周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章7分析力学

但是
dq dq dq dt dq dq dt 2 dt dt dt dt 2 dt
t=0, 变分和求导可以互换(等时变分), 不然不行
(全变分).
2 哈密顿原理
注意到拉格朗日方程与欧拉方程的形式完全一样 , 这就引申: 拉格朗日函数应满足
J y( x) F ( x, y, y ' )dx
a
b
设想函数关系y(x) 稍有变动, 从y变为y+y, 这里y称 为函数y(x)的变分. 泛函的值也随之而变, 其增量
J y y J y F ( x, y y, y 'y ' ) F ( x, y, y ' )dx
t1
t2
取极值的运动才是实际发生的运动. 这叫作哈密顿原理.
如认为力学系统在位形空间或相空间中的代 表点的初始和终末位形是给定的, 则哈密顿理中的 被积函数加上某个函数对时间t的全导数, 并不改变 动力学方程. 以s个广义坐标为直角坐标的空间叫作位形空间. 力学系统在任一时刻的位形可用位形空间中的一点 来表明 . 随着时间的运转 , 力学系统的位形发生改变 , 位形空间中的代表点就描出相应曲线 . 在一切可能 的曲线中,使作用量取极值的那一条曲线就代表真实 的运动.
t=0, 变分和求导可互换(等时变分), 不然不行(全变分).
哈密顿原理:力学系统从时刻t1到时刻t2的一切可能
的运动之中, 使哈密顿作用量
t2
1 , q 2 , , q s )dt S L(t , q1 , q2 ,, qs ; q
t1
取极值的运动才是实际发生的Leabharlann Baidu动.
a b
F F y y ' dx y y ' a
b
上式右边叫泛函的变分, 记做J[y].
F F J y y y'dx y y ' a
b
泛函的极值条件是变分J[y]=0.
F F J y y y'dx 0 y y ' a
b
一般来说, 两端点总是不变的,变分等于零,
F d F ydx 0 y dx y' a
b
这就是泛函取极值的必要条件, 叫做这个变分问题 的欧拉方程.
(3) 泛函导数
设函数y(x)的变分y只在x=x0 附近不为零. 我们把曲线y(x) 与曲线y(x)+y(x) 之间所夹的 面积记作. 我们把 0时 泛函J(x,y,y‘) 的变分 J与 之比的极限, 定义为泛函J在 点x=x0的泛函导数,
又
d d s s p q p q p q p q dt dt 1 1 1 1
s s
p q
1
s
t2
t1
H q p 1 t1
1 , q 2 , , q s )dt 0 L(t , q1 , q2 ,, qs ; q
t1
t2
这样,力学系统的动力学就归结为一个变分原理:力 学系统从时刻t1到时刻t2的一切可能的运动之中, 使哈 密顿作用量
1 , q 2 , , q s )dt S L(t , q1 , q2 ,, qs ; q
y+y

y(x)
c
x0 d
J
x0
J lim 0
显然
J
x0
d F d F 1 lim y d x 0 c y dx y ' d F d F 1 lim y d x dx y ' x c 0 y 0 F d F y d x y ' x0
在位形空间中描述力学系统的运动 , 这时时间 是外加的参数. 我们还可以增添时间轴, 把s维的位形
空间改为s+1维的推广的位形世界. 在这世界中,力学
系统的演变历史完全由一根曲线所代表 , 这曲线叫 作力学系统的“世界线”. 哈密顿变分原理形式十分紧凑, 在坐标变换下显 然不变. 它也容易移植于无限个自由度的力学系统
t2 s
H p p q
q dt 0
因端点是固定的, 所以
q
t2 s
t t1
q
t t 2
0
( 1,2,, s)
dt 0 q
H q p t1 1
第五章 分析力学
拉格朗日 哈密顿
§5.7 哈密顿原理
导读
• 泛函,变分的概念 • 欧拉方程 泛函导数 • 哈密顿原理
1 变分法初步
(1) 泛函
质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑
到B所需时间
A
B
x
ds J dt v A
1 y '2 2 gy
y=y(x)
dx
y
显然轨道不同J也不同. 一般地说,一个
B
变量J, 其值取决于函数y＝y(x), 就叫做 函数y(x)泛函,记做 J[y(x) ] .
(2) 变分 选取光滑轨道y＝y(x),使质点从A自由下
x A y=y(x)
滑到B所需时间最短, 即求泛函的极值,
就称为变分.
y B
先研究较简单的情况. 泛函J只依赖于单个自变量 x, 单个函数y(x)及其导数y’, 即
b
b F F dy F d F y ' dx dx y ydx y ' y ' dx y ' a a dx y ' a a b b b
F b F d F y ydx 0 y ' a a y dx y '
这样, 欧拉方程也可说是泛函J在任一点的泛函导数 等于零. 思考: 比较欧拉方程和保守力系的拉格朗日方程
(4) 变分运算法则
(a ) ( A B) A B (b) ( AB) BA AB A BA AB ( c) ( ) B B2 (d) (dq ) d(q )
H p p q
H q p
因p, q 在积分范 围内是任意的 , 而且 相互独立, 故得
H p q
小 结
变分运算法则
dq 注意: dt dq dq dt dq dq dt 2 2 d t d t d t d t
甚至非力学系统. 所以可以认为: 哈密顿变分原理是
比牛顿运动定律更为基本的普遍原理．
例1 试由哈密顿原理导出正则方程.
解:
H L L p q H p q
1
1
t2
s
s
s 由哈密顿原理, 得 H dt 0 p q t1 1 因为H是p,q,t的函数,并且 t = 0 , 所以 t2 s H H p q p q dt 0 p q p q t1 1