2003年高考数学试题及答案(天津文)

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2003年高考数学试题(天津卷理科) (4)

2003年高考数学试题（天津卷理科）一、选择题1．=+-2)3(31i i_______（A ）i 4341+ （B ）)4341(i +- （C ）i2321+ （D ）)2321(i +- 2．已知)0,2(π-∈x ，54cos =x ，则=x tg 2_______（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0 0 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是______ （A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）),0()2,(+∞--∞ （D ）),1()1,(+∞--∞4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：||||(AC AB ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△ABC _______（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心5．函数11ln-+=x x y ),1(+∞∈x 的反函数是________（A ）11+-=x x e e y ，),0(+∞∈x （B ）11-+=xx e e y ，),0(+∞∈x （C ）11+-=x x e e y ，)0,(-∞∈x （D ）11-+=xx e e y ，)0,(-∞∈x 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a7．设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a （B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[a b -8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）839．已知双曲线中心在原点且一个焦点)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此以曲线的方程是（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x10．已知长方形的四个顶点)0,0(A ，)0,2(B ，)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到DA CD ,和AB 上的32,P P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtg 的取值范围是（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(11．)11413122242322(limn nn C C C C n C C C C ++++++++∞→ ＝（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二、填空题13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。

2003年全国统一高考文科数学试卷(全国新课程卷)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课程卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2003x <的解集是A.(0，2)B.(2，)+∞C.(2，4]D.(-∞，0)(2，)+∞2. （2003•全国新课程•文）抛物线2y a x =的准线方程是2y =，则a 的值为A.81B.18-C.8D.－83. （2003•全国新课程•文）=+-2)3(31i iA.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--4. （2003•全国新课程•文）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x =A.247 B.724-C.724 D.247-5. （2003•全国新课程•文）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.516. （2003•全国新课程•文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F，12F M F ∠120=︒，则双曲线的离心率为B.2C.3D.37. （2003•全国新课程•文）设函数12210()0xx f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.(1-，1)B.(1-，)+∞C.(-∞，2)(0-，)+∞D.(-∞，1)(1-，)+∞8.（2003•全国新课程•文）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足O P O A =+()([0||||A B A C A B A C λλ+∈，))∞+，则P 的轨迹一定通过A B C ∆的A.外心B.内心C.重心D.垂心9. （2003•全国新课程•文）函数1ln1x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11xx e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11xx e y e +=-，0(∈x ，)∞+ C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0D.11x x e y e +=-，-∞∈(x ，)010. （2003•全国新课程•文）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33aB.43aC.63aD.123a11. （2003•全国新课程•文）已知长方形的四个项点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从A B 的中点0P 沿与A B 夹角为θ的方向射到B C 上的点1P 后，依次反射到C D ，D A 和A B 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 与0P 重合，则tan θ= A.13B.25C.12D.112. （2003则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13. （2003•全国新课程•文）291()2x x-展开式中9x 的系数是_____________.14. （2003•全国新课程•文）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、_________、__________辆. 15. （2003•全国新课程•文）在平面几何里，有勾股定理：“设A B C ∆的两边A B 、A C 互相垂直，则22A B A C +2B C =.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A B C D -的三个侧面A B C 、A C D 、A D B 两两相互垂直，则_______________________________.” 16. （2003•全国新课程•文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物，种.（以数字作答）演算步骤.17. （2003•全国新课程•文）已知正四棱柱1111A B C D A B C D -，1A B =，12A A =，点E 为1C C 中点，点F 为1B D 中点.⑴证明：E F 为1B D 与1C C 的公垂线； ⑵求点1D 到面B D E 的距离.18. （2003•全国新课程•文）已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.⑴a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19. （2003•全国新课程•文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.⑴求2a ，3a ； ⑵证明：312nn a -=.20. （2003•全国新课程•文）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，现从三种产品中各抽取一件进行检验. ⑴求恰有一件不合格的概率；⑵求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）21. （2003•全国新课程•文）已知函数()sin ()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数.求ϕ和ω的值.22. （2003•全国新课程•文）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得||||P E P F +为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.2003年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003x <的解集是A.(0，2)B.(2，)+∞C.(2，4]D.(-∞，0)(2，)+∞【分析】由题意0x ≥且240x x -≥，可两边平方去根号，解可得答案．【解答】解：由题意0x ≥且240x x -≥，解可得04x ≤≤，x <两边同时平方可得：224x x x -<，即2240x x ->，解可得2x >或0x <，又由04x ≤≤，故其解集为24x <≤，即(2，4]；故选：C ．【点评】本题主要考查无理不等式的求解，解无理不等式关键是平方去根号，注意等价变形．还要注意选择题的特殊做法．2. （2003•全国新课程•文）抛物线2y a x =的准线方程是2y =，则a 的值为A.81 B.18-C.8D.－8【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程2x m y =的形式，再根据其准线方程为4m y =-即可求之．【解答】解：抛物线2y a x =的标准方程是21x y a=，则其准线方程为124y a=-=，所以18a =-.故选：B ．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式． 3. （2003•全国新课程•文）=+-2)3(31i iA.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．212122444--==⨯==--⨯，故选B ．【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题． 4. （2003•全国新课程•文）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x =A.247B.724-C.724D.247-【分析】先根据c o s x ，求得sin x ，进而得到tan x 的值，最后根据二倍角公式求得tan 2x .【解答】解：∵4c o s 5x =，(2x π∈-，0)，∴3sin 5x ==-∴s in 3ta n c o s 4x x x==-，∴232ta n 316242ta n 291ta n277116x x x -===-⨯=---. 故选D ．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题． 5. （2003•全国新课程•文）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d ，进而写出n a 的表达式，然后令33n a =，解方程即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d . ∵113a =，254a a +=，∴114433d d +++=，即2543d +=，解得23d =.∴1221(1)3333n a n n =+-=-，令33n a =，即213333n -=，解得50n =.故选：C ．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，注意方程思想的应用. 6. （2003•全国新课程•文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12F M F ∠120=︒，则双曲线的离心率为233【分析】根据双曲线对称性可知260O M F ∠=︒，在直角三角形2M O F 中可得22ta n O F c O M F O Mb∠==，进而可得b 和c的关系式，进而根据a =a 和b的关系式，最后代入离心率公式即可求得答案.【解答】解：根据双曲线对称性可知260O M F ∠=︒，∴22ta n O F c O M F O Mb ∠===c =，∴a ==，∴2c e a ===，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.本题利用了双曲线的对称性．7．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．8．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．（5分）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选：B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．10．（5分）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选：C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ=（）A．B．C．D．1【分析】可以画草图帮助理解，由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，根据对称性可知P0P1的斜率是，得到结果．【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ=．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率和对称性知识，由于ABCD是长方形，降低了题目难度，可以采用观察法求得结论．是基本方法的训练题目．12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故选：A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 ．”【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S △ABC2+S △ACD2+S △ADB2=S △BCD2．故答案为：S △ABC2+S △ACD2+S △ADB2=S △BCD2．【点评】本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．7. （2003•全国新课程•文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种．（以数字作答）【分析】将3种作物种植在5块试验田里，且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，只能种2种，余下的几块都只能种2种，减去不合题意的，得到结果．【解答】解：将3种作物种植在5块试验田里每块种一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，就只能种2种不同的植物，余下的几块都只能种2种不同的植物.这样会造成5块田只种2种植物的情况，∴共有3×2×2×2×2﹣22332222242C ⨯⨯⨯⨯-=故答案为：42【点评】本题考查排列组合的实际应用问题，这种问题在2003年的高考中考查过，是一个出现几率比较大的问题，注意题目条件中的限制条件．三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E 为CC1中点，点F 为BD1中点．（1）证明EF 为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE 的距离．【分析】（1）欲证明EF 为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF 分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC 是矩形→EF ⊥CC1．由EF ⊥面DBD1→EF ⊥BD1．（2）欲求点D1到面BDE 的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE ﹣DBD1=VD1﹣DBE ．求解即得．【解答】解：（1）取BD 中点M ．连接MC ，FM ． ∵F 为BD1中点， ∴FM ∥D1D 且FM=D1D ．又EC CC1且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形∴EF ⊥CC1．又FM ⊥面DBD1． ∴EF ⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF ⊥BD1．故EF 为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE ﹣DBD1=VD1﹣DBE ．由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD1，设点D1到面BDE 的距离为d ．则．∵AA1=2，AB=1． ∴，， ∴．∴故点D1到平面DBE 的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．8. （2003•全国新课标•文）已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.⑴a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.【分析】⑴先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使1C 和2C 有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定；⑵分别求出1C 和2C 有两条公切线段的中点坐标，发现两者相等，从而证明了相应的两条公切线段互相平分．【解答】解：⑴函数22y x x =+的导数为22y x '=+，则曲线1C 在点1(P x ，2112)x x +的切线方程是：21111(2)(22)()y x x x x x -+=+- 即211(22)y x x x =+-①函数2y x a =-+的导数为2y x '=-，则曲线2C 在点2(Q x ，22)x a -+的切线方程是2222()2()y x a x x x --+=-- 即2222y x x x a =-++②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故121x x +=-，2212x x a -=+.消去2x 得方程2112210x x a +++=.当判别式442(1)0a ∆=-⨯+=，即12a =-时解得112x =-，此时点P 与Q 重合.即当12a =-时1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14y x =-.⑵证明：由⑴可知．当0∆>即12a <-时1C 和2C 有两条公切线.设一条公切线上切点为：1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y . 其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121x x +=-，2222121121112()2(1)1y y x x x a x x x a a +=++-+=+-++=-+线段P Q 的中点为1(2-，1)2a -+.同理，另一条公切线段P Q ''的中点也是1(2-，1)2a -+.所以公切线段P Q 和互相P Q ''平分.【点评】本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．9. （2003•全国新课标•文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.⑴求2a ，3a ； ⑵证明：312nn a -=.【分析】⑴由11a =，113(2)n n n a a n --=+≥，当2n =时可求2a ，3n =时求得3a .⑵利用递推式构造113n n n a a ---=，然后通过累加可求出n a .【解答】解：⑴∵11a =，∴2314a =+=，233413a =+=； ⑵证明：由已知113(2)n n n a a n ---=≥故112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+…211()a a a +-+1233n n --=++ (31312)n-++=，2n ≥当1n =时，也满足上式． ∴312nn a -=.【点评】本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项，注意验证1n =． 20．（12分）在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）【分析】（1）要求恰有一件不合格的概率，我们根据P=P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．（2）我们可以根据至少有两件不合格的概率公式P=P （A ••）+P （•B •）+P （••C ）+P （••），根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式即可求解．也可以从对立事件出发根据（1）的结论，利用P=1﹣P （A •B •C ）+P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ）进行求解．【解答】解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．（Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95． P =0.10，P =P =0.05．因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为P （A •B •）+P （A ••C ）+P （•B •C ）=P （A ）•P （B ）•P （）+P （A ）•P （）•P （C ）+P （）•P （B ）•P （C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176；（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ••）+P （•B •）+P （••C ）+P （••） =0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052 =0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．解法二：三件产品都合格的概率为 P （A •B •C ）=P （A ）•P （B ）•P （C ） =0.90×0.952 =0.812．由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 1﹣P （A •B •C ）+0.176 =1﹣（0.812+0.176） =0.012．答：至少有两件不合格的概率为0.012．【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．10. （2003•全国新课程•文）已知函数()sin ()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数.求ϕ和ω的值.【分析】由()f x 是偶函数可得ϕ的值，图象关于点3(4M π，0)对称可得34ωπϕ+=k π，k Z ∈，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值.【解答】解：由()f x 是偶函数，得2k πϕπ=+，k Z ∈，由0ϕπ≤≤可得2πϕ=，从而()sin ()c o s 2f x x x πωω=+=由()f x 的图象关于点3(4M π，0)对称，得342k πωππ+=，k Z ∈又0ω>，∴2(21)3k ω=-，*k N ∈又函数()f x 在区间[0，]2π上是单调函数，则122T ππω≤=，即2ω≤∴2(21)23k -≤，解得2k ≤当1k =时，23ω=，2()c o s3f x x =在[0，]2π上是减函数，满足题意；当2k =时，2ω=，()c o s 2f x x =在[0，]2π上是减函数，满足题意；所以，综合得23ω=或2.【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.22．（14分）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．整理得．①因为a＞0，所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．。

2003年高考数学试题(天津卷理科)

2003年高考数学试题（天津卷理科）一、选择题1．=+-2)3(31i i_______（A ）i 4341+ （B ）)4341(i +- （C ）i 2321+ （D ）)2321(i +-2．已知)0,2(π-∈x ，54cos =x ，则=x tg 2_______（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0 0 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是______ （A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）),0()2,(+∞--∞ （D ）),1()1,(+∞--∞4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(OA OP ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△ABC _______（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心5．函数11ln-+=x x y ),1(+∞∈x 的反函数是________（A ）11+-=x x e e y ，),0(+∞∈x （B ）11-+=xx e e y ，),0(+∞∈x （C ）11+-=x x e e y ，)0,(-∞∈x （D ）11-+=xx e e y ，)0,(-∞∈x 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a7．设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a （B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[a b - 8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）839．已知双曲线中心在原点且一个焦点)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此以曲线的方程是（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x10．已知长方形的四个顶点)0,0(A ，)0,2(B ，)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到DA CD ,和AB 上的32,P P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtg 的取值范围是（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(11．)11413122242322(limn nn C C C C n C C C C ++++++++∞→ ＝（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二、填空题13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。

2003高考天津卷理科数学试题及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.=+-2)3(31i iA.B. C. D.i 4341+i 4341--i 2321+i 2321--2.已知，，，则(2x π∈-0)54cos =x tan 2x =A. B. C. D.247724-724247-3.设函数，若，则的取值范围是⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x 1)(0>x f 0x A.， B.，1(-)11(-)∞+C.，， D.，，-∞(0()2 -)∞+-∞(1()1 -)∞+4.是平面上一定点，、、是平面上不共线的三点，动点满足O A B C P ，，则的轨迹一定通过的()([0||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈))∞+P ABC ∆A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5.函数，，的反函数为1ln1x y x +=-1(∈x )∞+A.，， B.，，11x x e y e -=+0(∈x )∞+11x x e y e +=-0(∈x )∞+C.，， D.，，11x x e y e -=+-∞∈(x )011x x e y e +=--∞∈(x )06.棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为a A. B. C. D.33a 43a 63a 123a 7.设，，曲线在点，处切处的倾斜角0a >2()f x ax bx c =++)(x f y =0(x P ))(0x f 的取值范围为，，则到曲线对称轴距离的取值范围为0[]4πP )(x f y =A.， B.，C.，D.，[01a[01]2a [0||]2b a [01||]2b a-8.已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 41则=-||n mA.1B.C. D.4321839.已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于F 0)1y x =-两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是M N 、MN 23-A. B.14322=-y x 13422=-y x C. D.12522=-y x 15222=-y x 10.已知长方形的四个顶点，，，，，和，.一质点从(0A 0)(2B 0)(2C 1)(0D 1)的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和AB 0P AB θBC 1P CD DA 上的点，和（入射角等于反射角）.设的坐标为，，若，AB 2P 3P 4P 4P 4(x 0)412x <<则的取值范围是θtan A.， B.， C.， D.，1(31)1(323）2(51)22(52311.=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C A.3 B. C. D.6316112.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2A. B. C. D.3π4π6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13.展开式中的系数是________________.92)21(xx -9x 14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、__________、__________辆.15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____.（以数字作答）16.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点、、分别为其所在棱l M N P的中点，能得出面的图形的序号是______.（写出所有符合要求的图形序号）l ⊥MNP三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数.)cos (sin sin 2)(x x x x f +=⑴求函数的最小正周期和最大值；)(x f ⑵在给出的直角坐标系中，画出函数在区间，上的图象.)(x f y =[2π-]2π18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱111ABC A B C -90ACB ∠=︒，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重12AA =D E 、1CC 1A B E ABD ABD ∆心.G ⑴求与平面所成角的正弦值；1A B ABD ⑵求点到平面的距离.1A AED19.（本小题满分12分）设，求函数，的单调区间.0>a ()ln()((0f x x a x =-+∈)+∞20.（本小题满分12分）、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，，，A B A 1A 2A 3A B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：1B 2B 3B 对阵队员队队员胜的概率A 队队员负的概率A对1A 1B 3231对2A 2B 5253对3A 3B 5253现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队、队最后所得总分分A B 别为、.ξη⑴求、的概率分布；ξη⑵求，.E ξE η21.（本小题满分14分）已知常数，向量，，，经过原点以为方向向量的直0a >(0)c a = ，(1i = 0)O c i λ+线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中.试问：(0)A a ，2i c λ-P R λ∈是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若E F 、||||PE PF +E F 、不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）设为常数，且.0a )(2311N n a a n n n ∈-=--⑴证明对任意，；1n ≥101[3(1)2](1)25n n n n nn a a -=+-⋅+-⋅⑵假设对任意有，求的取值范围.1≥n 1->n n a a 0a 2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.B2.D3.D4.B5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13． 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤221-三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分.解：（1）x x x x f cos sin 2sin 2)(2+=xx 2sin 2cos 1+-= )4sin 2cos 4cos2(sin 21ππx x -+=42sin(21π-+=x 所以函数的最小正周期为，最大值为.)(x f π21+（2）由（1）知 185218318218183πππππ+---yx故函数在区间上的图象是)(x f y =]2,2[ππ-18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，BA 1.32arcsin.323136sin .332,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥ （Ⅱ）连结A 1D ，有EAA D AED A V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又 , 设A 1到平面AED 的距离为h ，AB A ED 1平面⊥∴则 . 故A 1到平面AED 的距离为.ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆136236219．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：.)0(121)(>+-='x a x xx f当时 .0,0>>x a 0)42(0)(22>+-+⇔>'a x a x x f 0)42(0)(22<+-+⇔<'a x a x x f （i ）当时，对所有，有.1>a 0>x 0)42(22>+-+a a x 即，此时在内单调递增.0)(>'x f )(x f ),0(+∞（ii ）当时，对，有，1=a 1≠x 0)42(22>+-+a x a x 即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，0)(>'x f )(x f )(x f 因此，函数在（0，+）内单调递增)(x f ∞（iii ）当时，令，即.10<<a 0)(>'x f 0)42(22>+-+a x a x 解得.a a x a a x -+->---<122,122或因此，函数在区间内单调递增，在区间)(x f )122,0(a a ---),122(+∞-+-a a 内也单调递增.令，0)42(,0)(22<+-+<'a x a x x f 即解得.a a x a a -+-<<---122122因此，函数在区间内单调递减.)(x f )122,12-2a a a a -+---（20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分12分）.解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.758525232)3(=⨯⨯==ξP 7528525332525231535232)2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，52525331535231535332)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP 253535331)0(=⨯⨯==ξP 又，，24121111=⋅==∆∆AB A A S S AB A AE B 2621=⋅=∆ED AE S AED .3622622=⨯=h 解法二：（1）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ，则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1） A 1（2a ，0，2）E （a ，a ，1） G （）.31,32,32a a，)1,2,0(32,3,3(a BD a a GE -==∴，解得a =1.032322=+-=⋅∴a BD GE ),31,34,32(),2,2,2(1-=-=∴BG BA .372131323/14||||cos 111=⋅=⋅=∠∴BG BA BGBA BG A A 1B 与平面ABD 所成角是37arccos.y（2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）0)0,1,1()2,0,0(001,1()1,1,1(1=--⋅=⋅=--⋅-=⋅ED AA ED AE ，），平面AA 1E ，又ED 平面AED.⊥∴ED ⊂∴平面AED⊥平面AA 1E ，又面AED 面AA 1E=AE ，∴点A 在平面AED 的射影K 在AE 上.设，则AE AK λ=)2,,(11--=+=λλλAK A A K A 由，即，解得.01=⋅AE K A 02=-++λλλ32=λ34,32,32(1--=∴K A 根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=, P(η=1)=P(ξ=2)= 7587528P(η=2)=P(ξ=1)=, P(η=3)=P(ξ=0)= .52253（2）；因为ξ+η=3，所以15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .15233=-=ξηE E 21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）.因此，直线OP 和AP 的方程分别为和 .ax y =λax a y λ2-=-消去参数λ，得点的坐标满足方程.),(y x P 222)(x a a y y -=-整理得 ……① 因为所以得：.1)2()2(81222=-+aa y x ,0>a （i ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；22=a （ii ）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎220<<a )2,2121(2a a E -)2,2121(2a a F --题意的两个定点；（iii ）当时，方程①也表示椭圆，焦点和22>a ))21(21,0(2-+a a E 为合乎题意的两个定点.))21(21,0(2--a a F 22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立；（ii ）假设当n=k （k≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k kk ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k kkk kk +-+---+-=-= .2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n∈N，成立.证法二：如果设用代入，可解出. ),3(23111-----=n n n n a a a 1123---=n n n a a 51=a 所以是公比为－2，首项为的等比数列. ⎭⎫⎩⎨⎧-53n n a 531-a即).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴-.2)1(52)1(301a a n n nn n n -+-+=- （2）解法一：由通项公式 n a .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-等价于 ……①)(1N n a a n n ∈>∴-).()23()15()1(201N n a n n ∈<---- （i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 3202223()15()1(--<--k k a 即为 ……②.51)23(51320+<-k a ②式对k=1，2，…都成立，有 .315123(5110=+⨯<-a （ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为 .)23()15()1(22012--<--k k a 即为 ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.5123(51220+⨯->-k a 综上，①式对任意n∈N *，成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a .3100<<a 故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果（n∈N *）成立，特别取n=1，2有 1->n n a a .031001>-=-a a a 因此下面证明当时，对任意.06012>=-a a a .3100<<a .3100<<a n∈N *，由a n 的通项公式.01>--n n a a .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=- （i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->02352322111=⨯⨯-⨯+⨯---n n n （ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=- >.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为本试卷来源于《七彩教育网》).31,0(。

2003年高考数学试题及答案(全国文)

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为（）A ．x y 21-=B ．x y 21=C ．x y 2-=D ．x y 2= 2．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（）A ．81 B ．－81 C ．8 D ．－8 4．等差数列{a n }中，已知为则n a a a a n ,33,4,31521==+=（）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠ F 1MF 2=120°则双曲线的离心率为（）A ．3B ．26 C ．36 D ．336．设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（—1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 7．已知==)2(,lg )(5f x x f 则（）A ．2lgB ．32lgC ．321lgD ．2lg 518．函数R x y 是)0)(sin(πϕϕ≤≤+=上的偶函数，则ϕ= （）A ．0B ．4πC ．2πD ．π9．已知点03:)0)(2,(=+->y x l a a 到直线的距离为1，则a = （）A ．2B ．－2C ．12-D ．12+10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为43R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．249R πC ．238R π D ．225R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.若P 4与P 0重合，则tg θ= （）A ．31 B ．52 C ．21 D ．112．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．π3B ．4πC ．π33D ．π6二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．不等式x x x <-24的解集是 .14．992)21(x xx 展开式中-的系数是 .15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.（I）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（II）求点D1到面BDE的距离.18．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.19．（本小题满分12分）已知数列|n a |满足)2(3,11121≥+==--n a a a n n（I ）求;,32a a（II ）证明213-=nn a20．（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.（I ）函数数)(x f 的最小正周期和最大值;（II ）在给出的直角坐标系中，画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且,DADC CDCF BCBE ==P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.数学（文史类）参考答案一、1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、13．]4,2( 14．221-15．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16．72三、17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线（II ）解：连结ED 1，有V由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF. ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S故点D 1到平面BDE 的距离为332.18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即||)1)(1(=--z z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去）即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--nn n所以213-=nn a20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=)42s i n (21)4s i n 2c o s 4c o s2(s i n 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向. 在时刻：t （h）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t ，解得2412≤≤t .答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤===k k DA DCCD CFBC BE，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）.直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ，整理得1)(21222=-+a a y x . 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2. 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2.。

2003年高考数学试题(天津卷理科)

2003年高考数学试题（天津卷理科）一、选择题1．=+-2)3(31i i_______（A ）i 4341+ （B ）)4341(i +- （C ）i 2321+ （D ）)2321(i +-2．已知)0,2(π-∈x ，54cos =x ，则=x tg 2_______（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0 0 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是______ （A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）),0()2,(+∞--∞ （D ）),1()1,(+∞--∞4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：||||(AC AB ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△ABC _______（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心5．函数11ln-+=x x y ),1(+∞∈x 的反函数是________（A ）11+-=x x e e y ，),0(+∞∈x （B ）11-+=xx e e y ，),0(+∞∈x （C ）11+-=x x e e y ，)0,(-∞∈x （D ）11-+=xx e e y ，)0,(-∞∈x 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a7．设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a （B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[a b - 8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）839．已知双曲线中心在原点且一个焦点)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此以曲线的方程是（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x10．已知长方形的四个顶点)0,0(A ，)0,2(B ，)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到DA CD ,和AB 上的32,P P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtg 的取值范围是（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(11．)11413122242322(limn nn C C C C n C C C C ++++++++∞→ ＝（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二、填空题13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。

2003年高考数学试题及答案(天津理)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径kn kkn n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．=+-2)3(31i i（）A ．i 4341+B ．i 4341--C ．i 2321+D ．i 2321--2．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－7243．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[+∞∈++=λλAC AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 5．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xxB ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x6．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a7．设c bx ax x f a ++=>2)(,0，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切处的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（）A ．]1,0[aB ．]21,0[aC ．|]2|,0[abD ．|]21|,0[ab -8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m（）A ．1B ．43C ．21D ．839．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（）A ．14322=-yxB ．13422=-yxC ．12522=-yxD ．15222=-yx10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）。

2003高考数学全国卷及答案文

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线2y x x =关于对称的直线方程为（）（A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为（）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8-4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（）（A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）若40P P 与重合，则tg θ= （）（A ）31 （B ）52 （C ）21（D ）112．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13x <的解集是____________________.14．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 ________ .15．在平面几何里，有勾股定理：“设22,,ABC AB AC AB AC BC += 的两边互相垂直则拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC ACD ADB 、、两两互相垂直，则______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种_______________________（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱111111112ABCD A BC D AB AA E CC F BD -==，，，点为中点，点为点中点（Ⅰ）证明11EF BD CC 为与的公垂线（Ⅱ）求点1D BDE 到面的距离18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z . 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥ （Ⅰ）求23,a a ；EDBACBD CAFM（Ⅱ）证明2nna=20．（本小题满分12分）已知函数()2sin(sin cosf x x x x=+（Ⅰ）求函数()f x的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()y f x=在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南(cosθθ=方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北︒45方向移东Ox动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 22．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DC CD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．]4,2( 14．221-15．2222BCD AD B ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线（II ）解：连结ED 1，有V由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF. ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+ 2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即||)1)(1(=--z z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去）即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.213133321-=++++--n n n所以213-=n n a20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向. 在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t ，解得2412≤≤t .答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ，整理得1)(21222=-+a a y x .当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2. 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2.。

2003年高考数学试题(天津卷理科)

2003年高考数学试题（天津卷理科）一、选择题1．=+-2)3(31i i_______（A ）i 4341+ （B ）)4341(i +- （C ）i2321+ （D ）)2321(i +- 2．已知)0,2(π-∈x ，54cos =x ，则=x tg 2_______（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0 0 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是______ （A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）),0()2,(+∞--∞ （D ）),1()1,(+∞--∞4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：)||||(AC AB ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△ABC _______（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心5．函数11ln-+=x x y ),1(+∞∈x 的反函数是________（A ）11+-=x x e e y ，),0(+∞∈x （B ）11-+=xx e e y ，),0(+∞∈x （C ）11+-=x x e e y ，)0,(-∞∈x （D ）11-+=xx e e y ，)0,(-∞∈x 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a7．设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a （B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[a b -8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）839．已知双曲线中心在原点且一个焦点)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此以曲线的方程是（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x10．已知长方形的四个顶点)0,0(A ，)0,2(B ，)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到DA CD ,和AB 上的32,P P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtg 的取值范围是（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(11．)11413122242322(limn nn C C C C n C C C C ++++++++∞→ ＝（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二、填空题13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。

2003年高考数学试题(天津文)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式x x x <-24的解集是（）A ．（0，2）B ．（2，+∞）C ．（2，4）D ．（－∞，0）∪（2，+∞） 2．抛物线y=ax 2 的准线方程是y=2，则a 的值为（）A ．81B ．－81 C ．8 D ．－83．=+-2)3(31i i（）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321-- 4．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A ．247B ．－247C ．724D ．－724 5．等差数列为则已知中n a a a a a n n ,33,4,31,}{521==+=（）A ．48B ．49C ．50D ．516．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．26 C ．36 D ．33 7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[|||(+∞∈++=λλACAB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 9．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x x C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 10．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）。

2003年高考试题天津卷讲解学习

2003年高考试题天津卷2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（新课程理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）=+-2)3(31i i（A ）i 4341+ （B ）i 4341--（C ）i 2321+ （D ）i 2321--分析：本题考查复数运算。

本题选B ，难度为★ （2）已知)02(，π-∈x ，54cos =x ，则tan 2x ＝（A ）247 （B ）247-（C ）724（D ）724-分析：本题考查三角函数运算本题选D ，难度为★（3）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-.0,012)(21x x x x f x ，，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是（A ）（－1，1）（B ）（－1，＋∞）（C ）（－∞，－2）（0，＋∞）（D ）（－∞，－1）（1，＋∞）分析：本题考查分段函数，要对x 进行分类讨论本题选D ，难度为★★★（4）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(OA OP ++=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心分析：本题考查了平面向量的运算。

要熟知三角形五心（重心：中线的交点；外心：垂直平分线的交点；内心：角分线的交点；垂心：高线的交点；旁心：略）本题选B ，难度为★★★ （5）函数11ln-+=x x y ，x ∈(1，+∞)的反函数为（A ）11+-=x x e e y ，x ∈(1，+∞)（B ）11-+=x x e e y ，x ∈(1，+∞)（C ）11+-=x x e e y ，x ∈(－∞，0)（D ）11-+=x x e e y ，x ∈(－∞，0)分析；本题考查反函数的求解，注意定义域与值域。

(完整)2003年高考全国卷.理科数学试题及答案,推荐文档

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点D E KBCABA FCG东的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设)60sin 60cos οοr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥ΘΛΛΘΘ（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又Θ.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞Q 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝（0,1,2） 22C依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3） 23C （0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +422222397()4145.k C C C C =+++++=L。

2003年高考.天津卷.理科数学试题及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至10页考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．=+-2)3(31i i（）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321-- 2．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[||||(+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 5．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 6．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a7．设c bx ax x f a ++=>2)(,0，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切处的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（）A ．]1,0[aB ．]21,0[aC ．|]2|,0[abD ．|]21|,0[ab - 8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则 =-||n m（）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（）A ．14322=-y xB ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x 10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ，则θtan 的取值范围是（）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=. （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象.18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.ABA 119．（本小题满分12分）设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.20．（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η（1）求ξ、η的概率分布；（2）求E ξ，E η. 21．（本小题满分14分）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分）设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=-- （1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-；（2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.B2.D3.D4.B5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．221- 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1）x x x x f cos sin 2sin 2)(2+=x x 2sin 2cos 1+-=)4sin 2cos 4cos2(sin 21ππx x -+= )42sin(21π-+=x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（2）由（1）知 185218318218183πππππ+---yx故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是 18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，A 1.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AEDA V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆1362=. 故A 1到平面AED 的距离为362.19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：)0(121)(>+-='x ax xx f . 当0,0>>x a时 0)42(0)(22>+-+⇔>'a x a x x f .0)42(0)(22<+-+⇔<'a x a x x f（i ）当1>a 时，对所有0>x ，有0)42(22>+-+a a x .即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞内单调递增.（ii ）当1=a 时，对1≠x ，有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在（0，1）内单调递增，又知函数)(x f 在x=1处连续，因此，函数)(x f 在（0，+∞）内单调递增（iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+a x a x .解得a a x a a x -+->---<122,122或.因此，函数)(x f 在区间)122,0(a a ---内单调递增，在区间),122(+∞-+-a a内也单调递增. 令0)42(,0)(22<+-+<'a x a x x f 即，解得a a x a a -+-<<---122122.因此，函数)(x f 在区间)122,12-2a a a a -+---（内单调递减.20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分12分）.解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.758525232)3(=⨯⨯==ξP 7528525332525231535232)2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP 52525331535231535332)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ， 253535331)0(=⨯⨯==ξP 又24121111=⋅==∆∆AB A A S S AB A AEB ， 2621=⋅=∆ED AE S AED ， 3622622=⨯=h .解法二：（1）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ，则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1） A 1（2a ，0，2） E （a ，a ，1） G （31,32,32a a ）. )1,2,0(),32,3,3(a BD a a GE -==∴，032322=+-=⋅∴a BD GE ，解得a =1.),31,34,32(),2,2,2(1-=-=∴BA372131323/14||||cos 111=⋅=⋅=∠∴BG BA BGBA BG A .A 1B 与平面ABD 所成角是37arccos.y（2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）0)0,1,1()2,0,0(001,1()1,1,1(1=--⋅=⋅=--⋅-=⋅ED AA ED AE ，）， ⊥∴ED 平面AA 1E ，又ED ⊂平面AED.∴平面AED ⊥平面AA 1E ，又面AED 面AA 1E=AE ，∴点A 在平面AED 的射影K 在AE 上. 设AE AK λ=，则)2,,(11--=+=λλλAK A A K A由01=⋅A ，即02=-++λλλ，解得32=λ. )34,32,32(1--=∴A根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=758, P(η=1)=P(ξ=2)=7528P(η=2)=P(ξ=1)= 52, P(η=3)=P(ξ=0)=253.（2）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为ξ+η=3，所以 .15233=-=ξηE E21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分. 解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）.因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(8222=-+a y x ……① 因为,0>a 所以得：（i ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点；（iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点.22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立；（ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-= .2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+= 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立.证法二：如果设),3(23111-----=n n n n a a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n n n n n -+-+=-（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=- )(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……① （i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a 即为 .51)23(51320+<-k a ……② ②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a （ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为.)23()15()1(22012--<--k k a 即为 .51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有 .051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a 故a 0的取值范围为).31,0( 解法二：如果1->n n a a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *， .01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=- （i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为).31,0(。

2003年高考数学试题(天津卷理科)

2003年高考数学试题（天津卷理科）一、选择题1．=+-2)3(31i i_______（A ）i 4341+ （B ）)4341(i +- （C ）i2321+ （D ）)2321(i +- 2．已知)0,2(π-∈x ，54cos =x ，则=x tg 2_______（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0 0 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是______ （A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）),0()2,(+∞--∞ （D ）),1()1,(+∞--∞ 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：)||||(AC AB ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△ABC _______（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心5．函数11ln-+=x x y ),1(+∞∈x 的反函数是________（A ）11+-=x x e e y ，),0(+∞∈x （B ）11-+=xx e e y ，),0(+∞∈x （C ）11+-=x x e e y ，)0,(-∞∈x （D ）11-+=xx e e y ，)0,(-∞∈x 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a7．设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a （B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[a b -8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m （A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）839．已知双曲线中心在原点且一个焦点)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此以曲线的方程是（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x10．已知长方形的四个顶点)0,0(A ，)0,2(B ，)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到DA CD ,和AB 上的32,P P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtg 的取值范围是（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(11．)11413122242322(limn nn C C C C n C C C C ++++++++∞→ ＝（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二、填空题13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。

2003年招生全国统一考试数学试题(天津卷)文科试卷及答案

普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷)（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．不等式x x x <-24的解集是（）A ．（0，2）B ．（2，+∞）C ．（2，4）D ．（－∞，0）∪（2，+∞） 2．抛物线y=ax 2 的准线方程是y=2，则a 的值为（）A ．81B ．－81 C ．8 D ．－83．=+-2)3(31i i（）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321-- 4．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）7724245．等差数列为则已知中n a a a a a n n ,33,4,31,}{521==+=（）A ．48B ．49C ．50D ．51 6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．26C ．36 D ．33 7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[|||(+∞∈++=λλACAB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 9．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 10．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）若P 4与P 0重合，则tan θ= （）A ．31B ．52 C ．21 D ．112．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx展开式中9x 的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ”16．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.（以数字答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1.AB=1，AA 1=2，点E 为CC1中点，点P 为BD 1中点. （1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点D 1到面BDE 的距离.18．（本小题满分12分）已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19．（本题满分12分）已知数列).2(3,1}{111≥+==--n a a a a n n n n 满足（Ⅰ）求;,32a a（Ⅱ）证明.213-=n n a20．（本小题满分12分）在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到0.001）21．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点 )0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数.求ωϕ和的值.22．（本小题满分14分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷) 答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．221-14．6，30，10 15．S 2△ABC + S 2△ACD + S 2△ADB = S 2△BCD 16．42 三、解答题17．本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分12分（1）证法一：取BD 中点M.连结MC ，FM .∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D . 又EC21CC 1且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1. 又CM ⊥面DBD 1 .∴EF ⊥面DBD 1 .∵BD 1⊂面DBD 1 . ∴EF ⊥BD 1 . 故EF 为BD 1 与CC 1的公垂线.证法二：建立如图的坐标系，得B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （21，21，1），C 1（0，0，2），E （0，0，1）. ,0,0).2,1,1().2,0,0(),0,21,21(1111=⋅=⋅∴-=∴==∴BD CC BD CC 即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1 . 故EF 是为BD 1 与CC 1的公垂线.（Ⅱ）解：连结ED 1，有V E －DBD 1=V D 1－DBE .由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1 ，设点D 1到面BDE 的距离为d..3322322223)2(2321.22221,22,2.1,2.2111=⨯=∴⋅=⋅⋅==⋅⋅=∴====∴==⋅=⋅∆∆∆∆d S S EF ED BE BD AB AA EF S d S DBEDBD DBD DBE 则故点D 1到平面DBE 的距离为332. 18．本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分（Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是：y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，x 1+1=－x 2所以－ x 21=x 22+a.消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合. 即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21时C 1和C 2有两条公切线设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有 x 1+x 2=－1,y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a . 11a +-同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a +-- 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.19．本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分. （Ⅰ）∵a 1=1 . ∴a 2=3+1=4, a 3=32+4=13 .（Ⅱ）证明：由已知a n －a n －1=3n －1,故.2131333)()()(21112211-=++++=+-++-+-=-----n n n n n n n n a a a a a a a a 所以证得213-=n n a . 20．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C.（Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95.P )(A =0.10 , P )(B =P )(C =0.05.因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176.（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+ P （A ·B ·C ） =0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.答：至少有两件不合格的概率为0.012.解法二：三件产品都合格的概率为P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90×0.952=0.812.由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－P （A ·B ·C ）+0.176=1－（0.812+0.176）=0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012.21．本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分.解：由f (x )是偶函数，得f (－x )= f (－x ).即： ).sin()sin(ϕωϕω+=+-x x 所以－x x ωϕωϕsin cos sin cos =对任意x 都成立，且,0>ω所以得ϕcos =0.依题设0πϕ≤≤，所以解得2πϕ=，由f (x )的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ. 取x =0,得)43(πf =－)43(πf ，所以)43(πf =0. .232,.]2,0[)2sin()(,310,2;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0,2,1,0),12(32.2,1,0,243,0,043cos .43cos )243sin()43(==+=≥≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又x x f k x x f k x x f k k k k k f 22．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i=(1,0),c=(0,a ), ∴).2,1(2),,(a c i a i c λλλλ-=-=+因此，直线OP 和AP 的方程分别为 λy=ax 和y －a =－2λax .消去参数λ，得点P （x ,y ）的坐标满足方程y (y －a )=－2a 2x 2 ,整理得,1)2()2(81222=-+a a y x ① 因为a >0，所以得：（i ）当a =22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当0<a <22时，方程①表示椭圆，焦点E )2,2121(2a a -和 )2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点；（iii ）当a >22时，方程①表示椭圆，焦点E ())2121,0(2-+a a 和F (2121,0(2--a a ））为合乎题意的两个定点.。

2003年高考数学试题(天津卷理科)

2003年高考数学试题（天津卷理科）一、选择题1．=+-2)3(31i i_______（A ）i 4341+ （B ）)4341(i +- （C ）i2321+ （D ）)2321(i +- 2．已知)0,2(π-∈x ，54cos =x ，则=x tg 2_______（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0 0 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是______ （A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）),0()2,(+∞--∞ （D ）),1()1,(+∞--∞4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：||||(AC AB ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△ABC _______（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心5．函数11ln-+=x x y ),1(+∞∈x 的反函数是________（A ）11+-=x x e e y ，),0(+∞∈x （B ）11-+=xx e e y ，),0(+∞∈x （C ）11+-=x x e e y ，)0,(-∞∈x （D ）11-+=xx e e y ，)0,(-∞∈x 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a7．设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a （B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[a b -8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）839．已知双曲线中心在原点且一个焦点)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此以曲线的方程是（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x10．已知长方形的四个顶点)0,0(A ，)0,2(B ，)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC上的1P 后，依次反射到DA CD ,和AB 上的32,P P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtg 的取值范围是（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(11．)11413122242322(limn nn C C C C n C C C C ++++++++∞→ ＝（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二、填空题13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。

2003年高考数学试题(天津卷理科)

2003年高考数学试题（天津卷理科）一、选择题1．=+-2)3(31i i_______（A ）i 4341+ （B ）)4341(i +- （C ）i2321+ （D ）)2321(i +- 2．已知)0,2(π-∈x ，54cos =x ，则=x tg 2_______（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0 0 12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是______ （A ）)1,1(- （B ）),1(+∞- （C ）),0()2,(+∞--∞ （D ）),1()1,(+∞--∞4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：||||(AC AB ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定通过△ABC _______（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心5．函数11ln-+=x x y ),1(+∞∈x 的反函数是________（A ）11+-=x x e e y ，),0(+∞∈x （B ）11-+=xx e e y ，),0(+∞∈x （C ）11+-=x x e e y ，)0,(-∞∈x （D ）11-+=xx e e y ，)0,(-∞∈x 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）123a7．设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a （B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[a b -8．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m （A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）839．已知双曲线中心在原点且一个焦点)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此以曲线的方程是（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x10．已知长方形的四个顶点)0,0(A ，)0,2(B ，)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到DA CD ,和AB 上的32,P P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtg 的取值范围是（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(11．)11413122242322(limn nn C C C C n C C C C ++++++++∞→ ＝（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二、填空题13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。

2003高考数学试题及答案

2003高考数学试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为（）A. 0B. -2C. -1D. 2答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 若复数z满足|z|=1，则z的值可以是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i答案：A4. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a>0，b>0，若C的渐近线方程为y=±2x，则b/a的值为（）A. 1/2B. 2C. √2D. √3答案：B5. 已知函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1，若f'(x)=0有实根，则实根的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 若直线l的方程为y=kx+b，且l与圆x^2+y^2=1相切，则k 的取值范围为（）A. -1≤k≤1B. -√2≤k≤√2C. -1<k<1D. -√2<k<√2答案：D7. 已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+2b的坐标为（）B. (5,2)C. (-3,0)D. (-3,2)答案：A8. 若函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为（）A. √2B. 1C. 2D. 0答案：A9. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=1/2，则b4的值为（）A. 1/2B. 1/4D. 1/16答案：C10. 若函数f(x)=x^2-6x+8，且f(x)=0的根为x1和x2，则|x1-x2|的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B11. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若点P(1,2)在C上，则点P到C的焦点F的距离为（）A. 1B. 2C. 3答案：C12. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2，且f'(x)=0的根为x1和x2，则x1+x2的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。