统计假设检验中小概率原理的辨析_吴启富

统计与决策２０12年第17期·总第365
期
统计假设检验中小概率原理的辨析
吴启富，张玉春
（首都经济贸易大学统计学院，北京100070）
摘要：假设检验是统计学的核心内容之一，其基本逻辑就是小概率原理，文章从观察数据与原假设的差
异与相应概率的联系分析中，阐述了统计假设检验的小概率原理，揭示了假设检验的内在方法论基础。

关键词：假设检验；差异；小概率原理中图分类号：O211文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2012）17-0070-02
作者简介：吴启富（1966-），山西汾阳人，硕士，教授，研究方向：统计基本理论、社会统计。

张玉春（1974-），山西灵丘人，博士，副教授，研究方向：统计基本理论、金融工程。

0引言
统计假设检验是经典统计学的核心内容，也是现代统计学各种方法的基础，广泛应用在医药、工程、经济学等众多领域。

但其哲学方法论基础和数学原理是人们理解该方法的难以逾越的门槛，使得统计假设检验成为学习概率论与数理统计课程的难点之一，对其基本思想的不正确理解，造成许多统计方法的滥用。

本文将重点从假设检验的基本逻辑角度分析其小概率原理。

对于假设检验的研究是统计教学研究的重点内容之一。

但更多的学者是从检验假设的建立或针对检验中的两类错误等展开研究，如王静等分析了原假设与备择假设的辩证关系，杨少华等研究了原假设与备择假设的交换问题，甘伦知探讨了第二类错误的控制问题。

樊明智等则从区间估计角度分析了假设建立的方法。

而对于假设检验中最基本的小概率原理探讨比较少，从仅有的文献看多是从具体应用方面或公式验证角度分析，如史智才等从经济学角度分析了小概率事件的收敛性，徐波研究了小概率事件的概率分布。

从现有《统计学》教材看，大多侧重于假设检验的操作和检验结果的正确理解方面。

如国内比较通用的贾俊平编著的《统计学》主要介绍了假设的建立、统计量的计算和软件的操作。

另一本常用教材吴喜之编著的《统计学：从数据到结论》在简要介绍了假设检验的基本逻辑之后，主要讲解了各种情况的软件操作，而对统计假设检验的最基本原理——小概率原理论述不够深入。

本文主要结合笔者多年统计学教学体会从样本观察数据与原假设之差异及其对应概率的联系方面讨论统计假设检验的小概率原理。

1小概率的本质含义
统计假设检验就是针对所研究的问题，提出一个“命
题”或曰“假设”，然后抽取样本，观察样本数据与所提出的假设的不一致程度，如果二者相差甚远，即二者差异已经达到“足够大”的程度，就说明原来提出的假设是不成立的。

这种判断假设真伪的思路实际上就是我们要探讨的“小概率原理”。

所谓“小概率原理”就是某个事件如果在随机试验中发生的概率很小，那么该事件在一次随机试验中是不应该出现的（本应该说出现的概率很小，但如果小到一定程度，就可以说在很大程度上是不会发生的）。

利用小概率原理来判断是否应该拒绝所提出的假设即原假设，主要在于判断所抽取的样本数据与原假设的差异是否足够大，对于二者差异大小的判断有两个表象不同但本质一致的尺度：统计量和概率。

统计量是由随机抽样所得的样本数据构造的函数，可以测度来自某总体的样本长远而稳定的信息，如样本均值、样本方差、样本比率等，以及在此基础上构造的t 、χ2、F 等统计量。

统计量是由样本数据构造的，而样本
数据是随机抽取的，所以样本数据是不确定的、随机的，由其计算所得的统计量也就是随机的。

而总体参数是确定但未知的，假设的命题即原假设中关于总体参数的假定是确定而且明确的，一般来讲二者是不一致的。

造成样本统计量数值与假定的总体参数数值不一致的原因有两个：随机差异和条件差异。

不同的原因产生的差异程度不同，一般情况下，随机差异经常存在，但差异程度不大，条件差异不一定存在，但一旦存在，造成的差异就会比较大。

所以，统计量数值与假定总体参数数值差异较小时，不能判定原假设有错（注意不是说判定原假设是对的），如果二者差异较大，说明除随机差异外还有其他原因造成的条件差异，即说明原来的假定存在问题，也就是说根据样本数据可以否定原假设。

但是直接根据统计量的数值与原假设中假定的总体参数的数值比较，很难断定差异的程度大小，比如推断某
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次学生考试的平均成绩，提出原假设：μ=80。

为了验证该假设是否确实，随机抽取36名学生的考试成绩，计算的平均成绩为70分，二者相差10分，这10分的差异算不算大呢？这就需要借助概率来分析。

在正常条件下，即原假设成立的前提下，样本统计量与总体参数之间的差异比较小，即该差异较小的概率较大，而该差异较大的概率很小，也就是说在一次试验中，样本统计量与假定的总体参数的差异如果较大，则说明产生差异的原因不只是随机因素，应该还有其他原因。

但这种判断不是绝对正确，有可能是错误的。

犯这种错误的可能性大小取决于事先规定的小概率事件“小”的程度。

这种判断小概率的标准就是统计假设检验中所谓的显著性水平。

这种显著性水平就为我们判定差异的大小提供了标准。

这样就产生了判断差异大小的第二个尺度——概率。

如果在原假设成立的前提下计算的出现样本数据的概率（即统计检验中所谓的P 值）小于所规定的显著性水平（一般用α表示），即P<α，表明在原假设成立的前提下，出现样本这种情况的的可能性很小，产生差异的原因不只是随机误差，应该还存在其他条件差异，说明原假设不正确，即我们有足够的证据否定原假设。

如果P>α，表明在原假设成立的前提下，出现样本这种情况是很正常的，二者的差异仅仅是由于随机原因产生的，样本数据不足以否定原假设，我们不能说原假设是错的。

差异大小与
相应概率的关系如下图所示：
在实际抽样中，我们抽到的是对客观现象度量的客观数据，如上例所说的考试分数，或者其他的如重量（千克）、距离（cm ）等等，并不是概率。

为了将观察到的数据即统计量的数值转换成能够判断差异大小的概率，需要将其标准化，如上例学生考试的成绩，我们假定总体平均成绩为80分，而抽样的样本平均成绩为70分，二者相差10分，如果原假设是正确的，那么样本均值离开总体均值达到10分及10以上差距的概率多大呢？为求其概率，我们首先要将该差异标准化，即：
z =
x 其中，x ˉ为样本均值，即x ˉ=70;μ0为假定的总体均值，即μ0=80;n 为样本容量，即n =36;σ为总体数据的标准差，若σ未知时可用样本标准差s 替代。

如果假设s =30，
则：z
=x ˉ-μ
==2
由抽样分布的知识可知z 为服从标准正态分布的统计量，即z ~N (0,σ2
n
)，由此可知：
p (||z >2)=p (z >2)+p (z <-2)=1-95.45%=4.55%
上式表明，样本均值离开总体均值的距离达到或超过10分的概率仅为4.55%，也就是说如果总体均值确实是80分的话，我们重复抽取100个样本，仅有4到5个样本的均值会达到相差10分的程度。

如果我们规定5%为小概率的标准，那么4.55%就为小概率，据此我们就可以说如果原假设正确，即总体均值确实为80分，出现这样的样本是小概率事件，在一次抽样中是不应该出现的，但现实是我们确实抽到了这样的样本，在此情况下，我们是相信原先的假定呢，还是相信眼前的事实呢？很显然我们只能相信事实，即认为原先的假定是不成立的，理所当然做出否定原假设的结论。

2结论
综上所述，假设检验的依据是小概率原理，其具体判断方法有两种：一是直接根据样本观测值与假设之间的距离大小判断，距离越大，拒绝原假设的理由越充分；二是将二者之间的距离转换成概率来判断，概率越小，拒绝原假设的理由越充分。

那么根据样本数据我们否定原假设是不是100%的正确呢？不是，因为正如上文所言，样本数据是随机抽取的，是不确定的，有其偶然性。

即即使关于总体参数的原假设是正确的，远离其假定值的样本数据也有可能出现，只不过是在一次抽样中出现的可能性很小，我们根据样本数据做出拒绝原假设的结论是有可能犯错误的，但犯这种错误的概率很小，小到我们所认为的“小的程度”。

如果出现了小概率事件而我们不拒绝原假设，那么犯错误的概率就会
很大，两害相权取其轻，我们自然会选择拒绝原假设的结论。

由此也可以发现，对于统计检验的结论，只有在概率的意义上是成立的，不能教条地理解，要灵活的应用。

参考文献：
[1]王静,史济洲.设立原假设中的辩证分析[J].统计研究,2010,(6).[2]杨少华,杨林涛.参数假设检验中原假设与备择假设的交换问题[J].统计与决策,2009,(5).[3]甘伦知.假设检验中控制第二类错误的探讨[J].统计与决策,2011,(22).
[4]樊明智,王芬玲.区间估计与假设检验[J].统计与决策,2006,(12).
[5]史智才,肖诗顺.基于小概率事件的方法论[J].统计与决策,2012,(1).[6]徐波.假设检验中的小概率事件[J].黔西南民族师范高等专科学校学报,2009,(3)
[7]贾俊平.统计学（第3版）[M].北京：中国人民大学出版社，2008.[6]吴喜之.统计学：从数据到结论（第2版）[M].北京：中国统计出版
社，2006.
（责任编辑/亦民）
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