1.1.9教师用书配套课件

1.1.9 偏导数与全微分 1、偏导数的概念 2、偏导数的几何意义 3、高阶偏导数 4、二元复合函数微分法
1.1.9 偏导数与全微分 5、隐函数的微分法 6、二元函数的极值 7、全微分 8、全微分在近似计算中的应用
1、偏导数的概念
在一元函数里，为研究函数的变化率得出了导数的概念。对于 多元函数，我们常常遇到研究它对某一个自变量的变化率问题， 这就产生了偏导数的概念。
【例8】 求函数f (x, y) y3 x2 6x 12y 5的极值。
解 ①求偏导数：
fx(x, y) 2x 6, fy(x, y) 3y2 12 fxx (x, y) 2, fxy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y
【例1】 求函数z x2 3xy y2 1在点(1, 2)处的偏导数。
解 因为 z 2x 3y, z 3x 2 y,所以 z 8，z 7
x
y
x x1
y x1
y2
y2
【例2】 求函数z x sin xy的偏导数。
y
解 z 1 y cos xy, z x x cos xy
【例5】 证明函数z ln
x2

y
2
满足方程
2z x2

2z y2

0。
证明 函数z ln x2 y2 1 ln(x2 y2 ) 2
所以
z x

2x 2(x2
y2)

x2
x
y2
,
z y

2y 2(x2
y2)

x2
y
y2
2z x2

(x2 y2) x2x (x2 y2)2
对自变量x的偏导数，记为
z x
，f x
，z
x或f
x(
x,
y)
即
fx(x, y)

lim
x0
f
(x x, y) x
f
(x,
y)
类似地，可以定义函数z f (x, y)对自变量y的偏导函数，记为
z y
，f y
，zy或f
y(
x,
y)
即
f y(x, y)

lim
或f y(x0 ,
y0 )
y y0
y y0
f y(x0 ,
y0 )

lim
y 0
f
(x0 , y0
y) y
f
(x0 ,
y0 )
如果函数 z f (x, y)在区域D内的每一点(x, y)处对x的偏导数都
存在，那么这个偏导数仍是x、y的函数,就称它为函数z f (x, y)
x x0
x0
x
存在,则称此极限值为函数z f (x, y)在点(x0, y0 )处对x的偏导数，
记为
z x
x x0
，f x
x x0
，zx
x x0 y y0
或fx(x0 ,
y0 )
y y0
y y0
即
fx(x0 ,
y0 )

lim
x0
f
( x0
x,
定义3 如果二元函数z f (x, y)对于点(x0, y0 )的某一邻域内所 有点，总有f (x, y) f (x0, y0 ), (x, y) (x0, y0 )则称f (x0, y0 )为函数 f (x, y)的极大值；如果总有f (x, y) f (x0, y0 ), (x, y) (x0, y0),则称 f (x0, y0 )为函数f (x, y)的极小值。
②求驻点：
解方程组

f x( x, f y(x,
5、隐函数的微分法
在一元函数中,我们曾学习过隐函数的求导法则,但未给出一 般的公式.现由多元复合函数的求导法则推导出隐函数的求导公 式。
设 F (x, y) 0确定了隐函数y f (x)，将其代入方程，得
F[x,
f
( x)]

0, 两端对x求导，得Fx

Fy
dy dx

0, 若Fy
多元复合函数的求导法则可以叙述为:多元复合函数对某一自
变量的偏导数,等于函数对各个中间变量的偏导数与中间变量对
该自变量的偏导数的乘积之和.这一法则称为锁链法则或链法则。
【例6】 设z u2 ln v，u 2xy, v x2 y2,求 z ，z 。 x y
解
z z u z v
解 令F (x, y, z) x2 2 y2 3z2 4x,则 Fx 2x 4, Fy 4 y, Fz 6z
所以根据隐函数求导公式可得 z Fx 2 x ，z Fy 2 y x Fz 3z y Fz 3z
6、二元函数的极值
且在D内,fx(x, y)、f y(x, y)都是x、y的函数。如果这两个函数的偏 导数都存在，则它们的偏导数称为函数z f (x, y)的二阶偏导数。
依照对变量求导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数,分别表
示如下：
x

z x


2z x2

fxx (x, y)
定义1 设函数z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定义,当y
固定在y0 , 而x在x0处有增量x时,相应地函数有增量(称为偏增量)
f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，记为x z。如果
lim x z lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )

y2 x2 (x2 y2)2
2z (x2 y2) y 2y x2 y2
y 2
(x2 y2)2
(x2 y2)2
因此
2z x2

2z y 2

y2 x2 (x2 y2)2

x2 y2 (x2 y2)2
0
4、二元复合函数微分法
我们以二元函数为例，介绍多元复合函数的微分法。
y

z x


2z xy

fxy (x,
y)
z
x

y


2z yx

f yx (x, y)
z
y

y



2z y 2

f yy (x,
y)
其中第三、第四个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶及 三阶以上的更高阶的偏导数;二阶及二阶以上的偏导数统称为高 阶偏导数。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值。
定理3 (必要条件)如果函数f (x, y)在点(x0, y0 )处有极值，且两 个一阶偏导数存在，那么fx(x0, y0 ) 0, f y(x0, y0 ) 0
使函数的一阶偏导数同时为零的点,称为驻点.与一元函数类 似,驻点不一定是极值点.那么在什么条件下,驻点是极值点呢？
y0 ) xf来自(x0 ,y0 )
类似地，函数z f (x, y)在点(x0, y0 )处对y的偏导数定义为
lim y z lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
y y0
y0
y
记为 即
z y
x x0
，f y
x x0
，zy
x x0 y y0
当B2 AC 0且A 0时，函数f (x, y)在点(x0, y0 )处有极大值 f (x0 , y0 )；
(2)当B2 AC 0时，函数f (x, y)在点(x0, y0)处无极值。
(3)当B2 AC 0时，函数f (x, y)在点(x0, y0)处可能有极值,也 可能无极值，需另作讨论。
率，这就是偏导数fx(x0, y0 )的几何意义。
同理，偏导数fy(x0, y0 )的几何意义是曲
面z

f
(x,
y)与平面x

x0相交曲线在M
点
0
处的切线Ty对y轴的斜率。
3、高阶偏导数
定义2 设函数z f (x, y)在区域D内有偏导数
z x

f
x(
x,
y
),
z y

f y(x, y)

0, 则有
dy F .若F (x, y, z) 0确定了隐函数z f (x, y),同理可得 dx Fy
z Fx , z Fy x Fz y Fz
(Fz 0)
【例7】 设x2 2 y2 3z2 4x，求 z , z 。 x y
2、偏导数的几何意义
在空间直角坐标系中，函数z f (x, y)表示一曲面，如果把
f
(x,
y)中的y固定，设y

y0
,
则

z

f (x, y) 表示曲面z y y0

f
(x, y)与
平面y y0相交的一曲线(图中的AM0B)。由一元函数导数的几何
意义知fx(x0 , y0 )是交线AM 0B上点M 0 (x0 , y0 , z0 )处的切线对x轴的斜
u2


2u ln v 2 y 2x
x u x v x
v

8 xy 2
ln( x 2

y2)

8x3 y2 x2 y2
z z u z v
u2


2u ln v 2x (2 y)
y u y v y
v

8x2
y
ln( x 2