基于点集拓扑学的三维拓扑空间关系形式化描述

第26卷　第2期测　绘　学　报V o l.26,N o.2　1997年5月A CTA GEODA ET I CA et CA R TO GRA PH I CA S I N I CA M ay,1997

基于点集拓扑学的三维拓扑空间关系

形式化描述Ξ

郭　薇　陈　军

(武汉测绘科技大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,430070)

THE FOR M AL D ESCR IPT I ON OF T OPOLOGI CAL SPAT I AL RELAT I ONSH IP IN

3D BASED ON PO INT SET T OPOLOG Y

Guo W ei,Chen Jun

(W uhan T echn ica l U n iversity of S u rvey ing and M app ing,430070)

Abstract　P ractical need in G IS have let to the investigati on of fo rm alm ethod of describ ing spatial

relati on sh i p s.A fter an in troducti on to the basic ideas and no ti on s of topo logical relati on sh i p,an

ex ten si on of geom etric po in t2set app roach by tak ing the di m en si on of the in tersecti on s in to accoun t

is p resen ted.T h is resu lts in a very large num ber of differen t topo logical relati on sh i p s in3D fo r

Po in t,L ine,Su rface,and Body featu res.T hen w e p ropo se to group all po ssib le case in to a few

m ean ingfu l topo logical relati on sh i p s and discu ss their exclu siveness and comp leteness w ith respect

to the po in t2set app roach.

Key words　3D G IS,Po in t set topo logy,Topo logical spatial relati on sh i p,T he fo rm al descri p ti on

摘　要　本文阐明了研究空间关系理论的必要性,分析了拓扑空间关系描述方法的研究进展及存

在问题,以点集拓扑理论为基础,运用维数扩展的方法,提出了三维拓扑空间关系完善和形式化的

描述框架,在此基础上,对三维空间目标中存在着的拓扑空间关系进行了分类,定义了五种基本的

拓扑空间关系,并且给出了三维拓扑空间关系最小集的互斥性与完备性证明。

关键词　三维G IS　点集拓扑　拓扑空间关系　形式化描述

分类号　O18

1　引言

三维G IS作为一种描述和分析现实世界的工具,在城市规划、地质、矿山、建筑学等诸多领域具有广阔的应用前景,因此,研究三维G IS是非常必要的。由于G IS不仅关心空间目标自身的几何特征及物理属性,还必须能够处理其与所处环境间的关系。因此,目标及其目标间拓扑空间关系完备和形式化的描述与表达即成为设计三维G IS空间数据库的重要基础,同时,它也是有效地实现空间关系查询和进行空间分析的基本前提。

Ξ收稿日期:1996207208,截稿日期:1996210226

国家教委霍英东青年教师奖励研究基金资助项目

拓扑空间关系理论的研究已引起了学术界的高度重视。人们从各自的研究领域出发,探讨空间关系的本质与判定机理,寻求空间关系形式化描述,表达和操作的方法与途径,以完善和发展拓扑空间关系理论。本文以点集拓扑学理论为基础,探讨了运用维数扩展法对三维拓扑空间关系进行形式化描述的方法并得出相应结论。

2　点集拓扑学的理论基础

所谓度量空间即为在抽象集合中引进了度量,设有任意元素(点)的集合R ,对于集合的任意两点x ,y 确定了它们间的距离p (x ,y )并满足如下度量空间的公理:

(1)p (x ,y )>0,

当x ≠y ;p (x ,x )=0

(2)p (x ,y )=p (y ,x )　(对称公理)

(3)p (x ,y )+p (y ,z )≥p (x ,z )　(三角形不等式)

则集合R 就形成了度量空间。

所谓拓扑空间即为满足下列条件的元素(点)的集合X ,对于R 的每一元素(点)x 选定了一个以X 的子集为成员的非空组,这个子集叫作x 的一个邻域,并且满足下列拓扑空间公理:

(1)x 在它自己的每个领域里;

(2)x 的任意两个邻域的交集为x 的一个邻域;

(3)若N 是x 的邻域,U 为X 的子集合包含N ,则U 是x 的邻域;

(4)若N 是x 的邻域,并且若N °表示集合{z ∈N N 是z 的邻域},则N °是x 的邻域,集合N °叫作N 的内部。

邻近的集合理论使得邻近的度量概念一般化,由R 的某一度量d 得到的一个关于R 的拓扑称为由d 定义的度量拓扑。由此可见,每一个度量空间也是拓扑空间,但是相反的提法却是不准确的,即存在这样的拓扑空间,它不可能使成为度量空间。

拓扑空间X 的子集N 的余是一个集合{x x ∈X 且x ∈ N },表示为X N 。点X 称为集合N 的边界点,如果它既不是集合N 的内部点又不是它的余集X N 的内部点,所有边界点的集合称为集合N 的边界,记为9N 。

设X 与Y 是拓扑空间,映射f :X →Y 为连续,假如对于X 的每点x ,以及f (x )在Y 内的任意邻域N ,集合f -1(N )为x 在X 内的邻域,则映射f :X →Y 叫作是一个同胚。若此映射为一对一之连续满射并且有连续的逆映射,则称X 同胚于Y ,或X 拓扑等价于Y 。在同胚下拓扑空间的特性得以保持,即一个特性为某个拓扑空间所具有时它也为每一个同胚的空间所具有,这种特性就称为拓扑不变量。拓扑空间关系即指拓扑变换下的拓扑不变量。

3　拓扑空间关系描述的研究进展及存在问题

在拓扑空间关系描述方面,人们已经作了许多工作。如:Gu ting (1988)根据点集的定义,运用集合运算=,≠,Α,∩,给出了以下相等(equal ),不相等(unequal ),包含(in side ),相离(ou tside )和相交(in tersect )等拓扑空间关系的定义:

x =y :=po in ts (x )=po in ts (y ),x ≠y :=po in ts (x )≠po in ts (y )

x in side y :=po in ts (x )Αpo in ts (y ),x ou tside y :=po in ts (x )∩po in ts (y )=

x in tersect y :=po in ts (x )∩po in ts (y )≠

这种定义的缺陷是这个关系集即不具有唯一性,也不具有完备性。例如:相等和包含均被相交321第2期 郭薇等:基于点集拓扑学的三维拓扑空间关系形式化描述