Simson定理

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平面几何四大神奇定理

求证：MB//NE。
【分析】
【评注】对称变换
12． G是△ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G，延长CG交圆于D。求证：AG2=GC·GD。
【分析】
【评注】平移变换
13． C是直径AB=2的⊙O上一点，P在△ABC内，若PA+PB+PC的最小值是，求此时△ABC的面积S。
【分析】
【评注】旋转变换
【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB 于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→ （梅氏定理）
DGF截△ACM→ （梅氏定理）
∴ = = =1
【评注】梅氏定理
3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，
费马点：已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）
【分析】将C C'，O O'，P P'，连结OO'、PP'。则△B OO'、△B PP'都是正三角形。
∴OO'=OB，PP'=PB。显然△BO'C'≌△BOC，△BP'C'≌△BPC。
，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】
【评注】梅氏定理
4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。

simson定理

simson定理（原创版）目录1.引言：介绍 Simson 定理的背景和意义2.Simson 定理的定义：解释 Simson 定理的含义和公式表达式3.Simson 定理的证明：概述证明过程，包括关键的引理和思路4.Simson 定理的应用：探讨在几何、拓扑学等领域的应用案例5.结论：总结 Simson 定理的重要性和影响正文1.引言Simson 定理，又称 Simson 公式，是一种在几何和拓扑学中广泛应用的定理。

该定理在 19 世纪由英国数学家 Robert Simson 发现，它对于研究多面体的性质和结构具有重要意义。

本文将从 Simson 定理的定义、证明和应用等方面进行介绍。

2.Simson 定理的定义Simson 定理是指：对于一个凸多面体，它的体积 V、表面积 S 和所有面的角度之和θ满足以下关系：V = (1/6)Sθ。

其中，凸多面体是指所有面都是凸多边形且所有顶点都在多面体内部的多面体。

3.Simson 定理的证明为了证明 Simson 定理，我们需要引入一个关键的引理：一个凸多面体的所有面的角度之和等于 4π。

接下来，我们将通过这个引理来证明Simson 定理。

证明过程如下：设凸多面体有 n 个面，每个面的角度分别为α1, α2,..., αn。

根据欧拉公式，我们有：V = (1/3)S = (1/3)(α1 + α2 +...+ αn)又因为一个凸多面体的所有面的角度之和等于 4π，即：α1 + α2 +...+ αn = 4π将上述等式代入 V 的表达式中，得：V = (1/3)(4π) = (4/3)π再根据 Simson 定理的公式 V = (1/6)Sθ，我们有：(1/6)Sθ = (4/3)π从而得到：θ = (8/3)π由于凸多面体的所有面都在一个球体内，根据球体的体积公式，我们有：V = (1/3)πR其中，R 为球体的半径。

将 V 的表达式代入上式，得：(1/3)πR = (4/3)π解得：R = 2因此，我们可以得到 Simson 定理的公式：V = (1/6)Sθ =(1/6)S(8/3)π = (4/3)πR = (4/3)π(2) = (32/3)π4.Simson 定理的应用Simson 定理在几何、拓扑学等领域具有广泛的应用。

四个重要定理(梅涅劳斯_塞瓦_托勒密_西姆松)

B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。

塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。

托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。

求证：FBAF 2ED AE =。

【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。

2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。

求证：1FACFEA BE =+。

【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。

DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理）DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MDAG )DC DB (GM ⋅+⋅=MD GM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。

求S △【分析】【评注】梅氏定理4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、△ABG 。

求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。

【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。

数学竞赛常用平面几何名定理

高中数学常用平面几何名定理定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

定理2 Ceva定理定理3 Menelaus定理定理4 蝴蝶定理定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ 于X，Y，则M为XY之中点。

定理5 张角定理在△ABC中，D是BC上的一点。

连结AD。

张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

定理7 Eular line：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。

1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半2、九点圆：任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

平面几何四大定理

平面几何四个重要定理四个重要定理:梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏成)△ ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线的充妥条件是— = loPC QA RB室瓦(Ccva)定理(塞瓦点)A ABC 的三边BC、CA、AB 上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点的充妥条件是BP CQ ARPC QA RBlo托勒密(Ptolemy)定理四边彩的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充妾条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理(西姆松线)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充妄条件是该点落在三角形的外接网上。

例题：1.设AD是二ABC的边BC上的中线，直线XF交AD于F。

a. AE 2AF求'正： LC = 0ED FB【分析】CEF —— = 1 (梅氏定理)ED CB FA【评注】也叮以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行践。

2.过^ABC的重心G的直经分别交AB、AC于E、F,交CB word于Po求证: BE CF —+ —EA FA【分析】连结异延长AG交BC于M,则M为BC的中点Oc 止BE AG DEG 裁zlABM— --------------EA GMCF AGPGF^AACM^--—FA Of 黑=1 （梅氏定理）U D罪=1 （梅氏定理）DC.BE 十CF _GM (DB + DC)_GM 2MD_[ EA+ FA AGMD 2GM MD~ 【评注】梅氏定理3.D、E、F分别在A ABC的BC、CA、AB边上，RD AF CF= 人，AD、BE、CF 交成ALMNoDC FB EA求S_LM*【分析】【评注】梅氏定理4. 以AABC各边为底边向外作相似的等膝zLBCE、ACAF.AABGo求证：AE、BF、CG相交于一点。

【分析】【评注】塞瓦定理5.已知ZiABC 中,ZB=2ZCo 求证：AC2=AB2+AB - BCo【分析】过A作BC的平行线交A ABC的外接圆于D,连结BPo 则CD=DA=AB, AC=BDo由,七勒密定理,AC - BP=AD - BC+CD - ABo【评注】托勒密定理6.已知正七边形A|A2A5A4A S A6A7O求证：+—!—o （第21届全苏数学竞赛）A | A 2 A j A j A]Aq【分析】【评注】托勒密定理7. AABC的BC边上的商AD的延长线交外接阅于P,作PE1AB于E,延长ED交AC延长残于F。

平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案

平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案第一篇：平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案《西姆松定理及其应用》西姆松定理：若从∆ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线；证明：连接DE、DF，显然，只需证明∠BDE=∠FDC即可；Θ∠BDP=∠BEP=90︒∴B、E、P、D四点共圆，∴∠BDE=∠BPE同理可得：∠FDC=∠PFC又Θ∠BEP=∠PFC=90︒且∠PCF=180︒-∠PBA=∠PBE∴∠BPE=∠FPC∴∠BDE=∠FDC∴D、E、F 三点共线西姆松的逆定理：从一点P向∆ABC的三边(或它们的延长线)作垂线，若其垂足L、M、N在同一直线上，则P在∆ABC的外接圆上；例1.设∆ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上；证明：设∆ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆Θ由西姆松定理有：Q、R、S三点共线又ΘO、F、B、D四点共圆且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线∴P、Q、R、S 四点共圆例2.四边形ABCD是圆内接四边形，且∠D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。

证明：作BG⊥DC,由西姆松定理有：F、E、G共线，又Θ∠BFD=∠FDG=∠DGB=90︒∴四边形BFDG为矩形∴对角线FG平分另一条对角线BD例3.求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G∴∠BGF=∠BGC+∠CGF=∠BEC+∠CDA∴∠BGF+∠A=180︒，即圆ABF 过点G同理圆AED也过点G∴圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上例4.设∆ABC的外接圆的任意直径为PQ，则关于P、Q的西姆松线是互相垂直的。

三角形的各个心总结与归纳

三角形的心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;外心:三中垂线的交点;旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.1三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。

证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC= S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+ X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y 1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．2三角形垂心的性质设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)

P 、Q R ,则P 、Q R 共线的充要条件是聖CQ ARj 。

PC QA RBBP CQ AR PC QA RB _ °平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯（Menelaus ）定理（梅氏线）△ABC 的三边BC CA AB 或其延长线上有点塞瓦（Ceva ）定理（塞瓦点）△ABC 的三边 BC CA AB 上有点 P 、Q R ,贝U AP 、BQ CR 共点的充要条件是托勒密（Ptolemy ）定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松（Simson ）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题:PA 1设AD是MBC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。

求证：AE 2AFED。

AE DC RF【分析】CEF截△ARCH — .— .— =1 （梅氏定理）ED CR FA【评注】也可以添加辅助线证明：过A、R、D之一作CF的平行线。

2、过△ARC的重心G的直线分别交AB AC于E、F,交CR于D。

RE CF=1。

求证：EA FADEG截A ARM H REEAAGGMMDDR（梅氏定理）DGF截△ACM H =1 (梅氏定理)FA GM DCRE CF=GM (DR DC)=GM2MDEA FA AG MD 2GM MD【评注】梅氏定理3、D E、F分别在A ARC的RC CA AR边上,RD AFDC FRCEEAAD RE、CF交成△ LMN 求S A LM N O【分析】【评注】梅氏定理4、以A ARC各边为底边向外作相似的等腰A RCE A CAF A ARG 求证：AE、RF、CG相交【分析】连结并延长AG交RC于M,则M为RC的中点。

FLEM N【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，/ B=2/ G 求证：AC^AB+ABBCo【分析】过A 作BC 的平行线交△ABC 的外接圆于D,连结BD 贝 U CD=DA=AB AC=BD由托勒密定理，AC BD=ADBC+CDAB【评注】托勒密定理求证：1 1 1A !A 2=A !A 3 A !A 4。

西姆松线逆定理

西姆松线逆定理1.引言1.1 概述在撰写概述部分时，需要简要介绍西姆松线逆定理的背景和基本概念。

西姆松线逆定理是一项重要的数学定理，它揭示了在概率论和数理统计中，如何通过观测样本数据来推断总体参数的方法。

西姆松线逆定理最早由丹麦统计学家拉斯穆斯·西姆松线在20世纪初提出，并成为了推断统计学的基石之一。

其基本观点是，通过观察到的样本数据，我们可以逆推总体的参数，从而对总体的性质进行推断。

具体而言，西姆松线逆定理建立了关于样本数据和总体参数之间的映射关系。

通过概率分布函数和样本数据的密切关联，我们可以推断出总体参数的分布情况，进而对总体特征进行研究。

这种推断方法能够为各个领域的研究提供支持，如医学、经济学、社会学等。

西姆松线逆定理的应用领域非常广泛。

在医学领域，利用西姆松线逆定理，我们可以通过观察患者的临床数据来推断患者患病的概率及其相关因素。

在经济学领域，我们可以通过观察经济数据来推断市场供求关系、消费者行为等重要参数。

在社会学领域，西姆松线逆定理可以帮助我们从样本数据中推断总体的人口特征、社会现象等。

总之，西姆松线逆定理是一项重要的统计学定理，它提供了一种基于样本观测数据来推断总体参数的方法。

其应用领域广泛，可以为各个学科领域的研究提供支持。

本文将介绍西姆松线逆定理的定义和原理，并探讨其在不同领域的应用。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下顺序展开对西姆松线逆定理的讨论。

首先，在引言部分概述西姆松线逆定理的背景和意义，介绍该定理在实际应用中的重要性。

接着，将详细阐述西姆松线逆定理的定义和原理，包括其数学推导和相关的概念。

然后，将探讨西姆松线逆定理在不同领域的应用，如信号处理、通信工程和图像处理等。

针对每个领域，将列举实际应用案例，并讨论其效果和局限性。

最后，对西姆松线逆定理进行总结，强调其理论和实践上的意义，并提出未来研究方向，以进一步拓展和改进该定理的适用性和效果。

整篇文章将以逻辑性强、层次分明的方式展开。

托勒密定理 [4托勒密定理与西姆松定理]

托勒密定理[4托勒密定理与西姆松定理]§4托勒密定理与西姆松定理托勒密（ptolemy）定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）.即：定理：在四边形abcd中，有：ab cd ad bc ac bd证：在四边形abcd内取点e，使bae cad，abe acd则：abe和acd相似又abbeab cd ac beaccdabae且bac ead abc和aed相似acadbced ad bc ac edacadab cd ad bc ac（be ed）ab cd ad bc ac bd且等号当且仅当e在bd上时成立，即当且仅当a、b、c、d 四点共圆时成立；并且当且仅当四边形abcd内接于圆时，等式成立；一、直接应用托勒密定理例1、如图2，p是正△abc外接圆的劣弧上任一点（不与b、c重合），求证：pa=pb＋pc.分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗.若借助托勒密定理论证，则有pa·bc=pb·ac＋pc·ab，∵ab=bc=ac.∴pa=pb+pc.二、完善图形借助托勒密定理例2、证明“勾股定理”：在rt△abc中，∠b=90°，求证：ac2=ab2＋bc2证明：如图，作以rt△abc的斜边ac为一对角线的矩形abcd，显然abcd是圆内接四边形.由托勒密定理有ac·bd=ab·cd＋ad·bc.①又∵abcd是矩形，∴ab=cd，ad=bc，ac=bd.②把②代人①，得ac2=ab2＋bc2.例3、如图，在△abc中，∠a的平分线交外接圆于d，连结bd，求证：ad·bc=bd（ab＋ac）.证明：连结cd，依托勒密定理有ad·bc＝ab·cd＋ac·bd.∵∠1=∠2，∴bd=cd.故ad·bc=ab·bd＋ac·bd=bd（ab＋ac）.三、构造图形借助托勒密定理例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1.求证：ax＋by≤1.证明：如图作直径ab=1的圆，在ab两边任作rt△acb和rt△adb，使ac＝a，bc=b，bd＝x，ad＝y.由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.据托勒密定理有ac·bd＋bc·ad=ab·cd.∵cd≤ab＝1，∴ax＋by≤1.四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例5、已知a、b、c是△abc的三边，且a2=b（b＋c），求证：∠a=2∠b.分析：将a2=b（b＋c）变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c.证明：如图，作△abc的外接圆，以a为圆心，bc为半径作弧交圆于d，连结bd、dc、∴∠abd=∠bac.da.∵ad=bc，acd bdc又∵∠bda=∠acb（对同弧），∴∠1=∠2.依托勒密定理有bc·ad=ab·cd＋bd·ac.①而已知a2=b（b＋c），即a·a=b·c＋b2.②∴∠bac=2∠abc.五、巧变形妙引线借肋托勒密定理例6、在△abc中，已知∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶4，分析：将结论变形为ac·bc＋ab·bc=ab·ac，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形.如图，作△abc的外接圆，作弦bd=bc，连结ad、cd.在圆内接四边形adbc中，由托勒密定理有ac·bd＋bc·ad=ab·cd 易证ab=ad，cd=ac，∴ac·bc＋bc·ab=ab·ac，练习1.已知△abc中，∠b=2∠c。

平面几何四大定理

平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯（Meｎelaus）定理（梅氏线）△AＢＣ得三边BＣ、ＣA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线得充要条件就是.塞瓦(Cｅvａ）定理（塞瓦点）△ＡBC得三边BＣ、CA、AB上有点P、Ｑ、R，则ＡP、BQ、ＣR共点得充要条件就是。

托勒密(Pｔｏlemy）定理四边形得两对边乘积之与等于其对角线乘积得充要条件就是该四边形内接于一圆。

西姆松（Ｓｉmson）定理（西姆松线)从一点向三角形得三边所引垂线得垂足共线得充要条件就是该点落在三角形得外接圆上。

例题：1．设AD就是△AＢC得边BC上得中线，直线CF交AD于F。

求证:。

【分析】CEF截△AＢD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明:过Ａ、Ｂ、D之一作C Ｆ得平行线。

2．过△AＢC得重心G得直线分别交AB、AＣ于Ｅ、F,交CB于D。

求证:。

【分析】连结并延长AＧ交ＢＣ于M，则M为BC得中点。

ＤEG截△ＡＢM→（梅氏定理）DGＦ截△ＡCＭ→(梅氏定理)∴===１【评注】梅氏定理3．D、E、Ｆ分别在△ABC得BＣ、ＣA、AB边上，,ＡD、BＥ、CF交成△LMＮ。

求S△ＬMN。

【分析】【评注】梅氏定理4．以△ABC各边为底边向外作相似得等腰△BCE、△ＣAF、△ABＧ。

求证：AE、BF、CＧ相交于一点。

【分析】【评注】塞瓦定理5．已知△ＡBC中,∠B＝２∠C。

求证：ＡC2=AB2+ＡB·BＣ。

【分析】过Ａ作BC得平行线交△ABC得外接圆于Ｄ,连结BD。

则CD＝ＤA=AB，AC=ＢＤ。

由托勒密定理，AC·BD＝AD·ＢC+CD·AB。

【评注】托勒密定理6．已知正七边形A１A2A3A4A5A6Ａ７.求证:。

(第21届全苏数学竞赛)【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC得BC边上得高AD得延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交ＡC延长线于F.求证：BC·ＥF=BＦ·CE+BE·CＦ。

初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)

初中数学竞赛重要定理、公式及结论平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】）（为内切圆半径，为外接圆半径，边上的高，表示，其中c b a p R BC h c p b p a p p pr C B A c b a C B A R R abc C ab ah S a a ++=---==++++=====21r ))()(()cot cot (cot 4sin sin sin 24sin 21212222ABC Δ【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD -AD 2·BC ＝BC·DC·BD ．【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC ，(逆命题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC ≥AC·BD ．【蝴蝶定理】AB 是△O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP=QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)BP 2(AP AC AB 2222+=+中线长：【垂线定理】AB ⊥CD ⇔AC 2-AD 2=BC 2-BD 2 高线长：【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中，AD 平分△BAC ，则（外角平分线定理）角平分线长：【正弦定理】 222222a c b m a -+=bSinC cSinB SinA a bc c p b p a p p a h a ===---=))()((2ACAB DC BD =为周长一半）其中p A c b bc a p bcp c b t a (2cos 2)(2+=-+=为三角形外接圆半径）其中，R R C c B b A a (2sin sin sin ===【余弦定理】【张角定理】【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

西摩松定理

• 例：
设ABC的三条垂线AD, BE, CF交对边分别为 D、E、F，从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为、Q、R、S . P 求证：在P、Q、R、S同一直线上 A F P 0 E Q R S B C D

E
P
● E′
●
A
F
B D
C
• ②西摩松定理的重要性。沟通了四点共圆和三点共线之间的联系。
西摩松（Simson）定理
• 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线
思考：西摩松定理的逆命题是否成立？
逆命题 • 过三角形外的任意一点（异于三角形顶点）作三边（或其延长线）的垂线，若三垂足共线，则该点在三角形的外接圆上。
已知：P为ABC外接圆上任意一点，
E A F B D
P D, E, F为P在BC, CA, AB边上的射影， ●
则 D, E, F三点共线 .
C
分析：
要证 : D、E、F三点共线
只需证明BFD AFE
P ●
2
E
1
A
F
B D
C
说明：
• ①定理的证明方法不唯一。
连结DF , 延长交AC于E 证明E和E 重合
已知：若从一点向ABC的三边作垂线， P 垂足为D, E, F，此三点在同一条直线上， E P 则 P在ABC的外接圆上 . 1
● 2
A
F B D
C
结论：
三角形外一点在三角形外接圆上的充要条件是该点在三边所在直线上的射影共线。由此可知，该结论的必要性即为西摩松定理，充分性即为西摩松定理的逆定理
西摩松（Simson）定理

simson定理

simson定理
【原创版】
目录
1.Simson 定理的定义和背景
2.Simson 定理的证明方法
3.Simson 定理的应用实例
4.Simson 定理的重要性和影响
正文
Simson 定理是一种数学定理，由英国数学家 Simson 在 19 世纪末提出。

这个定理主要研究的是三角形中角度和边长的关系，尤其在解决一些与角度和边长有关的数学问题时，有着非常重要的作用。

Simson 定理的表述为：在任何三角形中，三个角的正弦值与它们所对的边的长度的比值相等。

用公式表示就是：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C是三角形的三个角，a、b、c是它们所对的边长。

Simson 定理的证明方法比较复杂，需要涉及到一些高等数学知识。

首先，通过正弦定理，我们可以得出 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R，其中 R 是三角形的外接圆半径。

然后，通过一些数学变换和公式推导，可以证明 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2S/a，其中S是三角形的面积。

这就证明了Simson定理的正确性。

Simson 定理在实际应用中，有着广泛的应用。

比如，在解决一些与三角形有关的几何问题时，通过 Simson 定理，可以简化问题的解决过程。

同时，Simson 定理也为一些复杂数学问题的解决提供了思路和方法。

总的来说，Simson 定理在数学领域有着非常重要的地位和影响。

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simson定理

simson定理
西姆森定理是平面几何中一个非常重要的定理，也被称为西摩松定理。

它主要涉及到过一个三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线的性质。

这条共同的垂线通常被称为西摩松线。

根据西姆森定理，过一个三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，那么这三垂足将会共线，也就是在同一直线上。

这个结论可以通过几何证明得到，也可以通过向量的方法来理解。

具体来说，我们可以将三角形外接圆圆心与三个顶点相连，得到三条半径。

这些半径在圆上的位置确定了三角形的形状和大小。

如果过圆上的一个点作三角形的一条边的垂线，这条垂线会与这条边形成一个角。

由于这个点在圆上，所以这条垂线也会与这条边的延长线形成一个角。

因此，我们可以得到这三个角的大小关系：两个锐角相等，而钝角则等于这两个锐角之和。

接下来，我们再考虑另外两条边的情况。

由于三角形的内角和为180度，所以这两条边所对应的两个角之和也为180度。

因此，这三条垂线所形成的三个角的和也是180度。

综上所述，过一个三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一
点作三边或其延长线上的垂线，那么这三垂足将会共线。

这个结论在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用平面几何的知识。