数学(理)原创卷(新课标03)-2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷(全解全析)

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数学(理)原创卷(新课标02)-2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷(全解全析)

4c2
，
化简得 e c 15 ，所以选 A. a3
9．D 【解析】根据题意，分 2 步进行分析：
①五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，
∴可以把 5 个参会国分成三组，一种是按照 1、1、3；另一种是 1、2、2，
当按照
1、1、3
来分时共有
C35
=10
种分组方法；当按照
1、2、2
来分时共有
C52C32
A
2 2
15 种分组方法.
则一共有10 15 25 种分组方法；
②将分好的三组对应三家酒店，有 A33 6 种对应方法，则安排方法共有 25 6 150 种.
故选 D．
10．C 【解析】如图， P ， A ， B ， C 是球 O 球面上四点， △ABC 是正三角形，
，且
NF2
a ，要使 2
MF1

MN
3 2
F1F2
恒成立，即 2a
MF2

MN
2a a 2

3 2

2c
，则椭圆离心率的取值范围是

5 6
,1
．
故选 D．
13．1 【解析】 z y 1 的几何意义为区域内点到定点 G（0，-1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域 x
2
2
3
2
4
2
4
∴
1 3

1 2
S△ABC

PS

93 4
，∴
1 3

1 2

2a

2a
sin60
3 2
R

2019年高三上学期期末检测数学(理)

2019年高三上学期期末检测数学（理）xx.1本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1-2页，第II卷3-4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.3.考试结束后，监考人员将答题卡和第II卷的答题纸一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，则正确表示集合和关系的韦恩（V enn）图是2.命题“存在”的否定是A.不存在＜0B.存在＜0C.对任意的D.对任意的＜03.在四边形ABCD中，若，，则四边形ABCD是A.平行四边行B.矩形C.正方形D.菱形4.函数的值域是A. B. C. D.（0，2）5.设a＞0，b＞0.若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.6.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于A.2B.C.D.67.函数＞＞0，＜的部分图象如图所示，则的值分别为A. B. C. D.8.直线与圆的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能9.设a，b为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是A.若则B.若则C.若则D.若则10.设且则A. B.6 C.12 D.3611.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为A.2B.4C.D.12.数列中，且满足则的值为A.bB.b—aC.—bD.—a＞0，第II 卷（非选择题共90分）说明：1.第II 卷3—4页；2.第II 卷的答案必须用0.5mm 黑色签字笔答在答题纸的指定位置. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.若平面向量两两所成的角相等，则_______.14.设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+,1,1,1x y x y x 则的最小值是_______.15.设偶函数满足，则不等式＞0的解集为_____.16.在平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线都不相交于同一点，则这n 条直线把平面分成________部分.三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）设数列满足.,2222*13221N n na a a a n n ∈=+⋅⋅⋅+++-（1）求数列的通项公式；（2）设,1,log 1121nn b b c a b n n n n n ++==+记证明：S n ＜1.18.（本题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a += （1）求的值；（2）若，求边c 的值.19.（本题满分12分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BAD=60°.（1）证明：面PBD ⊥面PAC ；（2）求锐二面角A —PC —B 的余弦值.20.（本题满分12分）观察下表： 1， 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15， …… 问：（1）此表第n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第n 行的各个数之和是多少？（3）xx 是第几行的第几个数？21.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的极值点；（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）22.（本题满分14分）已知椭圆＞b ＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M （0，m ）. （1）求椭圆的标准方程；（2）求m 的取值范围.（3）试用m 表示△MPQ 的面积S ，并求面积S 的最大值.二○一二届高三第一学期期末检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ADDC BBDA CACA二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分 13.2或5 14.—3 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.解（1）由题意，,222221123221na a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+++---当时，.21222123221-=+⋅⋅⋅+++--n a a a a n n 两式相减，得所以，当时，………………………………………………………………4分当n ＝1时，也满足上式，所求通项公式……………………6分（2）.121log 1log 12121n a b nnn =⎪⎭⎫⎝⎛==……………………………………………………8分 ()11111+-=+-+=n n n n n n c n ………………………………………………………10分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++=1114131312121121n n c c c S n n ＜1.……………………………………………………12分18.解：（1）由C b B c A a cos cos cos 2+=及正弦定理得,cos sin cos sin cos sin 2C B B C A A +=即().sin cos sin 2C B A A +=4分又所以有(),sin cos sin 2A A A -=π即而，所以………………………………………………6分（2）由及0＜A ＜，得A ＝因此由得,2332cos cos =⎪⎭⎫⎝⎛-+B B π 即23sin 23cos 21cos =+-B B B ，即得………………8分由知于是或所以，或…………………………………………………………10分若则在直角△ABC 中，，解得若在直角△ABC 中，解得……………………12分 19.（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC因为PA 平面ABCD ，所有PABD.…………………………2分又因为PAAC=A ，所以BD 面 PAC.……………………3分而BD 面PBD ，所以面PBD 面PAC.…………………5分（2）如图，设ACBD=O.取PC 的中点Q ，连接OQ.在△APC 中，AO=OC ，CQ=QP ，OQ 为△APC 的中位线，所以OQ//PA. 因为PA 平面ABCD ，所以OQ 平面ABCD ，……………………………………………………6分以OA 、OB 、OQ 所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系O 则()()(),0,0,3,0,1,0,0,0,3-C B A………………………………………………………………………7分因为BO 面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为…………………………………8分设平面PBC 的一个法向量为而()(),2,1,3,0,1,3--=--=PB BC 由得令则所以为平面PBC 的一个法向量.……………………………10分＜＞.72133113-=++⨯-=⨯=nOB n OB ……………………12分20.此表n 行的第1个数为第n 行共有个数，依次构成公差为1的等差数列.…………………………………………………………………………………………4分（1）由等差数列的通项公式，此表第n 行的最后一个数是；8分（2）由等差数列的求和公式，此表第n 行的各个数之和为()[]2211222122---=⨯-+n n n n或().2221212222232221111--------+=⨯-⨯+⨯n n n n n n n ……………8分（3）设xx 在此数表的第n 行. 则可得故xx 在此数表的第11行.………………………………………………………10分设xx 是此数表的第11行的第m 个数，而第11行的第1个数为210，因此，xx 是第11行的第989个数.………………………………………………12分21. 解：（1）＞0.………………………………………………………1分而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜所以在上单调递减，在上单调递增.………………3分所以是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………4分（2）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-……………………5分又切线过点，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得所以直线的方程为………………………………………………7分（3），则＜0＜00＜＜＞0＞所以在上单调递减，在上单调递增.………………8分 ①当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为………………………………………9分 ②当1＜＜e ，即1＜a ＜2时，在上单调递减，在上单调递增. 在上的最小值为……………………………………10分 ③当即时，在上单调递减，所以在上的最小值为………………………………11分综上，当时，的最小值为0；当1＜a ＜2时，的最小值为；当时，的最小值为…………………………………………12分 22.解：（1）依题意可得解得从而所求椭圆方程为…………………4分（2）直线的方程为由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,122x y kx y 可得该方程的判别式△=＞0恒成立.设则.21,22221221+-=+-=+k x x k k x x ………………5分可得().24222121+=++=+k x x k y y设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为………………6分线段PQ 的垂直平分线方程为.212222⎪⎭⎫⎝⎛++-+=k k x k k y令，由题意………………………………………………7分又，所以0＜＜…………………………………………………8分（3）点M 到直线的距离()212212212411x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+=242212222++⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+=k k k k于是28811121212222++⋅+⋅+-⋅=⋅⋅=∆k k k k m PQ d S MPQ由可得代入上式，得即＜＜.…………………………………………11分设则而＞00＜m ＜＜0＜m ＜所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有最大值……………………13分所以当时，△MPQ 的面积S 有最大值…………………14分?20919 51B7 冷36740 8F84 辄302117603 瘃25662 643E 搾25215 627F 承21197 52CD 勍Z38695 9727 霧23960 5D98 嶘r33252 81E4 臤Sz31913 7CA9 粩。

数学(理)原创卷(新课标01)-2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷(参考答案)

得 sinA sinB sinCcosA 3sinAsinC 0 ，
∴ sinA sin A C sinCcosA 3sinAsinC 0 ，
∴ sin A sin Acos C 3 sin Asin C 0 ，
又 sinA 0 ，
∴
3
sin
M
xM
,
yM

，由方程组
y

1 k
x

9 4k 2 12k
,
消去
y
，得
xM
y k x 2,
20k 2 9 12 k 2 1
，
在 △MAO 中， MOA MAO MA MO ，即 xM 22 yM2 xM2 yM2 ，
ex 1 axex ex 1 2
bex ，
依题意 f 0 1， f 0 1 ，解得 a b 1 ．（2 分）
2
（2）由（1）可知
f
x

e
x
y k x 2,解得x源自2或x
8k 4k
2 2

6 3
，（6
分）
由题意得
xB

8k 2 4k 2
6 3
，从而
yB

12k 4k 2 3
，
设
H
0,
yH

，由（1）知
F
1, 0
，则
FH

1,
yH

，
BF

9 4k 2 4k 2 3
，
AD

0,

数学(理)原创卷(新课标02)-2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷(参考答案)

3 0 4

1 256
．
所以 X 的分布列为：
X0
1
2
3
4
81 108 54 12 1 P 256 256 256 256 256
（4 分）
理科数学第 3页（共 8页）
（10 分）
故数学期望 E(X)＝ 4 1 1 .（12 分） 4
20．（本小题满分 12 分）
（2）设点
N
0, n
学科网 2019 届高三上学期期末教学质量检测原创卷 02
理科数学·参考答案
1
2
3
4
D
A
A
D
13．1
14．3
17．（本小题满分 12 分）
5
6
7
8
C
A
A
D
15．乙、丙、甲
9 10 11 12
D
C
B
D
16．

7 8
,
11 12

（2）由（1）得： bn

2n 1 2n1 ，
Tn

1 20

则
n n

SC 0 DC 0
，即
2x 2x
3y 0

6z

0
.取
z

1，则
y

2，xFra bibliotek0.所以
n

0,
2,1
.（10
分）
所以 cos EF, n
EF n

1 0

1 2

2

31

4
由

2019届高三数学第一次(期末考试)教学质量检测试题理(含解析)

2019年第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，且，，故选A.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. 已知平面向量，，且，则( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】，，，故选C.4. 设，，则的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.5. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值是( )A. 0B. 2C. 或1D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D................6. 执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：经过第一次循环得到；经过第二次循环得到；经过第三次循环得到；此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选B．考点：程序框图．7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，)A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年【答案】B【解析】若年是第一年，则第年科研费为，由，可得，得，即年后，到年科研经费超过万元，故选B.8. 已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图知，，得，由最大值为，得，将代入可得，向左平移，可得，故选C.9. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则底面周长等于半圆周，圆锥轴截面为边长为的正三角形，圆锥外接球球心是正三角形中心，外接球半径是正三角形外接圆半径，球表面积为，故选C.10. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该多面体是底面为棱长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥，四条底棱为，四条侧棱分别为，故最长棱长为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为( ) A. B.C. D.【答案】B【解析】若，由正弦定理可得，，设，因为“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，，把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为，设长方体棱长为，则，以上方程组无解，即这样的四面体不存在，四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体，故选B.【方法点睛】本题考查四面体的性质以及长方体的性质、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“完美四面体”达到考查四面体的性质以及长方体的性质的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，则该组的频数为________.【答案】50【解析】设个小矩形面积和为，则中间小矩形面积的,根据直方图的性质可得,中间一个小矩形的面积等于，即该组的频数为，故答案为.14. 若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.【答案】15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64，令，得的通项为，令，常数项为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】直线上存在点满足约束条件，等价于直线与可行域有交点，画出约束条件表示的可行域，如图，由，得；由，得，直线过定点，，由图知，要使直线可行域有交点，则，实数的取值范围是，故答案为.16. 已知双曲线的焦点为，，为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为________.【答案】【解析】如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得，轴，从而双曲线方程中令得，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的首项为，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由可得，从而可得数列是以为首项，以为公差的等差数列；(2) 由(1)可知，，，利用裂项相消法可求得数列的前项和.试题解析：(1)，数列是以为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)可知，，，，.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某种产品的质量以其“无故障使用时间 (单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)若该企业生产的这种产品每件销售利润(单位：元)与其无故障使用时间的关系式为从该企业任取两件这种产品，其利润记为(单位：元)，求的分布列与数学期望.【答案】(1)0.64(2) (元)【解析】试题分析：(1) 由古典概型概率公式可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，根据对立事件及独立事件的概率公式即可得到从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率；(2) 由题意知，的可能取值为，根据独立事件率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为；(2)由题意知，的分布列为所以的数学期望(元).19. 如图，正三棱柱中，，，为棱上靠近的三等分点，点在棱上且面.(1)求的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 作与交于点，根据线面平行的性质定理可得，，于是在平行四边形中，；(2) 取的中点，由(1)知，∴，从而面，于是二面角的平面角为，在直角三角形中，可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)如图，作与交于点，∵，∴，面面，∵面，∴，于是在平行四边形中，.(2)取的中点，∵是正三棱柱，∴，面，连结，由(1)知，∴，又面，∴，从而面，于是二面角的平面角为，由题，，，，故二面角的余弦值为.20. 已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1)根据椭圆经过点，离心率为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、即可得椭圆的方程；(2) 由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由可得，从而得.试题解析：(1)由题意知，且，解得，，椭圆的方程为；(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由，得，，所以，，故为定值2.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：，其中为自然对数的底数.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1) 由得，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可求得实数的取值范围；(2) ∵，∴，故只需证明：，等价于，不妨设，并令，，利用导数可证明，从而可得结果.试题解析：(1)由得，记，则，当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，又，时，，时，，由题，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，故.(2)∵，∴，故只需证明：，由，作差得：，因此，，不妨设，并令，，则，∴在上单调递减，，即，即成立，于是原命题得证.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时，求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点的极径；(2) 点，，由题意可得，，进而可得，两边同乘以，利用即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)由题意可知，曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，故点的极径为.(2)在极坐标系中，设点，，由题意可得，，进而可得，从而点的轨迹的直角坐标方程为.23. 已知函数，其中.(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数，当时，，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 当时，解不等式，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 当时，等价于恒成立；当时，等价于恒成立；当时，等价于，三种情况求解，再求并集即可得的取值范围.试题解析：(1)当时，，解不等式，时；时，；不等式总成立，所以得，所以，的解集为.(2)当时，，所以①当时，等价于恒成立，所以；②当时，等价于恒成立，所以；③当时，等价于，此时恒成立，所以；综上可得，.。

数学(理)原创卷(新课标02)-2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷(答题卡)

理科数学第1页（共6页）理科数学第2页（共6页）理科数学第3页（共6页）学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷02理科数学·答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题5分，共60分）1[A][B][C][D]2[A][B][C][D]3[A][B][C][D]4[A][B][C][D]5[A][B][C][D]6[A][B][C][D]7[A][B][C][D]8[A][B][C][D]9[A][B][C][D]10[A][B][C][D]11[A][B][C][D]12[A][B][C][D]二、填空题（每小题5分，共20分）13．____________________14．____________________15．____________________16．____________________三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18．（12分）19．（12分）A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！准考证号：姓名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填缺考标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。

2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题及答案

2019年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合{|21}A x x =-<<，{|(3)0}B x x x =->，则AB =A. {|13}x x x <>或B. {|21}x x -<<C. {|203}x x x -<<>或D. {|20}x x -<<2．1+i||i= A. 2- B. 2 C. 1- D. 13. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．43 B. 55 C. 61 D. 814．设,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y z +=的最大值为A ．14B. 2C. 4D. 165.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为开始否是1,24S n ==输出SS S n =+ 6n n =-0n >结束A. 1B. 2C. 2D. 226.已知函数()e e ,xxf x -=+则函数()f xA ．是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数 B. 是奇函数，且在(,0)-∞上是增函数 C. 是偶函数，且在(,0)-∞上是减函数 D. 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数7. 设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的 A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是A ．0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 7(1)x +的二项展开式中2x 的系数为．10. 已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C 的直角坐标方程为 .11. 已知直线:4350l x y ++=，点P 是圆22(1)(2)1x y -+-=上的点，那么点P 到直线l 的距离的最小值是 .2 主视图左视图俯视图1 1 20.0300.0250.020频率/组距0.0350.0300.0250.020频率/组距12. 已知Rt ABC ∆，1AB AC ==,点E 是AB 边上的动点，则CE AC ⋅uur uuu r 的值为；CE CB ⋅uur uu r的最大值为 .13. 某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有种.14．若函数4,3,()log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ （0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题13分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列52n a n b n+=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .16. （本小题13分）在ABC ∆中，3sin cos a C c A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值．17. （本小题13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :学习时间 t (分钟/天) 20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面P AB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上. （I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ；（II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PM PD的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题14分）已知函数()ln(1)f x ax x =-+，a R ∈.（I ）当a = 2时，求曲线y =()f x 在点( 0，f (0) )处的切线方程；（II ）求函数()f x 在区间[0 , e -1]上的最小值.MPE DCBA20.(本小题13分)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，L ，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 设该数列的前n 项和为n S ,规定：若m ∃∈*N ,使得2pm S =（p ∈N ），则称m 为该数列的“佳幂数”.（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III ）（i ）求满足m >70的最小的“佳幂数”m ;（ii ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.2019年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCBCAB二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. 21 10. 22(1)1x y +-= 11. 212. 1- ; 2 13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分 14. [1,1)- ；(1,3]三、解答题(共6小题，共80分) 15.（共13分）解：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以 2314a a a =，即 22111+2)3a d a a d =+（，解得2140a d d +=.因为1,d =所以14,a =-所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+. 得123231(2222)(123)2(12)(1)=122(1)222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++-+=+-……………13分16. （共13分）解：（I ）因为3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以3tan 3A =．又因为 (0,)A ∈π，所以 6A π=． …………… 6分（II ）由11sin 324ABCS bc A bc ∆===，得43bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222cos6a b c bc π=+-，即222()23()8312a b c bc bc b c =+--=+--，因为223b c +=+，解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分17. （共13分）解：(Ⅰ) 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ………3分 (Ⅱ) 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ. 所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =， (1)==P ξ112628C C 123287C ==， (2)==P ξ202628C C 128C =. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 P1528 37 128ξ的数学期望为 15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ. ……………10分 (Ⅲ) X <甲X 乙;2s >n 2s n . ……………13分18. （共14分）（I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点，所以MH // BP .又因为 BP ⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD=AB ，PE ⊂平面P AB ，所以PE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PE AC ⊥. ……………8分(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点，所以CE ⊥AB .又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴，Pz HMPEDCBA建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0B ，()0,0,3P ，()03,0C ,，()2,3,0D -． ………10分假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，则()(),,32,3,3x y z λ-=--，所以()2,3,3(1)M λλλ--，所以()2,3,3(1)EM λλλ=--，()0,3,0EC =，设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则233(1)030EM x y z EC y λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，解得023(1)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩．令2z λ=，则3(1)x λ=-，得()3(1),0,2λλ=-n ．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1=m ，所以22222cos |||43(1)763λλλλλλ⋅〈〉===⋅+--+n m n,m n |m ．因为二面角M EC D --的大小为60°，所以2212763λλλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去）所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°． …………………14分19. （共14分）解：（I ）f (x )的定义域为(1,)-+∞. ……………1分因为1'()1f x a x =-+，a = 2，所以'(0)211f =-=，(0)0f =.所以函数f (x )在点(0,(0))f 处的切线方程是 y x =. ……………4分（II ）由题意可得 1'()1f x a x =-+. （1）当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(1,)-+∞上为减函数，所以在区间[0,e 1]-上，min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ……………6分(2) 当0a >时, 令1'()01f x a x =-=+，则111x a=->-，① 当110a-≤，即1a ≥时，对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x >，所以f (x )在(0,e 1)-上为增函数，所以min ()(0)0f x f ==. ② 当11e 1,a -≥-，即10ea <≤时，对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x <，所以f (x )在(0,e 1)-上为减函数，所以min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ③ 当101e 1,a<-<-即11ea <<时，当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表：x0 1(0,1)a- 11a- 1(1,e 1)a-- e 1-'()f x-0 + ()f x极小值所以 min 111()(1)(1)ln 1ln f x f a a aa a a =-=--=-+. ………13分综上，当1e a ≤时，min ()(e 1)1f x a =--；当11ea <<时，min ()1ln f x a a =-+；当1a ≥时，min ()0f x =. ……………14分20. （共13分）（Ⅰ）1，2，3； ……………3分（Ⅱ）由题意可得，数列如下：第1组:1，第2组:1,2；第3组：1,2,4； L 第k 组：11,2,42k -，，L .则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项的和为: 11(1)21(12)(122)22k k k k S k -++=+++++++=--L L ，①当(1)502k k +≤时，9k ≤，则 234101050451222221131220S S =+++++=-+=+，由于10101122202<+<，对p ∀∈N ，502p S ≠，故50不是“佳幂数”. ……………7分（III ）（i ）在①中，要使(1)702+>k k ，有12≥k ，此时+1+11111+2+4++2=21=11112k k k kk k C C k ++--=++++->+（1+1）L L ，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,42k ，，L 的部分项的和，设1*212221,N .t t k t -+=+++=-∈L所以2312=-≥t k ，则4≥t ，此时42313=-=k ，所以对应满足条件的最小“佳幂数”13144952m ⨯=+=. ……………11分（ii ）由（i ）知：1*212221,N .t t k t -+=+++=-∈L 当2≥t ，且取任意整数时，可得“佳幂数”(1)2k k m t +=+，所以，该数列的“佳幂数”有无数个. ……………13分。

精品2019届高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题理(含解析)

蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为.【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值. 【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值. 【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围. 【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。

数学(理)原创卷(新课标03)-2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷(含解析)

绝密★启用前2019届高三上学期期末教学质量检测原创卷03理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．测试范围：高中全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,,}A B M x x a b a A b B x B =--===+∈∈∈，则集合M 的真子集的个数是A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个2．已知复数z 满足5i34iz =-，则||z = ABC ．1D ．53．设命题:p 函数()22x xf x -=+在R 上递增，命题:q ABC △中，A B >⇔sin sin A B >，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝4．已知132a -=，141log 5b =，31log 4c =，则A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>5．如图，四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若A F A C D E λμ=+，则λμ-的值为A ．12 B ．23C ．13D ．16．若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩………则22x y +的最大值是A ．9B ．10C ．12D ．157．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为A．-B ．0CD8．若89019(1)(12)x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，x ∈R ，则29129222a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅的值为 A ．92 B ．921-C ．93D ．931-9．已知某几何体的三视图如下图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两点，它们之间的距离不可能为ABC ．2D 10．已知函数21()cos (0)2f x x ωω=->的最小正周期为π2，将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后关于原点对称，则当m 取得最小值时，函数()2sin(2)1g x x m =-+的一个单调递增区间为 A ．ππ[,]62B ．5π[π,4C ．π3π[,]24D ．5π3π[,]4211．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB △的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为A ．329B ．169C ．89D ．4912．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为 AB C ．10D ．10第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知数列{}n a 为等差数列，若a 2+a 6+a 10=π2，则tan （a 3+a 9）的值为____________． 14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|||AK AF =，O 是坐标原点，则||OA =____________．15．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=则ABC △的面积为____________．16．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且2018()πf x +为奇函数，则不等式2018()πe 0x f x +<的解集是____________．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足111122()(2),1,7n n n n a a a a n a a +---=+≥==，令1n n nb a a +=+. （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n项和n S . 18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为直角梯形，ABCD ∥，90BAD ∠=，2DC DA AB ===，点E 为AD 的中点，BD CE H =，PH ⊥平面ABCD ，且 4.PH =（1）求证：PC BD ⊥；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B DF C --的余弦值是15？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月（30天）的需求量展示如下：（1）从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率．（2）以上表中的频率作为概率，列出日需求量x 的分布列，并求该月的日需求量x 的期望．（3）根据（2）中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值为3203；现有员工建议扩大生产一天45个，求利用利润的期望值判断此建议该不该被采纳． 20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右顶点是(2,0)A ，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于两点,M N (,M N 不同于点A )，若0AM AN ⋅=，求证:直线l 过定点，并求出定点坐标. 21．（本小题满分12分）已知函数2()2e ()xf x ax ax x a =+-∈R ．（1）当12a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当1a >时，函数()()g x f x ax =-在区间(,0)-∞上存在唯一的极小值点0x ，且0102x -<<. 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合，直线l 的参数方程为：cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数，[0,π)α∈)，曲线C 的极坐标方程为：4sin ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，若||PQ =l 的斜率.23．（本小题满分10分）设函数f (x )=|x −a 2|+|x +b 2|(a ，b ∈R ). （1）若a =1，b =0，求f (x )≥2的解集；（2）若f (x )的最小值为8，求a +b 的最大值.。

广东省2019届高三上学期期末质量检测理科数学试题

广东省2019届高三年级第一学期期末质量检测理科数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意先求出集合N然后根据交集的运算即可求解.【详解】因为=，，所以. 故选：B.【点睛】本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题2.复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】∵，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1）．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.若，且为第四象限角，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系式可求cosα，利用诱导公式化简即可得解．【详解】∵，且α为第四象限角，∴cosα＝，∴tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣．故选：A．【点睛】本题主要考查了诱导公式和同角三角函数基本关系在化简求值中的应用，属于基础题．4.已知左、右焦点分别为的双曲线：过点，点在双曲线上，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线经过的点，求出a，再由双曲线的定义求解即可．【详解】左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：过点，可得：，解得a＝3，b＝1，c＝，a+c＞3，点P在双曲线C上，若|PF1|＝3，可得p在双曲线的左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝6+3＝9．故选：C．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.5.已知，下列函数中，在其定义域内是单调递增函数且图象关于原点对称的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义得若函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，由此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【详解】根据题意，若函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，依次分析选项：对于A，y＝﹣为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝tanmx，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于C，y＝ln，必有＞0，解可得﹣m＜x＜m，则函数的定义域为（﹣m，m），f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，且在其定义域内是单调递增函数，符合题意；对于D，y＝x m，当m＝时，f（x）不是奇函数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于中档题．6.若干年前，某教师刚退休的月退休金为元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图。

2019届三数学上学期期末考试质量检测试题理(含解析)

2019年高三质量检测理科数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】 ,,选B2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】= ,所以虚部为1,选C.3. 函数的图象为C.命题图象关于直线对称；命题由的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】时 ,所以图象关于直线对称；命题由的图象向右平移个单位长度可以得到 ,所以命题为假,所以为真，选B4. 在内随机地取一个数k，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若直线与圆有公共点，则因此概率为，选A5. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体如图，体积为，选D.6. 设点是平面区域内的任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B... ...............7. 执行如图所示的程序框图，输出，则（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】执行循环为结束循环，输出，所以，选B.8. 函数的图象大致是 ( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以舍去B,D;当时，所以舍C，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．9. 已知，若，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设因为，所以，选C10. 正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱侧面面积最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设正三棱柱高为h，底面正三角形边长为a，则三棱柱侧面面积为，因为，所以因此三棱柱侧面面积最大值为，选A11. 设双曲线的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两条渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若,则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，因为，所以，选C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由所以当时，；当时，；所以要使的解集中有且只有一个正整数，需，选A.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量满足，，则向量与夹角为_________.【答案】【解析】14. 命题“”的否定是______________________.【答案】【解析】因为命题“”的否定是“”所以命题“”的否定是15. 已知是椭圆上的一点，分别是圆和上的点，则的最小值是_________.【答案】7【解析】设两圆圆心为M,N,则M,N为椭圆焦点，因此，即的最小值是7点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．16. 如图，在平面四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为________．【答案】【解析】由，，得，对角线取最大值时满足三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前项和为，且满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以试题解析：（Ⅰ）由题意得：,解得 ,故的通项公式为，（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①②①－②得：故点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值.【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求单调区间，最后写出区间形式（2）先代入得,再根据同角三角函数关系求得,最后根据两角差的余弦公式求试题解析：(1)函数的单调递增区间为：（2）,，，19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，.交于点.（Ⅰ）证明：平面⊥平面（Ⅱ）若=,求二面角的余弦值.【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（1）先根据菱形性质得,再结合已知,由线面垂直判定定理得平面最后根据面面垂直判定定理得结论（2）作于，由三垂线定理得,由二面角定义得即二面角的平面角,最后根据解三角形得结果试题解析：（I）底面是菱形又,平面平面又平面平面⊥平面（II）不妨设,则作于，连结由（I）知，故,则即二面角的平面角在中，,,20. 已知抛物线上点处的切线方程为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得,再根据切点在切线上,解方程组得（2）设线段中点，根据斜率公式得，根据点斜式得线段的垂直平分线方程,解得T坐标,利用点到点到直线距离公式得高,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式得底|AB|,根据三角形面积公式得面积函数关系,最后根据均值不等式求最值试题解析：（Ⅰ）设点，由得，求导，因为直线的斜率为-1，所以且，解得，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）设线段中点，则，∴直线l的方程为，即，过定点.联立得，，设到AB的距离，，当且仅当，即(-2,2)时取等号，的最大值为.21. 已知函数有两个零点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：.【答案】（I）（II）见解析【解析】试题分析：（1）先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定单调性,根据图像得,解得实数的取值范围；利用零点存在定理验证满足条件（2）令,易得极值点为,构造函数，利用导数可得其单调递增，由单调性得，即得试题解析：（I）∴∴在单调递减，在单调递增∴∴∴满足函数有两个零点.（II）令由（I）知在令的零点为∴∴所以点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为；（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交点分别为, 点，求的值.【答案】（Ⅰ）,曲线（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用加减消元法得直线的直角坐标方程（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，由参数几何意义得化简得结果试题解析：（Ⅰ）,曲线（Ⅱ）将（为参数）代入曲线C的方程，得23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）移项两边平方去掉绝对值，解一元二次不等式即可（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再根据图像可得最大值，最后解不等式可得结果试题解析：（Ⅰ），即，即，，解得或，所以不等式的解集为或.（Ⅱ）故的最大值为，因为对于，使恒成立.所以，即，解得或，∴.。

2019高三上学期期末质量检测(一调)(理)数学试题含.doc

2021-2021 年高三上学期期末质量检测〔一调〕〔理〕数学试题含答案一、选择题：本大题共10 个小题 , 每题 5 分 , 共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的 .1. 设会集 A 2,0, 2 , Bx | x 2 x 20，那么A B 〔〕A ． 0B ．2C ．2,0 D ． 0，22. 直线 x3 y3 0 的倾斜角的大小是〔〕 A ．B．5C ． D．2663 3x 14. 实数x ， y 满足 y 2，那么 x y 的最小值为〔〕x yA ． 2B ． 3C ． 4D ． 55. 设 alog.0.32, b log 3 2, c 20.3 ，那么这三个数的大小关系是〔〕A ． c b aB ． c a bC． a b cD ． b c a6.命题 p : x 1, , x 1 ；命题 q : a 0,1，函数 ya x 在,上为减函数，那么以下命题为真命题的是〔〕 A ． pqB ．p q C． pqD ．p q7. 假设函数 f xsinx0 的图象向左平移4个单位，获取的函数图象的对称4中心与 f x 图象的对称中心重合，那么的最小值是〔〕A ． 1 B． 2C． 4D ．88.ABC ，假设对 t R,| BAtBC | | BA2BC | ，那么ABC 的形状为〔〕A ．必为锐角三角形 B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D ．答案不确定9. 函数f x | lg x1〕| cos x的零点的个数〔2A． 3B．4C． 5D．610. C：x2y2 1 ，点P在直l : y x 2 上，假设C上存在两点A，B使得PA3PB ，点 P 的横坐的取范〔〕A．1．1C ．10，D． 2，0 1，B2，22第二卷〔共100 分〕二、填空〔每 5 分，分25 分，将答案填在答上〕11.随机量X - B n, p ，且 E X 2, D X1，p.12.函数 f x 是定在R上的奇函数，当 x0,1 ， f x x ，log21f22=.13. 察以低等式：112349+ +67253 4 54567891049⋯⋯照此律，第 n 个等式.14.某几何体的三如所示，其俯的外廓是由一个半与其直径成的形，此几何体的体是.15. 直y k x m 与抛物 y2 2 px p 0 交于A、B两点，O坐原点，OA⊥OB，OD⊥AB 于 D，点 D 在曲线x2y24x0 上，那么p.三、解答题〔本大题共 6 小题，共75 分 . 解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〕16. 〔本小题总分值 12 分〕直线 x与直线 x 5x sin x0,的图象的是函数 f2442两条相邻的对称轴.〔 1〕求,的值；〔 2〕假设3,， f4，求 sin的值 .44517. 〔本小题总分值12 分〕a n的前 n 项和为S n，a110 ，S1a1, S3a3, S2a2成等差等比数列，公比 q2数列 .〔 1〕求a n；〔 2〕设b n1, c n n 1 b n b n 2，求数列 c n的前 n 项和 T n.2log 2 a n18. 〔本小题总分值12 分〕甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，甲做对的概率为1，乙、丙做对的概率分别为2m, n m n ，且三位学生可否做对相互独立，记X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P1a b1424（1〕求最少有一位学生做对该题的概率；（2〕求m,n的值；（3〕求X的数学希望 .19.〔本小题总分值12 分〕如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC 2 ，E是PC的中点.（ 1〕求证： PA // 平面 EDB ；（ 2〕求锐二面角 C PB D 的大小 .20. 〔本小题总分值 13 分〕椭圆 x2y 2 1 ab0 上一点与它的左、右两个焦点 F 1 , F 2 的距离之和为 2 2，且a 2b 2它的离心率与双曲线 x 2y 22 的离心率互为倒数 .〔 1〕求椭圆的方程；〔 2〕如图，点 A 为椭圆上一动点〔非长轴端点〕， AF 1 的延长线与椭圆交于 B 点， AO 的延长线与椭圆交于 C 点 .(i) 当直线 AB 的斜率存在时，求证：直线 AB 与 BC 的斜率之积为定值； (ii) 求△ ABC 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程 .21. 〔本小题总分值 14 分〕函数 f xx 4 ln x a x 41 , a R .〔 1〕求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；〔 2〕假设当 x 1时， f x 0 恒建立，求实数 a 的取值范围；〔 3〕 f x的极小值为a , 当 a0 时，求证：11e 4aa 0 .( e 2.718281e4a1为自然对数的底 )4二○一六届高三第一学期期末量高三数学〔理科〕参照答案及分准 2021.1一、：本大共10 小，每小5 分，共 50 分．DBDAAACC BD二、填空：本大共5 小，每小5 分，共 25 分．11.112.1 13.n ( n 1)(n 2)(3n 2) (2n 1)22214.8π15.23三、解答：本大共 6 小，共 75 分．解答写出文字明、明程或演算步．16. 解： (1)因直 xπ、 x5π是函数 f ( x)sin( x) 象的两条相的称，44因此ππ k π, k Z ，即 π π, k Z . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分424又因πππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2，因此.24(2) 由(1) ，得 f ( x)sin(xππ4 7 分) . 由意， sin(). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯445由(3π π，得π(π 从而 cos(π38 分,) 4 2 ,0) . ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 44 5sinsin[(ππsin(π π cos( π π 10 分4 )4 ])cos4)sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯44 44 2 3 2 7 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分52 5 21017. 解： (1)因 Sa ,S a , Sa成等差数列，1 1 3322因此 S 3 a 3 S 1 a 1 S 2 a 2 S 3 a 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分化得 4a 3 a 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因此 q 2a 3 1 . 因 q0 ，因此 q 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分a 1 42故 ana q n 11 ( 1 )n 1 ( 1 ) n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分1222(2) b n11118 分(log 2 a n )21n2 ( n) 2n 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[log 2 ( ) ]2c n ( n 1)b n b n2n 2 n 11 [ 1(n 12)2]. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分(n 2)2 4 n 2T n c 1 c 2c 3 c n 1c n1[( 11 ) (11 ) (11 ) (11 ) (11 )] 4 12 32 22 4232 52(n 1)2 (n 1)2n 2(n 2) 21 11 14 [1 22(n 1)2(n2)2 ]1 51112 分4 [ 4 ( n 1)2( n2)2 ] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18. 解：〔 1〕最少有一位学生做的概率1 P( X0) 1 1 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4 4(11m)(1 n)1)(1,〔 2〕由意，得1 214⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分mn.224又 mn ，解得 m1， n 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3 4〔 3〕由意， a1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分2 342 3 4 2 3 4 24b 1P( X 0) P( X1) P( X3) 11 11 1 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分424 24 4E( X)0 11 112 1 31 13 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分424 4 24 1219. 〔1〕解法一：如，以 D 坐原点，分以DA, DC , DP 所在的方向x , y , z 的正方向，建立空直角坐系D xyz.A(2,0,0), P(0,0,2), D(0,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), E (0,1,1) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分法一： PA (2,0, 2), DB (2,2,0), DE(0,1,1).PA DB DE ,即 (2,0,2)(2,2,0)(0,1,1).解得1, 2.因此 PA DB2DE.又 PA平面 EDB ，因此PA平面 EDB .⋯⋯⋯⋯4分zPED C yABx法二：取 BD 的中点G，G(1,1,0).PA (2,0, 2) ， EG(1,0,1) .因此 PA 2 EG ，因此 PA EG.又 PA平面 EDB ，EG平面 EDB ，因此 PA平面 EDB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分zPED CyGABx法三： DB(2,2,0), DE(0,1,1).n = ( x, y, z)平面EDB的一个法向量，n DB 0, n DE0 ，即 2x 2 y0, y z 0.取 y 1 ， x z 1. 于是n = (1,1,1).又 PA (2,0, 2) ，因此n PA =12(1)01(2) 0.因此 PA n .又 PA平面 EDB ，因此PA平面 EDB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分解法二：接 AC ， AC BD G.因 ABCD 是正方形，因此G 是段 AC 的中点 .又 E 是段PC的中点，因此，EG 是△ PAC 的中位 .因此 PA EG. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又 PA平面 EDB ，EG平面 EDB ，因此 PA平面 EDB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分PED CA GB〔 2〕解法一：由〔 1〕中的解法一， PB(2,2, 2) ， CB (2,0,0) .m ( x1, y1, z1)平面CPB的一个法向量，m PB 2 x12y1 2 z10 ，m CB 2x1 0 .取 y1 1， z1 1 . 于是m(0,1,1). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因 ABCD 是正方形，因此AC BD.因 PD底面 ABCD ，因此 PD AC.又 PD BD D ，因此 AC平面 PDB.因此 AC(2,2,0) 是平面PDB的一个法向量 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分因此 cos m, AC2221. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分22因此，二面角 C PB D 的大小 60 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分zPED CyABx解法二：如，AC BD G.在 Rt △PDB中， G 作 GF PB 于F，接 FC . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因四形 ABCD 是正方形，因此 CA BD ，即 CG BD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因棱 PD 底面ABCD，CG平面ABCD，因此 CG PD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分又 CG BD，PD BD D ，因此 CG平面 PDB.因此 CG PB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分又 PB GF， CG GF G ，因此PB平面CGF .因此 PB FC. 从而GFC 就是二面角 C PB D 的一个平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分在 Rt △PDB中， FG BG sin GBF BG PD222) 22.⋯⋯ 11分PB22(23在 Rt △ FGC 中，tan GFC GC23.因此GFC60 . FG23因此二面角 C PB D 的大小 60 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分PEFD CA GB20.解：〔 1〕的半焦距 c.因双曲 x2y210 的离心率 2 ，因此的离心率 2 ，即 c2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分2a2由意，得 2 a 2 2. 解得 a 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分于是 c 1 ， b2 a 2c2 2 1 1 . 故的方程x2y2 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2〔 2〕〔i 〕 A(x , y ), B( x, y) ，222 2 2 .1 122x12 y1 , x2 2 2y2由于点 A 与点C关于原点称，因此C( x1 ,y1 ) .yy yyy 2y 2y 2y 2y 2y 21kABkBC2121212121.x 2x 1 x 2x 1x 22 x 12(2 2 y 22 ) (2 2 y 12 ) 2( y 12 y 22 )2故直 AB 与 BC 的斜率之定1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2〔 ii 〕直 AB 的方程 xty 1 ， A( x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ).x ty 1,消去 x 并整理，得 (t 22) y22ty 10. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由22 y 2x2因直 AB 与交于 A, B 两点，因此 y 1y 2t 22t , y 1 y 2 1.⋯⋯⋯⋯ 8 分2t 2 2法一： | AB|( x x )2 ( y2y )2211[(ty 2 1) (ty 1 1)]2 ( y 2 y 1 )2( t 2 1)(y 2 y 1) 2(t 2 1)[(y 2y 1 )2 4 y 1 y 2 ](t 21)[(t 2 2t2)24 t 21]2 2( t 2 1). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分2 t 2 2点 O 到直 AB 的距离 d1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分t21因 O 是段 AC 的中点，因此点C 到直 AB 的距离 2 d.12 2( t 21) 1 2 2 t 21S △ ABC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分| AB | 2dt 2 2 21 t 222t令 t 21u ， u ≥1.S △ ABC2 2u2 2 ≤ 22 =2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分u 21u121uuu当且当 u1，即 u1 ，亦即 t0 ， △ABC 面的最大2 .u此直 AB 的方程 x1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分y AF1OF 2xBC法二：由意， S△ABC 2S△ ABO21|OF1 || y1y2 |)(2| y1y2 |⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分( y2y1 )2 4 y1 y2(2t)241t22t2222t21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分t 22以下程同方法一 .yAFOx 1 F 2BC21. 解： (1)f( x) 4 x3 ln x x34ax3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分f(1)14a . 又 f (1)0 ，因此，曲y f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切方程y(14a)( x 1) . ⋯⋯⋯⋯ 3分(2) 解法 1：由 (1) 得 f( x) x3 (4ln x14a) .①当 a,1，因 y4ln x14a增函数，因此当x⋯1，44ln x14a⋯4ln11 4 a14a ? 0 ，因此 f (x)⋯0 .当且当 a 1，且 x 1 等号建立 . 因此 f ( x) 在 (1,) 上增函数 . 4因此，当 x⋯1 ， f ( x)⋯f (1)0 .因此， a,1足意 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4② 当 a1 ，由 f ( x)x 3(4ln x1 4a) 0 ，得 ln xa1 .a 1解得 x e 4 .44111因 a，因此 aae1.0 ，因此 e 4441a1当 xa( x) 0 ，因此 f (x) 在4) 上减函数 .(1, e4) ， f(1,ea 1因此当 xf (1)0 ，不合意 .(1,e 4 ) ， f ( x)上所述，数a 的取范是 (, 1] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分4解法 2： f ( x)x 4 ln x a( x41)⋯0ln x a(1 14 )⋯0.x令1g ( x)1 4a x 44ag( x)ln x a(1x 4)，xx 5x 5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分① 当 a,1， 4a, 1.由 x ⋯1 ，得 x 4⋯1 . 因此，当 x ⋯1 ， g ( x)⋯0 ，4当且当 a1 ，且 x1 等号建立 .4因此 g( x) 在 (1, ) 上增函数 .因此，当 x ⋯1 ， g (x)⋯g (1) 0 ，此 f ( x)⋯0 .因此， a,1足意 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分4② 当 a1 ，由 g ( x)0 ，得 x44a 1. 当 x(1,4 4 a ) ， g (x) 0，4因此 g (x) 在 (1, 4 4a ) 上减函数 . 因此，当 x (1,4 4a ) ， g( x)g (1) 0 .此 f (x)0 ，不合意 .上，数 a 的取范是( , 1 ] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分4方法 3：当 x 1 ， f (1)0 足意 .x 1 ， f (x)x 4ln xa(x41)⋯0a,x 4 ln x. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x 41令 x 4t， ln x1 ln t , t 1. 上述不等式可化, t ln t .4 a 4(t 1)令 h(t )t ln t ， a, h(t) 在 (1, ) 上恒建立 . h (t )ln t t1 .4(t1)4(t 1)2令 p(t )ln t t 1，当 t1 ， p (t )1 10 ， p(t ) 在 (1,) 上增函数 .t因此，当 t 1 , p(t )p(1) 0 .因此，当 t1 , h (t)p(t ) 0 ，因此 h (t ) 在 (1,) 上增函数 . ⋯⋯⋯⋯⋯6 分4(t 1)2令 q(t ) t ln t ，由数定得q (1)lim q (t )q (1) lim t ln t .t 1t1t 1 t1又 q (1) (t ln t ) |11 ，因此 lim t ln t 1 .t 1t 1因此，当 t1 ， h(t )t ln t 恒大于 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分4(t 1) 4因此，数 a 的取范是 (1 ] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分,4x 3(4ln x1， xa 1(3) 由 f ( x)1 4a)0 ，得 ln x a4 .e4当 x(0, e a10 ， f ( x) 减函数；当 x( ea 1) ， f (x)0 ， f ( x) 增 4) ， f ( x)4,函数 . 因此 f (x) 的极小(a)a 1 a1 4 a 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分f (e4 )4 e.由 (a )1e 4 a 10 ，得 a1 .4当 a(0, 1 ) ，(a ) 0 ,(a) 增函数；当 a( 1 , ) ，(a) 0 ,(a) 减函数 . 所44以 (a),( 1)=0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分41 1 14 a 114a 11 1 14a 11 1 1( a)) ae ) a4 (e 4 aee(e 4ae 4a .4441 11下： a0 ， a4 a⋯0 .e41 111111a4a ⋯04 aln(4 a )⋯1ln(4 a)e4 a ⋯e4a1⋯0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分44a令 r (a)ln(4 a)1 1 ， r ( a)1 14a 14aa4a 24a 2 .当 a(0, 1 ) ， r (a) 0 ， r ( a) 减函数；当 a( 1 , ) ， r (a)0 , r ( a) 增函数 . 所44以 r (a)⋯r ( 1 )=0 ，即 ln(4 a)1 1⋯0.44a11111 1因此 a1，即( a)1 4 a4a 1)⋯0. 因此(a)⋯14a 1 ).4 e 4 a ⋯0(ee(e 4ae44上所述，要的不等式建立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分。

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