材料力学(柴国钟、梁利华)第9章

9.1 图示起重架，在横梁的中点受到集中力F 的作用，材料的许用应力MPa 100][=σ。试选择横梁工字钢的型号（不考虑工字钢的自重）。 解：由0=∑C M 可得

05.130tan 3=⨯-︒⨯⨯F F Ax ，kN 13=Ax F

由0=∑B M 可得

05.13=⨯-⨯F F Ay ，kN 5.7=Ay F

横梁的跨中截面上有最大弯矩 m kN 25.115.15.7max ⋅=⨯=M

横梁上的最大压应力

][max max σσ≤+=z

Ax W M

A F

上述强度条件中截面面积A 和抗弯截面系数z W 都是未知的，因此首先忽略轴力的影响来选取工字钢型号，然后再利用上式做强度校核。

3346

max cm 5.112mm 1025.11100

1025.11][=⨯=⨯=≥σM W z

查表，选取16号工字钢，其z W 为141cm 3，A 为26.131 cm 2，代入（1）式得到

][MPa 8.84141000

1025.111.2613130006

max σσ≤=⨯+=

因此，最终选择16号工字钢。

9.2 如图所示的链环，其截面直径mm 50=d ，受拉力kN 10=F 作用，试求链环的最大正应力。 解：最大拉应力：

MPa 0.5432

/5060

100004/501000032max max,=⨯⨯+⨯=+=ππσz N t W M A F

最大压应力：

MPa 8.4332

/5060

100004/501000032

max max,-=⨯⨯-⨯=-=ππσz N c W M A F

9.3 如图所示夹具，夹紧力为=F 2kN ，材料的许用应力为=][σ170MPa ，试校核m-m 截面的强度。 解：m-m 截面上的最大正应力（拉应力）为

]

[MPa 0.1606/201050

2000201020002max max,σσ<=⨯⨯+

⨯=+=z t W M A F

故夹具满足强度条件。

9.4 图示简支梁，已知：=q 20kN/m ，=F 1500kN ，=e 80mm 。求（1）F 和q 分别作用时，跨中截面的正应力分布图；（2）F 和q 同时作用时，跨中截面的正应力分布图。

解：

(1) F 单独作用时，上、下表面的应力为：

⎩

⎨⎧

=⨯⨯⨯±⨯⨯==

'MPa 2506/480

2508010001500480250100015002

max z W M A F σ 跨中横截面上正应力分布图如图(a)。

q 单独作用时，上、下表面的应力为：

⎩⎨

⎧-=⨯⨯⨯==

''26.0MPa

26.0MPa

6/480250100002081

22max z

W M σ 跨中横截面上正应力分布图如图(b)。

(2) F 和q 共同作用时，上、下表面的应力为：

⎩

⎨

⎧-=''+'=51.0M Pa 26.0M Pa

σσσ

跨中横截面上正应力分布图如图(c)。

9.5 如图所示托架，AB 为矩形截面梁，宽度=b 20mm ，高度=h 40mm ；杆CD 为圆管，外径D =30mm ，内径d =24mm ；两者的材料相同，许用应力=][σ160MPa 。试确定该结构的许可载荷][q 。 解：（1）横梁AB 的受力图如图，由0=∑A M 可得

08.02

1

6.045sin 2=⨯⨯-⨯︒⨯q F N ，()kN 1528q F N = 这里q 的单位默认为m kN 。

由竖向的受力平衡方程可得 08.045sin =+⨯-︒⨯y N F q F ，

()kN 15

4

2215288.0q q q F y =⨯-

⨯= 横梁AC 段的弯矩方程为 212

1

154)(qx qx x M -=，]6.0,0[∈x

C

D

B

q

A

0.6m

0.2m

0.6m

C

B

A

F N

F Ax

F Ay

由

0154

)(1=-=∂∂qx q x x M ，可得15

4=x m ； 最大弯矩为：m kN 225

8154211541542

15

4

max

1⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==

q q q M x 横梁BC 段的弯矩方程为

()()m kN 32.08.02

18.021)(22

2⋅-+-=--=q qx qx x q x M ，]8.0,6.0[∈x

最大弯矩为

()m kN 02.0max 2⋅-=q M

可见，最大弯矩为225

8max q M =

，位于154

=x m 处，此横截面上的最大正应力（拉应力）为

1603

226/402022510822402015102822263max max max

≤=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=+=q

q q W M A F W M A F z N z x σ 由上式可得，m kN 8.21≤q 。

（2）由压杆CD 的强度条件，确定许可载荷。

()16024304

1000

152

822≤-⨯⨯==πσq A F N 由上式可得，m kN 98.53≤q

因此，该结构的许可载荷为[]m kN 8.21=q 。

9.6 试确定如图a 、b 所示截面的截面核心。 9.6 解：（a ）梯形面积为

2mm 90000300)400200(2

1

=⨯+⨯=A

形心位置

mm 33.13390000

100300100150300200=⨯⨯+⨯⨯==A S z y C

对形心轴的惯性矩

483

22322mm 105.6)

400200(36300)4002004004200()(36)4(⨯=+⨯⨯+⨯⨯+=+++=B b h B Bb b I C

y

482

3

3mm 105.71003100300100211003003612200300121⨯=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=C

z I

232

mm 1022.7⨯==

A

I i C

C

y

y ，232mm 1033.8⨯==

A

I i C

C

z

z

利用公式：