高中数学解题思想方法技巧：西瓜开门 滚到成功
数学破题36计(183页电子版超级秘笈)
第 1 计 芝麻开门 点到成功
●计名释义 七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”， 讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这 些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
(n 1)Cnr (n 1)Cnx nCnr 1
11
11
11
有 (n 1)Cnr 2
(n 1)Cnx 2
数学破题 36 计
目录
第 1 计 芝麻开门 点到成功........................................................................................................... 1 第 2 计 西瓜开门 滚到成功........................................................................................................... 4 第 3 计 诸葛开门 扇到成功........................................................................................................... 7 第 4 计 关羽开门 刀举成功........................................................................................................... 9 第 5 计 才子开门 风情万种......................................................................................................... 13 第 6 计 勇士开门 手脚咚咚......................................................................................................... 15 第 7 计 模特开门 见一知众......................................................................................................... 17 第 8 计 小姐开门 何等轻松......................................................................................................... 19 第 9 计 瞎子开门 伸手摸缝......................................................................................................... 22 第 10 计 聋子开门 慧眼识钟 ...................................................................................................... 26 第 11 计 耗子开门 就地打洞 ...................................................................................................... 27 第 12 计 小刀开门 切口启封 ...................................................................................................... 30 第 13 计 钥匙开门 各归各用 ...................................................................................................... 34 第 14 计 鲜花开门 情有独钟 ...................................................................................................... 37 第 15 计 驿站开门 望蜀得陇 ...................................................................................................... 39 第 16 计 摆渡开门 萍水相逢 ...................................................................................................... 41 第 17 计 化归开门 江山一统 ...................................................................................................... 46 第 18 计 转换开门 亦必亦充 ...................................................................................................... 47 第 19 计 模式开门 请君入瓮 ...................................................................................................... 49 第 20 计 讨论开门 防漏防重 ...................................................................................................... 54 第 21 计 图表开门 信息传送 ...................................................................................................... 56 第 22 计 数形开门 体美神丰 ...................................................................................................... 58 第 23 计 探索开门 智勇双锋 ...................................................................................................... 62 第 24 计 杠杆开门 以轻拨重 ...................................................................................................... 67 第 25 计 函数开门 以静显动 ...................................................................................................... 70 第 26 计 数列开门 前后跟踪 ...................................................................................................... 74 第 27 计 方程开门 欲擒故纵 ...................................................................................................... 78 第 28 计 三角开门 八面玲珑 ...................................................................................................... 81 第 29 计 向量开门 数形与共 ...................................................................................................... 87 第 30 计 统计开门 存异求同 ...................................................................................................... 90 第 31 计 解几开门 轨迹遥控 ...................................................................................................... 94 第 32 计 立几开门 平面来风 ...................................................................................................... 98 第 33 计 导数开门 腾龙起凤 ....................................................................................................104 第 34 计 参数开门 宾主谦恭 ....................................................................................................107 第 35 计 符号开门 来意弄懂 ....................................................................................................113 第 36 计 思想开门 人数灵通 ....................................................................................................115
高中数学解题思想方法技巧：导数开门腾龙起凤
高中数学解题思想方法技巧：导数开门腾龙起凤数学破题36计第33计导数开门腾龙起凤
计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.
典例示范
x【例1】 (2005年北京卷)过原点作曲线y=e的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为 .
【分析】本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.果想到导数的几何意义，我们不妨一试.
x【解答】对于未给定切点的要先求导数，即y′=(e)′.
xxxxx0000设切点为(x，e)，y′=e，y=e. 则切线方程为y-e=e(x-x), 0x=
x00
xxx000?切线过(0，0)点，0,e=e(0-x)，?x=1，?e=e,?切点坐标为(1，e),切线斜率为e. 00
【点评】求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.
13【例2】若函数f (x)=loga(x-ax) (a>0,a?1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是 ,2
( )
1399，,，,••••••,1,1A. B. C. D. (•,••，,)(••1••,•••),,,,4444，,，,
32【解答】 B 设u=x-ax，则u′=3x-a.
113222当a>1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x-a>0，即a<3x在上恒成立.又0<3x<，(,•,•0)(,•,•0)422
高中数学解题常用的几种解题思路和技巧
高中数学解题常用的几种解题思路和技巧高中数学解题常用的几种解题思路如下：
1、调理大脑思绪，提前进入数学情境
考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
2、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神
良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
3、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场
集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
4、一“慢”一“快”，相得益彰
有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。
高考数学解题36计经典版
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［插语］在这类 f (x)的函数中， 我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ， (x-1) 3 ， 自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由 f （x）= 0 找最值点 x =0，由 f （x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ （i）若 f (0)= f (1)= f (2)，即选 B，C，则常数 f (x) = 1 符合条件. （右图水平直线） （ii）若 f (0)= f (2)< f (1)对应选项 A.（右图上拱曲线），但不满足条 件(x-1) f （x）≥0 若 f (0)= f (2)> f (1)对应选项 C， D（ 右图下拱曲线） . 则满足条件(x-1) f （x）≥0. ［探索］ 本题涉及的抽象函数 f (x)，没有给出解析式，只给出了它 的一个性质：(x-1) f （x）≥0，并由此可以判定 f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然， 有这种性质的具体函 数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数. ［变题］ 以下函数 f (x)，具有性质(x-1) f （x）≥0 从而有 f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
数学破题36计
第2计西瓜开门滚到成功
●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球。因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”。球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”。
数学命题是二维的。一是知识内容，二是思想方法。基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想。数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号。
●典例示范
［题1］（2006年赣卷第5题）
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f'（x）≥0，则必有
A．f（0）＋f（2）< 2f（1）B．f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C．f（0）＋f（2）≥ 2f（1）D．f（0）＋f（2）>2f（1）
［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想。这点在已条件（x－1）f＇（x）≥0中暗示得极为显目。
其一，对f＇（x）有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x－1，也有大于、等于、小于0三种情况。
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论。
［解一］（i）若f＇（x）≡0时，则f（x）为常数：此时选项B、C符合条件。
（ii）若f＇（x）不恒为0时。则f＇（x）≥0时有x≥1，f（x）在[)∞,1上为增函数；f＇（x）≤0时x ≤1．即f（x）在(]1,
-∞上为减函数。此时，选项C、D符合条件。
综合（i），（ii），本题的正确答案为C。
［插语］考场上多见的错误是选D．忽略了f＇（x）≡0的可能。以为（x－1）f＇（x）≥0中等号成立的条件只是x－1=0，其实x－1=0与f＇（x）=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇（x）≡0。
思维突破：高考数学解题必会的五种思考方式
某日，一位数学老师在课上向学生们传授解题思路，他兴致勃勃地说道：“同学们，今天我要告诉你们高考数学解题必会的五种思考方式，这可是考试成功的关键哦！”
“首先，第一种思考方式是**逻辑推理**。就像你们看到一只鸡过马路时，要想清楚它为什么要过马路，而不是问‘为什么鸡会过马路’。”
“其次，第二种思考方式是**抽象概括**。比如，把披萨分成无限多份，然后问自己需要无限多少份才够吃。”
“接着，第三种方式是**几何思维**。当你走进一个圆形的房间时，不要想着找角落，而是想着怎样从门口一步跨入中心。”
“第四种方式是**实际应用**。比方说，假设你是一个数学家，但你又饿了，那么你就需要用数学知识计算出怎样才能最快吃到披萨。”
“最后，第五种思考方式是**简化问题**。比如，如果你觉得数学题太难了，不妨把它变成画画或者玩游戏，再回头来看看，也许就顿时明朗了。”
老师讲完后，学生们都对这些思考方式感到茅塞顿开，纷纷表示自己受益匪浅。但就有一名学生深思熟虑后举手问到：“老师，您说的这五种思考方式，可不可以都用在做一道数学题上？”
老师一脸懵逼地看着学生，沉默了片刻后回答：“当然可以，但那样的话，谁还需要解题呢？直接笑死吧！”
数学解决高中数学难题的四大思维技巧
数学解决高中数学难题的四大思维技巧
在高中数学学习中，我们经常会遇到各种各样的数学难题，有些难题看起来很棘手，令人困惑。然而，只要我们掌握一些有效的思维技巧，就能够更轻松地解决这些难题。本文将介绍数学解决高中数学难题的四大思维技巧，帮助我们在数学学习中取得更好的成绩。
一、问题分解法
解决数学难题的第一个思维技巧就是问题分解法。当我们面对一个复杂的数学问题时，首先要学会将其分解为几个简单的部分。可以通过分析问题的结构和特点，将问题逐步分解为更小的子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到整个问题的解答。通过问题分解法，我们可以将原来看起来复杂的数学难题变得更易于理解和解决。
二、模式识别法
数学解决高中数学难题的第二个思维技巧是模式识别法。在数学学习中，我们经常会遇到一些类似的问题或者模式。通过观察和思考，我们可以将这些问题归纳为一般性的规律和模式。当我们遇到类似的问题时，可以运用已经掌握的模式和规律，更加迅速地解决问题。通过模式识别法，我们可以从大量例题中提取出数学问题的共性，培养出敏锐的观察力和抽象思维的能力。
三、逆向思维法
逆向思维法是解决高中数学难题的第三个思维技巧。有时候我们在正常的思维定势中很难找到问题的解决方法，这时可以尝试从相反的
角度来思考。通过逆向思维，我们可以从问题的解答出发，倒推回问题的出发点，找到其中的规律和关系。逆向思维法可以帮助我们打破固有的思维模式，开阔思路，找到解决问题的新思路和方法。
四、实践反思法
解决高中数学难题的第四个思维技巧是实践反思法。数学学习需要不断的实践和反思。当我们解决一个数学难题时，即使我们得到了正确的答案，也要对解题过程进行仔细的反思。我们可以思考自己使用了哪些方法和规律，是否可以运用其他方法来解决，当中是否存在简化计算的技巧等等。通过实践反思，我们可以不断总结经验，积累解题技巧，提高解决数学难题的能力。
高中数学解题思想方法技巧：讨论开门 防漏防重
第20计 讨论开门 防漏防重
●计名释义
为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”. 分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.
分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使:
①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.
分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.
●典例示范
【例1】 已知a ∈R ，函数f (x )=x 2|x-a |.
(1)当a =2时，求使f (x )=x 成立的x 的集合； （2）求函数y =f (x )在区间［1，2］上的最小值.
【分析】 (1)只需分两种情况讨论； （2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.
【解答】 (1)当a =2时，f (x )=x 2
|x -2|=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2
)2(2)2(2
2•
x x x •x x x
当f (x )=x 时，即x 2(x -2)=x (x ≥2)或x 2(2-x )=x (x <2) x 3-2x 2-x =0，x (x 2-2x -1)=0, x 1=0(舍去），x 2=1-2(舍去），x 3=1+2.
当x 2(2-x )=x 时，∴x 3-2x 2+x =0，x (x 2-2x +1)=0，x =0或x =1. 综上所述：a =2时，f (x )=x 成立的x 的集合为{0，1，1+2}.
(2)f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-a
高中数学解题思想方法技巧：思想开门 人数灵通
第36计 思想开门 人数灵通
●计名释义
为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？
所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动. 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.
●典例示范
【例1】 有一个任意的三角形
ABC （材料），计划拿它制造一个
直三棱柱形的盒子（有盒盖）
，怎样设计尺寸（用虚线表示），
才能不浪费材料（图右上）？ 例1图
【思考】 “任意”三角形属一般情况，
它的对立面是“特殊”的三角形.
我们先从正三角形考虑起.
假设这个尺寸如图（1）所示.
（1）三棱柱的底面A 1B 1C 1的
中心G 为原三角形的中心.
（2）柱体的三侧面是三个矩形，
矩形的长与底面△A 1B 1C 1的边长对应相等.
（3）柱体的上底面（盒盖）由
三个四边形拼合，拼成后的三角形与A 1B 1C 1全等. 例1题解图（1）
经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C 1，它应满足两个条件：其一，C 1是GC 的中点；其二，C 1到∠C 两边的距离相等，
因此它在∠C 的平分线上.于是在一般的情况下，点G 应是△ABC 的内心.
高考数学破题36计完整版
高考数学破题 36 计
目录
第 1 计 芝麻开门 点到成功 .......................................................................................................................2 第 2 计 西瓜开门 滚到成功 .......................................................................................................................6 第 3 计 诸葛开门 扇到成功 .................................................................................................................... 10 第 4 计 关羽开门 刀举成功 .................................................................................................................... 13 第 5 计 才子开门 风情万种 .................................................................................................................... 18 第 6 计 勇士开门 手脚咚咚 .................................................................................................................... 22 第 7 计 模特开门 见一知众 .................................................................................................................... 25 第 8 计 小姐开门 何等轻松 .................................................................................................................... 28 第 9 计 瞎子开门 伸手摸缝 .................................................................................................................... 32 第 10 计 聋子开门 慧眼识钟.................................................................................................................. 36 第 11 计 耗子开门 就地打洞.................................................................................................................. 38 第 12 计 小刀开门 切口启封.................................................................................................................. 43 第 13 计 钥匙开门 各归各用.................................................................................................................. 48 第 14 计 鲜花开门 情有独钟.................................................................................................................. 52 第 15 计 驿站开门 望蜀得陇.................................................................................................................. 55 第 16 计 摆渡开门 萍水相逢.................................................................................................................. 57 第 17 计 化归开门 江山一统.................................................................................................................. 64 第 18 计 转换开门 亦必亦充.................................................................................................................. 68 第 19 计 模式开门 请君入瓮.................................................................................................................. 72 第 20 计 讨论开门 防漏防重.................................................................................................................. 79 第 21 计 图表开门 信息传送.................................................................................................................. 83 第 22 计 数形开门 体美神丰.................................................................................................................. 86 第 23 计 探索开门 智勇双锋.................................................................................................................. 91 第 24 计 杠杆开门 以轻拨重.................................................................................................................. 97 第 25 计 函数开门 以静显动................................................................................................................101 第 26 计 数列开门 前后跟踪................................................................................................................106 第 27 计 方程开门 欲擒故纵................................................................................................................111 第 28 计 三角开门 八面玲珑................................................................................................................115 第 29 计 向量开门 数形与共................................................................................................................122 第 30 计 统计开门 存异求同................................................................................................................126 第 31 计 解几开门 轨迹遥控................................................................................................................131 第 32 计 立几开门 平面来风................................................................................................................136 第 33 计 导数开门 腾龙起凤................................................................................................................143 第 34 计 参数开门 宾主谦恭................................................................................................................148 第 35 计 符号开门 来意弄懂................................................................................................................155 第 36 计 思想开门 人数灵通................................................................................................................158
高中数学解题思路及技巧
《高中数学解题思维与思想》
一、高中数学解题思维策略
第一讲 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和
)
1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且1
1
1)1(1+-=+n n n n ，因此，
原式等于1
111113121211+-=+-++-+-
n n n 问题很快就解决了。 （2）善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，
将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组⎩
⎨⎧-==+32
xy y x .
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程
0322=--t t 的两个根，
高中数学解题思路与技巧
《高中数学解题思维与思想》
一、高中数学解题思维策略
第一讲 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和
)
1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且1
1
1)1(1+-=+n n n n ，因此，
原式等于1
111113121211+-=+-++-+-
n n n 问题很快就解决了。 （2）善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组⎩⎨⎧-==+3
2
xy y x .
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程
0322=--t t 的两个根，
高中数学解题思路与技巧汇总19种解题方法实用
高中数学解题思路与技巧汇总19种解题方法实用
解数学题，除了掌握有关的数学知识之外，最好掌握一定的解题技巧
甚至知道点解题思想。要知道高考试题的解答过程中蕴含着重要的数学思
想方法，如果能有意识地在解题过程中加以运用，势必会取得很好的效用。下面邦德华纳整理了19种数学解题方法，希望对学生们有帮助！
1.函数
2.方程或不等式
如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;
3.初等函数
面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响
到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;
4.选择与填空中的不等式
选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;
5.参数的取值范围
求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的
定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分
离参数的方法;
6.恒成立问题
恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不
遗漏;
7.圆锥曲线问题
圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定
理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;
8.曲线方程
求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如
果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去
掉不符合条件的特殊点);
9.离心率
求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;
高中数学解题思想方法技巧：诸葛开门 扇到成功
第3 诸葛开门 扇到成功
●计名释义
诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.
数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.
●典例示范
［题1］ 已知f (x )=2
21+x 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值. ［分析］ 若分别求f (x )在x = -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x )+f (1-x )的结果.
［解析］ 因为 f (x )+ f (1-x ) = 2212
21
1+++-x x =)22(21221
2222221+++=∙+++x x x
x x =22)
22(222=++x x
所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )
=
21［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］ =21［f (1-x )+ f (x )］×6 =23122
221=⨯⨯
［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.
●对应训练
高中数学解题思想方法技巧全集5__芝麻开门__点到成功
第5 才子开门 风情万种
●计名释义
所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.
●典例示范
［引例］ 试比较以下三数的大小：
2
2ln ，33ln ，55ln
［解一］ 建构函数法
设f (x ) =x x ln ⇒ f ＇(x )=21x ln x e ≤0 ⇒ f (x )为减函数 ⇒ 22ln >33ln >55ln
［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.
［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.
［解二］ 作差比较法
2
2ln -33ln =98ln 6169ln 8ln 323ln 22ln 3=-=⨯-<0 22ln -55ln =2532ln 1011025ln 32ln 525ln 22ln 5=-=⨯->0
［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.
［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.
［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.
［奇解］ 22ln ×3ln 3=9ln 8ln <1 22ln ×5ln 5=25ln 32ln >1 ⇒ 33ln >2
2ln >55ln ［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评. ［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔. ［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？
数学破题36计(天利淘题100 综合)
第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义 七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”.就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性.因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范［例题］（2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数r
n C 都换成分数
r
n
C n )1(1
+，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出
r
n x n r n nC C n C n 1
1
)1(1)1(1-=+++，其中=x . 令2211111113123060(1)n n n
a nC n C -=+++++++，则 lim n n a →∞= . ［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物.从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点1
1
的主意. ［解Ⅰ］将等式
r
n x n r n nC C n C n 1
1
)1(1)1(1-=+++与右边的顶点三角形对应（图右），自然有21
)1(1
=
+r n C n 21)1(1=+x n C n 1111
=-r n nC 对此，心算可以得到：1n =，0r =，1x =.
对一般情况讲，就是x =r +1这就是本题第1空的答案. ［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功.要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出1x r =+.
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第2 西瓜开门 滚到成功
●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.
●典例示范
［题1］ (2006年赣卷第5题)
对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有
A. f (0)＋f (2)< 2f (1)
B. f (0)＋f (2)≤2 f (1)
C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1)
D. f (0)＋f (2)>2f (1)
［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目.
其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.
［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件.
(ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件.
综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C.
［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0.
［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.
［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.
(ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1).
满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0
选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C.
［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3
4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.
［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.
［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合
条件. (右图水平直线)
(ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1)
f '(x )≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C ，D(右图下拱曲线). 则满足条件(x -1) f '(x )≥0.
［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x )，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x -1) f '(x )≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.
［变题］ 以下函数f (x )，具有性质(x -1) f '(x )≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f (x )= (x-1)3
B. f (x )= (x-1)21
C. f (x )= (x-1)35
D. f (x )= (x-1)20052006
［解析］ 对A ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义；
对C ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D ， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f '(x )=20052006(x-1)20051 使得 (x-1) f ＇(x ) =(x-1)2005
2006(x-1)20051 ≥0. ［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f '(x )=(x-1) 122-m n
，其中m ，n 都是
正整数，且n ≥m .
［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.
［题2］ 已知实数x ，y 满足等式 369422=+y x ，试求分式5-x y 的最值。
［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.
［解一］ (函数方程思想运用)
令 k x y =-5⇒y = k (x-5) 与方程369422=+y x 联立
消y ，得：03625990)94(2222=-⋅+-+k x k x k
根据x 的范围[]3,3-∈x 应用根的分布得不等式组：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤+--≤-≥-⋅+⋅++=≥-⋅+⋅-+=≥-⋅+-=∆3)49(2903036259990)49(9)3(036259990)49(9)3(0)36259)(49(4)90(22
222222222k k k k k f k k k f k k k
解得 2
121≤≤-k 即 21-≤5-x y ≤21 即所求的最小值为21-，最大值为21. ［插语］ 解出21-≤5-x y ≤21，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.
［解二］ (数形结合思想运用)
由36942
2=+y x 得椭圆方程 1492
2=+y x ， 5-=x y k 看成是过椭圆上的点(x ，y )，(5，0)的直