人教版初中数学九年级第二十七章-相似-习题-含答案

第二十七章-相似-习题-含答案专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A ，B ，D ，E 四点在⊙O 上，AE ，BD的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．(1)求证CD CE AC CB=； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围． 分析 利用△CDE ∽△CAB ，可证明CD CE AC CB=． 证明：(1)∵∠EDC ＝∠BAO ，∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAB ，∴CD CE AC CB=. 解：(2)∵AE ＝8，OC ＝12，∴AC ＝12+4＝16，CE =12－4＝8．又∵CD CE AC CB=， ∴CD ·CB ＝AC ·CE ＝16×8＝128． 连接OB ，在△OBC 中，OB ＝12AE ＝4，OC =12， ∴8＜BC ＜16． 【解题策略】 将证CD CE AC CB=转化为证明△CDE ∽△CAB . 专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如22a c b d =，33a c b d =或abc def =1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a c b d=，可设法证a c b x =，a x b d =，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x 便是证题的关键。

例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC 中，过A 作AD ⊥BC ，过C 作CE ⊥AB ，又作DF ⊥CE ，FG ⊥AD ，求证23FG BD AG AD =． 分析 欲证23FG BD AG AD =，可将其分成三个比例式BD FG AD x =，BD y AD AG =，BD x AD y =，再将三式相乘即可．不难得知x 就是CD ，而线段y 在原图中没有，由相似关系可延长FG 交AB 于K ，则y 就是GK ，只要证明BD GD AD GK=就可以了． 证明：延长FG 交AB 于K ，连接DK ，∵DF ⊥EC ，BE ⊥EC ，∴DF ∥BE ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴EF ＝C F ．∵FG ∥BC ，∴∠1＝∠2，∴Rt △FDC ≌Rt △E K F ，∴K F ＝DC ，∠3＝∠4，∴四边形K FCD 是平行四边形，∴∠2＝∠5，∴∠EKD ＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，∴DK ⊥AB ，∴DF ∥AB ，∴∠BAD ＝∠FDG ，∴Rt △ADB ∽Rt △DGF ，∴BD FG AD GD=．① ∵GK ∥BD ，∴△AKG ∽△ABD ，∴BD KG AD AG=．② 在△ABD 中，∠ADB ＝90°，DK ⊥AB ，∴△ADB ∽△AKD ． 又△AKD ∽△KGD ,△ADB ∽△KGD ，∴BD CD AD KG=．③ 由①×②×③，得33BD FG AD AG=． 例3 如图27－98所示，在△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C =1：2：4，求证111AB AC BC +=.分析 原式等价于BC BC AB AC +＝1，也就是BC AC BC AB AC-=，在CA 上取一点D ，使CD ＝BC ，原式就变成BC AD AB AC=，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB 的平分线CE ，交AB 于点E ，连接DE ，显然有△BCE ≌△DCE ，从而易证AD ＝DE ＝CE ，于是只需证BC CE AB AC=即可． 证明：∵∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：4，∴设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝4x作CE 平分∠BCA ，交AB 于E ，在AC 边上取一点D ，使CD ＝CB ，连接DE ，∴△DCE ≌△BCE ，∴∠CDE ＝∠B ＝2x ，∠DEC ＝∠BEC =3x ，又∠CDE ＝∠A +∠DEA ，∴∠DEA ＝x ，∴AD ＝DE ，又∵DE ＝EC ，∴AD ＝CE ．在△ABC 和△ACE 中，∠CAB ＝∠CAE ，∠ACE ＝∠B ＝2x ，∴△ABC ∽△ACE ，∴BC CE AB AC =， 即BC AD AC CD AC BC AB AC AC AC --===， ∴BC AC BC AB AC AC =-,∴BC BC AB AC +=1 即111AB AC BC+=. 二、规律方法专题专题3：相似三角形的性质【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．例4 如图27－99所不，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm分析 由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，DE AD BC AB =．因为12AD BD =，所以13AD AB =,所以13DE BC =．因为DE =4 cm ，所以BC =12 cm 故选B.例5 如图27－100所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12 cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC.(1)求∠EDB 的度数；(2)求DE 的长．分析 (1)由DE ∥BC ，得∠EDB ＝∠DBC ＝12∠ABC ，可求∠EDB ．(2)由DE ∥BC ，得△ADE △ACB ，则DE AE BC AB=，再证出BE ＝DE ，可求DE ． 解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC .∵BD 平分∠ABC ，∴ ∠DBC ＝12∠ABC ＝12×80°＝40°，∴∠EDB ＝40°． (2)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴BE ＝DE ．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AE AB BE AB DE BC AB AB AB --===. ∴121212DE DE -=，∴DE =6 cm 【解题策略】 将比例式中的AE 转化为AB －DE ，逐步由未知转化为已知，建立关于DE 的关系式来求解．例6 如图27－101所示，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ，求证△ABC ∽△FDE ．分析 由已知可证∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ，从而可证△ABC ∽△FDE ．证明：∵FD ∥AB ，FE ∥AC ，∴∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ，∴△ABC ∽△FDE ．例7 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．分析 由矩形的性质可知∠BAD ＝∠D ＝90°，再由BF ⊥AE 可证∠AFB ＝∠D 和∠DAE ＝∠FBA ，从而证明△ABF ∽△EAD ．证明：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝∠D =90°，∵BF ⊥AE ，∴∠AF B ＝∠D ＝90°，∴∠ABF +∠BAE ＝90°．又∵∠DAE +∠BAE ＝∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，∴△ABF ∽△EAD ，三、思想方法专题专题4 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．例8 在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有 条．分析 如图27－103所示，过点D 作AB 的平行线，或过点D 作DF ∥BC ，或作∠CDH ＝∠B ，或作∠ADG ＝∠B ，故填4．专题5 建模思想【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．例9 如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A ，B 间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A ，B 间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A ，B 两点的点O ，连接OA ，OB ，分别在OA ，OB 上取中点C ，D ，连接CD ，并测得CD＝a ，由此他知道A ，B 间的距离是( )A ．12a B ．2a C ．a D ．3a 分析 ∵D ，C 分别为OB ，OA 的中点，∴CD 是△ABO 的中位线，∴CD ＝12AB ，∴AB ＝2CD ＝2a ．故选D ．【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决．例10 如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1．6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，求旗杆AB 的高度．分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长．解：因为CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，所以CD ∥AB ，所以△CGE ∽△AHE ，所以CG EG AH EH =， 即CD EF FD AH FD BD-=+， 所以3 1.62215AH -=+，解得AH ＝11．9， 所以AB ＝AH +HB ＝AH +EF ＝11.9+1.6＝13.5(m)．故旗杆AB 的高度为13．5 m ．专题6 转化思想【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．例11 如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ． 分析 要证BO 2＝OF ·OE ，只需证OF OB OB OE=，而OB ，OE ，OF 在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF ∽△COB 和△AOB ∽△COE ，即有OF AO OB OC =，OB AO OE OC =，从而得证． 证明：在ABCD 中，AB ∥CE ，AD ∥BC ，∴△AOF ∽△COB ，△AOB ∽△COE ，∴AO OF OC OB =，AO OB OC OE =， ∴OF OB OB OE=， ∴OB 2＝OF ·OE ．例12 在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为 ( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6分析 由AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，得△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，则41ABC DEF S S =△△，所以S △DEF ＝124＝3，△DEF 的周长为162＝8．故选A ． 例13 已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4：25，则△ABC 与△DEF 的相似比为 ．分析 利用相似三角形的性质求解．故填2：5．例14 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，则AB ：A ′B ′＝ ．分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，得AB ：A ′B ′＝1：2.故填1：2.2011中考真题精选1. （2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是（ ）考点：相似图形分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．解答：解：∵图中的箭头要缩小到原来的错误！未找到引用源。