数学：第11讲平面直角坐标系

【解析】(1)格点图形△A′B′C′是由格点图形△ABC先绕B 点逆时针旋转90°，然后向右平移13个单位长度(或格)得到 的. (先平移后旋转也行) (2)设过A点的正比例函数解析式为y=kx,
将A(－5，2)代入上式得2=－5k, k －2 .
5
∴过A点的正比例函数的解析式为： y 2 x.
=200米/分钟.回家过程中平路所需时间与上学时所需时间
相同，都是8分钟，回家上坡路所需时间是800÷80=10分钟，
下坡路所需时间是400÷200=2分钟，所以共需时间是
8+10+2＝20分钟.
9.(2010·南京中考)如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正 下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变
答案：(4，0)或(4，4)或(0，4)(只要写出一个即可)
函数图象信息
1.对于函数图象信息题,要充分挖掘图象所含信息,通过读图、 想图、析图，找出解题的突破口.
2.观察图象时要注意观察横轴、纵轴的意义以及一些特殊点
的坐标.
3.函数图象信息题,通常是以其他学科为背景，因此，熟悉相
关学科的有关知识对解题很有帮助.
方法二：用方向和距离表示.
比如:B点位于A点的东北方向(北偏东45°等均可)，距离A点
3 2 处.
4.(2010·自贡中考)如图在平面直角 坐标系中，□MNEF的两条对角线ME， NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，
则点N的坐标为(
(A)(－3，－2)
)
(B)(－3，2)
(C)(－2，3)
(D)(2，3)
2.平行于x轴的直线上的点的特征:纵坐标相等;平行于y轴的
直线上的点的特征:横坐标相等.
【例1】(2010·深圳中考)已知点P(a-1，a+2)在平面直角坐 标系的第二象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为(阴影 部分)( )
【思路点拨】
【自主解答】选C.由题意得 解得-2＜a＜1,故选C.
与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位
置，则张老师散步行走的路线可能是( )
【解析】选D.由图形知张老师出门散步时，开始离家越来越 远，然后有一段时间离家的距离保持不变，最后回到家中， 四个选项中只有D符合题意.
4.(2010·黄冈中考)函数 y x 3 的自变量x的取值范围是
结合近几年中考试题分析，对平面直角坐标系内容的考
查主要有以下特点：
1.命题方式为平面直角坐标系中图形的位置的确定,用坐 标表示图形的平移,用图象刻画函数,用函数揭示变量的关系 的考查.题型主要以选择题、填空题为主. 2.命题的热点为运用数形结合思想确定平面内图形的位 置,运用函数思想研究变量之间存在的规律.
【解析】点A′的横坐标为-3+4=1，点A′的纵坐标为
2-3=-1，即点A对应点A′的坐标为(1，-1). 答案：(1，-1)
5
△DEF各顶点的坐标为：D(2，－4)，E(0，－8)，F(7，－7).
1.(2010·金华中考)在平面直角坐标系中，点P(－1，3)位于 ( (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限 )
【解析】选B.点P横坐标小于0，纵坐标大于0，故点P(－1，3) 位于第二象限.
2.(2010·德化中考)已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线
【解析】选A.由题意知,点N与点F关于原点对称,关于原点对
称的两点的横、纵坐标都互为相反数,因为点F的坐标是
(3，2)，所以点N的坐标为(－3，－2).
5.(2010·西宁中考)如图是小刚的一张脸，他对妹妹说“如
果我用(0，2)表示左眼，用(2，2)表示右眼，那么嘴的位置
可以表示成( )
(A)(1，0) (C)(-1，1)
Байду номын сангаас
3.(2010·沈阳中考)在平面直角坐标系中，点A1(1,1)， A2(2,4)，A3(3,9)，A4(4,16)，„,用你发现的规律确定点A9 的坐标为_____.
【解析】由题意知An的横坐标为n,纵坐标为n2,所以A9的坐标
为(9,81).
答案：(9,81)
坐标的计算
1.根据坐标确定平面直角坐标系内的点,先在x轴上找到与横 坐标对应的点,然后过该点作x轴的垂线,再在y轴上找到与纵
AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点
F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图 象中，大致表示y与x之间的函数关系的是( )
【解析】选A.由题意知AE=PE=BF,PF=BE=CF,所以y=2x,故选A.
3.(2010·济宁中考)如图，是张老师出门散步时离家的距离y
察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴，边长为1的正方
形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为 3的正方形内部有9个整点，„„则边长为8的正方形内部的整 点的个数为( (A)64 ) (B)49
(C)36
(D)25
【解析】选B.边长为奇数的正方形边上有0个整点，边长为2 的正方形边上有8个整点，边长为4的正方形边上有8+8个整点， 边长为6的正方形边上有8+8+8个整点，所以边长为8的正方形 内部的整点的个数为49.
用时间与路程关系如图所示.放学后， 他沿原路返回，且上坡、下坡、平路 的速度分别与上学时保持一致，那么他从学校到家用的时间 是( ) (B)17分钟 (C)18分钟 (D)20分钟
(A)14分钟
【解析】选D.上坡路400米，下坡路1 200-400＝800米；上 坡、下坡的速度分别是400÷5=80米/分钟，800÷(9-5)
1.(2011·广州中考)将点A(2，1)向左平移2个单位长度得到
点A′，则点A′的坐标是( )
(A)(0，1)
(C)(4，1)
(B)(2，-1)
(D)(2，3)
【解析】选A.将点A向左平移2个单位长度得到A′，则点A的 坐标的横坐标减少2个单位长度，纵坐标不变，所以点A′的 坐标为(0，1).
2.(2010·昭通中考)在如图所示的
问题的能力.
Grammar
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点的坐标的特征
1.点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|;
x 1
_____. 【解析】要使函数 y x 3 有意义，
x 1
必须x-3≥0且x+1≠0,所以x≥3. 答案：x≥3
5.(2010·宿迁中考)在平面直角坐标系中，线段AB的 端点A的坐标为(-3,2)，将其先向右平移4个单位，再
向下平移3个单位，得到线段A′B′，则点A对应点
A′的坐标为_____.
1.平面直角坐标系的建立是研究函数及运用数形结合思 想的主要手段,所以掌握点的坐标、用坐标系描述平面图形的 位置及函数的概念是学好本讲内容的关键.尤其是要灵活掌握 运用坐标定位方法来描述图形的位置及平移变化. 2.运用点的坐标的特征揭示图形的位置、性质是中考的
热点,因此,应通过相应的题目强化训练,以达到提高解决相关
a 1 0 ， a 2 0
1.(2011·宁波中考)平面直角坐标系中，与点(2，-3)关于原 点中心对称的点是( (A)(-3，2) ) (B)(3，-2)
(C)(-2，3)
(D)(2，3)
【解析】选C.∵关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为
相反数，故选C.
2.(2011·武汉中考)在直角坐标系中，我 们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.且 规定，正方形的内部不包含边界上的点.观
【思路点拨】由图象明确看出小亮从家到公交站台的时间、 路程，小亮在公交站台休息的时间，从公交站台到学校的时 间、路程，然后根据上述条件逐一验证.
【自主解答】选D.公交车的速度为 8 1 1 000 500m / min.
30 16
7.(2011·重庆中考)为了建设社会主义新农村，我市积极推 进“行政村通畅工程”.张村和王村之间的道路需要进行改造， 施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施 工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造.
【例3】(2011·盐城中考)小亮从家步行到公交车站台，等公 交车去学校.图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间 t(min)之间的函数关系.下列说法错误的是( (A)他离家8 km共用了30 min )
(B)他等公交车时间为6 min
(C)他步行的速度是100 m/min
(D)公交车的速度是350 m/min
【例】(2010·武汉中考)(1)在平面直角坐标系中，将点 A(-3，4)向右平移5个单位到点A1，再将点A1绕坐标原点顺时 针旋转90°到点A2，直接写出点A1，A2的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，将第二象限内的点B(a,b)向右平移
m个单位到点B1，再将点B1绕坐标原点顺时针旋转90°到点B2，
化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为(
)
【解析】选A.小亮从点A走向路灯C的正下方,他的影长y随他
与点A之间的距离x逐渐变小，到点C正下方时y为0，小亮从点
C正下方到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x逐渐变大，
只有选项A符合题意.
用坐标表示平移
1.点的坐标变化与点的左右或上下平移密切相关，应注意图 形各个点的坐标变化与图形平移的关系，并能熟练地解决与 平移有关的问题. 2.点的坐标变化与点平移的关系是数形结合思想的应用 .
【思路点拨】(1)用有序实数对(a，b)表示物体位置时,首先 要建立平面直角坐标系,然后根据点的位置确定点的坐标. (2)用方向和距离表示物体位置时,要先确定B点位于A点的方 向,再确定点B到点A的距离.
【自主解答】方法一：用有序实数对(a，b)表示. 比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则 B(3，3).
(B)(-1，0) (D)(1，-1)
【解析】选A.由题意知坐标原点在左眼下两个单位,所以嘴的 位置可以表示成(1，0).
6.(2010·泰州中考)已知点A、B的
坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A、
B、P为顶点的三角形与△ABO全等，
写出一个符合条件的点P的坐标：
_____.
【解析】因为点A、B的坐标分别为(2，0)，(2，4),所以 OA=2,AB=4,根据全等的定义知,符合条件的点P有3个(如图)
直接写出点B1，B2的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，将点P(c,d)沿水平方向平移n个单 位到点P1，再将点P1绕坐标原点顺时针旋转90°到点P2，直接 写出点P2的坐标.
【思路点拨】解题时要根据由特殊到一般的思想，结合图形，
找出一般规律.
【自主解答】(1)点A1的坐标为(2，4)，点A2的坐标为 (4，－2)； (2)点B1的坐标为(a+m，b)，点B2的坐标为(b，－a－m)； (3)点P2的坐标为(d，－c－n)或(d，－c＋n).
坐标对应的点,然后过该点作y轴的垂线,两条垂线的交点处就
是所求的点的位置.
2.根据点确定坐标:过已知点分别作x轴和y轴的垂线,对应到
坐标轴上的数分别是它们的横坐标和纵坐标.
【例2】(2010·杭州中考)常用的确定物体位置的方法有两种. 如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两
点.请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置.
方格图中，每个小正方形的顶点称 为“格点”，且每个小正方形的边 长均为1个单位长度，以格点为顶 点的图形叫做“格点图形”，根据 图形解决下列问题：
(1)图中格点图形△A′B′C′是由格点图形△ABC通过怎样变
换得到的？ (2)如果建立直角坐标系后，点A的坐标为(－5，2)，点B的坐 标为(－5，0)，请求出过A点的正比例函数解析式，并写出图 中格点图形△DEF各顶点的坐标.
下面能反映该工程尚未改造的道路里程y(公里)与时间x(天)
的函数关系的大致图象是( )
【解析】选D.y所表示的是尚未完成的任务，所以应该向下， 所以A错；中间有一段时间停工，所以B错；后来加快了施工 进度，所以C错.
8.(2011·内江中考)小高骑自行车从
家上学，先走上坡路到达A，再走下
坡路到达B，最后平路到达学校，所