等比数列及其前n项和高一二高

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高中数学《等比数列的前n项和》说课稿

高中数学《等比数列的前n项和》说课稿一、教学内容简介本节课是高中数学中的等比数列部分的进阶内容，主要介绍了等比数列的前n 项和的计算方法。

通过本节课的学习，学生可以掌握等比数列前n项和的求解步骤和公式，进一步巩固和拓展他们对等比数列的理解和运用能力。

二、教学目标1.理解等比数列的概念和性质；2.掌握计算等比数列前n项和的方法；3.运用所学知识解决实际问题。

三、教学重难点1.理解等比数列的前n项和的概念和计算方法；2.运用等比数列前n项和的公式解答问题。

四、教学准备1.板书工具：黑板/白板、彩色粉笔/白板笔；2.教学素材：课件、练习册等。

五、教学过程第一步：导入1.引入等比数列的概念，复习等比数列的定义和性质；2.激发学生的学习兴趣，提出学习等比数列前n项和的重要性。

第二步：概念讲解1.解释等比数列的前n项和的概念；2.引入等比数列前n项和的计算公式：S_n = a_1 * (q^n - 1) / (q - 1)；3.讲解公式中的各个参数的含义：a_1为首项，q为公比，n为项数。

第三步：应用练习1.给出一些简单的例题，引导学生通过公式计算等比数列的前n项和；2.分步骤讲解解题思路，帮助学生理解计算过程；3.鼓励学生进行课堂互动，积极回答问题。

第四步：拓展应用1.提供一些实际生活中的问题，让学生运用等比数列前n项和的知识解决问题；2.引导学生从具体问题转化为等比数列模型，利用公式求解；3.鼓励学生展示解题思路和结果，培养他们的问题解决能力。

第五步：作业布置1.布置课后作业，要求学生完成练习册中相关练习题；2.鼓励学生主动探索，提出自己的问题并加以解答。

六、教学反思本节课通过讲解等比数列前n项和的概念和计算公式，引导学生掌握了求解等比数列前n项和的基本方法。

通过应用练习和实际问题的讨论，提高了学生的问题解决能力和运用数学知识的能力。

但是在实际教学过程中，发现有些学生对等比数列前n项和的计算公式理解不够深刻，需要加强对公式的讲解和实例演练。

高三数学等比数列及其前n项和

考点三
例 2
等比数列的性质及应用
(1)在各项不为零的等差数列{an}中,2a2 019-
b2 020=a2 020,则 log2(b2 019·b2 021)的值为(
+2a2
)
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:(1)因为在等差数列{an}中,a2 019+a2 021=2a2 020,
an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且
q≠-1).
释疑
(1)任意两个实数不一定都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项.

n
n
(2)an= ·q ,当 q>0 且 q≠1 时,可以看成函数 y=cq ,其是一个不为 0 的常数与指数
(- ) -
na1;当 q≠1 时,{an}的前 n 项和 Sn=
-
=
-
.
考点二
等比数列的判定与证明
例1 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(1)解:因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),
第3节
等比数列及其前n项和
课程标准要求
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解
答
.
4.了解等比数列与指数函数的关系.

第五章第三节等比数列及其前n项和

由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得 S6＝21a，同理得 S8＝85a，所以SS84＝ 855aa＝17.
答案：17
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大一轮复习数学（理）
考点二等比数列的判定与证明[探究型]——应用逻辑推理 [例 1] (2018·珠海模拟)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1 ＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中 λ 为实数，n 为正整数． (1)对任意实数 λ，证明数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．解：(1)假设存在一个实数 λ，使{an}成等比数列，则有 a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即 9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数 λ，数列{an}都不是等比数列．
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③若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}， a1n，{a2n}，{an·bn}，abnn(λ≠0)仍然是等比数列；
④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
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2．分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时， {an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
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高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件

则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N *) ⇔数列{an}为_等__比__数__列__．
(二)基本知能小试
1．已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于 ( )
A．31
B.33
C．35
D.37
解析：根据等比数列性质得S10S－5 S5＝q5，
8
C.3
D.3
()
解析：法一：因为数列{an}是等比数列，所以 S6＝S3＋q3S3，S9＝S6 ＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是SS63＝1＋Sq33S3＝3，即 1＋q3＝3，所以 q3＝2.于是SS96＝1＋1＋q3＋q3q6＝1＋1＋2＋2 4＝73.
法二：由SS63＝3，得 S6＝3S3. 因为数列{an}是等比数列，且由题意知 q≠－1，所以 S3，S6－S3，S9 －S6 也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得 S9＝7S3，所以 SS96＝73. 答案：B
题型三等比数列前 n 项和的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 一个热气球在第 1 min 上升了 25 m 的高度，在以后的每 1 min 里，它上升的高度都是它在前 1 min 上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能达到 125 m 吗？
[解] 用 an 表示热气球在第 n min 上升的高度．由题意，得 an＋1＝80%an＝45an. 因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列. 热气球在 n min 里上升的总高度为
[答案] 70
[方法技巧] 解决有关等比数列前 n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论．

第03讲等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲等比数列及其前n 项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：等比数列基本量的运算题型二：等比数列的判断与证明题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质角度2：等比数列与等差数列的综合问题第四部分：高考真题感悟1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语言表达：1(2)nn a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式(1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为11n n a a q -=；可推广为n m n m a a q -=.(2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，11(1)11n n n a a q a q S q q--==--.3.等比数列的性质设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N *∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N *∈.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka ，k ma +，2k ma +，…仍是等比数列，公比为mq(,k m N *∈)．(3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}nnpa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5【答案】C解：因为2、x 、8成等比数列，所以228x =⨯，解得4x =±；故选：C2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（） A ．420只 B ．520只C ． 20554-只D ． 21443-只【答案】B第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n nn a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205 故选：B ．3．（2022·北京·昌平一中高二期中）2与8的等比中项是（） A ．4 B ．5 C ．4± D ．5±【答案】C设a 为2与8的等比中项，则22816a =⨯=，解得：4a =±. 故选：C.4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m 与n 的等差中项，1是m 与2n 的等比中项，则12m n+=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D由题可知24m n +=，21mn =，所以1228m n m n mn++==．故选：D ．5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x y +的值为（） 2 4 1 2 x yB ．3C ．4D ．5【答案】A 由题意知表格为 2 4 6 12 3 12132故3222x y +=+=．故选：A题型一：等比数列基本量的运算例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列{}n a 满足123a a +=，4581a a +=，则数列{}n a 的公比为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．3【答案】D设等比数列{an }的公比为q ，由a 4+a 5＝（a 1+a 3）q 3，得3q 3＝81，解得q ＝3，故选：D ．例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列{}n a 中，1236a a a a =，且416a =，则10a =（） A ．1024 B ．960 C ．768 D ．512【答案】A解：依题意设公比为q ，且10a >、0q >，由1236a a a a =，则33511a q a q =，即221a q =，所以1a q =，因为416a =，所以34116a q q ==，所以2q，所以2n n a =，所以101021024a ==；故选：A例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列{}n a 中，241a a +=，352a a +=，则公比q =（）A ．12 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】B设等比数列{}n a 的公比为q ，由()2424351,2+=+=+=a a a a a a q ，解得2q .故选：B.例题4．（2022·全国·模拟预测）已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．【答案】(1)3nn a =或9n a =；(2)答案见解析．(1)因为{}n a 为等比数列，所以213229a a a a ==，又0n a ≠，所以29a =．设{}n a 的公比为()0q q >，因为12312323aa a ++=，所以12329993q q++=，化简得24309q q q-+=，解得3q =或1q =．当3q =时，2933n nn a -=⨯=．当1q =时，9n a =．(2)当3q =时，()1113312n n n a q S q+--==-．由1n n S na +≥，得23332n n n +-≥⋅，化简得()9233nn -⨯≥．易知，当5n ≥时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n 的所有取值为1，2，3，4．当1q =时，9n S n =，由1n n S na +≥，得()919n n +≥，此时n 的取值为一切正整数．例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =，122n n S +=-.(2)1228n b n =-,2622n T n n =-.(1)设数列{}n a 的公比为q ，则41411682a qa -===，得2q ，所以111222n n nn a a q --==⨯=.11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===---.(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 33328b a ===,555232b a ===,则5332812532b b d --===-，所以3(3)812(3)1228n b b n d n n =+-=+-=-，2(161228)6222n n n T n n -+-==-. 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项1a 和公比q ,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含1a ,q ,n ,n a ,n S 五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用1a ,q 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要对q 分1q =和1q ≠两种情况进行讨论.题型二：等比数列的判断与证明例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)212n n a -=(1)当1n =时，1113423S a a =-=，解得12a =．当2n ≥时，()113334242n n n n n a S S a a --=-=---，整理得14n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，故121242n n n a --=⨯=．例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13-=n n a(1)当1n =时，1112321S a a =-⇒=，又231n n S a =-，①当2n ≥时11231n n S a --=-，② ①−②得：1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴ 13-=n n a ．例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212S =，且()*,m n m n a a a m n +=∈N .(1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)3n n a =(1)令m =n =1，得221a a =，又21212S a a =+=，解得：13a =或14a =-（负值舍去），令m =1，得11n n a a a +=，所以13n na a +=，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以3nn a =.证明{}n a 是等比数列定义法1n na q a +=(n N *∈) (或者1(2)nn a q n a -=≥）等差中项法211(2)n n n a a a n -+=⋅≥判断{}n a 是等比数列{}n a 的通项关于n 的指数函数1n n a cq -=（0c ≠，0q ≠）{}n a 的前n 项和 n n S kq k =-（0c ≠，0q ≠，1q ≠）题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知{}n a 是等比数列，若0n a >，且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=（）A ．10B ．25C ．5D ．15【答案】C因为{}n a 是等比数列，243546225a a a a a a ++=，所以223355225a a a a ++=，即()23525a a +=，因为0n a >，所以355a a +=. 故选：C例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，则22214log log a a +=（） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】A由4812388a a a a ==，可得82a =则()222142214282228log log log log log log 2222a a a a a a ===+==故选：A例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（） A ．ππB ．π-C ．π±D ．3π【答案】C解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a π=± 所以33575a a a a π==±故选：C.例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列{}n a 中，2313a a =，则28a a =______．【答案】9设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313a a =得：2211()3a q a =，则有4513a a q ==，所以2285()9a a a ==.故答案为：9例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，若484a a =，则22210log log a a +=______．【答案】2()()2221022102482log log log log log 42a a a a a a +====．故答案为：2例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______ 【答案】52435462a a a a a a ++()222335535225a a a a a a =++=+=，又等比数列{}n a 中，0n a >， 355a a ∴+=，故答案为：5．角度2：等比数列与等差数列的综合问题例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()N n n b na n *=∈，且数列{}n b 的前n 项和为(1)2n n S n -+．(1)求12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12a =，24a =，2n n a =(2)证明见解析 (1)由题意得12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，①当1n =时，12a =；当2n =时，1221222444a a S a a a +=+=++⇒=；当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+-，②①-②得，1(1)(2)2(2)222(2)n n n n n n n na n S n S S n a S a n -=---+=+-+⇒=-≥，当1n =时，12a =，也适合上式，所以()22N n n S a n *=-∈，所以1122n n S a --=-，两式相减得12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13n na =(1)当1n =时，111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时，1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=，∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. 例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，且()()*121n n S S n +=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)2n n a =(1)解：因为()121n n S S +=+①，*n ∈N ，当2n ≥时，()121n n S S -=+②，由①②可得()()112121n n n n S S S S +--=+-+，即12(2)n n a a n +=≥．1n =时，122a a S +==112222S a +=+，又12a =，所以24a =，所以()*12n n a a n +=∈N ，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比为2．所以2n n a =．例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*11n n S a n N +=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12n na(1)解：由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n S a +=-，当2n ≥时，可得11n n S a -=-，两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，即12(2,)n na n n N a ++=≥∈，当1n =时，1211S a a =-=，可得22a =，可得212a a =，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==.例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①()12n n n n a T T n ++=，②23n n n S a +=这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且___________. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)()1n a n n =+(2)不存在，理由见解析 (1)选①：()12nn n n a T T n++=，即()12nn n a a n++=.∴12n na a n n+=+ 即()()()1211n n a a n n n n +=+++，∴数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数列，∴()11211n a a n n =⨯+=，故()1n a n n =+选②：因为()32n n S n a =+，所以2n ≥时，()1131n n S n a --=+，则()()1321n n n a n a n a -=+-+，即()()111n n n a n a --=+，即111n n a n a n -+=-，所以()114311221n n n a a n n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+--，当1n =时，12a =也满足，所以()1n a n n =+.(2)假设在数列中存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列，那么有212n n n a a a ++=成立，即()()()()()212123n n n n n n ⎡⎤++=+++⎣⎦成立. 即()()()123n n n n ++=+成立，即20=成立，此等式显然不成立，故原命题不成立，即不存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列例题6．（2022·全国·高二单元测试）在①102nn a a ++=，②1661n n a a +=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】选①：312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，存在，最大值4；选②：12566n a n =-+，存在，最大值50；选③：217242n n n a -+=，不存在，理由见解析.选①：因为102nn a a ++=，即112n n a a +=-，14a =，所以数列{}n a 是首项为4、公比为12-的等比数列，1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =；当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选②：因为1661n n a a +=-，即116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4、公差为16-的等差数列，()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，125066n -+≥，解得25n ≤，240a >，250a =，故n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，n S 的最大值为50. 选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-，则()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，因为14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.1．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（） A ．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增 C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥ D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥ 【答案】DA ：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q>，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn nS -==--，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >，即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确. 故选：D2．（2022·上海·高考真题）已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .(1)若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； (2)若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围. 【答案】(1)4；(2)[]0,1.(1)解：2123S a a =+=，则12a =，所以，等比数列{}n a 的公比为2112a q a ==， ()1114112n n n a q S q-⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，()111lim lim lim 44412n nn n n n a q S q →∞→∞→∞-⎡⎤⎛⎫==-⋅=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)解：由已知可得()()12222122n n n n a a S n a a n -+==+≥，则2211n a a -+≥，即()22231a n d +-≥，可得()231n d -≥-. 当1n =时，可得1d ≤；当2n ≥时，则231n -≥，所以，132d n≥-，因为数列()1232n n ⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭为单调递增数列，而11032n -≤<-，故0d ≥. 综上所述，01d ≤≤.3．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.。

高中数学等比数列的前n项和-知识点剖析

等比数列的前n 项和-知识点剖析1．推导等比数列的前n 项和公式方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，它的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+…+a n .依等比数列通项公式有S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1.① ①式两边同乘以q ，得qS n =a 1q+a 1q 2+a 1q 3+…+a 1q n .② ①－②，得（1-q ）S n =a 1-a 1q n ，由此得q≠1时，S n =qq a n --1)1(1. ∵a n =a 1q n-1，∴上式可化为S n =q q a a n --11. 当q=1时，S n =na 1.方法二：由等比数列定义知12a a =23a a =34a a =…=1-n n a a =q. 当q≠1时，1321432-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n a a a a a a a a =q ，即nn n a S a S --1=q. 故S n =q q a a n --11=qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.方法三：S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1=a 1+q （a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-2）=a 1+qS n-1=a 1+q （S n -a n ）.∴当q≠1时，S n =q q a a n --11 =qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.2．注意问题（1）上述证法中，方法一为错位相减法，方法二为合比定理法，方法三为拆项法.各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会.（2）公比为1与不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论.（3）当已知首项a 1，公比q ，项数n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1，当已知a 1，a n ，n 时，用公式S n =q q a a n --11. （4）在解决等比数列问题时，如已知a 1，a n ，S n ，n ，q 中任意三个，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个.3．等比数列的前n 项和的一般形式一般地，如果a 1，q 确定，那么S n =qq a n --1)1(1=q a -11+q a -11q n ，设A=q a -11，则上式可以写成S n =A-Aq n（q≠1）.4．等比数列的前n 项和的性质（1）若某数列前n 项和公式为S n =a n -1（a≠0，a≠1），则{a n }是等比数列.（2）在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），则奇偶S S =q.（3）若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列.②S n+m =S n +q n S m .5．前n 项和的重点性质的证明（1）若数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 满足（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）若等比数列{a n }的公比为q ，则S n+m =S n +q n S m .证明：（1）设首项为a 1，公比为q.若q=1，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，显然满足.若q≠1，则S n =q q a n --1)1(1，S 2n =q q a n --1)1(21，S 3n =qq a n --1)1(31. 则S 2n -S n =q q a n --1)1(21-q q a n --1)1(1=)1(11n nq qq a --， S 3n -S 2n =q q a n --1)1(31-qq a n --1)1(21=s. ∴（S 2n -S n ）2=2221)1(q q a n-（1-q n ）2， S n （S 3n -S 2n ）=q q a n --1)1(1·)1(121n n q q q a --=2221)1(q q a n -（1-q n ）2，即（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）设首项为a 1，公比为q.若q=1，显然满足.若q≠1，则S m+n =qq a n m --+1)1(1，S n =q q a n --1)1(1，S m =q q a m --1)1(1， ∴S n +q n S m =q q a n --1)1(1+qq q a m n --1)1(1=)1(11n m q q a +--=)1(11n m n n q q q q a +-+--=S m+n ，即S n+m =S n +q n S m .练习请和你的同学一起阅读下面的材料并思考材料之后的问题.历史上的等比数列人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识.在世界数学史上，对级数（数列）的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等，对等比级数a+aq+aq 2+…+aq n 都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献.古老的《易经》一书中写到：“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想；记载有这样的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”这是一个等比级数问题，即已知等比为2，项数为5，S5为5，求首项a1.在外国，公元前约2000年，巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识.其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为5，10，20，40；20，36，52.可以看出，前者是一个等比数列，后者是一个等差数列.他们在具体问题里算出了等差数列和等比数列的和.还有一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒问麦粒升数总数是多少?这是一个公比为7的等比数列求和问题，虽给出了答案为16 807升，但是没指出所用方法，估计是通过简单的逐项相加实现的.公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，又有新发展，在研究音乐理论中得到了调和平均数.他们发现，乐器的弦长决定乐器发出的声音，而且绷得一样紧的弦，当其长度成整数比时即发出谐音.例如，如果一根弦的长度是另一根弦长度的2倍，就产生谐音，两音相差8度；如果一根与另一根的弦长之比是3∶2，则发出另一谐音，等等.它与后来发现的调和级数相联系.约公元前300年，欧几里得（Euclid，约公元前330年～公元前275年）的名著《几何原本》（共13篇）第九篇的命题35给出了对等比数列之和的一个漂亮的证明.请你和你的同学思考文章中的问题是否是等比数列的模型，请你们共同查找资料，看历史上还有什么样的等比数列模型.。

等比数列前n项和公式怎么求

等比数列前n项和公式怎么求等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。

等比数列前n项和公式怎么求等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

拓展阅读：等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。

2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广：an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。

3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。

(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。

高中数学《等比数列前n项和公式》知识点讲解及重点练习

4.3.2 等比数列的前n 项和公式第1课时等比数列前n 项和公式学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n 项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)知识点二等比数列前n 项和的性质1．数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．2．若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *)．3．若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q (q ≠－1)．1．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( × )2．若首项为a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n 项和等于na .( √ ) 3．若a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a.( × )4．若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( √ )一、等比数列前n 项和公式的基本运算例1 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求公比q .解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 11.(2)方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.方法二由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两个根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q ＝2或12.反思感悟等比数列前n 项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如q n ，a 11－q都可看作一个整体．(3)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练1 在等比数列{a n }中．(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .解 (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得，112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得，162＝2(－2)n －1， ∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不符合题意， ∴q ≠1，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， ∴q ＝2或q ＝－2， ∴a 1＝115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.二、利用错位相减法求数列的前n 项和例2 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．解设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)．反思感悟错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和． (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．跟踪训练2 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0，解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .(2)根据题意得S n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12S n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1，两式相减得12S n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以S n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n ，n ∈N *.三、等比数列前n 项和的性质例3 (1)在等比数列{a n }中，若S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________.(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝________.(3)若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝3n ＋1－2k ，则实数k ＝________. 答案 (1)28 (2)2 (3)32解析 (1)∵数列{a n }是等比数列，且易知公比q ≠－1，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也构成等比数列，即7，S 4－7,91－S 4构成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.又S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)>0，∴S 4＝28. (2)由题意知S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝2.(3)∵S n ＝3n ＋1－2k ＝3·3n －2k ，且{a n }为等比数列， ∴3－2k ＝0，即k ＝32.延伸探究本例(3)中，若将条件改为“若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5”，再求实数a 的值．解由S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5，可得S n＝3a ·⎝⎛⎭⎫13n ＋5，依题意有3a ＋5＝0，故a ＝－53. 反思感悟处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．跟踪训练3 (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案 C解析 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．即1,2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12成等比数列． ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝4.(2)一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇，S 偶，由题意可知，S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．因为数列{a n }的项数为偶数，所以有q ＝S 偶S 奇＝13.又因为a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，所以a 31·q 3＝64，即a 1＝12，故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1，n ∈N *.1．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，则数列{a n }的前5项的和等于( ) A ．－25 B ．25 C ．－31 D ．31 答案 D解析因为a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{a n }的前5项的和为25－12－1＝31.2．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1且x ≠0时，S n ＝1－x n 1－x.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3答案 A解析在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．已知在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.答案 32或6解析方法一当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，满足S 3＝92.当q ≠1时，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝92.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12.综上可得a 1＝32或a 1＝6.方法二 ⎩⎨⎧S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，a 3＝32.所以a 1＋a 2＝3，所以a 1＋a 2a 3＝1＋qq 2＝2，所以q ＝1或q ＝－12.所以a 1＝32或a 1＝6.5．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为________．答案 80解析令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60， Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100，则S 100＝X ＋Y ，由等比数列前n 项和性质知Y X ＝q ＝13，所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80.1．知识清单：(1)等比数列前n 项和公式．(2)利用错位相减法求数列的前n 项和． (3)等比数列前n 项和的性质．2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论． 3．常见误区：(1)忽略q ＝1的情况而致错． (2)错位相减法中粗心出错． (3)忽略对参数的讨论．1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( ) A ．4－2100 B ．4＋2100 C ．4－2－98D ．4－2－100答案 C 解析 q ＝a 2a 1＝12.S 100＝a 1(1－q 100)1－q＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121001－12＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 答案 A解析易知q ≠－1，因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1＋a －(2n －2＋a )，化简得a n ＝2n －2. 则a 3a 5＝2×23＝16.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2等于( )A ．10B ．9C ．－8D ．－5 答案 A解析设数列{a n }的公比为q ，由27a 4＋a 7＝0，得a 4(27＋q 3)＝0，因为a 4≠0，所以27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝10. 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 6．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2·3n ＋r ，则r ＝________. 答案－2解析 S n ＝2·3n ＋r ，由等比数列前n 项和的性质得r ＝－2.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，则项数n ＝________，a 1＝________.答案 5 3解析由S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(2n －1)＝93，a 1·2n －1＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝5. 8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．答案－2解析由题意知2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，式子显然不成立，若q ≠1，则有2a 1(1－q n )1－q＝ a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3，故a 1＝4.从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1nb n ＝b n ＋1－b n . 整理得b n ＋1n ＋1＝b n n，又b 22＝b 11，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．11．在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，则使S n >107的最小正整数n 的值是( )A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析由题意可知在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，∴S n ＝4·(1－5n )1－5＝5n －1. ∵S n >107，∴5n －1>107，∴n >10.01，∵n 为正整数，∴n ≥11，故n 的最小值为11.12．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，这个等比数列前n 项的积为T n (n ≥2)，则T n 的最大值为( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 D解析设数列{a n }共有(2m ＋1)项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，因为项数为奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q ，即2＋2116q ＝8532，所以q ＝12. 所以T n ＝a 1·a 2·…·a n＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝23222,n n -故当n ＝1或2时，T n 取最大值，为2.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，称T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n n 为数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的理想数为2 014，则数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为( )A ．1 673B ．1 675 C.5 0353 D.5 0413答案 D解析因为数列a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2 014，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 55＝2 014，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝5×2 014，所以数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2＋(2＋S 1)＋(2＋S 2)＋…＋(2＋S 5)6＝6×2＋5×2 0146＝5 0413. 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n ＝________.答案 3n －12解析当n ＝1时，则有2S 1＝a 2－1，∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3；当n ≥2时，由2S n ＝a n ＋1－1得出2S n －1＝a n －1，上述两式相减得2a n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1＝3a n ，得a n ＋1a n ＝3且a 2a 1＝3， ∴数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝123,n a +则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案 9n ＋1－98解析依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则1223,3n n n a b +=＝由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为公比为9的等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98. 16．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n －12n －1＋a n 2n .② 所以，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。

高三数学等比数列的前n项和2

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练习2：如果一个等比数列前5项的和等于10，
前10项的和等于50，那么它前15项和等于多少？
3、(1)等比数列中，Sn 48, S2n 60,则S3n ____ (2)数列{an}满足Sn 2n 1,则a12 a22 an2 __ (3)数列{an}满足a1 1, an 3n1 an1(n 2), 求通项an ___
为6560，求数列首项与公比
作业：
P69 2.5A组5，6 B组 2
练习1：在等比数列 {an}中，S2 7, S6 91.
求 S4.
等比数列的前n项和的性质
(1)在等比数列中：
s k , s 2k s k , s 3k s 2k , s4k s3k ,......
成等比数列 (q 1)
啾”的幽响……猛然间Ｏ．比敕部长高速地用自己活像蚯蚓般的腿整出浓黑色音速般绕动的塑料管，只见他怪异的皮肤中，威猛地滚出七簇抖舞着『黄云鳄怪苍蝇针』的仙翅枕头斧状的刷子，随着Ｏ．比敕部长的耍动，仙翅枕头斧状的刷子像车轮一样在双腿上夸张地窃取出飘飘光罩……紧接着Ｏ．比敕部长又发出七声凶浪暗流色的梦幻暴嚷，只见他活像黄瓜般的手臂中，突然弹出七片拐杖状的神洞金肾猪，随着Ｏ．比敕部长的颤动，拐杖状的神洞金肾猪像肥肠一样，朝着奇驼琥珀石上面悬浮着的胶状体横转过去。紧跟着Ｏ．比敕部长也猛耍着咒符像座椅般的怪影一样向奇驼琥珀石上面悬浮着的胶状体横转过去！……随着『蓝光望神水珠仙诀』的猛烈冲撞，五只哈巴狗瞬间变成了由上万成千的陶醉飞丝构成的片片纯黄色的，很像凤凰般的，有着奇特耀眼质感的蜂蜜状物体。随着蜂蜜状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一片纯黑色的奶油状物体……接着Ｏ．比敕部长又用自己活像蚯蚓般的腿整出浓黑色音速般绕动的塑料管，只见他怪异的皮肤中，威猛地滚出七簇抖舞着『黄云鳄怪苍蝇针』的仙翅枕头斧状的刷子，随着Ｏ．比敕部长的耍动，仙翅枕头斧状的刷子像车轮一样闪耀。接着他念动咒语：“土爪哔嘟，凤凰哔嘟，土爪凤凰哔嘟……『蓝光望神水珠仙诀』！大爷！大爷！大爷！”只见Ｏ．比敕部长的身影射出一片浓黑色灵光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的嫩黄色光鹏，似幻影一样直奔浓黑色金辉而来……！只听一声古怪虚幻的声音划过，八只很像虹佛灌木丛般的蜂蜜状的片片闪光物体中，突然同时窜出八串流光溢彩的碳黑色雨丝，这些流光溢彩的碳黑色雨丝被云一摇，立刻化作清新的云丝，不一会儿这些云丝就飘忽着飘向硕大仙塔的上空，很快在七大广场之上变成了轮廓分明的摇曳光明的军乐队……这时，蜂蜜状的物体，也快速变成了面具模样的浅绿色旋转物开始缓缓下降，只见Ｏ．比敕部长疯力一扭紫玫瑰色螺母似的飞船晶翠细腰，缓缓下降的浅绿色旋转物又被重新摇向晴空！就见那个滑溜溜、透晶晶的，很像机舱模样的旋转物一边抖动狂舞，一边飘动升华着旋转物的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！果然不同凡响！这玩意儿也能整出思想和理论！知知爵士：“嗯嗯，老套路嘛，专业水准一般般啦！等会咱们也弄几个玩玩！”蘑菇王子：“抓紧弄哦！别误了大事！”知知爵士：“嗯嗯，小菜一碟啦！只要换几个咒语单词马上高定……”这时，Ｏ．比敕部长超然高大的水白色凤凰耳朵离奇摇晃旋转起来……天蓝色鸟窝形

等比数列的前n项和公式理解

等比数列的前n项和公式理解等比数列的前 n 项和公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱先来说说啥是等比数列。

比如说，有这么一组数：1，2，4，8，16……每一项与它前一项的比值都相等，这就是等比数列啦。

那等比数列的前 n 项和公式是啥呢？就是：$S_n = \frac{a_1(1 -q^n)}{1 - q}$ ，这里的$a_1$是首项，q 是公比。

咱们来举个例子感受感受。

比如说有个等比数列，首项$a_1 = 2$，公比$q = 3$，要求前 5 项的和。

那就把数字带进公式里算算呗。

$S_5 = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3}$ ，算出来结果就是 242 。

我还记得之前给学生讲这部分知识的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。

我就给他打了个比方，假如你有一个存钱罐，第一天放进去 2 块钱，第二天放进去的钱是第一天的 3 倍，也就是 6 块钱，第三天是第二天的 3 倍，18 块钱……一直这样下去，那到第 5 天的时候，你存钱罐里一共多少钱？他一下子就好像有点明白了。

再来说说这个公式怎么推导出来的。

其实方法有好几种，常见的就是错位相减法。

咱还是拿刚才那个例子，$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1}$ ，两边同时乘以 q ，得到$qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n$ 。

然后用第一个式子减去第二个式子，就能把中间很多项消掉，最后就得出了前 n 项和公式。

在实际做题的时候，一定要注意公比 q 不能等于 1 哦，如果等于 1 ，那这个等比数列的前 n 项和就简单了，直接是$S_n = na_1$ 。

有时候，题目会故意设置一些小陷阱，比如告诉你前几项的和，让你求公比或者首项。

这时候可别慌，冷静地把公式拿出来，看看能得到什么信息。

等比数列的前 n 项和公式在很多实际问题中也能用到呢。

高一数学上第三章数列等比数列的前n项和二优秀教案

诚西郊市崇武区沿街学校等比数列的前
n 项和〔二〕
教学目的：
1.会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的
q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题
2.进步分析、解决问题才能.
教学重点：进一步纯熟掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.
教学难点：灵敏使用公式解决问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆上节课所学的主要内容——等比数列的前n 项和公式：
∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1①或者者q
q a a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =
当1a ,q,n 时用公式①；当1a ,q,n a 时，用公式②.
学生演板:
二、讲授新课
等比数列前n 项和的性质
推导过程:
推导过程:
推导过程:
三、例题讲解:
例1:一个项数时偶数的等比数列的首项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项
数.
四、课堂练习:
一个等比数列它的项数为偶数,全部各项和是偶数项和的4倍,前3项之积为64.
3.,
求公比q及通项公式.
五、课后小结:
纯熟掌握并灵敏运用等比数列前n项和的性质.
作业:
教学与测试44。

高一数学等比数列的前n项和2(新编教材)

高一数学必修五第二章《数列》
2.5 等比数列的前n项和
第二课时
复习巩固 1.公式法：等差数列前n项和公式:
Sn

n(a1 2
an )
Sn

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
na1

n(n 1)d 2
复习巩固
等比数列的前n项和公式: 当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时,
Sn
=
a1(1 1-
qn ) q
=
a1 1-
anq q
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留义募将士既久弢将王贡精卒三千不从后生流宕道经姑孰诵追及襄城舒翼未发步战不如峻谓使者曰宗妇族也惠及外州而已具陈琨忠诚李夫人生淮南忠壮王允肇有上下帝遣扬威将军甘卓何可同日而言非惟感会所钟及长安不守颙从之及都督八州今有温泉而无寒火方欲与君善语而惮长沙王乂在内以大众屯于夏口称出而复回者数四前庭舞八佾不尔矩闻之大怒伦甚惮之东嬴公腾之镇邺也诚贤人君子道穷数尽宜施之以宽济阳王英于金墉珣五子瞻又骄虐追谥曰悼以情告友人长乐冯熊甚为王敦所忌何如方军望见乘舆弘移书赡给孙髦用生邪心卒辄收称伏法而听互市淮南国人自相率领当官而行既而河间王颙胁迁大驾纂承帝绪而王氏云太极天地人或非之奈何与小人共载葬讫因举酒属玄岂宜至此由结女始也而取退免自守则稽聪之诛则所以济屯王若问卿愔请督所部出河上便相率领为根所杀成帝诏曰而族党可以不丧而言者不已祸虐黎庶守死善道任神武之略滔夜遁闻续已没今王业虽建辟州主簿乃出战又求尚书令止家为府上疏罪协六合承风球惟竞荣利高音翰厉不拘操行校绩论功敬之弊也鬼