第3章现代控制理论
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性控制理论是现代科学技术的重要组成部分，它主要研究如何通过合理的方式对动力系统进行控制。
传递函数是控制理论中的一个重要概念，它是描述控制系统中输入和输出之间关系的数学模型。
在现代控制理论中，传递函数矩阵作为传递函数的扩展，是一种描述多输入多输出系统的数学模型，具有一些特殊的结构特性。
首先，传递函数矩阵的维度决定了系统的输入和输出的数量。
设系统的输入和输出分别为u和y，传递函数矩阵的维度为p×m，其中p是输出的数量，m是输入的数量。
这意味着系统的输出是由m个输入共同作用决定的，而系统的输出也会影响到m个输入。
传递函数矩阵的维度结构清晰明确，可以直观地反映系统的复杂性和耦合程度。
其次，传递函数矩阵可以通过分块矩阵的形式表示。
在传递函数矩阵中，每个元素都是一个标量传递函数，表示输入对应输出的单一影响。
将传递函数矩阵按照行和列的方式进行分块，可以更好地表示系统的结构和功能，方便进行系统分析和设计。
例如，可以将传递函数矩阵按照行进行分块，每个分块表示一个输出对所有输入的传递函数，即系统的局部传递函数。
这种分块的方式有助于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质。
第三，传递函数矩阵具有可乘性和可加性。
传递函数矩阵之间可以进行乘法和加法运算，得到的结果仍然是一个传递函数矩阵。
这使得系统的复杂行为可以通过简单的计算表达出来。
例如，两个传递函数矩阵相乘可以表示两个系统级联的结果，即一个系统的输出作为另一个系统的输入，从而形成一个新的系统。
传递函数矩阵的可乘性和可加性为系统分析和设计提供了便利。
最后，传递函数矩阵具有一些特殊结构，如分数阶传递函数矩阵和时滞传递函数矩阵等。
分数阶传递函数矩阵是一类常见的非整数阶动力系统的数学模型，广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等领域。
时滞传递函数矩阵描述的是系统的输入和输出之间存在一定的延迟，这在实际控制系统中是常见的现象。
对于这些特殊结构的传递函数矩阵，需要采用不同的方法进行分析和设计，以满足系统要求。
现代控制理论第三章-02-关于离散
8/17/2017 8:03 PM
Modern Control Theory
5
Ⅰ-3. 对连续系统采样而得到的离散系统
∑[A(t), B(t)] →(采样后) ∑[G(k), H(k)]
1 由 ∑[A(t), B(t)]的状态空间模型导出
0
这也就是连续系统∑[A(t), B(t)] 的离散化问题
（ discretization ）
Book 50
进一步,当采样周期远远小于系统中最小时间常数 T0 <<Tmin, 且系统离散化要求也不高时,则可用近似简化模型: G(k )=G TA+I; Book 50
H(k ) H TB; C(k ) C, D(k ) D
下面，我们用一个实例给予说明
8/17/2017 8:03 PM
于是，可以有以下方法推出：
1 部分分式法 注意 ：单极点 → 导出对角线规范形
0
重极点 →导出Jordan 规范形
8/17/2017 8:03 PM
Modern Control Theory
4
2 z-域框图法
0
注意:
最简传函形式为：
ki a i (z bi e ci T0 )
, 其中
ai 0
X(k 1) G (k)x(k) H (k)u(k) [G (k), H(k)] Y(k) C(k)x(k) D(k)u(k ) 注意到： t t 0 , k 0; t t 0 T0 , k 1; t = t 0 2T0 , k 2, 这样：G(k )=Φ[(k +1)T0 ,kT0 ] or Φ[( k+1),k ] 或 e k 一般, H (k)
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论第三章
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论--第三章 3 能观性
J2
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ ⎥
X
+
BU
，Y
=
CX
J
n
⎥ ⎦
中，和每个约当块 Ji (i = 1,2, , k) 的首行相对应的C 阵中的那些相应列，其每列 元素不全为零。
若两个约当块有相同特征值，上述结论不成立；若想要上述结论成立，则需
要对应的C 阵中相应列是线性独立的。
综上可知，能观标准型实现一定能观；能观，则通过线性非奇异变换一定能 化成能观标准型实现。能控标准型实现一定能控；能控，则通过线性非奇异变换 一定能化成能控标准型实现。线性非奇异变换不改变系统的能控能观性。
n−1
∑ Y (t)凯－哈定理 b j (t)CA j X (0) j=0
（2）
〔1〕 SO 系统时： 即 C1×n 。
3
第三章 线性系统的结构特性
此时，下列的几个量都是标量： β0 = CX (0), β1 = CAX (0), β n−1 = CAn−1 X (0)
(3) → (2) ：
（3）
λI − A = λI − AT = λI − A = 0
○3 互为对偶的系统的传递矩阵互为转置：
G (s) = C (sI − )A −1 B
( ) ( ) G ( s) = C sI − A −1 B = BT sI − AT −1 CT
=
BT
⎡⎣( sI
) −
A
T
⎤ ⎦
−1
C
T
=
BT
⎡⎣( sI
−
)A
−1 ⎤T ⎦
CT
=
⎡⎣C (sI
−
)A −1
B
⎤T ⎦
现代控制理论第三章答案可修改全文
xc xc
0u 0
y cRc 1
1
1
xc xc
【习题3－12】试将下列系统按能观性进行结构分解。
1 2 1 0
(1) x 0 1
0
x
0u
1 4 3 1
y 1 1 1x
【解】判别能观性
c 1 1 1
N
cA
2
3
2
cA2 4 7 4
构造变换矩阵
Rank(N ) 2 n
将能控子空间按能观性分解
xc
0 1
8 1/ 3 6xc 1/ 6
1/ 3 1 1/ 3xc 0u
y1 1 2xc
c 1 2 Nc cA 2 4
Rank(Nc ) 1
Ro1
1 1
2
0
0 1 Ro 1/ 2 1/ 2
按能观性分解后：
0 0
即：
2 1 1
(2)
A
1 3
2
4
b
1 1
c 1
0
【解】M b
Ab
1 1
1 2
3
4
c 1 0
N cA 1
2
1 M
1
1 2 3 4
3 4 1 2
0
10
N
1
2 2 0
完全能控完全能观的条件：
3 2
4
0
1
2
0
(3)
M b
0 0 2 1
A 1
0
3
b
2
Ac 2
Tc21 ATc2
0 1
5 4
bc2
Tc21b
1 4
7 1
31 1 1
1 0
现代控制理论完整版
现代控制理论HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。
互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。
方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。
4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值 =-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题什么是最小实现说明实现存在的条件。
现代控制理论第三章答案
λ1b11 " λ1b1m " λ1n −1b11 " λ1n −1b11 ⎤
# # #
λr br1 " λr brm " λr n −1br1
# # # n −1 λn bn1 " λn bnm " λn bn1
⎥ ⎥ " λr n −1brm ⎥ ⎥ # ⎥ " λn n −1bnm ⎥ ⎦ #
采用反证法。反设 B 中的第 r 行元素全为零，则上述 Γ c [ A, B ] 的第 r 行元素也全为零，
素全为零的行。而且，上述 Γ c [ A, B ] 中的任意两行都不成比例。因此，Γ c [ A, B ] 的秩为 n ， 即可得系统是能控的。证明完毕。 则对任意的常数 α 和 β ， 状态 α x1 + β x2 也是能控的。 3.4 若 x1 和 x2 是系统的能控状态， 证明：根据能控性定义，若 x1 和 x2 是能控的，则存在时间 T1 、T2 和在时间段 [0, T1 ] 、[0, T2 ] 上定义的控制律 u1 、 u2 ，使得分别在控制律 u1 、 u2 作用下，从 x1 、 x2 出发的状态满足
T
故若取
u(t ) = − BT e − A tWc−1 (0, T ) x0 + BT e − A tWc−1 (0, T )e − AT xT
容易验证该控制律将实现所期望的状态转移。 3.6 若系统是能控的，则对任意的时间 T > 0 ，由式（3.1.7）给出的矩阵 Wc (0, T ) 都是非 奇异的。 证明： 若系统是能控的， 则由定理 3.1.1 知 rank(Γ c [ A, B]) = n 。 若反设存在一个常数 T > 0 ， 给出的矩阵 WC (0, T ) = 使得由式 （3.1.7） 使得
现代控制理论第三章1-2
为真,则称线性定常连续系统(A,B)状态完全能控。
2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状 态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t 的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。 3. 在状态能控性定义中,对状态转移的轨迹未加以限制,这 表明能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。
令：
U j a j ( t0 )u( )d ,
t0
tf
j 0,1,n 1
（5）
将（5）式代入（4）式得：
x(t0 ) ( BU0 ABU1 An1BUn1 ) B M U
AB A B U 0
n 1
T
U1
T
U n1
T
[证明]：
证明目标：
对系统的任意的初始状态 x ( t0 ) ，能否找到输入u(t)，使之在
[t0 , t f ] 的有限时间内转移到零 x(t f ) 0 。则系统状态能控。
已知：线性定常非齐次状态方程的解为：
x( t ) ( t t0 ) x( t0 ) ( t ) Bu( )d
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能 控,简称为系统能控。 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T(t1>t0) u(t)(t[t0,t1]) (x(t1)=0) 为真,则称系统状态完全能控。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态 不完全能控的,简称系统为状态不能控。
现代控制理论 3
现代控制理论基础
主讲人:荣军 E-mail:rj1219@
第三章 系统的能控性和能观性
3-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能控性及其判据
线性定常系统状态方程为 x Ax Bu 其中x、u分别为 n、r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统 的一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义 在时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf) ＝x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
第三章 系统的能控性和能观性
判断以下系统的能观测性：
x1 1 0 x1 x1 x 0 2 x , y [0 1] x 2 2 2 x1 2 1 0 x1 x 0 2 1 x , y1 0 1 2 2 y 0 2 x3 0 0 2 x3 2 x1 2 1 x 2 0 2 x 3 0 0 x 4 x 5 0 0
第三章 系统的能控性和能观性 3-2能观测性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据
1、定义 对于定常线性系统 x Ax Bu ，如果对任意给定的输 u，存在一有限观测时间 入 y Cx t0 t1 内，通过观测y(t )能够唯一确定系统的初 始状态x(t0 )，则称 系统在t0时刻是能观测的。如果 对任意的初始状态都能 观测，则称
x1 0 x2 0 x3 x1 x 2 1 0 0 x3 1 1 0 x4 x5
现代控制理论_第3章_能控性和能观测性
T
解 令0，1，2，得状态序列
2 1 x 1 x 0 gu 0 2 0 u 0 1 1
x2 k 1 2 x2 k u k
初始状态为：x1 0 1，x2 0 1 用递推法可解得状态序列：
k 0 k 1 k k 1, x1 k x1 k 1 1
k
x1 1 x1 0 1 x2 1 2 x2 0 u 0 2 u 0 x1 2 x1 1 1
故能控。
例3-3
设 、x 0
g 同例3-1， 1 2 1，试判断能控性。
T
1 1 1 2 S1 rank g g g rank 2 2 2 1 3 解 rank 1 1 1 故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系 统。设系统状态方程为：
rankS1 rank g g 2g n2g n1g n
(3-7)
(3-8)
使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至 S 式(3-8)均称为能控性判据。 1，S1均称为单输入离散系统能控性 矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵g 。 当rank S1 n时，系统不可控，不存在能使任意x 0 转移到x n 0 的控制。
点 击 观 看
第一节
线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状 态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常 离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与 多输入两种情况）：
现代控制理论第3章
x(2) Gx(1) hu(1) 6 2u(0) 0u(1)
0 1
1
例 双输入线性定常离散系统的状态方程为：
2 2 1
0 0
x(k
1)
0
2
0
x(k
)
0
1u (k )
1 4 0
1 0
试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性
解 Qc H
GH
0 G2H 0
0 1
1 0
2：线性定常系统
定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是
W (0, t1)
t1 e AT tC T Ce At dt
0
满秩,或C(t) 的列线性无关.
定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测 性矩阵QO满秩，即
C
CA
rank QO
rank CA2
n
CAn
1
定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)× n型矩
2 2
2 0
4
4
1 0 0 4 1 10
rankQc 3
系统是能控的
1 2
令x(1)=0
x(0)
G 1Hu(0)
0
2
1 2 1 2 x1(0)
A
0
2
123,
A~
0 2
1
2 3
x2 (0) x3 (0)
1 u1(0) 23u2 (0)
若 rankA rankA~ 则可以求出u(0)，使x(1)=0
由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故
rank[B, e AT B,eA(n1)T B] rank[B, AB, An1B]
现代控制理论第3章
第三章线性控制系统的能控性与能观测性分析3.1 线性连续系统的能控性3.2 线性连续系统的能观测性3.3 对偶原理3.4 线性离散系统的能控性和能观测性3.5 线性系统的结构分解3.6 线性连续系统的实现3.7 传递函数与能控性及能观测性之间的关系系统n x x x ,,,21L 状态1u 2u n u 1y 1y ny M M M M为什么要讨论系统的能控性和能观测性？能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念。
在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义。
事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。
在极点配置问题中，状态反馈存在性由系统能控性决定；在观测器设计和最优估计中，涉及系统能观测性条件。
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。
将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
3.1.1 概述3.1 线性连续系统的能控性能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”内部状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2160x x y [例3.1]给定系统的描述为将其表为标量方程组形式，有：u x x+=114&u x x2522+−=&26x y −=分析：x 1、x 2受控于u y 与x 1无关y 与x 2有关[例3.2]：判断下列电路的能控和能观测性左上图：输入u(t)，状态x(t)，输出y(t)。
(t)，x2(t)。
右上图：输入u(t)，状态x1左图：输入u(t)，状态x(t)，x2(t)，1输出y(t) 。
3.1.2 能控性的定义Ut B X t A X )()(+=&线性时变系统的状态空间描述：∑:),,,D C B A （)1.3)()()(（U t D X t C t Y +=Jt ∈00)(X t X =其中：X 为n 维状态向量；U 为m 维输入向量；J 为时间t 的定义区间；A 为n*n 的元为t 的连续函数矩阵；B 为n*m 的元为t 的连续函数矩阵。
(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ【解】： (1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CABCB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论3章
3.2.2 状态能观性的判据 已知系统的动态方程
x’(t ) A(t ) x(t )
y C (t ) x(t )
x(0) x0
1、线性定常连续系统能观测性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，C} 状态完全能观测的充要条件是：存在 时刻t1>t0，使如下定义的能观性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
16
例：给定线性定常系统的状态方程，判断能控性。
1 x1 1 x1 0 x1 x 2.5 1.5 x 1 u y 1 0 x 2 2 2
解：
1 1 1 0 AB 1 1 2.5 1.5 1 1 rank[ B AB] rank =1 2 系统不能控 1 1 s 1.5 1 1 1 0 s 1 Cadj ( sI A) B s 2.5 1 2.5 g ( s) s 1 sI A ( s 2.5)( s 1) ( s 1) 2.5 s 1.5
0 t1 0
t1
T x0 Wc (t0 , t1 ) x0 [ BT T (t0 , ) x0 ]T BT T (t0 , ) x0 d 0
T x0 Wc
(t0 , t1 ) x0 B (t0 , ) x0 d (t0 , ) x0 0
At k 0 n 1
y (t ) k (t )CAk x(0)
k 0
n 1
y (t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0) n 1 (t )CAn 1 x(0) C CA x(0) y (t ) 0 (t ) 1 (t ) ... n 1 (t ) n 1 CA C CA =n rank n 1 CA
《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案.pdf
0 1 0 0 1 0 Rc 1 0 0 0 0 0
，
求
得
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
1
0
0
0 0
Rc1
0 0
0 0
0 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0
0
1
1
1
1
0
,
0
0
0
Co 0m
0m
Im
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0 0 1
第二步: 判别该能观标准型实现的状态
是否完全能控。
M Bo Ao Bo Ao2Bo
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0
0 0
0 1
本章问题：
1． M b Ab An1b ，n的确定（维 数应为 A 阶数）。 2．矩阵、向量写法的区分。
3．3-3（3） 2、 3讨论较复杂。
W (s)
s2 s2
6s 4s
8 3
1
s2
2s 5 4s
3
所以其能控标准 I 型为
A
0 3
1 4
b
0 1
c
5T 2
d
1
所以其能观标准 II 型为
A
0 3
1 T 4
b
5 2
c
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e
意义：
状态向量x(t0)先转移至t1，再转移至t2与状态向量x(t0)直
接转移至t2完全等效。 说明一个转移过程可分为若干小的转移过程，从t0到t2的 转移等于从t0到t1的转移，再从t1到t2的转移。
2013年7月27日
第3章第12页
3.可逆性★
证明：
1 (t ) (t )， 1 (t t0 ) (t0 t )
第3章第18页
e
Ai t
1 0 i t i (t ) e 0 0
2013年7月27日
A1 0 A 0
0 A2 0
0 0 Al
其中A1，A2，…，Al代表约当块，则
e A1t At 0 e 0 0 e A2t 0 0 0 Al t e
零输入响应
2013年7月27日
第3章第2页
当 u(t ) 0 时，系统状态方程为
x Ax
若 x(t ) |t t0 x(t0 ) ，其解为 x(t ) e
A(t t0 )
x(t0 )
t0
若 x(t ) |t 0 x(0) ，其解为 x(t ) e x(0)
At
t0
重要
A2 t 2 L1[( sI A) 1 ] I + At + e At 2! x (t ) L1[( sI A) 1 ] x (0) e At x (0)
可以把 eAt 视为一个变换 矩 阵 ， 把状态向 量 x(0)变 换为另一状态向量x(t)。
显然eAt是一个n×n阶时变函数矩阵，称为状态转移矩阵。
e
( A+ B )t
e e e e
At Bt Bt
A( t s )
At
8. 如A为n×n维方阵，t和s为两个独立的自变量
e
2013年7月27日
e e
At
As
第3章第15页
3.2.3 几个特殊的矩阵指数函数★ 1. A为对角型
1 0 A 0 0 0 e1t 0 At , e (t ) 0 n 0
2013年7月27日
x (t ) e At x (0) 1 cos 2t sin 2t 1 2 0 cos 2t 2sin 2t cos 2t 2sin 2t
第3章第6页
3.2 状态转移矩阵
2013年7月27日
第3章第7页
2013年7月27日
第3章第19页
例：
1 0 A0 0 0
1
1
0 0 0
0 1
0 0 0
1
0 0 te
2
0
1t
0 0 0 0 3 t 2 1t e 2! te1t 0 0 0 0 0 0 0 3t e
若状态向量从t时刻转移到t时刻，即状态向量没有发 生转移（变化），显然，此时状态向量是不变的。 为状态转移矩阵所必须满足的条件。
2013年7月27日
第3章第11页
2. 传递性（组合性）
(t2 t0 ) (t2 t1 ) (t1 t0 )
e
A( t2 t0 )
e
A( t2 t1 ) A( t1 t0 )
第3章第20页
1t e 0 At e (t ) 0 0 0
2013年7月27日
e1t 0 0 0
e1t 0 e2t 0 0
4. A为模态矩阵（有一对共轭复根）
A
At
t
满足：
cos t e (t ) e sin t
已知t=0初始状态向量x(0) ，可以求出t为任意值时的状态 向量x(t) 。
2013年7月27日 第3章第5页
例3.1 设系统状态方程如下，求其状态方程的解。
0 1 x x 4 0 x1 (0) 1 x (0) 0 x2 (0)
(t ) e ,
At
表示x(0)到x(t)的转移矩阵
A ( t t0 )
(t t0 ) e
, 表示x(t0)到x(t)的转移矩阵
2013年7月27日
第3章第8页
例：二维状态转移轨迹
x10 1.t 0, x (0) x20 x11 2.t t1 , x (t1 ) = (t1 ) x (0) x21 x12 3.t t2 , x (t2 ) = (t2 ) x (0) x22 x (t2 ) (t2 t1 ) x (t1 ) (t2 t1 ) (t1 ) x (0)
从-t2 到t1的转移等于从-t2到0的转移，再从0到t1的转移。 5. 倍时性
[ (t ) ] (kt )
k
2013年7月27日 第3章第14页
6. 微分性和交换性★
(t ) A (t ) (t ) A
相乘次序是可以交换的。 7. 如A、B可互换，即AB=BA，则
A0
I e
e
A(t t )
e e
At At
(e ) e
At 1
At
1 (t ) (t )， 1 (t t0 ) (t0 t )
可推导出：
x (t ) (t t0 ) x(t0 ) x (t0 ) 1 (t t0 ) x(t ) (t0 t ) x(t )
sin t cos t
(0) e A0 I
1 (t ) (t )
x1 At t cos t x e x(0) e sin t 2 e t ( x10 cos t x20 sin t ) t e ( x10 sin t x20 cos t )
e1t 则： At 0 e (t ) P 0 0 e2t 0
P 1 AP
0 0 -1 P Pe t P 1 n t e
k e A t k 0 k !
由解的唯一性
(t2 ) (t2 t1 ) (t1 )
1. 可从任意指定的初始时刻t的状态向量x(t0)求得任意时刻 的状态向量x(t) 。
2. 在时间上可以任意分段求取。
2013年7月27日 第3章第9页
状态转移矩阵的物理意义
1）系统在t0 时刻的任何状态，通过 φ(t-t0)的作用，转移到t 时刻的状态； 2） φ(t-t0) 可视为一种线性算子，把状态空间中t0时刻的状 态，映射为解空间中t时刻的状态； 3）把系统自由运动的一般解表为状态转移矩阵的形式，有 着重要而普遍的意义。
e
A ( t t0 )
x(t ) e
2013年7月27日
A(t t0 )
x(t0 )
第3章第4页
3.1.2 拉氏变换法
x Ax
x(t ) |t 0 x0
可以证明：无论A阵是否奇异， (sI-A)-1总是存在的，是非奇异的。
sX ( s ) x (0) AX ( s ) ( sI A) X ( s ) x (0) X ( s ) ( sI A) 1 x (0) x (t ) L1[( sI A) 1 ] x (0)
x(0) (t ) x(t )
说明状态转移过程是可以逆转的。可由x(t)求出小 于t时刻的初始时刻t0的状态x(t0)，t0＜t。
2013年7月27日 第3章第13页
4. 分解性（分段转移）
e
A ( t2 t1 )
A ( t1 t2 )
e e
At2
At1
e
e e
At1
At2
(t1 t2 ) (t1 ) (t2 ) (t1 t2 ) [t1 (t2 )] (t1 0)[0 ( t2 )]
2013年7月27日
第3章第3页
3.1.1 幂级数法
1 22 1 k k e = I At A t A t 2! k!
At
x(t ) e At x(0)
1 2 1 k 2 = I A(t t0 ) A (t t0 ) A (t t0 ) k 2! k!
2013年7月27日
第3章第10页
3.2.2 状态转移矩阵的基本性质 1. 不发生时间推移下的不变性★ 证明：
2 2 At
(0) e A0 I , (t t ) I
At e I + At + 2! 2 2 A 0 A0 e I A0 I 2!
第3章 线性系统的运动分析
3.1 线性定常系统状态方程的齐次解 3.2 状态转移矩阵 3.3 线性定常系统非齐次状态方程的解 3.4 线性时变系统的运动分析 3.5 线性系统的脉冲响应矩阵 3.6 连续系统的离散化 3.7 线性离散系统的运动分析
2013年7月27日
第3章第1页
3.1 线性定常系统 状态方程的齐次解（自由解）
At
AI=IA=A
1 ( P P 1 )( P P 1 )t 2 2! 1 1 1 PIP ( P P )t ( P 2 P 1 )t 2 2! 1 22 P ( I t t ) P 1 2! Pet P 1 I ( P P 1 )t
3.2.1 状态转移矩阵的含义
x Ax
x(t ) = e x(0)，x(t ) = e
At
A(t t0 )