第二章 同时决策博弈

① 在二人博弈中，局中人双方的利益并不总是相 互完全冲突的，有时候也会出现双方利益方向 一致的情形。 ② 在两人博弈中，掌握信息多的一方并不能保证 利益一定较多。 ③ 在二人博弈中，个人追求自身利益最大化的行 为，往往并不能导致社会的最大利益，常常也 不能真正实现个人自身的最大利益。经济学常 常将这种现象称为“个人理性”与“集体理性” 的冲突。
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弱优势策略 （weakly dominant strategy）
并不是每一个博弈都存在严格优势策略，有 这样的情形，不存在不管其他局中人选择什 么策略，某个局中人选择他的某个策略给他 带来的支付始终高于他选择其它策略。 不管其他局中人选择什么策略，一个局中人 选择他的某个策略给他带来的支付仅仅只是 不低于他选择其它策略，我们通常把满足这 一性质的策略称为弱优势策略。
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严格劣势策略
不管其它博弈方的策略如何变化，给一个博 弈方带来的收益总是比另一种策略给他带来 的收益小的策略。 注意:界定一个策略是否是劣势策略，只需 要证明它比另一种策略，而不是其它所有的 策略给他带来的收益小。也就是说,对整体 而言一个博弈中只可能存在一个优势策略， 其它都是严格劣势策略。
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支付：每个局中人从博弈中获得的利益，它 体现每个参与博弈的局中人的追求，也是他 们行为和决策的主要依据。支付可以是利润、 收入、量化的效用、社会收益、福利等。可 以取正值，也可以取负值。 用ui表示局中人i的支付，它是策略组合s 的 函数。例如在囚徒困境博弈中，对于s=（沉 默，招供），u1(s)= -9，u2(s)=0。如果用向 量表示，支付向量为（u1(s),u2(s)）=(-9,0)。 如果有n个参与人，支付向量为 （u1(s),u2(s),…, un(s) ）。
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优势策略
在引论我们已经学习用支付矩阵的方 法描述一个同时决策博弈。将博弈描 述清楚并不是我们的最终目的，我们 的最终目的是把这个博弈的结果分析 清楚，即预测什么情况可能发生，什 么情况不会发生。在非合作博弈理论 中，常用的一种方法是寻找优势策略。
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优势策略
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纳什均衡的数学定义
态博弈模型，称策略组合 s (s , s ), s S , s S \ Si * si 为一个纳什均衡，如果对 i N , s
* * i * * * i i i i * i 是在 si
设 G {N , S1 ,, Sn , u1,un } 为一组完全信息的静
猜 硬 币
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
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箭头指向法
-5， -5 0， -8 2， 1 0， 0
囚 徒 困 境
-8， 0
-1， -1
夫 妻 之 争
0， 0
1， 3
猜 硬 币
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
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什么是纳什均衡？
均衡(equilibrium)：所有参与人的最优策略的 组合。在博弈达到均衡时，局中每一个博弈者 都不可能因为单方面改变自己的策略而增加收 益，于是各方为了自己利益的最大化而选择了 某种最优策略，并与其他对手达成了某种暂时 的平衡。纳什均衡：局中人单独改变策略不会 得到好处的对局策略组合。 John Nash,Jr.1950年建立纳什均衡这一概念， 1994年荣获诺贝尔经济学奖。
s*=(s1*,s2*,…,sn*) ∈S1×S2×…×Sn，都成立，
才说s*=(s1*,s2*,…,sn*) ∈S1×S2×…×Sn，是博弈G的 一个严格优势策略均衡。
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相对优势策略
相对优势策略就是当局中人在他的对手 选定某个具体策略条件下具有他的优势 策略。 优劣的相对性，是相对对手的具体策略 选择而言的，在多人博弈的情况下，局 中人的相对优势策略，是在他的每个对 手都选定各自的具体策略的条件下他的 优势策略。
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严格劣势策略逐次消去法
理性的局中人是不会采用对自己不利的严 格劣势策略的，所以在分析博弈的可能结 局时，我们可以把局中人的严格劣势策略 都删去，只留下严格优势策略，由此得到 由双方的严格优势策略组成的博弈均衡， 叫做严格优势策略均衡。
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用严格劣势策略逐次消去法求 严格优势策略均衡
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箭头指向法的思路
对于博弈中的每一个策略组合进行分析，考察 在这个策略组合下各个局中人是否能够通过单 独改变自己的策略而增加支付。
如果能够在对手或者对手们保持策略选择不变 的情况下，通过单独改变自己的策略选择，到 达或者形成新的策略组合而增加自己的支付， 那么原来的策略组合就不是博弈的具有稳定性 的结果，我们将它排除在均衡之外，这样做完 以后，剩下没有被排除的，就是博弈的纳什均 衡。
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定义:严格优势策略和严格劣势策略
设一个二人同时决策的博弈，si，sj∈S1，即 si ， sj都是局中人1可以选择的策略，那么 （1）如果对于局中人2的每一个策略s ∈ S2， 都有u1(si,s) ＞u1(sj,s)，则称局中人1的策略si 严格优于局中人1的策略 sj ； （2）如果对于局中人2的每一个策略s ∈ S2 ， 都有u1(si,s) ＜u1(sj,s) ，则称局中人1的策略 si严格劣于局中人1的策略 sj 。
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举例
• 例如，在囚徒困境中，u1(（沉默，沉默）)= -1， u1(（沉默，招供）)= -9， u1=(（招供，沉默）)= 0， u1=(（招供，招供）)= -6。
• 同学们也可以选择支付矩阵来表示。
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博弈的策略型表述P43
设在一个n人博弈中，诸局中人的策略 集为S1，…Sn,每个局中人的支付 u1,…,un都是定义在S1×S2×…×Sn上的 函数,我们将这个博弈记作 G={S1，…Sn； u1,…,un}。这种表述方 法称为博弈的策略型表述或者正规型 表述。
第二章 同时决策博弈
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主要知识点的安排
博弈的三要素和支付矩阵（第1节） *优势策略（第2节）和优势策略均衡（第3节） *相对优势策略（ 第4节）和纳什均衡（第5节） 相对优势策略划线法（第6节）和箭头指向法 （第7节） 以上内容为完全信息静态博弈的分析方法 *纳什均衡的正式定义（第8节） 纳什均衡的性质——“最后归宿”（第9节） *纳什均衡的应用（第10节） 以上内容为完全信息静态博弈经典模型的应用 2 2013-8-2
Ui (s1,…, si-1, si*, si+1,…, sn) ≥ Ui (s1,…, si-1, si, si+1,…, sn)
对于所有的策略组合都成立。
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定义：严格优势策略均衡
如果进一步对于任何一个局中人i∈{1,2,…,n},严格 不等式
ui(s1,…, si-1, si*, si+1,…, sn) ＞ ui(s1,…, si-1, si, si+1,…, sn) , 对于所有si≠ si*的策略组合
左 上 1，0 0，4
中 1，3 0，2
右 0，1 2，0
左 1，0 0，4
中 1，3 0，2
左 1，0
中 1，3
下
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公明博弈
注意：虚线划去的是劣势策略而不是严格劣势策略。
装修行
给看 要求看
公 明 不要求看 800，600 0，1000
不给看
0，0 0，1000
公明博弈支付矩阵
在某个博弈中,如果不管其他局中人选择什么 策略，一个局中人的某种策略选择给他带来 的支付始终高于其他策略选择,或者至少不低 于其他策略选择，这个策略就称为优势策略。 只要这个局中人是一个理性的局中人，那么 他必定愿意选择这个策略。 优势策略可分为 ——严格优势策略（strictly dominant strategy） ——弱优势策略（weakly dominant strategy）
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定义：优势策略均衡
设s*=(s1*,s2*,…,sn*) ∈S1×S2×…×Sn是n人博弈 G={S1，…Sn； u1,…,un}的一个策略组合。 如果s*=(s1*,s2*,…,sn*) ∈S1×S2×…×Sn， 符合以下条件，就说它是博弈G的一个优势策略均 衡： 对于任何一个局中人i∈{1,2,…,n},不等式
二人同时博弈
博弈中局中人的个数是博弈结构的关键 因素之一，根据局中人的个数，将博弈 分为“二人博弈”和“多人博弈”。 两人博弈就是两个各自独立决策，但策 略和利益相互依存关系的博弈方的决策 问题。例如，囚徒困境、田忌赛马、猜 硬币、打球等；经济活动中这样例子也 常见两个厂商之间的竞争、谈判、兼并 收购和劳资纠纷等。
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严格劣势逐次消去法的局限性
当博弈中某个局中人的不同策略之间并 不存在严格的优劣关系时，集中于寻求 优势策略试图得到优势策略均衡的做法 就行不通，采取严格劣势逐次消去法也 未必奏效。也就是说严格劣势逐次消去 法存在其局限性。所以，我们必须进一 步寻找更普遍适用的博弈结果分析方法。
条件下局中人 i
的最优选择，即
si Si
* * ui ( si* , si ) maxui ( si , si )
或
* * ui (si* , si ) ui (si , si )
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对于 si Si 成立。
优势策略均衡与纳什均衡
在优势策略均衡中，不论所有其他 参与人选择什么策略，一个参与人 的优势策略都是他的最优策略，显 然这一策略一定是所有其他参与人 选择某一特定策略时该参与人的优 势策略。因此，优势策略均衡一定 是纳什均衡。