给郭希连写书

思想篇

探索开放性问题

【专题概述】探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，

给学生留有较大探索余地的试题．这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．探索性问题一般有三类：（1）探索结论的开放性问题；（2）探索条件的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题．

就近几年的高考此类问题考察的内容代数方面主要有三角与向量探索性问题，函数不等式与方程探索性问题，数列探索性问题；几何方面主要有解析几何探索性问题，立体几何探索性问题。出现的题型选择填空解答都有。

【应用举例】

例1（2008年高考湖北卷第21题）

已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ,a n+1=24,(1)(321),3

n

n n n a n b a n +-=--+其中λ为实

数，n 为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0＜a ＜b ,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有

a ＜S n ＜

b ?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

【研析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论

的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力；条件开放的探索性问题，往往结论给出，要求寻求使其成立的相应条件。解答者通过分析倒推，逆向思维探求结论成立的条件。解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法． 解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即

,0949

4

9494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(

3

2

a n -2n +14) =

32(-1)n ·（a n -3n +21）=-3

2b n 又b 1x -(λ+18),所以

当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴

3

2

1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3

2

为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求.

∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－3

2）n -1

，于是可得 S n =-.321·)18(53

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+n ）－（－　λ 要使a

53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +) ，则

令

得

n n

n

n f b a

)3

2

(1)()3

2(1)18(5

3

)3

2(1--=--<

+-<--λ ①

当n 为正奇数时，1

;35<≤≤

n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95

,

于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.183185

3

--<<--⇔a b b λ

当a

当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a

【易错总结】

【例题】在∆ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，f(B)=2sin(2B+3π

),当m 取何值

时,f(B)-m>2对B ∈(0,π)成立?

【错解】f(B)-m>2成立,即2sin(2B+3π

)> m+2成立, 因为B ∈(0,π),所以2sin(2B+3π

)∈][2,2-,所以-2> m+2

得出m<-4

跳出陷井：某结论关于某量在给定范围内成立与恒成立是两个不同的概念

【正解】f(B)-m>2成立,即2sin(2B+3π

)> m+2成立, 因为B ∈(0,π),所以2sin(2B+3π

)∈][2,2-,所以2> m+2

得出m<0

【回归课本】

例2(人教版第一册上第132页题10)已知数列{a n }是等差数列, n s 是其前n 项的和,求证12186126,,s s s s s --成等差数列.设*

N k ∈,K K K K K S S S S S 232,,--成等差数列吗?

解: k

k k k k k

k k k k k

k a a a s s a a a s s a a a s 3221223221221..................++=-++=-++=++++

)

(2)(2,......2,22232322221121k k k k k k k k k k k k s s s s s a a a a a a a a a -=-+∴=+=+=+++++

∴K K K K K S S S S S 232,,--成等差数列 【练习题】 一 选择题:

1. 已知数列{}n a 对任意的*

p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等

于（ ） A ．165-

B ．33-

C ．30-

D ．21-

2. 设P 为曲线C ：2

23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）

A ．112

⎡⎤

--⎢⎥⎣

⎦

，

B ．[]10-，

C ．[]01，

D ．112⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，

3. 函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y = -f ′(x )的图象，则m 的值可以为( )

A.

2

π

B.π

C.－π

D.－

2

π 4. 双曲线12

22

2=-b y a x （a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且

|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )

A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

5. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）