2011届高三数学一轮巩固与练习：三角函数的图象与性质

合集下载

高三数学一轮复习第3章三角函数第3课时三角函数的图象和性质精品课件

解析： f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin 4x， ∴T＝24π＝π2.
答案：
π 2
3．(2010·北京卷)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求fπ3的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．
解析： (1)fπ3＝2cos23π＋sin23π－4cosπ3 ＝－1＋34－2＝－94.
∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．
答案： B
4．比较大小，sin－1π8________sin－1π0.
解析：因为y＝sin x在－π2，0上为增函数且－1π8＞－1π0，故sin－1π8＞sin－1π0. 答案：＞
5．函数y＝sinx＋π3，x∈0，π3的值域是________．
【变式训练】 3.(1)求函数y＝sin π3－ห้องสมุดไป่ตู้x ，x∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求y＝3tanπ6－4x的周期及单调区间．
解析： (1)由 y＝sinπ3－2x得 y＝－sin2x－π3，由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ 得－1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ，k∈Z. 又 x∈[－π，π]， ∴－π≤x≤－172π，－1π2≤x≤152π，1112π≤x≤π. ∴函数 y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－172π，－1π2，152π，1112π，π.
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z，x∈R
解析： ∵x－π4≠kπ＋2π，∴x≠kπ＋34π，k∈Z. 答案： D
3．(2010·陕西卷)对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是 ()
A．f(x)在π4，π2上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 解析： ∵f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，

高考数学一轮复习第三章第五讲三角函数的图象与性质课件

由于 f(x)＝tan 2x－π4的最小正周期为π2，故排除 D.故选 C.
答案：C
2.(考向 2)若函数 f(x)＝sin ωx＋4π(ω>0)在π2，π上单调递增，则 ω 的取值范围是( )
A.12，54
B.12，34
C.0，
1 4
D.(0，2]
解析：∵函数 f(x)＝sin ωx＋π4(ω>0)在π2，π上单调递增，则 ω·π2＋π4≥－π2＋2kπ，且 ω·π＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，求得 4k－32≤ω≤2k＋14，取 k＝0，得－32≤ω≤14. ∵ω>0，∴可得 ω 的取值范围为0，41.故选 C. 答案：C
考点一三角函数的定义域
1.(2023 年金牛区校级月考)函数 y＝tan2x－π4的定义域为
()
A.xx≠kπ＋π2，
k∈Z
B.xx≠k2π＋ 83π，k∈Z
C.xx≠2kπ＋π2，
k∈Z
D.xx≠2kπ＋38π，
k∈Z
解析：由题意，得 2x－π4≠kπ＋π2，k∈Z，解得 x≠k2π＋83π，k∈Z，故定义域为xx≠k2π＋ 83π，k∈Z.故选 B.
正数；若 A<0，借助导公式 sin α＝－sin (α±π)或 cos α＝－cos (α±π)
将 A 化为正数. (2)根据 y＝sin x 和 y＝cos x 的单调区间列不等式求解.
[例 3]函数 f(x)＝3sin 23π－2x的一个单调递减区间是(
)
A.71π2，1132π
B.1π2，71π2
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x

2011届高三数学一轮巩固与练习：两角和与差的三角函数

巩固1．(2009年高考陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2解析：选 A.3sin α＋cos α＝0，则tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103. 2．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210解析：选B.由α∈(－π2，π2)，sin α＝35可得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210，故选B.3．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A.4．(原创题)已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， ∴tan α＝1. 答案：15.已知sin (30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α的值为________．解析：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.∵sin (30°＋α)＝35，∴cos (30°＋α)＝－45. ∴cos α＝cos [(30°＋α)－30°] ＝cos (30°＋α)·cos 30°＋sin (30°＋α)·sin 30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－4310 6．化简：(1)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)； (2)11－tan θ－11＋tan θ. 解：(1)原式＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β＝－(sin α·cos β－cos α·sin β)cos α·cos β＋sin α·sin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan (α－β)．(2)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. 练习1．(2008年高考海南、宁夏卷)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 D.32解析：选C.原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝6－2sin70°3－sin70°＝2，故选C.2．已知sinθ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是( )A.229 B ．－229C ．－19 D.19 解析：选B.由已知条件可得θ为第四象限角，根据同角三角函数关系式可得cosθ＝223，由三角函数诱导公式可得sin(θ－5π)sin(32π－θ)＝sinθcosθ＝－13×223＝－229，正确答案为B.3．已知cos(π－2α)sin(α－π4)＝－22，则cosα＋sinα等于( )A ．－72 B.72 C.12 D ．－12解析：选D.由已知可得cos(π－2α)sin(α－π4)＝－cos2α22(sinα－cosα)＝－(sinα＋co sα)(cosα－sinα)22(sinα－cosα)＝sinα＋cosα22＝－22⇒sinα＋cosα＝－12.4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sinα＋sinβ B ．cos(α＋β)>cosαcosβ C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析：选C.∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．5．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x －25与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，记∠xOA ＝α(0<α<π2)，∠xOB ＝β(π<β<3π2)，则sin(α＋β)的值为( )A.35B.45C ．－35D ．－45解析：选D.由⎩⎨⎧y ＝2x －25x 2＋y 2＝1得点A(35，45)，点B(－725，－2425)．sinα＝45，cosα＝35，sinβ＝－2425，cosβ＝－725，然后由两角和的正弦公式求解．6．(2008年高考山东卷)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：选C.∵cos(α－π6)＋sinα＝453，∴32cosα＋12sinα＋sinα＝453，∴3(12cosα＋32sinα)＝453，∴sin(α＋π6)＝45，又∵sin(α＋7π6)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)，∴sin(α＋7π6)＝－45. 7.cos2α1＋sin2α·1＋tanα1－tanα的值为________．解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sinα＋cosα)2·1＋sinαcosα1－sinαcosα＝cosα－sinαsinα＋cosα·sinα＋cosαcosα－sinα＝1.答案：18．若点P(cosα，s inα)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝________.解析：∵P(cosα，sinα)在y ＝－2x 上， ∴sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.∴sin2α＋2cos2α＝2tanα1＋tan 2α＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＝2＋2tanα－2tan 2α1＋tan 2α＝2－4－2×41＋4＝－2.答案：－2 9.2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝ 3. 答案： 310．已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sin(α＋π4)cos(2α＋4π)的值．解：∵α是第一象限角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sin(α＋π4)cos(2α＋4π)＝22(sinα＋cosα)cos2α＝22(sinα＋cosα)cos 2α－sin 2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214. 11．求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．解：(1)原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝ 3. (2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.12．(2008年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝1－cos 2α＝7210，同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4。

高考数学一轮总复习课件：三角函数的图象与性质

正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
定义域
R
值域
_[_－__1_，__1_]
R [_－__1_，__1_]
_(_k_π_－__π2_，__k_π__＋__π2_) __R___
周期性
__T_＝__2_π___
__T_＝__2_π___
_T__＝__π___
思考题1 (1)【多选题】下列函数中最小正周期为π
的函数有(ABC )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|cosx|
C．y＝cos2x＋π6
D．y＝tan2x－π4
(2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0，1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是____1_992_π __， __＋ __∞ ____．
【解析】 (1)f(x)＝cos3x(－sinx)＝－sinxcos3x， ∵f(－x)＝－sin(－x)cos(－3x)＝sinxcos3x＝－f(x)(x∈R)． ∴f(x)是奇函数． (2)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x) ＝sin|x|是偶函数． (3)∵f(x)＝2sin2xcos3(x∈R)． ∴f(－x)＝2sin(－2x)cos3＝－2sin2xcos3＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．【答案】 (1)奇函数 (2)偶函数 (3)奇函数
(1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)形式的函数的单调性，应利用复合函数单调性研究．
(3)注意各性质应从图象上去认识，充分利用数形结合解决问题．

高考数学一轮复习讲义三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质一．【课标要求】1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin （w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响二．【命题走向】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法预测2010年高考对本讲内容的考察为：1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．【要点精讲】1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

高三数学一轮复习讲义三角函数图像与性质

课题：三角函数的图像与性质知识点一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值求解三角函数：sin ()y A x x ωϕ=+性质常用结论与技巧； (1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(2)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，注意y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(3)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u ＝ωx ＋φ的范围，然后结合函数y ＝sin u 或y ＝cos u 的性质可得函数的最值(值域)．【典型例题】【例1】函数cos()3y x π=-的单调增区间是（）A ．42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【例2】函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例3】函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（）A ．6πB ．125πC ．32πD ．32π-【例4】函数2()cos cos f x x x x =+（[0,]x π∈）的单调递减区间为（）A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 【例5】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A. 1-B.C.D. 0 【例6】已知函数2()sin 2+sin 22cos 1.33=+-+-∈f x x x x x R ππ（）（），（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【举一反三】1．余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（）A ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（）A.)2sin(π+=x y B.)2cos(π+=x y C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y4．已知函数2()3cos sin f x x x x =-，则()f x 的最小正周期为；单调减区间为．5．若函数()()13cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（）A.1B.2 3 31 6．已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【课堂巩固】1．已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称2．设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0ω>，||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增 3．函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.4．函数x x y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（） A ．12π=x B ．12π-=x C. 6π=x D ．6π-=x5．函数的最小正周期是__________ .6．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是． 7．已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【课后练习】正确率：________1．当函数（）取得最大值时，（）A. B. C. D.2．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=-⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（） A ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．3,3⎡-⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-5．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π- 6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=（） A ．35- B ．35C ．45-D ．457．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（） A. π12x =B.π12x =-C.π6x =D.π6x =-9．已知函数2()cos cos f x x x x =+，x R ∈．（1）求4()3f π；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调减区间．。

高三一轮复习三角函数的图象与性质 (1)

第二十课时三角函数的图象与性质考纲要求：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质(B)知识梳理：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质π1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．( )(2)y ＝sin x 在第一、四象限是增函数．( ) (3)所有的周期函数都有最小正周期．( ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )的最大值为k ＋1.( ) (6)y ＝sin|x |为偶函数．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√2．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的增区间为________，减区间为________．答案：⎣⎡⎦⎤－π2，π2 ⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝________. 答案：π4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1的定义域为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π＋π3，k ∈Z5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )[典题1] (1)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：(1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.答案：(1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－3 [探究1] 若将本例(2)中的函数换为“y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6”，如何解决？解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋78＝238.[探究2] 若将本例(2)中的函数换为“y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]”，如何求解？解：令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]，∴t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，t ∈[－1, 2 ]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22.∴原函数变为y ＝t ＋1－t 22，t ∈[－1， 2 ]．即y ＝－12t 2＋t ＋12.∴当t ＝1时，y max ＝－12＋1＋12＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值之和为0.[探究3] 若将本例(2)中的函数换为“y ＝sin x (cos x －sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4”，如何求解？解：y ＝sin x (cos x －sin x )＝sin x cos x －sin 2x＝12sin 2x －1－cos 2x 2＝12(sin 2x ＋cos 2x )－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12. ∵0≤x ≤π4，∴π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y max ＝2－12.当2x ＋π4＝π4或2x ＋π4＝3π4，即x ＝0或x ＝π4时，y min ＝0，故函数的最大值与最小值之和为2－12.小结：(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．三角函数的单调性和周期性是每年高考命题的热点，题型多为填空题，难度适中，为中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求已知三角函数的单调区间和周期 [典题2] 写出下列函数的单调区间和周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3； (2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (3)y ＝|tan x |. 解析：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin2x －π3，它的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递减区间，它的递减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；递增区间为k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .周期T ＝2π|－2|＝π.(2)k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得k π－π6<2x <k π＋5π6(k ∈Z )，即k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，无单调减区间．周期T ＝π2. (3)观察图象(图略)可知，y ＝|tan x |的递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，递减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .周期为π. 小结：(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．角度二：已知三角函数的单调区间或周期求参数[典题3] (1)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．(2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．解析：(1)由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.(2)由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：(1)2或3 (2)⎣⎡⎦⎤12，54 小结：已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[典题4] (1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：(1)由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.答案：(1)3π2 (2)π6小结：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性和对称性 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f (x 0)的值进行判断．(3)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象的对称轴或对称中心进行求解．练习：1．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，12．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1图象的对称轴完全相同，∴ω＝2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由三角函数图象知，f (x )min ＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，f (x )max ＝3sin π2＝3，∴f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3总结：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．5．在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.注意： 1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时要注意ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．课后作业：1．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0＜ω＜2)，若f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0＜ω＜2)，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝1，∴2π3ω＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝3k ＋12，k ∈Z ，又0<ω<2，∴ω＝12，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，故函数f (x )的最小正周期为2π12＝4π.答案：4π2．若函数f (x )同时具有以下两个性质：(1)f (x )是偶函数；(2)对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是________．(填序号)①f (x )＝cos x ； ②f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ③f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2； ④f (x )＝cos 6x .解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．∵f (x )＝cos x是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故①错．∵函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件，故②错．∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故③满足条件．∵函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故④错．答案：③3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 答案：－224．已知曲线f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________.解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，其对称中心为(x 0,0)，故2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝－π6＋k π2(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴k ＝1，x 0＝π3. 答案：π35．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：∵对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，∴f (x 1)，f (x 2)分别为函数f (x )的最小值和最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为12T ＝12×2ππ2＝2.答案：26．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析：由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又f ⎝⎛⎭⎫π6＝3或f ⎝⎛⎭⎫π6＝－3， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . 答案：⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z 7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫0，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．解析：由函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫0，2π3上单调递增，可得2ω·2π3－π6≤π2，解得ω≤12，故ω的最大值为12.答案：128．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.答案：(3，2)9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3· cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：210．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为________．解析：函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)．又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，1，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令x ＝0，可得y ＝12. 答案：1211．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________．解析：若－π6≤x ≤π3，则－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，即f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1. 若－π6≤x ≤a ，则－π3≤2x ≤2a ，－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则π2≤2a ＋π6≤7π6，即π3≤2a ≤π，所以π6≤a ≤π2，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，π212．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：∵f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得．∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点．故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π.答案：π13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为x 2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .15．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时， y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.。

高三数学一轮复习 4.3 三角函数的图象与性质

��π-
π 2
,��π
+
π 2
(k∈Z)内为增函数.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点 1 三角函数的定义域、值域
((3所(123例AC(As2)))i以...n由因由)函1π-62函(2为题32��,21数��5,sπ��)数6意-π32i函xnπ6+f∈(可f数xx(π6-x)∈1知0=),≥y在2,3=π2��-s��s90区32πii,n-,n所,得��23+间��22s2B以��,iB5s��≥n6.��0iπ->.n��-2,��π60-232π2(xx10,k��≥-,在��的π上,∈63π得12∈区定的+Z,故)间��-义-值π6C��3π6π2,.2域域k,≤0-<��D5π6��,3π是为+π��.π2√2��π6,3+��≤(所上≤��<-,π32533以6的x+��π√2,��.≤33π值(π6s)k.2i+,n∈k域��ππ2πD2Z+为,��.+)5��6-∈π-(π65(36kπZ√2∈,3∈(k,Z3)∈-).12Z,)1
时,才能把(ωx+φ)看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解.
3.函数y=sin x与y=cos x图象的对称轴分别是经过其图象的最高点
或最低点且平行于y轴的直线,如y=cos x的对称轴为x=kπ(k∈Z),而不
是x=2kπ(k∈Z).
4.对于y=tan x不能认为其在定义域上为增函数,而是指在每个区间
π
-7-
知识梳理双基自测自测点评

高考数学一轮复习重点三角函数的图像与性质

第3讲三角函数的图像与性质一、选择题1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图像知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.答案 A2．(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B3．(2016·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4．(2016·铜川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图像可知，函数f (x )的图像不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图像易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确．答案 C5．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A. 答案 A 二、填空题6．(2017·郑州调研)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 解析因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 答案 5π67．(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π68．(2016·承德模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图像可知，π3ω＝π2，解得ω＝32. 答案 32 三、解答题9．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2 x ＋cos 2 x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.10．(2017·昆明调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4 ＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)法一在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(2－x )－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.法二区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.11．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B12．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6， f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6.又∵－π2＜5π6－4＜4－7π6＜π6＜π2. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A13．若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．解析因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35. 答案 ±3514．(2017·安康调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a >0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

一轮复习课时训练§3.3：三角函数的图象与性质

第三章§3：三角函数的图象与性质(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数f(x)＝sin(2π－2x)，则该函数的图象A ．关于点(π4，0)对称B ．关于点(π2，0)对称 C ．关于直线x ＝3π4对称 D ．关于直线x ＝π对称 2．下列关系式正确的是A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11°3．已知函数y ＝3sin2x 的值域为[3，3]，则下列范围可作为该函数定义域的为A ．[0，5π12]B ．[π12，2π3] C ．[－π12，π12] D ．[π12，5π12] 4．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈[－π2，π2]时，f(x)＝x ＋sinx ，则 A ．f(1)＜f(2)＜f(3) B ．f(2)＜f(3)＜f(1)C ．f(3)＜f(2)＜f(1)D ．f(3)＜f(1)＜f(2)5．给定性质：(1)最小正周期为π，(2)图象关于直线x ＝π3对称，(3)图象关于点(π12，0)对称，则下列四个函数中，同时具有性质(1)(2)(3)的是A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6) C ．y ＝|sinx| D ．y ＝sin(2x －π6) 二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cosx 的图象与y ＝5tanx 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．7．已知函数y ＝f(x)的周期为π，且在[π4，π2]上为减函数，请写出一个符合条件的函数解析式________．8．定义在R 上的函数f(x)：当sinx ≤cosx 时，f(x)＝cosx ；当sinx ＞cosx 时，f(x)＝sinx.给出以下结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x ＝2kπ(k ∈Z)时，f(x)取最大值；④当且仅当2kπ－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)＞0； ⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是2π.其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝3sin2x ＋cos2x.(1)求f(x)的单调减区间；(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由已知f(x)＝－sin2x ，令2x ＝kπ，k ∈Z ，得x ＝kπ2，k ∈Z ，则对称中心为(kπ2，0)，k ∈Z ，故B 项正确．令2x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，x ＝kπ2＋π4，k ∈Z ，即对称轴为x ＝kπ2＋π4， k ∈Z ，故C 、D 两项不正确．答案：B2．解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80° 又∵在x ∈[0°，90°]时，y ＝sinx 为单调增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°.∴sin11°＜sin168°＜cos10°.答案：C3．解析：由已知3≤3sin2x ≤3，∴12≤sin2x ≤1. ∴2kπ＋π6≤2x ≤2kπ＋5π6，k ∈Z ， ∴kπ＋π12≤x ≤kπ＋5π12，k ∈Z.从而D 项正确．答案：D4．解析：f(x)在x ∈[－π2，π2]上是单调增函数．且f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，又－π2＜π－3＜1＜π－2＜π2. ∴f(π－3)＜f(1)＜f(π－2)．即f(3)＜f(1)＜f(2)．答案：D5．解析：由(1)排除A 项，由(2)(3)排除B 、C 两项，从而D 项正确．答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由6cosx ＝5tanx,6cos 2x ＝5sinx ，得6sin 2x ＋5sinx －6＝0，sinx ＝23. 答案：237．解析：由周期为π，得ω＝2，在[π4，π2]上递减，可取余弦函数，则符合条件的一个函数解析式为f(x)＝cos2x.答案：f(x)＝cos2x(答案不唯一)8．解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，sinx ＞cosx cosx ，sinx ≤cosx ，其图象如图所示：观察图象可知f(x)是以2π为最小正周期的周期函数，故①正确；最小值为－22，当x ＝2kπ＋π2时，f(x)也取最大值，故②③错误；观察图象知④⑤正确．答案：①④⑤ 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx ＝2sinxcosx ＝sin2x.∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x ≤π2，∴－π3≤2x ≤π，则－32≤sin2x ≤1. 所以f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)． (1)由2kπ＋π2≤2x ＋π6≤2kπ＋3π2(k ∈Z)得， kπ＋π6≤x ≤kπ＋2π3(k ∈Z)． ∴f(x)的单调减区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3](k ∈Z)． (2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝kπ(k ∈Z)，即x ＝kπ2－π12(k ∈Z)． ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．。

高考理科数学一轮复习课件三角函数的图象与性质

要点三
反思
在解答三角函数问题时，我需要注意哪些问题？如何更好地运用三角函数的性质进行求解？在解题过程中，我是否充分利用了题目中的条件？如何提高自己的解题速度和准确性？
THANKS
感谢观看
02
（2020全国卷II）已知函数$f(x) = sin(omega x + varphi)(omega > 0,|varphi| < frac{pi}{2})$的最小正周期为$pi$，且$f(frac{pi}{6}) = frac{1}{2}$，求$f(x)$的解析式及单调递增区间。 Nhomakorabea03
（2021全国卷III）已知函数$f(x) = 2sin(omega x + varphi) - 1(omega > 0,|varphi| < frac{pi}{2})$的图象过点$(frac{pi}{12},1)$，且相邻两条对称轴之间的距离为 $frac{pi}{2}$，求$f(x)$的单调递增区间和对称中心。
02
三角函数图像绘制方法
单位圆法绘制正弦、余弦函数图像
单位圆与正弦、余弦函数的关系
单位圆上的点坐标与正弦、余弦函数值对应。
绘制步骤
建立平面直角坐标系，以原点为圆心画一个单位圆，标记特殊角的正弦、余弦值对应的点，用平滑曲线连接各点。
图像特点
正弦函数图像为波浪形，余弦函数图像为余弦波形，两者相位相差90度。
地理测量
三角函数可以应用于地理测量中，如测量地球表面的距离、高度和角度等参数，以及绘制地图和进行导航等。
潮汐现象
三角函数可以描述月球和太阳对地球引力作用产生的潮汐现象，以及潮汐的高度和时间等参数。
06

高三数学复习资料：三角函数的图象与性质

高三数学复习资料：三角函数的图象与性质
考纲要求
1.能画出y＝sinx,y＝cosx,y＝tanx的图象,了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
考纲研读
1.利用三角函数线画函数图象时,自变量的取值要用弧度制度量．
2．对于正弦、余弦函数,过最高点或最低点作x轴的垂线即为对称轴；图象与x轴的交点为对称中心．
3．函数的单调性是相对于某一区间而言的,研究其单调性必须在定义域内进行.。

高三一轮复习《三角函数的图象与性质》

3
2
2
o 3 x
2
2
{ } x
|
x
2
k, k
Z
R
( )
2
k,
2
k
,k Z
7
一张图学透
必备知识关键能力限时规范训练
正切函数的图像与性质
-----------------
-----------------
-----------------
-----------------
y
. . . . . . . 3 2
必备知识关键能力限时规范训练
1．求三角函数单调区间的方法求函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(t＝ωx＋φ 与 y＝Asin t)进行求解，应注意ω，A 的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则—— 同增异减． 2．已知函数的单调性求参数 (1)明确一个不同：“函数 f(x)在区间 M 上单调”与“函数 f(x)的单调区间为 N”两者的含义不同，显然 M 是 N 的子集； (2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间 M 上的保号性，由此列不等式求解．
f
(x)在，32
上单调递减，故
C
不正确；
当32π<x<2π时，所以
f
(x)在
3
2
，2
上不单调，故
D
不正确．故选
A.
19
必备知识关键能力限时规范训练
题型三、三角函数的单调性
练习1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间是________．解析：函数 y＝1－2cos x 的单调递减区间

三角函数的图象与性质(高三一轮复习)

数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 27 —
(4)三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，如在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值，则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2π＋kπ(k∈Z)．
A．y＝fx－π4为奇函数 B．y＝fx－4π为偶函数 C．y＝fx＋4π－1为奇函数 D．y＝fx＋π4－1为偶函数
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 21 —
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin
ωx＋π4
＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
2π 3
<T<π，且y＝f(x)的图象关于点32π，2中心对称，则fπ2＝( A )
— 10 —
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 11 —
2．(易错题)(2023·宜昌检测)下列函数中，在其定义域上是偶函数的是( B )
A．y＝sin x
B．y＝sin x
C．y＝tan x
D．y＝cosx－π2
解析对于A，∵y＝sin x的定义域为R，sin(－x)＝－sin x，∴y＝sin x为奇函
数，A错误；对于B，∵y＝
sin
x
的定义域为R，
sin－x
＝
－sin
x
＝
sin
x
，∴y＝
sin x为偶函数，B正确；对于C，∵y＝tan x的定义域为kπ－π2，kπ＋2π(k∈Z)，即定义域关于原点对称，tan(－x)＝－tan x，∴y＝tan x为奇函数，C错误；对于D，∵y＝

。2011届高三数学一轮巩固与练习：三角函数的图象与性质

π 3sinωｘsin(ωｘ＋ 2)(ω>0)的最小正周
期为 π．
(1)求 ω的值；
2π (2)求函数 f(x)在区间 [0， 3 ] 上的取值范围．
解：
(1)f(x)＝
1－co2s2ωx＋
3 2 sin2ωx
＝
3
1
1
2 sin2ωx－ 2cos2ωx＋2
＝
sin(2ωｘ－6π)＋
1 2.
因为函数 f(x)的最小正周期为 π，且 ω>0，
cos2x＝
1
＋sin2x－ cos2x＝ 1＋
2sin(2x－
π 4)，所以其周期
T＝π，对称轴方程的
表达式可由
2x－4π＝
kπ＋
π 2(k∈
Z
)得
x＝ k2π＋38π(k∈ Z )，故当
k＝0 时的
一条对称轴方程为 x＝38π，故答案为 D.
6． (2008 年高考天津卷 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，
即 b＜a＜ c，故选 A.
7．函数 y＝lgsinx＋
cosx－12的定义域为 ________．
解析： (1)要使函数有意义必须有
sinx>0 cosx－12≥0 ，
sinx>0
即
1，
cosx≥2
2kπ＜x<π＋ 2kπ
解得－π＋ 2kπ≤x≤π＋2kπ (k∈ Z )，
3
3
∴ 2kπ＜x≤π3＋ 2kπ，k∈ Z， ∴函数的定义域为 { x|2kπ＜x≤3π＋ 2kπ， k∈ Z} ．答案： { x|2kπ＜x≤π3＋2kπ， k∈Z } 8．已知函数 f(x)＝2sinωｘ(ω>0)在区间 [－3π，4π]上的最小值是－ 2，则 ω的最小值等于 ________．

云南省2011届高三数学一轮复习章节练习三角函数的图象和性质

高三数学章节训练题10 《三角函数的图象和性质练习题》时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1. 函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）A. 0B.4π C. 2π D. π 2. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是（） A. 1sin 2y x = B. 1sin()22y x π=- C. 1sin()26y x π=- D. sin(2)6y x π=- 3. 若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（） A. 35(,)(,)244ππππ B. 5(,)(,)424ππππ C. 353(,)(,)2442ππππ D. 33(,)(,)244ππππ 4. 若,24παπ<<则（）A. αααtan cos sin >>B. αααsin tan cos >>C. αααcos tan sin >>D. αααcos sin tan >>5. 函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（）A. 52πB. 25π C. π2 D. π5 6. 在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1. 关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数. 其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2. 函数xx y cos 2cos 2-+=的最大值为________. 3. 若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______. 4. 若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）1. 画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象.2. （1）求函数1sin 1log 2-=x y 的定义域.（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值.3. 若2cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值.高三数学章节训练题10《三角函数的图象和性质练习题》参考答案一、选择题1. C 当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2. C111sin()sin()sin[()]sin()32323326y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 3. B 5sin cos 0544(,)(,)tan 054240,24ππαααπππαπαππαπα⎧<<⎪->⎧⎪⇒⇒∈⎨⎨>⎩⎪<<<<⎪⎩或 4. D tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>5. D 2525T ππ== 6. C 由x y sin =的图象知，它是非周期函数二、填空题1. ① 0 此时()cos f x x =为偶函数2. 3 22221(2cos )2cos ,cos 11,3113y y y x x x y y y ---=+=⇒-≤≤≤≤++ 3. 2,3或 ,12,,2,32T kk N k k kππππ=<<<<∈⇒=而或 4. 34 [0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< max 3()2sin ,,332344f x ωπωπωππω===== 三、解答题1. 解：将函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于x 轴对称，得函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象，再将函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象向上平移一个单位即可.2. 解：（1）221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈ 5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求. （2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 3. 解：令sin ,[1,1]x t t =∈-，21sin 2sin y x p x q =-++ 2222(sin )1()1y x p p q t p p q =--+++=--+++22()1y t p p q =--+++对称轴为t p =当1p <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，max 1|29t y y p q =-==-+=min 1|26t y y p q ===+=，得315,42p q =-=，与1p <-矛盾；当1p >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，max 1|29t y y p q ===+=min 1|26t y y p q =-==-+=，得315,42p q ==，与1p >矛盾；当11p -≤≤时，2max |19t p y y p q ===++=，再当0p ≥，min 1|26t y y p q =-==-+=，得1,4p q ==+当0p <，min 1|26t y y p q ===+=，得1,4p q ==+1),4p q ∴=±=+。