非线性分数微分方程解的若干存在性结论
一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
只要右 端是 有意 义 的 ， 中 Ｆ（ｔ是 Ｇ ｍ 其 Ｏ ） ａ ｍａ函数 ．
定义 ２ 连续 函数 Ｙ （ ， ） ÷ ： ０ ∞ － Ｒ的 ＞０阶
Ｒｅ ａｎ—Ｌｏｖｌ 分 数微分 定 义为 ｉｍ ｎ ｉ ｉｅ ｕ ｌ
文 章 编 号 ：１０ ５ ６ （ ０２ ０ ０ ２ ０ ０ ０— ４ ３ ２ １ ）２— ０ ５— ４
一
类 非 线性 分 数 阶微 分 方 程 边值 问题 正解 的存 在 性
宋利梅
（ 应学院数学学 院， 东梅州 ５ ４ １ ） 嘉 广 １０ ５
摘要 ： 究 了一类非线性分 数阶微分 方程边值 问题正 解的存在 性．主要 方法是锥 内的 Ｋ ａｎｓｌ ｓｉ 研 ｒｓｏｅ’ｋｉ不动点定 理 的 应用．结果表 明：只要非线性项在某些有界集合上 的“ 高度 ” 是适 当的，该 问题有 ｎ个正解 （ ｎ是 一个任意 给定 的正
１ 定 义 和 引 理
定义 １ 连续 函数 Ｙ （ ， ） Ｒ 的 ＞ ：０ ∞ 一 ０阶
其 中 ｃ ∈ Ｒ （ ＝１２ … ，Ⅳ） ｉ ，， ，Ⅳ 是 大 于 或 等 于 Ｏ ｔ
的最小 整数 ．
引理 ３ 设 ｈ∈ ｃ［ １ ， ≤３ ｏ，］ ２＜ ，则分 数 微
分方程
整数） ．
关键词 ： 分数阶微 分方 程；边值 问题 ；正解 ；存在 性
中 图 分 类 号 ： １５ ８ ０ ７ ． 文献标志码 ： Ａ ｄｉ１ ．０ ４ ｊｊ ｎ ｎ ２ １ ．５ ０６ ｏ：０ ６ ５／．ｓ ｕ ．０ ２０ ．Ｏ ｃ
考 察下 列非 线性 分数 微分 方程 边值 问题 正解 的 存 在性 与 多解性 ：
一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性
一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性带有非局部项的Allen-Cahn方程是一类重要的非线性偏微分方程，研究它的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将介绍关于带非局部项的Allen-Cahn方程解存在性的一些主要研究工作和结果。
Allen-Cahn方程是一个经典的描述相分离现象的模型，它在物理、化学、材料学等领域中具有广泛的应用。
方程的基本形式为：ε²∆u-f(u)+λ∇W*u=0(1)其中，u(x)是未知函数，表示时间和空间变量，ε是小的正数，f(u)是一个给定的非线性函数，λ是常数，∆是拉普拉斯算子，W是一个权重核算子，*表示卷积操作。
带有非局部项的Allen-Cahn方程是在经典Allen-Cahn方程的基础上引入了非局部项的一个扩展。
非局部项代表了系统中物质的非局部相互作用，可以更好地描述物质的长程相互作用和相界面的形成过程。
关于带有非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性的研究工作主要集中在两个方面，一个是存在性的充分条件，另一个是存在性的证明方法。
首先，对于存在性的充分条件，很多学者通过构造合适的能量函数，证明了一些条件下带有非局部项的Allen-Cahn方程存在解。
其中一个经典的充分条件是“能量估计”，也称为Ginzburg-Landau能量估计。
根据能量估计，当能量的衰减速度快于等于非局部项的增长速度时，方程存在解。
此外，还有学者通过研究方程的动力学行为，证明了带有非局部项的Allen-Cahn方程的解存在。
其次，关于存在性的证明方法，主要有两类。
一类是基于变分方法的证明方法，另一类是基于解的连续性的证明方法。
变分方法是一种广泛应用的证明方法，它通过构造适当的变分问题，证明了方程的解存在。
而基于解的连续性的证明方法则是先证明该方程的解存在于一定的函数空间中，然后通过限制序列的紧性，得到方程的解存在。
在具体的研究中，学者们从不同的角度出发，针对不同类型的非局部项，展开了许多具体的研究。
非线性分数阶微分方程解的存在性
４ １０ ） ２ ０ １
要 ： 论 了一类对偶 Ｒｅ ａｎ ｉ ｖｌ 讨 ｉ ｎ —Ｌｏ ｉｅ型分数 阶微分 方程 解的存在性 ， ｍ ｕｌ 利用 Ｓｈｕｅ 不动 点定理 获得 了其解存在 ｃａｄｒ
的充分条件 ．
关 键 词 ：分 数 阶 微 分 方 程 ；非 线性 ；存 在 性 ；边值 问题 中图 分 类 号 ：Ｏ ７ ．４ １５ １ 文 献标 识码 ： Ａ Ｄ Ｉ ０ ３６ ／ ｊ ｎ １７ Ｏ ：１ ．９９ｊ ｓ ． ２—８７ ．０２ ０ ． ２ ．ｓ ６ １３２ １ ．２０ ０
Ｏ１ ｔ ａ （ ）＋ｇ ｔ ２ （ ）＝Ｏ ０＜ ｔ＜ １ ｕ ｏ ， ， （ ）＝ ０ Ｄ “ １ ， （ ）＝ ａ （ Ｄ Ｍ ） （ ．） ２ １
的唯一解是 ｕ ￡ ＩＧ ，） （） ｓ 其中 （ ）＝ （ ｓｇ ｓ ｄ ，
Ｊ ０
ｒ ａ （）
＇ ｏ＜ ＜ ｌ ，
论带 分数 阶边 值 条件 的对偶 系统 ． 本篇论 文 中将讨 论 如下 的一个 对偶 系统 的解 的存在 性 ． 在
Ｄ ｘ ｔ ＋－ ｔＹ ｔ）＝０ ｔ （ ，） ￣（） 厂 ， （） （ ， ∈ ０１，
（） ０
＝
＋ｇ ｔ （，
＇） １’ （ ， ）
。
０ Ｄｘ １ ， ｒ （ ）＝
Ｊ Ｕ √ Ｕ
为 了研 究 的方 便 ， 我们先 给 出两 条假 设条 件 （ １存在一个非负函数 ａ ｔ Ｅ Ｌ Ｏ １ 使得 ｌ（， ｌ ｎ ｔ ＋ ｌ ｉ， ＞００＜ ＜ １ Ａ） （ ） （ ，） ｆｔ ） ≤ （） ， ，
（ ２ 存在一个非负函数 ｂ ￡ ∈ Ｌ Ｏ １ 使得 ｌ （ ， ｌ ｂ ￡ ｌ ｛， ＞Ｏ０＜ ＜１． Ａ） （） （ ，） ｔ （）＋ ｇ ） ，
非线性分数阶微分方程耦合系统三点边值问题解的存在性
非线性分数阶微分方程耦合系统三点边值问题解的存在性姜小霞;欧阳自根;彭湘凌【摘要】讨论了非线性分数阶微分方程耦合系统的三点边值问题，利用Green函数的性质，将其转化为等价的积分方程耦合系统，应用Schauder不动点定理得到解的存在的充分条件。
%In this paper,we study the three-point boundary value problem to a coupled system of nonlinear fractional differential equations. By the means of the Green’s function,the system can be reduced to the equivalent integral equation. Then we obtain some sufficient conditions for the existence of the solutions for the system by using the Schauder fixed-point theorem.【期刊名称】《南华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】6页(P94-99)【关键词】耦合系统;边值问题;Riemann-Liouville分数阶导数;Schauder不动点定理【作者】姜小霞;欧阳自根;彭湘凌【作者单位】南华大学数理学院，湖南衡阳421001;南华大学数理学院，湖南衡阳421001;南华大学数理学院，湖南衡阳421001【正文语种】中文【中图分类】O175key words：coupled system;boundary value problem;Riemann-Liouville fractional derivative;Schauder fixed-point theorem近几十年来，分数阶微分方程在物理、机械、化学、工程等学科的应用越来越广泛，许多学者对分数阶微分方程进行了研究[1-6]，还有些学者对分数阶微分方程耦合系统进行了研究[7-11].例如Su[9]研究了以下分数阶微分方程耦合系统两点边值问题其中是Caputo型分数阶导数，f,g:[0,1]×R→R是连续函数，作者应用Schauder不动点定理证明了其解的存在性.在本文中，将对下面一类非线性分数阶微分方程耦合系统三点边值问题解的存在性进行研究其中1<αi<2,i=1,2,p,q,γ>0,0<η<1,α1-q≥1,α2-p≥1,γηαi-1<1,D是标准的Riemann-Liouville分数阶导数，且f,g:[0,1]×R×R→R是连续函数.利用Green函数的性质和Schauder不动点定理，得到分数阶微分方程耦合系统(1)～(2)解存在的充分条件.令I=[0,1],C(I)表示为定义在I上的所有连续函数所构成的集合，并令，则X为Banach空间，其中范数定义为为Banach空间，其范数为，这里0<p,q<1，那么(X×Y,‖·‖X×Y)也是Banach空间，且范数为‖(x,y)‖X×Y=max{‖x‖X,‖y‖Y}.由此容易得到对于任意αi>1,若x(t)∈X，则tα1-1x(t)∈X，若y(t)∈Y，则tα2-1y(t)∈Y.定义1[1,10] 函数f:(0,)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分为其中Γ(α)为Gamma函数，右端在R+上逐点有定义.定义2[1,10] 连续函数f:(0,)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶导数为其中α>0，n=[α]+1，Γ(α)为Gamma函数，右端在R+上逐点有定义.由定义2，有引理3[1,5] 令α>0，如果u∈C(0,1)∩L(0,1)，那么分数阶微分方程有一个解为u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈R,i=1,2,…,N,N为大于或等于α的最小整数引理4[1,5] 假设u∈C(0,1)∩L(0,1)，且分数阶导数α>0，那么IαDαu(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈R,i=1,2,…,N,N为大于或等于α的最小整数定理5(Schauder不动点定理)[12] 设P是E中有界凸闭集，T:P→P全连续，则T在P中必具有不动点.在本文中，假设f(t,x,y)，g(t,x,y)满足下列条件：(H1)f(t,x,y)，g(t,x,y)∈C(I×R×R,R)，f(t,x,y)，g(t,x,y)都是关于x和y的连续函数，且f(t,x,y)，g(t,x,y)对t∈I是可测的.(H2)f(t,x,y)，g(t,x,y)都是关于x和y的单调不减函数，存在非负函数a(t)，b(t)，c(t)，d(t)∈L(0,1)，使得其中p1,p2,q1,q2≥0，p1+p2<1，q1+q2<1.为方便起见，引入以下记号：，，，，，s.此外给出一些本文需要用到的引理.引理6[10] 问题(1)～(2)等价于以下列积分方程其中令那么问题(1)～(2)等价于下列积分方程记那么因此，只需研究积分方程(12)解的存在性.引理7 对任意是连续函数，且.证明下面只证明(t,s)>0，其他证明是相类似的，这里就不重复证明.很容易得到当max{t,η}<s≤1时，；当t<s≤η时，；当；当0≤s≤min{t,η}<1时，有于是.由式(8)～式(9)，容易得到引理对变量t∈(0,1)是单调不增的函数，当s≤t≤1时，；当0≤t≤s时，.即对任意的t∈(0,1)，有.由引理8，有下面令其中那么‖u(t)‖X≤r,‖v(t)‖Y≤r,也就意味着定义K上的算子T：Tw(t)=(T1v(t),T2u(t)),其中下面给出本文的主要结论和证明.定理9 若条件(H1)，(H2)成立，则问题(1)～(2)有一个解.证明证明算子T:K→K是一个完全连续算子. 第一步，证明算子T:K→K.ds于是同理，容易得到‖T2u(t)‖Y≤ν+Λ2rq1+q2≤r，因此‖Tw(t)‖X×Y≤r.第二步，证明算子T是连续算子.令wn(t)=(un(t),vn(t))是K中的序列，且满足，对t∈[0,1]，有tα1-1un(t)，tα1-1u(t)∈X，tα2-1vn(t)，tα2-1v(t)∈Y，因为f(t,x,y)，g(t,x,y)对于x和y都是连续函数，Gi(t,s)对于s∈[0,1]是一致连续的且满足因此，对任意的ε>0，t∈I，存在正整数N1，当n>N1时，有由式(16)～式(17)，有又因为T1vn(t)，T1v(t)∈X，于是对于上述ε，存在N2>0，当n>N2时，有由式(20)～式(22)有取N=max{N1,N2}，结合式(19)和式(23)，对于上述ε，当n>N，有即用同样的方式可得到结合上述两式，有所以T是K上的连续算子.最后，证明T是等度连续的.只需证明对于任意w(t)∈K，和任意的0<t1<t2<1，当t1→t2时，有Tw(t1)→Tw(t2)即可.接下来分以下三种情况来考虑：1)0<t1<t2<η；2)0<t1<η<t2；3)0<η<t1<t2.下面只对1)进行证明，2)和3)证明与1)完全类似，不再重复. 令，则相类似的可以得到于是算子T是完全连续算子.由Schaudar不动点定理可知，方程(1)～(2)存在一个解.[1] Kilbas A A,Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and applications of fraction al differential equations[M].Amsterdam:Elsevier Science B V,2006.[2] Lakshmikantham V.Theory of fractional functional differential equations [J].Nonlinear Anal,2008,69(10):3337-3343.[3] Agarwal R P,Lakshmikantham V,Nieto Juan J.On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty[J].Nonlinear Anal,201 0,72(6):2859-2862.[4] Podlubny I.Fractional differential equations[M].San Diego:Academic Pre ss,1999.[5] Miller K S,Ross B.An introduction the fractional Calculus and fractional e quations[M].New York:Wiley,1993.[6] Agrawal R P,Zhou Y,He Y.Existence of fractional neutral differential equa tions[J].Compul.And Math.with appl,2010,59(3):1095-1110.[7] Bai C Z,Fang J X.The existence of a positive solution for a singular coupl ed system of nonlinear fractional differential equations[J]p ut,2004,150(3):611-621.[8] Chen Y,An H L.Numerical solutions of coupled Burgers equations with ti me-and space-fractional derivatives[J]put,2008,200(1):215-225.[9] Su X W.Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fract ional differential eququations[J].Appl.Math.Lett,2009,22(1):64-69.[10] Ahmad B,Nieto J J.Existence results for a coupled system of nonlinear f ractional differential equations with three-point boundary conditions[J].Comput.Math.Appl,2009,58(9):1838-1843. [11] Zhou Y.Existence and uniqueness of solutions for a system of fractiona l differential equations[J].J.Frac.Calc.Appl.Anal,2009,12(2):195-204. [12] 郭大钧.非线性泛函分析[M].2版.济南:山东科学技术出版社,2001.。
一阶非线性常微分方程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理
⼀阶⾮线性常微分⽅程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理上⼀节简单介绍了可求解的⼀阶常微分⽅程的解法，因为⼤部分⾮线性⽅程是不可解的，所以需要给出解的存在性的证明。
本节主要介绍⼀阶⾮线性常微分⽅程Cauchy问题（E）dydx=f(x,y),y(x0)=y0.解的存在性定理Picard-Lindelof定理（有的书上称它为Cauchy-Lipschitz定理）. 对⼀阶常微分⽅程解的存在性理论作出重要贡献的数学家有Cauchy、Lipschitz、Picard、Lindelof、Peano等，其中Picard提出的Picard迭代法尤其值得关注。
据传Picard证明Picard—Lindelof定理的原始论⽂⾜⾜有三四百页，后来数学家Banach把Picard的⽅法抽象出来证明了著名的Banach不动点定理。
Banach不动点定理是分析学中最重要的定理之⼀，也是⽤的最多的定理之⼀，它在线性⽅程组求解迭代⽅法的收敛性、常微分⽅程的两点边值问题、隐函数定理、Lax-Milgram定理甚⾄代数⽅程解的存在性等问题中均有重要应⽤。
许多微分⽅程（组）通过转化为等价的积分⽅程再利⽤不动点理论来证明解的存在性。
本节也采⽤这⼀框架来探索⽅程（E）解的存在性。
为此，⾸先利⽤Picard迭代给出Banach不动点定理的证明。
定理1 (Banach) 设X为Banach空间（即完备的赋范空间，完备的意思指所有的Cauchy列均收敛），f:X→X为压缩映射，即存在常数k,0<k<1，对任意x,y∈X有‖f(x)−f(y)‖≤k‖x−y‖,则映射f:X→X有且只有⼀个不动点x∈X.证明：任取x0∈X，构造Picard迭代x n+1=f(x n),n≥0.则‖x n+1−x n‖=‖f(x n)−f xn−1‖≤k‖x n−x n−1‖≤⋯≤k n‖x1−x0‖.设m>n≥0，由三⾓不等式和上式得‖x m−x n‖≤m−1∑p=n‖x p+1−x p‖≤k n1−k‖x1−x0‖,当m,n→∞时，‖x m−x n‖→0, 故序列{x n}为Cauchy列，由X的完备性知存在x∞∈X使得lim f:X\to X满⾜Lipschitz条件，显然连续.故x_{\infty}=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\to\infty}x_{n})=f(x_{\infty}).存在性得证。
一些非线性微分方程的存在性与多重性
一些非线性微分方程的存在性与多重性
本文主要考虑一些非线性微分方程(包括波动方程和椭圆方程)解的存在性与多重性问题.所使用的研究方法主要是非线性分析中的拓扑度理论.首先,我们考虑一类非线性变系数波动方程的Dirichlet-Neumann边值问题,通过分析变系数波算子的谱特征,在系数满足一定条件下,证明了变系数波算子的可逆性以及逆算子的紧性,然后利用Leray-Schauder度理论得到了时间周期解的存在性.进一步,在外力具有某种对称性条件下,我们还得到至少存在两个时间周期解.然后,我们考虑了非线性常系数波动方程的Neumann边值问题,通过引入适当的子空间,证明了波算子在子空间上的可逆性以及逆算子的紧性,进而利用拓扑度理论得到了时间周期解的存在性和多重性.最后,我们考虑变系数椭圆方程的
Dirichlet-Neumann边值问题,在系数满足适当的条件下证明了变系数椭圆算子的可逆性以及逆算子的紧性,利用拓扑度理论得到了解的存在性和多重性.。
微分方程解的性质
微分方程解的性质微分方程是描述自然现象和数学模型中的变化的重要工具。
解微分方程可以揭示方程所描述的现象的性质和规律。
在解微分方程的过程中，有一些重要的性质和定理可以帮助我们理解和分析微分方程的解。
1.合解和特解：微分方程的解可以分为合解和特解两种情况。
合解是指满足微分方程和初始条件的全体解，而特解是指满足微分方程的一个解。
通常情况下，我们会通过确定初始条件来求解微分方程得到特解，并将特解与合解进行比较。
2.初始值问题和边值问题：初始值问题是指给定微分方程的初始条件，包括一个特定的点和该点处的导数值。
边值问题是指给定微分方程在一些特定点上的值。
3.唯一性定理：微分方程解的唯一性定理是指在一定条件下，微分方程的解是唯一的。
这个定理对于解决初始值问题非常重要。
常见的唯一性定理有皮卡-林德洛夫定理和解的延拓性定理。
4.连续性和可微性：解的连续性和可微性是解微分方程的重要性质。
如果微分方程的右端函数满足一定的连续性和可微性条件，那么解的连续性和可微性也满足相应条件。
这些性质在实际问题中通常有很重要的意义。
5.存在性定理：存在性定理是指在一定条件下，微分方程存在解。
一般来说，能保证微分方程解的存在性的条件是方程的右端函数满足连续性和局部利普希茨条件。
6.相合性和渐近性：微分方程解的相合性和渐近性是指解在无穷远处的行为。
相合性指的是解在无穷远处与条特定曲线趋于重合；渐近性指的是解在无穷远处无穷趋近于一些值。
这些性质对于理解微分方程解的整体行为非常重要。
7.稳定性和破碎性：微分方程解的稳定性和破碎性是指解在一定条件下的行为。
稳定性指的是解在微小扰动下保持不变或者回到原来的状态；破碎性指的是解对微小扰动非常敏感，即使微小扰动也会产生巨大的变化。
8.周期性：微分方程解的周期性是指解在一定条件下以一些固定的周期重复出现。
周期性的研究对于循环现象和振动现象的描述非常重要。
9.收敛性和发散性：微分方程解的收敛性和发散性是指解在无穷远处的行为。
高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性
第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有 序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微 分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要 实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一 性.其中A 'A 是 单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文 研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是 的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数， 并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可 见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零 元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合 算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下 的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明 首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩 伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文 献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单 减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一 个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打 一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。
一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性
％
其 中右边 是在 （ ， 上逐点定 义 的 ． ０ ∞）
ｌ ・
）． ａ ｓ
定 义 １２ ］ 函数 Ｙ （ ，Ｏ 一 勰 的 ａ＞０阶 Ｒｅ ａｎ—Ｈｏｖｌ 微分是 指 ． ｔ ：０ Ｏ） ｉ ｎ ｍ ｕｉｅ ｌ
【 （ ） （ ） ２（ ） （ ） ０ ｕ Ｏ ＝ｕ １ ＝／ ０ ： ０ ＝ ． ，
（１ ０） 一
‘
正解的存在唯一性 ， 其中 ３ ａ 是一个实数 ， ＜ ４ 并且 瞒 ＋ 是一个标准的黎曼 一 刘维尔微分 ．
１ 预 备知识
为 了方 便先介 绍一些 分数 阶微积分定 义 和理 论 ， 些定义 可在文献 ［］ 这 ９ 中找 到 ．
第 ２ 卷第 ６ ９ 期
Ｖ０ ． ９ Ｎ ． １２ ｏ ６
长春 师范学 院学报 （ 自然科学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｎｅｕ ｏ ａ Ｕ ｉ ｒｔ（ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏｒａ ｏ Ｃ ａｇｈｎＮ ｒ ｌ ｎ ｅ ｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） ｍ ｖ ｓｙ ｕ ｌ ｅ
２１年 ｌ ００ ２月
Ｄ ｃ ２ １ ｅ 程边 值 问题解 的存 在性
胡卫敏 ，苏 比哈 提
（ 新疆伊 犁师 范学 院数 学系 ，应 用数 学研究所 ，新疆伊 宁
［ 摘 要］ 利用 Ｓｈｕｅ 不动点定理给出下面非线性分数 阶微分方程边值 问题 ｃａｄｒ
８５０ ） ３００
。
［ 关键词］ 分数阶微分方程 ； 格林 函数 ；ｃａｄｒ Ｓｈｕｅ不动点定理 ； 边值问题
［ 中图分类号］ １ ． ０７ ０ ５８
一类非线性分数阶微分方程解的存在性
第39卷第5期2020年10月怀化学院学报JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITYVol.39.No,50ct.2020一类非线性分数阶微分方程解的存在性周珏良,何郁波,谢乐平（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化418008）摘要：运用Banach压缩映射原理讨论一类非线性Caputo分数阶微分方程在无限区间（0,+®）上解的存在性和唯一性.关键词：非线性分数阶微分方程；Banach压缩映射原理；存在性中图分类号：0177.91文献标识码：A文章编号：1671-9743（2020）05-0044-041引言经典整数阶的微积分是现代数学分析的基石，而于19世纪末兴起的分数阶微积分的理论随着科技的发展逐渐丰富起来，形成了现在的多种分数阶导数的定义分数阶微积分可视为经典整数阶微积分的一种推广,即将经典意义下整数阶的微积分运算推广到分数阶的微分和分数阶的积分，也可以称之为“非整数阶微积分”叫由于分数阶微分算子不同于整数阶微分算子而具非局部的特点，导致分数阶微分算子非常适合描述具遗传和记忆特性的材料，因此其应用的领域包含了反应扩散系统、弹性力学、生物流变学、生物传热学、非牛顿流体力学、多孔介质力学和信号处理及自动控制等领域^.本文主要研究如下涉及Caputo分数阶导数的非线性微分方程在无限区间（0,+8）上解的存在性和唯一性，(1.1)u(O)=u o,其中:a e（0,1）,^e[0,1）,并且伙*;'。
；「D：是Caputo分数阶导数;Ut）eY,Y是实Banach空间e C（JxYx Y,Y）,re[0,l）.2预备知识下面给出本文将用到的Riemann-Liouville分数阶积分、Caputo分数阶导数的定义和相关性质.定义2.1[1]函数％（/）:（0,+8）—>7?的a>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为收稿日期：2020-02-11基金项目：湖南省教育厅优秀青年项目"基于格子Boltzmann模型的几类非线性复杂系统解的数值分析与仿真”（19B450）;湖南省教育厅一般项目"一类差分系统周期解和同宿轨的存在性与多重性研究”（19C1465）;湖南省教育厅一般项目"三角代数及其上映射的研究”（19C1474）；怀化学院重点项目"几类非线性偏微分方程（组）的格子BGK模拟”（HHUY2019-03）.作者简介：周珏良，1993年生，女，辽宁丹东人，助教，研究方向：非线性泛函分析；何郁波，1979年生，男，湖南岳阳人，副教授，研究方向：微分方程数值解；谢乐平，1976年生，男，湖南宁乡人，讲师，研究方向：代数学.第39卷第5期周珏良，等：一类非线性分数阶微分方程解的存在性•45•/；%(/)=『&)[(—s)4%(s)(Zs.定义2.2闪连续函数％(t):(O,+8)-R的a>0阶Caputo分数阶导数定义为当"N时，n=[a]+l,[a]表示实数a的整数部分；当ctwN时，特别地D°.C^0,其中C为任意常数.弓|H2.1ra设a>0,%(/)eCZ[0,+8),则有n_1@)/c\特别地，当ae(0,1)时,(学。
非线性CaputoＧHadamard型分数阶微分包含正解的存在性
收稿日期:２０２２Ｇ０６Ｇ０５.基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１９６１０６９);新疆优秀青年科技人才培训计划项目(２０１９Q ０２２);新疆维吾尔自治区自然科学基金(２０１９D ０１A ７１);新疆维吾尔自治区高校科研计划(X J E D U ２０１８Y ０３３);新疆师范大学青年拔尖人才计划项目.作者简介:马玉花(１９９７ ),女,硕士生.㊀∗通信作者:顾海波(１９８２ ),男,教授,硕士生导师.E Ｇm a i l :h b gu _m a t h ＠１６３．c o m .马玉花,顾海波,李㊀宁．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性[J ]．南昌大学学报(理科版),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．MA Y H ,G U HB ,L IN．E x i s t e n c e o f P o s i t i v e S o l u t i o n s f o rN o n l i n e a r C a pu t o ＧH a d a m a r dF r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h I n t e g r a l B o u n d a r y V a l u eC o n d i t i o n s [J ]．J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e ),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性马玉花,顾海波∗,李㊀宁(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐㊀８３００１７)㊀㊀摘要:通过多值映射的不动点定理,证明了如下一类带有积分边值条件的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含问题多个正解的存在性:C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α代表C a p u t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.关键词:C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含;边值条件;正解;不动点定理中图分类号:O ７１５．１４㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００６Ｇ０４６４(２０２３)０２Ｇ０１１８Ｇ０７E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r n o n l i n e a r c a pu t o Ｇh a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n s MA Y u h u a ,G U H a ib o ∗,L IN i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sS c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m qi ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :B y t h e f i x e d p o i n t t h e o r e mo fm u l t i Ｇv a l u e dm a p p i n gs ,w e o b t a i n t h e e x i s t e n c e t h e o r e mo f a t l e a s t t w o p o s i t i v e s o Ｇl u t i o n s f o r t h e f o l l o w i n gp r o b l e mo fC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o nw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n :C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α,w h e r e C H D αd e n o t e s t h eC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑRңp (R )i s am u l t i v a l u e d m a p ,p (R )i s t h ef a m i l y o f a l l s u b s e t s o f R ．K e y Wo r d s :C a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n ;b o u n d a r y v a l u e c o n d i t i o n ;p o s i t i v e s o l u t i o n s ;f i x e d p o i n t t h e Ｇo r e m㊀㊀分数阶微积分是应用数学中最重要的领域之一,它将现有的整数阶的微分算子推广到任意阶的微分算子.近年来,关于分数阶微分方程问题引起了人们广泛的关注.分数阶微分方程应用于反常扩散㊁流体力学㊁生物医学㊁最优控制等领域.相比起整数阶的微分算子,分数阶微分算子具有全局性,从而可以准确描述客观世界的发展规律.伴随着自然科学及社会科学发展㊁复杂工程应用需求的增加,分数阶微分方程已不能满足人类探索发展规律的需求,而微分包含可以看作是分数阶微分方程的推广,它可以对复杂的现象进行更加准确的刻画.对于微分包含解的存在性一直是人们研究的热点问题,同时人们已经不再满足去寻找微分包含的一般解,而是想找到更具有现实意义的正解.有关分数阶微分包含的理论研究有很多[１－１３].在现有的成果当中,有关分数阶微分包含正解的存在性定理的结果并不是很多[８－９],因此,对于微分包含具有多个正解的存在性研究是第４７卷第２期２０２３年４月㊀㊀㊀㊀㊀㊀南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e )V o l ．４７N o ．２A pr ．２０２３㊀必要的.文[６]中,作者结合变分方法和临界点理论,给出了下面一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性.－[a ＋b (ʏa |Ñu |２d x )m ]Δu ＝f (x )u －γ－λu p －１,x ɪΩu ＞０,x ɪΩu ＝０,x ɪ∂Ωìîíïïïï其中Ω是R N (N ȡ３)是一个有界开区域且具有光滑边界阶∂Ω,a ,b ȡ０且a ＋b ＞０,m ＞０,λȡ０,１＜p ɤ２,０＜γ＜１.系数函数f 为非零非负函数.文[７]中,作者利用不动点定理,给出了下面一类非线性加权问题正解的存在性.cD η,ψ,ω０＋z (t )＝f (t ,u (t )),０＜t ɤ１z (０)＝z ０＞０{其中c D η,ψ,ω０＋是加权广义η阶的C a p u t o 分数阶导数,０＜η＜１,连续函数f :[０,１]ˑR ＋ңR ＋,严格增函数ψ:[０,１]ңR ＋,加权函数ω(t )ʂ０且满足ω－１(t )＝１ω(t).文[８]中,作者通过多值映射的压缩不动点定理,给出了下面非线性分数阶微分包含正解的存在性定理.C H D α０＋u (t )ɪF (t ,u (t )),t ɪ(０,１)u (０)＝u ㊆(０),u (１)＝λʏ１０u (s )d s ìîíïïïï其中C H D α０＋是α阶的Ca p u t o 分数阶导数,２＜α＜３,０＜λ＜２,F :[０,１]ˑR ңp (R )是具有紧值的多值映射,p (R )是R 的非空子集.受以上结果的启发,本文将研究如下带有积分边值的分数阶微分包含多个正解的存在性问题C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤex (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(１)其中C H D α代表C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.本文将利用[１０]中G u o －K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理,给出带积分边界值条件的分数阶微分包含方程(１)的正解存在的充分条件.本文具体安排如下:在第１节中,我们给出了相关预备知识,包括问题描述㊁基本定义和相关引理,以及本文所需的条件假设;在第２节中,我们利用不动点定理给出了(１)存在多个正解的充分条件;在第３节中,举出一个例子说明主要结果的有效性;在第４节中,对文章进行了总结.１㊀预备知识㊀㊀这部分我们将介绍一些相关的基础概念及定义,并介绍了一些对后续正解的存在性定理非常重要的引理.首先,我们将介绍一些关C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微积分相关的内容,定义１．１[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[)ңR 的α＞０阶的H a d a m a r d 分数阶积分为H I αx (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１)x (s )d ss,n －１＜αɤn㊀㊀定义１．２[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[]ңR 的α＞０阶的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数导数为C H D αx (t )＝１Γn －α()ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１),δn(s )d s s,n －１＜αɤn其中δn ＝t d d t æèçöø÷n ,n ɪN .下面我们将介绍一些关于多值映射的基本概念.令(X , )是一个赋范线性空间,一个多值映射F :９１１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性X ңp (X )满足:(１)若对于任意的x ɪX ,F (X )是闭的(凸的),则称多值映射F 是闭的(凸的).(２)若对于X 上所有的有界子集B ,有F (B )＝ɣx ɪBF (x )是有界的,则多值映射F 在有界集上是有界的.(３)若对于X 上所有的有界子集B ,F (B )是相对紧的,则多值映射F 是全连续的.定义１．３[１５]㊀(X , )是一个赋范线性空间,多值映射Θ:X ңp (X ).若对每一个x ０ɪX ,集合Θ(x ０)是X 的一个非空闭子集,对于X 中的每个包含Θ(x ０)开子集B ,存在x ０的一个开邻域V ,使得Θ(V )⊆B ,则称Θ在X 上是上半连续的.定义１．４㊀若对于每个x ɪC ([１,e ],R ),称S F ,x 是F 的选择集合,定义为:S F ,x ＝f ɪL １([１,e ],R ):f ɪF (t ,x (t )),对于几乎处处的t ɪ[１,e ]{}㊀㊀定义１．５㊀假设０＜αɤ１,λȡ０,d ＞０,x ɪC ([１,e ]),满足x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d 并且存在f ɪS F ,x ,使得x (t )满足积分方程:x (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,t ɪ[１,e ]则x 是以下边值问题的唯一解C HD α１x (t )＝f (t ),１＜t ɤe x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {㊀㊀定义１．６[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,C 是X 的闭凸子集,P c p ,c (C )表示C 中所有非空紧凸子集集合.对于任意有界子集Ω⊂X ,它的非紧测度为γ(Ω)＝i n f {d ＞０:Ω可以被有限多个直径小于等于d 的集合覆盖}定义１．７[１５]㊀多值映射F :[１,e ]ˑR ңP (R ),若满足:(１)对于x ɪ[０,ɕ),t ңF (t ,x )是可测的,且对几乎所有的t ɪ[１,e ],x ңF (t ,x )是上半连续的,则F 是C a r a t h e o d a r y 的.(２)如果对每一个δ＞０,存在φδɪL １([１,e ],R ＋),使得对几乎所有的 x ɤδ和t ɪ[１,e ],都有 F (t ,x ) ＝s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤφδ(t ),则F 是L １－C a r a t h e o d a r y .定义１．８[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,若对于映射T :E ⊂X ңX ,T 连续且满足条件:对每个有界子集Ω⊂E ,均有γ(T Ω))ɤk (Ω),则称T 为k －集压缩映射(k ȡ０).对于k ＜１的k －集压缩映射称为严格k －集压缩映射.特别地,全连续映射是０－集压缩映射,因此是严格k －集压缩映射.引理１．２[１６]㊀设X 为B a n a c h 空间,令F 是一个多值映射,满足F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (C )是L １－C a r a t h e od a r y 令Θ:L １([１,e ],R )ңC ([１,e ],R )是一个连续线性算子,则Θ S F :C ([１,e ],R )ңP c p ,c (C ([１,e ],R )),x ң(Θ S F )(x )＝Θ(S F ,x )是C ([１,e ],R )ˑC ([１,e ],R )中的一个闭图算子.其中C ([１,e ],R )表示[１,e ]ңR 上的连续函数.引理１．３[１６]㊀若Θ是上半连续当且仅当Θ存在一个闭图象,即x n ңx ∗,y n ңy ∗,y n ɪA (x n ),有y ∗ɪA (x ∗).引理１．４[１０]㊀令E 是一个B a n a c h 空间,C ⊂E 是一个锥,且 在C 上是增的.若存在常数L ,r ,Q ,k ,(０＜L ＜r ＜Q ,０ɤk ＜１)和上半连续的k －集压缩映射F :Ωk －ɘC ңP c p ,c (C ),使得以下条件成立,则F 至少有两个不动点,x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).(１)对∀x ɪ∂E Ωr ɘC ,x ∉F (x );(２)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩL ɘC ,有 h ＞ x ;(３)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E Ωr ɘC ,有 h ɤ x ;(４)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘC ,有 h ȡ x .０２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀其中,Ωr ＝{x ɪE : x ＜r },∂E Ωr ＝{x ɪE : x ＜r }.对于∂E ΩL ,ΩQ 同理.为方便下文讨论,给出下列记号:设E ＝(C [１,e ], ),范数定义为 x ＝m a x t ɪ[１,e]|x (t )|,K ＝{x ɪC [１,e ]:x (t )ȡ０}显然K 是E 上的一个锥.定义算子A :K ңP c p ,c (C [１,e ]),A (x )＝h (t )ɪC [１,e ]:h (t )＝１Γ(α)ʏt １(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,f ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ]ìîíïïïüþýïïï下面给出本文假设条件如下:(H １)函数F :[１,e ]ˑ[０,ɕ]ңP c p ,c ([０,ɕ))是L １－C a r a t h e o d a r y ,并且有非空的紧凸值.(H ２)存在一个不减函数φ:[０,ɕ]ң(０,ɕ)和一个函数p ɪL ２([１,e ]ңR ＋),使得 F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤp (t )φ(x )㊀㊀(H ３)存在ηɪC [１,e ],η(t )＞０,有 F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡη(t )φ(x )㊀㊀(H ４)存常数r ＞０,使得(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０㊀㊀(H ５)存在ξɪ[１,e ],０＜L ＜r ,使得ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )㊀㊀(H ６)存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q ,使得ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )㊀㊀为了得到微分包含边值问题(１)的正解的存在性定理,先证明下面的引理:引理１．５㊀假设条件(H １)和(H ２)成立,则算子A 是一个上半连续的全连续算子.证明㊀第１步,A 将E 的有界集映射成为E 中的有界集.令B r ＝{x ɪE : x ɤr }是K 中的有界集.对于t ɪ[１,e ],x ɪB r 时,f ɪS F ,x ,令h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d ss＋λ则对t ɪ[１,e ],由条件(H ２)有|h (t )|ɤ１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１|f (s )|d ss＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤφ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故当t ɪ[１,e ]时有 h (t ) ɤp L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 从而A (B r )是一致有界的.第２步,A 是将有界集合映射到等度连续集.令t １,t ２ɪ[１,e ]且t １＜t ２,则由条件(H ２),有１２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性|h (t ２)－h (t １)|＝１Γ(α)ʏt ２１(l o g t ２s )α－１f (s )d s s －１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１f(s )d s sɤ１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷|f (s )|d s s ＋１Γ(α)ʏt ２t １(l o g t ２s )α－１|f (s )|d s s ɤ p L ２φ( x )Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２æèçöø÷１２＋p L ２φ( x )l o g t ２t １æèçöø÷α－１２Γ(α)(２α－１)１２利用L e b e s g u e 控制收敛定理知,当t １ңt ２时,有ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２ң０因此,当t １ңt ２时,|h (t ２)－h (t １)|ң０,即A 是等度连续的.由A s c o l i －A r z e l a d 定理,A 是全连续的.第３步,A 存在一个闭图,令x n ңx ∗,h n ңh ∗,h n ɪA (x n ),要证h ∗ɪA (x ∗).对于h n ɪA (x n ),则存在f n ɪS F ,x n,使得h n (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f n (s )d ss＋λʏe１x n (s )d s ＋d 定义线性算子:Θ:L １([１,e ],[０,ɕ))ңC ([１,e ],[０,ɕ))f ң(Θf )(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为h n (t )ɪΘ(S F ,x n),x n ңx ∗,h n ңh ∗.由引理１．２知,Θ是闭图象算子,故h ∗ɪΘ(S F ,x ∗),即存在f ∗ɪS F ,x ∗,满足h ∗(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f ∗(s )d ss ＋λʏe１x ∗(s )d s ＋d 再由引理１．３知,A 是上半连续的.综上,A 是一个上半连续的全连续算子.２㊀主要结果㊀㊀定理２．１㊀若假设条件(H １)－(H ６)都成立,则(１)至少存在两个正解.证明㊀由引理１．５知A 是一个上半连续的全连续算子,下面只需要证明A 满足引理１．４的所有条件,即可证明(１)至少存在两个正解.首先证明,A :K ңP c p ,c (K ),任给的x ɪK ,h ɪA (x ),那么存在w ɪS F ,x ,有h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为F :[１,e ]ˑ[０,ɕ)ңP c p ,c ([０,ɕ)),因此,当t ɪ[１,e ]时h (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡd 故有h ɪK .即A :K ңP c p ,c (K ).下证,对∀x ɪ∂E Ωr ɘK ,x ∉A (x ).用反证法,假设存在x ɪ∂E Ωr ɘK ,t ɪ[１,e ],使得x ɪA (x ), x ＝r ,存在w ɪS F ,x ,利用H öl d e r 不等式,有|x (t )|＝１Γ(α)ʏt １(l o gt s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏt１(l o gt s )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ２２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀φ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故与假设(H ４)矛盾.其次证,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩL ɘK ,有 h ＞ x .任意x ɪ∂E ΩL ɘK ,则 x ＝L .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,当t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ３)和(H ５)可知 h ȡh (ξ)＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏξ１l o g ξs æèçöø÷α－１η(s )d s s ＋d ＞L ＝ x 再证对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E Ωr ɘK ,有 h ɤ x .任意x ɪ∂E Ωr ɘC ,则 x ＝r .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ４)可知|h (ξ)|＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏξ１(l o gξs )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|ds ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)((２α－１))１２＋λ(e －１)r ＋d ɤr ＝ x 由ξɪ[１,e ]的任意性有 h ɤ x .最后证明,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘK ,有 h ȡ x .任意x ɪ∂E ΩQ ɘK ,则 x ＝Q .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ６)知,h (ζ)＝１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏζ１l o g ζs æèçöø÷α－１η(s )d s s＋d ȡQ ＝ x 由ζɪ[１,e ]的任意性有 h ȡ x .综上,A 满足引理１．４的所有条件,故A 至少有两个不动点x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr \ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).即L ɤx ０＜r ＜x １ɤQ 是(１)的两个正解.３㊀例子㊀㊀为了说明我们主要结果的有效性,下面给出一个简单的例子.C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe ,x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(２)其中α＝０．７,λ＝０,d ＝１.F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (R )的多值映射:３２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性x ңF (t ,x )＝e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２éëêêùûúú对于f ɪF (t ,x ),有１１０ɤm i n e x １０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ|f |ɤm a x e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ１２因此,F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤ１２＝p (t )φ( x ) F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡ１１０＝η(t )φ( x )φ(x )＝(e －１)３２p (t )＝１(e －１)３η(t )＝１１０(e －１)３计算知,当r ＞２．２０时,满足(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０若取r ＝２．２１,存在ξɪ[１,e ],当０＜L ＝１．２９＜r 时,有ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q＝２．５１时,有ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )从而边值问题(２)满足引理２．１的所有条件,故根据定理２．１,(２)至少存在两个正解.４㊀总结㊀㊀本篇文章结合前人有关分数阶微分方程正解的存在性研究,将单值推广到多值,再利用多值映射的压缩或拉伸不动点定理,研究了一类带有积分边值条件的C a p u t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性问题,最后举出一个简单的例子说明结果的有效性.正解相比较一般的解更具有实际意义,而实际生活中问题复杂且受到多种因素的干扰,对于分数阶微分包含模型的建立和正解的存在性研究造成很多困难,因此如何更有效的寻找到分数阶微分包含的正解有待进一步的探究.参考文献:[１]㊀B E L MO RS ,J A R A DF ,A B D E L J AWA DT．O nC a p u t o ＧH a d a m a r d t y p e c o u p l e d s y s t e m s o f n o n c o n v e x f r a c t i o n a l d i f f e r e n Ｇt i a l i n c l u s i o n s [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE qu a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):１Ｇ１２．[２]L A C HO U R IA ,A B D O MS ,A R D J O U N IA ,e t a l ．H i l f e r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t hE r d él y i ＧK o b e r f r a c t i o n a l i n t e Ｇg r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE q u a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):２４４．[３]Y A N GD ,B A IC ．E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rA n t i ＧP e r i o d i cF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h ψＧC a u p t oF r a c t i o n a lD e Ｇr i v a t i v e [J ]．D i s c r e t eD y n a m i c s i nN a t u r e a n dS o c i e t y,２０１９,２０１９:１Ｇ８．[４]P I A Z Z ALD ,MA R R A F F A V ,S A T C OB ．M e a s u r eD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n s :E x i s t e n c eR e s u l t s a n dM i n i m u mP r o b l e m s [J ]．S e t ＧV a l u e da n dV a r i a t i o n a lA n a l y s i s ,２０２０,２９(２０２１):３６１Ｇ３８２．[５]MA R R A F F A ,V．,D IP I A Z Z A ,L ．,S A T C O ,B ．A p p r o x i m a t i n g t h e s o l u t i o n so f d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sd r i v e nb y me a s u r e s [J ]．A n n a l i d iM a t e m a t i c a ,２０１９,１９８(２０１９):２１２３Ｇ２１４０．４２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀[６]林荣瑞,佘连兵,吴莲发．一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性[J ]．南昌大学学报(理学版),２０２１,４５(２):１１１Ｇ１１６．[７]A B D O M S ,A B D E L J AWA DT ,A l i S M ,e t a l ．E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o rw e i g h t e d f r a c t i o n a l o r d e r d i f f e r e n t i a l e Ｇqu a t i o n s [J ]．C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,２０２０,１４１:１１０３４１．[８]HA G H I ,T．,G HA N B A R I ,K．P o s i t i v e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s [R ]．I nT h e ４６Ｇt hA n n u a l I Ｇr a n i a n M a t h e m a t i c sC o n f e r e n c e ,２０１５:８８２Ｇ８８５．[９]李春红,杨丹丹．带有积分边值的非线性分数阶微分包含多个正解存在性[J ]．沈阳大学学报(自然科学版),２０２０,３２(３):２５８Ｇ２６２．[１０]A G A RWA LRP ,O ＂R E G A N D．A N o t eo n t h eE x i s t e n c eo fM u l t i p l eF i x e dP o i n t s f o rM u l t i v a l u e d M a p sw i t hA p p l i c a Ｇt i o n s [J ]．J o u r n a l o fD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,２０００,１６０(２):３８９Ｇ４０３．[１１]G U H ,S N U Y．N o n l o c a l c o n t r o l l a b i l i t y o f f r a c t i o n a lm e a s u r ee v o l u t i o ne q u a t i o n [J ]．J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a Ｇt i o n s ,２０２０,２０２０(１)．[１２]G O U H ,L IY．E x i s t e n c ea n dA p p r o x i m a t eC o n t r o l l a b i l i t y o fS e m i l i n e a r M e a s u r eD r i v e nS y s t e m sw i t h N o n l o c a lC o n d i Ｇt i o n s [J ]．B u l l e t i no f t h e I r a n i a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y ,２０２１,４８:７６９Ｇ７８９．[１３]Z HO U Y ,P E N GL ．T o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f s o l u t i o ns e t s f o r p a r t i a l f u n c t i o n a l e v o l u t i o n i n c l u s i o n s [J ]．C o m p t e s r e n d u s M a t h e m a t i qu e ,２０１７,３５５(１):４５Ｇ６４．[１４]G OHA R M ,L IC ,Y I N C ．O nC a p u t o ＧH a d a m a r df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fC o m p u t e r M a t h e m a t i c s ,２０２０,９７(７):１４５９Ｇ１４８３．[１５]G O R N I E W I C ZL ．A p r o x i m a t i o n M e t h o d s i nF i x e dP o i n tT h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s [M ]//T o p o l o g i c a l F i x e dP o i n t T h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s ．S p r i n g e r ,D o r d r e c h t ,１９９９:１０５Ｇ１５７．[１６]D E N K OW S K I Z ,S M I G O R S K I ,P A P A G E O R G I O U NS ．S E T ＧV a l u e dA n a l y s i s [M ]．B o s t o n :S p r i n ge r ,２００３．５２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性。
非线性2m阶微分方程边值问题解的存在性和多重性
ｃ ［ ｏ ， １ ］ 表它
构成的实 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空间， 其范数定义为：
Ｉ ｃ
‘ （ ￡ ） Ｉ ， Ｖ ∈ｃ ［ ｏ ， １ ］
２ ｑ 阶边值问题 的解．文［ ４ ］ 讨论 了 ２ ｍ 阶边值 问题 ， 用 Ｌ ｅ ｇ ｇ ｅ ｔ ｔ —Ｗ ｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｍ ｓ 不动点定理得 到了至少有三解 的结
ｐ Ｕ ｃ ｉ ｔ ｙ
Ｚ ＨＡＮＧ Ｈａ ｉ ｌ ｉ
（ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｔ ｒ ａ ｆｗ Ｖ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｔ ａ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ ０ ３ ０ ０ ３ １ ， Ｃ ｈ ｉ ａ） ｎ
（ ０ ． １ ） 有唯一解 、 至少有一解 、 至少有一个非零解 、 无穷
二 ０ ≤ ｓ≤ ｔ≤ Ｉ
．
０ ≤ ｔ≤ ｓ≤ １
令Ｇ （ ｔ ， ｓ ）＝ Ｇ （ ‘ ， ｓ ） ， 则对 于 ２≤ ≤ ｍ，定义
收稿 日期：２ ０ １ ３ — ０ ４— １ ６ 修回： ２ ０ １ ３ — ０ ５— ０ ９ 第一作者 ：张海丽（ １ ９ ８ ３一 ） ， 女， 助教 ， 硕 士研 究生， 研 究方向为非线性泛函分析
Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｂｏ ｕｎ ｄ ａ ｒ ｙ Ｖａ ｌ ｕ ｅ Ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ２ ｍ — ． Ｏｒ ｄ ｅ ｒ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｉ ｔ ａ ｌ Ｅｑ ｕａ ｉ ｔ ｏ ｎ Ｓ ｏ ｌ ｕ ｉｏ ｔ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｅｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｍｕ ｌ ｉ・ ｔ
，
（ Ⅱ ， ｔ ， ）＝【 （ ￡ ） ｔ ， （ ｔ ） ｄ ｔ
几类分数阶非线性椭圆方程解的存在性与集中性
几类分数阶非线性椭圆方程解的存在性与集中性分数阶拉普拉斯问题可以用来描述物理学、生物学、化学、金融经济、概率等领域中的许多重要现象.特别地,在概率的观点下,分数阶拉普拉斯算子被视为稳态Levy扩散过程的无穷小生成元.因此,分数阶拉普拉斯微分方程解的相关问题研究目前已成为非线性分析领域的热门研究方向之一在本论文中,我们利用非线性分析中的临界点理论和变分约化等方法研究了两类具有临界指数的分数阶椭圆方程解的存在性、多重性及分数阶非线性Schrodinger方程解的存在性和集中性,获得了一系列新的结果.具体包含以下四章内容：在第一章中,我们利用Nehari流形方法和Ljusternik-Schnirelmann筹数理论研究了一类具有临界指数的分数阶非线性Schrodinger方程.证明了方程在两种不同情形下具有基态解和catΛδ(Λ)个非平凡解.在第二章中,我们利用变分扰动方法研究了分数阶
非线性Schrodinger方程解的存在性及集中性.设合理的假设下,证明了所得解集中在函数г(x)的临界点.我们所得结果推广了文献[36]和[44]的结果.在第三章中,我们研究了一类分数阶非线性椭圆方程的多峰解,其中Q(x)为正的连续有界函数.利用 Lyapunov-Schmidt变分约化方法得到,对任意的正整数七,方程具有一个七-峰的正解,且其集中在Q的严格局部极小点处.我们把文献[65]的结果推广到了分数阶情形.最后,我们利用调和扩展技术和临界点理论,研究了一类具有临界指数的非齐次分数阶Laplacian司题,证明了此类问题至少具有两个正解.同时,在一类线性正型区域上,我们获得了一个正解的不存在性结果.此结论推广了文献[85]中的不存在性结果.。
一类非线性常微分方程解的存在性
14
宜 宾 学 院 学 报 第 10 卷
续性和不难得到 : λ1 ≥ lim →∞
n
∫|
[ a,b ]
v0 | dx ≤
1 主要结论 本文考虑强振动问题
d dy dy ( | | p - 2 ) =λ1 | y| p - 2 y + g ( y ) + h ( x) , x∈ ( a, b ) dx dx dx ( 1)
I ( y) =
1 p
∫|
[ a, b ]
λ1 dy p | dx dx p
y
∫|
[ a, b ]
p
上连续. 则问题 ( 1 ) 在 W1 0
( a , b)
中至少存在一解.
2 定理的证明 显然问题 ( 1 ) 对应的变分泛函为
dx → 0 (3) ‖ λ1 的定义以及范数的弱下半连 由 ( 2 ) 式、 g ( t) 的连续性、
∫ ‖u
[a , b ]
G ( un )
n
‖
p
∫ ‖u
p
收稿日期 : 2010- 10 - 11 1修回 : 2010 - 10- 2 5 基金项目 : 四川省教育厅自然科学基金资助项目 ( 08 ZC001 ) 作者简介 : 黄家琳 ( 1949 - ) , 男 , 浙江蒲江人 , 教授 , 主要从事非线性分析研究
, p
n → ∞时有 ‖u n ‖ → ∞ . 令 vn =
un
n
‖u ‖
, 由空间 W 0 ( a,
1,
p
1, p p b) 的自反性以及 W 0 ( a, b) → L ( a, b) 嵌入的紧性知 , 存
在 v0 ∈ W 1 ( a , b) 使得 (取子列 ) 0
一类非线性积分-微分方程终值问题解的存在性及其迭代求法
｛， Ｅ“ 可 … ｊｌｆ ｄ ＋ ） ，］范 ｌ ：Ｉ ｕ） ｄ； ｕ一 强 测 ， ， （ｌ￡ ∞， ［Ｅ 数ｌ （ｌ ｆ ｔ ： Ｉ 且 ｌ ） ＜ 则 ，在 “ ｌ ｕ （ １ ） ｌ
下为一 Ｂ ｎｃ 空间 ． ｃ ，Ｅ］ ｛ ： 一 Ｅ Ｉ ａａｈ 令 ［， ＝ “， ｕ列 ｝ ｃ ，Ｅ 在范数 ＿ ， 则 ［， ］ ｌ
第７ 卷第 ３期 ２０ 年 ８月 ０８
淮阴师范学院学报 （ 自然科 学版）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ Ｉ Ｉ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ＤＴ Ｏ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ Ａ ＹＮ Ｔ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ ＥＥ ＩＩ Ｎ
Ｖｏ ． Ｎｏ． １７ ３ Ａｕ ｇ．２ ０ ０８
， ｒ 、
＝
【 ｌ（ ｌｄ 下 一 性 范 间．于 理 与 数的 细 论 参 文 １ Ｉｌ ｆｌ ｔ 为 线 赋 空 关 锥 论 范 详 讨 可 见 ［ ． ）Ｐ ） ｕ ］
引理 １ 设 Ｐ是 Ｂｎｅ 空 间 Ｅ中 的锥 ， 在 Ｅ 中 ， ａａｈ 且 范数 ｉ ｌ 于 ｌ ｌ ． Ｉ・ｌ强 ｌ・ｌ 再设
中图分类 号 ： １７ ９ ０ ７ ．１ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：６ １６７ （０ ８ ０ —２ ５０ １７ —８６ ２ｏ ）３０ ０ ．４
０ 引言 及 预 备 知 识
本文 假 定 （ ｌ ・ ｌ Ｅ，ｌ １ ）是 实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间 ， ＝ ［ ，］ ｃ 尺 ．对 Ｐ ≥ １ ， ０１ ，令 。， Ｅ ： ［， ］
．
（）Ｆ ： ｉ ｉＤ一 ［ ， 是 几乎 逐 点伪 弱紧算 子 和按 “ 范数几 乎逐 点 连续 的增算 子 ， ： 一 ｃ［ ， ，Ｅ］ 。 Ｋ ，
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性在偏微分方程中，非线性方程是一类在研究中经常遇到的重要方程。
与线性方程不同，非线性方程的解的存在性通常更加复杂且难以确定。
本文将探讨偏微分方程中的非线性方程及其解的存在性问题。
一、非线性方程非线性方程是指未知函数及其导数之间具有非线性关系的方程。
在偏微分方程中，非线性方程往往包含高阶导数项，例如常见的非线性偏微分方程中的非线性项可以是未知函数的高阶导数、函数本身的幂次项以及乘积项。
非线性方程的存在性问题是研究非线性偏微分方程解的一个重要问题。
一般来说，要判断非线性方程的解是否存在，需要借助数学分析和函数空间理论的工具，采用适当的方法和技巧进行分析。
二、解的存在性解的存在性是指非线性偏微分方程是否存在满足特定条件的解。
对于非线性方程，解的存在性问题往往比线性方程更加困难，需要借助更加深入的数学理论和分析技巧。
解的存在性问题可以通过两种主要的方法来研究：一是通过构造解的方法，即通过适当的变换和假设，构造满足方程条件的解；二是通过存在性定理，即通过数学推导和证明来判断解的存在性。
在构造解的方法中，常常使用变量替换、特解法以及变分法等技巧。
通过巧妙地选取变换和假设，可以将原方程转化为更加容易求解的方程，从而得到解的存在性的结论。
在存在性定理中，常用的方法包括分离变量法、最大值原理、奇点理论等。
这些定理给出了解存在的充分条件，从而简化了解的存在性问题的研究。
三、例子与应用非线性偏微分方程的解的存在性问题在实际应用中具有重要的意义。
例如，许多物理学领域的问题可以建模为非线性偏微分方程，解的存在性问题对于理解和解释物理现象具有重要作用。
以非线性波动方程为例，这是描述波动现象的重要方程之一，其包含非线性项，解的存在性问题是研究波动现象稳定性和非线性行为的关键。
通过研究非线性波动方程的解的存在性，可以得到波动现象的定性和定量结果，从而有效地预测和控制波动过程。
此外，非线性偏微分方程的解的存在性问题在数学分析、控制论、最优化等领域也有着广泛的应用。
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性偏微分方程是数学领域中的重要研究对象之一，它描述了自然界中很多现象和过程的规律。
在偏微分方程的研究中，非线性方程是一类具有重要意义的方程类型。
本文将探讨偏微分方程中的非线性方程以及解的存在性。
一、非线性方程的定义与特点在数学中，非线性方程指的是未知量与其导数或高阶导数之间存在乘法关系的方程。
与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难，因为它们无法简化为一次项的代数方程。
在偏微分方程中，非线性方程常常具有复杂的形式和行为，往往需要借助数值或变分方法进行求解。
二、非线性方程的分类根据方程的次数和形式，偏微分方程中的非线性方程可以分为多种类型。
常见的有非线性椭圆方程、非线性抛物方程和非线性双曲方程等。
1. 非线性椭圆方程非线性椭圆方程在物理学和几何学中具有广泛的应用。
它们可以描述领域内的稳定状态和平衡问题，如椭圆型偏微分方程的存在性问题。
非线性椭圆方程的研究困难主要体现在非线性项的存在，这使得常用的求解技术不再适用。
2. 非线性抛物方程非线性抛物方程描述了许多动态和演化过程，如热传导、扩散和泛函状态的变化。
非线性抛物方程的求解面临着时间和空间复杂性的挑战，例如非线性项会引起方程的发散或者不稳定。
3. 非线性双曲方程非线性双曲方程常用于描述波动现象，如声波、电磁波等。
非线性双曲方程的求解存在着多个挑战，如波的衰减、非线性项的影响等。
解的存在性是非线性双曲方程研究中的核心问题之一。
三、解的存在性针对偏微分方程中的非线性方程，解的存在性是一个重要的问题。
解的存在性研究的目标是确定方程在给定条件下是否存在解，以及解的性质和稳定性。
对于某些非线性方程，解的存在性可以通过使用分析工具和数学推理得出。
例如，利用不动点定理、变分法和轨道理论等数学工具，可以证明某些非线性方程在一定条件下存在唯一解。
然而，对于更一般和复杂的非线性方程，求解存在性问题往往需要借助数值计算和数值方法。
通过将偏微分方程离散化为差分方程或代数方程，然后利用数值迭代等方法求解，可以得到偏微分方程的数值解，从而验证解的存在性。
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性刘素莉;李衍初;李辉来【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(53)2【摘要】考虑如下非线性分数阶微分方程边值问题：u(t)=f (t,u(t),u′(t)), a.e.t∈(0,1), u(0)=u′(1)=u″(0)=0, cDα其中：2<α≤3是实数；0+cDα0+是 Caputo 分数阶导数.应用 Leray-Schauder 连续性定理,得到了该问题至少存在一个正解.%We considered the nonlinear fractional differential equation u(t)=f (t,u(t),u′(t)), a.e.t ∈ (0,1), u(0)=u′(1)=u″(0)=0, cDα0+where cDα0 + is the Caputo fractional order derivative,2 <α≤ 3 is a real number.We proved the existence of at least one solution of the boundary value problem using Leray-Schauder continuation principle.【总页数】5页(P194-198)【作者】刘素莉;李衍初;李辉来【作者单位】吉林大学数学学院，长春 130012;吉林大学数学学院，长春130012;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O175.1;O175.8【相关文献】1.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性 [J], 张潇峰;封汉颍2.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性 [J], 薛益民;刘洁;戴振祥;徐媛媛3.Banach空间一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 陈艳丽;宋卫信;黎虹;张锋4.非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 陈会5.一类非线性项具有导数的分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 苏有慧;孙文超;孙爱因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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高校应用数学学报A辑2005,20(3):297-302A p p l.Ma t h.J.C h i n e s e U n i v.S e r.A 非线性分数微分方程解的若干存在性结论姚庆六(南京财经大学应用数学系,江苏南京210003)摘要:研究了非线性分数微分方程解的存在性.通过考察非线性项在无穷远处的增长或者非线性项在某个有界集上的"高度"获得了若干新的存在性结论.主要工具是S c h a u d e r不动点定理和L e r a y-S c h a u d e r不动点定理.关键词:分数微分方程;存在性;增长条件;局部条件;不动点定理中图分类号:O175.8文献标识码:A文章编号:1000-4424(2005)03-0297-06收稿日期:2004-09-22L1引言设M N是由M N O(P)Q1R(1S N)dd P TP(P S U)S N O(U)d U定义的V i e W a n n-L i X u v i l l e分数导数,其中R是Y a W W a函数并且0Z N Z1[本文将研究下列非线性分数微分方程的存在性(\)M N O(P)Q](P,O(P)),0Z P Z1;O(0)Q0.本文始终假设]:^0,1_‘a b a是连续的[显然,零函数是方程(\)的解当且仅当](P,0)c0[由于在力学中的深刻背景,近来出现了许多分数导数型微分方程方面的书籍和论文(参见^1d4_)[其中的大部分都致力于线性问题[出于应用的需要^5_,非线性分数微分方程(\)近年已受到人们的普遍关注[^6_利用e a n a c h压缩原理在](P,f)关于f一致L i p s c h i t g 的条件下研究了(\)的解的存在性[^7_利用锥上的不动点定理在](P,f)关于f严格增的条件下研究了(\)的正解的存在性[本文将在两类不同的条件下建立(\)的解的若干存在性结论[第一类条件是增长性条件(定理3.1d推论3.7).这类条件涉及当h f h bi时](P,f)的增长速度[第二类条件是局部化条件(定理3.8和推论3.9)[这类条件仅涉及](P,f)在^0,1_‘a的某个有界区间上的"高度",而与它在这个有界集以外的增长无关[显然,本文结论放宽了^6,7_中对于非线性项f (t ,l)的限制.这一工作的思想来自我们的论文[8-11].-.预备知识考察赋予范数/0/123456t 6170(t )7的8393:;空间<[5,1]=记>?1[5,?@)并设A B 1C0D <[5,1]E /0/6B F =根据[G ]中的命题.=H 和说明I =.,方程(J)等价于积分方程0(t )11K (L )Mt 5(t N O )L N 1f (O ,0(O ))P O ,t D [5,1]=设算子Q 定义为(Q 0)(t )11K (L )Mt 5(t N O )L N 1f (O ,0(O ))P O ,t D [5,1]=如同[R ]中引理.=1一样,可以证明Q E <[5,1]S <[5,1]是全连续的.根据[G ]中的例子.=1,对于任何t D[5,1]及T UN1,有1K (L )Mt 5(t N O )L N 1P O 11K (1?L )t L,1K (L )M t 5(t N O )L N 1O TP O 1K (1?T )K (1?L ?T )t L ?T=这两个公式在本文中是经常使用的.在主要结论的证明中,需要下列引理[1.]引理V =W (X :;3Y P Z [不动点定理)设A 是8393:;空间\的一个凸闭集,Q E A S A 连续并且Q (A)紧致.则Q 有一个不动点]^D A =引理V =V (_Z [3‘a X :;3Y P Z [不动点定理)设\是8393:;空间,b 是\的一个有界开集并且5D b ,Q E b c S \是一个全连续算子.如果Q ]d e ],]D f b ,eU1,则Q 有一个不动点]^D bc .-I 主要结论我们获得了下列存在性结论.定理g =W 假设f (t ,5)h 5并且存在非负函数i D j 1[5,1],连续函数k E >S >?使得7f (t ,l )76k (l )?i (t ),(t ,l )D[5,1]l >,并且m n 27l 7S @k (l )7l 7o K (1?L ).则方程(J)至少有一个非平凡解0^D <[5,1]=证设p 11.K (1?L )N m n 27l 7S @k (l )q r7l 7=则存在B 1U5使得k (l )6(K (1?L )N p )7l 7,7l 7s B 1=设t 1234C k (l )E l D[N B 1,B 1]F =选B .U B 1使得t B .6K (1?L )N p .则对任何u s B .,k (l )6(K (1?L )N p )B .6(K (1?L )N p )u ,l D [N u ,u ]=8v .高校应用数学学报w 辑第.5卷第I 期记K =1Г(α)m a x 0≤t ≤1∫t0(t -s )α-1h (s )d s ,d 3=ε()Г(1+α)-1K,d=m a x {d 2,d 3}.设w ∈V d.则q (w (t ))≤(Г(1+α)-ε)d 并且‖T w ‖≤1Г(α)m a x 0≤t ≤1∫t0(t -s )α-1|f (s ,w (s ))|d s ≤1Г(α)m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1[q (w (s ))+h (s )]d s ≤1Г(α)m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1q (w (s ))d s +K ≤(Г(1+α)-ε)d·1Г(α)m a x 0≤t ≤1∫t0(t -s )α-1d s +1Г(1+α)εd=(Г(1+α)-ε)d·m a x 0≤t ≤11Г(1+α)t α+1Г(1+α)εd=1-1Г(1+α)()εd+1Г(1+α)εd=d .这就推出T :V d →V d .根据引理2.1,算子T 至少有一个不动点w *∈V d .注意到f (t ,0)M0,方程(N)至少有一个非平凡解w *∈O [0,1].推论P .Q 假设f (t ,0)M0并且R S m |T |→U m a x0≤t ≤1f (t ,T )TV Г(1+α).则方程(N )至少有一个非平凡解w *∈O [0,1].证设q (T )=m a x 0≤t ≤1|f (t ,T )|,h (t)W0.根据定理3.1即可完成证明.定理P .P 假设f (t ,0)M0并存在两个非负函数X ,h ∈Y 1[0,1]使得|f (t ,T )|≤X (t )|T |+h (t ),(t ,T )∈[0,1]Z [,并且m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1X (s )d s V Г(α).则方程(N)至少有一个非平凡解w *∈O [0,1].证设d =m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1h (s )d sГ(α)-m a x 0≤t ≤1∫t(t -s)α-1X (s )d s.因为f (t ,0)M 0表明h (t )M 0,知d \0.假设w ∈]V d.^\1使得T w =^w ,则^‖w ‖≤1Г(α)m a x 0≤t ≤1∫t0(t -s )α-1|f (s ,w (s ))|d s ≤1Г(α)m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1[X (s )|w (s )|+h (s )]d s ≤1Г(α)‖w ‖m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1X (s )d s +m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1[]h (s )d s.于是(^-1)Г(α)d≤m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1h (s )d s -[Г(α)-m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1X (s )d s ]d=m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1h (s )d s -m a x 0≤t ≤1∫t(t -s )α-1h (s )d s =0.由于^\1,Г(α)\0,这是不可能的.因此,对于任何w ∈]V d ,^\1,有T w _^w .根据引理2.2,方程(N)至少有一个非平凡解w *∈O [0,1].‘‘2姚庆六:非线性分数微分方程解的若干存在性结论推论3.4假设f (t ,0)*0并存在两个非负函数+,,-./00,/1使得2f (t ,3)24+(t )2325,(t ),(t ,3)-00,/167,+(t )48(/595:)8(/5:)t :并且;<=t -00,/1>+(t )?8(/595:)8(/5:)t @A:B 0,其中:CD 9.则方程(E)至少有一个非平凡解F G -H 00,/1.证此时有;I J 04t 4/K t0(t D L )9D /+(L )M L ?8(9)8(/595:)8(/5:);I J 04t 4//8(9)Kt 0(t D L )9D /L :M L N8(9)8(/595:)8(/5:)8(/5:)8(/595:);I J 04t 4/t 95:N 8(9).推论3.O 假设f (t ,0)*0,/?P ?9D /并存在两个非负函数+-.P 00,/1,,-./00,/1使得2f (t ,3)24+(t )2325,(t ),(t ,3)-00,/167,其中K/0+P(t )M t ?8P(9)P 9D /01PD /P D /.则方程(E)至少有一个非平凡解F G-H 00,/1Q 证首先+-.P 00,/1R ./00,/1.设S NP P D/,则/P 5/SN/并且S (/D 9)NPPD /(/D 9)?9P PD /(PD /)N 9P?/.于是S 9D S 5/B0Q 根据T U V M <W不等式有;I J 04t 4/K t 0(t D L )9D /+(L )M L 4;I J04t 4/K t 0(t D L )S (9D /)01M L /X S K t 0+P01(L )M L /X PN;I J04t 4/tS 9DS 5/01S 9D S 5//X SK t 0+P01(L )M L /X PN /01S 9D S 5//X SK /0+P01(L )M L /X PN PD /01P 9D /P D /PK /0+P1(L )M L /X P ?8(9).按照同样的方法可以证明下列两个推论Y推论3.Z 假设f (t ,0)*0并存在两个非负函数+,,-./00,/1使得2f (t ,3)24+(t )2325,(t ),(t ,3)-00,/167,其中+(t )48(/59)并且;<=@t -00,/1>+(t)?8(/59)A B0.则方程(E)至少有一个非平凡解F G -H 00,/1.推论3.[假设f (t,0)*0并存在非负函数,-./00,/1使2f (t ,3)24,(t ),(t ,3)-00,/167.则方程(E)至少有一个非平凡解F G -H 00,/1.值得注意的是推论\.]中的函数f (t ,3)可以是无界的Q 定理3.^假设f (t,0)*0并且存在_B0使得;I J @2f (t ,3)2>(t ,3)-00,/160D _,_1A 48(/59)_.则方程(E)至少有一个非平凡解F G -H 00,/1并且‘F ‘4_.证设F -a _.则2F (t )24_,2f (t ,F (t ))248(/59)_,04t 4/.于是‘b F ‘4/8(9);I J 04t 4/Kt0(t D L )9D /2f (L ,F (L ))2M L 48(/59)_c /8(9);I J 04t 4/Kt0(t D L )9D /M L N 8(/59)_c /8(/59);I J 04t 4/t 9N _.由此b >a _d a _Q 根据引理e ./,方程(E )至少有一个非平凡解F G -H 00,/1并且‘F ‘4_.00\高校应用数学学报f 辑第e 0卷第\期推论3.9假设f (t,0)*0并且+,-./00.1234516f (t ,7)68(t .,7)9:0,0;<:=.,.;2>?(0@A ).则方程(B)至少有一个非平凡解C D 9E :0,0;.FG 两个例子例H .I 考察分数微分方程J 0K LC (t )MN G C (t )@OP QRC (t )S +,C (t )@3+,C L (t )@0,0P 12t (0=t ),0T t T 0.此时,f (t ,7)MN G 7@OP QR7S +,7@3+,7L @0,0P 12t (0=t ),6f (t ,7)6T N G 676@OP Q R 676@P t (0=t ),U +3676V W0676N G 676@OP Q R 676M N G >0L P N M ?0@Q R 0L .根据定理O .0,该方程至少有一个非平凡解C D 9E :0,0;X例H .Y 考察分数微分方程J 0K LC (t )M 0GZ C L (t )=t ,0T t T 0.容易看出f (t ,7)M 0GZ 7L=t,34516f (t ,7)68(t ,7)9:0,0;<:=0,0;2M0G Z >0L P N M ?0@Q RL.根据定理O .[,该方程至少有一个非平凡解C D 9E :0,0;X显然在例子G .0和G .L 中f (t ,7)在:0,0;<\上关于7即不是]+^S _‘+a b 的,也不是递增的X 因此不能从:c ,d ;中获得上面的结论X 此外在例G .0和G .L 中U +3676V W 3450Tt T 0f (t ,7)7M @W.这一事实说明U +3676V W 3450Tt T 0f (t ,7)7>@W 并不是方程(B)存在解的必要条件X 感谢对于审稿人的细致和认真作者表示衷心的感谢X参考文献8:0;e+U U Z f g h ,i j S S k .l ,m ,a f j n o _a +j ,a j a ‘Z p f 4_a +j ,4U q 4U _o U o S 4,n p f 4_a +j ,4U r +--Z f Z ,a +4U s t o 4a +j ,:e ;.u Z v w j f x 8y+U Z z,0{{O .:L ;s U |h 4z Z nl ‘3Z ne l .]+,Z 4fn +--Z f Z ,a +4U Z t o 4a +j ,Sj --f 4_a +j ,4U j f n Z f :};.l ^^U e4a ‘q j 3^o a,0{{O ,~~(0)80|0L .:O ;e4+,4f n +p .T ‘Z-o ,n 43Z ,a 4U S j U o a +j ,S-j f a ‘Z-f 4_a +j ,4U n +--o S +j ,v 4v ZZ t o 4a +j ,:};.l ^^U e4a ‘]Z a a Z f S,0{{c ,{(0)8L O |L [.00O 姚庆六8非线性分数微分方程解的若干存在性结论[4]B u c k w a rE ,L u c h k oY .I n v a r i a n c eo f ap a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no f f r a c t i o n a l o r d e ru n d e rL i e g r o u po f s c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n s [J ].J Ma t hA n a l A p p l,1998,227(1):81-97.[5]李根国,程昌钧,朱正佑.具有分数导数型本构关系的粘弹性柱的动力稳定性[J].应用数学和力学,2001,22(3):250-258.[6]D e l b o s c oD ,R o d i n o L .E x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s f o r a n o n l i n e a r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n [J].J Ma t hA n a l A p p l,1996,204(3):609-625.[7]Z h a n gS h u q i n .T h ee x i s t e n c eo f ap o s i t i v es o l u t i o nf o r an o n l i n e a r f r a c t i 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i o nf o r a n o n l i n e a rf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nY A O Q i n g -l i u(D e p t .o fA p p l .Ma t h .,Na n j i n gU n i v .o f F i n a n c e a n dE c o n o m i c s ,Na n j i n g 210003,C h i n a)A b s t r a c t :T h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n i si n v e s t i g a t e d i n t h i sp a p e rf o ran o n l i n e a rf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n .B yc o n s i d e r i n gt h eg r o w t ho f n o n l i n e a r t e r m a t i n f i n i t e a n dt h e "h e i g h t "o fn o n l i n e a rt e r m o n a b o u n d e d s e t ,s e v e r a ln e w e x i s t e n c e r e s u l t sa r e o b t a i n e d .T h em a i n i n g r e d i e n t sa r et h eS c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m a n d t h eL e r a y-S c h a u d e r f i x e dp o i n t t h e o r e m .K e y W o r d s :f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;e x i s t e n c e ;g r o w t h c o n d i t i o n ;l o c a l c o n d i t i o n ;f i x e dp o i n t t h e o r e mMR S u b j e c t C l a s s i f i c a t i o n :34B15203高校应用数学学报A 辑第20卷第3期。