利用向量求空间角人教A版高中数学选修第一册课件
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用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线 lθ与＝平_π2面__－α__θ所__1 成__的_，角且为sθin，θ向＝|量_c_ov_s与_θ_n_1的_|_＝夹__|角_|v_v|为_··_θ_n|_|n1_|，__则_.
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
数学人教A版选择性必修第一册1.2空间向量基本定理共15张ppt
M
A1
B1
由已知,{ AB , AD, AA1 }可构成空间的一个基底,
把 MN 和 AC1分别用基底表示 ,
然后计算 MN AC1即可 .
证明：设 AB a , AD b, AA1 c这三个向
量不共面,{a , b, c }构成空间的一个基底,
D
A
N
C
B
C1
典例分析
解 我们用它们表示 MN , AC1 , 则
3．正方体上一个顶点出发的三条棱上的单位向
量 e1 , e2 , e3 .可以作为空间的一个基底吗？
知识梳理
知识点一
空间向量基本定理
(1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c
不共面 ，那么对任意一
个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p＝ xa＋yb＋zc .
(2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合
2
1
AG AD DG i k
2
1
1
j k i k
CE AG
2
2 2
cos CE , AG
5
5
5
CE AG
2
2
2
故CE 与AG所成角的余弦值为 .
5
D
A
C
E
F
G
B
D
A
C
B
课堂小结
空间向量基本定理及其应用
学
习 目
标
1.了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽
象)
2.掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-4-2第2课时用空间向量研究夹角问题课件
在必修教材的课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与 平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间 中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法 向量有何关系？
知识点3 利用向量方法求两个平面的夹角 (1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我 们 把 这 四 个 二 面 角 中 _不__大__于__9_0_°_ 的 二 面 角 称 为 平 面 α 与 平 面 β 的 夹 角．
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 两条异面直线所成的角 类型2 直线与平面所成的角 类型3 两个平面的夹角
类型1 两条异面直线所成的角 【例1】 (源自北师大版教材)如图所示，在 空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′， AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角 的余弦值．
[跟进训练] 2．(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形， M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点， 过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； [解] 证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1． 又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN． 因为△A1B1C1是正三角形， 所以B1C1⊥A1N． 又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N， 故B1C1⊥平面A1AMN． 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．
反思领悟 求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角．
(2)由(1)可知，DA，DB，DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA， DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系Dxyz，
人教A版选择性必修第一册1.4.2第二课用空间向量研究空间角问题课件(38张)
解：(1)交线围成的正方形 EHGF 如图： (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E ＝4，EM＝AA1＝8.因为四边形 EHGF 为 正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10.于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10.以 D 为坐标原点，―D→A 的 方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， ―F→E ＝(10,0,0)，―H→E ＝(0，－6,8)． 设 n＝(x，y，z)是平面 EHGF 的法向量，
B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1， 3，1)，
则―BC→1 ＝(1,0，－1)，―AB→1 ＝(1，－ 3，－1)．
所以 cos〈―AB→1 ，―BC→1 〉＝
―→ ―→
AB1 ·BC1 ―→ ―→
＝
| AB1 |·| BC1 |
2 5×
＝ 2
510.
所以异面直线 AB1 与 BC1 所成的角的余弦值为 510.
则 H(0,0,0)，P0，0， 23，D－1，－32，0， ―D→P ＝1，32， 23，―H→P ＝0，0， 23. 又―H→P 为平面 ABFD 的一个法向量，
设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ，
―→ ―→ 3
则
sin
θ＝
| HP ―→
·DP | ―→
＝
| HP || DP |
4＝ 3
2 4.
所以异面直线
AC
与
VD
所成角的余弦值为
2 4.
题型二 求线面角的问题 [学透用活]
[典例2] 如图，四边形ABCD为正方 形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折 痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
用空间向量研究夹角问题(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
例8如图示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 ，AC=CB=2,AA₁=3,∠ACB=90°,P 为BC的中点，点Q,R分别在棱AA₁
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
数学人教A版选修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示课件
1
= 0,- ,1 ,
2
∴||= 12 + (-1)2 + 12 = 3,
1 2
||= 02 + - 2
+ 12 =
5
2
.
5
故 BM 的长为 3,BN 的长为 .
2
1
(2)S△BMN=2·
|BM|·
|BN|·
sin∠MBN.
·
∵cos∠MBN=cos<, >=| || | =
公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用
面积公式计算.
解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系(如图).
1
则 B(0,1,0),M(1,0,1),N 0, 2 ,1 .
(1)∵=(1,-1,1),
b＝(0，2，－1)，
a·
b＝0－2－1＝－3， |a|＝ 3，|b|＝ 5，
a·
b
15
cos〈a，b〉＝
＝－
.
|a||b|
5
练一练
1 (1)已知 O 为坐标原点,A,B,C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1),
→ 1 → →
(－2,2,3).求点 P 的坐标，使AP＝2(AB－AC).
思考
已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
→
答案 OA＝|OA|＝ x2＋y2＋z2.
判断正误
→
1.空间直角坐标系中，向量AB的坐标与终点 B 的坐标相同.(
×)
x1 y1 z1
2.设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若 a∥b 则x ＝y ＝z .(
= 0,- ,1 ,
2
∴||= 12 + (-1)2 + 12 = 3,
1 2
||= 02 + - 2
+ 12 =
5
2
.
5
故 BM 的长为 3,BN 的长为 .
2
1
(2)S△BMN=2·
|BM|·
|BN|·
sin∠MBN.
·
∵cos∠MBN=cos<, >=| || | =
公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用
面积公式计算.
解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系(如图).
1
则 B(0,1,0),M(1,0,1),N 0, 2 ,1 .
(1)∵=(1,-1,1),
b＝(0，2，－1)，
a·
b＝0－2－1＝－3， |a|＝ 3，|b|＝ 5，
a·
b
15
cos〈a，b〉＝
＝－
.
|a||b|
5
练一练
1 (1)已知 O 为坐标原点,A,B,C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1),
→ 1 → →
(－2,2,3).求点 P 的坐标，使AP＝2(AB－AC).
思考
已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
→
答案 OA＝|OA|＝ x2＋y2＋z2.
判断正误
→
1.空间直角坐标系中，向量AB的坐标与终点 B 的坐标相同.(
×)
x1 y1 z1
2.设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若 a∥b 则x ＝y ＝z .(
高二数学人教A版2019选择性必修第一册精品课件1-4-2用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)
从而E→F＝(2，2，0)，M→N＝(2，2，0)，A→M＝(－2，0，4)，B→F＝(－2，0，
4)．
∴E→F＝M→N，A→M＝B→F.
又 E∉MN，A∉BF， ∴EF∥MN，AM∥BF. 又∵EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，
新知应用
题型三：平面与平面的距离
∴平面 AMN∥平面 EFBD.
设 n＝(x，y，z)是平面 AMN 的法向量，
Q
如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为
点P到平面α的距离求解.
两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平
行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
P
Q
03新知应用
PART
ONE
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
平面 ABCD 且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系 Cxyz，则 B(0，－4，0)，G(0，0，2)，E(－2，－4，0)，
F(－4，－2，0)．
∴G→E＝(－2，－4，－2)，G→F＝(－4，－2，－2)，B→E＝(－2，0，0)．
→
→
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，由GE·n＝0 及GF·n＝0，
01情景导入
PART
ONE
情境导入
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个 蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路 线长度理论上最短,应该如何设计？
这个问题就需要我们来研究空间中的 距离。
情境导入
思考：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平 行平面的距离; 常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
4)．
∴E→F＝M→N，A→M＝B→F.
又 E∉MN，A∉BF， ∴EF∥MN，AM∥BF. 又∵EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，
新知应用
题型三：平面与平面的距离
∴平面 AMN∥平面 EFBD.
设 n＝(x，y，z)是平面 AMN 的法向量，
Q
如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为
点P到平面α的距离求解.
两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平
行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
P
Q
03新知应用
PART
ONE
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
平面 ABCD 且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系 Cxyz，则 B(0，－4，0)，G(0，0，2)，E(－2，－4，0)，
F(－4，－2，0)．
∴G→E＝(－2，－4，－2)，G→F＝(－4，－2，－2)，B→E＝(－2，0，0)．
→
→
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，由GE·n＝0 及GF·n＝0，
01情景导入
PART
ONE
情境导入
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个 蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路 线长度理论上最短,应该如何设计？
这个问题就需要我们来研究空间中的 距离。
情境导入
思考：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平 行平面的距离; 常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
数学人教A版选择性必修第一册13.2空间向量运算的坐标表示课件
(1)空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示 (2)平行向量、垂直向量的坐标表示， (3)空间向量长度、夹角公式及空间两点间距离公式
2、用向量法解决立体几何问题的一般步骤
①建系，读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ③进行向量的坐标运算，获得几何结论
且 a ⊥b .求x的值 且a //b. 求x+y的值 且a与b的夹角
例题分析
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁中 ， 点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点， 求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
பைடு நூலகம்题分折
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁ 中 ， 点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点， 求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
【方法提炼】①建系、读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ⑤进行向量的坐标运算， 获得几何结论
变式1:若点E,F 分别是BB,D₁B₁的中点，求证EF⊥DA.
变式2:G 是 BB₁ 的一个靠近点B 的四等分点，H 为DD₁ 上的一点， 若GH⊥DF, 试确定H点的位置.
演练反馈
减法： a-b=(a₁-a₂,b₁-b₂,c₁c₂)
你能对这些运
算的生标表示
加以证明吗?
数乘： λa=(λa,λb,2c₁)
O
数量积：抓a.住b=根aa₂本+b：₁b₂空+c₁间C₂向量的坐标表示!
探究新知
2、 空间向量平行与垂直的坐标表示
平行：a lIb(b≠0)→a=λb⇔a=λa₂,b₁=λb₂,c₁=λc₂ (λ∈R)
探究新知
在空间直角坐标系中，已知点 A(a,b,c₁),B(a₂,b₂,C₂),
2、用向量法解决立体几何问题的一般步骤
①建系，读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ③进行向量的坐标运算，获得几何结论
且 a ⊥b .求x的值 且a //b. 求x+y的值 且a与b的夹角
例题分析
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁中 ， 点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点， 求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
பைடு நூலகம்题分折
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁ 中 ， 点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点， 求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
【方法提炼】①建系、读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ⑤进行向量的坐标运算， 获得几何结论
变式1:若点E,F 分别是BB,D₁B₁的中点，求证EF⊥DA.
变式2:G 是 BB₁ 的一个靠近点B 的四等分点，H 为DD₁ 上的一点， 若GH⊥DF, 试确定H点的位置.
演练反馈
减法： a-b=(a₁-a₂,b₁-b₂,c₁c₂)
你能对这些运
算的生标表示
加以证明吗?
数乘： λa=(λa,λb,2c₁)
O
数量积：抓a.住b=根aa₂本+b：₁b₂空+c₁间C₂向量的坐标表示!
探究新知
2、 空间向量平行与垂直的坐标表示
平行：a lIb(b≠0)→a=λb⇔a=λa₂,b₁=λb₂,c₁=λc₂ (λ∈R)
探究新知
在空间直角坐标系中，已知点 A(a,b,c₁),B(a₂,b₂,C₂),
高二数学人教A版选修一《1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题》新课件(62页)
答案：5
题型一 点到直线的距离
[学透用活]
[典例 1] 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1＝1，AB＝4，
BC＝3，∠ABC＝90°，求点 B 到直线 A1C1 的距离． [解] 以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线 A1C1 的方向向量为A―1→C1＝(－4,3,0)，而―BC→1 ＝
∴点
B
到平面
α
的距离
d＝|―A→B |·sin
φ＝|―A→B |·|cos
―→ θ|＝| A|Bn|·n|.
[学透用活]
[典例 2] 如图，已知正方形 ABCD 的边
长为 1，PD⊥平面 ABCD，且 PD＝1，E，F
分别为 AB，BC 的中点．
(1)求点 D 到平面 PEF 的距离；
(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离．
所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线
AC到平面PEF的距离．
由于
―→ AE
＝
0，12，0
，又由(1)知平面PEF的法向量为n＝
(2,2,3)，
|―A→E ·n|
所以点A到平面PEF的距离为
＝
|n|
1＝ 17
1177，即直线
AC到平面PEF的距离为
17 17 .
[方法技巧] 用向量法求点面距的步骤
·―P→E ＝0，
所以x12＋x＋12yy－－zz＝＝00，，
即z＝32y， x＝y，
令 y＝2，则 n＝(2,2,3)，又―D→P ＝(0,0,1)，
所以点 D 到平面 PEF 的距离
|―D→P ·n|
d＝
人教A版2019选择性必修第一册)1.4.2 用空间向量解决角度问题(第2课时)(课件)
如图,取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC
的中点知
1
TN∥BC,TN=2BC=2.
又 AD∥BC,故 TN∥AM 且 TN=AM,
所以四边形 AMNT 为平行四边形,
于是 MN∥AT.
因为 AT⊂平面 PAB,MN⊄平面 PAB,
所以 MN∥平面 PAB.
(2)解:如图,取 BC 的中点 E,连接 AE.
区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在
黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从
春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、
狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.
问题：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些?
答案：线线角、线面角、二面角; 传统方法和向量法.
人教A版2019选修第一册
第 1 章空间向量与立体几何
1.4.2 用空间向量解决角度问题
（第2课时）
目
录
01异面直线的夹角
02直线与平面的夹角
03平面与平面的夹角
学习目标
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量
方法求两 异面直线所成角.
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间
余弦值为
.
解析：以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1.则
B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),1 =(0,1,-2),
1 =(-1,0,2),
1 ·
1
|1 ||1 |
cos<1 , 1 >=
平面与平面所成的角，可以转化为法向量与法向量的夹角.
(人教A版2019选修第一册)1.4.2用空间向量解决距离、夹角的应用(第3课时)(课件)
2 降落伞匀速下落
| F合 || G礼物 | 1 9.8 9.8 (N ) | 4 3 | F | n | 9.8 | F | 9.8 1.41 (N )
43
典例2 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱
PD 底面ABCD，PD DC，E是PC中点，作EF (1) 求证：PA// 平面EDB
典例1 图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连 接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30.已知礼物的质量 为1kg，每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程 中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m / s2精确到0.01N )
分析：降落伞匀速下落
8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小
62 42 82 268cos CA, BD 116 96 cos CA, BD (2 17)2 68 cos CA, BD 1
2
CA, BD 2
3
平面与平面的夹角为
3
C
AB l D
2.如图，在三棱锥A BCD中，AB AC BD CD 3，AD
2) 3
1 2
63
EFD 60 即平面BCP与平面BDP的夹角为60
典例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点 B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b， CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角 的余弦值.
解 由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d， 所以 d2＝A→B2＝(A→C＋C→D＋D→B)2 ＝A→C2＋C→D2＋D→B2＋2(A→C·C→D＋A→C·D→B＋C→D·D→B) ＝a2＋c2＋b2＋2A→C·D→B＝a2＋c2＋b2－2C→A·D→B， 则 2C→A·D→B＝a2＋b2＋c2－d2， 设向量C→A与D→B的夹角为 θ，θ 就是库底与水坝所在平面的夹角， 因此 2abcos θ＝a2＋b2＋c2－d2，所以 cos θ＝a2＋b22＋abc2－d2，
| F合 || G礼物 | 1 9.8 9.8 (N ) | 4 3 | F | n | 9.8 | F | 9.8 1.41 (N )
43
典例2 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱
PD 底面ABCD，PD DC，E是PC中点，作EF (1) 求证：PA// 平面EDB
典例1 图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连 接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30.已知礼物的质量 为1kg，每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程 中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m / s2精确到0.01N )
分析：降落伞匀速下落
8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小
62 42 82 268cos CA, BD 116 96 cos CA, BD (2 17)2 68 cos CA, BD 1
2
CA, BD 2
3
平面与平面的夹角为
3
C
AB l D
2.如图，在三棱锥A BCD中，AB AC BD CD 3，AD
2) 3
1 2
63
EFD 60 即平面BCP与平面BDP的夹角为60
典例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点 B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b， CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角 的余弦值.
解 由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d， 所以 d2＝A→B2＝(A→C＋C→D＋D→B)2 ＝A→C2＋C→D2＋D→B2＋2(A→C·C→D＋A→C·D→B＋C→D·D→B) ＝a2＋c2＋b2＋2A→C·D→B＝a2＋c2＋b2－2C→A·D→B， 则 2C→A·D→B＝a2＋b2＋c2－d2， 设向量C→A与D→B的夹角为 θ，θ 就是库底与水坝所在平面的夹角， 因此 2abcos θ＝a2＋b2＋c2－d2，所以 cos θ＝a2＋b22＋abc2－d2，
人教A版高中数学选修立体几何中的向量一新课件
(0,
1
,
r1)
2
rx
A
Dy
2
uur
设平面 SCD的法向量n2
x y 2
yz 2
0 0
x y 2
z y
ur uu2r
2
(面nx1,内方y,，向z)属朝, 于由面“外nuur2一，n进2 Cu方一uDu向出r,朝”nuur2
的情况，二面角等于法向
By
在 RtCC1B
中，C1E
EB
CC12 BC2
b2 a2
1 2
x
DA
即E分有向线段
C1
B的比为
1 2
E(0, 1 , 2 ) 33
uuur EC
(0,
1
,
2)
33
由于BD AC且 CC1 面ABC ，所以 BD C1D
在
RtC1 BD
中，同理可求
F (0,
1 2
rC
rD
a
a
A r
D1
bB
Ar
n
B
O r n
3.二面角：
B
A C l
D
cos cos
uuur uuur AB, CD
uuur uuur uAuuBr CuuDur
AB CD
uur
n2
一进一出， 二面角等于
法向量的夹
角；
uur
n1
l
同进同出，
二面角等于 法向量夹角 的补角。
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