专题十五 椭圆、双曲线、抛物线 听课手册

椭圆、双曲线、抛物线

1．[2015·全国卷Ⅱ] 已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1

2x ，则该双曲线的

标准方程为________．

2．[2015·陕西卷改编] 已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为________．

3．[2015·广东卷改编] 已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m>0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝

________．

4．[2015·天津卷改编] 已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率

为

5

5

，则直线BF 的斜率为________． 5．[2015·四川卷改编] 过双曲线x 2

－y 2

3

＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线

的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB|＝________．

6．[2015·安徽卷改编] 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)，点O 为坐标原点，点A

的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM 的斜率为

5

10

，则E 的离心率e ＝________． 7．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编] 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为3的直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点，则|AB|＝________．

8．[2015·四川卷改编] 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2

＋y 2＝r 2(r>0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程

2015·重庆卷改编] 椭圆x a 2＋y b

2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的

直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，则椭圆的标准方程为( )

A .x 24＋y 23＝1

B .x 24＋y 2

2＝1 C .x 24＋y 2＝1 D .x 216＋y 2

4

＝1

(2)已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 2

4＝1的左、右焦点，A 是双曲线左支上异于顶点的一

动点，圆C 为△AF 1F 2的内切圆，若M(x ，0)是其中的一个切点，则( )

A ．x>－3

B ．x<－3

C ．x ＝－3

D ．x 与－3的大小不确定

[听课笔记] [小结] 椭圆和双曲线的定义主要应用于两方面：一是利用定义求标准方程；二是利用定义求弦长、最值、离心率和焦点三角形的周长、面积等．

(1)抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为3

2

，O 为坐标原点，则△MFO

的面积为( )

A .

22 B .24 C .12 D .14

(2)过点P(0，2)的双曲线C 的一个焦点与抛物线x 2＝－16y 的焦点相同，则双曲线C 的标准方程是( )

A .x 212－y 24＝1

B .x 220－y 2

4＝1 C .y 24－x 212＝1 D .y 24－x 2

20

＝1

高考易失分题13 利用圆锥曲线的定义解题

范例 [2015·全国卷Ⅰ] 已知F 是双曲线C ：x 2

－y 28

＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，

A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．

失分分析 (1)涉及焦点问题不会联系双曲线的定义；(2)由条件“△APF 周长最小”不能确定点P 的位置；(3)得出点P 的位置后，不能结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等求解三角形．

高考预测 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，则|MN |

|AB |的最大值为

( )

A.

3

3

B ．1 C.233

D ．2 考点二 圆锥曲线的几何性质

(1)[2015·全国卷Ⅰ] 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为1

2

，E 的右焦点与抛

物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

(2)[2015·山东卷] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的

直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．

[听课笔记] [小结] 圆锥曲线的简单几何性质问题主要是求解椭圆和双曲线的离心率，主要有两类试题：一类是求解离心率的值；另一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是根据椭圆(双曲线)中a ，b ，c 的关系式，求值时建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围时建立关于a ，b ，c 的不等式．

(1)过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)的两个焦点作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，

这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )

A .5＋12

B .5－1

2 C .

3－12 D .3＋1

2

(2)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 是双曲线C 上一

点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )

A .2x±y ＝0

B ．x ±2y ＝0

C ．x ±2y ＝0

D ．2x ±y ＝0

考点三 直线与圆锥曲线的位置关系

考向一 位置关系的判断

2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的

直线交C 于A ，B 两点，则|AB|＝( )