高考数学一轮复习讲义第36课时平面向量的基本概念及线性运算理

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平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

变条件)点C在线段AB上,且 = ,则=______,
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一平面向量的基本概念

1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
2
2
1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.

高考数学一轮复习知识点归纳与总结：平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．向量的有关概念[探究] 1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量，是同一个概念．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．2．向量的线性运算[探究] 3.λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？提示：相等，且均为0.4．若|a＋b|＝|a－b|，你能给出以a，b为邻边的平行四边形的形状吗？提示：如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩Array形．3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.[探究] 5.当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？提示：成立．[自测·牛刀小试]1．下列说法中正确的是( )A ．只有方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度为零C ．长度相等的两个向量是相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选B 由于零向量与任意向量平行，故选项A 错误；长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C 错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故D 错误．2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA解析：选A 如图，由于D 是AB 的中点，所以CD ＝CB ＋BD ＝CB＋12BA＝－BC ＋12BA . 3．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2解析：选C 连接a ，b 的终点，并指向a 的终点的向量是a －b .4．(教材习题改编)点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC ＝________AB ，BC ＝________AB.解析：如图，∵AC CB ＝52，∴AC ＝57AB ，BC ＝－27AB.答案：57 －275．(教材习题改编)化简OP －QP ＋MS －MQ的结果为______．解析：OP －QP ＋MS －MQ＝(OP ＋PQ )＋(MS －MQ )＝OQ ＋QS ＝OS.答案：OS[例1] 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④D ．④⑤[自主解答] ①不正确，长度相等，但方向不同的向量不是相等向量．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |且a ∥b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．未考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③. [答案] A ——————————————————— 解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如，共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[例2] 在△ABC 中，(1)若D 是AB 边上一点，且AD ＝2DB ，CD＝13CA ＋λCB ，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13D ．－23(2)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA ＋OB ＋OC＝0，那么( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3OD D ．2AO ＝OD[自主解答] (1)法一：由AD ＝2DB 得CD－CA ＝2(CB －CD )，即CD ＝13CA ＋23CB ，所以λ＝23.法二：因为CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，所以λ＝23. (2)因为D 是BC 边的中点，所以有OB ＋OC ＝2OD ，所以2OA ＋OB ＋OC ＝2OA＋2OD ＝2(OA ＋OD )＝0⇒OA ＋OD ＝0⇒AO ＝OD .[答案] (1)A (2)A在本例条件下，若|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，则|AB ＋AC|为何值？解：∵|AB |＝|AC |＝|AB －AC|，∴△ABC 为正三角形．∴|AB ＋AC|＝2 3.——————————————————— 平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．2．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB .设OA ＝a ，OB ＝b ，用a ，b 表示向量OC ，DC .解：OC ＝OB ＋BC ＝OB ＋2BA ＝OB＋2(OA －OB )＝2OA －OB＝2a －b .DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝(2a －b )－23b＝2a －53b .[例3] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[自主解答] (1)∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， CD＝3(a －b )，∴BD ＝BC＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )，＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. ———————————————————1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线．3．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．1个规律——向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即12A A ＋23A A ＋34A A ＋…＋1n n A A －＝1n A A.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2个结论——向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB)．(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A 、B 、C ，PG ＝13(PA ＋PB ＋PC)⇔G 是△ABC 的重心，特别地，PA ＋PB ＋PC＝0⇔P 为△ABC 的重心．3个等价转化——与三点共线有关的等价转化A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔ OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．4个注意点——向量线性运算应注意的问题(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点； (2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(3)在向量共线的重要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； (4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系.创新交汇——以平面向量为背景的新定义问题1．从近几年新课标省份的高考可以看出，高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大，且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点．2．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在．[典例] (2011·山东高考)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2·已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上[解析] 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d ＝2得，1d ＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0<c ≤1,0<d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，若c >1，d >1，则1c ＋1d <2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c <0，d <0，则1c ＋1d 是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c >1，d <0，则1c <1，1d <0，此时1c ＋1d <1，与1c ＋1d ＝2矛盾；故选项D 的说法是正确的．[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题为新定义题目，用新定义考查考生阅读能力与知识迁移能力． (2)考查知识新颖：本题把坐标系、向量、点与线段的位置关系通过新定义有机结合在一起，能较好地考查学生的阅读理解能力和解决问题的能力．2．解决本题的关键有以下两点解决本题的关键是抓住两条：一是A 1，A 2，A 3，A 4四点共线；二是1λ＋1μ＝2，同时应用排除法．[变式训练]1．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a·b )2＝|a|2|b|2解析：选B 若a 与b 共线，则有mq －np ＝0，故A 正确；因为b ⊙a ＝pn －qm ，而a ⊙b ＝mq －np ，所以有a ⊙b ≠b ⊙a ，故B 错误；因为λa ＝(λm ，λn )，所以(λa )⊙b ＝λmq －λnp .又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝(λa )⊙b ，故C 正确；因为(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝(mq －np )2＋(mp ＋nq )2＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．2．已知点A 、B 、C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则关于x 的方程x 2OA＋x OB ＋AC＝0的解集为( )A ．∅B ．{－1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1－52，－1＋52 D ．{－1,0}解析：选A 由条件可知，x 2OA ＋x OB 不能和AC共线，即使x ＝0时，也不满足条件，所以满足条件的x 不存在．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD，则AD＝( )A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14b D.34a ＋14b 解析：选B ∵CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD＝3DC ， ∴CD ＝14CB ＝14(a －b )，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( )A ．PA ＋PB ＝0 B ．PC ＋PA＝0C ．PB ＋PC ＝0D ．PA ＋PB ＋PC＝0解析：选B 如图，根据向量加法的几何意义，BC ＋BA ＝2BP⇔P是AC 的中点，故PA ＋PC＝0.3．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]解析：选Da |a |与b|b |均为单位向量，当它们同向时，|p |取得最值2，当它们反向时，|p |取得最小值0.故|p |∈[0,2]．4．已知四边形ABCD 中，DC ＝AB ，|AC |＝|BD|，则这个四边形的形状是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形解析：选B 由DC ＝AB可知AB 綊CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形．由|AC |＝|BD|知对角线相等，所以平行四边形ABCD 为矩形．5．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则x ·y x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB)＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF与BC 反向平行．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC＝3(a ＋b )， AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b8．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝________. 解析：因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案：±49．(2013·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM ＝23AD ，因为AD 为中线，则AB ＋AC ＝2AD ＝3AM，所以m ＝3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 为△ ABC 内一点，且3AP ＋4BP＋5CP ＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP ，AD.解：∵BP ＝AP －AB ＝AP－a ， CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0.∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP －b )＝0，∴AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R )，则AD ＝13t a ＋512t b .①又设BD＝k BC (k ∈R )，由BC ＝AC －AB ＝b －a ，得BD＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD . ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ②由①②得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①得AD ＝49a ＋59b .∴AP ＝13a ＋512b ，AD ＝49a ＋59b .11．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，CD ＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k的值．解：(1)证明：∵AB＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2， CD＝－8e 1－2e 2， ∴AC ＝AB ＋BC＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD，∴AC 与CD共线．又∵AC 与CD有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2) AC ＝AB ＋BC＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD 共线，从而存在实数λ使得AC ＝λCD，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.12．设点O 在△ABC 内部，且有4OA ＋OB ＋OC＝0，求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比．解：取BC 的中点D ，连接OD ，则OB ＋OC ＝2OD ，又4OA ＝－(OB ＋OC )＝－2OD ，即OA ＝－12OD ，∴O 、A 、D 三点共线，且|OD |＝2|OA|，∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点， ∴S △ABC ∶S △OBC ＝3∶2.1．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB －PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP，∴P 是AC 边的一个三等分点．2．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为0C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0解析：选D a ，b 共线时，a ，b 方向相同或相反，故A 错．a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，故B 错．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立，故C 错．排除A 、B 、C.3．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .设CB ＝a ，CA＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD等于( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b解析：选B ∵CD 平分∠ACB ， ∴AC BC ＝AD BD. 又∵CB ＝a ，CA＝b ，|a |＝1，|b |＝2，∴AD BD ＝21. ∴CD ＝CB ＋BD ＝a ＋13BA＝a ＋13(CA－CB )＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4.如图所示，在五边形ABCDE 中，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 和L 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KL ＝14AE.证明：任取一点O ，KL ＝OL－OK .∵K 、L 为MN 、PQ 的中点．∴OK ＝12(OM ＋ON )，OL ＝12(OP ＋OQ )．又∵M ，N ，P ，Q 分别为AB ，CD ，BC ，DE 中点，∴OM ＝12(OA ＋OB )，ON ＝12(OC ＋OD )，OP ＝12(OB ＋OC )，OQ ＝12(OD ＋OE)．∴KL ＝OL－OK ＝12[－(OM ＋ON )＋(OP ＋OQ )]＝14[－(OA ＋OB ＋OC ＋OD )＋(OB ＋OC ＋OD ＋OE )] ＝14(－OA ＋OE )＝14AE .。

新人教版高考数学大一轮复习《平面向量的基本定理及向量坐标运算》

2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若 AC AE AF，其中λ ,μ ∈R,则λ +μ =________.
【解析】选择 AB，AD 作为平面向量的一组基底,
则 AC AB AD，AE 1 AB AD，AF AB 1 AD，
2
2
又 AC AE AF (1 )AB ( 1 )AD，于是得
C.- 1 a- 5 b
3 12
B. 1 a- 13 b
3 12
D.- 1 a+ 13 b
3 12
【解析】选C. DE DC CE
1 BC 3 CA 34
1 (AC AB) 3 AC
3
4
1 AB 5 AC 1 a 5 b.
3 12
3 12
【一题多解微课】解决本题还可以采用以下方法: 选C.不妨设∠BAC=90°,取直角坐标系xOy,设A(0,0),B(1,0),C(0,1), 则a=(1,0),b=(0,1)，
【题组练透】 1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 a- 3 b
22
=()
A.(-2,-1) C.(-1,0)
B.(-2,1) D.(-1,2)
【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 1 a- 3 b
22
=
1 2
(1,1)-
3 (1,-1)=
2
(1 , 1) (3 , 3) =(-1,2).
3
3
【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得
2x+3y=3,又因为x,y均为正数,
所以 3 2 = ( 3 2) 1(2x+3y)

高三一轮总复习文科数课件：-平面向量的概念及其线性运算 .ppt..共42页

敢地走到底，决不回头。 ——左
高三一轮总复习文科数课件：-平面向量的概念及其线性运算 .ppt..
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ；结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_

高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件

向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定义
备注
大小相等、方向相同
的向量
两个向如果两个非零向量的方向相同或相反 ,则
量平行称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向相反、大零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a

高考数学(理)一轮复习课件：平面向量的概念及其线性运算(新人教A版)共31页文档

设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且 |a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
第33讲 │ 要点探究
[思路] 从相等向量与共线向量的定义出发，注意从模和方向两方面进行考虑．
[思路] 由 a，tb，13(a＋b)三向量的终点共线，得 m＝λn 这样一种形式，由平面向量的基本定理得方程组，解方程组得 t 的值．
第33讲 │ 要点探究
[解答] 设O→A＝a，O→B＝tb，O→C＝13(a＋b)， ∴A→C＝O→C－O→A＝－23a＋13b，A→B＝O→B－O→A＝tb－a. 要使 A、B、C 三点共线，只需A→C＝λA→B(λ∈R)，即－23a＋13b＝λ(tb－a)．因为 a，b 是两个不共线的非零向量，则由平面向量的基本定理，得
第33讲 │ 要点探究
[思路] 向量概念的关键词是大小和方向，正确理解向量的有关概念是解决这类问题的关键；要注意特殊情况，否定命题只要举出一个反例即可．
第33讲 │ 要点探究
②③ [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C. 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此A→B＝D→C. ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.

高考数学一轮复习讲义第五章平面向量概念及线性运算

向量的线性运算
例 2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示 A→D，A→G.
结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．解 A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b； A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C) ＝23A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量加法
和的运算
三角形平行四边形
(1)交换律： a＋b＝b＋a
(2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
求 a 与 b 的相
减法反向量－b 的和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量
(或称为模)
长度为 0 的向量；其方向
零向量是任意的
记作 0
非零向量 a 的单位向量
单位向量长度等于1个单位的向量
为±|aa|
要点梳理
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量 a 与|aa|的关系是：|aa|是 a 方向上的单位向量．

2025届高中数学一轮复习课件《平面向量的概念及线性运算》ppt

单位向量长度等于 1 个单位长度的向量
高考一轮总复习•数学
第6页
名称
定义
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又
平行向量叫共线向量．
规定：零向量与任意向量平行
相等向量长度相等且方向相同的向量
相反向量长度相等且方向相反的向量
高考一轮总复习•数学
第7页
二向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
E，F，G 是函数的图象与 x 轴的交点，则(O→A ＋O→B )·(O→C ＋O→D )＝__1_2_π_2___.
高考一轮总复习•数学
第25页
解析：(1)因为|A→B |＝|A→C |＝|A→B －A→C |＝2，所以△ABC 是边长为 2 的正三角形，所以
|A→B ＋A→C |为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍，所以|A→B ＋A→C |＝2 3.
高考一轮总复习•数学
第20页
对点练 1(多选)(2024·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( ) A．向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 B．向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a 与 b 方向相反 D．若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反，则 a＋b 与 a，b 之一的方向相同解析：A 正确，A→B与B→A是相反向量，长度相等；B，C 错误，当 a，b 其中之一为 0 时，不成立；D 错误，当 a＋b＝0 时，不成立．故选 BCD．
01 理清教材强基固本 02 重难题型全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材强基固本
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高考数学一轮总复习课件：向量的概念及线性运算

第1课时向量的概念及线性运算
[复习要求] 1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.2.理解向量的几何表示.3.掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
课前自助餐
向量的有关概念 (1)向量的定义：既有_大_小___又有_方__向___的量叫做向量． (2)向量的长度：表示A→B的_有__向__线_段__的长度，即A→B的大小叫做A→B的长度或称为A→B的模，__长__度_为__0_的向量叫做零向量，记作 0，_长__度_等__于__1个__单__位_的向量，叫做单位向量．
(3)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形
ABCD所在平面内的任意一点，则 O→A ＋ O→B ＋ O→C ＋ O→D 等于
( D) A.O→M
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交
点，所以O→A＋O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M.所以O→A＋O→B＋O→C＋
(5)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上．
答案 (5)× 解析 (5)错误．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．
2．(课本习题改编)化简：(1)A→B＋C→A－C→B＝____0______； (2)A→B－C→D＋B→D－A→C＝____0 ______； (3)O→A－O→B＋A→B＝____0______； (4)N→Q＋M→N－M→P＋Q→P＝____0 ______．
3．如图所示，向量a－b等于( C )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2

平面向量的概念PPT课件

04
平面向量数量积概念及性质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向，负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量的起点和终点坐标可以决定向量的坐标，而点的坐标可以用来表示向量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长，进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角，进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法

高三数学一轮复习(名师微博+考点详解+易错矫正)平面向量的概念及其线性运算课件理

[示例2] (2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A→1A3＝λA→1A2(λ∈R)，A→1A4＝μA→1A2(μ
∈R)，且
1 λ
＋
1 μ
＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上
的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点
第五页，共50页。
(5)相等向量：长度□13 ______且方向□14 ______的向量． (6)相反向量：长度□15 ______且方向□16 ______的向量．
第六页，共50页。
2．向量的加法和减法 (1)加法： ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则． ②运算性质：
a＋b＝□17 __________(交换律)；
第四十三页，共50页。
审题：关键条件：a⊙b＝mq－np，选的是错误的．方法：逐一验算
第四十四页，共50页。
求解：a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－qm，只有当mq－np ＝0时，a⊙b＝b⊙a，故B错误．
第四十五页，共50页。
反思：本题中的定义运算较易理解，但运算量较大，注意细心认真．
第四十六页，共50页。
第二十九页，共50页。
解析：①②正确，③④错误．答案：①②
第三十页，共50页。
考点二平面向量的线性运算 [例2] 如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的
中点，则( )
第三十一页，共50页。
A.A→D＋B→E＋C→F＝0 B.B→D－C→F＋D→F＝0 C.A→D＋C→E－C→F＝0 D.B→D－B→E－F→C＝0
1 λ
＋
1 μ
＞2，不成
立，若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，