一种压缩采样中的稀疏度自适应子空间追踪算法

0
! }. 其基 本思 想如 下( 见图
0
y 1+ K 依次增加 K 0 直到不等式不成立, 同时得到的是对
2<
y
1-
K
2
则 的
1) : 首先, SASP 使用一种稀疏度 估计方 法得到集 合
,
初始估计
.
中元素数小于 K. SASP 通过 后续迭 代改善估 计并重 建 x. 设在第 n 次迭 代中 通过 子空 间追踪 选 取出 原子 { v i| i
0
,| 设
*0
0
| = K 0. 以参 数 ( K,
K
命题
K 0 #K , 则
) 满 足 RIP 性 质. 如果
2.
y
2
#
11+
K K
y
证明
* ∀
取| g i| ( 1 ∀ i ∀ N ) 中 前 K 个最大的 元素的
0
索引得到 集合 ∀, K 0 #K 时有 ∀ # y 2.
* ∀
, 显然
*0
y
2
0
再由 RIP 性质的定义 可知 x 不等式( 2) 、 ( 3) 可以得到
* ∀y
2
# 11+
y ( 1+
K K
2 K
)
, 综合
2#
y
2.
得证. 1+ K 时 , K < K . 从这 个命题 可以 得到 对 K 初 始估 计 2 0
*0
根据以上结 论的 逆否 命题, 当
*0
y
2<
1-
K
y
方法: K 0 取 初始 值 1, 如果
1915
CS 的信 号重建可 以看成 信号稀疏 分解问 题. 如果 把 的列向量 vi( 1 ∀ i ∀ N ) 看作原子并归一化, 它们的 集合构成超完备字典 D . 由于 x 中有 K 个 非零元素, 观 测值 y 可以 看 作由 D 中 K 个原 子 线性 组 合表 示 的信 号. 设 这 K 个原 子的 索引组 成集合 , y 可以表 示成 y = x . 其中 表示由 索 引在 中 的列向量 所组 成的子矩阵. x 表示 x 中索 引在 中的元 素组成 的向 量. y 在字典 D 上具有 稀疏的表 示, 即可 寻找最少 的一 组原子{ vi | i ! } , 使残差信号 r= y - !x! 能量最小. 本文提出的 SASP 算法 的目 标是 在 K 未 知条 件下 找到这样一组原 子{ vi | i
弱匹配可以看作选取 残差的 投影大于 一定阈 值的 原子, 该阈值与 max | gj | 有关. # = 1 时, 与 OMP 类 似每
1∀ j ∀ N
2. 1
稀疏度估计 以下给出一种 稀疏 度估 计 方法, 其思 路 是通 过匹
y,
*
次迭代只选取与残差 最匹 配的单 个原 子,
n
中每 次增
配测试得到一个原子集合, 使其势 K 0 略小于 K . 令 g=
第 8期 2010 年 8 月
电 子 学 报 ACTA ELECTRONICA SINICA
Vol . 38 No. 8 Aug. 2010
一种压缩采样中的稀疏度自适应子空间追踪算法
杨 成, 冯 巍, 冯 辉, 杨 涛, 胡 波
( 复旦大学电子工程系 , 上海 200433)
摘 要 : 针对压缩采样中未知稀疏 度的信号 , 本文提出一种自适应子空间追踪算法 . 首先 , 采用了 一种基于匹配 测试的估计方法获取稀疏度的估计值 , 再通过子空 间追踪重构信号 . 若子 空间追踪不 能成功重 构 , 则通 过渐近增 加信 号稀疏度的方法实施估计 , 而上述过程可描述为在 弱匹配原则下新 原子的选 取过程 . 仿真结果 表明 , 本 文的算法 可以 准确有效重构信号 , 同时运算量也较低 . 关键词 : 压缩采样 ; 子空间追踪 ; 稀疏分解 中图分类号 : TP391 41 文献标识 码 : A 文章编号 : 0372 2112 ( 2010) 08 1914 04
基金项目 : 国家自 然 科学 基 金 ( No. 60972024) ; 教育 部博 士 点基 金 ( No. 20090071120087) ; 专 用 集成 电 路与 系 统 国家 点 实 验室 开 放 课题 ( No. ZD20080101, No. KF20080402)
第
8 期
杨
成 : 一种压缩采样中的稀疏度自适应子空间追踪算法
[ 5]
2
自适应子空间追踪算法
在给出自适应子空间追踪算法构造之前, 首先分析
是 CS 研究的一个重要方 面 . 目前 已有的 方法可 包括 组合优化, 非凸优 化, 凸优 化, 贪婪 算法等 几类. 凸 优化 方法通过求 解 一个 最小 化凸 问 题逼 近信 号, 如 基 追踪 ( Basis Pursuit) [ 6] 等. 这些 算法 中, 贪 婪算 法由 于算 法结 构简单, 运算量小等特点受 到重视. 传统贪 婪算法 匹配 追踪( MP) [ 7] 、 正交 匹配追踪 ( OMP) [ 8, 9] 已在 压缩采 样中 得到了应用. 改进的算法包括分段 正交匹配追 踪( Stage wise OMP, StOMP) [ 10] 、 正 则化 正 交匹 配追 踪 ( Regularized OMP, ROMP) [ 11] . 这几种 算法只 有在 信号具 有较低 的稀
Abstract: A novel sparsity adaptive subspace pur suit algorithm is proposed for sparse signals with unkown sparsity . First, a new spar sity estimation method based on matching test is used to get an initial estimated value. If subspace pur suit cannot reconstruct sparse signal successfully, the estimated value is increased each iteration. Weak matching is used in the iteration to select new atoms. Compared to other algorithms, it is competitive both in running speed and recovering accuracy. Key words: compressive sampling( CS) ; subspace pursuit; sparse decomposition
#
子空间追踪 子空间追踪 部分 也 通过 迭代 改进 估 计结 果, 每 次 迭代中采用了一 种后 退策 略[ 12] . 算 法的 结构 如图 2 所 示. 设经过 n 次迭代后得到原子的索引集 合为 n , 残差 信号为 rn . 在第 n 次迭代中, 将 rn- 1分别投影到字典 D 的各个原子向量上, 并选出 投影最 大的| n - 1 | 个 原子. n- 1 n- 1 把它们的索引与 合并得到集合 ^ , ^ 中有 2| | 个元素. 再把 y 投 影 到原 子 向量 { vi | i ^ } 张 成的 空 2. 3
*
表示
的转置矩阵. 设信号 y 的 真实支撑集
加一个元素. 当 #比较小时, 每次 迭代可能 选取多 个原 子. 所以通过弱匹配可 以根据信 号调整 增加的原 子数. 已有实验表明, 参数 # 取值 0 7 ~ 0 9 之间可 以兼 顾算 法性能和运算速度.
为 , 用| !| 表示集合的势, 则| | = K . 设 g 中第 i 个元 素为 gi , 取| g i | 前 K 0 ( 1 ∀ K 0 ∀ N ) 个 最大值的索 引得到 的集合为
n
2. 2
新原子选取
}. 如
n
中原子 能很好 地表示 y 说 明对 K 的
n
当子空间追踪无法通 过迭代 使残差能 量满足 给定 阈值时, 可选取更多的原子表 示 y . SASP 算 法采用 弱匹 配策略选取 与残差 信号 比较 接近 的原 子, 并将 其索 引 加入集合 n . 令 g= * r , 则 g 中第 i 个元素 g i 是原子 向量 vi 与残差信号 r 的 内积, 即 < v i, r > . 引入 实数 # 为弱匹配参数, # ( 0, 1] . SASP 选取 所有满 足| g i | # #
1∀ j ∀ N
估计是准确的. 否则选取新的原子将其索引加 入
,并
重复上述过 程. 下 面分 别从 稀 疏度 估计, 新 原子 选取, 子空间追踪三部分描述 SASP 算法.
max | gj | 的原子, 则
n
n
的更新可表示为
1∀ j ∀ N
=
n- 1
∋ { i: | gi | # # max | gj | }
收稿日期 : 2009 07 10; 修回日期 : 2010 03 31
约束等 距性 质( Restricted Isometry Property, RIP) , 它是 重 建 x 的重要基础. 文献[ 4] 提 出了 RIP 性质用 于描 述从 y 重建 x 的条件. 指 定 ! 范数. 如果对所有满足 x ( 1) : ( 1K) 0
A Sparsity Adaptive Subspace Pursuit Algorithm for Compressive Sampling
YANG Cheng, FENG Wei, FENG Hui, YANG T ao, HU Bo
( Electroni c Engineering Department , Fudan Universi ty , Shanghai 200433, China)