Tél映射的符号动力学
计算材料学第一性原理密度泛函理论分子动力学ppt课件
波恩-奥本海默近似
因为原子核的质量为电子的1000倍左右，因此其速度比电子慢得多； 那么，可以将电子运动分为两个部分：考虑电子运动时，原子核处于 其瞬时的位置，而考虑核的运动时不考虑电子在空间的具体分布。这 样可以将原子核与电子分离求解。
将上式代人薛定谔方程，电子部分：
哈密顿量：
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Thomas-Fermi-Dirac近似
非自旋极化系统， 自旋极化系统，
电子气关联能的表达式，
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交换关联函数， GGA
在L(S)DA的基础上，人们又进一步发展了广义梯度近似(GGA)。GGA 在L(S)DA的基础上，认为交换关联能 不但是电子密度的函数，而且 还是其梯度的函数。其表达式为：
--到此为止,整个过程就只有一次近似，即局域密度近似；那么这个计算 结果的正确与否就决定了LDA（GGA）的合理与否。
交换项
动能项
外场项
库仑项
丢失了很多重要的物理量，如原子的壳层信息
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Hohenberg-Kohn 定理
定理一： 粒子数密度函数是一个决定系统基 态物理量性质的基本变量。
定理二： 在粒子数不变条件下能量泛函对密 度函数的变分就得到系统基态的能量
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定理一
定理一： 粒子数密度函数是一个决定系统基 态物理量性质的基本变量。
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K-S方程求解 （SCF）
求解条件：用来构造有效势的 电荷密度与解Kohn-Sham方程 得来的电荷密度一致。
解Kohn-Sham方程，这一步 计算量最大，里面需要用到许 多技巧，比如平面波展开，赝 势等。
SCF：自洽求解
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交换关联函数， LDA
交换关联势在意义上是非局域的，我们前面提到这一部分包含两部分 交换相互作用和关联作用（即是有相互作用粒子和无相互作用粒子的
量子力学中的运动学算符
量子力学中的运动学算符量子力学作为现代物理学的重要分支，研究物质和能量在微观尺度上的行为。
运动学是量子力学的一个基础概念，它描述了粒子在空间中的运动轨迹以及位置与时间的关系。
在量子力学中，运动学算符是描述粒子运动状态的数学工具。
本文将介绍量子力学中的运动学算符及其基本性质。
一、位置算符在经典力学中，位置是描述物体在空间中所处位置的物理量。
在量子力学中，位置算符表示对粒子位置的测量。
位置算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。
位置算符的本征值就是粒子的位置坐标，即|r⟩与对应的本征值r。
位置算符的表示形式为：r = r其中r是一个三维矢量，包含粒子在三个坐标轴上的位置。
二、动量算符在经典力学中，动量是物体的质量和速度的乘积。
在量子力学中，动量算符表示对粒子动量的测量。
动量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。
根据量子力学理论，动量算符与位置算符是互补的，即它们不能同时被精确测量到。
动量算符的表示形式为：r= −rℏ∇其中r是虚数单位，ℏ是普朗克常数，∇是梯度算子。
动量算符与位置算符的本征值存在对应关系，即动量本征值为粒子的动量。
三、角动量算符在量子力学中，角动量算符描述了粒子的自旋和轨道角动量。
角动量算符与位置算符和动量算符类似，也是量子力学中的重要概念。
角动量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r, r⟩，其中r为角动量大小，r为角动量在某个方向上的投影。
角动量算符有三个分量：rr，rr和rr。
三个分量满足角动量的对易关系，即：[rr, rr] = rℏrr[rr, rr] = rℏrr[rr, rr] = rℏrr其中[r, r]表示算符r和r的对易子。
这些对易关系表明了角动量算符的非对易性，与经典力学中角动量的对易性质不同。
四、能量算符在量子力学中，能量是一个系统的基本物理量，描述了物体的能级和储备能量。
能量算符表示对系统能量的测量。
能量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。
22狄拉克符号
ψ = ∑ am m
m
am = m ψ
Φ = ∑ bn n
n
bn = n Φ
显然有 即
ˆ ˆ nΦ = n F ψ =∑ n F m mψ
m
bn = ∑ Fnm a m
m
ˆ ˆ F 其中， 表象中的矩阵元。 其中， nm = n F m 为算符 F 在 Q 表象中的矩阵元。
特别地， ˆ 特别地， Q在自身表象中的矩阵元
n
m ψ = ∑ an m n = ∑ anδ mn = am
n n
所以， 所以，展开系数
an = n ψ
又 因此 比如 引入算符 因为
ψ =∑ nψ n =∑ n nψ
n n
∑n
n
n =1
∫
∞
−∞
dx ′ x ′ x ′ = 1
ˆ Pn ≡ n n
Pn ψ = n n ψ = n n
m
∑a
m
m
m = ∑ am n n m
m
= ∑ am n δ nm = an n
显然，该算符对任何矢量的运算， 显然，该算符对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 n 上去， 方向上的分量。所以此算符称为投影算符 投影算符。 上去，使它变成在基矢 方向上的分量。所以此算符称为投影算符。
n
四、算符的狄拉克符号表示
ˆ Φ =Fψ
在 Q 表象下
ˆ x Fψ = xφ
iℏ
∂ ˆ ψ ( x) = Hψ ( x) ∂t ˆ Fu ( x) = λu ( x)
n n
kj
iℏ
∂ ˆ ψ =H ψ ∂t ˆ F n =λ n
iℏ
∂ ˆ xψ =H xψ ∂t ˆ F x n =λ x n
物理中狄拉克符号
物理中狄拉克符号
狄拉克符号（Dirac Notation）是用来描述量子力学中的态的一种数学表示方法。
它是由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）引入的。
在狄拉克符号表示法中，一个量子态被表示成一个矢量，通常用“|”和“>”符号包围，如：
|ψ⟩
这个矢量表示一个态矢量，它是一个复数列向量，在量子力学中它代表一个物理系统的状态。
这个矢量可以被视为向量空间中的一个点或向量，因此它也被称为“态矢量”。
狄拉克符号有很多特性，其中最重要的是内积和外积。
内积是两个矢量之间的一种运算，它把两个矢量映射到一个标量上。
内积表示为：
⟩ψ1|ψ2⟩
其中，“⟩”、“|”和“⟩”符号表示一个叫做“bra-ket”的记号。
内积可以用来计算两个态矢量之间的相似度，也可以用来计算一个态矢量在另一个态矢量方向上的投影。
外积是两个矢量之间的一种运算，它把两个矢量映射到一个新的矢量上。
外积表示为：
|ψ1⟩⟩ψ2|
外积可以用来构造一个算符，它可以作用于一个态矢量上，将它转换成另一个态矢量。
狄拉克符号的使用简化了量子力学的数学表达式，使得物理学家们可以更方便地描述和计算量子系统中各种量的性质和变化。
量子力学符号
都是些希腊字母：1 Α α alpha /a:lf/ 阿尔法2 Β β beta /bet/ 贝塔3 Γ γ gamma /ga:m/ 伽马4 Δ δ delta /delt/ 德尔塔5 Ε ε epsilon /ep`silon/ 伊普西龙6 Ζ ζ zeta /zat/ 截塔7 Η η eta /eit/ 艾塔8 Θ θ thet /θit/ 西塔9 Ι ι iot /aiot/ 约塔10 Κ κ /kappa/ kap 卡帕11 ∧λ /lambda/ la mbd 兰布达12 Μ μ mu /mju/ 缪13 Ν ν nu /nju/ 纽14 Ξ ξ xi /ksi/ 克西15 Ο ο omicron /omik`ron/ 奥密克戎16 ∏ π pi /pai/ 派17 Ρ ρ rho /rou/ 柔18 ∑ σ sigma /`sigma/ 西格马19 Τ τ tau /tau/ 套20 Υ υ upsilon /jup`silon/ 宇普西龙21 Φ φ phi /fai/ 佛爱22 Χ χ chi /phai/ 西23 Ψ ψ psi /psai/ 普西24 Ω ω omega /o`miga/ 欧米伽大写小写中文名英文注音意义A α 阿尔法Alpha 角度；系数B β 贝塔Beta 磁通系数；角度；系数Γ γ 伽玛Gamma 电导系数（小写）Δ δ 德尔塔Delta 变动；屈光度；方程判别式（大写）；允许误差（小写，统计学）Ε ε 伊普西隆Epsilon 对数之基数Ζ ζ 泽塔Zeta 系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数Η η 伊塔Eta 磁滞系数；效率（小写）Θ θ 西塔Theta 温度；相位角Ι ι 约塔Iota 微小，一点儿Κ κ 卡帕Kappa 介质常数∧λ 兰姆达Lambda 波长（小写）；体积Μ μ 米欧Mu 磁导系数；微（百万分之一）；放大因数（小写）；正态分布中的位置参数（小写）Ν ν 纽Nu 磁阻系数Ξ ξ 克西XiΟ ο 欧米克隆Omicron∏ π 派Pi 圆周率=圆周÷直径≈3.1416（即π=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944......）Ρ ρ 柔Rho 密度;电阻系数（小写）∑ σ 西格玛Sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写）Τ τ 陶Tau 时间常数Υ υ 玉普西隆Upsilon 位移Φ φ [ fai ] 英文音标磁通量；角；空集（大写）Χ χ 凯[kai,ki:]ChiΨ ψ 普赛Psi 角速；介质电通量（静电力线）；角；波函数Ω ω 奥米伽Omega 欧姆、电阻（大写）；角速（小写）；角。
狄拉克符号表示算符的推导
狄拉克符号表示算符的推导
狄拉克符号是一种数学表示方法，用来表示算符的推导。
在量子力学中，算符可以用来描述物理系统的性质和演化规律。
狄拉克符号通过使用特殊的字母和符号来表示算符，并且定义了它们之间的运算规则。
在狄拉克符号表示中，我们通常使用右矢（ket）表示一个量子态，记作|ψ⟩。
而对应的左矢（bra）则表示共轭态，记作⟩ψ|。
狄拉克符号中的算符通常用帽子标记，例如波函数算符为⟩，动量算符为p⟩。
对于一个算符的推导，我们可以使用狄拉克符号进行简洁的表示和计算。
例如，假设有一个算符A作用在量子态|ψ⟩上，我们可以表示为A|ψ⟩。
同样地，如果要表示一个算符B作用在左矢⟩φ|上，可以写为⟩φ|B。
狄拉克符号还定义了内积和外积，用来进行算符之间的运算。
内积表示两个量子态之间的相互作用，记作⟩ψ|φ⟩。
外积表示两个算符的乘积，记作|ψ⟩⟩φ|。
通过使用狄拉克符号表示算符的推导，我们可以简化量子力学中的计算和表达，使得理论更加清晰、简洁。
它是量子力学中非常重要的数学工具之一。
以英文命名的物理学现象
以英文命名的物理学现象
以下是一些以英文命名的物理学现象：
1. Doppler Effect（多普勒效应）：描述当波源相对于观察者运动时，观察到的波的频率和波长发生变化的现象。
2. Photoelectric Effect（光电效应）：指的是当光照射到金属表面时，光子的能量足够大时，可以将金属中的电子从原子中解离出来形成电流的现象。
3. Quantum Tunneling（量子隧道效应）：是指在经典物理学下不可能发生的情况下，由于量子力学的特性，粒子可以穿越能量势垒的现象。
4. Superconductivity（超导现象）：指的是在极低温度下，某些特定材料的电阻消失，可以使电流在其中无阻碍地流动的现象。
5. Bose-Einstein Condensation（玻色-爱因斯坦凝聚）：是指在极低温下，玻色子（一种基本粒子）的量子态出现互不冲突的大量粒子处于相同量子态的集体行为。
请注意，以上内容仅为物理学现象的一部分，如您对其他领域的命名有需要，请提供更具体的问题。
光滑粒子流体动力学方法及应用
光滑粒子流体动力学方法及应用
光滑粒子流体动力学方法是一种用于模拟和研究粒子流体动力学行为的数值方法。
它结合了粒子法和流体动力学的优势，可以用于模拟各种流体现象，包括自由表面流动、多相流动、湍流等。
在光滑粒子流体动力学方法中，流体被视为由大量微观粒子组成的连续介质，每个粒子都有质量、速度和其他相关属性。
通过描述粒子之间的相互作用以及粒子与周围流体的相互作用，可以计算流体的宏观行为。
光滑粒子流体动力学方法主要有两个基本步骤：粒子运动和流体力学计算。
粒子运动是通过牛顿力学和动量守恒定律来模拟粒子的运动轨迹，包括粒子的位置、速度和加速度等。
流体力学计算则是通过计算粒子之间的相互作用力和粒子与流体之间的相互作用力，从而得到流体的宏观行为，例如流速、压力和密度等。
光滑粒子流体动力学方法在多个领域有广泛的应用，包括工程、地球科学和生物医学等。
它可以用于模拟水力结构、水泥流动、土动力学、海洋波浪和生物流体力学等问题。
此外，光滑粒子流体动力学方法还可以用来优化流体力学系统的设计，改善流体流动的控制和操纵。
总之，光滑粒子流体动力学方法是一种用于模拟和研究粒子流体动力学行为的有效数值方法，具有广泛的应用前景。
它可以
提供对流体行为的详细理解和预测，对于解决实际工程问题和科学研究具有重要意义。
量子力学数学形式表述的由来和特点
量子力学数学形式表述的由来和特点量子力学是用数学语言来调和两种对立的经典概念波和粒子应用到原子现象上描写同一微观客体的佯谬（表观矛盾）的。
波概念的用场在于通过波动的各部分振幅的（线性）叠加引起加强削弱的所谓干涉效应来说明原子现象在空间时间上的强弱分布；粒子概念的用场在于说明原子过程的单个性特色。
尽管这两者在表观上是矛盾的，事实表明，两种概仿可借助作用量量子充当调停者的角色对应起来，写出如下两种等式：普朗克（1900）——爱因斯坦（1905）——玻尔（1913）关系：能量频率；爱因斯坦（1909）——德布罗意（1923）——薛定谔（1926）关系：动量波数两式的左边由粒子概念组成，右边由波概念组成。
象玻恩所说，等式本身就完全不合理。
何以有这种对应到今仍是个谜。
但是玻恩也认为，如果放弃物理学一向接受的决定论原理，这种等式就通过量子力学的建立而合理化了。
可以认为，为了解释原子现象在表观上的二得性，物理学家面临的问题是要把经典物理学作一个合理的推广，以便把作用量量子以合理的方式合并进去。
这一困难任务终于通过引进合适的数学抽象完成了。
完成的过程与其特点大致如下：推导量子论的数学结构，不管用粒子图景还是用波图景，都靠两个来源：经验事实和玻尔的对应原理。
但是，这种推导并不是数学意义上的推导，因为所得各方程本身就是所建立理论的假定。
虽然这些假定看来很合理，最后的证明还得看它们的预言和实验符合得怎样。
（一）矩阵力学1925——26年海森堡发起，随后经玻恩和约旦协助，从粒子类似出发，在“试图解开原子谜，必须只考虑可观察的数量”这个观念指导下，试图推出量子力学的数学结构。
出发点仍是经典力学的数学结构，即哈密顿的正则运动方程。
根据原子物理学中公认的经验事实（里德堡——里兹原子光谱线并合规则，分立的原子能量值的存在，玻尔频率关系），在对应原理的指引下，他们发出原子稳定态的理论要求电子坐标、动量与其函数都可用（厄米）矩阵来表示。
tafel公式推导
tafel公式推导Tafel公式是一种用来描述电化学反应速率与电位之间关系的数学公式。
一般情况下，Tafel公式可表示为：i = I0 exp(αaη)或i = I0 exp(-αcη)其中，i是电流密度，I0是交流电流密度（在电位为零时），αa和αc分别是阳极和阴极的传递系数，η是电位与标准电极电位之差。
Tafel公式是由物理化学家Tafel在19世纪末发现的，它是基于过渡态理论和电极表面上的反应动力学过程推导而来。
公式的推导涉及了几个关键假设和方程，下面是对其推导的概要：1.首先，假设电化学反应的速率决定于活化过程（即电化学步骤中的限速步骤）。
这意味着整个反应速率是由过渡态反应的速率决定的。
2.基于这个假设，可以将反应速率表达为：r = k exp(-Ea/RT)其中，r是反应速率，k是速率常数，Ea是活化能，R是气体常数，T是温度。
3.将活化能表示为电位差ΔE的函数：Ea = αaRT |ΔEa|这里，αa是对表面活化能变化的乘法因子，一般取值为0.2-0.5。
4.进一步假设活化能变化是与表面中的反应物浓度成线性关系：Ea = αaRT |ΔEa| = αaRT |η|这里，η是电位与标准电极电位之差。
5.联合以上假设，并考虑反应速率与电流之间的关系，将活化能表达式代入到速率方程中，得到Tafel公式。
适当拓展：Tafel公式在电化学研究和应用中具有广泛的应用。
它可以用于描述电化学反应的动力学过程和电化学腐蚀等现象。
通过测量电流密度随电位变化的关系，可以对电极表面的反应机理和动力学参数进行研究。
同时，Tafel公式也可以用来推测和预测电化学反应的行为。
例如，根据Tafel斜率，可以判断反应的控制步骤（扩散控制或激活控制），从而调节条件以改变反应速率。
此外，Tafel公式对于燃料电池、电解池和电化学合成等领域的研究也具有重要意义。
对于这些系统中的电极反应，通过Tafel斜率可以评估电极催化活性、反应速率和能量转化效率等参数。
两粒子bell态的矩阵表示
两粒子Bell态的矩阵表示Bell态是量子力学中的一种特殊态，由两个粒子组成。
它在量子通信和量子计算等领域具有重要的应用价值。
本文将介绍Bell态的概念，并详细讨论其矩阵表示。
1. Bell态的概念Bell态是指两个粒子之间的纠缠态。
在量子力学中，纠缠是一种特殊的量子态关系，不同粒子之间的状态是无法单独描述的。
Bell态是四个基态的叠加态，具体形式如下：|Φ⁺⟩= 1/√2 (|00⟩ + |11⟩)|Φ⁻⟩= 1/√2 (|00⟩ - |11⟩)|Ψ⁺⟩= 1/√2 (|01⟩ + |10⟩)|Ψ⁻⟩= 1/√2 (|01⟩ - |10⟩)其中，|00⟩、|01⟩、|10⟩和|11⟩分别表示两个粒子可能的自旋状态。
这四个基态之间的叠加系数均为1/√2，保证了归一化条件。
这四个态分别对应于四个不同的Bell态。
2. Bell态的矩阵表示为了更方便地描述Bell态，我们可以使用矩阵来表示。
具体来说，我们可以定义两个粒子共同的自旋矢量和测量矩阵。
2.1 自旋矢量自旋矢量用来描述粒子的自旋状态，我们可以将其表示为一个二维列向量。
自旋矢量的基矢可以表示为：|0⟩ = [1, 0]ᵀ|1⟩ = [0, 1]ᵀ其中，ᵀ表示向量的转置。
自旋矢量和基矢之间的关系可以用矩阵进行表示：|0⟩ = [1, 0] = |0⟩⊗|0⟩|1⟩ = [0, 1] = |1⟩⊗|0⟩其中，⊗表示张量积。
2.2 测量矩阵对于Bell态的表示，我们还需要定义两个粒子的测量矩阵。
测量矩阵用来描述不同基矢之间的转换关系。
M00 = |0⟩⟩0| = |0⟩⊗|0⟩⟩0|⊗⟩0|M01 = |0⟩⟩1| = |0⟩⊗|0⟩⟩1|⊗⟩1|M10 = |1⟩⟩0| = |1⟩⊗|0⟩⟩0|⊗⟩1|M11 = |1⟩⟩1| = |1⟩⊗|0⟩⟩1|⊗⟩0|这里，⟩0|表示|0⟩的共轭转置。
2.3 Bell态的矩阵表示有了自旋矢量和测量矩阵的定义，我们就可以得到Bell态的矩阵表示了。
Tél映射的符号动力学
Tél映射的符号动力学
王丽芳
【期刊名称】《湖南工程学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(017)001
【摘要】用类似于Y.Ishii在文[1][2]中所用的方法,介绍了Tél映射的符号动力学,定义了从平面到符号空间的映射π,还通过Milnor算子,定义了它的逆映(x)0,-1,然后证明了在(x)0,-1作用下,具有相同的尾部(ε)u或头部(ε)s)的所有符号序列逆映到同一直线上,从而完全从数学角度定义了素端和基本禁区,并证明了素端假设.【总页数】3页(P74-76)
【作者】王丽芳
【作者单位】镇江市高等专科学校,江苏,镇江,212003
【正文语种】中文
【中图分类】O193
【相关文献】
1.一种圆映射电路及其符号动力学研究 [J], 陈琢;江皓;张宏
2.Lorenz映射系统中超几何收敛普适性的符号动力学合成律 [J], 杜雷鸣;谢照华;王黎智;杨卫平;何沛丰
3.单峰映射中超几何收敛行为的符号动力学 [J], 杜雷鸣;陈俊;冯洁
4.Lorenz映射符号动力学的研究 [J], 闵琦;张青友
5.基于符号动力学的倒锯齿映射混沌检测机理研究 [J], 杨汝;王燕芬;冯锦澎
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【doc】实用符号动力学
实用符号动力学物理学进展1O卷实用符号动力学郏伟谋郝柏林(中国科学院理论访理研究所)提要本文是为物理工作者和工程人员而写的一篇综述,介绍一维映射符号动力学的最新进展,及其在研究非线性系统周期和混沌运动中的应用.一,引言符号动力学作为动力学系统—般理论的一个分支,源远流长.至少早在上一世纪中叶,使有逸方面的工作,但系统性的研究还始于上世纪和本世纪之交.之后,符号动力学发展成为各态历经理论的核心数学家们以艰深的拓扑学理论的新成果不断丰富其内容,使之赢加抽象,形成令外人望面生畏的数学城堡.然而,符号动力学研究的系统, 是实际系统的简化和抽象,因为模型极为简单,便于用严格的方法作深人的研究.一旦在符号动力学和实际动力学之间建立某种对应关系之后,可将由研究符号动力学系统所得到的结果,应用于研究实际系统,具体化后引伸出适合于该系统的结论.因而,可以说学习动力学系统理论的第一课,应是符号动力学.此话说来容易,对非数学专业的工作者而言做来难.不过,1970年吼来,人们将符号动力学的深刻思想在一维映射系统中形象化,具体化,演化出一种可称作实用符号动力学的方法,它可以只用极通俗的语言如单调性,连续性,道出符号动力学的精髓,并在实际应用中发生奇效.本文试图向非数学工作者介绍这种实用符号动力学,叙述中但求形象,直观,不拘泥于数学严格性.1.1何谓符号动力学形式上非常简单的动力学系统,也可表现出极其复杂的行为.为描述逸些复杂行为,需要尽可能简化的模型系统.所有系统中最简者可说是符号动力学系统.比如说,取两个不同的符号或是字母和工,可构造出许多无限长的符号序列,随手写下一个有?RLRRLLLRLRL….台其第一字母月,便可得另一序列t三月月￡工三月工工….3期郏伟谋等,实用符号动力学这种割舍酋字母派生出新序列的作法称为移位操作或移位.想象每个符号序列代表一个点,所有这样的符号序列点便支起一个符号序列空间如果给定一个符号序列,或者说给定此空间中一点,通过移位可得到一系列新点,它们可称为"轨遭.于是,由移位操作定义了符号动力学系统的动力学.在这个动力学中,符号序列如LLLLLLL…是移位不变的,它是不动点,而符号序列如RLRRLRRLR…则是周期3点.这些序列简单而有规则,可写成L及(RLR),知其现在即可知其将来.还有一些序列极不规贝6,得到它们的方法只能是将逐个字母写出来,它们就是混沌的序列.选种序列点的轨道就是混沌轨道.对符号动力学系统的讨论,如不与实际系统联系,则如游戏一般,但一旦在两者之间建立起对应关系,则符号动力学可成为研究实际系统的强有力工具.通常在物理观测中,由于仪器的精度有限,粗粒描述必不可免,这可看作是我们将观测值域划分成许多间隔,赋予每个间隔一个符号,读数时并非读取一个无限精确的理想值,而是读取一个符号.但是,这里还看不出实际系统和符号系统之间的本质联系.符号动力学的讨论着重于建立符号动力学与实际动力学之间深刻的内在联系,从而得出丰富的结果,换言之,首先将实际系统简化抽象出符号动力学系统加以研究,然后将符号动力学的研究结果再反过来应用于研究实际系统.1.2关于符号动力学的文献据文献1中所录史料,符号序列的使用可归溯至1851年.1921年M.Morse首先注意到符号动力学方法在动力学系统研究中的重要性.1938年在关于动力学系统拓扑理论的一篇文章I中,Morse和Hedlund详细讨论了符号动力学.此后,R.Bowen,D.Ruelle和Y a.Sinai等人在窖态历经理论和微分动力学系统理论方面发展了符号动力学.V.M.Alekseev1811979年将Bowen的6篇文章14-9]编辑成书l;【俄文出版,书名就叫《符号动力学方法'.他和M.V.Y akobson为此书合写了一篇附录.逸篇附录的英文译本"稍后作为综述文章在综述刊物'物理报告(Phys.Rep.)'上发表.J.Ford为在物理杂志上发表的这篇纯数学性文章写了前言,强调了符号动力学方法对于物理学基础的深远意义,极度推崇期刊编者大胆的远见卓识,称他们的勇气犹如敢于在1922年将一篇关于Hilb—ert空间算符代数的数学评述在《物理评论(Phys.Rev.)'上发表.也许这种说法并非吉过其实.Milnor和Thurston1977年有上下两篇讨论一维映射符号动力学的文章,题为《揉捏理论》,只以预印本形式流传很长一段时期,对中国读者却是久寻而不可得,近来已正式发表 1.11l.Guckenbeimer有一篇讲演谈及关于揉捏理论的研究结果".ColleL~Eck —mann的书I,虽然数学味较浓,但详尽地讨论了一维映射的符号动力学.将符号动力学实用化的新近努力始自Metropolis,Stein和Stein的一篇文章""及物理学进展1O卷Derrida,Gervois和Pomeau,的另一篇"I.关于符号动力学的论文数目,正在缓慢而稳步地上升.我们在文献目录中仅能列入与我们的讨论关系较为密切的数篇.中国科学院理论物理所非线性动力学组也开展了映射符号动力学的研究工作,井将符号动力学用于研究微分方程.一些结果已收人新近出版的一本专着…中.(另有简要综述一篇".)该书印行后,又有一些新的进展.关于符号动力学,未见有中文综述.二,单峰映射的符合序列我们考虑如下的一维映射+1:,(,),其中为参数或参数组合.函数,将区间I变换到自身.以下以一维单峰映射,作为最简单而又非平庸的动力学系统,开始讨论.2.1单蜂映射如图1所示,单峰映射,()有唯一的投值点(又称临界点)C,它将区间分割成两音盼,在C点左侧映射I噩数为上升的,右侧为下降的.映射函数的作用是将图中包含C点的区间拉讳,然后折叠一次,置回原区间内.给定区间上一点‰,,以其为初始点进行迭代,可得一条轨道勘,她=,(‰),也:f(xt),…,=,(焉.1),..?(2)如果我们不关心靠在区间上的确切位置,只问共落在C点的左侧和右侧,分别记下字母工或图1单峰映射匝数,()有唯一的极值点C,其左佃0为上升支工,右侧为下降支曰.R,如果恰好落在C上则记C.于是,由轨道(2)可得一个符号序列如果(3)(4)逡里的符号序列只涉及两种字母工和(字母C可认为是退化的L或月),这是最简单的情形.显然,符号序列(3)比之轨道(2)在描述方法上粗糙得多.然而,这种只问左右3期郑伟谋等实甩符号动力学0l9_……一一.__,……—___.一._'__-_●h_-_-__''一'…一的粗粒描述,却带来许多简化且更能反映某些本质.首先,轨道与符号序列问的多一对应,提供了将不同轨道按等价类分类的方法,便于进一步分析研究.其次,符号序列只反映映射拉伸和折叠的本质,不同映射函数的具体形式,只问单调性,于是,由分析符号序列所得到的结果可有极大的普遍性,便于刻划和分析共性,对动力学系统进行科学的分类.既然符号动力学的研究对象是符号序列,首先必须了解对于给定的单峰映射,什么样的符号序列可以出现,以及对于绐定的符号序列是否可找到一单峰映射的一条轨道与该符号序列相对应.这就是允字条件,它是决定一个符号序列或一个字应予禁止或允许的规则.在讨论允字条件之前,必须引进符号序列排序的概念.2.2祷号序列的排序我们知道,区间上取定一点w为初始点,则经迭代可获得一条轨道,进而有一符号序列j(),j()将称作的符号序列,由此建立符号序列和空间点之间的对应.由于粗粒化,不同相空间点可对应同一符号序列.一个极简单的例子如图2所示,容易看出,区间上在C点右侧的所有点,符号序列均为L,而在C点的左侧则为L.区间上所有点的符号序列只能是月L,CL和.L三种之一.''显然,不同的符号序列必定对应于相空间的不同点,否则将与映射为决定论性的前提相悖.如果区阊上两点的符号序列不同,则可将区间上此—=点的大小序自然地赋予它们的符号序列,即段位居右边之点的符号序列一为大,或以式子表作>y===》,()≥,()(5)如果的符号序列为j():s.s1s0…+l…,其次迭传为/f)=弘则显然应有y的符号序列为,(y)=s.….然而,一般不能反过来写X图2不周峰高的单峰映射.=厂(y),因为此处逆函数,不单值,即可取左支也可取右支求逆.分别记左,右支之逆为,L和,R一,在指定左,右支之后,逆函数使单值地定义了.例如,()=RLRRL…且=,'()时,应有=,R-o,LI0,Ro,R()且<0.由这个例子可I墉出,字母和￡分别与逆函数,R和,L相对应,以后只要不弓l起混淆,我们也直接以和L记,R和,L-.相应地,上例可写作:RLRR(y).轨道点一字母一逆函数的对应关系,是符号动力学中基本关系,有必要再说几旬. 如果粕的符号序列为$o8-"s…,由字母与逆函数的对应有如下的逆函数关系式320物理学进展1O卷0=50()=sL(2)一?=s01…s～}(),两边作用以,则有,(0):…s一L(),,(0)=$25a…$n-1<.),(6)(7)等等,体现出映射和移位的对应关系.函数的升降决定于一阶微商.由逆函数和复合函数舶微商规则知,任意有限个单调函数逆函数的多重复合函数,其升降性仅决定于复合函数所含降函数的个数,个数为奇则复合函数为降,否则为升.以下我们由此规则推出符号序列排序规则.两个符号序列不同的最简单情形为…R?和三:…L?.如果区间上某点的符号序列为三,则根据定义它应在C点右侧,而以三为符号序列的点必在左侧,根据序列的排序约定,应有三>最.逸对应于自然序L<C<月.如果两个序列第一个字母相同,但第二个字母不同,逸时须区分两种情形.首字母为工时,如,()=LR…,和,<)= ￡L…,于是=,LI1<月)>,L(L)=,此处记,L<月)YO某个正数的,L-函数值,,LI1<L)YO负数的函数值,上式是,L 为升函数的直接结果.首字母均为月时,因,R为降函数,有倒序关系,A(R)<,置I1<L).于是得涉及二字母的排序规则tLL<三月<月月<月L.一般的情形下.两个序列和三:有一公共字头三,随后出现第一个不同的字母,如z1=zR…,z}=zL…,z=8o$1SEo"?s_自此处s.只取月或L.如果某4-s.恰巧为C,则两序列必相同而不予考虑.如果有两点她和分别以三和为其序列,则可通过在C点右侧取某合适点施加复合函数而获得,如则相应于C点左侧菜点,即=Z(R)2Lxz=三(L),此式三现在指函数.上面讲过,复合函数三的升降性取决于它所含下降函数总数的奇偶性即字符串中字母月的数目的奇偶性,具体说,如果月的总数为奇,则=为降函数,否则三为升函数.据此,可方便地约定字母L的偶性为+1,的偶性为一】,C的偶性相应地定作O.由字母月和L 组成的一个有限字符串或字节,如果它所含字母月的数目为奇,则称奇字节,否则称偶字节,与它所含字母L的数目无关.于是,为偶字节时,应有三…ZR?>L…=三t.而为奇字节时三.<三.比较两个符号序列时,须找出最长公共字节及其随后的第一个不同字母,我们称公共字节加上第一个不同字母组成的字节作主字节.三为偶时,三和中较大者三有主字节三月为奇,三为奇时,较大者为,它的主字节为￡,此时也为奇的.最后,可归纳出如下的3期郑伟谨等,实用符号动力学321排序规则两个不同的符号序歹u,以主字节为奇者为大.如果男有符号序列三.=vC…,即公共字节以c后继,则不难看出,三.必在和三之间.因此,定出三和三z的顺序后,三.相对于三和的顺序也自然地决定了.假定一条周期5的轨遘有符号序列为(RLRRL),根据排序规则可定出轨道五点在相空间中的排序.以l.=(RLRRL)为第0点.,它的一次迭代为,=(LRRLR),得第1点t,依此类推可得五点如表I.序列,和,.以￡为首字母,显然有{,.,,)<{,o,,z,18).两序列,t和,.的主字节分别为LRR和LRL,后者为奇,所以,,l<,.确定主裹I符号序刊(RLRRL)的移位理葛排序字节再检验其奇偶,类似地可得>,n>,:.最后得五个序歹咔的排序为to>,a>,>,>L.以下给出比较喇个不同符号序列大小的一个且C程序t5REMPROGRAMFORCOMPARINGTWODIFFERENTWORDS10DEFINTI-PICLS2OINPUT"THEFIRSTWORDIS?,S1$3OINPUTTHESECONDW0RDIsIs2$4ON=LEN(S1$)IP=15OFORI=1TON.C$=MID$(S1$,I,1)6OIFCS=.RTHENP=一P7OIFCS>MID$($2S,I,1)THENGOTO9080NEXTI90Bs=GREATER,IFP=1THENB$.SMALLERlO0PRINTS1$}ls}BS;THAN.Is2$,.110STOPIEND这个程序中整变量P为字节偶性指标,奇字节有P为一1,每遇一字母月,它改变一次符号(见语句6o).显而易见,所有符号序列中以三为最小,因为与任何其它序列相比,它的主字节永远为偶,也不难看出,最大的符号序列为且￡,因为与任何其它序列相比,它的主字节永远为奇.以￡与0对应,RL与1对应,可建立和￡的符号序列与[0,1]上实数间的一一对应关系.由排序规则还可以证明,如果蜀=△口…和最=△ffz…均以奇字节△起酋,则>l寺l2…<fI乱…,即奇字头倒序.由l>毛,得:的主322物理学进晨10卷字节为奇,又由△为奇,得子序列?和"rIf…中前者的主字节必为偶,充分性得证.必要性的证明完全类似,从m辱.请注意,此处子序列z…和ft…可含公共字节.三,揉序列和允字条件有了符号序列的排序规则后,允字条件可看图识字地由映射函数的图形读出.由图1可知,函数在c点取最大值.设c点的符号序列为,<c)=∞.s…s…,并设在c点左,右两侧任意二点札和xR有符号序列fL=￡kf?和fR=Rr.…,则应有rurl…≤0…s-…,(8)0jl…≤l…s…,因为XL~CR的迭代值必须小于,(C).点,<C)的符号序列决定了字母￡和凡的可能后继序列,ffC)的序列将特别地称作揉序列,并记作.5.1允字条件给定任一符号序列,以L记序列中所有字母￡的后继序列,R的意义类推.例如,对于序列<RLRR￡)有L=~(RRLRL),(RLRRL),,R=((LRRLR),(凡￡肛曰),(LRLRR)).采用记号L和R,单峰映射的允字条件可表述如下.如果符号序列三是允许的,则应满足L≤,R≤.前面说过,一个符号序列可以对应相空间的一个子区间,也可只对应于区间上一点.如果只代表一点,例如在含字母c时,则允字条件中的等号不出现.设有揉序列K=<RLL),此时符号序列(兄己肛)就是允许的,因为它的L和R共五个序列如表I所列,均满足允字条件.但是,对于同一,符号序列曰工且己.曰…就是禁止的,固为这时有<肚0曰…∈L.?违反允字条件.我们定义符号序列的移位算符如下..(0o0ls.一s...)=01...s (9)因为揉序列本身也必须满足允字条件,所以揉序列必须是移位最大的,即<K)≤K,k=0,1,2 (10)因为,<c)随参数而变,所以揉序列也可随参数发生变化.但是,无论如何变化,单峰映§期郑伟谋等一实用符号动力学323射的揉序列总是移位最大的,反过来说,移位最大序列可成为单峰映射的揉序列,于是这时可称移位最大序列为揉序列字.给定的揉序列下,允许的符号序列或允许字可有相空间的对应点,即可找到区间上某点,它的轨道与该序列符合.不被允许的符号序列,也称禁戒字,不可能在区间上找到对应点.允许字有可能大于揉序列,例如,(RLRRL)是=(RLL)时的允许字,有置(矗L月月￡)>.但是,至多经过一次移位后,任何允许字将必小于揉序列.对于如图3以粗线段标出的子区间￡,=[,.(C),,(C)],任何在之外的点,经过有限次迭代后,必定落八【,o因为,(U)=U,一旦经过平庸的暂态过程落八U后,就永远在U内.区间U称为映射的动力学不变子区间.如果对乎庸暂态过程不感兴趣,可只限于考虑子区间.U上所有点的符号序列均不大于揉序列.也许在这里可说几句暂态过程.假定在某参数值下映射有稳定周期轨道,我们任取一点为初始点,数值地寻找这个周期轨道.如果初始点不恰好为周期点且计算精度是无限的,则永远处于暂态状态,周期点永远不可及.只是因为精度有限,我圜3们才迟早可看到周期运动.然而,采用符动力学不变子区间U=[严(G),,(G)].【,上任意点的符号序列均不大子揉序列.号描述时,最终得到周期字节,处理暂态更显自然,这也可见符号动力学粗粒描述的方便之处.数学文献中用到"终周期序列一词,它可对应予暂态,也可属非皙态,后者将在下文讨论.现在证明两条简单命题,(1)除L和外,揉序列字必以L起首.假设存在一个揉序列字不以肛起首,剐它必以工"月(≥1)或月L忡≥2)起酋,但是,￡一只…<n(L—R…)…R?,或者tL…<m(R-..)=RL…,均与揉序列字的移位最大性矛盾,命题得证.(2)揉序列字不得以重复的奇字节开头,除非它为该字节的周期序列.假设揉序列字以重复的奇字节△超酋而又不是△,将△所含字母数n称作其长度,记作IAI =n,刚可写=AAF…,此处r…年且IFI=IAI.因为为揉序列字,应有△△r…≥()=AF….324物理学进展1O卷因为奇字头导致倒序,所以由上式得△r…≤r…,亦即△≤r.再由△△r…≥"(K)=r…,又有△≥r.最后只可能△=r.依次类推,应有K=△0…=△'……一△.与年△的假定矛盾.命题得证.最后给出检验以C结尾昀符号序列是否为揉序列字的BASIC程序.5REMPROGRAMFORCHECKrNGADMISSIBILITY1ODEFINTI-P.PRINTPLEASESETCAPS—LOCKKEYON.2OINPUTTHEWORDTOBEcHECKEDIs,S$30N=LEN(S$)4OFORr=lTON一1,P=llFORj;1TON—l50C$;MID$(S$,J,1)tIFC$=.RTHENP=一P6oIFe$t>MID$tS$,I+J,I)THENGOTOB070NEXTJ80rFP=lTHENPRINTTHEWORDISINADMISSIBLE.STOP90NEXTrtPRINT.THEWORDISADMISSIBLE.STOP100END5.2麒稳揉序列和MSS袁对于单峰映射,揉序列决定了给定映射下可能出现的所有符号序列,实际可出现的任意符号序列,至多经一次移位操作后,必不大于揉序剐.由于揉序列直接反映动力学,它可方便地作为映射参数的一个度量,而称给定映射为揉序列取某字的映射.揉序列含字母C时,称作超稳揉序列.对于给定的一条周期轨道,常以由一阶微商给出的切变换刻划轨遭点对初值微扰的敏感性.当该周期轨道含临点C时,由复合函数一阶微商的涟乘法则知,它有最小敏感性,因此,这样的轨道称为超稳轨道,相应地,与之对应的含字母C昀揉序列得名超稳揉序列.通常超稳揉序列只写至第一个字母C,而不特别明显地写出无穷周期重复.实际观测及数值计算精度均有限,人们往往通过认识周期轨道及其切空间去把握系统动力学行为.这是周期轨道在研究混沌中的意义.以下将看到,有超稳揉序列,剐必有与之关联约非超稳周期揉序列,因此,短超稳揉序列具有特别重要的意义.将字长不超过某给定整数的所有超稳揉序列,依从小到大的顺序排列成表,就是第n级MSS 谙稳揉序列排序表,简称MSS~~,最先由MetroPolis,Stein和Stein得到".这里在表Ⅱ给出第7级S虢.5.5届期窗口定理Metropolis,Stein和Stein最初找排序表时,;l八了一个符号彦Ⅱ的谐序列和反谐序列的概念,提出了获得介于给定的酯个超稳揉序列之间的最短超稳揉序列即中介字的§期郑伟谋等实用符号动力学32s方法.可是,揉序列的反谐序列不再为揉序列,反谐序列是人为地引进的,实际上也无必要,它既掩盖了推导过程的物理图象,也不易推广至其它非单峰映射.本文不再介绍他们的方法.这里将采用的方法,只涉及判单调性和连续性的简单概念,它以下述定理为基础t周期窗口定理"如果.s…sc为揉序列字,其中s为工或月,目Ⅱ符号序列(s.s.?一s二)和(s.s…s.月)也为揉序列字.定理的证明将在附录中给出,这里讨论一下它的含义.周期窗口定理基于连续性,因为C是退化的工或R.符号序列的周期窗口定理可与映射函数的周期窗口定理相对应.后一定理说,稳定周期轨道的参数值形成区间,它又是基于如下的稳函数定理;a假设G:R一只为一次可微函数,且在点(确,Y o)处满足G(xo,yo)=0和素■G(xo,yo), 牟O,ⅢⅡ存在含x.的开区间J和含y0的开区间J,以及可微函数P:J—J,它满足P(x.)=yo,且对所有∈I有G(,p(x))=0.根据周期窗口定理,由一超稳揉序列字,可生成两个非超稳揉序列字(三月)和326物理学进腱l0卷(三L).以下将三月和暑L中较大者记作(三C)+,较小者记作(三c)一,显然恒有(三c)+为奇.我们将分别称[(三C)+]和[(三C)一]为三C的上,下序列.周期窗口定理的逆定理未必成立,仅须举一反例使可说明问题.显然=(RRR)是揉序列字,但RRC不为揉序列字.然而,仍可找到如下的修正逆定理如果周期符号序列(乱…st)的揉序列字,且$1o~o不可表成更短字节的周期重复(或称不可约),此处,s,…,s和f只取或,则序列…s.C也为揉序列字.这个定理的证明与周期窗口定理的证明相似,仅在最后一步有所差异(见附录).5.4中介宇的生成"现在运用周期窗口定理求中介字.给定两个揉序列字三c和三.C,假设c<邑C 由周期窗口定理知,存在揉序列字[(三C)+]和[(三C)一],满足三1C<[(三1C)+]≤[(三2C)一]=<三2C.[(三C)+]=三'…,[(三C)一]:三."…,此处三'为两个序列的最长公共字头,且牟,则可证明三C即为中介字.显然介于三c和三zC之间的所有符号序列必须均以三'为字头,'C为最短无疑,余下仅须证实其移位最大性.假设三C非移位最大,则存在≤'『,使得三.C<(三C).不难看出, (三')和(三.)中总有一个应小于(三C),不妨设它为前者,则有'…<(三'C)<(三'…),与序列三'…为移位最大的结论矛盾,于是证实了三'C的移位最大性.如果[(三.C)+]=[(三:C)一],则三tC和三=C之间不存在中介字,称三C和三±C相邻.以下给出求字长不超过预设值的中介字的BASIC程序t5REMPROGRAMFORCONSTRUCTINGMEDIANWORDl0DEFINTI—T,PCLS21)INPUTTHESMALLERWORDIS.,S1$30INPUTTHEGREATERWORDIS.,s2$40INPUTTHEMAXLENGTHOFTHEMIDIANWORDIS;.N5ON1=LEN(S1$)N2;LEN(s2$)6ONN=Nl一1一S$=MIDS(s1$,1,NN)lP=1,GOSUB200.S1$=SS70NN=N2—1tS$=MID$(s2$,1,NN){P=一1tGOSUB200;s2$=S$80FORI=OTON一1lI1=(IMODN1)+1II2=(IMODN2)+10OIFMID$(s1$,I1,1)()MID$(s2$,I2,1)THENGOTO1201OONEX个I110PRINT"NOMEDIANWORDSHORTERTHAN';N;.lSTOP120S$=MID$(s$,1,I1—1)+"clIFI~N1-1THENs$=s1$+S$130PRINTTHEMIDIANWOilDISIIS$j".ISTOP200FORI=1TONN210IFMID$(s$,I,1)=R,THENP=一P4}t二3期郑伟谋等t实用符号动力学327220NEXTI230C$"R.IFP=一1THENC$=L240S$=S$+C$;RETURN250END程序中语句120P_,用到揉序列字不得以重复奇字节为首的性质.我们知道,周期不超过月的揉序列字中,最小者C,最大者为RLC.由此二超稳字可得第一级中卉字,这个中介字分别与最初的两个超稳字,又可生成第二级中介字,逐级进行这个手续,保留其中字长不超过给定整戮月者,可得MSS表.超稳揉序列字有两条简单的性质.其一也用在周期窗l=I定理的证明中,即如果字长为月的超稳揉序列字2C与其k次移位字(2C)相比,除后者的末字母C外,所有(" 一一1)个字母完全相同,N2c的前("一k)个字母必构成奇字节.其=是由周期为"的超稳揉序列字XC,可生成一个周期2n的超稳揉序列字(XC)+XC,且二字相邻. 首先证明这个倍周期字的移位最大性.如果月≤^<2n,显然有(三C)+三C>三C>5,"(三C)=5,((三C)+三C).当1≤k<月时,如果(三)不构成三的酋字节,则三C的移位最大性,保证了该倍周期字的移位最大性,否则,由上一性质,(2C)+的前(一)个字母构成奇字节,将之记作r.此时如((X-C)+)为偶,则无须多言.如果该字节与r相台,将之移去后须验证((X-C)+三C)<2C,此武当然成立,因为由(2C)+及r为奇得n'k((2C)+)应为偶.于是,倍周期字的移位最大性得证.再由[((三C)+2C).]:[(2C)+(2C)+]=[(2C)+],可知单周期字与倍周期字之间无中介字.四,二次方映射前面虽经提到,符号动力学方法将研究对象尽可能地简化,但符号动力学系统只显示骨骼,而实际系统则为血肉之躯,最终还须建立符号动力学系统和实际系统之间的联系,将符号动力学的结果应用于研究实际系统本节以符号动力学方法讨论一个实际系统——二次方映射,():1一.,∈[一1,1],∈(0,2],(11)此式为参数.这个简单而远非平庸的映射在非线性动力学系统研究中扮演了扳重要的角色.在阻后深入讨论符号动力学之前,有必要简要地叙述关于二次方映射的一些重要结果.数值计算发现,参数的大小排序,与映射(11)的揉序列排序一致对于任意的单328l物理学进展iO卷峰映射而言,情况未必是这样,倒如只须对(11)式中的作一变换=<),容易选择变换函数使得两个k值可对应于同一值,于是在参数的空间,该值对应的揉序列将出现两次.MSS表的意义在于,如果在参数々和k.时分别有不同的揉序列和‰,则必可在k和k.之间找到某参数k,使它对应的揉序列为处于和之间的任意揉序列.4.1由二次方映射产生M$S表上节介绍了生成中介字的方法,原则上运用该法可得到MSS表.符号动力学不问系统细节,MSS表对于所有单峰映射普适,既然如此,MSSZ表也可通过二次方映射的实例产生.这里舟绍一个非常实用均方法,给出如下产生MSS表的BASIC程序. 5REMPR0GRAMF0RGENERATINGMSS—TABLE6REMBASEDONTHELOGISTICMAP。
符号动力学熵
符号动力学熵符号动力学熵是一种描述动力学系统无序程度的数学工具。
这个概念可以用来研究信息理论、统计力学、热力学、量子力学等领域中的问题。
在这篇文章中，我们将简要介绍符号动力学熵的概念、性质和应用。
符号动力学熵是指在符号动力学系统中，单位时间内的平均信息量。
符号动力学系统是一种理论模型，用来描述动力学过程中数字、文本等符号串的演化规律。
系统的状态可以用符号串来表示，每一个符号表示系统某个部分的状态。
符号串是由一些预先定义好的符号组成，如二进制数字、字母字符等。
在符号动力学系统中，我们可以定义一个符号串出现的概率。
如果系统中有n个符号，每个符号出现的概率为p_1, p_2, … p_n，我们就可以计算出任意一个符号串的概率。
在信息理论中，每个符号出现的概率可以看作是信息量。
一个出现概率较低的符号带来的信息量更高。
例如，对于一个二进制数字串00101101，如果我们知道前五位，那么在接下来的三位中出现1的概率为^{3}/_{4}，而在接下来的三位中出现0的概率为^{1}/_{4}。
由于出现0的概率低，当接下来的三位为010时，我们会觉得比接下来三位为101要更惊讶，因为前者出现的概率小，所携带的信息量也更大。
一个系统的符号动力学熵H可以用以下公式来计算：H = -\sum_{i}p_i \log_2(p_i)这里的i表示系统中的每个符号，p_i表示符号i出现的概率，\log_2表示以2为底的对数。
由于p_i是小于等于1的数，并且对数函数的值是负数，所以符号动力学熵是非负的。
符号动力学熵也被称为香农熵或信息熵。
不同的符号串所包含的信息量是不同的。
如果一个符号串的出现概率较高，它所携带的信息量就较小；反之，如果一个符号串的出现概率较低，它所携带的信息量就较大。
符号动力学熵可以用来衡量一个系统的“无序程度”。
如果符号串的出现概率分布较均匀，那么符号动力学熵就比较大，说明系统比较混乱；反之，如果出现概率分布不均匀，符号动力学熵就比较小，说明系统比较有序。
量子电动力学 四矢量
量子电动力学四矢量四矢量是量子电动力学中的一个重要概念，它既可以描述粒子的运动状态，又可以描述相互作用过程中的物理量。
通过四矢量的引入，我们可以更准确地描述粒子的能量、动量和角动量等关键性质。
让我们来了解一下什么是四矢量。
在相对论中，四维时空被引入作为描述物理现象的框架。
四矢量就是在四维时空中表示的矢量，它包含了时间分量和三维空间分量。
通过将时间和空间统一起来，我们可以更好地理解粒子的运动规律。
在四矢量中，时间分量通常用小写字母t表示，而空间分量则用大写字母表示，比如位置矢量用大写字母X表示，动量矢量用大写字母P表示。
这样，我们就可以用一个四维矢量来表示粒子的位置和动量，进而描述其运动状态。
四矢量的定义并不复杂，它可以写成一个四分量的列向量：X=(ct, x, y, z)其中c是光速，t是时间，x、y、z分别是空间坐标。
这样，我们就可以将粒子的位置和时间统一起来，形成一个整体。
除了位置矢量，动量矢量也可以用四矢量表示。
动量矢量的定义如下：P=(E/c, p)其中E是粒子的能量，p是粒子的动量。
通过引入四矢量，我们可以将能量和动量统一起来，更加方便地描述粒子的运动。
在相互作用过程中，四矢量也发挥着重要的作用。
比如在粒子间的散射过程中，我们可以用四矢量来描述入射粒子和散射粒子的能量和动量变化。
通过计算四矢量的差值，我们可以得到相应的能量和动量转移。
这样，我们就可以更准确地描述粒子间的相互作用过程。
四矢量是量子电动力学中不可或缺的工具。
它可以帮助我们更准确地描述粒子的运动状态和相互作用过程。
通过引入四矢量，我们可以将时间和空间、能量和动量统一起来，形成一个整体。
这样，我们就能更深入地理解量子电动力学的基本原理，以及粒子的行为规律。
尽管四矢量的概念可能有些抽象，但通过深入学习和实践，我们可以逐渐掌握它，并将其应用于实际问题的解决中。
让我们一起努力，深入理解四矢量的含义和应用，为量子电动力学的发展做出贡献。
梯度算符在球坐标中的表现形式
梯度算符在球坐标中的表现形式（原创版）目录1.引言2.梯度算符的概念及应用3.球坐标系的介绍4.梯度算符在球坐标中的表示5.结论正文1.引言在数学和物理学中，梯度算符是一个非常重要的概念。
它主要用于描述目标函数在各个方向上的变化率，从而可以找到目标函数的极值点和曲面的方向。
梯度算符在各种坐标系中都有不同的表现形式，例如在直角坐标系中，梯度算符通常表示为一个向量。
而在球坐标系中，梯度算符的表现形式则更为复杂。
本文将从梯度算符的概念和应用出发，介绍球坐标系中的梯度算符的表现形式。
2.梯度算符的概念及应用梯度算符是用来描述目标函数在各个方向上的变化率的工具，通常用一个矢量来表示。
在直角坐标系中，如果一个目标函数 f(x,y,z) 在某点(x0, y0, z0) 处的梯度算符为 (f, u)，则表示目标函数在点 (x0, y0, z0) 处沿方向 u 的变化率为f。
在物理学、工程学等领域，梯度算符常常用于求解最优化问题、曲线拟合等问题。
3.球坐标系的介绍球坐标系是一种常用的三维坐标系，用来表示空间中的点 P(r, θ, φ)。
其中，r 表示点 P 到原点的距离，θ表示点 P 在 xz 平面上的投影与 x 轴正半轴之间的夹角，φ表示点 P 在 yz 平面上的投影与 y 轴正半轴之间的夹角。
球坐标系在许多物理问题中都有重要的应用，例如在描述地球表面的地理坐标时，常常使用球坐标系。
4.梯度算符在球坐标中的表示在球坐标系中，梯度算符的表现形式比较复杂。
首先需要将目标函数表示为球坐标系中的形式，即 f(r, θ, φ)。
然后，对 f(r, θ, φ) 分别关于 r、θ、φ求偏导数，得到梯度算符在球坐标系中的分量。
最后，将这三个分量组合成一个矢量，即为球坐标系中的梯度算符。
5.结论总之，梯度算符在球坐标系中的表现形式比较复杂，需要将目标函数表示为球坐标系中的形式，然后分别关于 r、θ、φ求偏导数，最后将这三个分量组合成一个矢量。
薛定谔方程 量子数由来
薛定谔方程量子数由来量子数在量子力学中是描述量子系统性质的数值参数。
薛定谔方程是描述量子力学中的波函数演化的基本方程。
那么量子数是如何由来的呢？我们需要了解一下什么是量子力学。
量子力学是一种描述微观世界的物理理论，它成功地解释了原子、分子和基本粒子的行为。
在量子力学中，粒子的性质不再是确定的，而是以概率的形式给出。
这种概率描述需要一些数值参数来完整地描述量子系统的状态，这就是量子数的由来。
在薛定谔方程中，量子数体现在波函数的解中。
波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具，它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等性质的概率分布。
波函数的解由一系列量子数来标记，每个量子数都对应一个特定的物理性质。
首先是能量量子数，它对应于波函数的能量。
根据薛定谔方程，波函数的能量是离散的，只能取特定的值，这些值被称为能级。
每个能级都由一个整数量子数来标记，称为主量子数。
主量子数决定了量子系统的整体能量大小。
其次是角动量量子数，它对应于波函数的角动量。
角动量量子数也是离散的，它由两个整数量子数来标记，分别是轨道量子数和磁量子数。
轨道量子数决定了粒子围绕某一中心运动的轨道形状，它的取值范围是从0开始的非负整数。
磁量子数则决定了粒子在轨道上的具体方向，它的取值范围是从轨道量子数的负值到正值。
另外还有自旋量子数，它对应于波函数的自旋。
自旋量子数描述了粒子自身的内禀角动量，它的取值范围是一个半整数或整数。
自旋量子数决定了粒子的自旋方向，可以是上自旋或下自旋。
除了这些常见的量子数，还有其他一些辅助的量子数，如总角动量量子数、轨道角动量量子数等，它们用来描述特定的量子系统。
量子数是描述量子系统性质的参数，它们由薛定谔方程的解中体现出来。
不同的量子数对应不同的物理性质，通过这些量子数我们可以完整地描述一个量子系统的状态。
量子数的由来可以追溯到量子力学的基本原理和薛定谔方程的推导过程。
通过对量子数的研究，我们可以更深入地理解量子力学的基本原理，并应用于解释和预测微观世界的各种现象。
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摘 要：用类似于 Ｙ．Ｉｓｈｉｉ在文［１］［２］中所用的方法，介绍 了 Ｔ６１映射的符号动力学，定义 了从 平面到 符号空问的映射 叮ｒ，还通过 Ｍｉｌｎｏｒ算子 ，定义了它的逆映批 ０，一１，然后证 明了在 Ｏ，一１作 用下，具有 相 同的尾部 ８ 或头部８。）的所有符号序列逆映到 同一直线上 ，从而完全从数 学角度定义 了素端和基本 禁 区，并证 明 了素端假 设 ． 关键词：Ｔ６１映射；素端 ；基本禁 区 中图分类号 ：０１９３ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１６７１—１１９Ｘ（２００７）０１—００７４—０３
下面考虑映射 ∑ Ｒ ．在下面 的文 中我 们都假设 口＞ ＋１．可以证明：
引理 ２．２ 映 ．一 ：在∑ 上是连续 的．
率可以用关于 口，ｂ， “（或 。）的连分式表示．记 Ｃ“
设 Ａ＝｛￡∈∑ Ｉ （￡） ≥Ｏ，Ｖ ∈Ｚ｝，由注
为 ∑ 中元素的所有 的尾部的集合 ，Ｃ 为 ∑ 中元素 （２．２）的（３）可知 。。（Ａ）ＣＫ ，事实上还是满的．
（ ）ｆ＇ｌＡ．特别地 ，在 Ｋ上 ，有兰０．一ｌ０， ７／．＝／ｄ．
证明
取
芝∈兰０－１ 一
ｌ
（ ）ｆ＇ｌＡ
，因为量∈ ，所
以
８
．
（量） ≥０ ，从 而兰（曼）满 足 川 ＝似 一ｓｇｎ（ ）＋
ｘ０ ，
一
ｌ （Ａ８—３８—２８一ｌ‘ｃ‘
／１８—３８—２８．１·ｃ‘
－ｌ ｔ
ｔ
ｘｏ．－１
性知上 图左 边集合 的直径 在 。， ：０ 。， ０ ０ ：０ 。 作用下也趋于零 由类似于 Ｍｉｓｉ· ｕｒｅｗｉｃｚ［６］的讨论可得 ０．一１（ ８—２８一ｌ·ｃ‘）含在 下 面的锥体 中：
于是 不难 得到 下列 交换 图表 ：
三 ㈦电 Ｉ－≤ ）］
间 ∈
的所有 的头部的集合．
引理２．３ 映舭 。：Ａ 是满射．
收稿 日期 ：２００６一ｏ６－３１ 作者 简介 ：王丽芳 （１９６８一），女 ，硕士 ，讲师 ，研究方 向：动力系统．
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第 １期
王丽芳 ：Ｔ６１映射的符号动力学
７５
定理 ２．４ 对 于 ＥＫ ，我们 有 ７ｒ（ ）＝ ｌ＿
１ Ｔ６１映射 的符号动力学
２ Ｍｉｌｎｏｒ算子
考虑 Ｂａｎａｃｈ空间 ｚ （ｚ），ｚ （ｚ）由所有 的有界
映射 ． ：
～
ｏ’０
＜Ｉｂ Ｊ＜１） 设 Ｋ＝｛Ｘ∈Ｒ ｌ存在 ｃ＞０，使得 ｌ ｒ（ ）ｌ≤ｃ，
Ｖ１７，∈Ｚ ｝，我们用 Ｍｉｈａｏｒ— Ｔｈｕｒｓｔｏｎ的方法定义
序列构成 ，范数取上确界范数． 对于每一个 ８∈∑ ，定义算子 ：Ｚ （ｚ）一＋
在这一节我们将证 明在ｘ。．一。作用下 ，具有相 同 的尾部 （或头部 ）的符号序列映到同一直线上 ， 然后通过这些直线在 轴上的截距来刻划素端与基 本 禁 区．
分别记 映射的两个分支为
）
（或８‘）的连分 式 表示 出来． 证 明 易见上面交换 图表右边 的柱集 的直径在 （凡＞０）的作用 下收敛到零 ，由 。．一。的一致连续
Ｚ （ｚ）为
（ （ｘ）） ： ｝
上的符号动力学为：对一点 Ｘ∈Ｋ，设 （ ）＝Ａｓ一２ 一ｌ·８０８ｌ ，其 中
其 中 是ｘ∈ｚ （ｚ）的第 １７，个坐标． 由算子 的定义容易证得：
ｒ＋１ （ ） ＞０
定理 ２．１ 设 口＞ｌ６Ｉ＋１，则
ｉ ＝ ？
（ ） ＝０
（１）ＸＣ￣ｅＳ＇ｅ ∑２ 均有唯一的不动点 （￡）． ＿
… ８一ｌ· ｃ‘）．特别 地
，集 合 ０ 一
１ （ Ａ８一２８一，ｌ·ｃ‘）落 在 一
【一１ （ ） ＜０
（２） （￡）满足方程 ＋。＝似 一ｓｇｎ（ｘ ）＋ 一。
取 ＋１或 一１， 表示 ｙ的 一坐标．因而这 样定义的映射 仃： ∑ 是 多值 ∈仃（ ）．
设 ￡＝ 一２ 一ｌ·ｅｏｅｌＡ∈∑ ， “＝ 一２８一ｌ，称 之为￡的尾部（ｔａｉｌ），记 ＝８０８ Ａ ，称之为￡的头部
第 １７卷第 １期 ２００７年 ３月
湖 南 工 程 学 院 学 报 Ｊｏｕｒ ｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
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ｖ０１．１７．Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２００７
Ｔ６１映 射 的 符 号 动 力 学
王 丽 芳
（Ｉ）
的充分必要条件是 ｘ（￡） ≥ ０，Ｖ１７，∈Ｚ （２）
（口）ｘ＿ｅ总是满足 ＋ｌ＝似 一 ＋
（３）
（６） 满足（１）等价于
ｘｅ ＿
．
一
。兰（ （￡） ， （￡） 一。）＝ｒ（苎（￡）。， （￡）．
（ｃ）趋 （￡）满足（１），贝Ｕ有篓（量） 。 一。∈ ，Ｖｎ ｅＺ
（ｈｅａｄ）．在下面可以证 明具有相 同的尾部 （或 头 部 。）的所有符号序列在 的逆映射作用下在同一直 线上 ，记为 （或 ），而且它与 戈轴的交点和它的斜
ｘ０ 。
一
ｌ （Ａ８—３８—２‘８一ｌｃ‘
／１８—３８—２·８一ｌｃ‘
一 。，所以（苎（堡） 一。）＝ （苎（曼）０，苎（量）一１＝ （Ｘ） ，又由 ８ 兰（堡） ≥０，所以 量Ｅ订（ ）．
反趣 ∈订（ ），令（ ， ＋。）＝ （． ，由引理２４
的证明有（ ）＝ （昼），所以 （昼） ＝８ ≥０， ∈ 又 ＝（Ｙｏ，Ｙ一。）＝ （昼）０， 所以量∈ Ｉ ＿。（ ．
，
： ｔ
ｔ
一
知 ．一ｌ
Ｘｏ ，
一
１（Ａ８．３‘８＿２８一ｌｃ‘
／１８—３·８－２８一ｌｃ‘
３ ｔ
ｔ
一
Ｍ
Ｍ
定理 ３．１ 具有相 同的尾部 ８ （或头部８‘）的符
３ Ｔｄｌ映射的素端与基本禁 区
号序列在 。。一。的作用下的象落在一条直线 上，该直 线 的斜率 以及它在 轴上的截距可 以用 ａ，ｂ和 墨