A 是广义严格对角占优矩阵时,根据文[13]中的结论,算法2.2中第4步可以在有限步内停止.当矩阵A 不是广义严格对角占优矩阵时,根据引理2.1,算法2.2中第3步可以在有限步内停止.证毕.定理2.2对任意给定的不可约矩阵A =(a ij )∈C n ×n ,若算法2.2收敛,则它的结论是正确的.证当算法终止时,有两个输出结果:“A 不是广义严格对角占优矩阵”和“A 是广义严格对角占优矩阵”.下面我们分情况讨论.当输出结果为“A 不是广义严格对角占优矩阵”时,可能在第1、3或4步.若在第1步停止,则对某个i ∈N ,有a ii =0,根据引理1.1,A 不是广义严格对角占优矩阵.若在第3步停止,则对任意i ∈N ,有t i (B k )≥1,即有N 1(B k )=∅,根据引理1.2,B k 不是广义严格对角占优矩阵,从而由引理1.3,A 不是广义严格对角占优矩阵.若在第4步停止,则对任意i ∈N ,有t i (C k )≥1,即有N 1(C k )=∅,根据引理1.2,C k 不是广义严格对角占优矩阵,从而A 不是广义严格对角占优矩阵.当输出结果为“A 是广义严格对角占优矩阵”时,可能在第3、4步.若在第3步停止,则对任意i ∈N ,有t i (B k )≤1,由于前面已经处理了t i (B k )≥1的情形,此时有t i (B k )≤1,且至少有一个不等式是严格的,从而根据引理1.4,B k 是广义严格对角占优矩阵,从而A 是广义严格对角占优矩阵.若在第4步停止,则对任意i ∈N ,有t i (C k )≤1,由于前面已经处理了t i (C k )≥1的情形,此时有t i (C k )≤1,且至少有一个不等式是严格的,根据引理1.4,C k 是广义严格对角占优矩阵,从而A 是广义严格对角占优矩阵.证毕.3.数值例子本节中,我们通过几个例子来检验提出的判别法(算法2.2)的有效性,并与算法2.1进行比较.实验用Matlab(R2012a),并在个人机上运行.实验结果给出两种算法的判别结果(GDDM),所需的迭代次数(IT)以及计算时间(CPU).实验的例子取自文[1,7].例3.1考虑下列矩阵A = 10−0.5−0.5100−21 ,B = 10011111113,680应用数学2019C=1−0.8−0.1−0.51−0.3951−0.8−0.61,D=1−0.8−0.1−0.51−0.3952−0.8−0.61,E=4−1−5−13−7−2−17,F=1−2−10−210−10−0.251−0.5−0.250−0.51.实验结果见表格3.1.表3.1例3.1的实验结果矩阵A B C D E FGDDM是是是否否否算法2.1IT2318767053CPU0.0001670.0001800.0005640.0023020.0018100.001483GDDM是是是否否否算法2.2IT111810302CPU0.0001650.0001450.0009170.0006750.0015740.000150从实验结果可以看到,对于非广义严格对角占优矩阵,算法2.2所需要的迭代次数和计算时间明显少得多,而对于广义严格对角占优矩阵,算法2.2比算法2.1在一些例子中所需要的迭代次数和计算时间也有一定的减少,因此我们的算法是很有效的.以上我们提出一个广义严格对角占优矩阵的判别法,理论分析和数值算例显示了该算法是有效的.本判别法的不足之处是依赖于矩阵的不可约性,对于可约矩阵则不能奏效.如何把我们的算法推广到判别可约矩阵,则是我们今后的工作.参考文献：[1]ALANELLI M,HADJIDIMOS A.A new iterative criterion for H-matrices[J].SIAM J.Matrix Appl.,2006,29:160-176.[2]BERMAN A,PLEMMONS R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].New York:Academic Press,1994.[3]DAILEY M,DOPICO F,YE Q.A new perturbation bound for the LDU factorization of diagonallydominant matrices[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,2014,35(3):904-930.[4]范迎松,陆全,徐仲,高慧敏.非奇异H-矩阵的一组细分迭代判别准则[J].工程数学学报,2012,31(6):877-882.[5]高慧敏,陆全,徐仲,山瑞平.非奇H-矩阵的一组含参数迭代判定准则[J].高校应用数学学报,2012,27(4):439-448.[6]高慧敏,陆全,徐仲,山瑞平.非奇H-矩阵的一组细分迭代判定条件[J].工程数学学报,2014,33(6):329-337.[7]GUAN J R,LU L Z,LI R C,SHAO R X.Self-Corrective iterations for generalized diagonally dominantmatrices[J]put.Appl.Math.,2016,302:285-300.[8]黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京:科学出版社,2007.[9]黄政阁,徐仲,陆全,崔静静.非奇H-矩阵的一组新的判定条件[J].高等学校计算数学学报,2016,38(4):330-342.[10]KOHNO T,NIKI H,SAWAMI H,GAO Y M.An iterative test for H-matrix[J]put.Appl.Math.,2000,115:349-355.第3期关晋瑞等：广义严格对角占优矩阵的一种判别法681[11]KOEV P,DOPICO F.Perturbation theory for the LDU factorization and accurate computations fordiagonally dominant matrices[J].Numer.Math.,2011,119:337-371.[12]LI H B,HUANG T Z.On a new criterion for the H-matrix property[J].Applied Mathematics Letters.,2006,19:1134-1142.[13]OJIRO K,NIKI H,USUI M.A new criterion for H-matrices[J]put.Appl.Math.,2003,150:293-302.[14]SPIELMAN D A,TENG S H.Nearly-linear time algorithms for preconditioning and solving sym-metric,diagonally dominant linear systems[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,2014,35(3):835-885.[15]徐仲,陆全,张凯院等.H-矩阵类的理论及应用[M].北京:科学出版社,2013.[16]VARGA R S.Matrix Iterative Analysis[M].Berlin:Springer-Verlag,2000.An Iterative Method for Checking Generalized StrictlyDiagonally Dominant MatricesGUAN Jinrui,REN Fujiao(Department of Mathematics,Taiyuan Normal University,Jinzhong030619,China) Abstract:Generalized strictly diagonally dominant matrix is a kind of special matrix which hasmany applications in theory and practice,and research on its discrimination has become a hot topic in recent years.In this paper,an iterative method is proposed for identifying a matrix to be a generalized strictly diagonally dominant matrix or not.Theoretical analysis and numerical examples are given to show that the method is eﬀective and eﬃcient.Key words:Generalized strictly diagonally dominant matrix;Irreducible matrix;Iterative algo-rithm。

广义严格对角占优矩阵的新判定条件

广义严格对角占优矩阵的新判定条件
黄政阁;徐仲;陆全
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2015(028)003
【摘要】为了得到广义严格对角占优矩阵的新判定条件,首先对方阵行下标集进行不同的递进式划分,再利用α-对角占优矩阵以及不等式的放缩技巧,给出判定广义严格对角占优矩阵的一组充分条件.最后利用数值算例说明了结论的有效性,推广和改进了已有的一些结果.
【总页数】8页(P259-265,275)
【作者】黄政阁;徐仲;陆全
【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安710072;西北工业大学应用数学系,陕西西安710072;西北工业大学应用数学系,陕西西安710072
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.块广义严格对角占优矩阵的一组判定条件 [J], 许洁
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5.广义严格对角占优矩阵的一组判定条件 [J], 马玉洁
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广义严格α-链对角占优矩阵新的判定准则

广义严格α-链对角占优矩阵新的判定准则杨健;徐仲;陆全;石玲玲【摘要】广义严格对角占优矩阵在数学、系统理论、弹性力学及经济学等诸多领域有着广泛的应用，但如何在实际应用中简便地判别一个矩阵是否是广义严格对角占优矩阵一直是人们关注的问题。

本文通过α-链对角占优矩阵的性质，巧妙的把不等式关系转化并构造出相应的正对角阵矩阵，给出了广义严格α-链对角占优矩阵的一种新的判定准则，改进了近期的相关结果，并用数值算例说明了该算法的有效性。

%Generalized strictly diagonally dominant matrices plays a very significant role in numerical analysis and matrix theory, and has a wide range of applications in mathematics, systematic theory, elasticity and economics, etc. How to specify a generalized strictly diago-nally dominant matrices in practice has always been paid attention. In the paper, some new determinate codes for generalized strictly α-chain diagonally dominant matrices are obtained according to the properties ofα-chain diagonally dominant matrices, transforming the inequal-ity relationship and constructing a positive diagonal matrix skillfully. The related results are improved. Effectiveness of the new codes is illustrated by some numerical examples.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】7页(P267-273)【关键词】广义严格α-链对角占优矩阵;α-链对角占优;正对角阵【作者】杨健;徐仲;陆全;石玲玲【作者单位】西北工业大学应用数学系，西安710072;西北工业大学应用数学系，西安710072;西北工业大学应用数学系，西安710072;西北工业大学应用数学系，西安 710072【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言在实际应用中简便地判别一个矩阵是否是广义严格对角占优矩阵一直是人们关注的问题．近年来，国内外许多学者提出了一些实用的判定条件[1-7]．本文通过α-链对角占优矩阵元素的性质和特点得到了广义严格α-链对角占优矩阵的几个新的判定准则，推广了文献[3]的结论．设Cn×n为n × n阶复方阵的集合，N={1,2,···,n}．对A=(aij)∈ Cn×n, α∈(0,1]．记则N=N1⊕N2．又记定义1设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1]．如果则称A为严格α-链对角占优矩阵，记为A ∈D(α)．若存在正对角阵X，使得AX ∈D(α)，则称A为广义严格α-链对角占优矩阵，记为A∈D∗(α)．引理1[8] 设σ,τ是任意两个非负实数，若α∈[0,1]，则有σατ1−α≤ασ+(1−α)τ.2 主要结果定理1 设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1)．如果下面两个条件同时成立，则A ∈D∗(α)．1)且存在正数d，使得其中当时，记sj=+∝．2)存在正数h，满足证明注意到Λi=αi+βi，由引理1得于是ri≥1,∀i∈N1．由条件1)知，1≤ri≤d,∀i∈N1，sj>d,∀j∈N2，从而构造正对角阵D=diag(d1,d2,···,dn)，令矩阵B=AD=(bij)，其中对任意的i∈N1，由引理1、h<1和式(2)，得对任意的i∈N2，由引理1、条件2)和式(3)，得综上，对任意的i∈N，有即B ∈ D(α)，则A ∈ D∗(α)．证毕将指标集N1进一步细分，记则又记定理2 设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1)．若下面几个条件同时成立，则A ∈D∗(α)．1)且存在正数d，使得其中当时，记2)存在正数δ，满足3)存在正数h，使得证明首先，注意到αi=αi1+αi2,∀i∈N1，由式(1)得于是由条件1)知，从而构造正对角阵D=diag(d1,d2,···,dn)，令矩阵B=AD=(bij)，其中对任意的由引理1、δ<d、h≤1及式(4)，有对任意的由引理1、h≤1、δ<d、式(5)及条件2)，有对任意的i∈N2，由引理1、δ<d、式(5)及条件3)，有综上，对任意的i∈N，有即B ∈ D(α)，则A ∈ D∗(α)．证毕注：由于所以满足文献[3]定理1条件的矩阵是广义严格α-对角占优矩阵，进而也是广义严格α-链对角占优矩阵；但满足本文条件的矩阵是广义严格α-链对角占优矩阵，它不一定是广义严格对角占优矩阵，因此本定理比文献[3]定理1的判定范围要广，数值算例也说明了这一点．定理3 设A=(a ij)∈Cn×n,α∈(0,1)．若A满足下面两个条件，则A ∈D∗(α)．1)且存在正数d，使得其中当时，记2)且存在正数δ，满足证明构造正对角阵D=diag(d1,d2,···,dn)，令矩阵B=AD=(bij)，其中对任意的i∈N，仿照定理2的证明过程，可以证得即B ∈ D(α)，则A ∈ D∗(α)．证毕3 数值算例例1 设易验证A不满足文献[3]之定理1的条件，而当取α=0.9，则N1={1,2},N2=当取d=8,δ=7.5,h=0.998时，定理2的条件满足．因在定理1和定理3中的d取不到，所以它不满足定理1和定理3．取正对角阵D=diag{7.5,8,0.998,0.998}，易算得AD ∈D(α)，可见A ∈ D∗(α)．例2 设易验证A不满足文献[2]之定理1，文献[3]之定理1的条件，而当取α=0.9，显然N1=当取d=1.2,δ=1.1时，定理3的条件满足．但不满足定理1和定理2．取正对角阵D=diag{1.2,1.1,1,1}，则易得到AD ∈ D(α)，可见A ∈ D∗(α)．例3 设易验证A不满足文献[2]之定理1和文献[3]之定理1，但当取α=0.8时，有N1={1,2,3},N2={4,5,6,7,8,9}．可求得于是取d=1.88,h=0.5，则定理1的条件满足．但在定理3中的d取不到，不满足定理3．取正对角阵则通过计算容易得到AD ∈D(α)，可见A∈D∗(α)．由算例可知，本文的定理1、定理3，定理2、定理3两两相互独立，不存在包含关系．但是定理1、定理2不好判断是否存在包含关系．定理2推广了文献[3]的结论，拓宽了广义严格对角占优矩阵的适用范围．参考文献：[1]韩涛，陆全.一组非奇异H-矩阵的新判据[J].工程数学学报，2011,28(4):498-504 Han T,Lu Q.Some new criteria for nonsingular H-matrices[J].Chinese Journal of Engineering Mathematices,2011,28(4):498-504[2]李庆春，胡文杰.广义严格对角占优矩阵的判定准则[J].高校应用数学学报，1999,14A(2):229-234 Li Q C,Hu W J.Criteria of the generalized strictly diagonally dominant matrices[J].Applied Mathematics:A Journal of Chinese Universities,1999,14A(2):229-234[3]李向荣，宋岱才.α-对角占优矩阵与非奇异H-矩阵的判定[J].科学技术与工程，2010,10(25):6237-6239 Li X R,Song D C.α-diagonally dominant matrix and criterion for nonsingular H-matrix[J].Science Technology and Engineering,2010,10(25):6237-6239[4]Li H B,Huang T Z.On a new criterion for the H-matricesproperty[J].Applied Mathematics Letters,2006,19(10):187-195[5]江如.非奇异H-矩阵的新判据[J].工程数学学报，2011,28(3):393-400 Jiang R.New criteria for nonsingular H-matrices[J].Chinese Journal of Engineering Mathematices,2011,28(3):393-400[6]王健，徐仲.判定广义严格对角占优矩阵的一组新条件[J].计算数学，2011,33(3):225-232 Wang J,Xu Z.A set of new criteria conditions for generalized strictly diagonally dominant matrices[J].Mathematica Numerica Sinica,2011,33(3):225-232[7]冷春勇.非奇异H-矩阵的判定[J].应用数学学报，2011,34(1):50-56 Leng C Y.Criteria for nonsingular H-matrices[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2011,34(1):50-56[8]徐成贤，徐宗本.矩阵分析[M].西安：西北工业大学出版社，1991 Xu C X,Xu ZB.Matrix Analysis[M].Xi’an:North western Polytechnical University Press,1991。