第三章 1 逼近论
第三章 参数多项式的插值与逼近
第三章 参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节 几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。
2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中： 为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时） 的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件 也称权性。
这种表示下，曲线 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。
其中 一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。
（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。
4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。
5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。
2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。
• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。
• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。
• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。
Weierstrass第一逼近定理
Weierstrass第一逼近定理
Weierstrass第一逼近定理是数学分析中的一条重要定理，它表明任何连续函数都可以被一列多项式逼近。
具体来说，对于任意给定的连续函数f(x)，存在一列多项式P_n(x)，使得在定义域上，P_n(x)可以无限逼近f(x)。
这个定理的证明需要使用到一些数学分析的工具，特别是利用到Weierstrass逼近定理，即任何连续函数在闭区间上都可以被一列三角多项式逼近。
然后，通过将三角多项式展开成幂级数的形式，再进行一些技巧性的变换，最终得到了Weierstrass第一逼近定理。
这个定理的意义在于，它为我们提供了一种逼近任意连续函数的方法，可以用来解决很多实际问题，比如在物理学、工程学、经济学等领域中的应用。
同时，Weierstrass第一逼近定理也为我们提供了一种理论工具，可以用来证明一些数学问题。
总之，Weierstrass第一逼近定理是数学分析中的一条重要定理，它的证明过程十分复杂，但是它的应用和意义却非常广泛。
- 1 -。
函数逼近论
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
插值法与逼近论
插值法与逼近论
插值法和逼近论都是数学中研究函数逼近和求解近似解的方法。
插值法是一种通过已知的数据点来确定未知函数的方法。
它的主要思想是使用已知数据点之间的函数来拟合未知函数，并在已知数据点上得到相同的函数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
逼近论是研究函数逼近的数学分支。
它的主要目标是通过一系列简单函数来近似复杂函数，从而精确计算或解决一些难题。
逼近论研究的问题包括：在某个函数空间中寻找最佳逼近函数、逼近函数的最优性、逼近函数的收敛性等。
插值法和逼近论之间存在一定的联系和区别。
插值法是在已知数据点上进行插值，通过插值函数来逼近未知函数；而逼近论是通过一系列简单函数来逼近复杂函数，有时并不需要已知的数据点。
插值法更加注重通过已知参数得到未知函数的精确解，而逼近论更注重通过简单函数近似复杂函数来解决实际问题。
威尔斯特拉斯第一逼近定理
威尔斯特拉斯第一逼近定理威尔斯特拉斯第一逼近定理是一个重要的数学定理，它的主要内容是：任何函数都可以用一组三角多项式来逼近，这组三角多项式可以通过逼近函数的傅里叶系数来得到。
在讲解这个定理之前，我们先来回顾一下函数逼近和三角多项式。
函数逼近是指用简单的函数来近似表示复杂的函数，以便更容易进行计算和分析。
为了表示一个函数，我们通常需要选择一个基函数，比如多项式、三角函数等。
而三角多项式是一种特殊的基函数，它可以表示为正弦和余弦函数的线性组合，形如：$$ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)) $$其中$a_n$和$b_n$是正常数，称为傅里叶系数。
这个式子包含了无限个三角函数，因此称之为三角级数。
威尔斯特拉斯第一逼近定理告诉我们，给定一个函数$f(x)$，我们可以用一个三角多项式的序列$(T_n)$来逼近$f(x)$，即存在一个数列$(\alpha_n)$，使得$$ \lim_{n\to\infty}\Vert f-T_n\Vert_2 = 0 $$其中$\Vert\cdot\Vert_2$是平方$L^2$范数，表示函数的平方和的平方根。
换句话说，这个定理保证了任何函数都可以用三角多项式逼近到任意精度。
证明这个定理需要用到一些抽象的数学理论，包括傅里叶级数、内积空间等。
这里只给出简要的证明思路。
首先，我们可以证明一个较弱的结论：对于周期为$2\pi$的连续函数$f(x)$，存在一个三角多项式$T(x)$，使得$\Vert f-T\Vert_\infty<\epsilon$，其中$\Vert\cdot\Vert_\infty$是无穷范数，即函数的最大值。
这个结论的证明可以通过将$f(x)$投影到三角多项式的空间上，然后利用内积空间的性质得到。
为了得到精度更高的逼近，我们可以将$f(x)$分解成一个低频部分和一个高频部分，分别进行逼近。
第三章 1 逼近论
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!
n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
2
，
i1
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
xk
逼近理论
一致逼近问题及相关定义
一致逼近问题（切比雪夫逼近问题）： X C[a,b] , Y X ，采用一致（无穷）范数。
设 X C[a,b] , t0 [a,b]，如果 x(t0) x ，则t0 称为x的一个极值点。
Haar条件：设Y是C[a,b]的有限维子空间， 对任意 y Y, y 0，它在[a,b]区间上至多有n-1 个零点，其中n=dimY。
函数逼近问题
函数逼近是数值分析的基础，同时在求取 微分方程数值解等方面有重要应用。
具体说来，函数逼近问题是指：在某一区 间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。
通常这些简单函数包括：(1)多项式函数； (2)分段多项式函数；(3)有理分式函数。
赋范线性空间上最优逼近的定义
设X是赋范线性空间，Y X 是其子空间； x X ，如果 y0 Y 使得
yi(t)=ti，i=0,1, …,n-1；问题：选择 0 ,1,L ,n1 R ，
使得
n1
y(t) it i
是对x按Y的最优一致逼近。
i0
令t=cosθ,θ∈[0,π]，有下式成立，其中βnj为常数：
x -y 余项 n1
cos n 2n1 cosn nj cos j , n 0,1, 2,L
对固定的n∈N，是[-1,1]上所有n次实系数且tn系数为1 的多项式中，距0最大偏差为最小的一个多项式。
n
证明：对于任意y∈Y，则 y i yi ,i R i 1 若Y满足Haar条件则Y在[a,b]至多有n-1个零点如t1, t2, …, tn-1
y1(t1)
[ y(t1),
y(t2 ),L
,
y(tn )] [1,2,L
,n
函数逼近论方法
函数逼近论方法函数逼近论是数学中的一个重要分支，它研究的是如何用简单的函数来近似复杂的函数。
函数逼近论的方法和理论在实际问题的建模和求解中起着重要的作用，被广泛应用于科学、工程和经济等领域。
在函数逼近论中，我们常常遇到的一个问题是如何找到一个函数f(x)来近似另一个函数g(x)。
这个问题可以转化为如何找到一组系数，使得通过这组系数的线性组合可以得到一个最佳的近似函数。
这就是函数逼近论中的最小二乘逼近问题。
最小二乘逼近是函数逼近论的基本思想之一。
它的核心思想是通过最小化函数g(x)与近似函数f(x)的误差平方和，来确定系数的取值。
最小二乘逼近的优点是可以得到一个全局最优解，而不需要事先对函数g(x)的性质作出任何假设。
最小二乘逼近的方法有许多，其中最常用的是基于正交多项式的逼近方法。
正交多项式具有许多良好的数学性质，可以在逼近中起到很好的作用。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
在实际问题中，我们常常需要通过离散的数据来进行函数的逼近。
离散数据是指在某个区间上取了有限个点的函数值。
离散数据的函数逼近问题可以通过插值方法来解决。
插值是一种通过已知的离散数据点来构造一个连续函数的方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
除了最小二乘逼近和插值方法外，函数逼近论还有许多其他的方法和技巧。
例如，基于小波分析的逼近方法可以将函数分解成不同尺度的小波函数的线性组合；基于神经网络的逼近方法可以通过训练神经网络来得到一个近似函数；基于稀疏表示的逼近方法可以将函数表示为一组基函数的线性组合等。
函数逼近论方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在信号处理中，我们常常需要通过近似函数来对信号进行压缩和降噪；在图像处理中，函数逼近论方法可以用于图像的插值和重构；在金融工程中，函数逼近论方法可以用于期权定价和风险管理等。
函数逼近论是数学中一个重要的分支，它研究的是如何用简单的函数来近似复杂的函数。
数学分析课件11.3逼近定理211.50KB
这个多项式 示如下
p x 就是由伯恩斯坦构造的多项式.它的表
不妨设 a , b 0 ,1 .
【数学分析课件】
在二项式展开 u v
n
k 0
n
Cnu v
k
k
nk
中,令 u
x
v , 1 x
得C
k 0
n
k n
x 1 x
k
nk
1 ,作多项式
Bn x
n
k 0
n
称 B x 是 f x 的 n 阶伯恩斯坦多项式.可以证明,当
n
k f n
nk k k C n x 1 x
时多项式序列 B x 在 a , b 上一致收敛于 f x连续函数 f x ,其逼近程度(即误差)可以比预先 给定的任意正数小. 定理(魏尔斯特拉斯定理) 设 f x 是 a , b 上的连续 函数,那么对任意给定的 0 ,总存在多项式 p x , 使得 max f x p x
x a , b
§3 .逼近定理
【数学分析课件】
设 f x 是 a , b 上的连续函数,一般来说,虽然它不一 定能够展开成一个幂函数,然而,总可以找到一个多项 式 p x ,使得对一切 x a , b , f x 与 p x 之差比预先 给定的任意正数都小.换句话说,可以用一个多项式 p x
函数逼近论方法
函数逼近论方法函数逼近论方法是数学分析中一种重要的方法，其主要应用于函数逼近和函数逼近的误差分析。
它是一种通过一组已知的函数来逼近一个未知的函数，并通过误差分析来确定逼近的精度和可行性的方法。
函数逼近论方法可以分为两种基本类型：插值法和最小二乘法。
插值法是通过已知的数据点去推导出未知函数，而最小二乘法则是通过已知的数据点去求解一个最优的函数逼近问题。
在插值法中，通过已知的数据点去推导出未知函数的形式，通常可以使用拉格朗日插值法或牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过一个多项式去逼近未知函数，这个多项式的系数可以通过已知的数据点来确定；牛顿插值法则是通过多个插值点的差商来构造一个插值多项式。
这两种方法的优缺点不同，适用于不同的情况。
例如，拉格朗日插值法的计算量较小，但插值多项式次数较高；而牛顿插值法的计算量较大，但插值多项式次数较低。
在最小二乘法中，通过已知的数据点去求解一个最优的函数逼近问题，通常可以使用最小二乘多项式逼近法或最小二乘样条逼近法。
最小二乘多项式逼近法是通过一个多项式去逼近未知函数，并使其在已知数据点处的误差平方和最小化；最小二乘样条逼近法则是通过构造一个分段多项式的组合，使其在已知数据点处的误差平方和最小化。
这两种方法的优缺点也各不相同，适用于不同的情况。
例如，最小二乘多项式逼近法适合于数据点较少的情况，而最小二乘样条逼近法则适合于数据点较多的情况。
除了插值法和最小二乘法之外，还有其他的函数逼近方法，例如曲线拟合法和逆问题法等。
曲线拟合法是通过已知的数据点去拟合一个曲线，可以使用多项式拟合、指数拟合、对数拟合等方法；逆问题法则是通过已知的数据点和一个模型，去求解一个逆问题，例如反演地震波形、恢复图像等。
函数逼近论方法在数学分析中是一种非常重要的方法，它可以通过已知的数据点去逼近一个未知的函数，并通过误差分析来确定逼近的精度和可行性。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题选择适当的函数逼近方法，以达到最优的逼近效果。
常微分方程--第三章 一阶微分方程的解的存在定理(3.1-3.2)_OK
x
L x0 1( ) 0 ( )d
L
x x0
M (
x0 )d
ML 2
(x
x0 )2
其中第二个不等式是由Lipschitz条件得到的,
由Lipschitz条件
17
设对于正整数n, 有不等式
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0
)n
,
则当x0 x x0 h时,由Lipschitz条件有
dy dx
f
(x, y), (3.1)
y(x0 ) y0
证明: 若y (x)为(3.1)的连续解,则
d ( x)
dx
f
( x, ( x)),
(x0 ) y0
对第一式从x0到x取定积分得
x
即
x (x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx (x) y0 x0 f (x,(x))dx
x
f ( , ( )) f ( ,( )) d x0
x
x
L ( ) ( ) d L g( )d
x0
x0
令u(x) L
x
g( )d ,
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u'(x) Lg(x),于是
u(x) Lu(x), (u(x) Lu(x))eLx 0,
(4) (x)是积分方程(3.5)定义于[x0 h, x0 h]上连续解
且唯一.
9
下面分五个命题来证明定理,为此先给出
积分方程
如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.
高等数学中的逼近理论与测度论
高等数学中的逼近理论与测度论在高等数学中，人们经常遇到一些用连续函数或多项式函数逼近非光滑函数或离散点集的问题，这就需要引入逼近理论和测度论。
逼近理论主要研究用连续函数、多项式函数或三角函数等函数类逼近某些函数的性质和方法，而测度论则是用来研究集合的大小和度量方法的数学分支。
接下来，我们将深入探讨这两个分支的一些基本概念和应用。
一、逼近理论的基本概念在逼近理论中，最基本的概念是逼近序列，即对于给定函数f(x)，构造一列函数 {f_n(x)}，使其能够逐渐逼近f(x)。
其中，{f_n(x)}可以是一列多项式函数、三角函数或连续函数等。
而原函数f(x)则是逼近序列的极限函数，在某些条件下，可以证明逼近序列能够收敛到原函数f(x)。
这便是逼近理论的核心问题之一。
另外，在逼近理论中，还有一些常见的逼近方法，比如最小二乘逼近和插值逼近等。
最小二乘逼近是指通过对样本数据进行拟合，使得拟合函数与样本数据之间的平方误差最小。
比如，我们有一些二维数据点(x_i, y_i)，我们需要用一条直线 y = ax + b 来拟合这些点。
而最小二乘逼近则是通过最小化误差函数来求解最优的拟合直线参数 a和 b。
插值逼近则是指通过一组已知离散点来构造一条连续的逼近函数。
比如，我们需要通过一组离散点来逼近函数 f(x)，我们可以采用拉格朗日插值法或牛顿插值法等来构造连续的逼近函数。
二、测度论的基本概念在测度论中，最基本的概念是集合的度量。
度量是指一种把集合映射到实数上的函数，它可以用来度量集合的大小和距离。
在实际应用中，最常见的度量是欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等。
欧氏距离是指在欧氏空间中，由两点间的直线距离定义的距离。
对于二维平面上的两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，它们之间的欧氏距离为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
曼哈顿距离是指在曼哈顿空间中，由两点间的直线距离定义的距离。
数学中的逼近论
数学中的逼近论数学中的逼近论是一门研究数学对象在其定义域内的逼近性质的学科。
它涉及到函数逼近、级数逼近等方面的研究，具有广泛的应用和重要的理论价值。
本文将通过介绍逼近论的基本概念和主要内容，展示逼近论在数学领域中的重要性及其应用。
一、逼近论的基本概念逼近论中常用的概念包括逼近序列、收敛和一致收敛等。
下面将详细介绍这些概念及其应用。
1. 逼近序列在逼近论中，逼近序列是指一列数或函数，通过与某个数或函数的距离不断减小来逼近其极限值。
逼近序列的选取对于逼近结果的准确性起着重要的作用。
2. 收敛在逼近论中，收敛是指逼近序列逐渐趋于某个确定的值。
例如，当逼近序列中的数或函数的偏离程度逐渐变小，且最终无限接近某个数或函数时，我们称该逼近序列是收敛的。
3. 一致收敛一致收敛是逼近论中的重要概念之一。
当逼近序列在定义域内任意一个点上的逼近速度都相同，且当序列中的数或函数无限逼近时，我们称该逼近序列是一致收敛的。
一致收敛具有较强的收敛性质，其优点在于可以对逼近结果进行更准确的估计。
二、逼近论的主要内容逼近论的主要内容包括函数逼近、级数逼近等。
1. 函数逼近在逼近论中，函数逼近是指通过一系列逼近序列来逼近一个函数。
常见的函数逼近方法有泰勒展开、插值法等。
泰勒展开是利用函数在某一点附近的导数值来逼近函数的值，而插值法则是根据一组已知的函数值来逼近函数的值。
函数逼近在数学分析、数学物理等领域有着广泛的应用。
2. 级数逼近级数逼近是逼近论中的重要内容。
级数逼近是指通过逐渐累加部分和来逼近一个序列或函数。
常见的级数逼近方法有几何级数、幂级数等。
幂级数在解析函数、微分方程等领域起着重要作用，它可以用来逼近各种函数，揭示函数的性质。
三、逼近论的应用逼近论在数学领域中具有广泛的应用。
1. 数学分析逼近论是数学分析的重要基础，它为分析学中的极限理论、连续性理论等提供了理论支持。
逼近论的基本概念和方法还被广泛应用于函数的连续性、可微性等性质的研究中。
矩阵论第3章1-2节
3
函数类 B 通常为 n次多项式，有理函数或分段低次多项 式等. 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间 空间. 空间 例如将所有实 n 维向量组成的集合，按向量加法及向量 ， 与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 Rn 称为 n维 向量空间. 向量空间
为单位圆. 满足‖·‖∞ =1 ，即 m x x , x2}=1的向量为单位正 a{ 1 方形. 而满足‖·‖1 =1 的向量 x + x2 =1则为对角线长 1 度为1的菱形.
18
所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同， 结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.
19
类似地，对连续函数空间 C a,b]，若 f (x)∈C a,b] , [ [ 可定义三种常用范数如下：
22
定义了内积的线性空间称为内积空间 内积空间. 内积空间 定义中（1）的右端 (u, v)称为 (u, v)的共轭. 当K为实数域R时 (u, v) = (v,u) . 如果 (u, v) = 0，则称 u v正交，这是向量相互垂 与 直概念的推广.
23
定理2 定理2 设X为一个内积空间， 对 ∀ , v∈X, 有 u
且 (a0, a ,⋯ an)是 p(x) 的坐标向量，Hn 是 n+1维的. , 1
8
对连续函数 f (x)∈C a,b] ，它不能用有限个线性无关的 [ 函数表示，故 C a,b]是无限维的，但它的任一元素 f (x) [ 均可用有限维的 p(x)∈Hn逼近，使误差
m x f (x) − p(x) <ε a
7
考察次数不超过 n 次的多项式集合 Hn， 其元素
p(x)∈H 表示为 n
数学分析中的逼近理论及基本应用
数学分析中的逼近理论及基本应用数学分析是数学中的一个重要分支，研究的主要对象是函数和序列的性质、极限、连续等。
函数逼近是数学分析的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用，是解决实际问题的一个重要工具。
本文将介绍数学分析中的逼近理论及其基本应用。
一、逼近理论1. 函数逼近函数逼近是指用简单的函数来近似复杂的函数。
在函数逼近中，我们首先需要定义一个逼近函数的集合，然后根据一定的逼近准则，选择逼近函数中的一个函数作为被逼近函数的近似函数。
通常选择的逼近函数具有一定的优良性质，例如在逼近函数中具有比较好的平滑性、可微性和可积性等。
2. 三角逼近三角逼近是指用三角函数来逼近周期函数。
三角函数的基本周期为 $2\pi$，所以可以用它来逼近周期函数。
三角逼近的目的是将周期函数分解为特定频率的正弦和余弦波的叠加，从而得到周期函数的频率分布和频率分量。
3. 插值逼近插值逼近是指用一个低次多项式来逼近一个离散的数据集。
在插值逼近中，我们首先需要确定逼近函数的次数，然后根据给定的数据点，构造一个逼近函数，使它在这些数据点处的函数值等于数据点的值。
通常采用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
4. 误差估计误差估计是指在进行逼近时，如何判断逼近函数的精度和可靠性。
误差估计方法通常有两种：点误差估计和区间误差估计。
点误差估计是指在给定的一个点上，用被逼近函数和逼近函数的差来估计误差。
区间误差估计是指在给定的一个区间上，用被逼近函数和逼近函数的差的最大值来估计误差。
二、逼近的应用1. 信号处理信号处理是指对信号进行分析、处理和提取有用信息的过程。
在信号处理中，逼近理论广泛地应用到信号分解和滤波中。
信号分解是将信号分解为一组组正弦和余弦波的叠加，以便分析其频率分布和频率分量；滤波是指通过选择合适的逼近函数，去除信号中的噪声和干扰成分，提取有用的信息。
2. 图像处理图像处理是指对数字图像进行处理和分析的过程。
逼近理论在图像处理中发挥了重要作用，例如，在图像压缩和去噪中，可以用逼近函数将图像分解为一组组正弦和余弦波的叠加，以便实现图像的压缩和去噪。
数学中的逼近理论与误差分析
数学中的逼近理论与误差分析数学作为一门精确的科学，依靠逼近理论来处理现实世界中的复杂问题。
逼近理论在数学的各个分支中都有广泛的应用，例如在微积分、数值计算和数据拟合等方面。
然而，逼近理论中存在误差，因此误差分析是必不可少的一部分，用来评估逼近方法的准确性和稳定性。
一、逼近理论的基本概念逼近理论是研究如何用一个简单的数学模型来近似描述一个复杂的现象。
它基于数学中的一些基本函数，例如多项式函数、三角函数或指数函数，通过这些基本函数的线性组合来逼近原始函数。
逼近理论的目标是使逼近函数与原始函数的差距尽可能小。
二、误差分析的基本原理误差分析是对逼近理论中引入的误差进行分析和评估的过程。
误差可以由多种因素引起，例如截断误差和舍入误差。
截断误差是由于将原始函数替换为一个有限的逼近函数而引起的，而舍入误差是由于计算机计算时的舍入操作引起的。
在误差分析中，我们需要计算逼近函数与原始函数之间的差值。
通常，我们使用范数来度量这种差值，例如L2范数或无穷范数。
然后，我们可以评估逼近方法的准确性和稳定性，比较不同逼近方法之间的差异，并选择最合适的方法来逼近原始函数。
三、常见的逼近方法1. 最小二乘法：最小二乘法是一种广泛应用于数据拟合问题的逼近方法。
它通过最小化误差的平方和来确定逼近函数的系数，使得逼近函数与原始数据之间的残差最小化。
2. 插值法：插值法是一种通过在已知数据点之间插入逼近函数来逼近原始函数的方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
3. 傅里叶级数：傅里叶级数是一种可以将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无穷级数的方法。
通过截取傅里叶级数的有限项，可以得到原始函数的逼近。
四、误差分析的应用误差分析在数学的各个领域都有广泛的应用。
在数值计算中，误差分析可以帮助我们评估数值方法的收敛性和稳定性。
在统计学中，误差分析可以用来评估参数估计的准确性和置信区间的确定性。
在工程学和物理学中，误差分析可以用来评估测量结果的可靠性和精度。
Rudin数学分析中的逼近理论的新创造
Rudin数学分析中的逼近理论的新创造数学分析是数学的基础学科之一，它研究实数和复数的性质以及函数的极限、连续性、微积分和级数等重要概念。
在数学分析的学科体系中，逼近理论即研究数学对象如何以近似的方式逼近目标对象的方法与技巧，是重要的研究方向之一。
而在逼近理论的研究中，Walter Rudin（鲁丁）以其独到的眼光和卓越的创造力，为数学分析领域带来了许多新的发展和突破。
一、逼近理论简介逼近理论是数学分析中的一个重要分支，它研究如何用某个已知数学对象去逼近另一个目标数学对象。
在数学分析中，我们常常需要对一个函数进行逼近，以求得它在某些条件下的性质。
逼近理论的研究范围广泛，包括多项式逼近、三角多项式逼近、Fourier级数逼近等。
二、 Walter Rudin的杰出贡献Walter Rudin是20世纪著名的数学家，他对逼近理论的研究做出了许多开创性的贡献。
首先，他在逼近理论中引入了一些新概念和方法，为后续的研究提供了重要的工具和思路。
例如，他提出了Rudin-Šidák逼近方法，该方法通过将逼近问题转化为线性优化问题，从而解决了一些复杂的逼近问题。
其次，Walter Rudin在逼近理论中的新创造还包括对多项式逼近的深入研究。
他在多项式逼近中提出了一系列重要的定理和结论，推动了该领域的发展。
其中，最突出的成果是著名的Jackson定理，该定理给出了一种测度函数性质下多项式逼近的最佳误差估计，为多项式逼近理论的深入发展奠定了基础。
另外，Walter Rudin在逼近理论的研究中还涉及到了实分析和复分析中的逼近问题，对这两个领域的发展产生了重要影响。
他提出了一系列的逼近定理和不等式，为实分析和复分析的研究提供了重要的参考。
他的贡献不仅体现在理论方面，还有在解决实际问题中的实用性。
三、近期研究进展近年来，逼近理论在数学分析中依然保持着活跃的研究态势。
在Walter Rudin的贡献基础上，许多数学家继续致力于逼近理论的发展和应用。
魏尔施特拉斯逼近定理
魏尔施特拉斯逼近定理
[from wiki]
基本定理
魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：
闭区间上的连续函数可⽤多项式级数⼀致逼近。
闭区间上周期为2π的连续函数可⽤三⾓函数级数⼀致逼近。
证明
第⼀逼近定理可以从第⼆逼近定理直接推出。
第⼆逼近定理的证明；
⾸先证明，为⼀个正交函数系： (因为)。
故令，于是可以求出。
将c n代⼊f a(t) 的定义式中，有：
下⾯对积分号中的和式S求和，令w = e in(t - s)，那么就有：，分成正负两部分求和，可知: 代回原积分，有，这就是f(s)泊松核。
故有：我们要检验的的是在时的情况，可以证明：
的泊松积分。
其中称为泊松核
由f(t)的⼀致连续性，可以证明，上式在时，满⾜⼀致收敛的条件，故可以⽤f r(t)来⼀致逼近f(t)。
参阅
傅⾥叶级数。
Weierstrass第一逼近定理与第二逼近定理
，则 (2)单调性：若 f (t ) ≥ g (t ) （ t ∈ [a, b]） Bn ( f , x) ≥ Bn ( g , x) （ x ∈ [a, b]） ；
1
k k (3) Bn (1, x) = ∑ C n x (1 − x) n − k = 1 ；
n
Bn (t , x) =
k =0 n
k k =0 n
∑ C nk x k (1 − x) n −k = x ；
k2 k k x − x2 。 n−k 2 C x ( 1 − x ) = + x n 2 k =0 n n 2 ： 函数 (t − s ) 在 Bn 映射下的像（视 s 为常数） Bn (t 2 , x ) =
P( x) − f ( x) < ε
对一切 x ∈[a, b]成立。 证 不失一般性，设[a, b]为[0, 1]。 设 X 是[0, 1]上连续函数 f (t ) 全体构成的集合，Y 是多项式全体构 成的集合，定义映射 Bn : X → Y
⎛k⎞ k =0 ⎝ n ⎠ 得到 {Bn ( f , x)} ， Bn ( f , x) 表示 f ∈ X 在映射 Bn 作用下的像，它是以 x 为
令 x = t − ，得到
2 | 2 f ( x) cos 2 x − T4 ( x +
π
π
2
) |< ε
（**）
对一切 x ∈ (−∞ , ∞ ) 成立。 记 T5 ( x) = [T3 ( x) + T4 ( x + )] ，结合（*）与（**） ，得到
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定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素x1, , xn S,
如果存在不全为零的数1, ,n P,使得
1x1 n xn 0，
（1 .1）
则称x1, , xn线性相关. 否则,若(1.1)只对1 n 0成
立，则称x1, , xn线性无关.
S span{ x1, , xn}. Hn span{1, x, , xn }. 有限维空间 vs 无限维空间. Rn, C[a,b],
Bn (
f
, x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x)
max
0 x1
f
n
( x) Pk ( x)
k0
,
故Bn( f , x)是稳定的.
n
而 lk ( x)无界,故拉格朗日插值Ln( x)不保证稳定性和
k0
收敛性.
函数逼近问题: 对f ( x) C[a,b], 求 * ( x) span{0, n},使得误差f ( x) * ( x)在某种度量意义下最小. 其中 0, ,n C[a,b]线性无关.
||2
n
i
i 1
xi2
1/2
.
若x, y Cn，则定义加权内积
n
( x, y) i xi yi .
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,
; 可以有限或
无限区间
二、范数与赋范线性空间
定义2 设S是实数域上的线性空间，x S，如果存在唯一
实数 || ||，满足条件
(1) || x || 0, 当且仅当x 0时,|| x || 0;
(正定性)
(2) x || x ||, R;
( 齐次性)
(3) x y || x || || y ||, x, y S.
| (u,v) |2 (u,u)(v,v).
(1.6)
称为Cauchy Schwarz不等式.
定理3 设X为一个内积空间，u1, u2, , un X , 矩阵
(u1, u1) (u2, u1)
G (u1, u2 ) (u2, u2 )
(u1, un ) (u2, un )
(un , u1) (un , u2 )
三、内积与内积空间
Rn中向量x及y定义内积 : ( x, y) x1 y1 , xn yn. 定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对u,v X， 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件：
(1) (u,v) (v,u), u,v X;
(2) (u,v) (u,v), R;
( 三角不等式)
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对Rn上的向量x ( x1, , xn )T，有 三种常用范数：
|| x || max | xi |， 称为 范数或最大范数，
1 i n n
|| x ||1 | xi ，| 称为1 范数,
定理 1(维尔斯特拉斯) 如果f ( x) C[a,b], 那么 0,
多项式p( x),使得
| f ( x) p( x) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
f
,
x)
n
k0
f
k n
Байду номын сангаас
Pk
( x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
i 1
2
，
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
1
|| f ||2 ab f 2( x)dx 2， 称为2 范数.
(un , un )
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是u1, u2, , un线性 无关.
证明：1) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性方程组
n
n
( ju j , uk ) (u j , uk ) j 0,
j1
j1
只有零解。
k 1, ,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
xk
(1
x)nk
,使得
lim Bn( f , x) f ( x)，在[0,1]上一致成立；
n
若f ( x) C m[0,1]，则 lim Bn(m)( f , x) f (m)( x).
n
其他性质：
Pk ( x)
n
0;
k0
Pk ( x)
n
n xk (1
k0 k
x)nk
1.
若 f ( x) ,x [0,1]，则
例1 考察Rn与Cn的内积和范数.
设x ( x1, , xn )T , y ( y1, , yn )T Rn，则定义
内积
( x,
y)
n
xi
i 1
yi；范数
||
x
||2
n
xi2
i 1
1/2
.
若给定i 0(i 1, , n)为权系数,则定义
内积
( x,
y)
n
i xi
i 1
yi；范数
||
x
(3) (u v, w) (u,w) (v,w), u,v,w X; (4) (u,u) 0,当且仅当u 0时，(u,u) 0. 则称(u,v)为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间称 为内积空间. (v,u)为(u,v)的共轭，当K R时 (v,u) (u,v).
定理 2 设X为一个内积空间，对u,v X , 有
j1
j1
j1
n
( ju j ,uk ) 0, k 1, ,n.
j1
G非奇异 u1, u2, , un线性无关(反证法)；反之亦然.
在内积空间X上可以由内积导出一种范数,即对u X ,记
|| u || (u,u)，
(1.10)
易证它满足范数定义的正定性和齐次性,而三角不等式由
Cauchy Schwarz不等式立得.
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际需要用简单函数逼近已知复杂函数. 函数逼近问题 : 对于函数类A中给定的函数f ( x),要求在 另一类较简单的便于计算的函数类B A中找一个函数 p( x),使p( x)与f ( x)的误差在某种度量意义下达到最小. 为此,下面介绍代数和分析中的一些基本概念. 空间 ，如：Rn, Rn[ x],C[a,b],C p[a,b].