高考数学(理)(北师大版)大一轮复习讲义第五章平面向量第五章 5.2

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高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)

第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案充分不必要解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________．答案 1解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案－13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________．答案 EB →＝34AB →－14AC →解析作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案－13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．答案 3∶5解析由5AM →＝AB →＋3AC →，得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________．答案 0解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________．答案平行四边形解析依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案－1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解方法一由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________．答案 3∶2解析设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

北师版高考总复习一轮理科数精品课件第5章平面向量及其应用、复数第1节平面向量的概念及线性运算

等,不能比较大小
相反向量长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
微点拨(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是
方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.
(2)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与非零向量a平行

的单位向量有两个,即向量和- .
||
3
6
5
1
C.-6 − 3
1
1
B.- −
6
3
5
1
D.-6 + 3
)
答案:B
解析:依题意, = +
1
=-3
+
1

3
−
1
=-3
−
1
1
1
=-6 − 3 .
2
1

2
解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边
由|a|=|b|=|c|,则||=||=||,
所以△OAB为等边三角形,则∠AOB=60°,
所以a,b的夹角为60°.
考向2.向量的线性运算
典例突破
例3.(2021广西南宁高三检测)如图所示的△ABC中,点D是线段AC上靠近A
的三等分点,点E是线段AB的中点,则 =(
1
1
A.- −
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
衍生考点
核心素养
1.平面向量的基
本概念
1.数学抽象
2.向量的线性运 2.逻辑推理
算
3.直观想象
3.向量共线
强基础增分策略
1.向量的有关概念
名称定义

北师大版版高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量的概念及线性运算教学案理

一、知识梳理１．向量的有关概念（１）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（２）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．（３）单位向量：长度等于１个单位的向量．（４）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．（５）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．２．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c ＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量—b的和的运算a—b＝a＋（—b）数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μ_a；λ（a＋b）＝λa＋λb３．向量共线的判定定理和性质定理（１）判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．（２）性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b＝λa.常用结论１．几个特殊向量（１）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0．（２）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．（３）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．（４）与向量a平行的单位向量有两个，即向量错误!和—错误!.２．五个常用结论（１）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．（２）若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（３）若A，B，C是平面内不共线的三点，则错误!＋错误!＋错误!＝0⇔P为△ABC的重心．（４）在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G（如图所示），易知G 为△ABC的重心，则有如下结论：１错误!＋错误!＋错误!＝0；２错误!＝错误!（错误!＋错误!）；３错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（５）若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝１．二、教材衍化１．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________，错误!＝________（用a，b表示）．解析：如图，错误!＝错误!＝错误!—错误!＝b—a，错误!＝错误!—错误!＝—错误!—错误!＝—a—b.答案：b—a—a—b２．在平行四边形ABCD中，若|错误!＋错误!|＝|错误!—错误!|，则四边形ABCD的形状为________．解析：如图，因为错误!＋错误!＝错误!，错误!—错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（）（２）零向量与任意向量平行．（）（３）若a∥b，b∥c，则a∥c.（）（４）若向量错误!与向量错误!是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（）（５）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（）（6）在△ABC中，D是BC的中点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×（５）√（6）√二、易错纠偏错误!错误!（１）对向量共线定理认识不准确；（２）向量线性运算不熟致错；（３）向量三角不等式认识不清致错．１．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．若a＋b＝0，则a＝—b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．２．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC.若错误!＝λ１错误!＋λ２错误!（λ１，λ２为实数），则λ１＝________，λ２＝________．解析：错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!，所以λ１＝—错误!，λ２＝错误!.答案：—错误!错误!３．已知向量a，b，若|a|＝２，|b|＝４，则|a—b|的取值范围为________．解析：当a与b方向相同时，|a—b|＝２，当a与b方向相反时，|a—b|＝6，当a与b不共线时，２<|a—b|<6，所以|a—b|的取值范围为[２，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．答案：[２，6][学生用书P8２]平面向量的有关概念（自主练透）１．设a0为单位向量，１若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；２若a与a0平行，则a＝|a|a0；３若a与a0平行且|a|＝１，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１C．２Ｄ．３解析：选Ｄ．向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故１是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝—|a|a0，故２３也是假命题．综上所述，假命题的个数是３．２．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的充分条件是（）Ａ．a＝—bＢ．a∥bＣ．a＝２bＤ．a∥b且|a|＝|b|解析：选Ｃ．因为向量错误!的方向与向量a相同，向量错误!的方向与向量b相同，且错误!＝错误!，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，Ｄ．当a＝２b时，错误!＝错误!＝错误!，故“a＝２b”是“错误!＝错误!”成立的充分条件．１若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若|a|＝|b|，则a＝b或a＝—b；３若A，B，C，D是不共线的四点，且错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；４a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；５已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．解析：１是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．２是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．３是正确的，因为错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|且错误!∥错误!；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．４是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．５是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．答案：３错误!辨析向量有关概念的五个关键点（１）向量定义的关键是方向和长度．（２）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．（３）相等向量的关键是方向相同且长度相等．（４）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．（５）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．平面向量的线性运算（多维探究）角度一向量的线性运算（１）（２0１8·高考全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!（２）在四边形ABCD中，错误!＝错误!，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则（）Ａ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!【解析】（１）法一：如图所示，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×错误!（错误!＋错误!）＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．法二：错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝错误!—错误!×错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．（２）在四边形ABCD中，如图所示，因为错误!＝错误!，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得错误!＝错误!错误!，由题意知△DEF∽△BEA，则错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!×错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，故选Ｂ．【答案】（１）A （２）B角度二根据向量线性运算求参数（一题多解）如图，在直角梯形ABCD中，错误!＝错误!错误!，错误!＝２错误!，且错误!＝r错误!＋s错误!，则２r＋３s＝（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４【解析】法一：由题图可得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.因为错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝错误!，则２r＋３s＝１＋２＝３．法二：因为错误!＝２错误!，所以错误!—错误!＝２（错误!—错误!），整理，得错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，以下同法一．法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由错误!＝错误!错误!得DC∥AB，且AB＝４DC.又错误!＝２错误!，所以E为PB的中点，且错误!＝错误!错误!.于是，错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B（４m，0），D（３m，３h），E（４m，２h），其中m＞0，h＞0．由错误!＝r错误!＋s错误!，得（４m，２h）＝r（４m，0）＋s（３m，３h），所以错误!解得错误!所以２r＋３s＝１＋２＝３．【答案】C错误!平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略（１）向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．（２）求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．１．（２0２0·福州模拟）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且错误!＝错误!.则下列关系中正确的是（）Ａ．错误!—错误!＝错误!错误!Ｂ．错误!＋错误!＝错误!错误!Ｃ．错误!—错误!＝错误!错误!Ｄ．错误!＋错误!＝错误!错误!解析：选Ａ．由题意得，错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!错误!，所以A正确；错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!错误!，所以B错误；错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!错误!，所以C错误；错误!＋错误!＝错误!＋错误!，错误!错误!＝错误!＝错误!—错误!，若错误!＋错误!＝错误!错误!，则错误!＝0，不合题意，所以D错误．故选Ａ．２．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且错误!＝３错误!，点O在线段CD上（与点C，D 不重合），若错误!＝x错误!＋（１—x）错误!，则x的取值范围是________．解析：设错误!＝y错误!，因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋y错误!＝错误!＋y（错误!—错误!）＝—y错误!＋（１＋y）错误!.因为错误!＝３错误!，点O在线段CD上（与点C，D不重合）．所以y∈错误!，因为错误!＝x错误!＋（１—x）错误!，所以x＝—y，所以x∈错误!.答案：错误!平面向量共线定理的应用（典例迁移）设两个非零向量a与b不共线．（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．【解】（１）证明：因为错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），所以错误!＝错误!＋错误!＝２a＋8b＋３（a—b）＝５（a＋b）＝５错误!，所以错误!，错误!共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．（２）因为k a＋b与a＋k b共线，所以存在实数λ，使k a＋b＝λ（a＋k b），即（k—λ）a＝（λk—１）b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k—λ＝λk—１＝0．所以k２—１＝0．所以k＝±１．【迁移探究１】（变条件）若将本例（１）中“错误!＝２a＋8b”改为“错误!＝a＋m b”，则m 为何值时，A，B，D三点共线？解：错误!＋错误!＝（a＋m b）＋３（a—b）＝４a＋（m—３）b，即错误!＝４a＋（m—３）b.若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，即４a＋（m—３）b＝λ（a＋b），所以错误!解得m＝7．故当m＝7时，A，B，D三点共线．【迁移探究２】（变条件）若将本例（２）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为k a＋b与a＋k b反向共线，所以存在实数λ，使k a＋b＝λ（a＋k b）（λ＜0），所以错误!所以k＝±１．又λ＜0，k＝λ，所以k＝—１．故当k＝—１时，两向量反向共线．错误!共线向量定理的３个应用（１）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb（b≠0），则a与b共线．（２）证明三点共线：若存在实数λ，使错误!＝λ错误!，则A，B，C三点共线．（３）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．[注意] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．１．设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，t b，错误!（a＋b）的终点在同一条直线上，则实数t＝________．解析：因为a，t b，错误!（a＋b）三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，所以a—t b与a—错误!（a＋b）共线，即a—t b与错误!a—错误!b共线，所以存在实数λ，使a—t b＝λ错误!，所以错误!解得λ＝错误!，t＝错误!.答案：错误!２．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，错误!＝λ错误!，则λ＝________．解析：因为错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!，错误!＝２错误!.由向量加法的平行四边形法则可知，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＝λ错误!＝λ（错误!＋错误!）＝λ错误!＝错误!λ错误!＋２λ错误!，由E，F，K三点共线，可得λ＝错误!.答案：错误![学生用书P8４]共线定理的推广与应用[共线定理] 已知错误!，错误!为平面内两个不共线的向量，设错误!＝x错误!＋y错误!，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝１．[推广形式] 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设错误!＝x错误!＋y错误!（x，y∈R）．当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R），则λ＋μ＝１．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得错误!＝m错误!，则错误!＝m错误!＝mλ错误!＋mμ错误!.又错误!＝x错误!＋y错误!（x，y∈R），所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上过程可逆．因此得到结论：错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋y＝m（定值），反之亦成立．（应用实例）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设错误!＝α错误!＋β错误!（α，β∈R），则α＋β的取值范围是________．【解析】当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈错误!＝[３，４]．【答案】[３，４]如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是________．【解析】由点D是圆O外的一点，可设错误!＝λ错误!（λ＞１），则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!.因为C，O，D三点共线，令错误!＝—μ错误!（μ＞１），所以错误!＝—错误!错误!—错误!·错误!（λ＞１，μ＞１）．因为错误!＝m错误!＋n错误!，所以m＝—错误!，n ＝—错误!，则m＋n＝—错误!—错误!＝—错误!∈（—１，0）．【答案】（—１，0）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝错误!，C为弧AB上的动点，若错误!＝x错误!＋y错误!，则x＋３y的取值范围是________．【解析】错误!＝x错误!＋３y错误!，如图，作错误!＝错误!，则考虑以向量错误!，错误!为基底．显然，当C在A点时，经过m＝１的平行线，当C在B点时，经过m＝３的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋３y的取值范围是[１，３]．【答案】[１，３][基础题组练]１．如图，已知错误!＝错误!错误!，用错误!，错误!表示错误!，则错误!等于（）A.错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．—错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．—错误!错误!—错误!错误!解析：选Ｃ．错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｃ．２．在△ABC中，AB＝２，BC＝３，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意易得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，所以２错误!＝错误!＋错误!错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故λ＋μ＝错误!＋错误!＝错误!.３．（２0２0·广东华附、省实、广雅、深中联考）设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使错误!＝错误!成立的充要条件是（）Ａ．a∥bＢ．θ＝0Ｃ．θ＝错误!Ｄ．θ＝π解析：选Ｂ．错误!＝错误!等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故选Ｂ．４．（２0２0·合肥一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足１6错误!—１２错误!—３错误!＝0，则（）Ａ．错误!＝１２错误!＋３错误!Ｂ．错误!＝１２错误!—３错误!Ｃ．错误!＝—１２错误!＋３错误!Ｄ．错误!＝—１２错误!—３错误!解析：选Ａ．对于A，错误!＝１２错误!＋３错误!＝１２（错误!—错误!）＋３（错误!—错误!）＝１２错误!＋３错误!—１５错误!，整理，可得１6错误!—１２错误!—３错误!＝0，这与题干中条件相符合，故选Ａ．５．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则错误!的值为（）Ａ．—３Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．—２解析：选Ｂ．因为错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!×错误!错误!—错误!错误!＝错误!错误!—错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝错误!，μ＝错误!，所以错误!＝错误!×错误!＝３．故选Ｂ．6．若|错误!|＝|错误!|＝|错误!—错误!|＝２，则|错误!＋错误!|＝________．解析：因为|错误!|＝|错误!|＝|错误!—错误!|＝２，所以△ABC是边长为２的正三角形，所以|错误!＋错误!|为△ABC的边BC上的高的２倍，所以|错误!＋错误!|＝２错误!.答案：２错误!7．已知O为△ABC内一点，且２错误!＝错误!＋错误!，错误!＝t错误!，若B，O，D三点共线，则t的值为________．解析：设线段BC的中点为M，则错误!＋错误!＝２错误!.因为２错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＝错误!，则错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.由B，O，D三点共线，得错误!＋错误!＝１，解得t＝错误!.答案：错误!8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝４，且错误!＝错误!错误!＋λ错误!（λ∈R），则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以错误!＋λ＝１，解得λ＝错误!，如图，过点D分别作AC，AB 的平行线交AB，AC于点M，N，则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝４，所以AN＝AM＝３，AD＝３错误!.答案：３错误!9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝２GE，设错误!＝a，错误!＝b，试用a，b表示错误!，错误!.解：错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!a＋错误!b；错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.１0．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，m，n∈R，求错误!＋错误!的值．解：设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝错误!（a＋b），错误!＝错误!—错误!＝n b—m a，错误!＝错误!—错误!＝错误!（a＋b）—m a＝错误!a＋错误!b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得错误!＝λ错误!，即n b—m a＝λ错误!a＋错误!λb，则错误!消去λ，得错误!＋错误!＝３．[综合题组练]１．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c与d反向共线，则实数λ的值为（）Ａ．１Ｂ．—错误!Ｃ．１或—错误!Ｄ．—１或—错误!解析：选Ｂ．由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝k d（k＜0），于是λa＋b＝k[a＋（２λ—１）b]．整理得λa＋b＝k a＋（２λk—k）b.由于a，b不共线，所以有错误!整理得２λ２—λ—１＝0，解得λ＝１或λ＝—错误!.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝—错误!.２．（一题多解）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝错误!DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则（）Ａ．m＋n是定值，定值为２Ｂ．２m＋n是定值，定值为３Ｃ．错误!＋错误!是定值，定值为２Ｄ．错误!＋错误!是定值，定值为３解析：选Ｄ．法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由错误!＝n错误!可得错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，由BD＝错误!DC可得错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，因为错误!＝m错误!，所以m＝错误!，整理可得错误!＋错误!＝３．法二：因为M，D，N三点共线，所以错误!＝λ错误!＋（１—λ）·错误!.又错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，所以错误!＝λm错误!＋（１—λ）·n错误!.又错误!＝错误!错误!，所以错误!—错误!＝错误!错误!—错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.比较系数知λm＝错误!，（１—λ）n＝错误!，所以错误!＋错误!＝３，故选Ｄ．３．（２0２0·铜川模拟）在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________．解析：如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得错误!＝t错误!＝t（错误!—错误!）．因为M是线段AD的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（—错误!＋t错误!—t错误!）＝—错误!（t＋１）·错误!＋错误!t错误!.又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以λ＝—错误!（t＋１），μ＝错误!t，所以λ＋μ＝—错误!.答案：—错误!.４．已知P为△ABC所在平面内一点，错误!＋错误!＋错误!＝0，|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝２，则△ABC的面积为________．解析：因为错误!＋错误!＋错误!＝0，所以错误!＝—（错误!＋错误!）．由平行四边形法则可知，以错误!，错误!为边组成的平行四边形的一条对角线与错误!反向，且长度相等．因为|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝２，所以以错误!，错误!为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为２，所以BC＝２错误!，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝错误!AB·BC＝错误!×２×２错误!＝２错误!.答案：２错误!５．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c与x a ＋y b（x，y为非零实数）共线，求错误!的值．解：设e１，e２分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c＝e１—２e２，a ＝２e１＋e２，b＝—２e１—２e２，由c与x a＋y b共线，得c＝λ（x a＋y b），所以e１—２e２＝２λ（x—y）e１＋λ（x—２y）e２，所以错误!所以错误!所以错误!的值为错误!.6．已知O，A，B是不共线的三点，且错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R）．（１）若m＋n＝１，求证：A，P，B三点共线；（２）若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝１．证明：（１）若m＋n＝１，则错误!＝m错误!＋（１—m）错误!＝错误!＋m（错误!—错误!），所以错误!—错误!＝m（错误!—错误!），即错误!＝m错误!，所以错误!与错误!共线．又因为错误!与错误!有公共点B，所以A，P，B三点共线．（２）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使错误!＝λ错误!，所以错误!—错误!＝λ（错误!—错误!）．又错误!＝m错误!＋n错误!.故有m错误!＋（n—１）错误!＝λ错误!—λ错误!，即（m—λ）错误!＋（n＋λ—１）错误!＝0．因为O，A，B不共线，所以错误!，错误!不共线，所以错误!所以m＋n＝１．。

2020届高三理数一轮讲义：5.2-平面向量基本定理及坐标表示(含答案)

答案(1)B(2)
考点二平面向量的坐标运算
【例2】(1)设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则＋等于()
A.－2 B.2 C.－3 D.3
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝()
A.1B.2C.3D.4
解析(1)由题意得＝(1，2)，＝(－1，4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3 .
∴x＝2，y＝2，则点P(2，2).
答案A
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝()
A.(－7，－4)B.(7，4)
C.(－1，4)D.(1，4)
解析根据题意得＝(3，1)，∴ ＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，
－4)，故选A.
答案A
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝ .()
解析(1)共线向量不可以作为基底.
(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.
(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第五章平面向量 5-2

→ → ②设OA＝xi＋yj，则______就是终点 A 的坐标，即若OA＝ (x，y)，则 A 点坐标为______，反之亦成立．(O 是坐标原点)
2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算. 向量 a b a＋b a－b λa
坐 (x1， (x2， (x1＋x2，标 y1) y2) y1＋y2)
[ 答案 ]
1.(1) 不共线 x
λ1e1 ＋ λ2e2
基底
(2) ห้องสมุดไป่ตู้相垂直
(3)①(x，y) (x，y)
y ②(x，y) (x，y)
2．终点起点 λb x1y2－y1x2＝0 3．(1)(x2－x1，y2－y1) x2－x12＋y2－y12 (2)(x1＋x2，
1 y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) x1y2－x2y1＝0 (3)± |a|a
→ → → → → BC＝BA＋AC＝BA－CA＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
4．(文)(2014· 合肥调研)设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b＝( A．(7,3) C．(1,7)
[答案] A
[解析] 依题意得 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
[解析]
本题考查平面向量的加法，坐标运算．
→ → → AC＝AB＋BC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
→ → → (理)若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10)
[答案] A
)
B．(2,4) D．(－6，－10)
[解析]
本题考查向量的线性运算．
3．平面向量的坐标运算 → (1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝____________， → |AB|＝______________. (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝______，a－ b＝______，λa＝______，a∥b 的充要条件是________． (3)非零向量 a 的单位向量为______．

2024届新高考一轮复习北师大版第5章第2节平面向量的基本定理及坐标表示课件(44张)

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3．若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，则点 P 的坐标为( )
A．(2，2)
B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1)
D．(2，2)或(3，1)
D 由题意得P→1P＝13 P→1P2或P→1P＝23 P→1P2，P→1P2＝(3，－3).设 P(x，y)，
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2．设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则xx12 ＝yy12 是 a∥b 的___________ 条件．( )
A．充要
B．必要不充分
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
C 若xx12 ＝yy12 ，则 x1y2－x2y1＝0，∴a∥b，若 a∥b，有可能 x2 或 y2 为 0，故选 C.
记作____{_e_1_，__e_2}______． (3)正交基：若基中的两个向量互__相__垂__直__，则称这组基为正交基．在正
交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单__位__向__量__，则称这组基为标准正交基．
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2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝______(_x_1＋__x_2_，__y_1＋__y_2_)_________，
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
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(3)若
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a∥b

2024届新高考一轮复习北师大版第5章第3节平面向量的数量积及平面向量应用举例课件(64张)

B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立).
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规定零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义数学（BSD）
第五章平面向量、复数第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例
内夯实·主干知识容探究·核心考点索引课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．

高考数学一轮总复习(目标导航+自主导学+典例讲解)第五章平面向量课件北师大版

走向高考·数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第五章平面向量
第五章
专题整合
知识网络题型归类
知识网络
题型归类
转化与化归思想在向量解题中的应用
向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为熟知的数量运算．这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题．
函数与方程思想在向量解题中的应用平面向量的坐标运算使平面向量代数化，而向量与代数中的函数最值等问题结合，即是通过向量的数量积的坐标运算联系起来的．向量与其他知识的结合，已成为高考命题的热点．
已知 a＝( 3，－1)，b＝12， 23，且存在实数 k 和 t，使得 x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且 x⊥y.试求k＋t t2的最小值．
(2)由O→B＝(10,5)，得 B(10,5)，所以直线 OB 的方程为 y＝12x. 由条件可知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝10，所以圆心坐标为(3，－1)，半径为 10. 设圆心(3，－1)关于直线 OB 的对称点为(x，y)，
x＋2 3－2×y－2 1＝0， yx＋－13＝－2，
解得xy＝＝13，.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
如图所示，若点 D 是△ABC 内一点，并且满足 AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.
[思路分析] 借助向量的减法，分别表示出向量，然后代入已知条件证明．
[规范解答] 设A→B＝c，A→C＝b，A→D＝m，则 B→D＝A→D－A→B＝m－c，C→D＝A→D－A→C＝m－b. ∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2， ∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即 ∴c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，即 2m·(c－b)＝0，即A→D·(A→B－A→C)＝0， ∴A→D·C→B＝0，∴AD⊥BC.

高考数学大一轮复习第五章平面向量高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题课件理北师大版

则 x1＋x2＝56π， ∴cos(x1－x2)＝cosx1－56π－x1
＝cos2x1－56π＝cos2x1－3π－π2＝sin2x1－π3＝13.
1 2 3 456
第四十二页，共56页。
解答
4.(2017·东北三省四市二模)已知点 P( 3，1)，Q(cos x，sin x)，O 为坐标原点，函数 f(x)＝O→P·Q→P.
由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.
第三十三页，共56页。
解答
课时(kèshí)作业
第三十四页，共56页。
基础( jīchǔ)保分练
1.已知函数 f(x)＝sinωx＋π6＋sinωx－π6－2cos2ω2x，x∈R(其中 ω>0).
(1)求函数f(x)的值域；
解
f(x)＝
3 2 sin
ωx＋12cos
题型一三角函数(sānjiǎhánshù) 的图像和性质
例1 (2016·山东)设f(x)＝ 2 s3in(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的递增(dìzēng)区间；
第十三页，共56页。
解答
(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来(yuánlái)的2倍(纵坐标不变)，再
第十八页，共56页。
解答
(2)函数f(x)的单调(dāndiào)区间；
解由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2 (k∈Z)，
所以函数 f(x)的递增区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z).
由 2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π(k∈Z)，
cos C＝153，a＝1，则 b＝
21 13

2025数学大一轮复习讲义北师大版第五章 §5.2 平面向量基本定理及坐标表示

(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__(2_,_4_)_.
∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD， ∴D→C＝2A→B，
设点D的坐标为(x，y)，则D→C＝(4－x,2－y)，又A→B＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
则－a＝m23a＋b＋n－a－23b，
23m－n＝－1，
m－23n＝0，
解得 m＝65，n＝95，
即B→A＝65A→F＋95C→E.
思维升华
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基，并运用该基将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
且A→D∥A→F，即 2x－y＝0，
①
又C→D＝(x，y－4)，C→E＝(1，－4)，
且C→D∥C→E，即 y－4＋4x＝0，
②
由①②得 x＝23，y＝43，
故交点 D23，34.
思维升华
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝ x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
解得x＝53， y＝23
或xy＝＝7－，2.
∴点 P 的坐标为53，32或(7，－2).
(2)(2024·成都模拟)在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点.若A→C＝λA→M＋μB→D，则 λ＋μ 的值为
4 A.3
√B.53
15
C. 8

高考数学(北师大版理)一轮复习课件第五章平面向量第1节

[常用结论与微点提醒] 1.若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B).
2.O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
xA→B＋yA→C，所以 x＝12，y＝－16.
答案
(1)D
1 (2)2
－16
规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.
________；y＝________.
解析 (1)由A→D＝－13A→B＋43A→C，可得 3A→D＝－A→B＋4A→C，即 4A→D－4A→C＝A→D－A→B，则 4C→D
＝B→D，即B→D＝－4D→C，可得B→D＋D→C＝－3D→C，故B→C＝－3D→C，则 λ＝－3.
(2)由题中条件得，M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B－16A→C＝
4.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) (3)向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立.( )

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示

-12考点1
考点2
考点3
考点四
思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么? 解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.
-8考点1
考点2
考点3
考点四
平面向量基本定理的应用
例 1(1)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 相交于点 F.若��=a,��=b,则 ��=( C ) A.4a+2b
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-3-
3.平面向量的坐标运算 (1)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则 �� = (x2-x1,y2-y1) . (2)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (x1+x2,y1+y2) , (x1-x2,y1-y2) a -b = ,λa= (λx1,λy1) ,
2 1 1 λ=2,μ=4,所以 3 λ+μ=4.
1
1
1
1
-15考点1
考点2
考点3
平面向量的坐标运算
例 2(1)已知向量��=(1,-3),��=(-1,-2),��=(2,4),则��=( D ) A.(4,-1) B.(0,9) C.(2,-1) D.(2,9) (2)向量 a=( ,tan α),b=(cos α,1),且 a∥b,则 cos( +α)=( A ) 3 2 D.- 3 (3)(2018 河北衡水中学金卷一模,9)已知点 E,F 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上运动,且��=(√2, √2),设|CE|=x,|CF|=y,若|�� − ��|=|��|,则 x+y 的最大值为( C ) A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 A.-3

高考数学大一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示课件理北师大版

得2m4－n＝3m－＋12n，所以mn ＝－12.
12 3 4 56 第十页，共63页。
解析答案
题组三易错自纠
4.设e1，e2是平面(píngmiàn)内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ02＝_____.
123456 第十一页，共63页。
答案
5.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(A→xCiàngliàng)
2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔ xx12＝yy12.
第七页，共63页。
题组一思考辨析
基础(jīchǔ) 自测
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) ×
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √)
∴B(－3，－6).
第三十二页，共63页。
解析答案
(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线(ɡònɡ xiàn)，则实数－a的54 值为解_析____A→. B＝(a－1,3)，A→C＝(－3,4)，根据题意A→B∥A→C， ∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即 4a＝－5，∴a＝－45.
A.(－2，－1)
B.(－1,2)
解析 12a＝21，12，32b＝32，－32，故12a－32b＝(－1,2).
第二十六页，共63页。
解析答案
题型三向量共线的坐标(zuòbiāo)表示
多维探究 (tànjiū)
命题点1 利用向量(xiàngliàng)共线求向量(xiàngliàng)或点的坐标
第三十一页，共63页。
跟踪训练 (1)(2017·北京海淀区模拟)已知向量(xiàngliàng)a＝(1,1)，点

北师大版版高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量的数量积及应用举例教学案理

一、知识梳理１．向量的夹角（１）定义：已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．（２）范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤１80°.（３）共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝１80°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b 垂直，记作a⊥b.２．平面向量的数量积定义已知两个向量a，b，它们的夹角为θ，把|a||b|·cos__θ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b投影|a|cos__θ叫作向量a在b方向上的射影，|b|cos__θ叫作向量b在a方向上的射影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos__θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos__θ的乘积（１）a·b＝b·a.（２）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．（３）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.４．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝错误!|a|＝错误!夹角cos θ＝错误!cos θ＝错误!a⊥b的充要条件a·b＝0x１x２＋y１y２＝0常用结论１．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．２．平面向量数量积运算的常用公式（１）（a＋b）·（a—b）＝a２—b２.（２）（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２.（３）（a—b）２＝a２—２a·b＋b２.二、教材衍化１．已知a·b＝—１２错误!，|a|＝４，a和b的夹角为１３５°，则|b|为（）Ａ．１２Ｂ．6Ｃ．３错误!Ｄ．３解析：选Ｂ．a·b＝|a||b|cos １３５°＝—１２错误!，所以|b|＝错误!＝6．２．已知向量a＝（２，１），b＝（—１，k），a·（２a—b）＝0，则k＝________．解析：因为２a—b＝（４，２）—（—１，k）＝（５，２—k），由a·（２a—b）＝0，得（２，１）·（５，２—k）＝0，所以１0＋２—k＝0，解得k＝１２．答案：１２３．已知|a|＝５，|b|＝４，a与b的夹角θ＝１２0°，则向量b在向量a方向上的射影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cos θ＝４×cos １２0°＝—２．答案：—２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）两个向量的夹角的范围是错误!.（）（２）向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．（）（３）若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．（）（４）a·b＝a·c（a≠0），则b＝c.（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）没有找准向量的夹角致误；（２）不理解向量的数量积的几何意义致误；（３）向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．１．已知△ABC的三边长均为１，且错误!＝c，错误!＝a，错误!＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝１２0°，|a|＝|b|＝|c|＝１，所以a·b＝b·c＝a·c＝１×１×cos １２0°＝—错误!，所以a·b＋b·c＋a·c＝—错误!.答案：—错误!２．已知点A（—１，１），B（１，２），C（—２，—１），D（３，４），则向量错误!在错误!方向上的射影为________．解析：错误!＝（２，１），错误!＝（５，５），由定义知，错误!在错误!方向上的射影为错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!３．设向量a＝（—１，２），b＝（m，１），如果向量a＋２b与２a—b平行，那么a与b的数量积等于________．解析：a＋２b＝（—１＋２m，４），２a—b＝（—２—m，３），由题意得３（—１＋２m）—４（—２—m）＝0，则m＝—错误!，所以a·b＝—１×错误!＋２×１＝错误!.答案：错误!平面向量数量积的运算（师生共研）（一题多解）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝２，∠BAD＝错误!，若错误!·错误!＝２错误!·错误!，则错误!·错误!＝________．【解析】法一：因为错误!·错误!＝２错误!·错误!，所以错误!·错误!—错误!·错误!＝错误!·错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!.因为AB∥CD，CD＝２，∠BAD＝错误!，所以２|错误!|＝|错误!|·|错误!|cos错误!，化简得|错误!|＝２错误!.故错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝|错误!|２＋错误!·错误!＝（２错误!）２＋２错误!×２cos错误!＝１２．法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D（m，m），C（m＋２，m），B（n，0），其中m＞0，n＞0，则由错误!·错误!＝２错误!·错误!，得（n，0）·（m＋２，m）＝２（n，0）·（m，m），所以n（m＋２）＝２nm，化简得m＝２．故错误!·错误!＝（m，m）·（m＋２，m）＝２m２＋２m＝１２．【答案】１２错误!平面向量数量积的三种运算方法（１）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．（２）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a·b＝x１x２＋y１y２.（３）利用数量积的几何意义求解．[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．１．（２0２0·河南新乡二模）已知a＝（１，２），b＝（m，m＋３），c＝（m—２，—１），若a∥b，则b·c＝（）Ａ．—7 Ｂ．—３C．３Ｄ．7解析：选Ｂ．因为a＝（１，２），b＝（m，m＋３），a∥b，所以１×（m＋３）—２m＝0，所以m＝３，所以b·c＝m（m—２）—（m＋３）＝—３，故选Ｂ．２．（一题多解）在▱ABCD中，|错误!|＝8，|错误!|＝6，N为DC的中点，错误!＝２错误!，则错误!·错误!＝________．解析：法一：错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!＝错误!错误!２—错误!错误!２＝错误!×8２—错误!×6２＝２４．法二（特例图形）：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N（４，6），M（8，４）．所以错误!＝（8，４），错误!＝（４，—２），所以错误!·错误!＝（8，４）·（４，—２）＝３２—8＝２４．答案：２４平面向量数量积的应用（多维探究）角度一平面向量的模（１）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且|a|＝错误!，|b|＝２，在△ABC中，错误!＝２a＋２b，错误!＝２a—6b，D为BC的中点，则|错误!|等于（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8（２）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝２，BC＝１，P是腰DC上的动点，则|错误!＋３错误!|的最小值为__________．【解析】（１）因为错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（２a＋２b＋２a—6b）＝２a—２b，所以|错误!|２＝４（a—b）２＝４（a２—２b·a＋b２）＝４×错误!＝４，则|错误!|＝２．（２）建立平面直角坐标系如图所示，则A（２，0），设P（0，y），C（0，b），则B（１，b），则错误!＋３错误!＝（２，—y）＋３（１，b—y）＝（５，３b—４y）．所以|错误!＋３错误!|＝错误!（0≤y≤b）．当y＝错误!b时，|错误!＋３错误!|min＝５．【答案】（１）A （２）５错误!求向量的模的方法（１）公式法：利用|a|＝错误!及（a±b）２＝|a|２±２a·b＋|b|２，把向量模的运算转化为数量积的运算．（２）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．角度二平面向量的夹角（１）（２0１9·高考全国卷Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝２a—错误!b，则cos〈a，c〉＝________．（２）若向量a＝（k，３），b＝（１，４），c＝（２，１），已知２a—３b与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【解析】（１）设a＝（１，0），b＝（0，１），则c＝（２，—错误!），所以cos〈a，c〉＝错误!＝错误!.（２）因为２a—３b与c的夹角为钝角，所以（２a—３b）·c<0，即（２k—３，—6）·（２，１）<0，所以４k—6—6<0，所以k<３．【答案】（１）错误!（２）（—∞，３）错误!（１）研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或１80°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，１80°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos θ＝错误!求解．（２）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．角度三两向量垂直问题（１）（２0２0·福建厦门一模）已知a＝（１，１），b＝（２，m），a⊥（a—b），则|b|＝（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．２（２）已知向量错误!与错误!的夹角为１２0°，且|错误!|＝３，|错误!|＝２．若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．【解析】（１）由题意知a—b＝（—１，１—m）．因为a⊥（a—b），所以a·（a—b）＝—１＋１—m＝0，所以m＝0，所以b＝（２，0），所以|b|＝２．故选Ｄ．（２）因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0．又错误!＝λ错误!＋错误!，错误!＝错误!—错误!，所以（λ错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝0，即（λ—１）错误!·错误!—λ错误!２＋错误!２＝0，所以（λ—１）|错误!||错误!|cos １２0°—9λ＋４＝0．所以（λ—１）×３×２×（—错误!）—9λ＋４＝0．解得λ＝错误!.【答案】（１）D （２）错误!错误!（１）当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x１x２＋y１y２＝0．（２）当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0．（３）数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.１．已知向量a＝（２，１），b＝（２，x）不平行，且满足（a＋２b）⊥（a—b），则x＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．１或—错误!Ｄ．１或错误!解析：选Ａ．因为（a＋２b）⊥（a—b），所以（a＋２b）·（a—b）＝0，所以|a|２＋a·b—２|b|２＝0，因为向量a＝（２，１），b＝（２，x），所以５＋４＋x—２（４＋x２）＝0，解得x＝１或x＝—错误!，因为向量a，b不平行，所以x≠１，所以x＝—错误!，故选Ａ．２．（２0２0·安徽黄山模拟）已知向量a，b满足|a|＝４，b在a方向上的投影为—２，则|a—３b|的最小值为（）Ａ．１２Ｂ．１0 Ｃ．错误!Ｄ．２解析：选Ｂ．设a与b的夹角为θ.由于b在a方向上的射影为—２，所以|b|cos θ＝错误!＝—２，所以a·b＝—8，又|b|cos θ＝—２，所以|b|≥２，则|a—３b|＝错误!＝错误!≥错误!＝１0，即|a—３b|的最小值为１0，故选Ｂ．３．（一题多解）已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足２错误!＝错误!，设向量错误!，错误!的夹角为θ，则cos θ＝________．解析：法一：因为２错误!＝错误!，所以E为BC的中点．设正方形的边长为２，则|错误!|＝错误!，|错误!|＝２错误!，错误!·错误!＝错误!·（错误!—错误!）＝错误!|错误!|２—|错误!|２＋错误!错误!·错误!＝错误!×２２—２２＝—２，所以cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.法二：因为２错误!＝错误!，所以E为BC的中点．设正方形的边长为２，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A（0，0），B（２，0），D（0，２），E（２，１），所以错误!＝（２，１），错误!＝（—２，２），所以错误!·错误!＝２×（—２）＋１×２＝—２，故cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!平面向量与三角函数（师生共研）已知两个不共线的向量a，b满足a＝（１，错误!），b＝（cos θ，sin θ），θ∈R.（１）若２a—b与a—7b垂直，求|a＋b|的值；（２）当θ∈错误!时，若存在两个不同的θ，使得|a＋错误!b|＝|m a|成立，求正数m的取值范围．【解】（１）由条件知|a|＝２，|b|＝１，又２a—b与a—7b垂直，所以（２a—b）·（a—7b）＝8—１５a·b＋7＝0，所以a·b＝１．所以|a＋b|２＝|a|２＋２a·b＋|b|２＝４＋２＋１＝7，故|a＋b|＝错误!.（２）由|a＋错误!b|＝|m a|，得|a＋错误!b|２＝|m a|２.即|a|２＋２错误!a·b＋３|b|２＝m２|a|２，即４＋２错误!a·b＋３＝４m２，7＋２错误!（cos θ＋错误!sin θ）＝４m２.所以４错误!sin错误!＝４m２—7．由θ∈错误!，得θ＋错误!∈错误!，因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知４错误!sin错误!∈[6，４错误!），即6≤４m２—7＜４错误!，即错误!≤m２＜错误!，又m＞0，所以错误!≤m＜错误!.即实数m的取值范围为错误!.错误!平面向量与三角函数的综合问题（１）题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．（２）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos（A—B），sin（A—B）），n＝（cos B，—sin B），且m·n＝—错误!.（１）求sin A的值；（２）若a＝４错误!，b＝５，求角B的大小及向量错误!在错误!方向上的射影．解：（１）由m·n＝—错误!，得cos（A—B）cos B—sin（A—B）sin B＝—错误!，所以cos A＝—错误!.因为0<A<π，所以sin A＝错误!＝错误!＝错误!.（２）由正弦定理错误!＝错误!，得sin B＝错误!＝错误!＝错误!，因为a>b，所以A>B，则B＝错误!，由余弦定理得错误!错误!＝５２＋c２—２×５c×错误!，解得c＝１．故向量错误!在错误!方向上的射影为|错误!|cos B＝c cos B＝１×错误!＝错误!.平面向量的综合运用一、平面向量在平面几何中的应用（１）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足错误!＝错误!＋λ（错误!＋错误!），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ．内心Ｂ．外心C．重心Ｄ．垂心（２）在平行四边形ABCD中，AD＝１，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若错误!·错误!＝１，则AB＝________．【解析】（１）由原等式，得错误!—错误!＝λ（错误!＋错误!），即错误!＝λ（错误!＋错误!），根据平行四边形法则，知错误!＋错误!＝２错误!（D为BC的中点），所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选Ｃ．（２）在平行四边形ABCD中，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!—错误!错误!，又因为错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!错误!）＝错误!２—错误!错误!·错误!＋错误!·错误!—错误!错误!２＝|错误!|２＋错误!|错误!||错误!|cos 60°—错误!|错误!|２＝１＋错误!×１×错误!|错误!|—错误!|错误!|２＝１．所以错误!|错误!|＝0，又|错误!|≠0，所以|错误!|＝错误!.【答案】（１）C （２）错误!错误!向量与平面几何综合问题的解法（１）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（２）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．二、平面向量与函数、不等式的综合应用（１）设θ是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|a＋t b|的最小值为１，则下列判断正确的是（）Ａ．若|a|确定，则θ唯一确定Ｂ．若|b|确定，则θ唯一确定Ｃ．若θ确定，则|b|唯一确定Ｄ．若θ确定，则|a|唯一确定（２）（一题多解）已知向量a，b为单位向量，且a·b＝—错误!，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．【解析】（１）设g（t）＝（a＋t b）２＝b２t２＋２t a·b＋a２，当且仅当t＝—错误!＝—错误!时，g（t）取得最小值１，所以b２×错误!—２a·b×错误!＋a２＝１，化简得a２sin ２θ＝１，所以当θ确定时，|a|唯一确定．（２）法一：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t（a＋b）（t∈R），所以a＋c＝（t＋１）a＋t b，所以（a＋c）２＝（t＋１）２a２＋２t（t＋１）a·b＋t２b２，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝—错误!，所以（a＋c）２＝（t＋１）２—t（t＋１）＋t２＝t２＋t＋１≥错误!，所以|a＋c|≥错误!，所以|a＋c|的最小值为错误!.法二：因为向量a，b为单位向量，且a·b＝—错误!，所以向量a，b的夹角为１２0°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝（１，0），b＝错误!，则a＋b＝错误!，因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t错误!（t∈R），所以a＋c＝错误!，所以|a＋c|＝错误!＝错误!≥错误!，所以|a＋c|的最小值为错误!.【答案】（１）D （２）错误!错误!通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．三、平面向量与解三角形的综合应用已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（sin A，sin B），n＝（cos B，cos A），m·n＝sin ２C.（１）求角C的大小；（２）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且错误!·（错误!—错误!）＝１8，求c.【解】（１）m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin（A＋B），对于△ABC，A＋B＝π—C，0<C<π，所以sin（A＋B）＝sin C，所以m·n＝sin C，又m·n＝sin ２C，所以sin ２C＝sin C，cos C＝错误!，又因为C∈（0，π），所以C＝错误!.（２）由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得２sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得２c＝a＋b.因为错误!·（错误!—错误!）＝１8，所以错误!·错误!＝１8，即ab cos C＝１8，ab＝３6．由余弦定理得c２＝a２＋b２—２ab cos C＝（a＋b）２—３ab，所以c２＝４c２—３×３6，c２＝３6，所以c＝6．错误!（１）解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．（２）还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．四、平面向量与解析几何的综合应用（１）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．（２）已知F为双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若错误!＝３错误!，则此双曲线的离心率为________．【解析】（１）由椭圆错误!＋错误!＝１可得F（—１，0），点O（0，0），设P（x，y）（—２≤x≤２），则错误!·错误!＝x２＋x＋y２＝x２＋x＋３错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２，—２≤x≤２，当且仅当x＝２时，错误!·错误!取得最大值6．（２）由F（—c，0），A（0，b），得直线AF的方程为y＝错误!x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝错误!x相交，联立得错误!消去x得，y B＝错误!.由错误!＝３错误!，得y B＝４b，所以错误!＝４b，化简得３c＝４a，所以离心率e＝错误!.【答案】（１）6 （２）错误!错误!向量在解析几何中的２个作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具利用a⊥b⇔a·b＝0（a，b为非零向量），a∥b⇔a＝λb（b≠0）可解决垂直、作用平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）已知错误!＝（２，３），错误!＝（３，t），|错误!|＝１，则错误!·错误!＝（）Ａ．—３Ｂ．—２C．２Ｄ．３解析：选Ｃ．因为错误!＝错误!—错误!＝（１，t—３），所以|错误!|＝错误!＝１，解得t＝３，所以错误!＝（１，0），所以错误!·错误!＝２×１＋３×0＝２，故选Ｃ．２．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知非零向量a，b满足|a|＝２|b|，且（a—b）⊥b，则a与b的夹角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．设a与b的夹角为α，因为（a—b）⊥b，所以（a—b）·b＝0，所以a·b＝b２，所以|a|·|b|cos α＝|b|２，又|a|＝２|b|，所以cos α＝错误!，因为α∈（0，π），所以α＝错误!.故选Ｂ．３．（２0２0·河北衡水模拟三）已知向量a＝（１，k），b＝（２，４），则“k＝—错误!”是“|a＋b|２＝a２＋b２”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．由|a＋b|２＝a２＋b２，得a２＋２a·b＋b２＝a２＋b２，得a·b＝0，得（１，k）·（２，４）＝0，解得k＝—错误!，所以“k＝—错误!”是“|a＋b|２＝a２＋b２”的充要条件．故选Ｃ．４．（２0２0·河南安阳二模）如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝４，CD＝8．若错误!＝—7错误!，３错误!＝错误!，则错误!·错误!＝（）Ａ．１１Ｂ．１0Ｃ．—１0 Ｄ．—１１解析：选Ｄ．以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．则A（0，0），B（４，0），E（１，４），F（５，１），所以错误!＝（５，１），错误!＝（—３，４），则错误!·错误!＝—１５＋４＝—１１．故选Ｄ．５．已知向量|错误!|＝３，|错误!|＝２，错误!＝m错误!＋n错误!，若错误!与错误!的夹角为60°，且错误!⊥错误!，则实数错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．6 Ｄ．４解析：选Ａ．因为向量|错误!|＝３，|错误!|＝２，错误!＝m错误!＋n错误!，错误!与错误!夹角为60°，所以错误!·错误!＝３×２×cos 60°＝３，所以错误!·错误!＝（错误!—错误!）·（m错误!＋n错误!）＝（m—n）错误!·错误!—m|错误!|２＋n|错误!|２＝３（m—n）—9m＋４n＝—6m＋n＝0，所以错误!＝错误!，故选Ａ．6．（２0２0·河南郑州一模）已知e１，e２为单位向量且夹角为错误!，设a＝３e１＋２e２，b＝３e２，则a在b方向上的射影为________．解析：根据题意得，a·b＝9e１·e２＋6e错误!＝9×１×１×错误!＋6＝—错误!＋6＝错误!，又因为|b|＝３，所以a在b方向上的射影为错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0２0·江西临川九校３月联考）已知平面向量a＝（２m—１，２），b＝（—２，３m—２），且a⊥b，则|２a—３b|＝________．解析：因为a⊥b，所以a·b＝—２（２m—１）＋２（３m—２）＝0，解得m＝１，所以a＝（１，２），b＝（—２，１），所以２a—３b＝（２，４）—（—6，３）＝（8，１），所以|２a—３b|＝错误!＝错误!.答案：错误!8．（２0２0·石家庄质量检测（一））已知错误!与错误!的夹角为90°，|错误!|＝２，|错误!|＝１，错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R），且错误!·错误!＝0，则错误!的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，２），C（１，0），所以错误!＝（0，２），错误!＝（１，0），错误!＝（１，—２）．设M（x，y），则错误!＝（x，y），所以错误!·错误!＝（x，y）·（１，—２）＝x—２y＝0，所以x＝２y，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，即（x，y）＝λ（0，２）＋μ（１，0）＝（μ，２λ），所以x＝μ，y＝２λ，所以错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!9．已知向量m＝（sin α—２，—cos α），n＝（—sin α，cos α），其中α∈R.（１）若m⊥n，求角α；（２）若|m—n|＝错误!，求cos ２α的值．解：（１）若m⊥n，则m·n＝0，即为—sin α（sin α—２）—cos２α＝0，即sin α＝错误!，可得α＝２kπ＋错误!或α＝２kπ＋错误!，k∈Z.（２）若|m—n|＝错误!，即有（m—n）２＝２，即（２sin α—２）２＋（２cos α）２＝２，即为４sin２α＋４—8sin α＋４cos２α＝２，即有8—8sin α＝２，可得sin α＝错误!，即有cos ２α＝１—２sin２α＝１—２×错误!＝—错误!.１0．在平面直角坐标系xOy中，点A（—１，—２），B（２，３），C（—２，—１）．（１）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（２）设实数t满足（错误!—t错误!）·错误!＝0，求t的值．解：（１）由题设知错误!＝（３，５），错误!＝（—１，１），则错误!＋错误!＝（２，6），错误!—错误!＝（４，４）．所以|错误!＋错误!|＝２错误!，|错误!—错误!|＝４错误!.故所求的两条对角线的长分别为４错误!，２错误!.（２）法一：由题设知：错误!＝（—２，—１），错误!—t错误!＝（３＋２t，５＋t）．由（错误!—t错误!）·错误!＝0，得：（３＋２t，５＋t）·（—２，—１）＝0，从而５t＝—１１，所以t＝—错误!.法二：错误!·错误!＝t错误!２，错误!＝（３，５），t＝错误!＝—错误!.[综合题组练]１．（２0２0·安徽滁州一模）△ABC中，AB＝５，AC＝１0，错误!·错误!＝２５，点P是△ABC内（包括边界）的一动点，且错误!＝错误!错误!—错误!λ错误!（λ∈R），则|错误!|的最大值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．△ABC中，AB＝５，AC＝１0，错误!·错误!＝２５，所以５×１0×cos A＝２５，cos A ＝错误!，所以A＝60°，BC＝错误!＝５错误!，因为AB２＋BC２＝AC２，所以B＝90°.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（５，0），C（５，５错误!），设点P为（x，y），0≤x≤５，0≤y≤５错误!，因为错误!＝错误!错误!—错误!λ错误!，所以（x，y）＝错误!（５，0）—错误!λ（５，５错误!）＝（３—２λ，—２错误!λ），所以错误!所以y＝错误!（x—３），直线BC的方程为x＝５，联立错误!解得错误!此时|错误!|最大，为错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0２0·广东广雅中学模拟）如图所示，等边△ABC的边长为２，AM∥BC，且AM＝6．若N为线段CM的中点，则错误!·错误!＝（）Ａ．２４Ｂ．２３Ｃ．２２Ｄ．１8解析：选Ｂ．法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（２，0），C（１，错误!），因为△ABC为等边三角形，且AM∥BC，所以∠MAB＝１２0°，所以M（—３，３错误!）．因为N是CM的中点，所以N（—１，２错误!），所以错误!＝（—１，２错误!），错误!＝（—５，３错误!），所以错误!·错误!＝２３．法二：依题意知|错误!|＝|错误!|＝２，错误!与错误!的夹角为60°，且错误!＝３错误!，错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（３错误!＋错误!）＝错误!（错误!—错误!）＋错误!错误!＝２错误!—错误!错误!.错误!＝错误!—错误!＝３错误!—错误!＝３（错误!—错误!）—错误!＝３错误!—４错误!.则错误!·错误!＝错误!·（３错误!—４错误!）＝6错误!＋6错误!—8错误!·错误!—错误!错误!·错误!＝２３．３．如图，AB是半圆O的直径，P是错误!上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB ＝6，MN＝４，则错误!·错误!＝________．解析：连接AP，BP，则错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!·错误!—错误!·错误!＋错误!·错误!—|错误!|２＝—错误!·错误!＋错误!·错误!—|错误!|２＝错误!·错误!—|错误!|２＝１×6—１＝５．答案：５４．已知△ABC是边长为２的等边三角形，P为平面ABC内一点，则错误!·（错误!＋错误!）的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，错误!），B（—１，0），C（１，0），设P（x，y），则错误!＝（—x，错误!—y），错误!＝（—１—x，—y），错误!＝（１—x，—y），所以错误!·（错误!＋错误!）＝（—x，错误!—y）·（—２x，—２y）＝２x２＋２（y—错误!）２—错误!，当x＝0，y＝错误!时，错误!·（错误!＋错误!）取得最小值为—错误!.答案：—错误!５．（创新型）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝（cos B，２cos２错误!—１），n＝（c，b—２a），且m·n＝0．（１）求∠C的大小；（２）若点D为边AB上一点，且满足错误!＝错误!，|错误!|＝错误!，c＝２错误!，求△ABC的面积．解：（１）因为m＝（cos B，cos C），n＝（c，b—２a），m·n＝0，所以c cos B＋（b—２a）cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin C cos B＋（sin B—２sin A）cos C＝0，sin A＝２sin A cos C，又sin A≠0，所以cos C＝错误!，而C∈（0，π），所以∠C＝错误!.（２）由错误!＝错误!知，错误!—错误!＝错误!—错误!，所以２错误!＝错误!＋错误!，两边平方得４|错误!|２＝b２＋a２＋２ba cos ∠ACB＝b２＋a２＋ba＝２8．１又c２＝a２＋b２—２ab cos ∠ACB，所以a２＋b２—ab＝１２．２由１２得ab＝8，所以S△ABC＝错误!absin ∠ACB＝２错误!.。

高考数学总复习第五章5.2 平面向量的基本定理及坐标运算教案理北师大版

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第五章5.2 平面向量的基本定理及坐标运算考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________的一对实数λ1，λ2，使a＝__________，其中，__________叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的任一个向量a，存在唯一的有序实数对(x，y)，使a＝x i＋y j，把有序数对__________叫作向量a的坐标，记作a＝____，显然0＝(0,0)，i＝(1,0)，j＝(0,1)．(2)设OA＝x i＋y j，则__________就是终点A的坐标，即若OA ＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．3．平面向量的坐标运算已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝__________，即一个向量的坐标等于__________．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x 1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝__________⇔__________.基础自测1．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是( )．A．(3，－4) B．(－3,4) C．(3,4) D．(－3，－4) 2．已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，则向量a＋b所在的直线可能为( )．A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线3．设点A (－1,2)，B (n －1,3)，C (－2，n ＋1)，D (2,2n ＋1)，若向量AB 与CD 共线且同向，则n 的值为( )．A ．2B ．－2C ．±2D ．14．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )．A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对思维拓展1．向量的坐标与点的坐标有何不同？提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O 为起点的向量OA 的坐标与点A 的坐标相同．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？提示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为：x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．一、平面向量基本定理的应用【例1】已知梯形ABCD ，如图所示，2DC ＝AB ，M ，N 分别为AD ，BC 的中点．设AD ＝e 1，AB ＝e 2，试用e 1，e 2表示DC ，BC ，MN .方法提炼应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．请做[针对训练]1二、平面向量的坐标运算【例2】已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .方法提炼1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标不同；向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变．请做[针对训练]2三、平面向量共线的坐标表示【例3－1】已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【例3－2】已知向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，且a ∥b ，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值．方法提炼向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．请做[针对训练]3考情分析从近两年的高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，属于中低档题目，常与向量的数量积运算等交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用．同时又注重对函数与方程、转化化归等思想方法的考查．预测2013年高考仍将以向量的坐标运算及向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力与应用能力．针对训练1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )．A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于( )．A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cos x ，且a ∥b ，则锐角x 等于( )．A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π124．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．不共线存在唯一 λ1e 1＋λ2e 2 不共线的向量e 1，e 2 2．(1)(x ，y ) (x ，y ) (2)向量OA 的坐标3．(2)(x 2－x 1，y 2－y 1) 终点的坐标减去起点的坐标 (3)λb x 1y 2－x 2y 1＝0基础自测 1．D 解析：∵2b －a ＝2×(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)．故2b －a ＝(－3，－4)．2．A 解析：a ＋b ＝(1，－m )＋(m 2，m )＝(m 2＋1,0)．其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a ＋b 所在的直线可能为x 轴．3．A 解析：由已知条件AB ＝(n,1)，CD ＝(4，n )．∵AB 与CD 共线，∴n 2－4＝0，n ＝±2，当n ＝2时，AB ＝(2,1)，CD ＝(4,2)，则CD ＝2AB ，满足AB 与CD 同向．当n ＝－2时，AB ＝(－2,1)，CD ＝(4，－2)，则CD ＝－2AB ，此时AB 与CD 反向，不符合题意．∴n ＝2.4．A 解析：对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以； C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对．考点探究突破【例1】解：∵2DC ＝AB ，∴2DC ＝e 2，∴DC ＝12e 2.又∵BC ＝BA ＋AD ＋DC ，∴BC ＝－e 2＋e 1＋12e 2＝e 1－12e 2.又由MN ＝MA ＋AB ＋BN ，得MN ＝12DA ＋AB ＋12BC ＝－12e 1＋e 2＋12⎝⎛⎭⎪⎫e 1－12e 2＝34e 2.【例2】解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.【例3－1】解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB ＝λBC ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ.解得m ＝32.【例3－2】解：(1)∵a ∥b . ∴sin θ×1－2×cos θ＝0.∴sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝15.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55，∴sin θ＝255.(2)由sin(θ－φ)＝1010，有sin θcos φ－cos θsin φ＝1010，∴sin φ＝2cos φ－22，∴sin 2φ＋cos 2φ＝5cos 2φ－22cos φ＋12＝1，∴5cos 2φ－22cos φ－12＝0.解得cos φ＝22或cos φ＝－210.∵0＜φ＜π2，∴cos φ＝22.演练巩固提升针对训练 1．A2．A 解析：如图，QC ＝AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC ＝PQ ＋QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC ＝3PC ＝(－6,21)．3．B 解析：∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cos x ，且a ∥b ，∴12sin x cos x －34×13＝0，即14sin 2x －14＝0.∴sin 2x ＝1. 又∵x 为锐角，∴2x ＝π2，x ＝π4.4．{m |m ≠－3} 解析：要使c ＝λa ＋μb 成立，则只需a 与b 不共线即可，∴只需满足m 1≠2m －33，即3m ≠2m －3，∴m ≠－3.。

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课时作业25 平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )．A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向2．若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( )．A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形3．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )．A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(－2,1)}D ．{(－23，－13)}4．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )． A ．3 B ．－3 C.13 D ．－135．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )．A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <06．若平面内共线的A ，B ，P 三点满足条件OP →＝a 1OA →＋a 4 023OB →，其中{a n }为等差数列，则a 2 012等于( )．A ．1B ．－1C ．－12 D.127．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是( )． A.13 B.23 C.14 D.12二、填空题8．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是__________． 9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝__________. 10．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝__________.三、解答题11．已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AP →，AD →.12．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：由c ∥d 且d ≠0，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d .故c 与d 反向．2．A 解析：当a ，b ，c 为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a ，b ，c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．B 解析：P 中，α＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，β＝(1＋2n ，－2＋3n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时α＝β＝(－13，－23)．4．B 解析：∵a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ， ∴sin αcos α＝1－2，∴tan α＝－12. ∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－12－11－12＝－3. 5．B 解析：由题意及平面向量基本定理易得在OP →＝mOP →1＋nOP →2中，m ＞0，n ＜0.6．D 解析：由OP →＝a 1OA →＋a 4 023OB →及向量共线的充要条件得a 1＋a 4 023＝1，又数列{a n }为等差数列，所以2a 2 012＝a 1＋a 4 023＝1，故a 2 012＝12. 7．A 解析：根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13. 二、填空题8．8 解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴a －1－b －1＝12.∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b 时取等号．∴1a ＋2b的最小值是8. 9．4 解析：a －2b ＝(8－2x ，x 2－2)， 2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x 2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x ＞0.所以x ＝4.10．(－2,0)或(－2,2) 解析：设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，由a ＋b 平行于y 轴，可得x ＋2＝0，即x ＝－2，又由|a ＋b |＝1可得|y －1|＝1，解得y ＝0或y ＝2，则b ＝(－2,0)或(－2,2)．三、解答题11．解：∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ，CP →＝AP →－AC →＝AP →－b又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0.∴3AP →＋4(AP →－a )＋5(AP →－b )＝0∴AP →＝13a ＋512b . 设AD →＝tAP →(t ∈R )，则AD →＝13t a ＋512t b .① 又设BD →＝kBC →(k ∈R )，由BC →＝AC →－AB →＝b －a ，得BD →＝k (b －a )．而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →.∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ②由①②得⎩⎨⎧ 13t ＝1－k ，512t ＝k .解得⎩⎨⎧ k ＝59，t ＝43.代入①得AD →＝49a ＋59b . 12．解：(1)∵m ·n ＝1.即3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝1，即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝2·⎝⎛⎭⎫122－1＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin (B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2， 12＜sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.。

北师大版高考数学一轮总复习5.1《平面向量的概念及其线性运算》ppt课件

0
1 个单
位 e 相同相反平行 a∥b 共线相等相同 a＝
b 相等相反 a＝－b
2．三角形平行四边形 b＋a a＋(b＋c) 三角形
|λ||a| 相同相反 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb
3．充要 b＝λa
基础自测 1.下列命题正确的是( ) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个 C．a 与 b 是共线向量，b 与 c 是平行向量，则 a 与 c 是方向相同的向量 D．相等的向量必是共线向量
⑥中当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，∴⑥错． ∴①②③⑥不正确．④⑤正确．∴应选 C. [答案] C
[方法总结] 准确理解向量的有关概念是解决这类题目的关键，一定要注意向量不仅有大小，而且有方向，这是与数量的最大不同之处，且莫忽视解决与向量概念有关的问题时，一定要考虑全面，要考虑一些特殊情况，如零向量、共线向量所在直线是平行向量还是重合等，有时还需结合图形来分析．
已知平面内有一点 P 及一个△ABC，若P→A＋P→B＋P→C＝ A→B，则( )
A．点 P 在△ABC 外部 B．点 P 在线段 AB 上 C．点 P 在线段 BC 上 D．点 P 在线段 AC 上
[答案] D
[解析] ∵P→A＋P→B＋P→C＝A→B， ∴P→A＋P→B＋P→C－A→B＝0，即P→A＋P→B＋B→A＋P→C＝0. ∴P→A＋P→A＋P→C＝0. 2P→A＝C→P，∴点 P 在线段 AC 上．
C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C＝( )
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D．－13O→A＋23O→B
[答案] A

高考数学(理)(北师大版)大一轮复习讲义第五章 平面向量第五章 5.2

高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)

北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第5章 平面向量及其应用、复数 第1节 平面向量的概念及线性运算