人教版高中数学课件7.5 圆的方程
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圆的一般方程 课件
(－1,5)，(5,5)，(6，－2)得
－5DD＋＋55EE＋＋FF＝＝－－5206，， 6D－2E＋F＝－40，
解得DE＝＝－－24，， F＝－20.
所以圆的方程是 x2＋y2－4x－2y－20＝0.
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第四章 4.1 4.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[拓展] 1.圆的标准方程和一般方程的对比 (1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆 心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显． (2) 由 圆 的 一 般 方 程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数 特征明显． (3)相互转化，如图所示．
第四章 4.1 4.1.2
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互动课堂
第四章 4.1 4.1.2
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●典例探究
二元二次方程与圆的关系
(1)(2013～2014·荆州高二检测)圆 x2＋y2－2x＋
4y＝0 的圆心坐标为( )
又圆心在第二象线，所以－D2 <0，即 D>0， 所以DE＝＝－2，4， 所以圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3 ＝0. [答案] (1)C
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
[精解详析]
法一：由方程x2＋y2－4mx＋
2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝ 20(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m，－m)， 1 半径为r＝2 D2＋E2－4F＝ 5|m－2|.
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0.
解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，
x2的系数为2，y2的系数为1.
∵2≠1，∴不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0， ∵方程中含xy项， ∴此方程不能表示圆． (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.
法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：
D＝－2，E＝－4，F＝10. ∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10 ＝20－40＝－20<0. ∴此方程不能表示圆．
法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0. 配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆． (4)∵2x2＋2y2－4x＝0， ∴x2＋y2－2x＝0， ∴(x－1)2＋y2＝1. ∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
新人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线与圆的方程的应用全套课件
所以圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降 1 m 后，设 A′(x0，－3)(x0 ＞6)代入圆的方程中，得 x0＝ 51 ，所以此时水面宽 2 51 m． 答案：2 51
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上 的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. 因为|CO|2＝32＋42＝25，所以|CO|＝5， 所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. 所以d的最小值为2×16＋2＝34. 最大值为2×36＋2＝74.
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02
课堂巩固 自测
1234
1．y＝|x|的图象和圆 x2＋y2＝4 所围成的较小的面积是( )
π A.4
B．34π
3π C. 2
√D．π
解析：如图，所求面积是圆 x2＋y2＝4 面积的14 .
即14 ×22×π＝π.
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1234
2．圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0 的最大距离与最
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考点二 与圆有关的最值问题
已知实数 x 和 y 满足(x＋1)2＋y2＝14 ，试求下列各式的最值：
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10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上 的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. 因为|CO|2＝32＋42＝25，所以|CO|＝5， 所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. 所以d的最小值为2×16＋2＝34. 最大值为2×36＋2＝74.
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02
课堂巩固 自测
1234
1．y＝|x|的图象和圆 x2＋y2＝4 所围成的较小的面积是( )
π A.4
B．34π
3π C. 2
√D．π
解析：如图，所求面积是圆 x2＋y2＝4 面积的14 .
即14 ×22×π＝π.
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1234
2．圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0 的最大距离与最
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考点二 与圆有关的最值问题
已知实数 x 和 y 满足(x＋1)2＋y2＝14 ，试求下列各式的最值：
高中数学_圆的方程教学课件设计
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以
(2,0)为圆心，为 半径的圆． (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率
所以设 ＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值， 此时 ＝ ，解得k＝± (如图1)．
所以的最大值为 ，最小值为－ .
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆
平分线方程为：x-y-1=0，
2
解方程组
x
3， 2
得
x y 1 0，
x y
3， 2 1， 2
即圆心坐标为
( 3 , 1)， 22
半径 r＝ (1 3)2 (2 1)2＝ 10 ，
2
22
因此，所求圆的方程为 (x 3)2＋(y－1)2＝5 .
2
22
方法二:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆过点
巩固型题组：
6、如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为 x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,则该三角形的外接圆方程
解：因为三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y-5 ＝0，y-2＝0，x＋y-4＝0，解方程组可得三个顶点的 坐标，分别设为A(1,2)，B(2,2)，C(3,1).
方法一：因为AB的垂直平分线方程为x＝3，BC的垂直
圆的标准方程(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
知识点1 圆的标准方程
【思考1】 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
【提示】定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
【思考2】已知圆心为A(a,b),动点M（x,y)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
【巩固练习2】若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(
A．－1<a<1
B．0<a<1
C．a<－1或a>1
D．a＝±1
解析：由题意得(1－a)2＋(1＋a)2<4，得a2<1，即－1<a<1.
答案：A
)
（三）典型例题
3.最值问题
例3.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
（三）典型例题
【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．
【解析】设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ①
因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
0 = 2
0 =
5+1
2
【思考1】 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
【提示】定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
【思考2】已知圆心为A(a,b),动点M（x,y)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
【巩固练习2】若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(
A．－1<a<1
B．0<a<1
C．a<－1或a>1
D．a＝±1
解析：由题意得(1－a)2＋(1＋a)2<4，得a2<1，即－1<a<1.
答案：A
)
（三）典型例题
3.最值问题
例3.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
（三）典型例题
【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．
【解析】设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ①
因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
0 = 2
0 =
5+1
2
人教版高中数学课件 直线与圆的方程小结与复习
tan k2 k1
1 k1k2
Page 6
课堂练习
高2008级数学教学课件
1.求证 A( 点 2,1)2,B(1,3)C , (4,6)在同一条 . 直
证明： kAB 1 3 ( 1 2 )2 3 ,kAC 4 6( 1 2 ) 2 3 .
又A是直线AB，AC的公共点，故AB，AC重合 所以A、B、C三点共线.
由| 2C| 2 2 2
C2或 C 6
故 所 求 直 线 方 程 为 ：
x y 2 0 或 x y 6 0
Page 10
高2008级数学教学课件
5 . 求 和 直 线 3 x 4 y 5 0 关 于 x 轴 对 称 的 直 线 方 程 .
解 ： 直 线 3 x 4 y 5 0 与 x 轴 的 交 点 为 ( 5 ,0 ). 3
3．会用二元一次不等式表示平面区域;
Page 1
高2008级数学教学课件
教学目的：
4. 了解简单的线性规划问题，了解线性规 划的意义，并会简单的;
5．了解解析几何的基本思想，了解用坐标 法研究几何问题;
6．掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数 方程的概念.理解圆的参数方程;
7．结合教学内容进行对立统一观点的教育 ;
k
直 线 方 程 为 y(x2)1,即 xy30
Page 18
高2008级数学教学课件
高一数学圆的方程1
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 M1(5,7) ，M 2 ( 5,1) 是否在这 个圆上．
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准
方程是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
y
o
x
M2 A
M1
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在 这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
即x 3y 3 0
圆心C的坐标是方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
的解．
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解： 解此方程组，得
x 3,
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r2
得：
(x 0)2 ( y 0)2 r 2
整理得：
x2 y2 r2
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 M1(5,7) ，M 2 ( 5,1) 是否在这 个圆上．
圆的方程数学PPT课件
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系
1
A＝C≠0
2
B=0
3
D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程
表示圆的一般方程
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
展
开
圆的方程
配
方
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
X2+y2+Dx+Ey+F=0
10. [课堂小结]
1
本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
人教版高中数学必修二
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
展开，得百度文库
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + 2 + b2 − 2 = 0
由于a,b,r均为常数
结论
令 − 2a = D, −2b = E, a2 + b2 − r 2 = F
任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论
任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问
是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程表示的曲线是圆呢？
请举例
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
高中数学圆的方程
以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得(x-1)2+(y1)2=13.
关闭
(x-1)2+(y-1)2=13
解析 答案
-10考点1 考点2 考点3
考点 1
求圆的方程
例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0 上,则圆C的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 (2)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则 |MN|=( )
-5知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一 条.( ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个 圆.( )
(3)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆心为
9 .3
圆的方程
人教版高中数学直线和圆的方程课件
直线和圆方程总复习二
泰和中学 杨于忠
1.已知直线l过点P(-1,1)且与以A(-2,3)、B(3,2) 为端点的线段相交,直线l的斜率的取值范围.
k≤-2或k≥1/4
2.已知等腰Rt△ABC中, ∠C=90°, A(5,4), BC在 直线2x+3y-6=0上, 求AB和AC所在直线的方程.
AC:3x-2y-7=0 AB:x-5y+15=0或5x+y-29=0
5.已知直线L过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分 别交于A、B两点.
(1)求当△ABO的面积最小时,直线L的方程;
(2)求当|OA|+|OB|最小时,直线L的方程;
(3)求当原点O到直线L的最大时,直线L的方程.
作业
1.求过点(-1,2),且到原点的距离为
4
Leabharlann Baidu
5 5
的直线方程.
2x+11y-20=0或2x-y+4=0
2.已知直线L:x+y-2=0,一束光线过点P(0, 3 1) ,
以120°的倾斜角投射到L上,经过L反射,求反射 光线所在直线的方程.
x 3y 3 1 0
3.过直线2x+y+8=0和直线x+y+3=0的交点作一条 直线l,使它夹在两平行直线x-y-5=0和x-y-2=0之间 的线段长为 5 ,求该直线l的方程.
泰和中学 杨于忠
1.已知直线l过点P(-1,1)且与以A(-2,3)、B(3,2) 为端点的线段相交,直线l的斜率的取值范围.
k≤-2或k≥1/4
2.已知等腰Rt△ABC中, ∠C=90°, A(5,4), BC在 直线2x+3y-6=0上, 求AB和AC所在直线的方程.
AC:3x-2y-7=0 AB:x-5y+15=0或5x+y-29=0
5.已知直线L过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分 别交于A、B两点.
(1)求当△ABO的面积最小时,直线L的方程;
(2)求当|OA|+|OB|最小时,直线L的方程;
(3)求当原点O到直线L的最大时,直线L的方程.
作业
1.求过点(-1,2),且到原点的距离为
4
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5 5
的直线方程.
2x+11y-20=0或2x-y+4=0
2.已知直线L:x+y-2=0,一束光线过点P(0, 3 1) ,
以120°的倾斜角投射到L上,经过L反射,求反射 光线所在直线的方程.
x 3y 3 1 0
3.过直线2x+y+8=0和直线x+y+3=0的交点作一条 直线l,使它夹在两平行直线x-y-5=0和x-y-2=0之间 的线段长为 5 ,求该直线l的方程.
高中数学-圆的标准方程课件
开始
学点一
学点二
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
返回
返回
学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
返回
（2）设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆与坐标轴相切，
∴圆心满足a-b=0或a+b=0.
又圆心在直线5x-3y=8上，
∴ 5a-3b=8
5a-3b=8.
a=4
由 a-b=0 得 b=4.
∴圆心为C(4,4),半径为r=|a|=|b|=4;
由 a+b=0
a=1
5a-3b=8， 得 b=-1,
2
设所求圆的圆心坐标为C(a,b)， 则有
2a-b-3=0 b=- 1 (a-4), 2
a=2
解得
b=1,
∴C(2,1), r=|CA|= | (5 - 2)2 (2 - 1)2 10
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
学点一
学点二
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
返回
返回
学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
返回
（2）设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆与坐标轴相切，
∴圆心满足a-b=0或a+b=0.
又圆心在直线5x-3y=8上，
∴ 5a-3b=8
5a-3b=8.
a=4
由 a-b=0 得 b=4.
∴圆心为C(4,4),半径为r=|a|=|b|=4;
由 a+b=0
a=1
5a-3b=8， 得 b=-1,
2
设所求圆的圆心坐标为C(a,b)， 则有
2a-b-3=0 b=- 1 (a-4), 2
a=2
解得
b=1,
∴C(2,1), r=|CA|= | (5 - 2)2 (2 - 1)2 10
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
高一数学教学课件：圆的标准方程说课
方 法
第二十四页，编辑于星期日：二十二点 二十分。
3.已知三角形AOB的顶点坐标分别是 A(4,0),B(0,3),O(0,0),求三角形AOB的外接圆方程。
解：设所求外接圆的方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2
(4 a)2 (0 b)2 r 2
(0
a)2
(3 b)2
r2
(0 a)2 (0 b)2 r 2
所求圆的方程为
a 2
b
3 2
r
5 2
（x 2)2 ( y 3)2 25 24
第二十五页，编辑于星期日：二十二点 二十分。
P121 练习 3
解：设点C（a，b）为直径 PP
12
的中点，则
a 46 5 2
b 93 6 2
圆心坐标为（5，6）
r CP1
第九页，编辑于星期日：二十二点 二十分。
什么叫做圆？
深 入 探 究 获 得 新 知
第十页，编辑于星期日：二十二点 二十分。
圆的定义：平面内与定点距离等于
定长的点的集合（轨迹）是圆。
定点就是圆心，定长就是半径
哪几个要素定圆？ 圆心定位 半径定形
第十一页，编辑于星期日：二十二点 二十分。
问题二 :
2．如果圆心在
－8)，求它的外
C(a,b)，半径为r时 接圆1.待的定方系数程法．；
高中数学课件 圆的标准方程
上).
(1)圆心为A(1,1),半径为1的圆的标准方程为
.
(2)若圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=4,则圆心为
,
半径r=
.
(3)点P(1,2)与圆x2+y2=1的位置关系是
.
【解析】(1)由圆的标准方程特点知,该圆的标准方程为 (x-1)2+(y-1)2=1. 答案：(x-1)2+(y-1)2=1 (2)由圆的标准方程知,圆心为(3,2),半径r=2. 答案：(3,2) 2 (3)因为12+22=5>1,所以点P在圆x2+y2=1外. 答案：点P在圆外
【变式训练】求圆心C在直线y=2x上,且经过原点及点M(3,1) 的圆C的标准方程. 【解题指南】设出圆的标准方程,利用待定系数法求解.
【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则b=2a,由题意a2+(2a)2=(a-3)2+(2a-1)2, 解得a=1,故圆心坐标为(1,2),半径 r 12 22 5. 故圆的标 准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
【解析】1.选D.因为圆心为(1,-1),半径为2, 所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=4.
2.方法一：因为A(1,-1),B(-1,1),所以AB的垂直平分线方程
新人教版高中数学选择性必修第一册第二章圆的标准方程全套课件
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已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实
数a的取值范围． 解：由题意，圆心 C(a，－a)，半径 2 |a|，
点 A 在圆 C 上或圆 C 外部，
所以 （1－a）2＋（2＋a）2 ≥ 2 |a|，
所以 2a＋5≥0，所以 因为 a≠0，
a≥－52
.
所以 a 的取值范围为－52，0 ∪(0，＋∞).
(x0－a)2＋(y0－b)2__＞___r2 (x0－a)2＋(y0－b)2__＝___r2 (x0－a)2＋(y0－b)2__＜___r2
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已知圆心是点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判 断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 【解】 因为圆心是 C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2 ＝5， 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为|P1C|＝ （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝2 5 <5， 所以 P1(－1，0)在圆内；
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1234
解析：圆(x－1)2＋(y－2)2＝5 的圆心为(1，2)，半径为 5 ，A 错误； 圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B 错误； 易知 C 正确； 圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 的圆心为(－2，－2)，半径为 5 ，D 错误．故选 C.
已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实
数a的取值范围． 解：由题意，圆心 C(a，－a)，半径 2 |a|，
点 A 在圆 C 上或圆 C 外部，
所以 （1－a）2＋（2＋a）2 ≥ 2 |a|，
所以 2a＋5≥0，所以 因为 a≠0，
a≥－52
.
所以 a 的取值范围为－52，0 ∪(0，＋∞).
(x0－a)2＋(y0－b)2__＞___r2 (x0－a)2＋(y0－b)2__＝___r2 (x0－a)2＋(y0－b)2__＜___r2
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已知圆心是点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判 断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 【解】 因为圆心是 C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2 ＝5， 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为|P1C|＝ （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝2 5 <5， 所以 P1(－1，0)在圆内；
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1234
解析：圆(x－1)2＋(y－2)2＝5 的圆心为(1，2)，半径为 5 ，A 错误； 圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B 错误； 易知 C 正确； 圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 的圆心为(－2，－2)，半径为 5 ，D 错误．故选 C.
高中数学(新人教A版)选择性必修一：圆的标准方程【精品课件】
− + + =
.
的位置关系？
把点 , − 的坐标代入方程 − + + = 的左边，得
− + − + = ，点M的坐标满足圆的方程，所以点 在这
个圆上．
把点 −, − 的坐标代人方程 − + + = 的左边,得
r，圆的标准方程就确定了.
习题讲解
解:设所求的方程是 − + − = ①.
△ ABC的外接圆的圆心
因为A(5，1)，B(7，− 3)，C(2，− 8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方
是△ ABC的外心，即△
− + − = ABC三边垂直平分线
心C在直线： − + = 上，求此圆的标准方程.
另外，因为线段AB是圆
分析:设圆心C的坐标为(，).
由已知条件可知，|CA|=|CB|，且
设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线
l： − + = 上 − + =
．由此可求出圆心坐标和半径.
的一条弦，根据平面几何
问题2 圆的标准方程是什么？
假设：点M的坐标为（, ）
建：建立直角坐标系
y
设：用坐标表示有关的量
如图，在平面直角坐标系中，⨀A 的圆心A的坐
.
的位置关系？
把点 , − 的坐标代入方程 − + + = 的左边，得
− + − + = ，点M的坐标满足圆的方程，所以点 在这
个圆上．
把点 −, − 的坐标代人方程 − + + = 的左边,得
r，圆的标准方程就确定了.
习题讲解
解:设所求的方程是 − + − = ①.
△ ABC的外接圆的圆心
因为A(5，1)，B(7，− 3)，C(2，− 8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方
是△ ABC的外心，即△
− + − = ABC三边垂直平分线
心C在直线： − + = 上，求此圆的标准方程.
另外，因为线段AB是圆
分析:设圆心C的坐标为(，).
由已知条件可知，|CA|=|CB|，且
设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线
l： − + = 上 − + =
．由此可求出圆心坐标和半径.
的一条弦，根据平面几何
问题2 圆的标准方程是什么？
假设：点M的坐标为（, ）
建：建立直角坐标系
y
设：用坐标表示有关的量
如图，在平面直角坐标系中，⨀A 的圆心A的坐
高中数学《圆的标准方程》课件
(x a)2 (y b)2 r2
C
2.圆心 ①两条直线的交点（弦的垂直平分线） O
②直径的中点
C
3.半径 ①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
讲 课 人 ： 邢 启 强
A B
x
16
作业
课本第88页第2题，第3题 课本第89页第9题
讲
课
人
：
邢
启 强
17
2.4.2圆的一般方程
讲
课
人
：
邢
启 强
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。
讲
课 人 ：
圆心：直径的中点
半径：直径的一半
邢
启 强
13
典型例题 例4:以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆.
解：设所求圆的半径为r
y
则：r | 3 1- 4 3 - 7 | = 1 6
32 42
5
C
∴所求圆的方程为：
(x 1)2 ( y 3)2 196 25
[提示]P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2，圆心 C(3,0)， 圆心 C 到直线 x－y＋1＝0 的距离 d＝ |132－＋0＋－11|2＝2 2，所以点 P 到 直线 x－y＋1＝0 的距离的最大值为 2 2＋2，最小值为 2 2－2.
讲
课
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④
又圆心
D 2
,
E 2
到直线x-y=0的距离为
DE 2 2, 2
D E 2
由已知，得
2 2 ( 7)2 r2, 2
即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F）
⑤
又圆心
D 2
,
E 2
在直线3x-y=0上，
∴3D-E=0.
⑥
联立④⑤⑥，解得
D=-2,E=-6,F=1或D=2，E=6，F=1.
32 42
5
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r= 6 +1= 11 ，最小值为d-r= 6 -1= 1 .
5
5
55
（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.
2t
1. 5 2 t 5 2,
12 22
∴tmax= 5 -2，tmin=-2- 5 . （3）设k= y 2 , 则直线kx-y-xk+12=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，
§7.5 圆的方程
基础知识 自主学习
要点梳理 1.圆的定义
在平面内，到 定点 的距离等于定长的点的集合 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 圆心 和 半径 . 3.圆的标准方程 （x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）,其中 (a,b)为圆心, r 为半径.
4.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是
1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值
范围是
（
A.a＜-2或a＞ 2
B. 2 ＜a＜0
3 C.-2＜a＜0
3 D.-2＜a＜
2
解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 3
D）
转化为
x
a 2
2
+(y+a)2= 3 a2-a+1, 4
所以若方程表示圆，则有 3 a2 a 1 0,
故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0
或x2+y2+2x+6y+1=0.
探究提高 求圆的方程，一般用待定系数法.圆的 一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程 形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径 有关的条件，应优先选择圆的标准形式.
知能迁移1（2009·辽宁）已知圆C与直线
x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，
因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去
两点
9 5
,12 5
和
21, 5
28 5
(点P在直线OM上时的情况).
探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条 件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目 提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定 义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程; 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点 满足的关系式等.
2
2
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴ kO1M 2.
∴O1M的方程为y-3=2 x 1 ,
即：y=2x+4.
2
由方程组
y x
2x 4 2y 3
, 0
解得M的坐标为（-1，2）.
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2. 在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.
∵|CA|2=|CB|2，
∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，
∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
题型分类 深度剖析
题型一 求圆的方程
【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被 直线x-y=0截得的弦长为2 7 的圆的方程.
思维启迪 由条件可设圆的标准方程求解，也可设 圆的一般方程，但计算较繁琐.
题型二 与圆有关的最值问题 【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 思维启迪 根据代数式的几何意义，借助于平面 几何知识，数形结合求解.
解题示范 解 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3.
[1分]
（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线
5.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线
x+y-2=0上的圆的方程是
（ C）
A.（x-3）2+(y+1)2=4
B.（x+3）2+(y-1)2=4
C.（x-1）2+(y-1)2=4
D.（x+1）2+(y+1)2=4
解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.
∵圆心C在直线x+y-2=0上，∴b=2-a.
解 方法一 设所求的圆的方程是
（x-a）2+（y-b）2=r2， 则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为 a b ，
2 ∴r2= a b 2 ( 7)2,
2
即2r2=(a-b)2+14
①
由于所求的圆与x轴相切，∴r2=b2.
②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上，
∴3a-b=0.
③
联立①②③，解得
于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 （1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
3k 2 1.3 3 k 3 3 ,
k2 1
4
4
kmax
3 4
3 , kmin
3 4
3.
题型三 与圆有关的轨迹问题 【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上
运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP， 求点P的轨迹. 思维启迪 先设出P点、N点坐标，根据平行四边 形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标,代 入圆的方程可求.
得5y2-20y+12+m=0.
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= 12 m .
5 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2 27 4m . .
∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为5 1 ,3 ，半径r= 5 .
cos sin
1, 1,
（θ为参数）的普通方程为 ( C )
A.（x-1）2+(y+1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y-1)2=1
D.(x-1)2+(y-1)2=1
解析
移项, 得xy
1 1
cos ,由sin2 sin ,
cos2
1,
得(x+1)2+(y-1)2=1.
x2+y2的最小值是 (2 3)2 7 4 3.
[12分]
探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几
种类型：(1)形如 y b形式的最值问题，可转
xa 化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by形式的 最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形
如（x-a）2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点 到定点的距离的平方的最值问题.
D2+E2-4F＞0
,其中圆心为
D 2
,
E 2
,半径
r=
D2
E 2
2
4F
.
.
5.圆的参数方程
x y
a b
r r
cos圆心(a, sin
b),半径r,为参数.
6.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1） 根据题意，选择标准方程或一般方程 ；
（2） 根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组； （3） 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一
1 2
12
(3
2)2
5
1
(6)2 4
4m
.
∴m=3.∴半径为
5 2
,圆心为
1 2
,3.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
m 3 0,即m 3.
∴圆系方程可化为
x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.
知能迁移2 已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上
任意一点.
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值
和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值； （3）来自百度文库 y 2 的最大值和最小值.
x 1
解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的
距离为 d 3 (2) 4 0 12 6.
a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3，r2=9.
故所求的圆的方程是
(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
方法二 设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，
圆心为
D 2
,
E 2
,
半径为
1 2
D2 E2 4F.
令y=0，得x2+Dx+F=0,
由圆与x轴相切，得Δ=0，即D2=4F.
且过点（1，2）的圆的方程是
（A）
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
解析 设圆的圆心C（0，b）,则 (0 1)2 (2 b)2 =1,∴b=2.∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
4.（2008·重庆）曲线C：xy
4
∴3a2+4a-4＜0,∴-2＜a＜2 .
3
2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离
是
（D ）
A. 1
B. 3
C. 2
D. 3 2
2
2
2
2
解析 配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心（1，-1）
到直线的距离d=
111 3 2. 22
3.（2009·重庆）圆心在y轴上，半径为1，
y=x+b
与圆相2切 0时，b 纵 截3距, b取得最大值或6 最小值， [ 3分]
此时 2
解得b=-2± .
[5分]
2 6,
2 6.
（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由
平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交
点处取得最大值和最小值.
[ 9分]
又圆心到原点的距离为 (2 0)2 (0 0)2 2, [10分] 所以x2+y2的最大值是 (2 3)2 7 4 3,
般方程 . 7.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) （1）点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; （2）点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2＞r2 ; （3）点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2＜r2 .
基础自测
则圆C的方程为
（ B）
A.（x+1）2+(y-1)2=2
B.（x-1）2+(y+1)2=2
C.（x-1）2+(y-1)2=2
D.（x+1）2+(y+1)2=2
解析 由题意可设圆心坐标为（a,-a）,则
aa aa4
,解得a=1，故圆心坐标为
2
2
（1，-1），半径r=
11
2,
所以圆的方
2
程为（x-1）2+(y+1)2=2.
（2）设PQ的中点为N（x，y）， 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点， 连结ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
题型四 圆的综合应用 【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交
知能迁移3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0）， B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程； （2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程. 解（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式 可知，P点坐标为（2x-2,2y）. ∵P点在圆x2+y2=4上， ∴（2x-2）2+（2y）2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为（x-1)2+y2=1.
解 如图所示，设P（x，y），N（x0，
y0），则线段OP的中点坐标为
x 2
,
y 2
线段MN的中点坐标为
x0 2
3
,
y0 2
4
.
由于平行四边形的对角线互相平分，
故x 2
x0 3, 2
y 2
y0 2
4 ,从而xy00
x3 .
y4
N（x+3，y-4）在圆上，故（x+3）2+（y-4）2=4.
圆心M
1
2
，2(3
2
)
,
又圆心在PQ上.
∴ 1 +2（3- ）-3=0，∴ =1，∴m=3.
2
∴圆心为
1 2
,3
半径为
5 2
.
探究提高 （1）在解决与圆有关的问题中，借助 于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简 化思路，简便运算. （2）本题中三种解法都是方程思想求m值，即三 种解法围绕“列出m的方程”求m值.