25.1(1)锐角的三角比的意义教案22

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上海市罗泾中学九年级数学上册 251 锐角三角比的意义(第1课时)教案沪教版五四制.doc

25.1锐角三角比的意义（第1课时）教学目标：1、掌握锐角的正切和余切的概念及相互关系。

2、初步应用锐角的正切和余切概念求出锐角的正切和余切的值。

3、学生在探究锐角正切和余切的概念屮，经历“实验一观察一猜想一论证”的白我体验过程，从而感受数学发现、创造的历稈。

4、通过积极参与数学学习和解决问题的活动，发展主体意识、评价意识，初步养成积极探究的态度、独立思考的习惯和团队合作精神。

教学重点和难点：教学重点：锐角的正切和余切的意义。

教学难点：锐角的正切和余切表示法的理解和正确运用。

教学过程：一、复习提问1.脑筋急转弯：世界上有什么东西永远也放大不了也缩小不了呢?2.这道题蕴含了我们前一阶段所学的什么数学知识？师：在放缩变换屮，除了角是不变的量以外，还有没有其他不变的量呢?3.已知，（如图）在RtAABC ZC二90° , ZA二25° , ZB= _________ °为什么？4.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC二90° , BC二3, AC二4, AB= __为什么？师：我们可以看到在直角三角形屮，角与角Z间、边与边之间都存在着相互的联系，那么直角三角形的边与角Z间是占也存在着某种关系呢?5. 已知,（如图）在RtAABC ZC=90° , BC=1, AC』，ZA二6.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC=90° , BC=1, AB=V2 , ZA二___________师：通过以上两小题的解答，你能得出什么结论吗？7.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC二90° , BC=3, AC二4, ZA二 _____ ° ?师：虽然这个问题我们暂时解决不了，但是，只要我们把頁•角三角形屮的锐角与边Z间的关系学好了，这个问题就可以迎刃而解了。

设计童图：木环节是为了了解学生的认知基础，带领学生做好学习新课的知识准备。

上海教育版数学九上251《锐角的三角比的意义》教案【精品教案】.doc

25.1 (1)锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变2、能根据正切、余切概念正确进行计算.3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及点理解认识正吩概念;引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.四、教学用具准备课件.ppt五、教学流程设计引入新课A新课讲授巩固练习》课堂小结》回家作业六、教学过程设计操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.(演示学校操场上的国旗图片小明站在离旗杆底部10米远处，冃测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了•你想知道小明怎样算出的吗？1 •观察(1)在RtZSABC 中,ZC=90°, 求CB・(2) RtAABC,使ZC=90°,的对边与邻边比.2 •思考通过上面的计算，你能得到什么结论?［说明］在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30役那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于3 ；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45。

，那么不管三角形的大小如何, 这个角的对边与邻边的比值都等于3.讨论一般地，当ZA取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？1.概念辨析如图:RtAABC 与RtZSA' L L , ZC=ZDC?A =90° , ZA 二ci,那么竺CA与竽有什么关系？0 /I结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，ZA的对边与邻边的比是一个固定值. »如图，在RtAABC 中，ZA、ZB、ZC 所<对的边分别记为b、c "过劄边在RtAABC中，ZC=90°,我们把锐角人(的对边与邻边的比叫做ZA的正切•记作' ”' tanA.板书：tanA= 在RtAABC中,ZC=90°,我们把锐角A的邻边与对边的比叫做ZA的余切•记作cotA.板书：2躺2.例题分析例题 1.在RtZlABC 中，ZC=90°, AC二3, BC二2,求tanA 和tanB 的值.解：在Rt/ABC屮，R1.如图，在直角ZSABC 中，ZC=90°,TAC 二3, BC 二2 ・・・tanA 二竺 ACAC 3 tanB= -----=— BC 2例题 2•在 RtZABC 中，ZC=90°, BC 二4, AB=5,求 cotA 和 cotB 的值. 解：在RtzlABC 中，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2VBC=4, AB=5, AC=7A B 2-BC 2= 752 -42 = 3 ・ •I cotA=—=- BC 4m BC 4cotB=——二一・ AC 33. 问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，ZA 的止切和余切有怎样的数量关系？是ZA 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？［说明］在 RtZlABC 中，ZA+ZB 二90。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1锐角三角比的意义教案

§25.1(1) 锐角三角比的意义(1)教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系.教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型.教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计：教学过程设计意图一、情景引入问题1 (1) 学校的操场有一个旗杆垂直于地面，现有一根皮尺，你能设计一个方案，测量旗杆的高度AB 吗？ (学生言之有理即可)(2)一名学生这样测量：某日的下午，让同伴测量他的身高和影长，当他的影长等于身高时，马上让同伴测出旗杆的影长，此时的影长就是旗杆的高度，你认为他的方法确切吗？为什么？(3) 思考：我们能不能在任意时刻用上述方法测出旗杆的高度？为什么？如图，阳光AC 与DF 可以看成AC//DF ，则∠C=∠F. ∴△ABC ∽△DEF ，得EFBC DEAB ，只要测得DE 、EF 、BC 的长，就可以求出AB 的长.(4) 从固定时刻到任意时刻，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？(5) 古希腊著名数学家泰勒斯曾用这个方法测得了埃及金字塔的高度. 二、探索新知小组合作探究1：（1）在学习单上取定一个锐角∠MAN利用实际问题引入一个直角三角形的两条边的比值与锐角之间的联系，体验数学与生活的联系.通过小组探究活动，获得直角三角形的两条直角边之比是一个定ABCDEF（2）在射线AM 上取一点B ，过点B 向射线AN 引垂线，垂足为C ，（3）问：ACBC的值是确定的吗？为什么？要求：1、小组合作探究； 2、汇报数据，交流、展示；3、师生共同简述理由.4、∠A 不变，虽然两条直角边长发生了变化，但它们的比值不变探究2：如果改变∠A 的大小，这个角的对边与邻边的比会改变吗？为什么？要求：1、运用几何画板直观感受； 2、举反例说明； 3、归纳：在Rt △ABC 中，∠C=90°一个定值的邻边锐角的对边锐角=A A .规定∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c定义：(1) 直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切，记为tanA..tan baAC BC A A A ===的邻边锐角的对边锐角说明：tanA 的值与∠A 的度数或直角边的比值有关. 思考：当∠A 确定时，的对边锐角的邻边锐角A A 是否是定值？为什么？(2) 直角三角形中，锐角A 的邻边与对边的比叫做锐角A 的余切，记为cotA. .cot abBC AC A A A ===的对边锐角的邻边锐角(AA cot 1tan =或1cot tan =⋅A A )三、课堂练习例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求tanA 、tanB 、cotA 、cotB 的值.要求：1、要求学生画草图，教师规范格式求tanA ； 2、学生独立完成tanB 、cotA 、cotB ；3、归纳、小结：当∠A+∠B=90°时，tanA=cotB.值这一事实.理解直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，并引入正切、余切的概念.同一个锐角的正切值与余切值是一对倒数，让学生掌握.让学生知道互余的两个角，一个角的正切值等于另一个角的余切值.aC A B c bB 3B 1B 2C 3C 1 A C 2 MN CED AMNP例 2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，求tanA 、cotA 的值.要求：1、学生独立完成；2、归纳、小结：求锐角的三角比时，常会用到勾股定理.书本P63—练习25.1(1)四、课堂小结(1) 通过今天的学习，你有什么收获和体会？ (2) 一个锐角的正切或余切的值与这个锐角的大小有确定的依赖关系；(3) 初中阶段锐角的三角比是在直角三角形里研究的，如果没有适当的直角三角形，可以构造直角三角形解决. 五、作业必做题练习册习题25.1(1) 选做题已知：如图，在△ABC 中， tanB=1，cotC=2，BC=6，求△ABC 的面积. 课堂小结，对本节课内容作简要回顾.作业分层，满足不同层次的学生；并渗透构造直角三角形的方法.教学设计说明：《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。

沪教版数学九年级上册25.1《求锐角的三角比的值》教学设计

沪教版数学九年级上册25.1《求锐角的三角比的值》教学设计一. 教材分析《求锐角的三角比的值》这一节内容，是沪教版数学九年级上册第25.1节。

这部分内容是在学生已经学习了锐角的三角函数定义和特殊角的三角函数值的基础上进行的。

本节课的主要内容是让学生通过计算得出特殊锐角的三角函数值，从而加深对锐角三角函数的理解和应用。

教材中通过例题和练习题的形式，让学生在实践中掌握求锐角三角函数值的方法。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角的三角函数有一定的了解。

但是，对于如何通过计算得出特殊锐角的三角函数值，学生可能还不太清楚。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过实践，掌握求锐角三角函数值的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握求特殊锐角三角函数值的方法。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在实际生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握求特殊锐角三角函数值的方法。

2.教学难点：如何引导学生通过实践，得出特殊锐角三角函数值。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用引导发现法、自主探究法、合作交流法等教学方法，利用多媒体辅助教学，以直观演示和生动形象的讲解，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习锐角的三角函数定义和特殊角的三角函数值，引出本节课的内容——求锐角的三角比的值。

2.自主探究：让学生通过计算，得出特殊锐角的三角函数值。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的计算过程和结果，互相学习，互相帮助。

4.讲解演示：教师对学生的计算过程和结果进行讲解，指出计算的注意事项。

5.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学的内容。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学的内容，加深对求锐角三角函数值方法的理解。

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25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值，对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值都不变.2、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及难点引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值，对边（或邻边）与斜边的比值都是不变的.四、教学过程设计一、情景引入将一把梯子的下端放在地面上，它的上端靠着墙面，把墙面和地面所成的角画成一个直角，梯子画成线段AB ，得到一个直角三角形AOB 。

问题1：如果将梯子AB 的两端分别沿着墙面和地面滑动，思考要体现梯子的倾斜程度与哪些量有关？1)梯子与地面的夹角越大，则梯子越陡直。

2）梯子与墙面的夹角越大，则梯子越平缓。

问题2：如果没有度量角的工具，怎么来判断梯子与地面的夹角或梯子与墙面的夹角的大小呢？（观察发现梯子滑动过程中变化的量和不变的量）（1）两条直角边的比值2211OB OA OB OA <，O B A O B A 2211∠<∠ （2）斜边不变，可用直角边(对边)与斜边的比值来刻画梯子与地面夹角的大小。

结论：由此可见，直角三角形的锐角的大小，与两直角边长度的比值有关二、新课学习问题3：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？任意画一个锐角A ，在∠A 的一边上任意取点B 1、B 2、B 3，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C 1、C 2、C 3，得到三个直角三角形。

（这也是一般在用线段比值刻画角的大小时，常用的构造直角三角形的方法。

）（由学生给出证明，得到333222111AC C B AC C B AC C B ==）由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数。

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25．1（1）锐角三角比的意义一．教学目标：理解锐角的正切、余切的定义；经历锐角的三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的过程体验，培养观察、归纳、总结数学问题的能力；能正确使用锐角的正切、余切的符号语言，会利用定义求锐角的三角比的值。

二．教学重点：锐角的正切和余切的意义。

三．教学难点：理解一个锐角确定的直角三角形的两边的比是一个确定的值。

四、教学过程教学环节教学内容设计意图一、创铺设垫情导境入1．用中国2010年上海世界博览会的介绍引入。

2．阅读：为了测量中国馆的高度，老师设计了以下的方案：在某一时刻，测量出阳光照射下的中国馆B在地面上投下的一个清晰的阴影的长度，馆顶A的影子落在地面上的点C处。

与此同时，再测量出直立地面上一根标杆DO长和留下的影子OE长。

3．思考：为什么这样测量是可靠的？4．小组讨论，（把实际问题转化成数学问题。

）结合当前生活背景，让学生体会数学服务于生活。

二、问题1：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是不是一个确定的值？以问题为出发点，培养学生的直觉思维及数教案设计说明这是一节概念课，根据概念教学的规律和学生的认知特点，我设计了以下6个教学环节：1.创设情景,铺垫导入；2.层层深入,探究新知；3.师生互动,研究新知；4.练习反馈,巩固新知；5.展示交流,总结新知；6.布置作业,分层落实。

环节1中，以当前学生最熟悉的中国馆引出，阅读材料，让学生解释老师设计测量中国馆高度的可靠性。

从相似三角形的性质得出直角三角形的两条直角边的比值是个确定的值。

为下一环节的教学做好铺垫。

环节2则通过两个问题的提出让学生进行思考，得出结论：在一个直角三角形中，给定一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是一个确定的值。

当角度变化，比值也发生变化。

并加以严格的理论证明，同时渗透函数的思想，也为后面学习“已知一个锐角的一个三角比的值求这个锐角的大小”提供依据。

锐角三角比的意义教案

25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.2、能根据正切、余切概念正确进行计算.3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力. 三、教学重点及难点理解认识正切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.六、教学过程设计一、情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o，BC=35m,求CB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o，计算∠A 的对边与邻边比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于33；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3．讨论一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？二、学习新课 1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A’B’C’，∠C=∠D C’A =90°，∠A=α，那么CA BC 与AC DC ''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA.板书：tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.板书：cotA ＝A A ∠=∠的的ba2．例题分析例题1. 在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BC tanB=23=BC AC .例题2.在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC .3．问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？ [说明]在Rt ⊿ABC 中，∠A+∠B=90°：则有 tanA ·cotA=1 tanA=B cot 1tanB=Acot 1三、巩固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则cotA ＝（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．432．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，则边AC 的长是( )CBAAB CAB CA ．13B ．3C ．43 D ． 5四、课堂小结在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边（邻边与对边）的比是一个固定值.五、作业布置练习册25.1（1）七、教学设计说明通过实际问题的引入，引起学生思考问题.将实际问题抽象为数学的图形，激发学生探讨问题的积极性，用从特殊到一般的方法让学生领会到在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边（邻边与对边）的比是一个固定值.使学生在探究时体会到探究数学结论的过程和乐趣，增加学习数学的积极性.B C C ’ 25.1（2）锐角的三角比的意义一、教学内容分析使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力. 二、教学目标设计1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值都不变；2、了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系，正切与正弦、余弦的关系. 三、教学重点及难点理解余弦、正切的概念；熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算. 六、教学过程设计一、情景引入 1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o，BC=35m,求AB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o，计算∠A 的对边与斜边的比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21.3．讨论由上面的观察，我们可以得到什么结论？二、学习新课 1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠DC`A =90o，∠A=α，那么BA BC与AB C B '''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值.如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、 c.X在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA. 板书：sinA ＝ca=∠∠的斜边的对边A A ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA. 板书：cosA ＝cb=∠∠的斜边的邻边A A ；2．例题分析例题 1（1）如图, 在中，,,,求sinB ，cosB的值. 解：在中 22BC AB AC -=∵AB=6， BC=3 ∴AC=36-=3sinB=2163==AB AC =22； cosB=222163===AB BC . （2）在Rt △ABC 中, ∠C=90°,BC=6,sinA=53,求cosA 和tanB 的值. 解: ,.又,.例题2. 在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求弦、和余弦的值.解：过点P 向x 轴引垂线，垂足为点Q ，则∠OPQ=900.由点P 的坐标为（3，4）得OQ=3,QP=4.在Rt ⊿OPQ 中，OP=.5432222=+=+PQ OQ∴tan α=34=OQ PQ , sin α=54=OP PQ cos α=53=OP OQ .3.问题拓展1.从定义可以看出sin A 与cosA 有什么关系？sin B 与cos A 呢？满足这种关系的A ∠与B ∠又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？（1）若90A B ∠+∠=,那么sin A =cos B 或sin B =cos A ; （2）22sin cos 1A A +=; （3）sin tan cos AA A=. 三、巩固练习 1.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）A ．B ．C ．D ．2. 在中，∠C ＝90°，如果那么的值为（）A ．B ．C ．D ．3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin ＝_____________.四、课堂小结1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系五、作业布置练习25.1（2）七、教学设计说明通过复习，用类比的方法让学生发现这样一个事实：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边（邻边）与斜边的比是一个固定值.在练习中带领学生主动发现总结规律，得出同一个锐角正弦与余弦之间的关系、正切与正弦、余弦的关系.在巩固练习中，加深对问题的理解.25.2求锐角三角比的值一、教学内容分析能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式二、教学目标设计能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.三、教学重点及难点熟记30°、45°、60°角的三角比值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式；30°、45°、60°角的三角比值的推导过程.六、教学过程设计一、情景引入问题：（1）还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30°=21,sin45°=22.（2）你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？3．讨论画30°、45°、60°的直角三角形,分别求sin 30° 、cos45°、tan60°的值. 归纳结果 30° 45° 60° sinA cosA tanA二、学习新课 1．例题分析求下列各式的值：（1）(cos60°)2 +(cos45°)2+sin30°sin45°；（2） .解（1）原式=2211()22++ 1111422=++= （2）原式==3．问题拓展（1）8)30tan 60(cos 2+︒-︒+-（2）2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--[说明]本题主要考查特殊角的正弦、余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值.易错点因没有记准特殊角的正弦、余弦值，造成错误.三、巩固练习求下列各式的值： (1)sin30°+cos30°； (2)sin30°·sin45°；(3)tan60°+2sin45°-2cos30°；(4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2； (5)︒∙︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22.四、课堂小结通过本节课的学习，能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.五、作业布置练习25.2七、教学设计说明由特殊锐角三角形的性质联系锐角三角比的概念，带领学生主动发现总结30°、45°、60°角的三角比值，在巩固练习中，培养学生熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.25.3（1）解直角三角形一、教学内容分析本课时的内容是解直角三角形，首先是了解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高学生分析问题和解决问题的能力. 二、教学目标设计1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．三、教学重点及难点教学重点：直角三角形的解法．教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用．六、教学过程设计一、情景引入 1．观察引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米?显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以，大树在折断之前的高为36米.2．思考1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 3．讨论复习师白：Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系分别是什么？总结：直角三角形的边与角之间的关系 (1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.二、学习新课 1．概念辨析师白：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形. 2．例题分析例题1 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.解：∵∠A+∠B=900∴∠A=900－∠B=900－380=52∵cosB=ca ∴C=B a cos =15.1038cos 8≈ ∵tanB=ab∴b=atanB=8tan380≈6.250例题2 在Rt △ABC 中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.解：在Rt △ABC 中，∵∠C=900，∴a 2＋b 2＝c2∴b=099.528.534.72222≈-=-a c ∵sinA=7193.034.728.5≈=c a ∴∠A=460∴∠B=900－∠A ≈900－460=440.[说明] 我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 3．问题拓展例题3 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l 米).分析：本题中，已知条件是什么?(AB ＝2000米， ∠CAB ＝90°－ ∠CAD ＝50°)，那么求AC 的长是用 “弦”还是用“切”呢?求BC 的长呢?显然，AC 是直角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC 的长可以用正切，也可以用余切. 讲解后让学生思考以下问题：(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC ； (2)在这题中，是否可用正弦求AC ，是否可以用余切求得BC.[说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的.从上面的几道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个B C A锐角，若知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角. (2)已知一条边和一个锐角，求其他边角三、巩固练习 1、课本P73练习1、22、由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c ．(c=54)（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角.五、作业布置练习册25.3（1）七、教学设计说明为了引起学生对教学内容的兴趣，所以在本课时的开头引入了一个实际问题，从而自然过度到直角三角形中，已知两个元素求其他元素的情境中.再通过讨论直角三角形的边与角之间的关系，到解直角三角形过程中，使学生能掌握解直角三角形的知识.3320,3310==c a 10,310==b a25.3（2）解直角三角形一、教学内容分析本课时其实是安排了一个解直角三角形和应用的一节过度课，它起到了承上启下的作用.先从解一般的三角形或梯形的问题，寻找转化为直角三角形的方法，然后，到下一节课的应用，使学生不会有知识过度跳跃的感觉. 二、教学目标设计1．进一步运用勾股定理、锐角三角比解非直角三角形．2．通过综合运用锐角三角比解三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．三、教学重点及难点教学重点：学会把一般三角形转化为直角三角形解决．教学难点：如何转化为直角三角形的辅助线的做法．六、教学过程设计一、情景引入 1．复习1、求下列各直角三角形中字母的值．2、在△ABC 中，∠C 为直角，b=2 ，a=6，解这个三角形．3、在△ABC 中，∠C 为直角，且b=20，B =350，解这个三角形（精确到0.1）． 2．思考在一般的三角形中，如果已知适当的元素能否能求出其余相关的元素呢？ 3．讨论在一般的三角形中，已知几个元素能求出其余相关的元素呢？二、学习新课 1．例题分析例题1 在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC, ∠A=45°,BC=6,求它的腰长和底角.分析：根据三角形内角和定理，可求得底角的大小．如图，作底边上的高，由等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边被高平分，于是得到两个全等的直角三角形．因此在其中任意一个直角三角形中，知道了一个锐角、一条直角边，可解这个直角三角形，从而得到等腰三角形的腰长．解：在△ABC 中，∠B= ∠C= 21(1800-∠A) =21（1800-450）=67.50=67030’ 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点DB∵ AB ＝AC ， ∴BD=21BC=21×6=3 在Rt △ABD 中∵cosB=AB BD∴AB=839.70367cos 3cos 0≈'=B BD所以，这个等腰三角形的腰长约为7．839，底角为67030’. 思考：本题如果作腰上的高，能解△ABC 吗？试一试：在等腰三角形中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求它的顶角和底角．例题2 在△ABC 中，AC=9，AB=8.5，∠A=38°,求AC 边上的高及△ABC 的面积．分析：为了利用∠A 的三角比，所以作出AC 或AB 边上的高，构造直角三角形，可求出一条高，再求出三角形的面积.解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵sinA=ABBD， ∴ BD ＝AB ·sinA=8.5×sin38°≈5.233 S △ABC =21AC ·BD=21×9×5.233≈23.55 所以，AC 边上的高约为5．233，△ABC 的面积约为23．55.2．问题拓展例题 3 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB分析：本题可以过点C 作AB 边的垂线，把∠A 和∠B 作在直角三角形中，再利用锐角三角比解决问题.教师引导学生解答.[说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计算问题.就是要把握好转化的技巧.三、巩固练习 1、课本25.3（2）2、已知等腰△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A 的四个三角比值．3、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ；4、如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC 的面积(结果可保留根号).A CB四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．今后，我们还要善于用数学知识解决实际问题．五、作业布置练习册25.3（2）七、教学设计说明本课时的内容是利用解直角三角形的知识解决一般三角形的计算问题，解决问题的关键是如何转化并综合利用直角三角形的有关知识.所以，先安排了一个等腰三角形的问题，再安排一个不等边三角形的问题，最后一个例题的意图是为了和中考衔接.25.4（1）解直角三角形的应用一、教学内容分析本节列举了解直角三角形的一类典型问题：仰角、俯角问题.让学生感受数学与生活的紧密联系，提高数学问题实际化的能力，领会数学思想.二、教学目标设计1．掌握仰角、俯角概念；2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.三、教学重点及难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题. 六、教学过程设计一、引入让学生从仰视和俯视两种神态亲身体验,再利用投影仪显示一些有关仰角和俯角的实例，从而引出仰角、俯角的定义.[说明]从学生的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. [说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.2．例题分析例题1 如图，在地面上离旗杆BC 底部10米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为52°，已知测角仪AD 的高为1.5米，求旗杆BC 的高（精确到0.1米）.分析结合图形已知旗杆与地面是垂直的，从测角仪D 处作DE ∥AB ，可以得到一个Rt △DCE ，利用直角三角形中的已知元素,可以求出CE ，从而求得BC.解从测角仪D 处作DE ∥AB ，交BC 于点E. 根据题意，可知DE=AB=10（米），BE=AD=1.5（米），∠CDE=52°. 在Rt △DCE 中,tan ∠CDE=DECE，得水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线hCE=DE ·tan ∠CDE=10·tan52°≈12.80(米). 则BC=BE+CE ≈1.5+12.80≈14.3(米). 答:旗杆BC 的高约为14.3米.例题2 如图,甲乙两幢楼之间的距离CD 等于40米,现在要测乙楼的高BC(BC ⊥CD),所选观察点A 在甲楼一窗口处,AD ∥BC.从A 处测得乙楼顶端B 的仰角为32°,底部C 的俯角为25°.求乙楼的高度(精确到1米).解从观察点A 处作AE ∥CD,交BC 于点E. 根据题意,可知AE=CD=40(米), ∠BAE=32°, ∠CAE=25°. 在Rt △ABE 中,tan ∠BAE=AEBE，得 BE=AE ·tan ∠BAE=40·tan32°≈25.0(米). 在Rt △ACE 中,tan ∠CAE=AECE，得 CE=AE ·tan ∠CAE=40·tan25°≈18.7(米). 则BC=BE+CE ≈25.0+18.7=43.7≈44(米). 答:乙楼的高度约为44米.[说明]在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“水平线”，再结合图形中的已知元素，解出要求的未知元素.同时在学生审题时，强调注意题后对结果精确度的要求，培养严谨的学习态度. 三、巩固练习1. 在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为米（用含α的三角比表示）．2.在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高为__________米;3. 已知：如图，建筑物AB 高为200米，从它的顶部A 看另外一建筑物CD 的顶部C 和底部D ，俯角分别为30°和45°，求建筑物CD 的高．A BC D4．如图,线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼,从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°,从乙楼底部D 测得甲楼顶部A 的仰角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,则乙楼的高CD 为多少米?5．如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD 的高(结果保留根号).四、课堂小结1．知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与水平线的夹角； 2．认真分析题意，在原有的图形中寻找或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题； 3．按照题目中的精确度进行计算，五、作业布置练习册：习题25.4（1）七、教学设计说明解直角三角形的应用问题,关键是由实际问题向数学问题的转化过程.课堂教学时可以分为二个阶段：一是依据实际问题中相关的几何图形让学生明确仰角、俯角的概念,二是根据实际问题中的条件要求学生正确的画出相关的几何图形，然后用解直角三角形的知识求解. 学生在运用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题的过程中，进一步把数和形结合起来，提高了分析问题和解决问题的能力.AB CD(第5题图)25.4（2）解直角三角形一、教学内容分析本节梳理了在直角三角形中，除直角外五个元素之间的关系，然后分析了满足什么条件的直角三角形是可以求解的.二、教学目标设计进一步学习如何把某些实际问题的数量关系归结为直角三角形各元素之间的关系，将实际问题转化为数学问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学在实际生活中的应用，增强数学应用的意识. 三、教学重点及难点正确理解题意，利用解直角三角形的知识将实际问题转化为数学问题. 六、教学过程设计一、情景引入 1．说一说请学生以自己为观察点，尝试运用较为准确的说法说说班级中其他一些同学所处的位置.2．思考如图，以A 为观测中心，分别指出点B 、C 、D 、E 各点所处的方向.[说明]通过创设问题情境激发学生的求知欲望，感悟“数学源于生活又作用于生活”，体验数学的价值.二、学习新课1．概念辨析回顾方位角 2．例题分析例题1 如图，在港口A 的南偏东52°方向有一小岛B ，一艘船以每小时24千米的速度从港口A 出发，沿正东方向航行，20分钟后，这艘船在C 处且测得小岛B 在船的正南方向.小岛B 与港口A 相距多少千米（精确到0.1千米）？解: 根据题意,可知∠CAB=90°-52°=38°,∠ACB=90°,AC=24×6020=8(千米).在Rt △ABC 中,cos ∠CAB=ABAC，得 10°东南西 A BCE1545° 北D ACB北南52°30°30°AB=CAB AC ∠cos =o38cos 8≈10.2(千米). 答:小岛B 与港口A 相距约10.2千米.例题2 如图,为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A.在△ABC 中,测得∠C=62°,∠B=49°,BC=33.5米,求河宽(精确到0.1米).解: 过点A 作AD ⊥BC,垂足为点D,河宽就是AD 的长.在Rt △ABD 中,cotB=ADBD ，得 BD=AD ·cotB=AD ·cot49°.Rt △ACD 中,cotC=ADCD ，得 CD=AD ·cotC=AD ·cot62°,因为BD+CD=BC ，所以AD ·cot49°+ AD ·cot62°=33.5则AD=0062cot 49cot 5.33+≈23.9(米). 答:河宽约为23.9米.3．问题拓展1.某海防哨所发现距离它400海里的北偏西30°A 处有一艘船，该船正向东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的B 处.求这船的速度是多少？2.某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米的点P 处建一个监测点,道路的AB 段为监测区.在△ABC 中,已知∠A=45°, ∠B=30°,车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时,可认定为超速(精确到0.1秒)?[说明]在例题分析讲解的基础上进行问题的拓展,可以增强对知识点的理解,起到巩固作用.三、巩固练习1．一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是多少？2. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300千米的B 处，以千米/小时的速度向东偏南30°的BF 方向移动，距沙尘暴中心200千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域（如图）.(1)通过计算说明A 市必然会受到这次沙尘暴的影响；(2)计算A 市受沙尘暴影响的时间.四、课堂小结今天学习了什么, 你有什么收获？五、作业布置练习册：习题25.4（2）七、教学设计说明本节课教学时要强调根据实际问题中的条件,要求学生正确的画出相关的几何图形，将实际问题转化为数学问题,然后再运用解直角三角形的知识求解.学生在运用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题的过程中，进一步体会了数和形的结合，提高了分析问题和解决问题的能力.北东。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1锐角三角比的意义(1) 教案

25．1锐角三角比的意义（1）教材分析：本章我们主要从定量方面研究直角三角形，直角三角形中的边角间的数量关系主要通过三角形内角和定理、勾股定理和锐角的三角比来表述。

因此锐角的三角比是本章后续学习解直角三角形的重要基础，同时锐角的三角比的概念是三角函数概念的准备。

经过第24章《相似三角形》的学习，本节课可以通过探究使学生知道当直角三角形的锐角确定时，它的对边与邻边的比值都不变，从而明确锐角的正切和余切的定义，经历锐角的三角比的概念的形成过程。

教学目标设计1、通过探究知道当直角三角形的锐角确定时，它的对边与邻边的比值都不变；2、掌握锐角的正切和余切的定义，并能正确的描述和表示；3、能根据正切、余切概念正确进行计算。

教学重点及难点理解认识正切和余切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的。

教学过程设计一、复习引入1、直角三角形中的边与边、角与角的关系？2、学习单预习部分交流。

二、探究新知1、探究：（1）当∠A取确定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？（2）当锐角∠A的度数发生变化时，它的对边与邻边的比值是否也发生变化？2、概念形成如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA.3、巩固新知例题1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求、、和的值.练习：学习单课堂练习部分ABCABC4、概念引申根据定义，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？如果∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？三、拓展提高练习：学习单拓展练习部分（第4、5题机动）四、课堂小结（1）锐角A 的正切和余切的定义；（2）求锐角A 的正切和余切的方法；五、作业布置练习册：P34 习题25.1（1）附：25．1锐角三角比的意义（1）学习单25．1锐角三角比的意义（1）学习单一、课前预习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，用式子表示直角三角形中的边与边、角与角的关系：ABC2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45° （1）若BC=2，则AC= ，；（2）若AC=，则BC= ，；3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° （1）若BC=2，则AC= ，；（2）若AC=，则BC= ，；4．由第2、第3题你有什么发现？二、课堂练习1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则，2．如图，在Rt △PQR 中，∠R=90°，PQ=13，PR=12，则，ABC75RP 12 13三、拓展练习1．若为锐角，且，则=2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若各边长都增加一倍，则锐角B 的正切值………（）（A ）都增加一倍（B ）都减少一半（C ）没有变化（D ）不能确定3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 在AC 上，AD=5，过点D 作DE ⊥AB ，求的值．4．已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果，AC=6，那么BC= 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，下列各式正确的是……（）（A ）（B ）ABCD EACBD（C）（D）四、课外练习如图，在中，∠C=90°，点D在BC上，DA=DB，，求的值．ABCD。

上海教育版九上25.1《锐角的三角比的意义》word教案

C25.1锐角的三角比的意义2012.10.11教学目标： 1、经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。

2、掌握锐角三角比的定义，会根据直角三角形中的两边长求锐角的三角比的值。

3、了解锐角的三角比的值的范围。

教学课时：2课时第一课时：锐角的正切和余切本节课教学重点：学生经历锐角的正切概念的形成过程, 教学内容：一、知识回顾：直角三角形的锐角关系、边的关系。

1、在直角三角形 ABC 中，/ C=90° (1) 角的关系：/ A + Z B=90° (2) 边的关系：a 2，b 2=c 22、在 Rt △ ABC 中, Z C=90° (1) 当Z A=30。

贝U a:b:c= _______ (2) 当 Z A=45。

贝U a:b:c= ______结论：对于一个直角三角形，当其中一个锐角为 30°(或45°)时，那么这个三角形的三边的关系就是确定的。

二、问题探索：问题1、对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？如图，任意一个锐角A ，在ZA 的一边上任意取点。

例如取点B 1> B 2、B 3三点，再分别过这三点作另一边的垂线,垂足分别为点G 、C 2、C 3，从而得到三个直角三角形, 即Rt △AC 1B 1、RWAC 2B 2、Rt AC 3B 3。

因为这三个三角形有公共锐角Z A ，所以 Rt △ AC 1B 1 s Rt AC 2B 2 S Rt AC 3B 3,于是得到旦21 二旦仝二 BC 3AC 1 AC 2 AC 3由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边于邻边的比值是一个确定的数。

问题2、当直角三角形中的一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值是否也随之变化？如图，当锐角Z MAF 变化为锐角Z NAP 时，在AP 上任取一点 EC,过点C 作CE ! AP,垂足为点C, CE 分别交AM AN 于点D E /D 得到△ ACD^n ^ ACE 这时掌握正切、余切的定义 AZDAC 的对边 DC ZEAC 的对边 EC .DAC 的邻边 _ AC'. EAC 的邻边 -AC由图可得DC 与EC 这两个比值是不同的，这说明直角三角形中，一个锐角的 AC AC 对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化。

沪教版数学九年级上册25.1《求锐角的三角比的值》教学设计

沪教版数学九年级上册25.1《求锐角的三角比的值》教学设计一. 教材分析《求锐角的三角比的值》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。

本节课主要让学生掌握正弦、余弦、正切的概念，并能求出特殊角的三角比值。

教材通过引入直角三角形的边长比例，引导学生探究锐角的三角比值，从而得出正弦、余弦、正切的定义。

这一节内容是初中数学的重要知识点，也是进一步学习高中数学的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的概念，但对正弦、余弦、正切的定义和求法还不够熟练。

学生在学习过程中，需要通过实例来理解三角比值的概念，并通过大量的练习来巩固知识点。

此外，学生需要具备一定的观察、分析和推理能力，才能更好地掌握本节课的内容。

三. 教学目标1.理解正弦、余弦、正切的定义，掌握求锐角三角比值的方法。

2.能够运用三角比值解决实际问题。

3.培养学生的观察、分析和推理能力。

四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦、正切的定义及其求法。

2.难点：灵活运用三角比值解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、推理得出正弦、余弦、正切的定义。

2.使用多媒体辅助教学，展示实例和动画，帮助学生更好地理解三角比值的概念。

3.小组讨论和上台展示，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

4.注重练习，通过大量的实例和习题，巩固学生的知识点。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.练习题。

4.三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求一个锐角的三角比值。

例如：在直角三角形中，已知一条直角边为3，斜边为5，求另一个锐角的正弦、余弦、正切值。

2.呈现（15分钟）展示几个特殊锐角的三角比值，如30°、45°、60°等。

引导学生观察这些特殊角的三角比值有什么规律。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个锐角，利用三角板和计算器求出该角的正弦、余弦、正切值。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1(2)锐角三角比的意义教案

25.1（2）锐角三角比的意义教学目标：类比正切、余切概念的形成过程得到一个锐角的正弦与余弦的定义以及锐角三角比的定义。

能熟练运用锐角三角比的概念进行有关计算。

掌握直角三角形锐角三角比及其值的取值范围；在学习过程中培养学生分析问题解决问题的能力及学习数学的兴趣。

教学重点：理解余弦、正弦的概念；熟练运用锐角三角比的概念进行有关计算。

教学难点：灵活应用锐角三角比解决问题教学过程：3、引出概念（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA.sinA ＝ca==∠∠AC BC A A 的斜边的对边（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA.cosA ＝cb==∠∠AB AC A A 的斜边的邻边；（3）一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角三角比。

并培养学生团结协作的精神。

三、应用新知例题1、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=17，BC=8，求sinA 、cosA 、sinB 和cosB 的值。

思考：（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，则cosB 与sinA 有什么关系？（cosB= sinA=ca ）（互余的两个角，一个角的正弦与另一个角的余弦相等。

）（2）任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的值小于1，为什么？（0﹤sinA ﹤1，0﹤cosA ﹤1）（3）在直角三角形中，如何求一个锐角的三角比？巩固正弦余弦概念，会用已知边来求正弦余弦。

通过观察由学生自己总结出锐角三角比的值中正弦和余弦的值的范围，养成良好的学习习惯。

归纳：解这个题目的关键是构造直角三角形。

DAoB教学设计说明：在直角三角形中，一个锐角的三角比有4个，正切和余切是上节课的内容，本节课主要讲正弦和余弦。

本节课的重点是理解余弦、正弦的概念；熟练运用锐角三角比的概念进行有关计算。

沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计

沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计一. 教材分析《锐角三角比的意义》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角比的定义和性质，以及它的应用。

通过学习本节内容，学生能够理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，并能运用锐角三角比解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的理解。

但是，对于锐角三角比的概念和性质，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角比的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，能够运用锐角三角比解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角比的定义和性质。

2.难点：锐角三角比的计算方法和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握锐角三角比的性质；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、尺子、三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，如测量 flag 的倾斜角度，引导学生思考如何解决这个问题。

通过这个问题，引入锐角三角比的概念。

2.呈现（15分钟）通过具体的案例，介绍锐角三角比的定义和性质。

例如，通过测量三角板上的角度，引导学生发现锐角三角比的规律。

3.操练（15分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手测量锐角三角比。

学生可以分组进行，互相交流和讨论，培养团队合作意识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固锐角三角比的计算方法。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.1(1)锐角三角比的意义教案

25.1（1）锐角三角比的意义教学目标：通过探究使学生理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后，对边与邻边的比值都不变；能根据正切、余切概念正确进行计算；通过“阅读”、探究等教学活动，发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力。

教学重点：理解认识在直角三角形中，锐角正切、余切的概念并会利用。

教学难点：理解直角三角形中，锐角的大小与两边的长度的比值的关系。

教学过程：新知探究 1.探究1：如图：Rt △ABC 与Rt △ADC ’，∠C=∠B ＇C ＇A =90°，∠A=α，那么与有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值. 探究2：在直角三角形中，当锐角A 的度数大小变化时，它的对边邻边的长度比值变化吗？结论：在直角三角形中，锐角∠A 的对边与邻边的比值会随着锐角A 的度数变化而发生改变。

.要求：读懂题目要求，完成探究内容；明确直角三角形中锐角与邻边、对边间的关系。

引入：如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA.板书：tanA ＝在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.利用已学知识解决现有问题。

通过对“角度不变”、“角度变化”等问题的探究得到三角比。

同时渗透函数的数学思想。

掌握直角三a 对边斜边 c邻边 bCBA板书：cotA==巩固：课后练习2。

同桌合作，自画图形，说出其中锐角的正切值和余切值的表示方式（以实际情况而定）。

新知应用规范过程，板演例题。

例题1.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值.例题2.在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值.要求：会求直角三角形中锐角的正切值、余切值；感悟∠A 、∠B 两角正切值、余切值间的关系。

九年级数学上册 25.1 锐角三角比的意义教案沪教版五

锐角三角比的意义学习目标：1.知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变;2.能根据正切、余切概念正确进行计算。

学习过程：复习旧知1.如图，在Rt△ABC 中，直角边是__________, 斜边是__________。

∠A 的对边是__________，邻边是__________。

2.（1）Rt △ABC 中，∠C=90o ，∠A=45o，计算∠A 的对边与邻边比.（2）若∠A=60o呢？（3）一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？探索新课问题1. 对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是一个确定的值吗？议一议，回答以下问题：如图1：Rt △ABC 与Rt △A ’B ’C’，∠C=∠DC ’A =90°，∠A= ，那么CA BC 与A C DC ''有什么关系? 结论：CA BC ____AC DC ''如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的比值就是一个_________的值。

阅读课本61-62页问题2，回答以下问题：问题2. 在图2中，当直角三角形中一个锐角的大小发生变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗？结论：ACECAC DC _____直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而________D BC A （图1）（图2）阅读课本62页图23-4下面四行和最后五行，回答以下问题：如图3，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为_____________在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的____与___的比叫做∠A 的正切.记作____ tanA ＝()()()==∠∠BCA A 的邻边的对边在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的____与____的比叫做∠A 的余切.记作____. cotA ＝()()()()()bA A==∠∠的的想一想，再回答：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的正切和余切的数量关系是________∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？_____________例题讲解例题1.在Rt ⊿A BC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值.例题2.在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值.练习反馈如果Rt ⊿ABC 的各边的长都扩大为原来的k 倍，那么锐角A 的正切、余切值是（）都扩大为原来的k 倍 B.都缩小为原来的k 倍 C.没有变化 D.不能确定2.如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则cotA ＝（）CB A A BC 斜边 c 对边 ab 邻边（图3）A ．35B ．45C ．34D ．433.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43 D ． 54.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为点D,则____________________,,__________===CDADBC AC BD CD(用正切或余切表示）课堂小结今天这节课你有什么收获？你还有什么疑问吗？拓展训练1.等腰三角形腰长与底边之比是5:6，则底角的正切值等于__________2.如图，已知点P 到x 轴的距离为10，3cot =α，则点P 的坐标为________ α在Rt △ABC 中，∠C=900，tanA=2,AB=4,那么AC=__________设△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c,且897ac c b b a +=+=+,求∠A 的余切。

锐角的三角比的意义(教案)

不论Rt ABC的边长怎样变化生：当直角三角形的一个锐角的大小确定时这个锐角的邻边与对边的比值也是确定
显然,
AC DC 与AC
EC
这两个比值是不同的一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化. 师板书：我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切
我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切(cotangent).锐角
师：思考 (1)同一个角A 的正切与余切有什么关系？互余的两个角A 与B,一个角的正切与另一个角的余切有什么关系？
若∠A+∠B=90°, 则 tanA=cotB.
的值.
已知B （0，2），tan ∠BAO=2
1。

Y。

沪教版九年级上册数学-25.1-25.2-锐角的三角比的意义-求锐角的三角比的值-教学案

沪教版(上海)九年级上册数学-25.1-25.2-锐角的三角比的意义-求锐角的三角比的值-教学案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--锐角的三角比的意义求锐角的三角比的值教案【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A bA A a∠==∠的邻边的对边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边； cot B a B B b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A •不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯B Ca b c上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、、2cot A（）常写成、、、2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角cotα30°45°1160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：sin cos tan,cotcos sinA AA AA A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略例题1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B ．C ．D ．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．Cabc类型二、特殊角的三角函数值的计算例题2．求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°；(3)+cot30°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==﹣．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=2，cosA=2，sinB=2，cosB=2．类型三、锐角三角函数之间的关系例题3．已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0（1）试判断△ABC 的形状．（2）求（1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用例题4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CDPA AB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．例题5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA BD AD ==．【总结】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

25.1(1)锐角的三角比的意义教案22

上海市罗泾中学九年级数学上册 251 锐角三角比的意义(第1课时)教案 沪教版五四制.doc

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