高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试 新人教B版
高考总复习北师大版数学文第六章 第四节简单的线性规划问题
第四节简单的线性规划问题错误!１．二元一次不等式（组）表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分２．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式（组）线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝２x＋３y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题１．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0（a>0）．２．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]１．（２0１３·全国卷Ⅱ）设x，y满足约束条件错误!则z＝２x—３y的最小值是（）Ａ．—7 Ｂ．—6Ｃ．—５Ｄ．—３解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．易知直线z＝２x—３y过点C时，z取得最小值．由错误!得错误!∴z min＝２×３—３×４＝—6，故选Ｂ．２．如图所示的平面区域（阴影部分）满足不等式________．答案：x＋y—１>0１．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点（x0，y0）作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．２．求二元一次函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值的方法将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝—错误!x＋错误!，通过求直线的截距错误!的最值间接求出z的最值．（１）当b>0时，截距错误!取最大值时，z也取最大值；截距错误!取最小值时，z也取最小值；（２）当b<0时，截距错误!取最大值时，z取最小值；截距错误!取最小值时，z取最大值．[练一练]（２0１３·陕西高考）若点（x，y）位于曲线y＝|x|与y＝２所围成的封闭区域，则２x—y的最小值是（）Ａ．—6 Ｂ．—２Ｃ．0 Ｄ．２解析：选A 作出函数y＝|x|＝错误!和y＝２围成的等腰直角三角形的可行域（如图阴影部分所示），则可得过交点A（—２，２）时，２x—y取得最小值—6．错误!考点一二元一次不等式（组）表示平面区域Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 平面区域如图所示．解错误!得A（１,１），易得B（0,４），C错误!，|BC|＝４—错误!＝错误!.∴S△ABC＝错误!×错误!×１＝错误!.２．若满足条件错误!的整点（x，y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（）Ａ．—３Ｂ．—２Ｃ．—１Ｄ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有４个整点（１,１），（0,0），（１,0），（２,0）；当a＝—１时，正好增加（—１，—１），（0，—１），（１，—１），（２，—１），（３，—１）５个整点，故选Ｃ．３．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x—２y＋２＝0与x＋y—１＝0．由（0,0）点在直线x—２y＋２＝0右下方可知x—２y＋２≥0，又（0,0）点在直线x＋y—１＝0左下方可知x＋y—１≥0，即错误!为所表示的可行域．答案：错误![类题通法]二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：１求线性目标函数的最值；２求非线性目标的最值；３求线性规划中的参数.角度一求线性目标函数的最值１．（１）（２0１３·湖南高考）若变量x，y满足约束条件错误!则x＋２y的最大值是（）Ａ．—错误!Ｂ．0Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y＝—错误!x ＋错误!z，可知该直线经过y＝２x与x＋y＝１的交点A错误!时，z有最大值为错误!＋错误!＝错误!.（２）如果函数x、y满足条件错误!那么z＝２x—y的最大值为（）Ａ．２Ｂ．１Ｃ．—２D．—３解析：选B 如图作出可行域，当z经过直线y＋１＝0与x＋y＋１＝0的交点（0，—１）时，z max ＝１．角度二求非线性目标的最值２．（１）（２0１３·山东高考）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组错误!所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y—２＝0的距离，所以|OM|min＝错误!＝错误!.答案：错误!（２）（２0１４·深圳调研）已知变量x，y满足约束条件错误!则错误!的取值范围是________．解析：如图，画出可行域，易得A（２,４），B（１,6），∴它们与原点连线的斜率分别为k１＝２，k２＝6，又错误!＝错误!，∴k１≤错误!≤k２，即２≤错误!≤6．答案：[２,6]角度三求线性规划中的参数３．（１）（２0１３·浙江高考）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足错误!若z的最大值为１２，则实数k＝________.解析：已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤—k<错误!时，直线y＝—kx＋z经过点M（４,４）时z最大，所以４k＋４＝１２，解得k＝２（舍去）；当—k≥错误!时，直线y＝—kx＋z经过点N（２,３）时z最大，所以２k＋３＝１２，解得k＝错误!（舍去）；当—k<0时，直线y＝—kx＋z经过点M（４,４）时z最大，所以４k＋４＝１２，解得k＝２，符合条件，综上可知，k＝２．答案：２（２）（２0１４·江西七校联考）已知实数x，y满足错误!若点错误!是使ax—y取得最小值的唯一的可行解，则实数a的取值范围为________．解析：记z＝ax—y，注意到当x＝0时，y＝—z，即直线z＝ax—y在y轴上的截距是—z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a的取值范围为a<—错误!.答案：错误![类题通法]１．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．２．常见的目标函数有：（１）截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝—错误!x＋错误!，通过求直线的截距错误!的最值间接求出z的最值．（２）距离型：形如z＝（x—a）２＋（y—b）２.（３）斜率型：形如z＝错误!.注意：转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用[典例] （２0A，B两种车辆的载客量分别为３6人和60人，租金分别为１600元/辆和２４00元/辆，旅行社要求租车总数不超过２１辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为（）Ａ．３１２00元Ｂ．３6 000元Ｃ．３6 800元Ｄ．３8 ４00元[解析] 设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝１600x＋２４00y，则约束条件为错误!作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点（５,１２）时，有最小值z min＝３6 800（元）．[答案] C[类题通法]求解线性规划应用题的注意点（１）明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．（２）注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．（３）正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品１桶需耗A原料１千克、B原料２千克；生产乙产品１桶需耗A原料２千克，B原料１千克．每桶甲产品的利润是３00元，每桶乙产品的利润是４00元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过１２千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）Ａ．１800元Ｂ．２４00元Ｃ．２800元Ｄ．３１00元解析：选C 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则错误!z＝３00x＋４00y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线３00x＋４00y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A（４,４）时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝３00x＋４00y取得最大值，最大值是z＝３00×４＋４00×４＝２800，即该公司可获得的最大利润是２800元．错误![课堂练通考点]１．（２0１４·长春模拟）不等式组错误!表示的平面区域是（）解析：选B x—３y＋6≥0表示直线x—３y＋6＝0以及该直线下方的区域，x—y＋２<0表示直线x—y＋２＝0上方的区域，故选Ｂ．２．（２0１３·北京市海淀区期中练习）不等式组错误!表示面积为１的直角三角形区域，则k的值为（）Ａ．—２Ｂ．—１Ｃ．0 Ｄ．１解析：选D 注意到直线kx—y＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx—y＝0与直线x＋y—４＝0垂直时满足题意，于是有k×（—１）＝—１，由此解得k＝１，选Ｄ．３．（２0１４·泉州质检）已知O为坐标原点，A（１,２），点P的坐标（x，y）满足约束条件错误!则z＝OA·OP的最大值为（）Ａ．—２Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．２解析：选D 如图作可行域，z＝OA·OP＝x＋２y，显然在B（0,１）处z max＝２．故选Ｄ．４．（２0１３·四川高考）若变量x，y满足约束条件错误!且z＝５y—x的最大值为a，最小值为b，则a—b的值是（）Ａ．４8 Ｂ．３0Ｃ．２４Ｄ．１6解析：选C 约束条件错误!表示以（0,0），（0,２），（４,４），（8,0）为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝４，y＝４时，a＝z max＝５×４—４＝１6；当x＝8，y＝0时，b＝z min＝５×0—8＝—8，∴a—b＝２４．５．（２0１３·安徽高考）若非负变量x，y满足约束条件错误!则x＋y的最大值为________．解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令z＝x＋y，易知当直线y＝—x＋z经过点C（４,0）时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即z max＝４．答案：４6．（２0１３·北京高考）设D为不等式组错误!所表示的平面区域，区域D上的点与点（１,0）之间的距离的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B（１,0）到直线２x—y＝0的距离最小，d＝错误!＝错误!，故最小距离为错误!.答案：错误![课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．已知点（—３，—１）和点（４，—6）在直线３x—２y—a＝0的两侧，则a的取值范围为（）Ａ．（—２４,7）Ｂ．（—7,２４）Ｃ．（—∞，—7）∪（２４，＋∞）Ｄ．（—∞，—２４）∪（7，＋∞）解析：选B 根据题意知（—9＋２—a）·（１２＋１２—a）＜0．即（a＋7）（a—２４）＜0，解得—7＜a＜２４．２．已知实数对（x，y）满足错误!则２x＋y取最小值时的最优解是（）Ａ．6 Ｂ．３Ｃ．（２,２）Ｄ．（１,１）解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝２x＋y，y＝—２x＋z，作初始直线l0：y＝—２x，作与l0平行的直线l，则直线经过点（１,１）时，（２x＋y）min＝３．３．（２0１２·山东高考）设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝３x—y的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．[—１,6] Ｄ．错误!解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A（２,0）处取得，最小值在点B 错误!处取得，即最大值为6，最小值为—错误!.４．（２0１３·北京西城一模）实数x，y满足错误!如果目标函数z＝x—y的最小值为—２，则实数m的值为（）Ａ．５Ｂ．6Ｃ．7 Ｄ．8解析：选D 先作出满足不等式组错误!的区域如图．由z＝x—y得y＝x—z可知，直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线y＝x—（—２）＝x＋２，作出直线y＝x＋２，交y＝２x—１于A点，由错误!得错误!代入x＋y＝m得m＝３＋５＝8，故选Ｄ．５．（２0１４·辽宁六校联考）设变量x，y满足约束条件错误!且不等式x＋２y≤１４恒成立，则实数a的取值范围是（）Ａ．[8,１0] Ｂ．[8,9]Ｃ．[6,9] Ｄ．[6,１0]解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋２y在点（6，a—6）处取得最大值２a—6，由２a—6≤１４得，a≤１0，故选Ａ．6．（２0１４·“江南十校”联考）若不等式组错误!的平面区域的面积为３，则实数a的值是________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S＝错误!×错误!×２＝３，解得a＝２．答案：２7．（２0１３·广东高考）给定区域D：错误!令点集T＝{（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D，其中A（0,１）是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．答案：68．（２0１４·郑州质检）若x，y满足条件错误!当且仅当x＝y＝３时，z＝ax—y取得最小值，则实数a的取值范围是________．解析：画出可行域，如图，直线３x—５y＋6＝0与２x＋３y—１５＝0交于点M（３,３），由目标函数z＝ax—y，得y＝ax—z，纵截距为—z，当z最小时，—z最大．欲使纵截距—z最大，则—错误!<a<错误!.答案：错误!9．变量x，y满足错误!（１）设z＝４x—３y，求z的最大值；（２）设z＝错误!，求z的最小值．解：（１）由约束条件错误!作出（x，y）的可行域如图所示．由z＝４x—３y，得y＝错误!x—错误!.求z＝４x—３y的最大值，相当于求直线y＝错误!x—错误!在y轴上的截距—错误!的最小值．平移直线y＝错误!x知，当直线y＝错误!x—错误!过点B时，—错误!最小，z最大．由错误!解得B（５,２）．故z max＝４×５—３×２＝１４．（２）∵z＝错误!＝错误!.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知z min＝k OB＝错误!.１0．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共１00个，生产一个卫兵需５分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需４分钟，已知总生产时间不超过１0小时．若生产一个卫兵可获利润５元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润３元．（１）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w（元）；（２）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：（１）依题意每天生产的伞兵个数为１00—x—y，所以利润w＝５x＋6y＋３（１00—x—y）＝２x＋３y＋３00．（２）约束条件为错误!整理得错误!目标函数为w＝２x＋３y＋３00．作出可行域．如图所示：初始直线l0：２x＋３y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．由错误!得错误!最优解为A（５0,５0），所以w max＝５５0元．所以每天生产卫兵５0个，骑兵５0个，伞兵0个时利润最，最大为利润５５0元．第Ⅱ组：重点选做题１．（２0１３·北京高考）设关于x，y的不等式组错误!表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0—２y0＝２．求得m的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 问题等价于直线x—２y＝２与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点（—m，m）不可能在第一和第三象限，而直线x—２y＝２经过第一、三、四象限，则点（—m，m）只能在第四象限，可得m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x—２y＝２与阴影部分有公共点，则点（—m，m）在直线x—２y—２＝0的下方，由于坐标原点使得x—２y—２＜0，故—m—２m—２＞0，即m＜—错误!.２．记不等式组错误!所表示的平面区域为D，若直线y＝a（x＋１）与D有公共点，则a的取值范围是________．解析：画出可行域，易知直线y＝a（x＋１）过定点（—１,0），当直线y＝a （x＋１）经过x＋３y＝４与３x＋y＝４的交点（１,１）时，a取得最小值错误!；当直线y＝a（x＋１）经过x＝0与３x＋y＝４的交点（0,４）时，a取得最大值４，故a的取值范围是错误!.答案：错误!。
新高考数学一轮复习教师用书：第7章 3 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) 表示区域Ax＋By＋C>0(<0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数解析式,如z＝x＋2y 线性目标函数关于x,y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是________,________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(－1,－1),B(2,－1),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12,画直线l 0：y ＝－2x,平移l 0过点B 时,z max ＝4,平移l 0过点A 时,z min ＝－2.答案：4 －22．(必修5P91练习T2改编)投资生产A 产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米；投资生产B 产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x,y 分别表示生产A,B 产品的吨数,x 和y 的单位是百吨)解析：用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出,x ≥0,y ≥0,200x ＋300y≤1 400,200x ＋100y≤900. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y≤1 400，200x ＋100y≤900，x ≥0，y ≥0[易错纠偏](1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方,则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示,所以由点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0,解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 2．已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x －y ＝0,平移直线经过点A(1,0)时,目标函数z ＝x －y 取得最大值,最大值为1.答案：13．已知x,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示,问题转化为区域上哪一点与点M(－3,1)连线斜率最大,观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52,使k MA 最大,z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3. 答案：34．已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x,y)有无数个,则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时,z 取得最大值的点(x,y)有无数个,所以－a ＝k AB ＝1,所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0，x ＋y≤a 表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A(1,1),易得B(0,4),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,|BC|＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a≤1或a≥43.【答案】 (1)C (2)(0,1]∪[43,＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时,边界应画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点,属必考内容,题型多为选择题和填空题,难度适中,属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． 角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考浙江卷)若实数x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示,数形结合可知,当直线z ＝3x ＋2y 过点(2,2)时,z 取得最大值,z max ＝6＋4＝10.故选C.【答案】 C角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0,若ax ＋y 的最大值为10,则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 画出满足条件的平面区域,如图所示(阴影部分)：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋1＝0, 解得A(3,4),令z ＝ax ＋y,因为z 的最大值为10,所以直线在y 轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10), 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点, 当a ＞0时,直线经过A 时z 取得最大值．即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,当a≤0时,直线经过A 时z 取得最大值,即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,与a≤0矛盾,综上a ＝2.【答案】 C角度三 求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2C.322D. 5【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,2)、B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A 与B,又两平行直线的斜率为1,直线AB 的斜率为－1,所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离,易得|AB|＝2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.【答案】 B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z ＝ax ＋by ；(ⅱ)距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；(ⅲ)斜率型：形如z ＝y －bx －a. (2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中,求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里,寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时,易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方,易忽视平方而求错．1．(2020·温州七校联考)实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0|x ＋y|≤1,使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示,因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,所以－a ＝1,a ＝－1,所以当x ＝1,y ＝0或x ＝0,y ＝－1时,z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1,所以ax ＋y ＋1的最小值是0,故选A.2．(2020·温州市高考模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,则y 的最大值为________,y ＋1x ＋2的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A 的纵坐标取得最大值2.设z ＝y ＋1x ＋2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D(－2,－1)的斜率,由图象知BD 的斜率最小,AD 的斜率最大,则z 的最大为2＋10＋2＝32,最小为0＋11＋2＝13,即13≤z ≤32,则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，323．(2020·绍兴一中高三期中)设x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0,若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0,b ＞0)的最大值为35,则a ＋b 的最小值为________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0的区域是一个四边形,如图所示四个顶点分别是(0,0),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,(2,3),由图易得目标函数在(2,3)取最大值35,即35＝2ab＋3,所以ab ＝16,所以a ＋b≥2ab ＝8,当a ＝b ＝4时等号成立, 所以a ＋b 的最小值为8. 答案：8线性规划的实际应用某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意,设产品A 生产x 件,产品B 生产y 件,利润z ＝2 100x ＋900y,线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又由x∈N ,y ∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100), 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多,为了了解题目中量与量之间的关系,可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数； (3)作图：准确作图,平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果,检验反馈．某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设旅行社租用A 型客车x 辆,B 型客车y 辆,租金为z,则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y －x≤7，36x ＋60y≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y.画出可行域(图中所示阴影中的整点部分),可知目标函数过点N(5,12)时,有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤12，2x ＋3y≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分,四边形ABCD 是平行四边形,由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z,作出直线y ＝－x,平移使之经过可行域,观察可知,最优解在B(0,3)处取得,故z max ＝0＋3＝3,选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x≥1,则2x －y( )A ．有最小值,无最大值B ．有最大值,无最小值C ．有最小值,也有最大值D ．无最小值,也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z,则y ＝2x －z,z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z,可得当直线过点A 时z 取得最小值,z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2,则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分),由区域面积为2,可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1,y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1,－1)连线的斜率,所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13,所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43. 5．(2020·金华十校联考)设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤a，x ＋y≥8，x ≥6且不等式x ＋2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义．由图可知x＋2y 在点(6,a －6)处取得最大值2a －6,由2a －6≤14得,a ≤10,故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则yx －a的最大值是( )A.25B.23C.16D.14解析：选A.易知a≠0,那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1a z.要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则－1a ＝k AC ＝1,则a ＝－1,故y x －a ＝yx ＋1,其几何意义为可行域内的点(x,y)与点M(－1,0)的连线的斜率,可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25,故选A. 7．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A(1,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,C(0,4)．经过点A 时,目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A(3,3),O 为坐标原点,点P(x,y)满足⎩⎨⎧3x －y≤0x －3y ＋2≥0y≥0,则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________,OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图,P 所在区域即为阴影部分,由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C(－2,0),B(1,3),所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y,所以y ＝－3x ＋2z,过点B 时z 最大,所以,OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D|x 0,y 0∈Z,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D,如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点 A(0,1)处取得最小值,在线段BC 处取得最大值,而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标,在取最大值时线段BC 上共有5个整点,分别为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12,则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2x －y ,令u ＝x －y,则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值,此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x|＋|y|的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,0≤x ≤1. (2)当x≥0,y ≥0时,z ＝|x|＋|y|＝x ＋y 过(1,12)时有最大值为32,过O(0,0)时有最小值0； 当x≥0,y ≤0时,z ＝|x|＋|y|＝x －y 过(1,－1)时有最大值为2, 过O(0,0)时有最小值0.所以|x|＋|y|的取值范围是[0,2]． 12．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A(3,4)时z 取最小值－2,过C(1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a<2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4,若不等式2x －y＋m 2≥0恒成立,则实数m 的取值范围为( )A ．[－6,6]B ．(－∞,－6]∪[6,＋∞)C ．[－7,7]D ．(－∞,－7]∪[7,＋∞)解析：选 D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分),令z ＝－2x ＋y,当直线经过点A(－4,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7,即实数m 的取值范围为(－∞,－7]∪[7,＋∞),故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M.若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a(a>0)至少有两个公共点,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1,5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1,5]解析：选C.如图所示(阴影部分),若使以(4,1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点,结合图形,当圆与直线x －y －2＝0相切时,恰有一个公共点,此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12,当圆的半径增大到恰好过点C(2,2)时,圆与平面区域M 至少有两个公共点,此时a ＝5,故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥1，x －y≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a,b,且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b,a)上有两个不同的实数解,则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域,如图所示(阴影部分),则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1,在点(－1,1)处取得最小值－3,所以a ＝1,b ＝－3,从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同的实数解．令f(x)＝x 2－kx ＋1,则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0,集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a≥0,B ＝{(x,y)|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P(x,y )∈A”是“点P(x,y)∈B ”的必要不充分条件,则a 的取值范围是____________．解析：由题意知B A,从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离,即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a≤3，|1＋1－4|2≥a，|1－1＋2a|2≥a，解得0＜a≤ 2.答案：0＜a≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异．甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费如下表所示,求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件,二等奖奖品y 件,x,y ∈N, 则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件,二等奖奖品(6－y)件．则x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，3－x≥0，6－y≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元,则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x －200y ＋6000,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A(3,1),故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a,b,c 满足：5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c,求ba 的取值范围．解：条件5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋bc≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c.设a c ＝x,bc＝y,则题目转化为：已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≥5，x ＋y≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x 的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),过原点作y ＝e x的切线,切线方程为y ＝ex,切点P(1,e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P(1,e)时,z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时,z max ＝7,故b a ∈[e,7]．。
简单的线性规划问题
三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规 划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析
高考数学总复习 7.3简单的线性规划问题课件 人教版
实线
注意：
(1)由于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标代入Ax＋ By＋C后所得实数的符号相同，因此，在实际判断时，往 往在某一侧取一特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正负即 可判断Ax＋By＋C >0表示直线哪一侧的平面区域．
若直线Ax＋By＋C＝0不过原点，一般可选原点；若直线过原 点，可以选(0,1)或(1,0)，当然也可以选择其他的点．
表示直线Ax＋C＝0左
侧的区域．
即：B＝0时，A的符号及不等式的符号“同号在右，异 号在左”．
二、线性规划
1．线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的 题．
2．(1)可行解满足线性约束条件的解；
的问 最大值或最小值
(2)可行域：由所有可行解组成的集合；
(3)最优解：使目标函数取得最大(或最小)值的可行解．
第三讲 简单的线性规划问题
考点
线性规划 目标函数的最 问题 值、范围
线性规划 用线性规划的 的实际应 方法解决实际
用 问题
考纲要求
了解线性规划的 意义并会简单应 用；会求目标函 数的最值
会从实际情境中 抽象出一些简单 的线性规划问 题，并加以解决
考查角度
求目标函数的 最值；从截 距、斜率考查 有关范围问题
所确定的平面区
域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为( )
π
π
A.4
B.2
3π
3π
C. 4
D. 2
解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1＝12，k2＝－13，不等 式组表示的平面区域为阴影部分．
∵tan∠AOB＝1－12＋12×13 13＝1， ∴∠AOB＝4π， ∴弧长＝π4·2＝2π，故选B.
简单的线性规划(必修5)人教B版
解析： 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝ 3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易 求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3 －4×5＝－11.
合作探究一：
x -4y≤ - 3 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25， x≥1
y x=1
C x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的
任何一个满足 不等式组的 （x,y）
可行解
可行域
跟踪训练：设z=x-2y，式中变量满足
下列条件：
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1 值？
分析：目标函数变形为
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
ｙ＝-2ｘ+ z 问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形? 斜率为-2的直线在y轴上的截距 问题 2: z几何意义是_____________________________。
y
C
分析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 , 当直线往右上方平移时z 逐渐增大：
x-4y=-3
总结规律
解决线性规划问题的一般步骤是：
设所求的未知数 建立目标函数
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题［学习目标]1。
了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b〉0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值;当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（2）移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答:写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型（1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如,已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小?②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立:正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2)模型求解：画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1已知变量x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值为(）A．12 B．11C．3 D．－1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由错误!⇒错误!此时z＝3x＋y＝11。
高中数学高考简单的线性规划问题高考课件(新人教版)
4
2
O
2
4
x
2
B
x3
刚好移动到直线 AB 时,将会有无数多个点使函数取得最小值.
a 1.
点评：
此类问题要结合图形理解刚好移动到直线 AB 时满足条件.
返回首页 关闭程序
三、线性规划的实际应用
例6 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,
希望使桌子的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数, 且不多于桌子数的1.5倍,问桌、椅各买多少才行？ y 张,目标函数 z x y . 解： 设桌、椅分别买 x 、
y
6
C
表示可行域内任一点到定点 M ( 1, 0 ) 距离
x y 0
4
的平方再减去1.
A
2
过 M 作直线 AB 的垂线,垂足是 P
由直角三角形直角边与斜边关系,容易
1 z | MP | , 判断出 的最小值是 的最大值为 2 z
6
4
2
P M
O
2
4
x
2
B
x3
| MC | 96.
4
z 2 x y 的最大值和最小值; (2). z 2 x y 的最大值和最小值;
A
2
6
4
2
O
2
4
x
解:(1).做出可行域如图所示，并求出交
2
B ( 3 , 3 )、 C ( 3, 9 ) , 点坐标 A ( 3, 3 )、
做直线 当直线
l1
B
x3
l1: 2 x y 0 l1 平移到过C点时, z 2 x y 有最大值 zmax 2 3 9 15
∵0 0 6 0 ,
高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ， 则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三 含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3， 所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大， 当经过点A (3，－3)时，直线截距最小． 则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足， －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五 线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0， 若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *） 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六 线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， 即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是． 第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1， 得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1， 则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0， 若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
第十六页，共44页。
(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
第十八页，共44页。
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
第二十八页，共44页。
(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
第十九页，共44页。
x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
【高考数学总复习】(第30讲)简单的线性规划问题(44页)
的最大、最小值.
23
经典例题4
y ≤ x 1,
例4 已知
x
5
y
≤
3,
5x 3 y ≤ 15.
求 z=3x+5y 的最大值和最小值.
24
思路分析 分析：将目标函数 z 3x 5 y,
等价转化为 y 3 x z , 55
即转化为经过可行域中的点，且斜率为 3 5
19
问题研究
在线性约束条件下， 如何求常见目标函数的最值？
20
基基础本知概识念
线性约束条件：由x， y 的一次不等式（或方程） 组成的不等式组．
目标函数： 关于x， y 的解析式，如z=2x，z=x2+y2． 线性目标函数：关于x， y 的一次解析式． 可行解： 满足线性约束条件的解(x，y)． 可行域：所有可行解组成的集合． 最优解：使目标函数达到最值的可行解． 线性规划：求线性约束条件下线性目标函数的最值．
的直线纵截距最值问题．
25
求解过程
y ≤ x 1,
y
解
作出不等式组
x
5
y
≤
3,
5
表示的可行域．5x 3 y ≤ 15.
y=x+1
B(1.5，2.5)
由 z 3x 5y
x-5y=3
可得 y 3 x z 55
O A(-2,-1)
C(3，0) 5 x 5x+3y=15
求解过程
（按思路二） 2x+y－6<0
y<－2x+6
y
2x+y－6<0 6
O3
x
高考数学总复习(人教版)：7-3简单的线性规划问题
7-3简单的线性规划问题基础巩固强化1.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0.(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 由题意知a >－1，此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，记为△ABC ，则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，∵S △ABC ＝2，∴12×(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.2．(文)(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20.表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 [答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.(理)(2012·安徽文，8)若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C.32 D ．3[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.画出可行域如图：令z ＝0，得l 0：x －y ＝0，平移l 0，当l 0过点A (0,3)时满足z 最小，此时z min ＝0－3＝－3.3．若2x ＋4y <4，则点(x ，y )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [答案] D [解析] ∵2x ＋4y ≥22x ＋2y ，由条件2x ＋4y <4知，22x ＋2y <4，∴x ＋2y <2，即x ＋2y －2<0，故选D.4．(文)(2012·山西大同调研)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8 [答案] C [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.(理)(2012·广东文，5)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6 [答案] C[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0.画出可行域如图．令z ＝0画出l 0：x ＋2y ＝0，平移l 0至其过A 点时z 最小，由⎩⎨⎧x ＋1＝0，x －y ＝1，得A (－1，－2)，∴z min ＝－1＋2×(－2)＝－5.[点评] 画可行域时使用“直线定界，特殊点定域”的方法． 5．(文)实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x ＋y ≥1，y ≥0.则3x ＋5y 的最大值为( )A ．12B ．9C ．8D ．3 [答案] A[解析] 由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A (4,0)时，z 取最大值，最大值为12，故选A.(理)已知正数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0.则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( )A ．1 B.324 C.116D.132[答案] C[解析]作出可行域如图，易得2x＋y的最大值为4，从而z＝(1 2)2x·⎝⎛⎭⎪⎫12y＝⎝⎛⎭⎪⎫122x＋y的最小值为116，选C.6．(2012·福建文，10)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1 B．1C.32D．2[答案] B[解析]本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．7．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6.则该校招聘的教师最多是________名．[答案] 10[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10.8．(2011·苏北四市三调)已知(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1.则(x －1)2＋y 2的最小值为________． [答案]255[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到(x －1)2＋y 2可视为该区域内的点(x ，y )与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1的距离，即为|－1－1|5＝255.9．(2012·安徽理，11)若x 、y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x－y 的取值范围是________．[答案] [－3,0][解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想． 根据约束条件，画出可行域如图，其中A (0,3)，B (0，32)，C (1,1)，令t ＝x －y 作直线l 1：x －y ＝0，平移l 0，当平移到经过点A (0,3)时，t min ＝－3，当平移到经过点C (1,1)时，t max ＝0，∴t ∈[－3,0]．10．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________．[答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.能力拓展提升 11.(文)已知变量x 、y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3.若目标函数z＝y －ax 仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)[答案] A[解析] 点M (5,3)为直线y ＝3与x －y ＝2的交点，画出可行域，让直线y ＝ax ＋z 绕点M (5,3)旋转，欲使仅在M 点z 取最小值，应有a>1.(理)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 [答案] B[解析] 由选项知m >0，作出可行域如图．目标函数z ＝x －y 对应直线y ＝x －z 经过可行域内的点A 时，－z 取最大值，从而z 取最小值－1.由⎩⎨⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m .得A (1＋m 3，2m －13)，∴z ＝1＋m 3－2m －13＝2－m3＝－1，∴m ＝5. 12．(文)设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0.则u ＝yx 的取值范围是( )A ．[13，2] B ．[13，12] C ．[12，2] D ．[2，52][答案] A[解析] 在坐标平面上点(x ，y )所表示的区域如图所示，令t ＝yx ，根据几何意义，t 的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然k OA 最小，k OB 最大，∵点A (3,1)，点B (1,2)，故13≤t ≤2.(理)已知实数x 、y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.则x 2＋y 2的最大值为( )A ．1B ．4C ．13 D.163[答案] C[解析] 作出可行域如图，x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，显然点B (2,3)使x 2＋y 2取最大值13.13．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.船型 每只船限载人数租金(元/只)大船 5 12 小船 38[解析] 设租大船x 只，小船y 只，则5x ＋3y ≥48，租金z ＝12x ＋8y ，作出可行域如图，∵－53<－32，∴当直线z ＝12x ＋8y 经过点(9.6,0)时，z 取最小值，但x ，y ∈N ，∴当x ＝9，y ＝1时，z min ＝116.14．(2012·内蒙包头模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 6[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×(2a )×a ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x ＋y 的最大值为6.15．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析](1)依题意得⎩⎨⎧P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05.解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4.故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0.且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线b ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11.得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.516．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .且z ＝200x ＋150y.约束条件可化简为： ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40.得到B (207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．1．(2012·乌鲁木齐二诊)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)[答案] D[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.2．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5) B ．[17－2,5] C ．(17－2,5] D ．(0,5][答案] B [解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎨⎧ x －y －1＝0，x ＋y －k －2＝0.得A (k ＋32，k ＋12)． 由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.3.(2012·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为( )A. 3B.32C. 2D ．4[答案] A[解析] 由题可知，当x ＝0时，z ＝kx ＋y ＝y ，因此要使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y 轴上的截距最大．由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan120°＝－3，k ＝3，选A.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0.所围成的平面区域的面积为( ) A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3[答案] D [解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B (4,4)，A (1,1)，C (2,0)∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC ＝12×2×4－12×2×1＝3.5．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0.则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大．当移至A (1，－1)时，z max ＝1－2×(－1)＝3，故选B.6．已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧ y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥12x ＋m .且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．(－∞，43]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 [答案] B [解析] 画出可行域如图所示，由题知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2，过点(－1,1)作直线y ＝x 的垂线，垂足为原点O ，点(－1,1)与点O 之间距离的平方恰好为2，说明点O 一定在可行域内，则直线y ＝12x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0，故选B.[点评] 本题解题的关键是理解z 的最小值为2的含义及观察出(－1,1)到原点距离的平方为2，这样最优解为O (0,0)，从而知当y ＝12x ＋m 经过O 点时，取最优解，不经过O 点时，向哪移动才能保证点O 在可行域内，即可得出问题的答案．7．(2012·东北三校联考)已知O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.上的一个动点，使OA →·(OA →－MA →)＋1m ≤0恒成立，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－∞，0)∪[13，＋∞)[解析] 不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.表示的平面区域为图中阴影部分，∵OA →·(OA →－MA →)＝OA →·OM →，要使OA →·OM →＋1m ≤0恒成立，即1m ≤－OA →·OM →恒成立，令t ＝－OA →·OM →＝x ＋2y ，只要1m ≤t min 即可，由图知在点B (1,1)处，t min ＝3，∴1m ≤3，∴m <0或m ≥13.8．(2011·汕头二检)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为________．[答案] (12，＋∞)[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，即直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，所以a >12.9．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．[答案] 4[解析] 作出可行域如图所示：由⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0.得，⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝4.∴点A 的坐标为(1,4)．∴当x ＝1，y ＝4时，z 最大，∴ab ＋4＝8，即ab ＝4，a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)．∴a＋b的最小值为4.。
高考数学总复习 7.3简单的线性规划问题课件 人教版
才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
【规范解答】将已知数据列 A B
甲
乙
丙
8 3
6 4
9 5
设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库 A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨， 1分
从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)吨、 (8－y)吨、[5－(12－x－y)]＝(x＋y－7)吨， 2分
>0
及
表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；
B<0， 及 Ax＋By＋C
>0
表示直线Ax＋By＋C＝0
下方的区域．
即：B的符号及不等式的符号“同号在上，异号在下”．
B＝0且A>0， Ax＋C >0
及
B＝0且A<0， Ax＋C<0
表示直线Ax＋C＝0右
侧的区域；
(3)最优解：使目标函数取得最大(或最小)值的可行解．
注意：
(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关
键，一般步骤如下：①作可行域；②画平行线；③解方程 组；④计算最值． (2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一 个封闭的多边形．若是一个多边形，则目标函数的最优解一
般在多边形的某个顶点处取得．
5 7 答案：[7，5]
(12分)某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8
吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商 店．从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别 为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨 货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，
A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)． (1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x ＋2y－4>0，将点C(7,9)代入得z最大值为21.
高考数学总复习 7-3简单的线性规划问题课件 新人教B版
疑难误区 点拨警示 1．在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范 围，防止将范围扩大． 2．对线性目标函数 z＝Ax＋By 中的 B 的符号一定要注意． 当 B>0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最 大，在 y 轴上截距最小时，z 值最小；当 B<0 时，直线过可行 域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z 值最大．
解析：由条件知22－ ＋tt－ －43≤ ≤00， ， ∴－2≤t≤1， ∴P(2，t)到直线 3x＋4y＋10＝0 的距离 d＝|6＋45t＋10|＝16＋5 4t≤4.
答案：4
平面区域的面积
[例 2]
设不等式组x2＋x－y≤y≤2， 1， x≥0，y≥0.
表示的平面区域为
D，向区域 D 内任投一点 P，则点 P 落在圆 x2＋y2＝2 内的概
答案：π
点评：若两直线不垂直，可先写出两直线的方向向量，利 用向量求得两直线夹角，再求面积．
(理)在坐标平面上，不等式组yy≥≤x－－31|x，|＋1. 所表示的平面
区域的面积为( )
A. 2
3 B.2
32 C. 2
D．2
解析：不等式组yy≥≤x－－31|x，|＋1. 的图形如图． 解得：A(0,1)，D(0，－1)，B(－1，－2)，C(12，－12)．
夯实基础 稳固根基 1．含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式 称为二元一次不等式；把几个二元一次不等式组成的不等式 组称为二元一次不等式组；满足二元一次不等式组的所有有 序数对(x，y)组成的集合称为二元一次不等式组的 解集．
2．二元一次不等式 Ax＋By＋C>0(或 Ax＋By＋C<0)表示 的平面区域．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试新人教B版1.(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(0,1)[答案] B[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋4<0，∴t>1.[点评]可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．由题意－2(－2－2t＋4)>0，∴t>1.(理)(2010·惠州市模拟)若2m＋2n<4，则点(m，n)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案] A[解析]∵2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n<4知，22m＋n<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A.2．(2010·四川广元市质检)在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案] B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y ＝1时，0≤x≤13；y ＝2时，0≤x≤12； y ＝3时，0≤x≤10；y ＝4时，0≤x≤9； y ＝5时，0≤x≤7；y ＝6时，0≤x≤6； y ＝7时，0≤x≤4；y ＝8时，0≤x≤3； y ＝9时，0≤x≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个． 3．(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D [解析]该线性约束条件所代表的平面区域如上图，易解得A(1,3)，B(1，53)，C(2,2)，由z ＝3x－y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，y －x≥0，x≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a>1B ．a>－1C ．a<1D ．a<－1[答案] D[解析] 作出可行域如下图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z.只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a>1， 故a<－1，故选D.(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0<a<13B ．a≥13C ．a>13D ．0<a<12[答案] C[解析] 作出可行域如下图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－1a >－3，∴a>13.5．(2011·泉州质检)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤20≤y≤3x ＋2y －2≥0所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB|的最大值为( )A ．2 5 B.13 C ．3 D. 5 [答案] B[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合下图观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是13，选B.6．(2011·兰州模拟)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N(x ，y)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤02x ＋y －12≤0x≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个[答案] D[分析] 点N(x ，y)在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如下图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.7．如下图，若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤my ＋n x －3y≥0y≥0(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33. 8．(2011·浏阳模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1x ＋y≥13x －y≤3，则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为________．[答案] 11[解析] 如下图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2()，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥00.5x ＋0.7y≥1.9x ＋0.5y≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min＝3×1＋6×2＝15.10．(2011·福建厦门外国语学校月考)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解析] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，0.3x ＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，此时z 取得最大值，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.11.(文)(2010·揭阳市模考、重庆南开中学模考)已知正数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0x －3y ＋5≥0，则z＝⎝⎛⎭⎫14x ·⎝⎛⎭⎫12y的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132[答案] C[解析] 如下图易得2x ＋y 的最大值为4，从而z ＝4－x·⎝⎛⎭⎫12y ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋y 的最小值为116，选C.(理)(2011·重庆一诊)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0x －2y ＋8≥0x≥0，y≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4[答案] A[解析] 如下图由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A. 12．(文)(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤132x ＋3y≤18x≥0y≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如下图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A(3,4)． ∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y≥72，2x ＋y≤19，x ＋y≤12，0≤x≤8，x ∈N 0≤y≤7，y ∈N利润z ＝450x ＋350y ，可行域如下图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝19x ＋y ＝12得A(7,5)． 当直线350y ＋450x ＝z 过A(7,5)时z 取最大值， ∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.13．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥5，x －y≤2，x<6.则该校招聘的教师最多是________名． [答案] 10[解析] 如下图在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10.14．(2011·苏北四市三调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤10≤y≤22y －x≥1下，x －1 2＋y 2的最小值为________．[答案]255[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x －1 2＋y 2可视为该区域内的点(x ，y)与点(1,0)之间距离，结合下图可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1的距离，即为|－1－1|5＝255.15．(文)(2010·吉林省质检)某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤142x ＋y≤9x≥0y≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y. 作出可行域如上图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝92x ＋3y ＝14解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝⎛⎭⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S 2，当它经过点A ⎝⎛⎭⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S2最大，S 也最大． 此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．(理)(2010·茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y≤3220x ＋5y≤55x≥0y≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如上图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝84x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.51．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x －1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2[答案] B[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x －1y≤－3|x|＋1的图形如下图．解得：A(0,1) D(0，－1) B(－1，－2) C(12，－12)S △ABC ＝12×|AD|×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B. 2．(2010·重庆市南开中学)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥22x －y≤4x －y≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC ＝12×2×4－12×2×1＝3.3．(2010·南昌市模拟)已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a<1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M<3，故选B.4．(2010·广东中山)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4x ＋y≥1y≥0，则3x ＋5y 的最大值为( )A ．12B ．9C ．8D ．3[答案] A[解析] 由下图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A(4,0)时，z 取最大值，最大值为12，故选A.5．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x －y≥－2，4x ＋3y≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如下图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.6．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a>0，a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如下图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0x －y ＋8＝0得A(1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝02x ＋y －14＝0得B(3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a≤9.7．如下图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(23，45)是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是________．[答案] (－125，－310)8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元， 则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y≤1801000x ＋600y≤8000x≥0，y≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y.约束条件可化简为： ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y≤605x ＋3y≤40x≥0，y≥0，x ，y ∈Z可行域为如下图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝605x ＋3y ＝40，得到B(207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y)中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B(207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益． [点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．。