高中数学解题思想方法技巧：西瓜开门 滚到成功

第2 西瓜开门 滚到成功

●计名释义

比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.

数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范

［题1］ (2006年赣卷第5题)

对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有

A. f (0)＋f (2)< 2f (1)

B. f (0)＋f (2)≤2 f (1)

C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1)

D. f (0)＋f (2)>2f (1)

［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目.

其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况；

其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况.

因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件.

(ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件.

综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C.

［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0.

［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.

［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.

(ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1).

满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0

选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C.

［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3

4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.

［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.

由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.

［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合

条件. (右图水平直线)

(ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1)

f '(x )≥0

若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C ，D(右图下拱曲线). 则满足条件(x -1) f '(x )≥0.

［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x )，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x -1) f '(x )≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函

数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.

［变题］ 以下函数f (x )，具有性质(x -1) f '(x )≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是

A. f (x )= (x-1)3

B. f (x )= (x-1)21

C. f (x )= (x-1)35

D. f (x )= (x-1)20052006

［解析］ 对A ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义；

对C ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；

答案只能是D. 对D ， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.

且f '(x )=20052006(x-1)20051 使得 (x-1) f ＇(x ) =(x-1)2005

2006(x-1)20051 ≥0. ［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f '(x )=(x-1) 122-m n

，其中m ，n 都是

正整数，且n ≥m .

［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

［题2］ 已知实数x ，y 满足等式 369422=+y x ，试求分式5-x y 的最值。

［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.

［解一］ (函数方程思想运用)

令 k x y =-5⇒y = k (x-5) 与方程369422=+y x 联立

消y ，得：03625990)94(2222=-⋅+-+k x k x k

根据x 的范围[]3,3-∈x 应用根的分布得不等式组：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤+--≤-≥-⋅+⋅++=≥-⋅+⋅-+=≥-⋅+-=∆3)49(2903036259990)49(9)3(036259990)49(9)3(0)36259)(49(4)90(22

222222222k k k k k f k k k f k k k

解得 2

121≤≤-k 即 21-≤5-x y ≤21 即所求的最小值为21-，最大值为21. ［插语］ 解出21-≤5-x y ≤21，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.

［解二］ (数形结合思想运用)

由36942

2=+y x 得椭圆方程 1492

2=+y x ， 5-=x y k 看成是过椭圆上的点(x ，y )，(5，0)的直