数学-最新高三-最新数学-3等比数列及其前n项和

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.()
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．()
2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()
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第三节等比数列及其前n项和
一、知识清单
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)单调性：或⇔{an}是________数列；或⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．
5．等比数列的前n项和公式
四、课堂总结
[思想方法]
1．已知等比数列{an}
(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，{}也是等比数列．
(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.
2．判断数列为等比数列的方法
(1)定义法：＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．
10．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
【训练3】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．
三、课堂训练
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an＞0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝()
(3)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，则n＝________．
规律方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
【变式训练】在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
【变式训练】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为()
A．－3B．±3C．－3D．±3
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()
A．5B．7C．6D．4
知识点三 等比数列的判定与证明
【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
A．7 B．5 C．－5 D．－7
3．(2014·大纲全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()
A．31 B．32
C．63 D．64
4．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．
知识点二 等比数列的性质及应用
【例2】(1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________．
规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
(2)等比中项法：a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
[易错防范]
1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
A．9B．6C．3D．2
2．记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn，若a4·a5＝2，则Ⅱ8＝()
A．256B．81
C．16D．1
3．在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝()
A.B.C.D.
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为()
5．(人教A必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
二、典例精讲
知识点一 等比数列中基本量的求解
【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()
A.B.C.D.
(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an＝________．
7．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1·a2n－1＝4n，则数列{ห้องสมุดไป่ตู้n}的通项公式是______．
8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________．
三、解答题
9．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________________．
A．log371B.C．50D．55
5．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，
则log(a5＋a7＋a9)的值是()
A．－B．－5C．5D.
二、填空题
6．(2014·安徽卷)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
深度思考若本题除去第(1)问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列{an－1}．
规律方法证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝＝－.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．
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1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示